Kako riješiti složenu jednadžbu. Izrazi, jednadžbe i sustavi jednadžbi s kompleksnim brojevima
Upotreba jednadžbi je raširena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Radi jasnoće, riješimo sljedeći problem:
Izračunaj \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ako je \
Prije svega, obratimo pozornost na činjenicu da je jedan broj predstavljen u algebarskom obliku, drugi - u trigonometrijskom obliku. Potrebno ga je pojednostaviti i dovesti u sljedeći oblik
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Izraz \ kaže da, prije svega, radimo množenje i dizanje na 10. stepen prema Moivreovoj formuli. Ova formula je formulirana za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. dobivamo:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Pridržavajući se pravila za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, učinit ćemo sljedeće:
u našem slučaju:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Ispravnim razlomak \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] zaključujemo da je moguće "uvijati" 4 zavoja \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Odgovor: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Ova se jednadžba može riješiti na drugi način, koji se svodi na dovođenje 2. broja u algebarski oblik, zatim izvođenje množenja u algebarskom obliku, prevođenje rezultata u trigonometrijski oblik i primjenu Moivreove formule:
Gdje mogu riješiti sustav jednadžbi s kompleksnim brojevima na mreži?
Sustav jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE
DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA
VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE
"DRŽAVNO PEDAGOŠKO SVEUČILIŠTE VORONJEŽ"
KATEDRA ZA AGLEBRU I GEOMETRIJU
Kompleksni brojevi
(odabrani zadaci)
ZAVRŠNI KVALIFIKACIJSKI RAD
specijalnost 050201.65 matematika
(uz dopunsku specijalnost 050202.65 informatika)
Završio: student 5. godine
fizičke i matematičke
fakultet
Nadglednik:
VORONJEŽ - 2008
1. Uvod……………………………………………………...…………..…
2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)
2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku…………………….….
2.2. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva…………..…
2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva
2.4. Primjena teorije kompleksnih brojeva na rješenje jednadžbi 3. i 4. stupnja……………..……………………………………………………………………
2.5. Kompleksni brojevi i parametri…………………………………….
3. Zaključak………………………………………………………………………………..
4. Popis literature………………………………………………………………………………
1. Uvod
U programu matematike školskog predmeta teorija brojeva se uvodi na primjerima skupova prirodnih brojeva, cijelih brojeva, racionalnih, iracionalnih, t.j. na skupu realnih brojeva čije slike ispunjavaju cijeli brojevni pravac. Ali već u 8. razredu nema dovoljno zaliha realnih brojeva, rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom. Stoga je bilo potrebno zalihu realnih brojeva nadopuniti kompleksnim brojevima, za koje kvadratni korijen negativnog broja ima smisla.
Izbor teme "Složeni brojevi", kao teme mog završnog kvalifikacijskog rada, je da pojam kompleksnog broja proširuje znanje učenika o brojevnim sustavima, o rješavanju široke klase zadataka kako algebarskog tako i geometrijskog sadržaja, o rješavanje algebarskih jednadžbi bilo kojeg stupnja i o rješavanju problema s parametrima.
U ovom diplomskom radu razmatrana su rješenja 82 problema.
Prvi dio glavnog dijela "Složeni brojevi" daje rješenja za probleme s kompleksnim brojevima u algebarskom obliku, definira operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, konjugacije za kompleksne brojeve u algebarskom obliku, stupanj imaginarne jedinice, modul kompleksnog broja, a također postavlja pravilo izvlačenja kvadratnog korijena kompleksnog broja.
U drugom dijelu rješavaju se zadaci geometrijske interpretacije kompleksnih brojeva u obliku točaka ili vektora kompleksne ravnine.
Treći dio bavi se operacijama nad kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku. Koriste se formule: De Moivre i ekstrakcija korijena iz kompleksnog broja.
Četvrti dio posvećen je rješavanju jednadžbi 3. i 4. stupnja.
Prilikom rješavanja zadataka posljednjeg dijela "Kompleksni brojevi i parametri" koriste se i objedinjuju podaci dani u prethodnim dijelovima. Niz problema u ovom poglavlju posvećen je određivanju obitelji pravaca u kompleksnoj ravnini zadanih jednadžbama (nejednadžbama) s parametrom. U dijelu vježbi potrebno je riješiti jednadžbe s parametrom (nad poljem C). Postoje zadaci u kojima složena varijabla istovremeno zadovoljava niz uvjeta. Značajka rješavanja problema ovog odjeljka je svođenje mnogih od njih na rješenje jednadžbi (nejednadžbi, sustava) drugog stupnja, iracionalnih, trigonometrijskih s parametrom.
Značajka izlaganja gradiva svakog dijela je početno upoznavanje s teorijskim osnovama, a potom i njihova praktična primjena u rješavanju problema.
Na kraju diplomskog rada nalazi se popis korištene literature. U većini njih dovoljno je detaljno i na pristupačan način prikazan teorijski materijal, razmatraju se rješenja nekih problema i daju se praktični zadaci za samostalno rješavanje. Želio bih obratiti posebnu pozornost na takve izvore kao što su:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksni brojevi i njihova primjena: Udžbenik. . Materijal priručnika prezentiran je u obliku predavanja i praktičnih vježbi.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Odabrani zadaci i teoremi elementarne matematike. Aritmetika i algebra. Knjiga sadrži 320 zadataka vezanih uz algebru, aritmetiku i teoriju brojeva. Ti se zadaci po svojoj prirodi bitno razlikuju od standardnih školskih zadataka.
2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)
2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku
Rješenje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje algebarskih jednadžbi, t.j. jednadžbe oblika
,gdje su a0 , a1 , …, an realni brojevi. Stoga je proučavanje algebarskih jednadžbi jedno od najvažnijih pitanja u matematici. Na primjer, kvadratna jednadžba s negativnim diskriminantom nema pravi korijen. Najjednostavnija takva jednadžba je jednadžba
.Da bi ova jednadžba imala rješenje, potrebno je proširiti skup realnih brojeva dodavanjem korijena jednadžbe
.Označimo ovaj korijen kao
. Dakle, po definiciji, , ili ,stoga,
. naziva se imaginarna jedinica. Uz njegovu pomoć i uz pomoć para realnih brojeva formira se izraz oblika.Dobiveni izraz nazvan je kompleksnim brojevima jer su sadržavali i stvarne i imaginarne dijelove.
Dakle, kompleksni brojevi nazivaju se izrazi oblika
, i realni su brojevi, te je neki simbol koji zadovoljava uvjet . Broj se naziva realnim dijelom kompleksnog broja, a broj se naziva njegovim imaginarnim dijelom. Za njihovo označavanje koriste se simboli.Kompleksni brojevi oblika
su realni brojevi i, stoga, skup kompleksnih brojeva sadrži skup realnih brojeva. Kompleksni brojevi oblika
nazivaju se čisto imaginarnim. Dva kompleksna broja oblika i nazivaju se jednakima ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, t.j. ako su jednakosti , .Algebarski zapis kompleksnih brojeva omogućuje izvođenje operacija nad njima prema uobičajenim pravilima algebre.
Da biste riješili probleme s kompleksnim brojevima, morate razumjeti osnovne definicije. Glavni cilj ovog preglednog članka je objasniti što su kompleksni brojevi i predstaviti metode za rješavanje osnovnih problema s kompleksnim brojevima. Dakle, kompleksni broj je broj oblika z = a + bi, gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju stvarni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja, odnosno, i označavaju a = Re(z), b=Im(z).
i naziva se imaginarna jedinica. i 2 \u003d -1. Konkretno, svaki se realni broj može smatrati složenim: a = a + 0i, gdje je a stvarno. Ako a = 0 i b ≠ 0, tada se broj naziva čisto imaginarnim.
Sada uvodimo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i.
Smatrati z = a + bi.
Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuje skup racionalnih brojeva, i tako dalje. Ovaj lanac ugradnje može se vidjeti na slici: N - prirodni brojevi, Z - cijeli brojevi, Q - racionalni, R - realni, C - kompleksni. 
Predstavljanje kompleksnih brojeva
Algebarski zapis.
Razmotrimo kompleksan broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja naziva se algebarski. Već smo detaljno raspravljali o ovom obliku pisanja u prethodnom odjeljku. Često koristite sljedeći ilustrativni crtež 
trigonometrijski oblik.
Iz slike se vidi da je broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očito je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, stoga z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
naziva se argument kompleksnog broja. Ovaj prikaz kompleksnog broja naziva se trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo zgodan. Na primjer, zgodno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cjelobrojni stepen, naime, ako z = rcos(φ) + rsin(φ)i, onda z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove De Moivreova formula.
Demonstrativni oblik.
Smatrati z = rcos(φ) + rsin(φ)i je kompleksan broj u trigonometrijskom obliku, zapisujemo ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost proizlazi iz Eulerove formule, pa smo dobili novi oblik zapisivanja kompleksnog broja: z = re iφ, koji se zove demonstrativna. Ovaj oblik zapisa također je vrlo prikladan za podizanje kompleksnog broja na stepen: z n = r n e inφ, ovdje n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan realni broj. Ovaj oblik pisanja često se koristi za rješavanje problema.
Temeljni teorem više algebre
Zamislimo da imamo kvadratnu jednadžbu x 2 + x + 1 = 0 . Očito je diskriminant ove jednadžbe negativan i nema pravih korijena, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, glavni teorem više algebre kaže da svaki polinom stupnja n ima barem jedan kompleksni korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stupnja n ima točno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ovaj teorem je vrlo važan rezultat u matematici i široko se primjenjuje. Jednostavna posljedica ovog teorema je da postoji točno n različitih korijena jedinice od n stupnjeva.
Glavne vrste zadataka
U ovom odjeljku će se razmotriti glavne vrste jednostavnih složenih brojeva. Uobičajeno, problemi s kompleksnim brojevima mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.
- Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.
- Pronalaženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
- Dizanje kompleksnih brojeva na stepen.
- Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva.
- Primjena kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.
Sada razmotrite opće metode za rješavanje ovih problema.
Najjednostavnije aritmetičke operacije s kompleksnim brojevima izvode se prema pravilima opisanim u prvom odjeljku, ali ako su kompleksni brojevi prikazani u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada se u ovom slučaju mogu pretvoriti u algebarski oblik i izvoditi operacije prema poznatim pravilima.
Pronalaženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njezin diskriminanta nenegativna, tada će njezini korijeni biti realni i nalaze se prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, onda D = -1∙a 2, gdje a je određeni broj, tada možemo diskriminanta predstaviti u obliku D = (ia) 2, stoga √D = i|a|, a zatim možete koristiti već poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe.
Primjer. Vratimo se gore spomenutoj kvadratnoj jednadžbi x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminirajući - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene: 
Povećanje kompleksnih brojeva na stepen može se izvesti na nekoliko načina. Ako kompleksni broj u algebarskom obliku želite podići na mali stepen (2 ili 3), onda to možete učiniti izravnim množenjem, ali ako je stupanj veći (u problemima je često mnogo veći), tada trebate zapišite ovaj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristite već poznate metode.
Primjer. Uzmimo z = 1 + i i povisimo na deseti stepen.
Zapisujemo z u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4 .
Zatim z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.
Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva je inverzna operacija eksponencijalnosti, pa se radi na sličan način. Za izdvajanje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.
Primjer. Pronađite sve korijene 3. stupnja jedinice. Da bismo to učinili, pronaći ćemo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, potražit ćemo korijene u eksponencijalnom obliku.
Zamjena u jednadžbi: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Dakle: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dakle φ = 2πk/3.
Dobivaju se različiti korijeni pri φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1 , e i2π/3 , e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku: 
Posljednja vrsta problema uključuje veliku raznolikost problema i ne postoje opće metode za njihovo rješavanje. Evo jednostavnog primjera takvog zadatka:
Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Iako se formulacija ovog problema ne odnosi na kompleksne brojeve, ali uz njihovu pomoć može se lako riješiti. Za njegovo rješavanje koriste se sljedeći prikazi: 
Ako sada ovaj prikaz zamijenimo zbrojem, onda se problem svodi na zbrajanje uobičajene geometrijske progresije.
Zaključak
Kompleksni brojevi se naširoko koriste u matematici, ovaj pregledni članak raspravlja o osnovnim operacijama nad kompleksnim brojevima, opisuje nekoliko tipova standardnih problema i ukratko opisuje opće metode za njihovo rješavanje, a za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva preporučuje se koristiti specijaliziranu literaturu.
Igra "Skyrim": svi vriskovi Skyrim vrišti od 4 riječi
The Elder Scrolls V: Skyrim
The Elder Scrolls V: Skyrim Walkthrough