Kako pronaći površinu trokuta. Kako možete pronaći površinu trokuta

Pojam područja

Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Za cjelovitost, prisjećamo se dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.

Razmotrite primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika kojemu je jedna stranica duljine $5$ (od $5$ ćelija), a druga $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15 dolara.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i područje jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine povučene na tu stranicu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ gdje je $AC=α$. Na ovu stranicu povučena je visina $BH$ i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta je $9$ (jer je $9$ $9$ ćelija). Visina je također $9$. Tada prema teoremu 1 dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, po Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma iz geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri ugla, odgovor će biti jednako točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, razlikuju se takvi trokuti kao što su jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, oštrokutni i tupokutni.

Postoje mnoge formule za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Zato zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje vam mogu dobro doći ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. U nastavku će biti dane najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i dobro će vam doći kako za kućne potrebe, tako i za pomoć djeci. Sjetimo se kako izračunati površinu trokuta jednostavno kao guljenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut čiji je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni trokut). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju međusobno podijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje naučiti kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo ovaj će pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trokuta koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo koristiti prvu formulu i to s malim mrljama (crtali smo u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo pravi izračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, tada je najlakši način koristiti glavnu i, kao što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo područje jednakokračnog trokuta, saznat ćemo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut čije su dvije stranice jednake duljine. Ove dvije stranice nazivaju se stranice, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim, tj. jednakostranični trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate:

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je množenje visine s duljinom baze, a zatim dijeljenje rezultata s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo razmotriti metode za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalni načini za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

a, b, c su duljine triju strana figure koju razmatramo;
r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
α - vrijednost kuta koji čine stranice b i c;
β je kut između a i c;
γ - vrijednost kuta koji čine stranice a i b;
h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
p je polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako dovršava do paralelograma, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta treba biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji tvore. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, množenjem duljine stranice a sa sinusom kuta γ dobivamo visinu trokuta, odnosno h.

Područje figure koja se razmatra nalazi se množenjem polovice polumjera kruga, koji se u njega može upisati, s njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo umnožak poluperimetra i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjernog, jednakokračnog, jednakostraničnog, pravokutnog). To se može učiniti uz pomoć složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Značajka ove figure je da su dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada se površina nalazi na sljedeći način:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Stoga se njegova površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a i sinusa kuta γ.

Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica a, a vrijednost svih kutova α. Njegova je visina pola umnoška duljine stranice a puta kvadratnog korijena iz 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom iz 3 i podijeliti s 4.

Trokut je takva geometrijska figura koja se sastoji od tri ravne linije koje se povezuju u točkama koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Spojne točke linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trokuta nazivaju se segmentima, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Postoje sljedeće vrste trokuta:

Pravokutan.
tupi.
Oštrokutni.
Svestran.
Jednakostraničan.
Jednakokračan.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula površine trokuta za duljinu i visinu

S=a*h/2,
gdje je a duljina stranice trokuta čiju površinu treba pronaći, h je duljina visine povučene na osnovicu.

Heronova formula

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluopseg trokuta, a,b,c je duljina svake stranice trokuta. Poluperimetar trokuta može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta u smislu kuta i duljine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
gdje je b,c duljina stranica trokuta, sin(α) je sinus kuta između dviju stranica.

Formula za površinu trokuta s obzirom na polumjer upisane kružnice i tri stranice

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trokuta čije područje treba pronaći, r je polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom kruga opisanog oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje su a,b,c duljina svake stranice trokuta, R je polumjer opisane kružnice oko trokuta.

Formula za površinu trokuta u kartezijanskim koordinatama točaka

Kartezijeve koordinate točaka su koordinate u xOy sustavu, gdje je x apscisa, a y ordinata. Kartezijev koordinatni sustav xOy na ravnini zovemo međusobno okomite numeričke osi Ox i Oy sa zajedničkom referentnom točkom u točki O. Ako su koordinate točaka na ovoj ravnini dane u obliku A (x1, y1), B (x2, y2) i C (x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobiva iz križnog umnoška dvaju vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan kut od 90 stupnjeva. Trokut može imati samo jedan takav kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije noge

S=a*b/2,
gdje je a,b duljina krakova. Noge se nazivaju strane uz pravi kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta s hipotenuzom i oštrim kutom

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trokuta, a sin(α) je sinus kuta pod kojim se sijeku pravci a, b.

Formula za površinu pravokutnog trokuta prema kraku i suprotnom kutu

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b kraci trokuta, tg(β) je tangens kuta pod kojim su spojeni krakovi a, b.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta

Jednakokračni trokut je onaj koji ima dvije jednake stranice. Te stranice se nazivaju stranice, a druga strana je baza. Možete koristiti jednu od sljedećih formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnovica trokuta, h je visina trokuta spuštena na osnovicu.

Formula jednakokračnog trokuta na pobočnoj stranici i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnovica trokuta, a je vrijednost jedne od stranica jednakokračnog trokuta.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.

Gornje formule omogućit će vam izračunavanje potrebne površine trokuta. Važno je zapamtiti da se za izračun razmaka trokuta mora uzeti u obzir vrsta trokuta i dostupni podaci koji se mogu koristiti za izračun.

Geometrijsko područje- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine omeđen zatvorenom konturom ove figure). Veličina površine izražena je brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Formule površine trokuta

Formula površine trokuta za stranicu i visinu
Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na tu stranicu
Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom opisane kružnice
Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom upisane kružnice
Površina trokuta jednak je umnošku polumjera trokuta i polumjera upisane kružnice.

Formule kvadratne površine

Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu stranice
kvadratna površina jednak je kvadratu duljine njegove stranice.
Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu dijagonale
kvadratna površina jednaka polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
S= 1 2
2

Formula površine pravokutnika

Područje pravokutnika

Formule za površinu paralelograma

Formula za površinu paralelograma za duljinu i visinu stranice
Površina paralelograma
Formula za površinu paralelograma s dvije strane i kutom između njih
Površina paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženih sa sinusom kuta između njih.
a b sinα

Formule za površinu romba

Formula površine romba zadane duljine i visine stranice
Područje romba jednaka je umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na tu stranu.
Formula za površinu romba s obzirom na duljinu stranice i kut
Područje romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba.
Formula za površinu romba iz duljina njegovih dijagonala
Područje romba jednak je polovici umnoška duljina njegovih dijagonala.

Formule površine trapeza

Heronova formula za trapez
Gdje je S površina trapeza,
- duljina osnovica trapeza,
- duljina stranica trapeza,