Tema: Izračunavanje površine ravnog lika pomoću određenog integrala

Zadaci: naučiti definiciju i formule za pronalaženje površine krivocrtnog trapeza;

razmotriti različite slučajeve pronalaženja područja krivuljastog trapeza;

Znati izračunati površinu krivocrtnog trapeza.

Plan:

Krivolinijski trapez.

Formule za izračunavanje površine krivocrtnog trapeza.

Krivolinijski trapez naziva se figura koja je ograničena grafom kontinuirane, nenegativne funkcije f (x) na intervalu , odsječcima x=a i x=b, kao i odsječkom x-osi između točaka a i b.

Slike krivocrtnih trapeza:

Sada prijeđimo na moguće opcije za položaj figura, čija se površina mora izračunati na koordinatnoj ravnini.

Prvi bit će najjednostavnija opcija (prva slika), uobičajena krivolinijski trapez, kao u definiciji. Ovdje ne treba ništa izmišljati, samo uzeti integral iz a prije b od funkcije f(x). Pronalazimo integral - znat ćemo područje ovog trapeza.


U drugi opciju, naša slika neće biti ograničena osi x, već drugom funkcijom g(x). Stoga, da biste pronašli područje CEFD, prvo moramo pronaći područje AEFB(koristeći integral od f(x)), zatim pronađite područje ACDB(koristeći integral od g(x)). I željeno područje figure CEFD, bit će razlika između prvog i drugog područja krivocrtnog trapeza. Budući da su granice integracije ovdje iste, sve se to može napisati pod jedan integral (vidi formule ispod slike) sve ovisi o složenosti funkcija, u tom slučaju će biti lakše pronaći integral.



Treći vrlo sličan prvom, ali samo je naš trapez postavljen, a ne preko x-os, a ispod njega. Stoga ovdje moramo uzeti isti integral, samo s predznakom minus, jer će vrijednost integrala biti negativna, a vrijednost površine mora biti pozitivna. Ako umjesto funkcije f(x) preuzeti funkciju -f(x), tada će njegov graf biti isti jednostavno simetrično prikazan u odnosu na x-os.


I četvrti opcija kada je dio naše figure iznad x-osi, a dio ispod nje. Stoga prvo moramo pronaći područje figure AEFB, kao u prvoj verziji, a zatim područje figure ABCD, kao u trećoj opciji i zatim ih dodajte. Kao rezultat toga, dobivamo područje figure DEFC. Budući da su granice integracije ovdje iste, sve se to može napisati pod jedan integral (vidi formule ispod slike) sve ovisi o složenosti funkcija, u tom slučaju će biti lakše pronaći integral.

Pitanja za samoispitivanje:

Koji se oblik naziva krivolinijski trapez?

Kako pronaći područje krivocrtnog trapeza?

Određeni integral. Kako izračunati površinu figure

Sada prelazimo na razmatranje primjena integralnog računa. U ovoj lekciji analizirat ćemo tipičan i najčešći zadatak. Kako koristiti određeni integral za izračunavanje površine figure u ravnini. Konačno, oni koji traže smisao u višoj matematici - neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu morat ćete aproksimirati ljetnu kućicu s elementarnim funkcijama i pronaći njezinu površinu pomoću određenog integrala.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. S određenim integralima na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose Određeni integral. Primjeri rješenja.

U stvari, da biste pronašli područje figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, pa će vaše znanje i vještine crtanja biti puno relevantnije pitanje. S tim u vezi, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnih elementarnih funkcija i, barem, znati izgraditi ravnu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (mnogi to trebaju) uz pomoć metodološkog materijala i članka o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svi su upoznati s problemom nalaženja površine pomoću određenog integrala još od škole, a mi ćemo ići malo ispred školskog kurikuluma. Ovaj članak možda uopće ne postoji, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada student muči omraženi toranj s entuzijazmom svladavajući kolegij više matematike.

Materijali ove radionice prezentirani su jednostavno, detaljno i s minimumom teorije.

Počnimo s krivolinijskim trapezom.

Krivolinijski trapez naziva se ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i graf funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. U učionici Određeni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da iznesemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvi i najvažniji trenutak odluke je izrada crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvi bolje je konstruirati sve linije (ako postoje) i samo nakon- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Funkcionalne grafove isplativije je graditi točku po točku, s tehnikom točkaste konstrukcije možete pronaći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći materijal koji je vrlo koristan u odnosu na našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Neću šrafirati krivolinijski trapez, očito je o kojoj površini ovdje govorimo. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko osi, zato:

Odgovor:

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja.

Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "okom" brojimo broj ćelija na crtežu - dobro, bit će upisano oko 9, čini se da je točno. Posve je jasno da kad bismo imali, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu lika omeđenog linijama , , i osi

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Odluka: Napravimo crtež:

Ako se krivolinijski trapez nalazi ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći formulom:
U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravnog lika omeđenog linijama , .

Odluka: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Nađimo točke sjecišta parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.
Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Puno je isplativije i brže graditi linije točku po točku, dok se granice integracije otkrivaju kao da su “sami od sebe”. Tehnika konstrukcije od točke do točke za različite grafikone detaljno je objašnjena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se kod gradnje po točkama granice integracije najčešće pronalaze “automatski”.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veće ili jednako neka kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničena grafovima tih funkcija i ravnih linija može pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Zapravo, školska formula za područje krivuljastog trapeza u donjoj poluravnini (vidi jednostavan primjer br. 3) poseban je slučaj formule . Budući da je os dana jednadžbom , a nalazi se graf funkcije ne viši sjekire, dakle

A sada nekoliko primjera za samostalnu odluku

Primjer 5

Primjer 6

Odredite površinu figure omeđenu linijama , .

U tijeku rješavanja zadataka za izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješna zgoda. Crtež je napravljen ispravno, izračuni su bili točni, ali zbog nepažnje ... pronašao područje pogrešne figure, tako se tvoj pokorni sluga zeznuo nekoliko puta. Evo slučaja iz stvarnog života:

Primjer 7

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Odluka: Prvo napravimo crtež:

…Eh, crtež je ispao sranje, ali čini se da je sve čitljivo.

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se događa "greška", da morate pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se pravolinijski grafikon;

2) Na segmentu iznad osi je graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Prijeđimo na jedan smisleniji zadatak.

Primjer 8

Izračunaj površinu figure omeđene linijama,
Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku i nacrtajmo točku po točku:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica “dobra”: .
Ali koja je donja granica? Jasno je da to nije cijeli broj, ali što? Može biti ? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se i pokazati. Ili korijen. Što ako graf uopće nismo dobili kako treba?

U takvim slučajevima potrebno je potrošiti dodatno vrijeme i analitički precizirati granice integracije.

Nađimo točke sjecišta pravca i parabole.
Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:


,

Stvarno,.

Daljnje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima, izračuni ovdje nisu najlakši.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Pa, u zaključku lekcije, razmotrit ćemo dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure omeđene linijama , ,

Odluka: Nacrtaj ovu figuru na crtežu.

K vragu, zaboravio sam potpisati raspored, a ponavljanje slike, oprostite, nije vruće. Nije crtež, ukratko, danas je dan =)

Za konstrukciju po točkama potrebno je poznavati izgled sinusoide (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se pronaći u trigonometrijska tablica. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) dopušteno je konstruirati shematski crtež na kojemu se grafikoni i granice integracije moraju načelno ispravno prikazati.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede izravno iz uvjeta: - "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo daljnju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad osi, dakle:

Lik omeđen grafom kontinuirane nenegativne funkcije $f(x)$ na intervalu $$ i pravcima $y=0, \ x=a$ i $x=b$ naziva se krivolinijski trapez.

Površina odgovarajućeg krivocrtnog trapeza izračunava se formulom:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Probleme nalaženja površine krivocrtnog trapeza uvjetno ćemo podijeliti na $4$ vrste. Razmotrimo svaku vrstu detaljnije.

Tip I: zakrivljeni trapez je eksplicitno zadan. Zatim odmah primijenite formulu (*).

Na primjer, pronađite površinu krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ i linijama $y=0, \ x=1$ i $x =3$.

Nacrtajmo ovaj krivocrtni trapez.

Primjenom formule (*) nalazimo područje ovog krivocrtnog trapeza.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\lijevo(4-(x-2)^(2)\desno)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \lijevo.\frac((x-2)^(3) )(3)\desno|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\lijevo((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\desno)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\lijevo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip II: krivolinijski trapez zadan je implicitno. U ovom slučaju, ravne linije $x=a, \ x=b$ obično nisu specificirane ili su djelomično specificirane. U tom slučaju trebate pronaći sjecišne točke funkcija $y=f(x)$ i $y=0$. Te točke će biti točke $a$ i $b$.

Na primjer, pronađite područje figure ograničeno grafovima funkcija $y=1-x^(2)$ i $y=0$.

Pronađimo točke sjecišta. Da bismo to učinili, izjednačimo desne dijelove funkcija.

Dakle, $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo ovaj krivocrtni trapez.

Pronađite površinu ovog krivocrtnog trapeza.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\lijevo(1-x^(2)\desno)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \lijevo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\lijevo(1^(3)-(-1)^(3)\desno)=2 – \frac(1)(3) \lijevo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip III: područje figure ograničeno sjecištem dviju kontinuiranih nenegativnih funkcija. Ova figura neće biti krivolinijski trapez, što znači da pomoću formule (*) ne možete izračunati njegovu površinu. Kako biti? Ispada da se površina ove figure može pronaći kao razlika između površina krivocrtnih trapeza omeđenih gornjom funkcijom i $y=0$ ($S_(uf)$) i donjom funkcijom i $y= 0$ ($S_(lf)$), gdje ulogu $x=a, \ x=b$ igraju $x$ koordinate presječnih točaka ovih funkcija, tj.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najvažnija stvar pri izračunavanju takvih područja je ne "promašiti" s izborom gornje i donje funkcije.

Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu funkcijama $y=x^(2)$ i $y=x+6$.

Nađimo sjecišne točke ovih grafova:

Prema Vietinom teoremu,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Odnosno, $a=-2, \ b=3$. Nacrtajmo oblik:

Dakle, gornja funkcija je $y=x+6$, a donja $y=x^(2)$. Zatim pronađite $S_(uf)$ i $S_(lf)$ pomoću formule (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\lijevo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jedinica $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\lijevo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Zamjena pronađena u (**) i dobiti:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jedinica $^(2)$).

Tip IV: područje figure ograničeno funkcijom(ama) koje ne zadovoljavaju uvjet nenegativnosti. Da biste pronašli područje takve figure, morate biti simetrični u odnosu na os $Ox$ ( drugim riječima, stavite "minuse" ispred funkcija) prikažite područje i pomoću metoda opisanih u tipovima I - III pronađite područje prikazanog područja. Ovo područje će biti potrebno područje. Prvo, možda ćete morati pronaći točke sjecišta grafova funkcija.

Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=x^(2)-1$ i $y=0$.

Nađimo sjecišne točke grafova funkcija:

oni. $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo područje.

Prikažimo područje simetrično:

$y=0 \ \desna strelica \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \desna strelica \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Dobili ste krivolinijski trapez omeđen grafom funkcije $y=1-x^(2)$ i $y=0$. Ovo je problem nalaženja krivocrtnog trapeza druge vrste. Već smo to riješili. Odgovor je bio: $S= 1\frac(1)(3)$ (jedinice $^(2)$). Dakle, površina željenog krivocrtnog trapeza jednaka je:

$S=1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Razmotrimo krivuljasti trapez omeđen osi Ox, krivuljom y \u003d f (x) i dvije ravne linije: x \u003d a i x \u003d b (slika 85). Uzmite proizvoljnu vrijednost x (samo ne a i ne b). Dajmo mu prirast h = dx i razmotrimo traku omeđenu ravnim linijama AB i CD, osi Ox i lukom BD koji pripada krivulji koju razmatramo. Ova traka će se zvati elementarna traka. Područje elementarne trake razlikuje se od područja pravokutnika ACQB krivocrtnim trokutom BQD, a područje potonjeg je manje od područja pravokutnika BQDM sa stranicama BQ = =h= dx) QD=Ay i površina jednaka hAy = Ay dx. Kako se stranica h smanjuje, tako se i stranica Du smanjuje i, istovremeno s h, teži nuli. Prema tome, područje BQDM je infinitezimalno drugog reda. Površina elementarne trake je inkrement površine, a površina pravokutnika ACQB, jednaka AB-AC==/(x) dx> je diferencijal površine. Dakle, samu površinu nalazimo integracijom njenog diferencijala. Unutar granica razmatrane slike nezavisna varijabla l: mijenja se iz a u b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5= \f (x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajte površinu omeđenu parabolom y - 1 -x *, ravnim linijama X \u003d - Fj-, x \u003d 1 i osi O * (slika 86). na sl. 87. Fig. 86. 1 Ovdje je f(x) = 1 - l?, granice integracije a = - i t = 1, dakle 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajte površinu omeđenu sinusoidom. y = sinXy, os Ox i pravac (slika 87). Primjenom formule (I) dobivamo L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf s osi Ox (na primjer, između ishodišta i točke s apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dvostruko veće od područja prethodnog primjera. Ipak, napravimo izračune: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i-(- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Doista, naša se pretpostavka pokazala pravednom. Primjer 4. Izračunajte površinu koju omeđuju sinusoida i ^ os Ox na jednu periodu (slika 88). Preliminarne procjene ras-figura sugeriraju da će se ispostaviti da je područje četiri puta veće nego u pr. 2. Međutim, nakon izvođenja izračuna, dobivamo “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili bit stvari, također izračunavamo površinu ograničenu istom sinusoidom y \u003d sin l: i osi Ox u rasponu od l do 2n. Primjenom formule (I) dobivamo Dakle, vidimo da je ovo područje ispalo negativno. Uspoređujući ga s površinom izračunatom u primjeru 3, nalazimo da su njihove apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primijenimo svojstvo V (vidi Pogl. XI, § 4), tada dobivamo slučajno. Područje ispod x-osi, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja slijeva nadesno, dobiva se izračunavanjem pomoću negativnih integrala. U ovom tečaju uvijek ćemo razmatrati neoznačena područja. Stoga će odgovor u upravo analiziranom primjeru biti sljedeći: tražena površina jednaka je 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB-a prikazanog na sl. 89. To područje ograničeno je osi Ox, parabolom y = - xr i pravcem y - = -x + \. Površina krivocrtnog trapeza Tražena površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAB. Budući da je točka A sjecište parabole i pravca, njezine koordinate ćemo pronaći rješavanjem sustava jednadžbi 3 2 Y \u003d mx. (samo trebamo pronaći apscisu točke A). Rješavajući sustav, nalazimo l; =~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prva pl. OAM, a zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [zamjena:

] =

Dakle, nepravi integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .