Složena integracija. Integracija funkcija kompleksne varijable

Kalkulator rješava integrale s opisom akcija DETALJNO na ruskom i besplatno!

Rješavanje neodređenih integrala

Ovo je online usluga jedan korak:

Rješenje određenih integrala

Ovo je online usluga jedan korak:

Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
Unesite donju granicu za integral
Unesite gornju granicu za integral

Rješavanje dvostrukih integrala

Unesite izraz integrand (integralna funkcija)

Rješavanje nepravilnih integrala

Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
Unesite gornje područje integracije (ili + beskonačno)
Unesite donju regiju integracije (ili - beskonačno)

Rješenje trostrukih integrala

Unesite izraz integrand (integralna funkcija)
Unesite donje i gornje granice za prvo područje integracije
Unesite donju i gornju granicu za drugo područje integracije
Unesite donju i gornju granicu za treće područje integracije

Ova usluga vam omogućuje da provjerite svoje kalkulacije za ispravnost

Sposobnosti

Podrška za sve moguće matematičke funkcije: sinus, kosinus, eksponent, tangens, kotangens, kvadratni i kubični korijen, stupnjevi, eksponencijal i druge.
Postoje primjeri za unos, kako za neodređene integrale, tako i za nepravilne i određene.
Ispravlja pogreške u izrazima koje unesete i nudi vlastite opcije za unos.
Numeričko rješenje za određene i neprave integrale (uključujući dvostruke i trostruke integrale).
Podrška za kompleksne brojeve, kao i razne parametre (u integrandu možete navesti ne samo integracijsku varijablu, već i druge varijable parametara)

Promotrimo glatku krivulju Γ u kompleksnoj ravnini zadanoj parametarskim jednadžbama

(definicija glatke krivulje dana je na početku §8). Kao što je navedeno u § 8, ove se jednadžbe mogu napisati u kompaktnom obliku:

Prilikom promjene parametra t iz a do /3 odgovarajuće točke z(t) kretat će se duž krivulje Γ. Stoga jednadžbe (15.1) i (15.2) ne samo da određuju točke krivulje Γ, već također određuju smjer obilaska ove krivulje. Krivulja G sa zadanim smjerom svoje obilaznice naziva se usmjerena krivulja.

Pustite u to područje D C C kontinuirana funkcija f(r) = = u(x, y) + iv(x. y), a neka krivulja Γ leži u D. Uvesti pojam integrala [f(z)dz od funkcije f(z) duž krivulje r, definiramo r

diferencijal dz jednakost dz = dx + idy. Integrand se transformira u oblik

Dakle, integral kompleksne funkcije f(z) duž krivulje Γ prirodno je definirati jednakošću

čija desna strana sadrži dva realna krivuljasta integrala druge vrste realnih funkcija i i i. Za izračunavanje ovih integrala, umjesto x i na zamjenske funkcije x(t) i t/(/), ali umjesto dx i di- diferencijale ovih funkcija dx = x"(t) dt i dy = y"(t)dt. Tada se integrali na desnoj strani (15.3) svode na dva integrala funkcija realne varijable t

Sada smo spremni dati sljedeću definiciju.

Integral duž krivulje G o funkciji kompleksne varijable f(z) broj se zove J" f(z)dz i izračunato po

gdje z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - jednadžba krivulje G, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Primjer 15.1. Izračunajte integral funkcije f(z) = (g - a) str duž kružnice polumjera r sa središtem a, čiji je smjer obilaženja suprotan kazaljci na satu.

Rješenje: Jednadžba kružnice z - a= g volja z - a = ge a, ili

Kad se promijeni t. od 0 do 2tg boda z(t.) kreće se kružno r u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zatim

Primjenom jednakosti (15.5) i De Moivreove formule (2.10) dobivamo

Dobili smo rezultat važan za daljnji prikaz:

Imajte na umu da vrijednost integrala ne ovisi o polumjeru G krugovi.

PRIMJER 15.2. Izračunajte integral funkcije f(z) = 1 ali glatka krivulja Γ s ishodištem u točki a i završiti u točki b.

Rješenje Neka je krivulja Γ dana jednadžbom z(t.) = x(t) + + iy(t), i ^ t^ /3, i a= -r(a), b = z((3). Koristeći formulu (15.5), kao i Newton-Leibnizovu formulu za izračunavanje integrala realnih funkcija, dobivamo

Vidimo da je integral f 1 dz ne ovisi o vrsti staze G, spoji-

između točaka a i 6, a ovisi samo o krajnjim točkama.

Opišimo ukratko još jedan pristup definiciji integrala kompleksne funkcije f(z) duž krivulje, slično definiciji integrala realne funkcije po segmentu.

Podijelimo krivulju Γ na proizvoljan način na P iscrtava točke zq = a, z 1, ..., z n-ti z n = b, numerirani u smjeru kretanja od početne točke prema kraju (slika 31). Označiti z - zo ==Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, zn -Zn- 1 = = Azn.(Broj Azk predstavljena vektorom koji dolazi iz točke zi L_i in Zk-) Na svakom mjestu (zk-i,Zk) izaberemo proizvoljnu točku na krivulji (q- i zbrojimo

Ovaj iznos se zove integralni zbroj. Označimo s L duljinu najvećeg segmenta na koji je podijeljena krivulja G. Razmotrimo niz particija za koje je A -? 0 (dok P-* oo).

P1> jedinice integralnih suma, izračunate pod uvjetom da duljina najvećeg segmenta particije teži nuli, nazivaju se integral funkcije/(G) duž krivulje G i označava se sa G f(z)dz:

Može se pokazati da nas ova definicija također vodi do formule (15.3) i stoga je ekvivalentna definiciji (15.5) danoj gore.

Utvrdimo glavna svojstva integrala / f(z)dz.

1°. Linearnost. Za bilo koje kompleksne konstante a i b

Ovo svojstvo proizlazi iz jednakosti (15.5) i odgovarajućih svojstava integrala po segmentu.

2°. Aditivnost. Ako krivulja G podijeljen na segmente Ti m G2, zatim

Dokaz. Neka je krivulja Γ s krajevima a, b dijeli se točkom c na dva dijela: krivulju Gi s krajevima a, S a krivulja Gr s završava s, b. Neka je G zadan jednadžbom z = z(t), a ^ t ^ u. i a= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Tada će jednadžbe krivulja G1 i Gg biti z = z(t), gdje a ^ t^7 za Ti i 7^ t^/? za Gg. Primjenom definicije (15.5) i pripadajućih svojstava integrala po segmentu dobivamo

Q.E.D.

Svojstvo 2° omogućuje izračunavanje integrala ne samo preko glatkih krivulja, već također komadno glatka, tj. krivulje koje se mogu podijeliti na konačan broj glatkih dijelova.

3°. Kada se promijeni smjer krivulje, integral mijenja predznak.

Dokažite l s t u otprilike. Neka krivulja G završava a i b dana je jednadžbom r = r(?), o ^ t ^ $. Krivulja koja se sastoji od istih točaka kao Γ, ali se od Γ razlikuje u smjeru obilaznice (orijentacije), označit će se s Γ. Tada je G - dano jednadžbom z= 2i(J)> gdje je z(t)= 2(0 -I - fi - t), Doista, uvodimo novu varijablu r = a + - t. Kad se promijeni t od a do (d varijabla r mijenja se od (5 do a. Prema tome, točka r(m) će prolaziti kroz krivulju r.

Svojstvo 3° je dokazano. (Primijetite da ovo svojstvo slijedi izravno iz definicije integrala (15.8): kada se orijentacija krivulje promijeni, svi prirasta AZk promijeni znak.)

4°. Modul integrala f f(z)dz ne prelazi vrijednost zakrivljenosti G

linearni integral modula funkcije po duljini krivulje s (krivocrtni integral od f(z) prve vrste):

To je lako vidjeti z[(t) = r" r (t)(a + - t)J = -z "t (t), dt = -dr. Koristeći definiciju (15.5) i prelazeći na varijablu r, dobivamo

Dokaz. Iskoristimo činjenicu da za integral po segmentu

(ova nejednakost neposredno slijedi iz definicije integrala nad segmentom kao limita integralnih suma). Odavde i iz (15.5) imamo

1. Osnovni pojmovi

2. Izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable

3. Primjeri izračunavanja integrala funkcija kompleksne varijable

4. Glavni Cauchyjev teorem za jednostavnu konturu

5. Cauchyjev teorem za složenu konturu

6. Integralna Cauchyjeva formula

7. Izračun integrala po zatvorenoj petlji

8. Primjeri izračunavanja integrala po zatvorenoj petlji

Osnovni koncepti

1. Uvodi se pojam integrala funkcije kompleksne varijable (na isti način kao u realnom području) kao limes niza integralnih suma; funkcija je definirana na nekoj krivulji l, pretpostavlja se da je krivulja glatka ili komadno glatka:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

gdje je x_k točka odabrana na luku \Delta l_k razdvajanja krivulje; \Delta z_k - povećanje argumenta funkcije na ovom dijelu dijeljenja, \lambda=\max_(k)|\Delta z_k|- podijeljeni korak, |\Delta z_k| - duljina tetive koja spaja krajeve luka \Delta l_k ; krivulja l je proizvoljno podijeljena na n dijelova \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Na krivulji je odabran smjer, tj. određene su početna i krajnja točka. U slučaju zatvorene krivulje \textstyle(\lijevo(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\desno)) integracija se odvija u pozitivnom smjeru, tj. u smjeru koji ostavlja krajnje područje ograničeno stazom ulijevo.

Formula (2.43) definira krivocrtni integral funkcije kompleksne varijable. Ako izdvojimo realni i imaginarni dio funkcije f(z) , tj. zapišite u obrazac

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

tada se integralni zbroj može napisati u obliku dva člana, koji će biti integralni zbroji krivocrtnih integrala druge vrste funkcija dviju realnih varijabli. Ako se pretpostavi da je f(z) neprekidan na l, tada će u(x, y),~ v(x, y) također biti neprekidan na l, pa će stoga postojati ograničenja za odgovarajuće integralne zbrojeve. Dakle, ako je funkcija f(z) neprekidna na l, onda postoji granica u jednakosti (2.43), tj. postoji krivuljasti integral funkcije f(z) nad krivuljom l i formulom

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Koristeći definiciju integrala ili formulu (2.44) i svojstva krivuljnih integrala druge vrste, lako je provjeriti valjanost sljedećih svojstava krivuljnog integrala funkcija kompleksne varijable (svojstava poznata iz realne analize) .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \kraj(poravnano)

posebno, \textstyle(\lijevo|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\desno|\leqslant M\cdot l_(AB)), ako je funkcija ograničena u apsolutnoj vrijednosti na krivulji AB , tj |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Ovo svojstvo se naziva svojstvo procjene modula integrala.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Formulu (2.44) možemo smatrati i definicijom krivuljnog integrala funkcije kompleksne varijable i formulom za njegov izračun preko krivuljnih integrala druge vrste funkcija dviju realnih varijabli.

Da bismo koristili i zapamtili formulu za izračun, napominjemo da jednakost (2.44) odgovara formalnom izvođenju na lijevoj strani pod znakom integrala operacija izdvajanja realnog i imaginarnog dijela funkcije f(z) , množenjem s dz=dx+i\,dy i zapisivanje rezultirajućeg produkta u algebarskom obliku:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Primjer 2.79. Izračunaj integrale i \int\granice_(OA)z\,dz, gdje je linija OA

a) isječak koji povezuje točke z_1=0 i z_2=1+i ,
b) izlomljena linija OBA , gdje je O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).

▼ Rješenje

1. Izračunajte integral \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Ovdje f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Integral pišemo u terminima krivocrtnih integrala druge vrste:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

što odgovara formuli (2.44). Računamo integrale:

a) integracijski put je, dakle, pravac \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) put integracije je izlomljena linija koja se sastoji od dva segmenta OB= $y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1$ i BA= $x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1$. Stoga, dijeljenjem integrala na dva dijela i izvođenjem izračuna dobivamo

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Integral funkcije f(z)=\overline(z) ovisi o izboru integracijskog puta koji povezuje točke O i A .

2. Izračunajte integral \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) ovdje f(z)=z=x+iy . Integral pišemo pomoću krivocrtnih integrala druge vrste

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Integranti dobivenih integrala druge vrste su totalni diferencijali (vidi uvjet (2.30)), pa je dovoljno razmotriti jedan slučaj puta integracije. Dakle, u slučaju "a", gdje je jednadžba segmenta y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, dobivamo odgovor

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Zbog neovisnosti integrala o obliku integracijskog puta zadatak se u ovom slučaju može formulirati u općenitijem obliku: izračunati integral

\int\granice_(l)z\,dz od točke z_1=0 do točke z_2=1+i .

U sljedećem pododjeljku detaljnije ćemo razmotriti takve slučajeve integracije.

2. Neka je integral kontinuirane funkcije u nekom području neovisan o obliku krivulje koja spaja dvije točke tog područja. Popravimo početnu točku, označavajući z_0 . krajnja točka je varijabla, označimo je z . Tada će vrijednost integrala ovisiti samo o točki z, odnosno definirati neku funkciju u navedenom području.

U nastavku ćemo obrazložiti tvrdnju da u slučaju jednostavno povezane domene integral definira jednovrijednu funkciju u toj domeni. Uvodimo notaciju

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funkcija F(z) je integral s promjenjivom gornjom granicom.

Koristeći se definicijom derivata, tj. s obzirom \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), lako je provjeriti da F(z) ima derivaciju u bilo kojoj točki domene definicije, i stoga je analitička u njoj. U ovom slučaju za derivaciju dobivamo formulu

F"(z)=f(z).

Derivacija integrala s promjenjivom gornjom granicom jednaka je vrijednosti integranda na gornjoj granici.

Iz jednakosti (2.46) posebice proizlazi da je integrand f(z) u (2.45) analitička funkcija, budući da je derivacija F"(z) analitičke funkcije F(z) po svojstvu takvih funkcija ( vidi Propoziciju 2.28) - analitička funkcija.

3. Funkcija F(z) za koju vrijedi jednakost (2.46) naziva se antiderivacija za funkciju f(z) u jednostavno povezanoj domeni, a zbirka antiderivacija \Phi(z)=F(z)+c , gdje je c=\text( const) , - neodređeni integral funkcije f(z) .

Iz točaka 2. i 3. dobivamo sljedeću tvrdnju.

Izjava 2.25

1. Integral s promjenjivom gornjom granicom \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) iz funkcije analitičke u jednostavno povezanoj domeni postoji funkcija analitička u ovoj domeni; ova je funkcija antiderivativna za integrand.

2. Svaka funkcija koja je analitička u jednostavno povezanoj domeni ima u sebi antiderivaciju (postojanje antiderivacije).

Pronalaze se antiderivacije analitičkih funkcija u jednostavno povezanim područjima, kao iu slučaju realne analize: koriste se svojstva integrala, tablica integrala i pravila integracije.

Na primjer, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Između krivuljastog integrala analitičke funkcije i njegove antiderivacije u jednostavno povezanoj domeni postoji formula slična Newton-Leibnizovoj formuli iz stvarne analize:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Kao iu stvarnoj analizi, u domeni kompleksa, osim integrala koji sadrže parametar unutar granica integracije (formula (2.45) daje najjednostavniji primjer takvih integrala), razmatraju se integrali koji ovise o parametru sadržanom u integrandu: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Među takvim integralima važno mjesto u teoriji i praksi složene integracije i primjena zauzima integral oblika \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Pretpostavljajući da je f(z) kontinuiran na pravcu l, dobivamo da za bilo koju točku z koja ne pripada l, integral postoji i određuje, u bilo kojem području koje ne sadrži l, neku funkciju

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integral (2.48) naziva se integral Cauchyjevog tipa; množitelj \frac(1)(2\pi\,i) je uveden radi lakšeg korištenja konstruirane funkcije.

Za ovu funkciju, kao i za funkciju definiranu jednakošću (2.45), dokazano je da je analitička posvuda u domeni definicije. Štoviše, za razliku od integrala (2.45), ovdje se ne zahtijeva da generirajuća funkcija f(z) bude analitička, tj. formula (2.48) koristi se za konstruiranje klase analitičkih funkcija na klasi kontinuiranih funkcija kompleksne varijable. Derivacija integrala (2.48) određena je formulom

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Da bismo dokazali formulu (2.49) i, prema tome, ustvrdili da je integral Cauchyjevog tipa analitički, dovoljno je, prema definiciji derivacije, utvrditi valjanost nejednakosti

\lijevo|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\desno|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

za bilo koji \varepsilon>0 i za bilo koji z iz domene funkcije F(z) .

Ista se metoda može upotrijebiti da se pokaže da postoji derivacija funkcije definirana jednakošću (2.49), tj. F""(z) , i formula

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Postupak se može nastaviti i indukcijom dokazati formulu za derivaciju bilo kojeg reda funkcije F(z)\točka

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Analizirajući formule (2.48) i (2.49), lako je vidjeti da se derivacija F(z) može dobiti formalno diferenciranjem u odnosu na parametar pod predznakom integrala u (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \lijevo(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\desno)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\lijevo(\frac(f (\xi))(\xi-z)\desno)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Primjenjujući formalno pravilo diferenciranja integrala ovisno o parametru n puta, dobivamo formulu (2.50).

Dobivene rezultate u ovom dijelu zapisujemo u obliku tvrdnje.

Tvrdnja 2.26. Sastavni \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi iz funkcije f(z), kontinuirane na krivulji l, postoji funkcija koja je analitička u bilo kojoj domeni D koja ne sadrži l; derivacije ove funkcije mogu se dobiti diferenciranjem po parametru pod predznakom integrala.

Izračunavanje integrala iz funkcija kompleksne varijable

Gore su dobivene formule za izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable - formule (2.44) i (2.47).

Ako se krivulja l u formuli (2.44) postavi parametarski: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta ili, što odgovara stvarnom obliku: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, tada pomoću pravila za izračunavanje integrala druge vrste u slučaju parametarske specifikacije krivulje možemo transformirati formulu (2.44) u oblik

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Dobiveni rezultat i rezultati dobiveni na prethodnom predavanju bit će napisani kao niz radnji.

Metode izračunavanja integrala \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Prvi način. Izračunavanje integrala \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) od kontinuirane funkcije svođenjem na krivocrtne integrale funkcija realnih varijabli - primjena formule (2.44).

1. Pronađite \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.

2. Zapišite integrand f(z)dz kao produkt (u+iv)(dx+i\,dy) ili, množeći, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Izračunati krivocrtne integrale oblika \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), gdje P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) prema pravilima za izračunavanje krivocrtnih integrala druge vrste.

Drugi način. Izračunavanje integrala \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) od kontinuirane funkcije svođenjem na određeni integral u slučaju parametarske specifikacije puta integracije - primjena formule (2.51).

1. Napišite parametarsku jednadžbu krivulje z=z(t) i iz nje odredite granice integracije: t=\alpha odgovara početnoj točki puta integracije, t=\beta - krajnjoj točki.

2. Odredite diferencijal funkcije kompleksnih vrijednosti z(t)\dvotačka\, dz=z"(t)dt.
3. Zamijenite z(t) u integrand, transformirajte integral

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Izračunajte određeni integral iz funkcije kompleksnih vrijednosti realne varijable dobivene u odjeljku 3.

Imajte na umu da se integracija funkcije kompleksnih vrijednosti realne varijable ne razlikuje od integracije funkcije realnih vrijednosti; jedina razlika je prisutnost faktora i u prvom slučaju, radnje s kojima se, naravno, smatraju kao s konstantom. Na primjer,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \lijevo.(\frac(e^(2it))(2i))\desno|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Treći način. Izračunavanje integrala analitičkih funkcija u jednostavno povezanim područjima - primjena formule (2.47).

1. Pronađite antiderivaciju F(z) koristeći svojstva integrala, tabelarnih integrala i metode poznate iz realne analize.

2. Primijenite formulu (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Primjedbe 2.10

1. U slučaju višestruko povezane regije, rezovi se rade tako da se može dobiti jednoznačna funkcija F(z).

2. Kod integriranja jednovrijednih grana viševrijednih funkcija, grana se razlikuje postavljanjem vrijednosti funkcije u nekoj točki integracijske krivulje. Ako je krivulja zatvorena, tada je početna točka puta integracije točka u kojoj je dana vrijednost integranda. Vrijednost integrala može ovisiti o izboru ove točke.

▼ Primjeri 2.80-2.86 izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable

Primjer 2.80. Izračunati \int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz, gdje je l pravac koji spaja točku z_1=0 s točkom z_2=1+i\točka

a) l - pravac; b) l - isprekidana linija OBA , gdje je O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).

▼ Rješenje

a) Primijenimo prvu metodu - (formula (2.44)).

1.2. Integrand ima oblik \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Zato

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Izračunajte integrale za y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(jednadžba odsječka OA koja spaja točke z_1 i z_2 ). Dobivamo

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Budući da se put integracije sastoji od dva segmenta, integral pišemo kao zbroj dvaju integrala:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz

a svaki se izračunava kao u prethodnom paragrafu. Štoviše, za segment OB imamo

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) i za segment BA\dvotočka \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Izrađujemo izračune:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Imajte na umu da integrand u ovom primjeru nije analitička funkcija, tako da integrali preko dvije različite krivulje koje povezuju dvije dane točke mogu imati različite vrijednosti, što je ilustrirano u ovom primjeru.

Primjer 2.81. Izračunati \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, gdje je l gornji polukrug |z|=1 , zaobilazeći krivulju l suprotno od kazaljke na satu.

▼ Rješenje

Krivulja ima jednostavnu parametarsku jednadžbu z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, pa je zgodno koristiti drugu metodu (formula (2.51)). Integrand je ovdje kontinuirana funkcija, nije analitička.

1.2. Za z=e^(it) nalazimo \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Zamjena u integrandu. Računamo integral

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Primjer 2.82. Izračunajte integrale analitičkih funkcija:

a) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), put integracije ne prolazi točkom i .

▼ Rješenje

a) Primijenite formulu (2.47) (treće pravilo); nalazimo antiderivaciju koristeći metode integracije realne analize:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \lijevo.( \frac(1)(2) \lijevo(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \imeoperatora(sh)2).

b) Integrand je analitičan posvuda osim u točki i . Nakon crtanja ravnine presječene duž zrake od točke i do \infty , dobivamo jednostavno povezano područje u kojem je funkcija analitička i integral se može izračunati formulom (2.47). Dakle, za bilo koju krivulju koja ne prolazi kroz točku i, integral se može izračunati pomoću formule (2.47), dok će za dvije zadane točke imati istu vrijednost.

Na sl. 2.44 prikazana su dva slučaja izrade rezova. Smjer zaobilaženja granice jednostavno povezanih područja, gdje je integrand analitički, označen je strelicama. Računamo integral:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \lijevo.(\frac(-1)(z-i))\desno|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Primjer 2.83. Izračunaj integral \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Rješenje

Integrand je analitičan posvuda u \mathbb(C) . Primijenimo treću metodu, formulu (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \lijevo.(\frac(z^2)(2))\desno|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Ovaj rezultat je dobiven u primjeru 2.78 prema prvoj metodi.

Primjer 2.84. Izračunaj integral \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), gdje je C krug |z-a|=R .

▼ Rješenje

Upotrijebimo drugu metodu.

1. Jednadžbu kruga napišemo u parametarskom obliku: z-a=R\,e^(it) , ili z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Nalaženje diferencijala dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Zamijenite z=a+R\,e^(it) i dz u integrand:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Izračunavamo dobiveni definitivni integral. Za n\ne1 dobivamo

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Jer e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, zato \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 za n\ne1 . Za n=1 dobivamo \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Rezultat zapisujemo u obliku formule:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Posebno, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Imajte na umu da ako krug C\colon |z-a|=R zaobiđe točku k puta, onda se argument (parametar) mijenja od 0 do 2\pi k ( k>0 , ako je krug u pozitivnom smjeru, tj. suprotno od kazaljke na satu, i k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Primjer 2.85. Izračunajte integral funkcije kompleksne varijable \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) put integracije ne prolazi točkom z=0 i ne zaobilazi je, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) put integracije ne prolazi kroz točku z=0 , već je obilazi n puta po krugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

▼ Rješenje

a) Ovaj integral - integral s promjenjivom gornjom granicom - definira analitičku funkciju s jednom vrijednošću u bilo kojoj jednostavno povezanoj domeni (vidi 2.45)). Pronađimo analitički izraz za ovu funkciju - antiderivaciju za f(z)=\frac(1)(z) . Rastavljanje realnog i imaginarnog dijela integrala \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(koristeći formulu (2.44)), lako je provjeriti da su integrandi integrala druge vrste totalni diferencijali i, prema tome, integral \frac(d\xi)(\xi) ne ovisi o obliku krivulja koja spaja točke z_1=1 i z . Izaberimo put koji se sastoji od segmenta osi Ox od točke z_1=1 do točke z_2=r , gdje je r=|z| , i lukovi l kružnice. povezivanje z_2 sa z (Sl. 2.45, a).

Integral pišemo kao zbroj: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Za izračun integrala po kružnom luku koristimo formulu (2.51), dok luk ima jednadžbu \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Dobivamo \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (to))\,dt=i\arg z; kao rezultat

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Desna strana jednakosti definira funkciju s jednom vrijednošću \ln z - glavnu vrijednost logaritma. Odgovor dobivamo u obrascu

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Imajte na umu da se dobivena jednakost može uzeti kao definicija funkcije s jednom vrijednošću \ln z u jednostavno povezanoj domeni - ravnini s presjekom duž negativne realne poluosi (-\infty;0] .

b) Integral se može napisati kao suma: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), gdje je c kružnica |z|=1 prijeđena u smjeru suprotnom od kazaljke na satu n puta, a l je krivulja koja spaja točke z_1 i z, a ne obuhvaća točku z=0 (Sl. 2.45,b).

Prvi član jednak je 2n\pi i (vidi primjer 2.84), drugi - \ln(z) - formula (2.53). Dobivamo rezultat \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Primjer 2.86. Izračunaj integral \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) duž gornjeg luka kružnice |z|=1 pod uvjetom: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Rješenje

Postavljanje vrijednosti funkcije \sqrt(z) na točki integracijske konture omogućuje odabir grana izraza s jednom vrijednošću \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\lijevo(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\desno)\!,~ k=0;1(vidi primjer 2.6). Rez se može nacrtati, na primjer, duž zamišljene negativne poluosi. Pošto za z=1 imamo \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, tada je u prvom slučaju odabrana grana s k=0, u drugom - s k=1 . Integrand na integracijskoj konturi je kontinuiran. Za rješavanje koristimo formulu (2.51), krivulja je dana jednadžbom z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Grana je definirana kada je k=0 , tj. iz z=e^(it) za integrand koji dobivamo \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Računamo integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \lijevo(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\desno)= 2(i-1).

b) Grana je određena kada je k=1, tj. od z=e^(it) za integrand koji imamo \sqrt(z)= e^(i \lijevo(\frac(t)(2)+\pi\desno))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Računamo integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

U teoriji i praksi, u primjenama integralnog računa funkcija kompleksne varijable, kada se proučava ponašanje funkcija u omeđenim područjima ili u blizini pojedinih točaka, integrali se razmatraju duž zatvorenih krivulja - granica područja, posebice, okoline točaka. Razmotrit ćemo integrale \oint\limits_(C)f(z)dz, gdje je f(z) analitički u nekom području s izuzetkom pojedinačnih točaka, C je granica područja ili unutarnja kontura u tom području.

Osnovni Cauchyjev teorem za jednostavnu konturu

Teorem 2.1 (Cauchyjev teorem za jednostavnu konturu). Ako je f(z) analitička u jednostavno povezanoj domeni, tada za bilo koju konturu C koja pripada ovoj domeni vrijedi jednakost

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Dokaz teorema je lako dobiti, temeljen na svojstvu analitičkih funkcija, prema kojem analitička funkcija ima derivacije bilo kojeg reda (vidi tvrdnju 2.28). Ovo svojstvo osigurava kontinuitet parcijalnih derivacija od \operatorname(Re)f(z) i \operatorname(Im)f(z), dakle, ako koristimo formulu (2.44), tada je lako vidjeti da su za svaki od integranda u krivuljastim integralima druge vrste zadovoljeni potpuni diferencijalni uvjeti, kao i Cauchy-Riemannovi uvjeti za analitičke funkcije. A integrali po zatvorenim krivuljama ukupnih diferencijala jednaki su nuli.

Imajte na umu da se sve dolje predstavljene teorijske tvrdnje u konačnici temelje na ovom važnom teoremu, uključujući gore spomenuto svojstvo analitičkih funkcija. Kako ne bi bilo sumnje u ispravnost prikaza, napominjemo da se teorem može dokazati bez pozivanja na postojanje njegovih izvodnica samo na temelju definicije analitičke funkcije.

Korolari iz teorema 2.1

1. Teorem vrijedi i ako je C granica područja D , a funkcija f(z) analitička u području i na granici, tj. u \overline(D) , budući da, prema definiciji, analitičnost u \overline(D) implicira analitičnost funkcije u nekom području B koje sadrži D~(B\uznemireno\nadcrtano(D)), dok će C biti unutarnja kontura u B .

2. Integrali po raznim krivuljama koje leže u jednostavno povezanom području analitičnosti funkcije i spajaju dvije točke tog područja međusobno su jednaki, tj. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, gdje su l_1 i l_2 proizvoljne krivulje koje povezuju točke z_1 i z_2 (slika 2.46).

Da bismo to dokazali, dovoljno je razmotriti konturu C koja se sastoji od krivulje l_1 (od točke z_1 do točke z_2 ) i krivulje l_2 (od točke z_2 do točke z_1 ). Svojstvo se može formulirati na sljedeći način. Integral analitičke funkcije ne ovisi o obliku integracijske krivulje koja povezuje dvije točke područja analitičnosti funkcije i ne napušta to područje.

Ovo opravdava gornju izjavu 2.25 o svojstvima integrala \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi te o postojanju antiderivacijske analitičke funkcije.

Cauchyjev teorem za složenu konturu

Teorem 2.2 (Cauchyjev teorem za kompleksnu konturu). Ako je funkcija f(z) analitička u višestruko povezanom području omeđenom kompleksnom konturom i na toj konturi, tada je integral po granici područja funkcije jednak nuli, tj. ako je C složena kontura - granica regije, zatim formula (2.54 ).

Kompleksna kontura C za (n+1) - povezano područje sastoji se od vanjske konture \Gamma i unutarnje - C_i,~i=1,2,\ldots,n; konture se ne sijeku u paru, obilazak granice je pozitivan (na sl. 2.47, n=3).

Za dokaz teorema 2.2 dovoljno je povući rezove u domeni (točkasta linija na sl. 2.47) tako da se dobiju dvije jednostavno povezane domene i koristiti teorem 2.1.

Posljedice iz teorema 2.2

1. Pod uvjetima iz teorema 2.2, integral po vanjskoj konturi jednak je zbroju integrala po unutarnjim; obilazak na svim konturama u jednom smjeru (na slici 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Ako je f(z) analitička u jednostavno povezanom području D i na granici područja, uz moguću iznimku točke a ovog područja, tada su integrali po raznim zatvorenim krivuljama koje leže u području D i ograničene područja koja sadrže točku a međusobno su jednaka (sl. 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Dokaz je očit jer se svaka takva kontura može smatrati unutarnjom granicom dvostruko povezane domene čija je vanjska granica granica domene D . U skladu s formulom (2.55), za n=1 svaki takav integral jednak je integralu preko granice D .

Usporedba formulacija teorema 2.2 i korolara 1 iz teorema 2.1 omogućuje nam generalizaciju koju ćemo napisati u obliku sljedeće tvrdnje.

Tvrdnja 2.27. Ako je f(z) analitička u D, tada je , gdje je C granica područja D (jednostavna ili složena kontura).

Cauchyjeva integralna formula

U sljedećem teoremu, za razliku od dva prethodna, razmatra se integral funkcije koja, budući da nije analitička u području omeđenom konturom integracije, ima poseban oblik.

Teorem 2.3. Ako je funkcija f(z) analitička u području D i na svojoj granici C , tada za bilo koju unutarnju točku a područja (a\u D) vrijedi jednakost

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Regija D može biti jednostavno ili višestruko povezana, a granica regije može biti jednostavna ili složena kontura.

Dokaz za slučaj jednostavno povezane domene temelji se na rezultatu teorema 2.1, a za višestruko povezanu, sveden je na slučaj jednostavno povezanih domena (kao u dokazu teorema 2.2) praveći rezove koji ne prolazi kroz točku a .

Treba primijetiti da točka a ne pripada granici područja i stoga je integrand kontinuiran na C, a integral postoji.

Teorem je od velikog primjenjivog interesa, naime formula (2.57) rješava tzv. problem rubne vrijednosti teorije funkcija: vrijednosti funkcije na granici domene koriste se za određivanje njezine vrijednosti u bilo kojoj unutarnjoj točki.

Napomena 2.11. Pod uvjetima teorema, integral \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definira analitičku funkciju u bilo kojoj točki z koja ne pripada konturi C , au točkama konačnog područja D , omeđenog konturom, jednaka je f(z) (prema formuli (2.57)), a izvan \overline(D) jednak je nuli zbog Cauchyjevih teorema. Ovaj integral, nazvan Cauchyjev integral, poseban je slučaj integrala Cauchyjevog tipa (2.48). Ovdje je kontura zatvorena, za razliku od proizvoljne u (2.48), a funkcija f(z) je analitička, za razliku od kontinuirane na l u (2.48). Za Cauchyjev integral, dakle, vrijedi tvrdnja 2.26, formulirana za integral Cauchyjevog tipa, o postojanju derivacija. Na temelju toga može se formulirati sljedeća tvrdnja.

Izjava 2.28

1. Analitička funkcija u bilo kojoj točki analitičnosti može se napisati kao integral

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Analitička funkcija ima izvodnice bilo kojeg reda za koje formula

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Formula (2.59) daje integralni prikaz derivacija analitičke funkcije.

Računanje integrala po zatvorenoj petlji

Razmotrit ćemo integrale oblika \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, gdje je funkcija \varphi(z) analitička u D , a \psi(z) je polinom koji nema nula na konturi C . Za izračunavanje integrala koriste se teoremi iz prethodnog predavanja i njihove korolare.

Pravilo 2.6. Pri računanju integrala oblika \oint\limits_(C)f(z)\,dz mogu se razlikovati četiri slučaja ovisno o prirodi (višestrukosti) nula polinoma \psi(z) i njihovom položaju u odnosu na konturu C.

1. U području D nema nula polinoma \psi(z). Zatim f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funkcija je analitička i, primjenom glavnog Cauchyjevog teorema, imamo rezultat \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. U području D postoji jedna jednostavna nula z=a polinoma \psi(z) . Zatim zapisujemo razlomak kao \frac(f(z))(z-a) , gdje je f(z) funkcija analitička u \overline(D) . Primjenom integralne formule dobivamo rezultat:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. U području D postoji jedna višestruka nula z=a polinoma \psi(z) (višestrukosti n). Zatim zapisujemo razlomak u obliku \frac(f(z))((z-a)^n), gdje je f(z) funkcija analitička u \overline(D) . Primjenom formule (2.59) dobivamo rezultat

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. U području D postoje dvije nule polinoma \psi(z)\dvotočka\,z_1=a i z_2=b . Zatim, koristeći korolar 1 iz teorema 2.2, zapisujemo integral u obliku \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , gdje je C proizvoljna kontura koja ograničava područje koje sadrži točku a .

▼ Rješenje

Promotrimo dvostruko povezano područje čija je jedna granica kontura C , a druga kružnica |z-a|=R . Po korolariji 2 teorema 2.2 (vidi (2.56)) imamo

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Uzimajući u obzir rezultat rješavanja primjera 2.84 (formula (2.52)), dobivamo odgovor \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Napominjemo da se rješenje može dobiti primjenom Cauchyjeve integralne formule s f(z)=1 . Konkretno, dobivamo \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, budući da kontura C jednom obilazi točku z=0. Ako kontura C obiđe točku z=0 k puta u pozitivnom (k>0) ili negativnom smjeru (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Primjer 2.88. Izračunati \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), gdje je l krivulja koja povezuje točke 1 i z , obilazeći ishodište jednom.

▼ Rješenje

Integrand je kontinuiran na krivulji - integral postoji. Za izračun koristimo rezultate prethodnog primjera i primjera 2.85. Da biste to učinili, razmotrite zatvorenu petlju, povezujući, na primjer, točku A s točkom 1 (Sl. 2.50). Put integracije od točke 1 do točke z kroz točku A sada se može prikazati kao da se sastoji od dvije krivulje - zatvorene konture C (krivulja BDEFAB ) i krivulje l_0 koja povezuje točke 1 i z kroz točku A\colon

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Koristeći rezultate primjera 2.85 i 2.87, dobivamo odgovor:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Bez mijenjanja geometrijske slike, možemo razmotriti slučaj kada krivulja obilazi ishodište n puta. Dobijte rezultat

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Rezultirajući izraz definira funkciju s više vrijednosti \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), put integracije ne prolazi kroz ishodište. Odabir grane izraza s više vrijednosti određuje se postavljanjem vrijednosti funkcije u nekoj točki.

Primjer 2.89. Pronaći \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), ako \ln1=4\pi i .

▼ Rješenje

Nalazimo nulte točke nazivnika - singularne točke integranda. Ovo su točkice z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Zatim morate odrediti položaj točaka u odnosu na konturu integracije. U oba slučaja niti jedna točka nije uključena u područje omeđeno konturom. Ovo se može provjeriti pomoću crteža. Obje konture su kružnice, središte prve je z_0=2+i, a radijus je R=2 ; središte drugog z_0=-2i i R=1 . Pripada li točka području moguće je odrediti i na drugačiji način, naime odrediti njezinu udaljenost od središta kruga i usporediti je s vrijednošću polumjera. Na primjer, za točku z_2=4i ova udaljenost je jednaka |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), koji je veći od polumjera (\sqrt(13)>2) , pa z_2=4i ne pripada krugu |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Primjer 2.91. Izračunajte u sljedećim slučajevima postavljanja konture C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2 .

▼ Rješenje

Raspravljajući kao u prethodnom primjeru, nalazimo da se u oba slučaja samo jedna od singularnih točaka z_1=0 nalazi unutar kružnica. Stoga, primjenom klauzule 2 pravila 2.6 (Cauchyjeva integralna formula), zapisujemo integrand kao razlomak \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), gdje je brojnik f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16) je funkcija koja je analitička u navedenim krugovima. Odgovor za oba slučaja je isti:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \lijevo.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\desno|_(z=0)=0.

Primjer 2.92. Izračunati \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz u sljedećim slučajevima postavljanja konture C\colon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2 .

▼ Rješenje

Integracijske konture su krugovi, kao gore, au slučaju "a" središte je u točki z_0=-4i,~R=2, u slučaju "b" - u točki z_0=1-3i, ~R=2 .nU oba slučaja jedna točka z_0=-4i ulazi unutar odgovarajućih kružnica. Primjenom klauzule 2 pravila 2.6, zapisujemo integrand u obliku \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), gdje je brojnik f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) je analitička funkcija u domenama koje razmatramo. Primjenom integralne formule dobivamo odgovor:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \lijevo.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.

Primjer 2.93. Izračunajte integral u sljedećim slučajevima zadavanja konture: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2 .

▼ Rješenje

Naći singularne točke integranda - nule nazivnika z_1=i,~z_2=-2 . Određujemo pripadnost točaka pripadajućim područjima. U slučaju "a" u krug |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

U slučaju "b" u krug |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), gdje f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- analitička funkcija u krugu |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Primjer 2.94. Izračunaj integral \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) u sljedećim slučajevima dodjele konture: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3 .

▼ Rješenje

a) U krugu |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) i primijeni klauzulu 3 pravila 2.6 za m=2 i a=i . Računamo integral:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \lijevo.(2\pi i \lijevo(\frac(e^z)(z+ 2)\desno)")\desno|_(z=i)= \lijevo.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\desno|_(z=i)= \lijevo.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\desno|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) Kružnici |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

gdje svaka od kontura C_1 i C_2 pokriva samo jednu od točaka. Konkretno, kao konturu C_1 možete uzeti krug iz prethodnog slučaja "a"; C_2 - krug iz primjera 2.93 p. "b", tj. možete koristiti rezultate. Zapiši odgovor:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigl).

Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!

Teorijski minimum
Često postoje slučajevi kada je izračun određenih integrala metodama kompleksne analize bolji od metoda
analiza materijala. Razlozi mogu biti vrlo različiti. Metode TFCT mogu, u nekim slučajevima, uvelike smanjiti proračune.
Ponekad se Newton-Leibnizova formula ne može koristiti, jer neodređeni integral nije izražen u elementarnim funkcijama.
Metode diferencijacije i integracije s obzirom na parametar zahtijevaju vrlo pažljivo obrazloženje svoje primjenjivosti, a parametar ponekad
mora se unijeti umjetno.
Obično metode složene analize izračunavaju nepravilne integrale - preko beskonačnog intervala ili iz neograničenih na segmentu
integracija funkcija. Opća ideja je sljedeća. Formira se konturni integral. Integral nad nekim dijelovima konture trebao bi
podudarati sa željenim određenim integralom - barem do konstantnog faktora. Integrali preko ostatka konture
treba izračunati. Tada se primjenjuje teorem o glavnom ostatku prema kojem
,
gdje su singularne točke funkcije smještene unutar integracijske konture. Dakle, kontura je integralna s jedan
s druge strane, ispada da je izražen kroz željeni određeni integral, a s druge strane, izračunava se pomoću ostataka (što je obično
ne predstavlja veće probleme).
Glavna poteškoća je izbor integracijske konture. Sugerira ga, u načelu, integrand. Međutim, bez dovoljno
praksi, teško je svladati ovu metodu, pa će stoga biti dano dosta primjera. Najčešće korištene konture sastoje se od
elementi preko kojih je prikladno integrirati (ravne linije, lukovi krugova).

integracija u kompleksnoj ravni
Primjer 1 Fresnelovi integrali.
Izračunajmo integrale , .
Lako je pogoditi da je prvi korak prijelaz na eksponencijalni oblik, koji uključuje razmatranje integrala.
Potrebno je samo odabrati integracijsku konturu. Jasno je da poluos mora ući u konturu. Pravi i
imaginarni dijelovi integrala nad ovim dijelom konture su Fresnelovi integrali. Nadalje, izračunati konturni integral nad strukturom
integrand nalikuje Euler-Poissonovom integralu, čija je vrijednost poznata. Ali da bismo dobili ovaj integral, trebamo staviti
, zatim . A takav prikaz varijable je integracija duž pravca koji prolazi kroz točku
pod kutom prema realnoj osi.
Dakle, postoje dva elementa konture. Da bismo zatvorili konturu, pretpostavimo da dva odabrana dijela konture imaju konačnu duljinu i zatvorimo
kontura luka kruga polumjera . Kasnije ćemo pustiti da ovaj radijus ide u beskonačnost. Rezultat je onaj prikazan na sl. 1 krug.

(1)
Unutar integracijske konture integrand nema singularnih točaka, stoga je integral po cijeloj konturi jednak nuli.

.
U limitu je ovaj integral jednak nuli.
Na parceli, možete napisati, dakle
.
Dobivene rezultate zamijenimo u (1) i prijeđemo na limit:

Razdvajanjem realnog i imaginarnog dijela nalazimo, uzimajući u obzir vrijednost Euler-Poissonovog integrala
,
.
Primjer 2 Izbor integracijske konture koja unutar sebe sadrži singularnu točku integranda.
Izračunajmo integral sličan onom razmatranom u prvom primjeru: , gdje je .
Izračunat ćemo integral. Odabrat ćemo konturu sličnu onoj korištenoj u prvom primjeru. Samo sad nema svrhe
svesti izračun na Euler-Poissonov integral. Ovdje napominjemo da prilikom zamjene integrand se neće promijeniti.
Ovo razmatranje nas navodi da odaberemo kosu ravnu liniju integracijske konture tako da čini kut sa stvarnom osi.

Pri zapisivanju konturnog integrala
(2)
integral po kružnom luku teži nuli u granici. Na web mjestu možete pisati :
.
Dakle, iz (2), kada prelazimo na limit, nalazimo
.
Ovdje se uzima u obzir da unutar integracijske konture integrand ima jednostavan pol.

Odavde nalazimo željeni integral:
.
Primjer 3 Zatvorite integracijsku konturu kroz gornju ili donju poluravninu?
Koristeći sljedeći prilično jednostavan integral, demonstriramo karakterističan detalj izbora integracijske konture. Izračunaj
integralni .
Naime, željeni integral funkcije računa se duž realne osi na kojoj integrand nema br
značajke. Ostaje samo zatvoriti integracijsku petlju. Budući da funkcija pod integralom ima samo dvije konačne singularne točke, onda
konturu možete zatvoriti polukrugom, čiji radijus treba težiti beskonačnosti. I tu se postavlja pitanje kako
mora se odabrati polukrug: u gornjoj ili donjoj poluravnini (vidi sl. 3 a, b). Da bismo to razumjeli, napišemo integral preko polukruga
u oba slučaja:

a)
b)
Kao što vidite, ponašanje integrala u limitu određeno je faktorom .
U slučaju "a", i stoga će granica biti konačna pod uvjetom .
U slučaju "b" - naprotiv - , i stoga će granica biti konačna pod uvjetom .
Ovo sugerira da je način na koji je kontura zatvorena određen predznakom parametra. Ako je pozitivan, onda
kontura se zatvara kroz gornju poluravninu, inače - kroz donju. Razmotrimo ove slučajeve odvojeno.
a)
Polukružni integral u limitu, kao što smo vidjeli, nestaje. Unutar konture (vidi sl. 3a) je
posebna točka, dakle

b)
Slično, korištenjem integracije preko konture prikazane na sl. 3b,

Primjedba . Može se činiti čudnim da se integral kompleksne funkcije pokazao stvarnim. Međutim, to je lako razumjeti ako je u izvorniku
odvojiti realne i imaginarne dijelove integrala. U imaginarnom dijelu ispod integrala bit će neparna funkcija, a integral se izračunava u simetričnom
granice. Oni. imaginarni dio nestaje, što se i dogodilo u našem proračunu.
Primjer 4 Zaobilaženje singularnih točaka integranda pri konstruiranju integracijske konture.
U razmatranim primjerima integrand ili nije imao singularne točke, ili su bile unutar integracijske konture. Međutim
može biti zgodno odabrati konturu na takav način da singularne točke funkcije padaju na nju. Takve točke moraju se zaobići. Premosnica se izvodi
duž kruga malog radijusa, koji u budućnosti jednostavno juri prema nuli. Kao primjer izračunavamo integral .
Može se činiti da integrand nema konačne singularne točke, budući da je točka uklonjiva singularnost.
Ali da biste izračunali integral, morate napraviti konturni integral druge funkcije (kako biste osigurali da integral nestaje
polukrug koji se zatvara u limesu beskonačnog radijusa): . Ovdje integrand ima singularitet pola
u točki .

Stoga je potrebna još jedna integracijska petlja (vidi sliku 4). Razlikuje se od Sl. 3a samo time što singularna točka obilazi polukružno,
čiji radijus bi trebao težiti nuli u budućnosti.
. (3)
Odmah napominjemo da integral preko velikog polukruga teži nuli u granici njegovog beskonačno velikog polumjera, a unutar konture
nema singularnih točaka, pa je cijeli konturni integral nula. Zatim, razmotrite prvi i treći izraz u (3):

.
Sada pišemo integral preko malog polukruga, s obzirom da je na njemu. Također ćemo odmah uzeti u obzir malen polumjer polukruga:

Članovi koji teže nuli u limitu nisu ispisani.
Skupljamo pojmove u (3) - osim pojma koji se odnosi na veliki polukrug.

Kao što se može vidjeti, članovi koji se okreću u beskonačnost na međusobno su se poništili. Iznajmljivanje i , imamo
.
Primjedba . Na primjer, Dirichletov integral izračunava se na potpuno isti način (podsjećamo da se razlikuje od upravo razmatranog po odsutnosti
kvadrati u brojniku i nazivniku).
Primjeri izračunavanja određenih integrala pomoću konture
integracija u kompleksnoj ravnini (nastavak)
Primjer 5 Integrand ima beskonačan broj singularnih točaka.
U mnogim je slučajevima izbor konture kompliciran činjenicom da integrand ima beskonačan broj singularnih točaka. U ovom slučaju može
ispada da će zbroj ostataka zapravo biti niz čiju ćemo konvergenciju još morati dokazati ako ga zbrojimo
ne radi (a zbrajanje niza općenito je zaseban prilično kompliciran zadatak). Kao primjer, izračunajmo integral .
Jasno je da je dio konture stvarna os. Na njemu funkcija nema značajki. Razgovarajmo o tome kako zatvoriti petlju. Ne morate odabrati polukrug.
Poanta je da hiperbolički kosinus ima skup jednostavnih nula . Dakle, unutar konture zatvorene polukrugom
u granici beskonačno velikog radijusa padat će beskonačno mnogo singularnih točaka. Kako drugačije možete zatvoriti petlju? Primijeti da .
Iz ovoga slijedi da se u integracijsku konturu može pokušati uključiti segment paralelan s realnom osi. Petlja će se zatvoriti s dva
okomite segmente, koji su u granici beskonačno udaljeni od zamišljene osi (vidi sl. 5).

Na okomitim dijelovima konture . Hiperbolički kosinus raste eksponencijalno s rastom argumenta (modulo), dakle
u limitu, integrali po vertikalnim presjecima teže nuli.

Dakle, u granicama
.
S druge strane, unutar konture integracije nalaze se dvije singularne točke integranda. odbici u njima
,
.
Posljedično,
.
Primjer 6 Integrand određenog i konturnog integrala su različiti.
Postoji vrlo važan slučaj izračunavanja određenih integrala metodom konturne integracije. Do sada integrand
konturna integralna funkcija ili se jednostavno poklopila s integrandom određenog integrala, ili je prešla u njega odvajanjem
stvarni ili imaginarni dio. Ali nije sve uvijek tako jednostavno. Izračunajmo integral.
Što se tiče odabira konture, nema posebnih problema. Iako funkcija ispod integrala ima beskonačno mnogo jednostavnih polova, već znamo
iz iskustva prethodnog primjera, da je potrebna pravokutna kontura, jer . Jedina razlika u odnosu na primjer 5 je ta
da pol integranda koji treba zaobići padne na pravac. Stoga biramo prikazanu
na sl. 6 krug.

Razmotrimo konturni integral. Nećemo ga slikati na svakom dijelu konture, ograničavajući se na horizontalu
parcele. Integral po realnoj osi u limesu teži željenom. Zapisujemo integrale preko preostalih odjeljaka:
.
U limitu, a prva dva integrala dat će , zatim će ući u konturni integral u zbroju
sa željenim, koji se razlikuje u predznaku. Kao rezultat toga, željeni definitivni integral će ispasti iz konturnog integrala. To znači da
integrand je pogrešno odabran. Razmotrimo drugi integral: . Ostavite obris isti.

Za početak ponovno razmotrimo integrale po horizontalnim presjecima. Integral po realnoj osi postaje .
Ovaj integral nestaje kao integral neparne funkcije unutar simetričnih granica.

U limitu, prve dvije zagrade također nestaju, ponovno tvoreći integrale neparnih funkcija
unutar simetričnih granica. Ali zadnja zagrada, do faktora, dat će željeni integral. Ima smisla nastaviti s izračunom.
Slično primjeru 5, integrali po okomitim presjecima konture teže nuli na . Ostaje pronaći integral
u polukrugu gdje . Kao u primjeru 4, izračunavamo integral, uzimajući u obzir malenost:
.
Dakle, imamo sve da zapišemo konturni integral u limitu:

S druge strane, pokazalo se da je pol integranda unutar integracijske konture

1. Osnovni pojmovi i tvrdnje

Teorem 5.1(dovoljan uvjet za postojanje integrala funkcije kompleksne varijable). Neka L je jednostavna glatka krivulja na , f(z)=u(x;g)+i×v(x;g) kontinuirano je uključen L. Tada postoji i vrijedi jednakost:

Teorem 5.2. Neka L je jednostavna glatka krivulja, dana parametarski: L:z(t)=x(t)+i×y(t), a£ t£ b, funkcija f(z) kontinuirano je uključen L. Tada vrijedi jednakost:

(gdje ). (5.2)

Teorem 5.3. Ako a f(z) analitički u domeni D funkcija, dakle - analitička funkcija i F"(z)=f(z), gdje se integral uzima po bilo kojoj komadično glatkoj krivulji koja povezuje točke z 0 i z.

- Newton-Leibnizova formula.

2. Metode izračunavanja integrala

Prvi način. Izračunavanje integrala kontinuirane funkcije svođenjem na krivocrtne integrale funkcija realnih varijabli (primjena formule (5.1)).

1. Pronađite Re f=u, im f=v.

2. Zapišite integrand f(z)dz u obliku djela ( u+iv)(dx+idy)=udx-vdy+ja(udy+vdx).

3. Izračunati krivocrtne integrale oblika prema pravilima za izračunavanje krivocrtnih integrala druge vrste.

Primjer 5.1 . Izračunati duž parabole y=x 2 od točke z 1 =0 do točke z 2 =1+ja

■ Pronađite realne i imaginarne dijelove integranda. Da bismo to učinili, zamijenimo u izraz za f(z) z=x+iy:

Jer y=x 2, dakle dy= 2x, . Zato

Drugi način. Izračun integrala iz kontinuirane funkcije svođenjem na određeni integral u slučaju parametarske specifikacije puta integracije (pomoću formule (5.2)).

1. Napišite parametarsku jednadžbu krivulje z=z(t) i odrediti granice integracije: t=a odgovara početnoj točki puta integracije, t=b- konačni.

2. Odredite diferencijal funkcije kompleksnih vrijednosti z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Zamjena z(t) u integrand transformirajte integral u oblik: .

4. Izračunajte dobiveni određeni integral.

Primjer 5.2 . Izračunajte gdje IZ- kružni luk, .

■ Parametarska jednadžba ove krivulje: , 0 £ j£ str. Zatim . Dobivamo

Primjer 5.3 . Izračunajte gdje IZ- gornji luk kružnice pod uvjetom: a), b).

■ Postavljanje vrijednosti funkcije u integracijskoj petlji omogućuje odabir grana izraza s jednom vrijednošću , k= 0,1. Budući da imamo, k= 0.1, tada u prvom slučaju odabiremo granu s k= 0, au drugom - sa k= 1.

Integrand na integracijskoj konturi je kontinuiran. Parametarska jednadžba ove krivulje: , 0 £ j£ str. Zatim .

a) Grana se određuje kada k= 0, odnosno iz dobivamo .

b) Grana se određuje kada k=1, odnosno iz dobivamo .

Treći način. Izračunavanje integrala analitičkih funkcija u jednostavno povezanim područjima (primjena formule (5.3)).

Pronađite antiderivat F(z) korištenjem svojstava integrala, tabelarnih integrala i metoda poznatih iz realne analize. Primijenite Newton-Leibnizovu formulu: .

Primjer 5.4 . Izračunati , gdje IZ- ravno AB, z A=1-i,z B=2+i.

■ Budući da integrand - analitički na cijeloj kompleksnoj ravnini, tada primjenjujemo Newton-Leibnizovu formulu

3. Osnovni teoremi integralnog računa

funkcije kompleksne varijable

Teorem 5.4 (Cauchy). Ako a f(z G funkcija, pa gdje L- bilo koja zatvorena petlja koja leži u G.

Cauchyjev teorem također vrijedi za višestruko povezanu domenu.

Teorem 5.5. Neka funkcija f(z) je analitička u jednostavno povezanoj domeni D, L- proizvoljna zatvorena komadno-glatka kontura koja leži u D. Zatim za bilo koju točku z 0 koji leži unutar konture L vrijedi formula:

, (5.4)

gdje L teče u pozitivnom smjeru.

Formula (5.4) se zove integralna Cauchyjeva formula . Izražava vrijednosti analitičke funkcije unutar konture u smislu njezinih vrijednosti na konturi.

Teorem 5.6. Bilo koja funkcija f(z), analitički u domeni D, ima izvedenice svih narudžbi na ovoj domeni i za " z 0 Î D ispravna formula je:

, (5.5)

gdje L je proizvoljna po komadima glatka zatvorena kontura koja u potpunosti leži u D i koji sadrži točku z 0 .

4. Izračunavanje integrala po zatvorenoj petlji

od funkcija kompleksne varijable

Razmotrimo integrale oblika , gdje je funkcija j(z) je analitička u , i g(z) je polinom koji nema nule na zatvorenoj konturi IZ.

Pravilo. Pri računanju integrala oblika, ovisno o višestrukosti nula polinoma g(z) i njihov položaj u odnosu na konturu IZ Mogu se razlikovati 4 slučaja.

1. Na terenu D nema polinomskih nula g(z). Tada je funkcija analitička i prema Cauchyjevom teoremu.

2. U području D postoji jedna jednostavna nula z=z 0 polinom g(z). Zatim zapisujemo razlomak kao , gdje f(z) je analitička funkcija u Primjenom Cauchyjeve integralne formule (5.4), dobivamo

. (5.6)

3. U području D nalazi jedan višekratnik nule z=z 0 polinom g(z) (višestrukost n). Zatim zapisujemo razlomak kao , gdje f(z) je analitička funkcija u Primjenom formule (5.5) dobivamo

4. Na području D postoje dvije nule polinoma g(z) z=z 1 i z=z 2. Zatim integrand predstavljamo kao zbroj dvaju razlomaka, a integral kao zbroj dvaju integrala od kojih se svaki izračunava prema točki 2. ili točki 3.

Primjer 5.5 . Izračunajte gdje IZ- krug.

■ Nalazimo nulte točke nazivnika - singularne točke integranda . Ovo su bodovi. Zatim određujemo položaj točaka u odnosu na konturu integracije: nijedna točka nije uključena u područje omeđeno krugom sa središtem u točki i polumjerom 2 (to jest, imamo prvi slučaj). To se može provjeriti crtanjem ili određivanjem udaljenosti svake od točaka do središta kruga i usporedbom s polumjerom. Na primjer, za , Stoga ne pripada krugu.

Zatim funkcija analitički u krugu , te po Cauchyjevom teoremu .

Imajte na umu da je navedeni integral jednak nuli za bilo koju drugu konturu koja ograničava područje koje ne uključuje nijednu od nula nazivnika. ■

Primjer 5.6 . Izračunajte gdje IZ- krug.

■ Raspravljajući kao u primjeru 5.5, nalazimo da se samo jedna od nula nazivnika nalazi u krugu (drugi slučaj). Stoga integrand pišemo u obliku , funkcija analitički u krugu . Tada po formuli (5.6)

.■

Primjer 5.7 . Izračunati , gdje IZ- krug.