Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu s konstantni koeficijenti:
(1) .
Njegovo rješenje može se dobiti pomoću uobičajena metoda snižavanje narudžbe.

Međutim, lakše je odmah dobiti temeljni sustav n linearno neovisna rješenja i na temelju toga napraviti opće rješenje. U tom se slučaju cijeli postupak rješavanja svodi na sljedeće korake.

Tražimo rješenje jednadžbe (1) u obliku . dobivamo karakteristična jednadžba :
(2) .
Ima n korijena. Rješavamo jednadžbu (2) i pronalazimo njezine korijene. Tada se karakteristična jednadžba (2) može prikazati u sljedećem obliku:
(3) .
Svaki korijen odgovara jednom od linearno neovisnih rješenja temeljnog sustava rješenja jednadžbe (1). Tada opće rješenje izvorne jednadžbe (1) ima oblik:
(4) .

Pravi korijeni

Razmotrite stvarne korijene. Neka korijen bude jedan. Odnosno, faktor ulazi u karakterističnu jednadžbu (3) samo jednom. Tada ovaj korijen odgovara rješenju
.

Neka je višestruki korijen višestrukosti p. To je
. U ovom slučaju, množitelj dolazi u p puta:
.
Ovi višestruki (jednaki) korijeni odgovaraju p linearno neovisnim rješenjima izvorne jednadžbe (1):
; ; ; ...; .

Složeni korijeni

Razmotrite složene korijene. Složeni korijen izražavamo u terminima stvarnih i imaginarnih dijelova:
.
Budući da su koeficijenti izvornika realni, tada pored korijena postoji složeni konjugirani korijen
.

Neka je kompleksni korijen jednostruk. Tada par korijena odgovara dvama linearno neovisnim rješenjima:
; .

Neka je višestruki kompleksni korijen višestrukosti p. Tada je kompleksna konjugirana vrijednost također korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti p i množitelj ulazi p puta:
.
Ovaj 2p korijeni odgovaraju 2p linearno neovisna rješenja:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Nakon temeljni sustav pronađena su linearno neovisna rješenja, ali dobivamo opće rješenje .

Primjeri rješenja problema

Primjer 1

Riješite jednadžbu:
.

Riješenje

.
Preobrazimo ga:
;
;
.

Razmotrimo korijene ove jednadžbe. Dobili smo četiri kompleksna korijena višestrukosti 2:
; .
Oni odgovaraju četirima linearno neovisnim rješenjima izvorne jednadžbe:
; ; ; .

Također imamo tri stvarna korijena višestrukosti 3:
.
Oni odgovaraju trima linearno neovisnim rješenjima:
; ; .

Opće rješenje izvorne jednadžbe ima oblik:
.

Odgovor

Primjer 2

riješiti jednadžbu

Riješenje

Traženje rješenja u obliku . Sastavljamo karakterističnu jednadžbu:
.
Rješavamo kvadratnu jednadžbu.
.

Imamo dva složena korijena:
.
Oni odgovaraju dvama linearno neovisnim rješenjima:
.
Opće rješenje jednadžbe:
.

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda naziva se jednadžba oblika

y"" + str(x)y" + q(x)y = f(x) ,

gdje y je funkcija koju treba pronaći, i str(x) , q(x) i f(x) su kontinuirane funkcije na nekom intervalu ( a, b) .

Ako je desna strana jednadžbe nula ( f(x) = 0 ), tada se jednadžba zove linearna homogena jednadžba . Praktični dio ove lekcije bit će uglavnom posvećen takvim jednadžbama. Ako desna strana jednadžbe nije jednaka nuli ( f(x) ≠ 0 ), tada se jednadžba naziva .

U zadacima od nas se traži da riješimo jednadžbu s obzirom na y"" :

y"" = −str(x)y" − q(x)y + f(x) .

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda imaju jedinstveno rješenje Cauchy problemi .

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda i njezino rješenje

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda:

y"" + str(x)y" + q(x)y = 0 .

Ako je a y1 (x) i y2 (x) su posebna rješenja ove jednadžbe, tada su istinite sljedeće tvrdnje:

1) y1 (x) + y 2 (x) - je također rješenje ove jednadžbe;

2) Cy1 (x) , gdje C- proizvoljna konstanta (konstanta), također je rješenje ove jednadžbe.

Iz ove dvije tvrdnje proizlazi da je funkcija

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

je također rješenje ove jednadžbe.

Postavlja se pošteno pitanje: je li ovo rješenje opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda , odnosno takvo rješenje u kojem se za razne vrijednosti C1 i C2 je li moguće dobiti sva moguća rješenja jednadžbe?

Odgovor na ovo pitanje je: može, ali pod određenim uvjetima. to uvjet o tome kakva svojstva trebaju imati pojedina rješenja y1 (x) i y2 (x) .

I ovo stanje se zove stanje linearna neovisnost privatne odluke.

Teorema. Funkcija C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) je opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ako su funkcije y1 (x) i y2 (x) linearno su neovisni.

Definicija. Funkcije y1 (x) i y2 (x) nazivaju se linearno neovisnim ako je njihov omjer konstanta različita od nule:

y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .

Međutim, često je vrlo teško utvrditi jesu li te funkcije linearno neovisne po definiciji. Postoji način da se uspostavi linearna neovisnost pomoću determinante Wronskyja W(x) :

Ako Wronskyjeva determinanta nije jednaka nuli, tada su rješenja linearno neovisna . Ako je determinanta Wronskyja jednaka nuli, tada su rješenja linearno ovisna.

Primjer 1 Naći opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe.

Riješenje. Integriramo dvaput i, kao što je lako vidjeti, da bi razlika druge derivacije funkcije i same funkcije bila jednaka nuli, rješenja moraju biti povezana s eksponentom čija je derivacija jednaka samoj sebi. Odnosno, privatna rješenja su i .

Budući da je odrednica Vronskog

nije jednako nuli, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga se opće rješenje ove jednadžbe može zapisati kao

.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima: teorija i praksa

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva se jednadžba oblika

y"" + py" + qy = 0 ,

gdje str i q su konstantne vrijednosti.

Na činjenicu da se radi o jednadžbi drugog reda ukazuje prisutnost druge derivacije željene funkcije, a njezinu homogenost označava nula na desnoj strani. Već spomenute veličine nazivaju se konstantnim koeficijentom.

Do riješiti linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima , prvo morate riješiti takozvanu karakterističnu jednadžbu oblika

k² + pq + q = 0 ,

što je, kao što se vidi, obična kvadratna jednadžba.

Ovisno o rješenju karakteristične jednadžbe, moguće su tri različite opcije rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima , koje ćemo sada analizirati. Radi potpune sigurnosti, pretpostavit ćemo da su sva pojedina rješenja testirana determinantom Vronskog i u svim slučajevima ona nije jednaka nuli. Sumnjači to, međutim, mogu sami provjeriti.

Korijeni karakteristične jednadžbe - stvarni i različiti

Drugim riječima, . U ovom slučaju rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik

.

Primjer 2. Riješite linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu

.

Primjer 3. Riješite linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu

.

Riješenje. Karakteristična jednadžba ima oblik , svoje korijene i realne su i različite. Odgovarajuća posebna rješenja jednadžbe: i . Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik

.

Korijeni karakteristične jednadžbe - realni i jednaki

To je, . U ovom slučaju rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik

.

Primjer 4. Riješite linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu

.

Riješenje. Karakteristična jednadžba Ima jednakih korijena. Odgovarajuća posebna rješenja jednadžbe: i . Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik

Primjer 5. Riješite linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu

.

Riješenje. Karakteristična jednadžba ima jednake korijene. Odgovarajuća posebna rješenja jednadžbe: i . Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik

Obrazovna ustanova „Bjeloruska država

poljoprivredna akademija"

Odsjek za višu matematiku

Smjernice

na studiju teme "Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda" od strane studenata računovodstva dopisnog oblika obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013. (monografija).

Linearne diferencijalne jednadžbe

drugog reda s konstantomkoeficijenti

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva se jednadžba oblika

oni. jednadžba koja sadrži željenu funkciju i njezine derivacije samo do prvog stupnja i ne sadrži njihove produkte. U ovoj jednadžbi i
su neki brojevi i funkcija
dano na nekom intervalu
.

Ako je a
na intervalu
, tada jednadžba (1) poprima oblik

, (2)

i nazvao linearni homogeni . Inače, jednadžba (1) se zove linearni nehomogen .

Razmotrimo složenu funkciju

, (3)

gdje
i
- stvarne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), onda je realni dio
, i imaginarni dio
rješenja
odvojeno su rješenja iste homogene jednadžbe. Dakle, svaki kompletno rješenje jednadžba (2) generira dva realna rješenja ove jednadžbe.

Rješenja homogene linearne jednadžbe imaju sljedeća svojstva:

Ako je a je rješenje jednadžbe (2), zatim funkcija
, gdje IZ- proizvoljna konstanta, također će biti rješenje jednadžbe (2);

Ako je a i su rješenja jednadžbe (2), zatim funkcija
također će biti rješenje jednadžbe (2);

Ako je a i su rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija
također će biti rješenje jednadžbe (2), gdje i
su proizvoljne konstante.

Funkcije
i
pozvao linearno ovisan na intervalu
ako postoje takvi brojevi i
, koji u isto vrijeme nisu jednaki nuli, da je na ovom intervalu jednakost

Ako jednakost (4) vrijedi samo kada
i
, zatim funkcije
i
pozvao linearno neovisno na intervalu
.

Primjer 1 . Funkcije
i
su linearno ovisni, budući da
duž cijelog brojevnog pravca. U ovom primjeru
.

Primjer 2 . Funkcije
i
linearno su neovisni o bilo kojem intervalu, budući da je jednakost
moguće samo ako i
, i
.

Zgrada zajedničko rješenje linearni homogeni

jednadžbe

Da biste pronašli opće rješenje jednadžbe (2), morate pronaći dva njena linearno neovisna rješenja i . Linearna kombinacija ovih rješenja
, gdje i
su proizvoljne konstante i dat će opće rješenje linearne homogene jednadžbe.

Linearno neovisna rješenja jednadžbe (2) tražit ćemo u obliku

, (5)

gdje - neki broj. Zatim
,
. Zamijenimo ove izraze u jednadžbu (2):

ili
.

Jer
, onda
. Dakle, funkcija
bit će rješenje jednadžbe (2) ako će zadovoljiti jednadžbu

. (6)

Jednadžba (6) se zove karakteristična jednadžba za jednadžbu (2). Ova jednadžba je algebarska kvadratna jednadžba.

Neka i su korijeni ove jednadžbe. Oni mogu biti ili stvarni i različiti, ili složeni, ili stvarni i jednaki. Razmotrimo ove slučajeve.

Pustite korijenje i karakteristične jednadžbe su stvarne i različite. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije
i
. Ova rješenja su linearno neovisna, budući da je jednakost
može se izvesti samo kada
, i
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik

,

gdje i
su proizvoljne konstante.

Primjer 3
.

Riješenje . Karakteristična jednadžba za ovaj diferencijal bit će
. Rješavanje kvadratna jednadžba, pronaći svoje korijene
i
. Funkcije
i
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe ima oblik
.

kompleksni broj naziva se izrazom oblika
, gdje i - realni brojevi, a
naziva se imaginarna jedinica. Ako je a
, zatim broj
naziva se čisto imaginarnim. Ako
, zatim broj
identificira se sa stvarnim brojem .

Broj naziva se realni dio kompleksnog broja, i - imaginarni dio. Ako se dva kompleksna broja razlikuju jedan od drugog samo u predznaku imaginarnog dijela, tada se nazivaju konjugiranim:
,
.

Primjer 4 . Riješite kvadratnu jednadžbu
.

Riješenje . Diskriminanta jednadžbe
. Zatim. Također,
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe složeni, t.j.
,
, gdje
. Rješenja jednadžbe (2) mogu se zapisati kao
,
ili
,
. Prema Eulerovim formulama

,
.

Zatim,. Kao što je poznato, ako je složena funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja te jednadžbe i stvarni i imaginarni dio ove funkcije. Dakle, rješenja jednadžbe (2) bit će funkcije
i
. Budući da je jednakost

može se izvesti samo ako
i
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik

gdje i
su proizvoljne konstante.

Primjer 5 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Jednadžba
karakterističan je za dati diferencijal. Rješavamo ga i dobivamo složene korijene
,
. Funkcije
i
su linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe ima oblik.

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki, t.j.
. Tada su rješenja jednadžbe (2) funkcije
i
. Ova rješenja su linearno neovisna, budući da izraz može biti identično jednak nuli samo kada
i
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.

Primjer 6 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Karakteristična jednadžba
ima jednake korijene
. U ovom slučaju, linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije
i
. Opće rješenje ima oblik
.

Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima

i posebna desna strana

Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako je zbroju općeg rješenja
odgovarajuća homogena jednadžba i bilo koje posebno rješenje
nehomogena jednadžba:
.

U nekim slučajevima, određeno rješenje nehomogene jednadžbe može se jednostavno pronaći oblikom desne strane
jednadžbe (1). Razmotrimo slučajeve kada je to moguće.

oni. desna strana nehomogene jednadžbe je polinom stupnja m. Ako je a
nije korijen karakteristične jednadžbe, onda se određeno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku polinoma stupnja m, tj.

Izgledi
određuju se u procesu pronalaženja određenog rješenja.

Ako
je korijen karakteristične jednadžbe, onda je potrebno određeno rješenje nehomogene jednadžbe tražiti u obliku

Primjer 7 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Odgovarajuća homogena jednadžba za zadana jednadžba je
. Njegova karakteristična jednadžba
ima korijene
i
. Opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik
.

Jer
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada ćemo tražiti određeno rješenje nehomogene jednadžbe u obliku funkcije
. Pronađite derivacije ove funkcije
,
i zamijeni ih u ovu jednadžbu:

ili . Izjednačite koeficijente na i besplatni članovi:
Odlučujući ovaj sustav, dobivamo
,
. Tada određeno rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik
, a opće rješenje ove nehomogene jednadžbe bit će zbroj općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe i posebnog rješenja nehomogene jednadžbe:
.

Neka ne homogena jednadžba ima oblik

Ako je a
nije korijen karakteristične jednadžbe, onda je potrebno posebno rješenje nehomogene jednadžbe tražiti u obliku. Ako
je korijen jednadžbe karakteristične višestrukosti k (k=1 ili k=2), tada će u ovom slučaju određeno rješenje nehomogene jednadžbe imati oblik .

Primjer 8 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Karakteristična jednadžba za odgovarajuću homogenu jednadžbu ima oblik
. svoje korijene
,
. U ovom slučaju, opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe zapisuje se kao
.

Budući da broj 3 nije korijen karakteristične jednadžbe, potrebno je posebno rješenje nehomogene jednadžbe tražiti u obliku
. Nađimo derivate prvog i drugog reda:

Zamijenite u diferencijalnu jednadžbu:
+ +,
+,.

Izjednačite koeficijente na i besplatni članovi:

Odavde
,
. Tada određeno rješenje ove jednadžbe ima oblik
, i opće rješenje

.

Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti može se primijeniti na bilo koju nehomogenu linearnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima, bez obzira na oblik desne strane. Ova metoda omogućuje uvijek pronalaženje općeg rješenja nehomogene jednadžbe ako je poznato opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe.

Neka
i
su linearno neovisna rješenja jednadžbe (2). Tada je opće rješenje ove jednadžbe
, gdje i
su proizvoljne konstante. Bit metode varijacije proizvoljnih konstanti je da se opće rješenje jednadžbe (1) traži u obliku

gdje
i
- pronaći nove nepoznate značajke. Budući da postoje dvije nepoznate funkcije, za njihovo pronalaženje potrebne su dvije jednadžbe koje sadrže te funkcije. Ove dvije jednadžbe čine sustav

koji je linearni algebarski sustav jednadžbi s obzirom na
i
. Rješavajući ovaj sustav, nalazimo
i
. Integrirajući oba dijela dobivenih jednakosti, nalazimo

i
.

Zamjenom ovih izraza u (9) dobivamo opće rješenje nehomogene linearne jednadžbe (1).

Primjer 9 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje. Karakteristična jednadžba za homogenu jednadžbu koja odgovara zadanoj diferencijalnoj jednadžbi je
. Njegovi su korijeni složeni
,
. Jer
i
, onda
,
, a opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik Tada će se opće rješenje ove nehomogene jednadžbe tražiti u obliku gdje
i
- nepoznate funkcije.

Sustav jednadžbi za pronalaženje ovih nepoznatih funkcija ima oblik

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo
,
. Zatim

,
. Zamijenimo dobivene izraze u opću formulu rješenja:

Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe dobivene Lagrangeovom metodom.

Pitanja za samokontrolu znanja

Koja se diferencijalna jednadžba naziva linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima?

Koja se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogena, a koja nehomogena?

Koja su svojstva linearne homogene jednadžbe?

Koja se jednadžba naziva karakterističnom za linearnu diferencijalnu jednadžbu i kako se ona dobiva?

U kojem se obliku zapisuje opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju različitih korijena karakteristične jednadžbe?

U kojem je obliku opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima zapisano u slučaju jednakih korijena karakteristična jednadžba?

U kojem se obliku zapisuje opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju kompleksnih korijena karakteristične jednadžbe?

Kako se piše opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe?

U kojem se obliku traži određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako su korijeni karakteristične jednadžbe različiti i nisu jednaki nuli, a desna strana jednadžbe je polinom stupnja m?

U kojem se obliku traži određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako među korijenima karakteristične jednadžbe postoji jedna nula, a desna strana jednadžbe je polinom stupnja m?

Koja je bit Lagrangeove metode?

Diferencijalne jednadžbe 2. reda

§jedan. Metode za snižavanje reda jednadžbe.

Diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ili Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Diferencijalna jednadžba 2. reda). Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu 2. reda (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Neka diferencijalna jednadžba 2. reda izgleda ovako: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Dakle, jednadžba 2. reda https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rješavajući ga, dobivamo opći integral izvorne diferencijalne jednadžbe, ovisno o dvije proizvoljne konstante: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Riješenje.

Budući da u izvornoj jednadžbi nema eksplicitnog argumenta https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

Od https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Neka diferencijalna jednadžba 2. reda izgleda ovako: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.

Primjer 2 Pronađite opće rješenje jednadžbe: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Redoslijed stupnja se smanjuje ako ga je moguće transformirati u takav oblik da oba dijela jednadžbe postanu totalni derivati ​​prema https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - unaprijed definirane funkcije, kontinuirano na intervalu na kojem se traži rješenje. Uz pretpostavku a0(x) ≠ 0, podijelite s (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Pretpostavimo bez dokaza da (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, tada se jednadžba (2.2) naziva homogena, a jednadžba (2.2) inače nehomogena.

Razmotrimo svojstva rješenja lodu 2. reda.

Definicija. Linearna kombinacija funkcija https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

zatim njihovu linearnu kombinaciju https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> u (2.3) i pokazati da je rezultat identitet:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Budući da su funkcije https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> rješenja jednadžbe (2.3), tada svaka od zagrada u posljednja je jednadžba identično jednaka nuli, što je trebalo dokazati.

Posljedica 1. Slijedi iz dokazanog teorema na https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – rješenje jednadžbe (2.. gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> naziva se linearno neovisnim o nekom intervalu ako nijedna od ovih funkcija nije predstavljena kao linearna kombinacija svi ostali.

U slučaju dvije funkcije https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, tj.gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Dakle, determinanta Wronskyja za dvije linearno neovisne funkcije ne može biti identično jednaka nuli.

Neka https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> zadovoljiti jednadžbu (2..gif" width="42" height="25 src = "> – rješenje jednadžbe (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> je identično. Dakle,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, u kojoj je determinanta za linearno neovisna rješenja jednadžbe (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Oba faktora na desnoj strani formule (3.2) nisu nula.

§četiri. Struktura općeg rješenja loda 2. reda.

Teorema. Ako su https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> linearno nezavisna rješenja jednadžbe (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">je rješenje jednadžbe (2.3), slijedi iz teorema o svojstvima lodu rješenja 2. reda..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Konstante https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> iz ovog sustava linearnih algebarskih jednadžbi su jednoznačno određene, budući da je determinanta ovaj sustav je https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Prema prethodnom paragrafu, opće rješenje lodu 2. reda lako se određuje ako su poznata dva linearno neovisna parcijalna rješenja ove jednadžbe. Jednostavna metoda za pronalaženje parcijalnih rješenja jednadžbe s konstantnim koeficijentima koje je predložio L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, dobivamo algebarska jednadžba, što se zove karakteristika:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> će biti rješenje jednadžbe (5.1) samo za one vrijednosti k koji su korijeni karakteristične jednadžbe (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> i opće rješenje (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Provjerite zadovoljava li ova funkcija jednadžbu (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Zamjena ovih izraza u jednadžba (5.1), dobivamo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, jer.gif" width="137" height="26 src=" >.

Privatna rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> linearno su neovisna, jer.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Obje zagrade na lijevoj strani ove jednakosti identično su jednake nuli..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> je rješenje jednadžbe (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> će izgledati ovako:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

predstavljeno kao zbroj općeg rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

i svako određeno rješenje https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> bit će rješenje jednadžbe (6.1)..gif" širina=" 272" visina="25 src="> f(x). Ova jednakost je identitet jer..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Dakle.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> linearno su neovisna rješenja ove jednadžbe. Na ovaj način:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, a takva determinanta, kao što smo vidjeli gore, razlikuje se od nule..gif" width="19" height="25 src="> iz sustava jednadžbi (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src" ="> će biti rješenje jednadžbe

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> u jednadžbu (6.5), dobivamo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> jednadžbe (7.1) u slučaju kada je desna strana f(x) ima posebna vrsta. Ova metoda naziva se metoda neodređenih koeficijenata i sastoji se u odabiru određenog rješenja ovisno o obliku desne strane f(x). Razmotrite prave dijelove sljedećeg obrasca:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> može biti nula. Naznačimo oblik u kojem se određeno rješenje mora uzeti u ovom slučaju.

a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

Riješenje.

Za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Oba dijela skraćujemo za https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> lijevo i pravim dijelovima jednakost

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Iz rezultirajućeg sustava jednadžbi nalazimo: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, i opće rješenje zadana jednadžba tamo je:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Riješenje.

Odgovarajuća karakteristična jednadžba ima oblik:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Konačno imamo sljedeći izraz za opće rješenje:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> izvrsno od nule. Naznačimo oblik određenog rješenja u ovom slučaju.

a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> korijen karakteristične jednadžbe za jednadžbu (5..gif" širina ="229 "visina="25 src=">,

gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Riješenje.

Korijeni karakteristične jednadžbe za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" visina="25 src=">.

Desna strana jednadžbe data u primjeru 3 ima poseban oblik: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Za definiranje https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > i zamijeni u zadanu jednadžbu:

Donošenje sličnih pojmova, izjednačavanje koeficijenata na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

Konačno opće rješenje zadane jednadžbe je: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> odnosno, a jedan od ovih polinoma može biti jednak nuli. Naznačimo oblik određenog rješenja u ovom općem slučaj.

a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, tada će određeno rješenje izgledati ovako:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. U izrazu (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Primjer 4 Navedite vrstu određenog rješenja za jednadžbu

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Opće rješenje za lod ima oblik:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Daljnji koeficijenti https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > postoji posebno rješenje za jednadžbu s desnom stranom f1(x), i Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">varijacije proizvoljnih konstanti (Lagrangeova metoda).

Izravno pronalaženje određenog rješenja pravca, osim u slučaju jednadžbe s konstantnim koeficijentima, a štoviše s posebnim konstantnim članovima, predstavlja velike poteškoće. Stoga se za pronalaženje općeg rješenja lindu obično koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti, koja uvijek omogućuje pronalaženje općeg rješenja lindua u kvadraturama, ako je temeljni sustav rješenja odgovarajućih homogenih jednadžba je poznata. Ova metoda je sljedeća.

Prema gore navedenom, opće rješenje linearne homogene jednadžbe je:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nije konstantna, već neke, još nepoznate funkcije od f(x). . mora se uzeti iz intervala. Zapravo, u ovom slučaju, determinanta Wronskyja nije nula u svim točkama intervala, tj. u cijelom prostoru, ona je složeni korijen karakteristične jednadžbe..gif" width="20" height="25 src= "> linearno neovisna pojedinačna rješenja oblika:

U općoj formuli rješenja, ovaj korijen odgovara izrazu oblika.

Diferencijalne jednadžbe drugog i višeg reda.
Linearni DE drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Primjeri rješenja.

Prijeđimo na razmatranje diferencijalne jednadžbe drugog reda i diferencijalne jednadžbe višeg reda. Ako imate nejasnu ideju o tome što je diferencijalna jednadžba (ili uopće ne razumijete što je), onda preporučujem da počnete s lekcijom Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. Mnoga načela odlučivanja i Osnovni koncepti diffuri prvog reda automatski se, dakle, proširuju na diferencijalne jednadžbe višeg reda vrlo je važno najprije razumjeti jednadžbe prvog reda.

Mnogi čitatelji mogu imati predrasudu da je DE 2., 3. i drugih reda nešto vrlo teško i nedostupno za svladavanje. Ovo nije istina . Naučite rješavati difuzije višeg reda jedva kompliciraniji od "običnih" DE-ova 1. reda. A ponegdje je i lakše jer se u odlukama aktivno koristi gradivo školskog kurikuluma.

Najpopularniji diferencijalne jednadžbe drugog reda. U diferencijalnu jednadžbu drugog reda nužno uključuje drugu izvedenicu i nije uključeno

Treba napomenuti da neke od beba (pa čak i sve odjednom) možda nedostaju iz jednadžbe, važno je da je otac bio kod kuće. Najprimitivnija diferencijalna jednadžba drugog reda izgleda ovako:

Diferencijalne jednadžbe trećeg reda u praktični zadaci javljaju se mnogo rjeđe, prema mojim subjektivnim zapažanjima u Državna Duma dobili bi oko 3-4% glasova.

U diferencijalnu jednadžbu trećeg reda nužno uključuje treću izvedenicu i nije uključeno derivati ​​višeg reda:

Najjednostavnija diferencijalna jednadžba trećeg reda izgleda ovako: - tata je kod kuće, sva djeca su vani u šetnji.

Slično se mogu definirati diferencijalne jednadžbe 4., 5. i višeg reda. U praktičnim problemima, takav DE izuzetno rijetko klizi, međutim, pokušat ću dati relevantne primjere.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje se predlažu u praktičnim problemima mogu se podijeliti u dvije glavne skupine.

1) Prva skupina - tzv jednadžbe nižeg reda. Uletjeti!

2) Druga grupa - linearne jednadžbe viših redova s ​​konstantnim koeficijentima. Što ćemo odmah početi razmatrati.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda
s konstantnim koeficijentima

U teoriji i praksi razlikuju se dvije vrste takvih jednadžbi - homogena jednadžba i nehomogena jednadžba.

Homogeni DE drugog reda s konstantnim koeficijentima Ima sljedeći pogled:
, gdje su i konstante (brojevi), a na desnoj strani - strogo nula.

Kao što vidite, nema posebnih poteškoća s homogenim jednadžbama, glavna stvar je to točno riješiti kvadratnu jednadžbu.

Ponekad postoje nestandardne homogene jednadžbe, na primjer, jednadžba u obliku , gdje na drugom izvodu postoji neka konstanta , različita od jedinice (i, naravno, različita od nule). Algoritam rješenja se uopće ne mijenja, treba mirno sastaviti karakterističnu jednadžbu i pronaći njezine korijene. Ako je karakteristična jednadžba imat će dva različita stvarna korijena, na primjer: , tada se opće rješenje može napisati na uobičajen način: .

U nekim slučajevima, zbog tiskarske pogreške u stanju, mogu ispasti "loši" korijeni, nešto poput . Što učiniti, odgovor će morati biti napisan ovako:

S "lošim" konjugiranim složenim korijenima poput nema problema, opće rješenje:

To je, opće rješenje postoji u svakom slučaju. Budući da svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena.

U posljednjem paragrafu, kao što sam obećao, ukratko ćemo razmotriti:

Linearne homogene jednadžbe višeg reda

Sve je jako, jako slično.

Linearna homogena jednadžba trećeg reda ima sljedeći oblik:
, gdje su konstante.
Za ovu jednadžbu također morate sastaviti karakterističnu jednadžbu i pronaći njezine korijene. Karakteristična jednadžba, kao što su mnogi pogodili, izgleda ovako:
, i to svejedno Ima točno tri korijen.

Neka su, na primjer, svi korijeni stvarni i različiti: , tada se opće rješenje može zapisati na sljedeći način:

Ako je jedan korijen stvaran, a druga dva konjugirana kompleksna, onda opće rješenje zapisujemo na sljedeći način:

Poseban slučaj kada su sva tri korijena višestruka (isti). Razmotrimo najjednostavniji homogeni DE 3. reda s usamljenim ocem: . Karakteristična jednadžba ima tri podudarna nula korijena. Opće rješenje zapisujemo na sljedeći način:

Ako je karakteristična jednadžba ima, na primjer, tri višestruka korijena, tada je opće rješenje:

Primjer 9

Riješite homogenu diferencijalnu jednadžbu trećeg reda

Riješenje: Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednadžbu:

, - dobije se jedan pravi korijen i dva konjugirana kompleksna korijena.

Odgovor: zajednička odluka

Slično, možemo razmotriti linearnu homogenu jednadžbu četvrtog reda s konstantnim koeficijentima: , gdje su konstante.