Pojava teorije vjerojatnosti kao znanosti. Teorija vjerojatnosti
Neki programeri, nakon rada na razvoju konvencionalnih komercijalnih aplikacija, razmišljaju o tome da svladaju strojno učenje i postanu analitičari podataka. Često ne razumiju zašto određene metode funkcioniraju, a većina metoda strojnog učenja izgleda kao magija. Zapravo, strojno učenje temelji se na matematičkoj statistici, a ona se, pak, temelji na teoriji vjerojatnosti. Stoga ćemo u ovom članku obratiti pozornost na osnovne pojmove teorije vjerojatnosti: dotaknut ćemo se definicija vjerojatnosti, distribucije i analizirati nekoliko jednostavnih primjera.
Možda znate da je teorija vjerojatnosti uvjetno podijeljena na 2 dijela. Teorija diskretne vjerojatnosti proučava fenomene koji se mogu opisati distribucijom s konačnim (ili prebrojivim) brojem mogućih ponašanja (bacanja kocke, novčića). Kontinuirana teorija vjerojatnosti proučava pojave raspoređene na nekom gustom skupu, na primjer, na segmentu ili u krugu.
Predmet teorije vjerojatnosti moguće je razmotriti jednostavnim primjerom. Zamislite sebe kao programera pucačina. Sastavni dio razvoja igara u ovom žanru je mehanika pucanja. Jasno je da će strijelac u kojem svo oružje puca apsolutno točno biti malo zanimljiv igračima. Stoga je potrebno oružju dodati širenje. Ali jednostavno randomiziranje pogodaka oružja neće omogućiti fino podešavanje, pa će podešavanje balansa igre biti teško. Istodobno, koristeći slučajne varijable i njihove distribucije, možete analizirati kako će oružje funkcionirati s danim širenjem i pomoći u potrebnim prilagodbama.
Prostor elementarnih ishoda
Pretpostavimo da iz nekog slučajnog eksperimenta koji možemo ponoviti mnogo puta (na primjer, bacanje novčića), možemo izvući neke formalizirane informacije (glave ili repove). Ova informacija naziva se elementarnim ishodom, a preporučljivo je uzeti u obzir skup svih elementarnih ishoda, koji se često označavaju slovom Ω (Omega).
Struktura ovog prostora u potpunosti ovisi o prirodi eksperimenta. Na primjer, ako uzmemo u obzir pucanje na dovoljno veliku kružnu metu, prostor elementarnih ishoda bit će, radi praktičnosti, krug, sa središtem na nuli, a ishod će biti točka u ovom krugu.
Osim toga, oni razmatraju skupove elementarnih ishoda - događaja (na primjer, pogodak u "najboljih deset" je koncentrični krug malog radijusa s ciljem). U diskretnom slučaju sve je prilično jednostavno: možemo dobiti bilo koji događaj, uključujući ili isključujući elementarne ishode u konačnom vremenu. U kontinuiranom slučaju, međutim, sve je puno kompliciranije: potrebna nam je neka dovoljno dobra obitelj skupova za razmatranje, nazvana algebra, po analogiji s jednostavnim realnim brojevima koji se mogu zbrajati, oduzimati, dijeliti i množiti. Skupovi u algebri mogu se presijecati i kombinirati, a rezultat operacije bit će u algebri. Ovo je vrlo važno svojstvo za matematiku koja stoji iza svih ovih koncepata. Minimalna obitelj sastoji se od samo dva skupa - praznog skupa i prostora elementarnih ishoda.
Mjera i vjerojatnost
Vjerojatnost je način donošenja zaključaka o ponašanju vrlo složenih objekata bez razumijevanja kako oni rade. Dakle, vjerojatnost je definirana kao funkcija događaja (iz te vrlo dobre obitelji skupova), koji vraća broj - neku karakteristiku koliko često se takav događaj može dogoditi u stvarnosti. Za određenost, matematičari su se složili da bi ovaj broj trebao biti između nule i jedan. Osim toga, ovoj funkciji se nameću zahtjevi: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula, vjerojatnost cjelokupnog skupa ishoda je jedinica, a vjerojatnost kombiniranja dva neovisna događaja (disjunktni skupovi) jednaka je zbroju vjerojatnosti . Drugi naziv za vjerojatnost je mjera vjerojatnosti. Najčešće korištena Lebesgueova mjera, koja generalizira pojmove duljine, površine, volumena na bilo koju dimenziju (n-dimenzionalni volumen), te je stoga primjenjiva na široku klasu skupova.
Zajedno, skup skupa elementarnih ishoda, obitelji skupova i mjere vjerojatnosti naziva se prostor vjerojatnosti. Pogledajmo kako možemo konstruirati prostor vjerojatnosti za primjer gađanja mete.
Razmislite o pucanju na veliku okruglu metu radijusa R koja se ne može promašiti. Kao skup elementarnih događaja stavili smo kružnicu sa središtem u ishodištu koordinata polumjera R. Budući da ćemo upotrijebiti područje (Lebesgueova mjera za dvodimenzionalne skupove) da opišemo vjerojatnost događaja, koristit ćemo obitelj mjerljivih (za koje ova mjera postoji) skupova.
Napomena Ovo je zapravo tehnička točka i u jednostavnim problemima proces određivanja mjere i obitelji skupova ne igra posebnu ulogu. Ali potrebno je razumjeti da ova dva objekta postoje, jer u mnogim knjigama o teoriji vjerojatnosti teoremi počinju riječima: “ Neka je (Ω,Σ,P) prostor vjerojatnosti...».
Kao što je gore spomenuto, vjerojatnost cjelokupnog prostora elementarnih ishoda mora biti jednaka jedan. Površina (dvodimenzionalna Lebesgueova mjera, koju ćemo označiti s λ 2 (A), gdje je A događaj) kružnice, prema poznatoj formuli iz škole, je π * R 2 . Tada možemo uvesti vjerojatnost P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , a ta će vrijednost već biti između 0 i 1 za bilo koji događaj A.
Ako pretpostavimo da je jednako vjerojatno pogađanje bilo koje točke mete, potraga za vjerojatnošću pogađanja od strane strijelca u nekom području mete svodi se na pronalaženje površine ovog skupa (dakle možemo zaključiti da je vjerojatnost udarca u određenu točku je nula, jer je površina točke nula).
Na primjer, želimo znati kolika je vjerojatnost da će strijelac pogoditi "desetku" (događaj A - strijelac je pogodio pravi set). U našem modelu "deset" je predstavljeno kružnicom sa središtem na nuli i polumjerom r. Tada je vjerojatnost pada u ovaj krug P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .
Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta problema "geometrijske vjerojatnosti" - većina ovih problema zahtijeva pronalaženje područja.
slučajne varijable
Slučajna varijabla je funkcija koja pretvara elementarne ishode u realne brojeve. Na primjer, u razmatrani problem možemo uvesti slučajnu varijablu ρ(ω) — udaljenost od točke udara do središta mete. Jednostavnost našeg modela omogućuje nam da eksplicitno specificiramo prostor elementarnih ishoda: Ω = (ω = (x,y) brojevi takvi da je x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Tada je slučajna varijabla ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Sredstva apstrakcije iz prostora vjerojatnosti. Funkcija distribucije i gustoća
Dobro je kada je struktura prostora dobro poznata, ali u stvarnosti to nije uvijek tako. Čak i ako je struktura prostora poznata, ona može biti složena. Za opisivanje slučajnih varijabli, ako je njihov izraz nepoznat, postoji koncept funkcije distribucije, koji se označava s F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Funkcija distribucije ima nekoliko svojstava:
- Prvo, to je između 0 i 1.
- Drugo, ne smanjuje se kada se njegov argument x poveća.
- Treće, kada je broj -x vrlo velik, funkcija distribucije je blizu 0, a kada je sam x velik, funkcija distribucije je blizu 1.
Vjerojatno značenje ove konstrukcije nije baš jasno na prvo čitanje. Jedno od korisnih svojstava je da vam funkcija distribucije omogućuje traženje vjerojatnosti da vrijednost uzima vrijednost iz intervala. Dakle, P (slučajna varijabla ξ uzima vrijednosti iz intervala ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Na temelju ove jednakosti možemo istražiti kako se ta vrijednost mijenja ako su granice a i b intervala bliske.
Neka je d = b-a , tada je b = a+d . Stoga je F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Za male vrijednosti d, gornja razlika je također mala (ako je distribucija kontinuirana). Ima smisla razmotriti relaciju p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Ako se za dovoljno male vrijednosti d ovaj omjer malo razlikuje od neke konstante p ξ (a) , koja ne ovisi o d, tada slučajna varijabla u ovom trenutku ima gustoću jednaku p ξ (a) .
Napomena Čitatelji koji su se prethodno susreli s konceptom derivacije mogu primijetiti da je p ξ (a) derivacija funkcije F ξ (x) u točki a . U svakom slučaju, pojam izvedenice možete proučiti u članku posvećenom ovoj temi na web stranici Mathprofi.
Sada se značenje funkcije distribucije može definirati na sljedeći način: njezina derivacija (gustoća p ξ , koju smo definirali gore) u točki a opisuje koliko će često slučajna varijabla pasti u mali interval sa središtem u točki a (okolina točke a) u usporedbi sa susjedstvima drugih točaka . Drugim riječima, što brže raste funkcija distribucije, veća je vjerojatnost da će se takva vrijednost pojaviti u slučajnom eksperimentu.
Vratimo se na primjer. Možemo izračunati funkciju distribucije za slučajnu varijablu, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2, koja označava udaljenost od središta do točke slučajnog pogotka u metu. Po definiciji, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Možemo pronaći gustoću p ρ ove slučajne varijable. Odmah napominjemo da je izvan intervala nula, budući da funkcija distribucije na ovom intervalu je nepromijenjena. Na krajevima ovog intervala gustoća nije određena. Unutar intervala može se pronaći pomoću tablice izvedenica (na primjer, s web stranice Mathprofi) i elementarnih pravila diferencijacije. Derivat t 2 /R 2 je 2t/R 2 . To znači da smo pronašli gustoću na cijeloj osi realnih brojeva. Još jedno korisno svojstvo gustoće je vjerojatnost da funkcija uzme vrijednost iz intervala izračunava se korištenjem integrala gustoće u tom intervalu (što je to, možete se upoznati u člancima o pravilnim, nepravilnim, neodređenim integralima na web stranici Mathprofi ). U prvom čitanju, raspon raspona funkcije f(x) može se smatrati površinom krivolinijskog trapeza. Njegove strane su fragment osi Ox, praznina (horizontalne koordinatne osi), okomiti segmenti koji spajaju točke (a,f(a)), (b,f(b)) na krivulji s točkama (a, 0), (b,0 ) na x-osi. Posljednja strana je fragment grafa funkcije f od (a,f(a)) do (b,f(b)) . Možemo govoriti o integralu po intervalu (-∞; b] , kada će se za dovoljno velike negativne vrijednosti, a, vrijednost integrala u intervalu promijeniti zanemarivo malo u usporedbi s promjenom broja a. Integral preko intervali se određuju na sličan način Teme informacijska tehnologija općenito EN teorija vjerojatnosti izračun vjerojatnosti slučaja … Priručnik tehničkog prevoditelja Teorija vjerojatnosti- postoji dio matematike koji proučava odnose između vjerojatnosti (vidi Vjerojatnost i statistika) različitih događaja. Navodimo najvažnije teoreme vezane uz ovu znanost. Vjerojatnost pojave jednog od nekoliko nespojivih događaja jednaka je ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron TEORIJA VJEROJATNOSTI- matematički znanost koja omogućuje, prema vjerojatnosti nekih slučajnih događaja (vidi), pronaći vjerojatnosti slučajnih događaja povezanih s k. l. način s prvim. Moderna TV na temelju aksiomatike (vidi Aksiomatska metoda) A. N. Kolmogorova. Na… … Ruska sociološka enciklopedija Teorija vjerojatnosti- grana matematike u kojoj se prema zadanim vjerojatnostima nekih slučajnih događaja pronalaze vjerojatnosti drugih događaja, na neki način povezani s prvim. Teorija vjerojatnosti također proučava slučajne varijable i slučajne procese. Jedan od glavnih…… Koncepti suvremene prirodne znanosti. Pojmovnik osnovnih pojmova teorija vjerojatnosti- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teorija vjerojatnosti vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teorija vjerojatnosti, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas Teorija vjerojatnosti- ... Wikipedia Teorija vjerojatnosti- matematička disciplina koja proučava obrasce slučajnih pojava ... Počeci moderne prirodne znanosti TEORIJA VJEROJATNOSTI- (teorija vjerojatnosti) vidi Vjerojatnost ... Veliki eksplanatorni sociološki rječnik Teorija vjerojatnosti i njezine primjene- (“Teorija vjerojatnosti i njezine primjene”), znanstveni časopis Odsjeka za matematiku Akademije znanosti SSSR-a. Objavljuje originalne članke i kratka priopćenja o teoriji vjerojatnosti, općim pitanjima matematičke statistike i njihovoj primjeni u prirodnim znanostima i ... ... Velika sovjetska enciklopedija Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava: slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije nad njima. Dugo vremena teorija vjerojatnosti nije imala jasnu definiciju. Formuliran je tek 1929. godine. Pojava teorije vjerojatnosti kao znanosti pripisuje se srednjem vijeku i prvim pokušajima matematičke analize kockanja (bacanje, kocka, rulet). Francuski matematičari iz 17. stoljeća Blaise Pascal i Pierre de Fermat otkrili su prve probabilističke obrasce koji nastaju prilikom bacanja kocke dok su proučavali predviđanje dobitaka u kockanju. Teorija vjerojatnosti nastala je kao znanost iz uvjerenja da određene pravilnosti leže u temelju masivnih slučajnih događaja. Teorija vjerojatnosti proučava ove obrasce. Teorija vjerojatnosti bavi se proučavanjem događaja čiji se nastanak ne zna sa sigurnošću. Omogućuje procjenu stupnja vjerojatnosti nastanka nekih događaja u usporedbi s drugima. Na primjer: nemoguće je nedvosmisleno odrediti rezultat bacanja kovanice glave ili repa, ali pri ponovljenom bacanju ispadne približno isti broj grla i repa, što znači da je vjerojatnost da će kovanica pasti ", jednaka do 50%. test u ovom slučaju se naziva provedba određenog skupa uvjeta, odnosno u ovom slučaju bacanje novčića. Izazov se može igrati neograničen broj puta. U ovom slučaju, kompleks uvjeta uključuje slučajne čimbenike. Rezultat testa je događaj. Događaj se događa: Na primjer, prilikom bacanja novčića, nemoguć događaj - novčić će završiti na rubu, slučajni događaj - gubitak "glava" ili "repova". Specifični rezultat testa se zove elementarni događaj. Kao rezultat testa javljaju se samo elementarni događaji. Zove se ukupnost svih mogućih, različitih, specifičnih ishoda ispitivanja elementarni prostor događaja. Vjerojatnost- stupanj mogućnosti nastanka događaja. Kada su razlozi da se neki mogući događaj stvarno dogodio veći od suprotnih razloga, tada se taj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerojatnim ili nevjerojatnim. Slučajna vrijednost- ovo je vrijednost koja, kao rezultat testa, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Na primjer: broj vatrogasnih postaja po danu, broj pogodaka s 10 hitaca itd. Slučajne varijable mogu se podijeliti u dvije kategorije. Prostor vjerojatnosti- koncept koji je uveo A.N. Kolmogorov tridesetih godina 20. stoljeća formalizirati koncept vjerojatnosti, što je dovelo do brzog razvoja teorije vjerojatnosti kao stroge matematičke discipline. Prostor vjerojatnosti je trostruka (ponekad uokvirena kutnim zagradama: , gdje Ovo je proizvoljan skup, čiji se elementi nazivaju elementarni događaji, ishodi ili točke; De Moivre-Laplaceov teorem- jedan od ograničavajućih teorema teorije vjerojatnosti, koji je ustanovio Laplace 1812. godine. Ona navodi da je broj uspjeha u ponavljanju istog slučajnog eksperimenta s dva moguća ishoda približno normalno raspoređen. Omogućuje vam da pronađete približnu vrijednost vjerojatnosti. Ako je za svaki od nezavisnih pokušaja vjerojatnost pojave nekog slučajnog događaja jednaka () i broj pokušaja u kojima se on stvarno dogodi, tada je vjerojatnost valjanosti nejednakosti bliska (za velike ) na vrijednost Laplaceovog integrala. Funkcija distribucije u teoriji vjerojatnosti- funkcija koja karakterizira distribuciju slučajne varijable ili slučajnog vektora; vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x, gdje je x proizvoljan realni broj. Pod određenim uvjetima u potpunosti određuje slučajnu varijablu. Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (ovo je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable, razmatrana u teoriji vjerojatnosti). U engleskoj književnosti označava se sa, u ruskoj -. U statistici se često koristi oznaka. Neka je dan vjerojatnostni prostor i na njemu definirana slučajna varijabla. To je, po definiciji, mjerljiva funkcija. Zatim, ako postoji Lebesgueov integral od nad prostorom , tada se naziva matematičko očekivanje ili srednja vrijednost i označava se s . Varijanca slučajne varijable- mjera širenja zadane slučajne varijable, tj. njenog odstupanja od matematičkog očekivanja. Označeno u ruskoj književnosti i u stranoj. U statistici se često koristi oznaka ili. Kvadratni korijen varijance naziva se standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni raspon. Neka je slučajna varijabla definirana na nekom prostoru vjerojatnosti. Zatim gdje simbol označava matematičko očekivanje. U teoriji vjerojatnosti nazivaju se dva slučajna događaja neovisna ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerojatnost pojave drugog. Slično se pozivaju dvije slučajne varijable ovisni ako vrijednost jednog od njih utječe na vjerojatnost vrijednosti drugog. Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernoullijev teorem, koji kaže da ako je vjerojatnost događaja jednaka u svim pokusima, onda kako se broj pokušaja povećava, učestalost događaja teži vjerojatnosti događaja i prestaje biti slučajan. Zakon velikih brojeva u teoriji vjerojatnosti kaže da je aritmetička sredina konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine te distribucije. Ovisno o vrsti konvergencije, razlikuje se slab zakon velikih brojeva, kada dolazi do konvergencije u vjerojatnosti, i jak zakon velikih brojeva, kada se konvergencija gotovo sigurno događa. Općenito značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja istovjetnih i neovisnih slučajnih čimbenika dovodi do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne ovisi o slučaju. Metode za procjenu vjerojatnosti temeljene na analizi konačnog uzorka temelje se na ovom svojstvu. Dobar primjer je predviđanje izbornih rezultata na temelju ankete uzorka birača. Središnji granični teoremi- klasa teorema u teoriji vjerojatnosti u kojoj se navodi da zbroj dovoljno velikog broja slabo ovisnih slučajnih varijabli koje imaju približno istu ljestvicu (ni jedan od pojmova ne dominira, ne daje odlučujući doprinos zbroju) ima distribuciju blizu normalan. Budući da se mnoge slučajne varijable u aplikacijama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo ovisnih slučajnih faktora, njihova se raspodjela smatra normalnom. U tom slučaju mora se uzeti u obzir uvjet da nijedan od čimbenika nije dominantan. Središnji granični teoremi u tim slučajevima opravdavaju primjenu normalne distribucije. "Slučajnost nije slučajna"... Zvuči kao da je filozof rekao, ali zapravo je proučavanje slučajnosti sudbina velike znanosti matematike. U matematici je slučajnost teorija vjerojatnosti. U članku će biti prikazane formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti. Teorija vjerojatnosti jedna je od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje. Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić prema gore, može pasti glava ili rep. Sve dok je novčić u zraku, obje su ove mogućnosti moguće. Odnosno, vjerojatnost mogućih posljedica korelira 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila sa 36 karata, vjerojatnost će biti označena kao 1:36. Čini se da nema što istraživati i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako određenu radnju ponovite mnogo puta, tada možete identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima. Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost nastanka jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara. U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičkoj disciplini pojavili su se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce o kojima su odlučili ispričati javnosti. Istu tehniku izumio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerojatnosti", formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline. Nemale važnosti su djela Jacoba Bernoullija, Laplaceovi i Poissonovi teoremi. Učinili su teoriju vjerojatnosti više poput matematičke discipline. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana. Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste: Svi događaji u primjerima označeni su velikim latiničnim slovima, s izuzetkom R, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer: U praktičnim zadacima događaji se obično bilježe riječima. Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji također nisu jednako vjerojatni. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označene" igraće karte ili kockice, u kojima je pomaknuto težište. Događaji su također kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugog. Na primjer: Ti su događaji neovisni jedan o drugom, a pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugoga. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu. Događaji se mogu množiti i zbrajati, odnosno u disciplinu se uvode logički veznici "I" i "ILI". Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti. Umnožavanje događaja sastoji se u pojavi A i B u isto vrijeme. Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku. Vježba 1: Tvrtka se natječe za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi: Pokušajmo izraziti sljedeće situacije pomoću radnji na događaje: U matematičkom obliku, jednadžba će izgledati ovako: K = ABC. M \u003d A 1 B 1 C 1. Kompliciramo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Budući da nije poznato koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja: H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C. A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji također se bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava hrpu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će tvrtka dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete napisati i druge uvjete u disciplini "Teorija vjerojatnosti". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami. Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji pojam. Postoje 3 definicije vjerojatnosti: Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju koja zvuči ovako: Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n. I, zapravo, događaj. Ako se dogodi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 . m je broj mogućih povoljnih slučajeva. n - svi događaji koji se mogu dogoditi. Na primjer, A \u003d "izvucite karticu odijela srca". U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako: P(A)=9/36=0,25. Kao rezultat toga, vjerojatnost da će se iz špila izvući karta u obliku srca bit će 0,25. Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se susreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerojatnosti nalazi se i u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju s geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama. Teorija vjerojatnosti je vrlo zanimljiva. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti od male - od statističke (ili učestalosti) definicije vjerojatnosti. Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim pristupom, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stupnjem vjerojatnosti će se događaj dogoditi, tada je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične: Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak. Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 bila loše kvalitete. Kako pronaći frekvencijsku vjerojatnost kvalitetnog proizvoda? A = "izgled kvalitetnog proizvoda." W n (A)=97/100=0,97 Dakle, učestalost kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, 3 su se pokazala loše kvalitete. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, to je količina kvalitetnog proizvoda. Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, tada se izbor A i B može napraviti množenjem. Na primjer, postoji 5 cesta od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći od grada A do grada C? Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od točke A do točke C. Otežajmo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti. To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, pa se može jednostavno označiti kao 36!. Potpiši "!" pored broja označava da se cijeli niz brojeva međusobno množi. U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu. Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako: A n m =n!/(n-m)! Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n! Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako: A n m =n!/m!(n-m)! U teoriji vjerojatnosti, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi vrhunskih istraživača u svom području koji su je podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje da odredite vjerojatnost da će se određeni događaj dogoditi u neovisnim uvjetima. To sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju istog događaja u prethodnim ili sljedećim testovima. Bernoullijeva jednadžba: P n (m) = C n m ×p m ×q n-m . Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svaki pokus. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broj pokusa izračunat će se prema gore prikazanoj formuli. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q. Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Stoga je q broj koji ukazuje na mogućnost da se događaj ne dogodi. Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina). Zadatak 2: Posjetitelj trgovine obavit će kupnju s vjerojatnošću od 0,2. Samostalno je u trgovinu ušlo 6 posjetitelja. Kolika je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju? Rješenje: Budući da nije poznato koliko posjetitelja treba izvršiti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti koristeći Bernoullijevu formulu. A = "posjetitelj će izvršiti kupnju." U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je naznačeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8. n = 6 (jer u trgovini ima 6 kupaca). Broj m promijenit će se iz 0 (nijedan kupac neće kupiti) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje: P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621. Nitko od kupaca neće izvršiti kupnju s vjerojatnošću od 0,2621. Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku. Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. S obzirom na p, broj na stepen od 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći po formuli: C n m = n! /m!(n-m)! Budući da je u prvom primjeru m = 0, odnosno C=1, što u principu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerojatnost da će dva posjetitelja kupiti robu. P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to. Poissonova se jednadžba koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija. Osnovna formula: P n (m)=λ m /m! × e (-λ) . U ovom slučaju, λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema. Zadatak 3 O: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova? Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja problema ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu: A = "slučajno odabrani dio bit će neispravan." p = 0,0001 (prema uvjetu dodjele). n = 100000 (broj dijelova). m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobivamo: 100 000 R (5) = 10 5 / 5! Xe -10 = 0,0375. Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja pomoću koje su napisani gore, Poissonova jednadžba ima nepoznato e. U biti, može se pronaći po formuli: e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n . Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e. Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojave događaja A u svim shemama jednaka, tada se vjerojatnost pojave događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može pronaći pomoću Laplaceova formula: R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m). Xm = m-np/√npq. Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku. Prvo pronađemo X m , zamjenjujemo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobivamo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli: P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03. Dakle, vjerojatnost da će letak pogoditi točno 267 puta je 0,03. Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka pomoću koje će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerojatnost događaja na temelju okolnosti koje bi se mogle povezati s njim. Glavna formula je sljedeća: P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B). A i B su određeni događaji. P(A|B) - uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A može se dogoditi, pod uvjetom da je događaj B istinit. R (V|A) - uvjetna vjerojatnost događaja V. Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku. Zadatak 5: U skladište su doneseni telefoni iz tri tvrtke. Istovremeno, dio telefona koji se proizvodi u prvoj tvornici iznosi 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će slučajno odabrani telefon biti neispravan. A = "slučajno uzet telefon." B 1 - telefon koji je prva tvornica napravila. Sukladno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu). Kao rezultat, dobivamo: P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerojatnost svake opcije. Sada morate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama: P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02; P (A / B 2) \u003d 0,04; P (A / B 3) \u003d 0,01. Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobivamo: P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305. Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, no to je samo vrh ledenog brijega jedne velike discipline. I nakon svega napisanog bit će logično postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Jednostavnoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je uz njezinu pomoć više puta pogodio jackpot. Što se tiče svojstava stvarnih događaja, ona su formulirana u vizualnim prikazima. Najraniji radovi znanstvenika na području teorije vjerojatnosti datiraju iz 17. stoljeća. Istražujući predviđanje dobitaka u kockanju, Blaise Pascal i Pierre Fermat otkrili su prve vjerojatnosne obrasce koji se javljaju prilikom bacanja kocke. Pod utjecajem pitanja koja su oni postavljali i razmatrali, rješavanjem istih problema bavio se i Christian Huygens. Istodobno, nije bio upoznat s korespondencijom između Pascala i Fermata, pa je sam izumio tehniku rješenja. Njegov rad koji uvodi osnovne pojmove teorije vjerojatnosti (pojam vjerojatnosti kao količine slučaja; matematičko očekivanje za diskretne slučajeve, u obliku cijene šanse), a također koristi teoreme zbrajanja i množenja vjerojatnosti (nije eksplicitno formulirano), izlazio je u tisku dvadeset godina prije (1657.) objavljivanja Pascalovih i Fermatovih pisama (1679.). Važan doprinos teoriji vjerojatnosti dao je Jacob Bernoulli: dao je dokaz zakona velikih brojeva u najjednostavnijem slučaju neovisnih ispitivanja. U prvoj polovici 19. stoljeća teorija vjerojatnosti počinje se primjenjivati na analizu pogrešaka promatranja; Laplace i Poisson dokazali su prve granične teoreme. U drugoj polovici 19. stoljeća glavni doprinos dali su ruski znanstvenici P. L. Čebišev, A. A. Markov i A. M. Ljapunov. Tijekom tog vremena razvijeni su zakon velikih brojeva, središnji granični teorem i teorija Markovljevih lanaca. Teorija vjerojatnosti dobila je svoj moderni oblik zahvaljujući aksiomatizaciji koju je predložio Andrej Nikolajevič Kolmogorov. Kao rezultat toga, teorija vjerojatnosti dobila je rigorozni matematički oblik i konačno se počela doživljavati kao jedna od grana matematike. Sat vremena kasnije, Dunyasha je došla do princeze s vijestima da je Dron došao i da su se svi seljaci, po nalogu princeze, okupili u štali, želeći razgovarati s gospodaricom. Dugo je te noći kneginja Marija sjedila kraj otvorenog prozora u svojoj sobi, slušajući zvukove seljaka koji su razgovarali iz sela, ali nije mislila na njih. Osjećala je da, koliko god mislila o njima, ne može ih razumjeti. Neprestano je razmišljala o jednoj stvari - o svojoj tuzi, koja je sada, nakon prekida koji su napravile brige o sadašnjosti, za nju već postala prošlost. Sada se mogla sjetiti, mogla je plakati i moliti se. Kako je sunce zalazilo, vjetar je utihnuo. Noć je bila mirna i prohladna. U dvanaest sati počeše jenjavati glasovi, zapjeva pijetao, iza lipa poče izlaziti pun mjesec, diže se svježa, bijela rosna magla, a nad selom i nad kućom zavlada tišina. knjige
Osnovni pojmovi teorije
- sigma-algebra podskupova koji se nazivaju (slučajni) događaji;
- probabilistička mjera ili vjerojatnost, t.j. sigma-aditivna konačna mjera takva da .
Što je teorija vjerojatnosti?
Sa stranica povijesti
Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događaji
Radnje na događaje
Zapravo, vjerojatnost
na višu matematiku
Malo o kombinatorici
Bernoullijeva formula
Poissonova formula
De Moivre-Laplaceov teorem
Bayesova formula
Osnovni pojmovi teorije
vidi također
Napišite recenziju na članak "Teorija vjerojatnosti"
Bilješke
Uvodne veze
Književnost
ALI
B
NA
G
D
E
Do
L
M
P
R
S
F
x
H
W
Klasična analiza
Teorija funkcije
Diferencijal i
integralne jednadžbe
Izvod koji karakterizira teoriju vjerojatnosti
"Imamo majstorov kruh, brate?" pitala je.
„Kruh Gospodnji je čitav“, rekao je Dron ponosno, „naš princ nije naredio da ga proda.
"Dajte ga seljacima, dajte mu sve što im treba: dajem vam dopuštenje u ime vašeg brata", rekla je princeza Marija.
Drone nije odgovorio i duboko je udahnuo.
- Daj im ovaj kruh, ako će im biti dosta. Podijelite sve. Zapovijedam ti u ime brata i kažem im: što je naše, tako je i njihovo. Za njih nećemo ništa štedjeti. Ti kažeš.
Drone je pozorno gledao u princezu dok je govorila.
"Otpusti me, majko, za ime Boga, pošalji mi ključeve da prihvatim", rekao je. - Odslužio je dvadeset i tri godine, nije učinio ništa loše; odustani, zaboga.
Princeza Mary nije razumjela što želi od nje i zašto je tražio da bude otpušten. Odgovorila mu je da nikada ne sumnja u njegovu privrženost i da je spremna učiniti sve za njega i za seljake.
„Da, nikad ih nisam zvala“, rekla je princeza Marija, „samo sam rekla Dronuški da im podijeli kruh.
- Samo zaboga, kneginjice majko, naredi im da se otjeraju i ne idu k njima. Sve je to obmana", rekla je Dunyasha, "ali Jakov Alpatič će doći, a mi ćemo otići ... i nemate ništa protiv ...
- Kakva obmana? upitala je princeza iznenađeno.
„Da, znam, samo me slušaj, zaboga. Samo pitaj dadilju. Kažu da ne pristaju otići po vašoj naredbi.
- Ništa ne govoriš. Da, nikad nisam naredila da odem... - rekla je princeza Marija. - Nazovi Dronušku.
Dron, koji je došao, potvrdi Dunyashine riječi: seljaci su došli po nalogu princeze.
"Da, nikad ih nisam zvala", rekla je princeza. Sigurno ste im krivo rekli. Rekao sam ti samo da im daš kruh.
Drone je uzdahnuo bez odgovora.
"Ako im kažete, otići će", rekao je.
"Ne, ne, ići ću k njima", rekla je princeza Marija
Usprkos odvraćanju Dunyashe i medicinske sestre, princeza Mary je izašla na trijem. Dron, Dunyasha, medicinska sestra i Mihail Ivanovič krenuli su za njom. “Vjerojatno misle da im nudim kruh da ostanu na svojim mjestima, a ja ću otići, ostavljajući ih na milost i nemilost Francuzima”, mislila je princeza Marija. - Obećat ću im mjesec dana u stanu u blizini Moskve; Sigurna sam da bi Andre na mom mjestu učinio još više “, pomislila je, prilazeći gomili na pašnjaku kraj staje u sumrak.
Gomila, koja se nagomilala, počela se miješati, a kape su brzo skinute. Princeza Mary, spustivši oči i zaplevši stopala u haljinu, priđe im blizu. Toliko je raznolikih starih i mladih očiju bilo uprto u nju, a bilo je toliko različitih lica, da princeza Marija nije vidjela niti jedno lice i, osjećajući potrebu da odjednom razgovara sa svima, nije znala što bi. Ali opet joj je snagu dala spoznaja da je ona predstavnica oca i brata te je hrabro započela svoj govor.
“Jako mi je drago što ste došli”, počela je princeza Marija, ne podižući oči i ne osjećajući kako joj srce brzo i snažno kuca. “Dronushka mi je rekla da te je rat uništio. Ovo je naša zajednička tuga i neću štedjeti ništa da vam pomognem. Ja idem sam, jer je ovdje već opasno i neprijatelj je blizu... jer ... dajem vam sve, prijatelji moji, i molim vas da uzmete sve, sav naš kruh, da ne biste imali potreba. A ako ti je rečeno da ti dajem kruha da ostaneš ovdje, onda to nije istina. Naprotiv, molim vas da sa svom svojom imovinom odete u naše prigradsko područje, a tamo preuzimam na sebe i obećavam vam da nećete biti u potrebi. Dat će vam se kuće i kruh. Princeza je stala. U gomili su se čuli samo uzdasi.
„Ne radim to sama“, nastavila je princeza, „radim to u ime svog pokojnog oca, koji je vama bio dobar gospodar, i za mog brata i njegovog sina.
Ponovno je stala. Nitko nije prekidao njezinu šutnju.
- Jao nam je zajednički, a sve ćemo podijeliti na pola. Sve što je moje je tvoje”, rekla je, gledajući oko sebe lica koja su stajala pred njom.
Sve oči su je gledale s istim izrazom, čije značenje nije mogla razumjeti. Bilo da se radilo o radoznalosti, odanosti, zahvalnosti ili strahu i nepovjerenju, izraz na svim licima bio je isti.
"Mnogi su zadovoljni vašom milošću, samo mi ne moramo uzeti kruh gospodara", reče glas iza.
- Da zašto? - rekla je princeza.
Nitko se nije javio, a princeza Marija je, osvrnuvši se oko gomile, primijetila da su sada svi pogledi koje je srela odmah pali.
- Zašto ne želiš? ponovno je upitala.
Nitko se nije javio.
Princeza Marya osjećala se teško od ove tišine; pokušala je uhvatiti nečiji pogled.
- Zašto ne govoriš? - obrati se princeza starcu, koji je, naslonjen na štap, stajao pred njom. Reci mi ako misliš da ti treba još nešto. Učinit ću sve”, rekla je uhvativši mu pogled. Ali on, kao da je ljut na to, potpuno spusti glavu i reče:
- Zašto se složiti, kruha nam ne treba.
- Pa, trebamo li odustati od svega? Ne slažem se. Ne slažem se... Ne postoji naš pristanak. Žao nam je, ali nema našeg pristanka. Idi sam, sam...” čulo se u masi sa raznih strana. I opet se isti izraz pojavio na svim licima ove gomile, i sada vjerojatno više nije bio izraz radoznalosti i zahvalnosti, nego izraz ogorčene odlučnosti.
"Da, niste razumjeli, zar ne", rekla je princeza Marija s tužnim osmijehom. Zašto ne želiš ići? Obećavam da ću te ugostiti, nahraniti. I ovdje će te neprijatelj uništiti ...
Ali njezin je glas bio zaglušen glasovima gomile.
- Nema našeg pristanka, neka ruše! Ne uzimamo ti kruh, nema našeg pristanka!
Princeza Mary je ponovno pokušala uhvatiti nečiji pogled iz gomile, ali ni jedan pogled nije bio usmjeren na nju; oči su je očito izbjegavale. Osjećala se čudno i neugodno.
"Gle, pametno me naučila, prati je do tvrđave!" Uništite kuće i u ropstvo i idite. Kako! dat ću ti kruha! čuli su se glasovi u gomili.
Princeza Marija, spustivši glavu, napusti krug i uđe u kuću. Ponovivši zapovijed Dronu da sutra treba imati konja za polazak, otišla je u svoju sobu i ostala sama sa svojim mislima.
Jedna za drugom zamišljala je slike bliske prošlosti – bolesti i posljednjih trenutaka svog oca. I s tužnom radošću sada se zadržala na tim slikama, tjerajući od sebe s užasom samo posljednju ideju o njegovoj smrti, koju - osjećala je - nije bila u stanju zamisliti ni u svojoj mašti u ovom tihom i tajanstvenom času noć. I te su joj se slike ukazivale s takvom jasnoćom i tako detaljno da su joj se činile ili stvarnost, ili prošlost, ili budućnost.
Tada je živo zamislila trenutak kada ga je udario udar i kada su ga za ruke odvukli iz vrta u Ćelavim planinama, a on je promrmljao nešto nemoćnim jezikom, trzao sijede obrve i nemirno je i bojažljivo gledao u nju.
“Želio mi je još tada reći ono što mi je rekao na dan svoje smrti”, pomislila je. “Uvijek je mislio ono što mi je rekao.” I sada se sa svim pojedinostima prisjetila one noći na Ćelavim planinama uoči udarca koji mu se dogodio, kada je princeza Marija, sluteći nevolje, protiv njegove volje ostala s njim. Nije spavala, a noću je na vrhovima prstiju sišla dolje i, prilazeći vratima cvjetnice, u kojoj je te noći proveo njezin otac, slušala je njegov glas. Govorio je nešto Tihonu iscrpljenim, umornim glasom. Činilo se da želi razgovarati. „Zašto me nije nazvao? Zašto mi nije dopustio da budem ovdje na Tihonovom mjestu? mislila je tada i sada princeza Marija. - Nikad nikome sada neće reći sve što mu je bilo na duši. Nikada se za njega i za mene neće vratiti ovaj trenutak kada bi rekao sve što je htio izraziti, a ja, a ne Tihon, slušao bih ga i razumio. Zašto onda nisam ušao u sobu? ona je mislila. “Možda bi mi tada rekao ono što je rekao na dan svoje smrti. Već tada je u razgovoru s Tihonom dvaput pitao za mene. Htio me vidjeti, a ja sam stajala tamo, ispred vrata. Bio je tužan, bilo je teško razgovarati s Tihonom, koji ga nije razumio. Sjećam se kako mu je pričao o Lizi, kao da je živa - zaboravio je da je mrtva, a Tikhon ga je podsjetio da je više nema, a on je povikao: "Budalo." Bilo mu je teško. Iza vrata sam čuo kako je, stenjajući, legao na krevet i glasno viknuo: "Bože moj! Zašto onda nisam otišao gore?" Što bi on meni učinio? Što bih izgubio? Ili bi se možda tada tješio, rekao bi mi ovu riječ. A princeza Marija izgovorila je naglas ljubaznu riječ koju joj je rekao na dan svoje smrti. “Čovječe ona nka! - Kneginja Marija je ponovila ovu riječ i zajecala suze koje su joj olakšale dušu. Sada je vidjela njegovo lice ispred sebe. A ne lice koje je poznavala otkad pamti, a koje je uvijek vidjela izdaleka; i to lice - plaho i slabašno, koje je posljednjeg dana, sagnuvši se prema ustima da čuje što govori, prvi put pomno pregledalo sa svim svojim borama i detaljima.
Igra "Skyrim": svi vriskovi Skyrim vrišti od 4 riječi
The Elder Scrolls V: Skyrim
The Elder Scrolls V: Skyrim Walkthrough