Pronalaženje antiderivacijske funkcije. Antiderivacija i neodređeni integral - Hipermarket znanja

Postoje tri osnovna pravila za pronalaženje antiderivacijskih funkcija. Vrlo su slična odgovarajućim pravilima diferenciranja.

Pravilo 1

Ako je F antiderivacija za neku funkciju f, a G antiderivacija za neku funkciju g, tada će F + G biti antiderivacija za f + g.

Po definiciji antiderivacije F' = f. G' = g. A budući da su ti uvjeti ispunjeni, tada ćemo prema pravilu za izračunavanje derivacije za zbroj funkcija imati:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Pravilo 2

Ako je F antiderivacija za neku funkciju f i k je neka konstanta. Tada je k*F antiderivacija za funkciju k*f. Ovo pravilo proizlazi iz pravila za izračunavanje derivacije složene funkcije.

Imamo: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Pravilo 3

Ako je F(x) neka antiderivacija od f(x), a k i b su neke konstante, a k nije nula, tada će (1/k)*F*(k*x+b) biti antiderivacija od f (k*x+b).

Ovo pravilo slijedi iz pravila za izračunavanje derivacije složene funkcije:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pogledajmo nekoliko primjera primjene ovih pravila:

Primjer 1. Nađite opći oblik antiderivacija za funkciju f(x) = x^3 +1/x^2. Za funkciju x^3 jedna od antiderivacija bit će funkcija (x^4)/4, a za funkciju 1/x^2 jedna od antiderivacija bit će funkcija -1/x. Koristeći prvo pravilo, imamo:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Primjer 2. Nađimo opći oblik antiderivacija za funkciju f(x) = 5*cos(x). Za funkciju cos(x), jedna od antiderivacija bit će funkcija sin(x). Ako sada koristimo drugo pravilo, imat ćemo:

F(x) = 5*sin(x).

Primjer 3 Nađite jednu od antiderivacija za funkciju y = sin(3*x-2). Za funkciju sin(x), jedna od antiderivacija bit će funkcija -cos(x). Ako sada koristimo treće pravilo, dobit ćemo izraz za antiderivat:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Primjer 4. Pronađite antiderivaciju za funkciju f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivacija za funkciju 1/x^5 bit će funkcija (-1/(4*x^4)). Sada, koristeći treće pravilo, dobivamo.

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za elitu. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali znaju malo ili nimalo o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali? Ako je jedina upotreba integrala koju poznajete izvlačenje nečega korisnog s teško dostupnih mjesta pomoću kuke u obliku ikone integrala, onda dobrodošli! Naučite kako rješavati integrale i zašto ne možete bez toga.

Proučavamo koncept "integrala"

Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u modernom obliku, ali ipak. Od tada su matematičari napisali jako puno knjiga na tu temu. Osobito istaknuti Newton i Leibniz ali se bit stvari nije promijenila. Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje ćete trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Informacije o , koje su također potrebne za razumijevanje integrala, već se nalaze u našem blogu.

Neodređeni integral

Imajmo neku funkciju f(x) .

Neodređeni integral funkcije f(x) zove se takva funkcija F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, o tome kako čitati u našem članku.

Antiderivacija postoji za sve neprekidne funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne bi stalno računali antiderivacije elementarnih funkcija, zgodno ih je unijeti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tablica integrala za studente

Određeni integral

Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu nehomogenog tijela, put prijeđen tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbroj beskonačno velikog broja beskonačno malih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije. Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije?

Uz pomoć integrala! Razbijmo krivolinijski trapez, omeđen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Tako će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivan integral koji se piše na sljedeći način:

Točke a i b nazivamo limesima integracije.

Bari Alibasov i grupa "Integral"

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo razmotriti svojstva neodređenog integrala, što će biti korisno u rješavanju primjera.

Derivacija integrala jednaka je integrandu:

Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:

Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Također vrijedi za razliku:

Svojstva određenog integrala

Linearnost:

Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije obrnu:

Na bilo koji bodova a, b i S:

Već smo ustanovili da je definitivni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera pronalaženja neodređenih integrala. Nudimo vam da samostalno razumijete zamršenost rješenja, a ako nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Za učvršćivanje gradiva pogledajte video kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako integral ne dobijete odmah. Obratite se stručnom studentskom servisu i svaki trostruki ili krivocrtni integral po zatvorenoj plohi bit će vam u moći.

Ova je lekcija prva u nizu videozapisa o integraciji. U njemu ćemo analizirati što je antiderivacija funkcije, a također ćemo proučiti elementarne metode za izračunavanje upravo tih antiderivacija.

Zapravo, ovdje nema ništa komplicirano: u biti, sve se svodi na koncept derivata, s kojim biste već trebali biti upoznati. :)

Odmah napominjem da, budući da je ovo prva lekcija u našoj novoj temi, danas neće biti složenih izračuna i formula, ali ono što ćemo danas učiti predstavljat će osnovu mnogo složenijih izračuna i struktura pri izračunavanju složenih integrala i površina .

Osim toga, kada počinjemo proučavati integraciju i posebno integrale, implicitno pretpostavljamo da je učenik već barem upoznat s pojmovima derivacija i ima barem elementarne vještine u njihovom izračunavanju. Bez jasnog razumijevanja ovoga, u integraciji nema apsolutno ništa.

No, tu leži jedan od najčešćih i najpodmuklijih problema. Činjenica je da, počevši računati svoje prve antiderivacije, mnogi ih učenici brkaju s derivacijama. Posljedica toga su glupe i uvredljive greške na ispitima i samostalnom radu.

Stoga sada neću dati jasnu definiciju antiderivata. A zauzvrat, predlažem da pogledate kako se to smatra na jednostavnom konkretnom primjeru.

Što je primitivno i kako se smatra

Znamo ovu formulu:

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ovaj derivat se smatra elementarnim:

\[(f)"\lijevo(x \desno)=((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Pogledajmo pomno dobiveni izraz i izrazimo $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]

Ali možemo to napisati i ovako, prema definiciji izvoda:

\[((x)^(2))=((\lijevo(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]

A sada pažnja: ono što smo upravo zapisali je definicija antiderivacije. Ali da biste to ispravno napisali, morate napisati sljedeće:

Zapišimo sljedeći izraz na isti način:

Ako generaliziramo ovo pravilo, možemo izvesti sljedeću formulu:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sada možemo formulirati jasnu definiciju.

Antiderivacija funkcije je funkcija čija je derivacija jednaka izvornoj funkciji.

Pitanja o antiderivacijskoj funkciji

Čini se da je to prilično jednostavna i razumljiva definicija. Međutim, nakon što ga čuje, pažljivi student će odmah imati nekoliko pitanja:

Recimo, pa, ova formula je točna. Međutim, u ovom slučaju, kada je $n=1$, imamo problema: u nazivniku se pojavljuje “nula” i nemoguće je podijeliti s “nulom”.
Formula je ograničena samo na ovlasti. Kako izračunati antiderivaciju, na primjer, sinus, kosinus i bilo koju drugu trigonometriju, kao i konstante.
Egzistencijalno pitanje: je li uopće uvijek moguće pronaći antiderivat? Ako je tako, što je s antiderivacijskim zbrojem, razlikom, umnoškom itd.?

Odmah ću odgovoriti na zadnje pitanje. Nažalost, antiderivat se, za razliku od derivata, ne uzima uvijek u obzir. Ne postoji takva univerzalna formula prema kojoj ćemo iz bilo koje početne konstrukcije dobiti funkciju koja će biti jednaka ovoj sličnoj konstrukciji. Što se tiče snaga i konstanti, o tome ćemo sada.

Rješavanje problema s potencijskim funkcijama

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kao što vidite, ova formula za $((x)^(-1))$ ne radi. Postavlja se pitanje: što onda funkcionira? Zar ne možemo brojati $((x)^(-1))$? Naravno da možemo. Počnimo s ovim:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Sada razmislimo: derivacija koje funkcije je jednaka $\frac(1)(x)$. Očito će se svaki student koji se barem malo bavio ovom temom sjetiti da je ovaj izraz jednak izvodu prirodnog logaritma:

\[((\lijevo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Stoga sa sigurnošću možemo napisati sljedeće:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\u \ln x\]

Ovu formulu treba znati, baš kao i derivaciju potencije.

Dakle, ono što znamo do sada:

Za funkciju snage — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Za konstantu - $=const\to \cdot x$
Poseban slučaj potencije - $\frac(1)(x)\to \ln x$

A ako počnemo množiti i dijeliti najjednostavnije funkcije, kako onda izračunati antiderivaciju umnoška ili kvocijenta. Nažalost, analogije s derivatom umnoška ili kvocijenta ovdje ne funkcioniraju. Ne postoji standardna formula. Za neke slučajeve postoje lukave posebne formule - upoznat ćemo ih u budućim videouputama.

Međutim, zapamtite: ne postoji opća formula slična formuli za izračun derivacije kvocijenta i umnoška.

Rješavanje stvarnih problema

Zadatak #1

Izračunajmo svaku od funkcija snage posebno:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Vraćajući se našem izrazu, pišemo opću konstrukciju:

Zadatak #2

Kao što sam već rekao, primitivni radovi i privatni "prazan prolaz" ne dolaze u obzir. Međutim, ovdje možete učiniti sljedeće:

Razlomak smo rastavili na zbroj dvaju razlomaka.

Izračunajmo:

Dobra vijest je da kada znate formule za izračunavanje antiderivativa, već možete izračunati složenije strukture. Ipak, idemo naprijed i još malo proširimo svoje znanje. Činjenica je da se mnoge konstrukcije i izrazi koji na prvi pogled nemaju nikakve veze s $((x)^(n))$ mogu prikazati kao stupanj s racionalnim eksponentom, naime:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Sve ove tehnike mogu se i trebaju kombinirati. Izrazi moći mogu

množenje (moći se zbrajaju);
podijeliti (stupnjevi se oduzimaju);
pomnožiti s konstantom;
itd.

Rješavanje izraza sa stupnjem s racionalnim eksponentom

Primjer #1

Računajmo svaki korijen zasebno:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Ukupno, naša cjelokupna konstrukcija može se napisati na sljedeći način:

Primjer #2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(-1))=((\lijevo(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Stoga ćemo dobiti:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Ukupno, prikupljajući sve u jednom izrazu, možemo napisati:

Primjer #3

Prvo, imajte na umu da smo već izračunali $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Prepišimo:

Nadam se da neću nikoga iznenaditi ako kažem da su ono što smo upravo proučavali samo najjednostavniji izračuni antiderivacija, najelementarnije konstrukcije. Pogledajmo sada malo složenije primjere, u kojima se, osim tabličnih antiderivacija, još uvijek morate sjetiti školskog kurikuluma, naime, skraćenih formula množenja.

Rješavanje složenijih primjera

Zadatak #1

Prisjetite se formule za kvadrat razlike:

\[((\lijevo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Prepišimo našu funkciju:

Sada moramo pronaći antiderivaciju takve funkcije:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Sakupljamo sve u zajedničkom dizajnu:

Zadatak #2

U ovom slučaju moramo otvoriti kocku razlike. Prisjetimo se:

\[((\lijevo(a-b \desno))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

S obzirom na ovu činjenicu, to se može napisati na sljedeći način:

Modificirajmo malo našu funkciju:

Razmatramo, kao i uvijek, za svaki pojam posebno:

\[((x)^(-3))\do \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\do \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\do \ln x\]

Napišimo dobivenu konstrukciju:

Zadatak #3

Na vrhu imamo kvadrat zbroja, otvorimo ga:

\[\frac(((\lijevo(x+\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\do \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Napišimo konačno rješenje:

A sada pažnja! Vrlo važna stvar, koja je povezana s lavljim udjelom pogrešaka i nesporazuma. Činjenica je da do sada, računajući antiderivacije uz pomoć derivacija, dajući transformacije, nismo razmišljali čemu je jednaka derivacija konstante. Ali derivacija konstante jednaka je "nuli". A to znači da možete napisati sljedeće opcije:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ovo je vrlo važno razumjeti: ako je derivacija funkcije uvijek ista, tada ista funkcija ima beskonačan broj antiderivacija. Možemo jednostavno dodati bilo koje konstantne brojeve našim primitivima i dobiti nove.

Nije slučajno u obrazloženju zadataka koje smo upravo riješili pisalo „Zapiši opći izgled antiizvedenica“. Oni. već se unaprijed pretpostavlja da ne postoji jedan, nego čitavo mnoštvo njih. No, zapravo se razlikuju samo po konstanti $C$ na kraju. Stoga ćemo u svojim zadacima ispravljati ono što nismo izvršili.

Još jednom, prepisujemo naše konstrukcije:

U takvim slučajevima treba dodati da je $C$ konstanta — $C=const$.

U našoj drugoj funkciji dobivamo sljedeću konstrukciju:

I zadnji:

I sada smo stvarno dobili ono što se od nas tražilo u početnom stanju problema.

Rješavanje zadataka nalaženja antiderivacija sa zadanom točkom

Sada, kada znamo o konstantama io posebnostima pisanja antiderivacija, sasvim logično se javlja sljedeća vrsta problema kada se iz skupa svih antiderivacija traži pronaći jedna i jedina koja bi prolazila kroz datu točku. Kakav je ovo zadatak?

Činjenica je da se sve antiderivacije date funkcije razlikuju samo po tome što su vertikalno pomaknute za neki broj. A to znači da bez obzira koju točku na koordinatnoj ravnini uzmemo, jedna antiderivacija će sigurno proći, i štoviše, samo jedna.

Dakle, zadaci koje ćemo sada riješiti formulirani su na sljedeći način: nije lako pronaći antiderivaciju, znajući formulu izvorne funkcije, već odabrati točno jednu od njih koja prolazi kroz zadanu točku, čije će koordinate dati u uvjetu problema.

Primjer #1

Prvo, samo izračunajmo svaki izraz:

\[((x)^(4))\do \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\do \frac(((x)^(4)))(4)\]

Sada zamijenimo ove izraze u našu konstrukciju:

Ova funkcija mora proći kroz točku $M\left(-1;4 \right)$. Što znači da prolazi točkom? To znači da ako umjesto $x$ posvuda stavimo $-1$, a umjesto $F\left(x \right)$ - $-4$, tada bismo trebali dobiti ispravnu numeričku jednakost. Napravimo to:

Vidimo da imamo jednadžbu za $C$, pa je pokušajmo riješiti:

Zapišimo upravo rješenje koje smo tražili:

Primjer #2

Prije svega, potrebno je otvoriti kvadrat razlike koristeći skraćenu formulu množenja:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Izvorna struktura bit će napisana na sljedeći način:

Nađimo sada $C$: zamijenimo koordinate točke $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Izražavamo $C$:

Ostaje prikazati konačni izraz:

Rješavanje trigonometrijskih zadataka

Kao završni akord onoga što smo upravo analizirali, predlažem da razmotrimo dva složenija problema koji sadrže trigonometriju. U njima će na isti način biti potrebno pronaći antiderivacije za sve funkcije, pa iz tog skupa odabrati onu jedinu koja prolazi točkom $M$ na koordinatnoj ravnini.

Gledajući unaprijed, želio bih napomenuti da je tehnika koju ćemo sada koristiti za pronalaženje antiderivacija trigonometrijskih funkcija zapravo univerzalna tehnika za samoprovjeru.

Zadatak #1

Sjetimo se sljedeće formule:

\[((\lijevo(\tekst(tg)x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na temelju toga možemo napisati:

Zamijenimo koordinate točke $M$ u naš izraz:

\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]

Prepišimo izraz imajući na umu ovu činjenicu:

Zadatak #2

Ovdje će biti malo teže. Sada ćete vidjeti zašto.

Zapamtimo ovu formulu:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Da biste se riješili "minusa", morate učiniti sljedeće:

\[((\lijevo(-\tekst(ctg)x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Evo našeg dizajna

Zamijenite koordinate točke $M$:

Zapišimo konačnu konstrukciju:

To je sve što sam ti danas htio reći. Proučavali smo sam pojam antiderivacija, kako ih prebrojati od elementarnih funkcija, te kako pronaći antiderivaciju koja prolazi kroz određenu točku na koordinatnoj ravnini.

Nadam se da će vam ova lekcija barem malo pomoći da razumijete ovu složenu temu. U svakom slučaju, na antiderivacijama se grade neodređeni i neodređeni integrali, pa ih je nužno razmotriti. To je sve za mene. Vidimo se uskoro!

Definicija. Funkcija F (x) naziva se antiderivacijom za funkciju f (x) na zadanom intervalu, ako je za bilo koji x iz zadanog intervala F "(x) \u003d f (x).

Glavno svojstvo primitiva.

Ako je F (x) antiderivacija f (x), tada je funkcija F (x) + C , gdje je C proizvoljna konstanta, također antiderivacija f (x) (tj. sve antiderivacije f(x) zapisuju se u obliku F(x) + C).

Geometrijska interpretacija.

Grafovi svih antiderivacija zadane funkcije f (x) dobivaju se iz grafa bilo koje pojedine antiderivacije paralelnim prijenosima duž Oy osi.

Tablica primitiva.

Pravila za pronalaženje antiderivata .

Neka su F(x) i G(x) antiderivacije funkcija f(x) odnosno g(x). Zatim:

1.F( x)±G( x) je antiderivat za f(x) ± g(x);

2. a F( x) je antiderivat za af(x);

3. - antiderivat za af(kx +b).

Zadaci i testovi na temu "Antiprimitiv"

antiderivativan
Lekcija: 1 Zadaci: 11 Testovi: 1
Izvedenica i antiizvodnica - Pripreme za ispit iz matematike
Radna mjesta: 3
Sastavni - Antiderivacija i integral 11. razred
Lekcije: 4 Zadaci: 13 Testovi: 1
Izračunavanje površina pomoću integrala - Antiderivacija i integral 11. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 10 Kvizovi: 1

Nakon što ste proučavali ovu temu, trebali biste znati što se zove antiderivativa, njegovo glavno svojstvo, geometrijska interpretacija, pravila za pronalaženje antiderivativa; znati pronaći sve antiderivacije funkcija pomoću tablice i pravila za pronalaženje antiderivacija, kao i antiderivaciju koja prolazi kroz zadanu točku. Razmotrite rješavanje problema na ovu temu koristeći primjere. Obratite pozornost na dizajn odluka.

Primjeri.

1. Utvrdite je li funkcija F ( x) = x 3 – 3x+ 1 antiderivat za funkciju f(x) = 3(x 2 – 1).

Riješenje: F"( x) = (x 3 – 3x+ 1)′ = 3 x 2 – 3 = 3(x 2 – 1) = f(x), tj. F"( x) = f(x), dakle, F(x) je antiderivacija za funkciju f(x).

2. Pronađite sve antiderivacijske funkcije f(x) :

a) f(x) = x 4 + 3x 2 + 5

Riješenje: Koristeći tablicu i pravila za pronalaženje antiderivata, dobivamo:

Odgovor:

b) f(x) = sin(3 x – 2)

Riješenje:

Vidjeli smo da derivacija ima brojne primjene: derivacija je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); derivacija je nagib tangente na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali u stvarnom životu treba rješavati i obrnute probleme: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1 Materijalna točka se giba pravocrtno, brzina njezina kretanja u trenutku t dana je formulom u = tg. Pronađite zakon gibanja.

Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). Dakle, da bismo riješili problem, moramo izabrati funkcija s = s(t), čija je derivacija jednaka tg. Lako je to pogoditi

Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo da Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika proizvoljne konstante, može poslužiti kao zakon gibanja, budući da

Da bi zadatak bio konkretniji, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pokretne točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s (0) \u003d s 0, tada iz jednakosti dobivamo s (0) \u003d 0 + C, tj. S 0 \u003d C. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran:
U matematici se međusobno obrnutim operacijama daju različita imena, izmišljene su posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i vađenje kvadratnog korijena sinusa (sinx) i arcsinus(arcsin x), itd. Postupak nalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferenciranje, a inverzna operacija, t.j. postupak nalaženja funkcije po zadanoj derivaciji – integracijom.
Sam pojam "derivacija" može se opravdati "na svjetovni način": funkcija y - f (x) "proizvodi u svijet" novu funkciju y "= f" (x) Funkcija y \u003d f (x) ponaša se kao "roditelj", ali matematičari ga, naravno, ne nazivaju "roditelj" ili "proizvođač", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y "=f" (x), primarna slika , ili, ukratko, antiderivat.

Definicija 1. Funkcija y \u003d F (x) naziva se antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) na zadanom intervalu X, ako za sve x iz X vrijedi jednakost F "(x) \u003d f (x) .

U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).

Evo nekoliko primjera:

1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za sve x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivacija za funkciju y-3x 2, jer za sve x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2.
3) Funkcija y-sinx je antiderivacija za funkciju y=cosx, budući da za sve x vrijedi jednakost (sinx) "=cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer za sve x > 0 vrijedi jednakost
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.

Nadamo se da razumijete kako je ova tablica sastavljena: derivat funkcije koja je zapisana u drugom stupcu jednaka je funkciji koja je zapisana u odgovarajućem retku prvog stupca (provjerite, ne budite lijeni, to je jako korisno). Na primjer, za funkciju y \u003d x 5, antiderivacija je, kao što ste ustanovili, funkcija (pogledajte četvrti redak tablice).

Bilješke: 1. U nastavku dokazujemo teorem da ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija i sve imaju oblik y = F (x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati član C posvuda u drugi stupac tablice, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Radi sažetosti, ponekad umjesto izraza "funkcija y = F(x) je antiderivacija za funkciju y = f(x)", kažu F(x) je antiderivacija za f(x) ".

2. Pravila za pronalaženje antiderivata

Pri traženju protuizvedenica, kao i kod traženja izvedenica, ne koriste se samo formule (navedene su u tablici na str. 196), već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.

Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Skrećemo vam pozornost na neku "lakoću" ove formulacije. Zapravo, bilo bi potrebno formulirati teorem: ako funkcije y = f(x) i y=g(x) imaju antiderivacije na intervalu X, y-F(x) i y-G(x), redom, tada je zbroj funkcija y = f(x) + g(x) ima antiderivaciju na intervalu X, a ta antiderivacija je funkcija y = F(x) + G(x). Ali obično se kod formuliranja pravila (a ne teorema) ostavljaju samo ključne riječi - to je prikladnije za primjenu pravila u praksi.

Primjer 2 Odredite antiderivaciju za funkciju y = 2x + cos x.

Riješenje. Antiderivacija za 2x je x "; antiderivacija za cosx je sin x. Prema tome, antiderivacija za funkciju y \u003d 2x + cos x bit će funkcija y \u003d x 2 + sin x (i općenito svaka funkcija od oblik Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2 Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka antiderivacije.

Primjer 3

Riješenje. a) Antiderivacija za sin x je -cos x; dakle, za funkciju y \u003d 5 sin x, antiderivacija će biti funkcija y \u003d -5 cos x.

b) Antiderivacija za cos x je sin x; dakle, za antiderivacijsku funkciju će postojati funkcija
c) Antiderivacija za x 3 je antiderivacija za x je antiderivacija za funkciju y \u003d 1 je funkcija y \u003d x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivacija, dobivamo da je antiderivacija za funkciju y \u003d 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što znate, derivacija umnoška nije jednaka umnošku derivacija (pravilo razlikovanja umnoška je kompliciranije), a derivacija kvocijenta nije jednaka kvocijentu derivacija. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivacije umnoška ili antiderivacije kvocijenta dviju funkcija. Budi oprezan!
Dobivamo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y \u003d f (kx + m) izračunava formulom

Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3 Ako je y \u003d F (x) antiderivacija za funkciju y \u003d f (x), tada je antiderivacija za funkciju y \u003d f (kx + m) funkcija

Doista,

To znači da je antiderivacija za funkciju y \u003d f (kx + m).
Smisao trećeg pravila je sljedeći. Ako znate da je antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) funkcija y \u003d F (x), a trebate pronaći antiderivaciju funkcije y \u003d f (kx + m), tada nastavite kao slijedi: uzeti istu funkciju F, ali umjesto argumenta x zamijeniti izraz xx+m; osim toga, ne zaboravite napisati "faktor korekcije" ispred znaka funkcije
Primjer 4 Pronađite antiderivacije za date funkcije:

Riješenje, a) Antiderivacija za sin x je -cos x; to znači da će za funkciju y \u003d sin2x antiderivacija biti funkcija
b) Antiderivacija za cos x je sin x; dakle, za antiderivacijsku funkciju će postojati funkcija

c) Antiderivacija za x 7 je stoga, za funkciju y \u003d (4-5x) 7, antiderivacija će biti funkcija

3. Neodređeni integral

Gore smo već primijetili da problem pronalaženja antiderivacije za danu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Raspravljajmo o ovom pitanju detaljnije.

Dokaz. 1. Neka je y \u003d F (x) antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x "(x) \u003d f (x) točno. Pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y \u003d F (x) + C antiderivacija za funkciju y \u003d f (x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y \u003d f (x) ima antiderivaciju y \u003d F (x), tada funkcija (f \u003d f (x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, na primjer, bilo koja funkcija od oblik y \u003d F (x) +C je antiderivacija.
2. Dokažimo sada da je cijeli skup antiderivacija iscrpljen navedenim tipom funkcija.

Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dvije antiderivacije za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Razmotrite funkciju y \u003d F 1 (x) -.F (x) i pronađite njezinu derivaciju: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identički jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidi teorem 3 u § 35). Dakle, F 1 (x) -F (x) \u003d C, tj. Fx) \u003d F (x) + C.

Teorem je dokazan.

Primjer 5 Postavljen je zakon promjene brzine od vremena v = -5sin2t. Odredite zakon gibanja s = s(t) ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata točke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).

Riješenje. Budući da je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo treba pronaći antiderivaciju brzine, tj. antiderivacija za funkciju v = -5sin2t. Jedna od takvih antiderivacija je funkcija , a skup svih antiderivacija ima oblik:

Da bismo pronašli određenu vrijednost konstante C, koristimo početne uvjete, prema kojima je s(0) = 1,5. Zamjenom u formuli (1) vrijednosti t=0, S = 1,5, dobivamo:

Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobivamo zakon gibanja koji nas zanima:

Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivaciju y = F(x) na intervalu X, tada skup svih antiderivacija, tj. skup funkcija oblika y \u003d F (x) + C, naziva se neodređeni integral funkcije y \u003d f (x) i označava se:

(glase: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem odjeljku saznat ćemo koje je skriveno značenje ove oznake.
Na temelju tablice antiderivacija dostupnih u ovom paragrafu, sastaviti ćemo tablicu osnovnih neodređenih integrala:

Na temelju gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulirati odgovarajuća pravila integracije.

Pravilo 1 Integral zbroja funkcija jednak je zbroju integrala ovih funkcija:

Pravilo 2 Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:

Pravilo 3 Ako a

Primjer 6 Pronađite neodređene integrale:

Riješenje, a) Pomoću prvog i drugog pravila integracije dobivamo:

Sada koristimo 3. i 4. formulu integracije:

Kao rezultat toga dobivamo:

b) Pomoću trećeg pravila integracije i formule 8 dobivamo:

c) Za neposredno određivanje zadanog integrala nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima ponekad pomažu prethodne identične transformacije izraza sadržanog pod znakom integrala.

Upotrijebimo trigonometrijsku formulu za smanjenje stupnja:

Zatim sukcesivno nalazimo:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online , Matematika u školi