Normalni zakon distribucije vjerojatnosti

Bez pretjerivanja se može nazvati filozofskim zakonom. Promatrajući razne predmete i procese svijeta koji nas okružuje, često se susrećemo s činjenicom da nešto nije dovoljno, a da postoji norma:


Ovdje je osnovni prikaz funkcije gustoće normalne distribucije vjerojatnosti i želim vam dobrodošlicu na ovu najzanimljiviju lekciju.

Koji se primjeri mogu navesti? Oni su samo tama. To je, na primjer, visina, težina ljudi (i ne samo), njihova fizička snaga, mentalne sposobnosti itd. Postoji "masa" (na ovaj ili onaj način) a odstupanja ima u oba smjera.

To su različite karakteristike neživih predmeta (iste dimenzije, težina). To je nasumično trajanje procesa, na primjer, vrijeme utrke na sto metara ili pretvaranje smole u jantar. Iz fizike su mi na pamet pale molekule zraka: među njima ima sporih, ima brzih, ali većina se kreće “standardnim” brzinama.

Zatim odstupimo od središta za još jedno standardno odstupanje i izračunamo visinu:

Označavanje točaka na crtežu (zelena boja) i vidimo da je to sasvim dovoljno.

U završnoj fazi pažljivo crtamo grafikon i posebno pažljivo odražavati ga konveksnost / konkavnost! Pa vjerojatno ste davno shvatili da je apscisna os horizontalna asimptota, i apsolutno je nemoguće "popeti" se za njega!

Uz elektronički dizajn rješenja, grafikon je lako izgraditi u Excelu, a neočekivano za sebe, čak sam snimio kratki video na tu temu. Ali prvo, razgovarajmo o tome kako se oblik normalne krivulje mijenja ovisno o vrijednostima i .

Kada povećavate ili smanjujete "a" (s nepromijenjenom "sigmom") graf zadržava svoj oblik i pomiče desno/lijevo odnosno. Tako npr. kada funkcija poprimi oblik a naš graf se "pomiče" 3 jedinice ulijevo - točno u ishodište:


Normalno raspodijeljena veličina s nultim matematičkim očekivanjem dobila je potpuno prirodno ime - centriran; njegovu funkciju gustoće – čak, a graf je simetričan oko y-osi.

U slučaju promjene "sigme" (sa konstantnim "a"), grafikon "ostaje na mjestu", ali mijenja oblik. Kada se poveća, postaje niža i izdužena, poput hobotnice koja rasteže svoje pipke. I obrnuto, pri smanjivanju grafa postaje uža i viša- ispada "iznenađena hobotnica." Da, u smanjenje"sigma" dva puta: prethodni se grafikon dva puta sužava i rasteže:

Sve je u potpunom skladu s geometrijske transformacije grafova.

Normalna raspodjela s jediničnom vrijednošću "sigma" naziva se normalizirao, a ako je također centriran(naš slučaj), tada se takva raspodjela naziva standard. Ima još jednostavniju funkciju gustoće, s kojom smo se već susreli u lokalni Laplaceov teorem: . Standardna distribucija našla je široku primjenu u praksi i vrlo brzo ćemo konačno shvatiti njenu svrhu.

Sada pogledajmo film:

Da, točno - nekako smo nezasluženo ostali u sjeni funkcija distribucije vjerojatnosti. Sjećamo se nje definicija:
- vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost MANJE od varijable , koja "pokreće" sve stvarne vrijednosti do "plus" beskonačnosti.

Unutar integrala obično se koristi drugo slovo tako da nema "prekrivanja" s oznakom, jer je ovdje svaka vrijednost dodijeljena nepravilan integral , koji je jednak nekim broj iz intervala.

Gotovo sve vrijednosti ne mogu se točno izračunati, ali kao što smo upravo vidjeli, s modernom računalnom snagom to nije teško. Dakle, za funkciju standardne distribucije, odgovarajuća excel funkcija općenito sadrži jedan argument:

=NORMSDIST(z)

Jedan, dva - i gotovi ste:

Na crtežu je jasno prikazana izvedba svih svojstva funkcije raspodjele, a od tehničkih nijansi ovdje biste trebali obratiti pozornost horizontalne asimptote i točka infleksije.

Sada se prisjetimo jednog od ključnih zadataka ove teme, naime saznati kako pronaći - vjerojatnost da normalna slučajna varijabla će uzeti vrijednost iz intervala. Geometrijski, ta je vjerojatnost jednaka područje između normalne krivulje i x-osi u odgovarajućem odsječku:

ali svaki put izbrusiti približnu vrijednost je nerazuman, pa ga je stoga racionalnije koristiti "laka" formula:
.

! također sjeća , što

Ovdje možete ponovno koristiti Excel, ali postoji nekoliko značajnih "ali": prvo, nije uvijek pri ruci, a drugo, "gotove" vrijednosti će najvjerojatnije izazvati pitanja učitelja. Zašto?

O tome sam već više puta govorio: nekada (i to ne tako davno) obični kalkulator bio je luksuz, a "ručni" način rješavanja problema koji se razmatra još uvijek je sačuvan u obrazovnoj literaturi. Njegova suština je da se standardizirati vrijednosti "alfa" i "beta", odnosno svesti rješenje na standardnu ​​distribuciju:

Bilješka : funkciju je lako dobiti iz općeg slučajapomoću linearnog zamjene. Zatim i:

a iz zamjene samo slijedi formula prijelaz s vrijednosti proizvoljne distribucije na odgovarajuće vrijednosti standardne distribucije.

Zašto je ovo potrebno? Činjenica je da su naši preci skrupulozno izračunali vrijednosti i sažeti u posebnu tablicu, koja se nalazi u mnogim knjigama o terveru. Ali još češća je tablica vrijednosti, o kojoj smo već govorili Laplaceov integralni teorem:

Ako imamo na raspolaganju tablicu vrijednosti Laplaceove funkcije , onda kroz to rješavamo:

Frakcijske vrijednosti tradicionalno se zaokružuju na 4 decimalna mjesta, kao što je učinjeno u standardnoj tablici. I za kontrolu Stavka 5 raspored.

Podsjećam te na to , i da ne bude zabune uvijek imati kontrolu, tablica KAKVE funkcije pred vašim očima.

Odgovor potrebno je dati kao postotak, tako da se izračunata vjerojatnost mora pomnožiti sa 100 i dati rezultat sa smislenim komentarom:

- pri letu od 5 do 70 m pasti će oko 15,87% granata

Treniramo sami:

Primjer 3

Promjer ležajeva proizvedenih u tvornici slučajna je varijabla normalno raspoređena s očekivanjem od 1,5 cm i standardnom devijacijom od 0,04 cm. Pronađite vjerojatnost da veličina nasumično uzetog ležaja bude u rasponu od 1,4 do 1,6 cm.

U primjeru rješenja iu nastavku, koristit ću Laplaceovu funkciju kao najčešću opciju. Usput, imajte na umu da u skladu s tekstom ovdje možete uključiti krajeve intervala u razmatranje. Međutim, to nije kritično.

I već u ovom primjeru susreli smo se s posebnim slučajem - kada je interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje. U takvoj situaciji može se napisati u obliku i, koristeći neparnost Laplaceove funkcije, pojednostaviti radnu formulu:

Poziva se delta parametar odstupanje iz matematičkog očekivanja, a dvostruka nejednakost može se "spakirati" pomoću modul:

je vjerojatnost da vrijednost slučajne varijable odstupa od matematičkog očekivanja za manje od .

Pa rješenje koje stane u jedan red :)
je vjerojatnost da se promjer nasumično uzetog ležaja razlikuje od 1,5 cm za najviše 0,1 cm.

Ispostavilo se da je rezultat ovog zadatka blizu jedinstva, ali želio bih još više pouzdanosti - naime, saznati granice u kojima je promjer skoro svi ležajevi. Postoji li neki kriterij za to? postojati! Na pitanje odgovara tzv

pravilo tri sigme

Njegova suština je u tome praktički pouzdan je činjenica da će normalno distribuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala .

Doista, vjerojatnost odstupanja od očekivanja manja je od:
ili 99,73%

Što se tiče "ležajeva" - to su 9973 komada promjera od 1,38 do 1,62 cm i samo 27 "podstandardnih" primjeraka.

U praktičnim istraživanjima pravilo "tri sigme" obično se primjenjuje u suprotnom smjeru: ako statistički ustanovio da gotovo sve vrijednosti slučajna varijabla koja se proučava stane u interval od 6 standardnih devijacija, tada postoje dobri razlozi za vjerovanje da je ova vrijednost raspoređena prema normalnom zakonu. Provjera se provodi pomoću teorije statističke hipoteze.

Nastavljamo rješavati teške sovjetske zadatke:

Primjer 4

Slučajna vrijednost pogreške vaganja raspoređena je prema normalnom zakonu s nultim matematičkim očekivanjem i standardnom devijacijom od 3 grama. Odredite vjerojatnost da će sljedeće vaganje biti obavljeno s pogreškom koja u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi 5 grama.

Odluka jako jednostavno. Po stanju, a to odmah napominjemo na sljedećem vaganju (nešto ili netko) gotovo 100% ćemo dobiti rezultat s točnošću od 9 grama. Ali u problemu postoji uže odstupanje i prema formuli :

- vjerojatnost da će sljedeće vaganje biti obavljeno s greškom koja ne prelazi 5 grama.

Odgovor:

Riješeni problem bitno se razlikuje od naizgled sličnog. Primjer 3 lekcija o jednolika raspodjela. Dogodila se greška zaokruživanje rezultata mjerenja, ovdje je riječ o slučajnoj pogrešci samih mjerenja. Takve pogreške nastaju zbog tehničkih karakteristika samog uređaja. (raspon dopuštenih pogrešaka u pravilu je naveden u njegovoj putovnici), a također i krivnjom eksperimentatora - kada, na primjer, "okom" uzimamo očitanja sa strelice istih ljestvica.

Između ostalih, tu su i tzv sustavan pogreške mjerenja. Već je neslučajan greške koje nastaju zbog pogrešne postavke ili rada uređaja. Tako, na primjer, neprilagođene podne vage mogu dosljedno "dodati" kilogram, a prodavač sustavno potcijeniti kupce. Ili ne sustavno jer možete minirati. Međutim, u svakom slučaju, takva pogreška neće biti slučajna, a njeno očekivanje je različito od nule.

…Hitno razvijam tečaj prodajne obuke =)

Riješimo problem sami:

Primjer 5

Promjer valjka je slučajna normalno raspodijeljena slučajna varijabla, standardna devijacija mu je mm. Nađite duljinu intervala, simetričnog u odnosu na matematičko očekivanje, u kojem će duljina promjera kuglice pasti s vjerojatnošću.

Stavka 5* izgled dizajna pomoći. Napominjemo da matematičko očekivanje ovdje nije poznato, ali to ni najmanje ne ometa rješavanje problema.

I ispitni zadatak, koji toplo preporučam za učvršćivanje gradiva:

Primjer 6

Normalno distribuirana slučajna varijabla dana je svojim parametrima (matematičko očekivanje) i (standardna devijacija). Potreban:

a) zapišite gustoću vjerojatnosti i shematski prikažite njezin grafikon;
b) pronađite vjerojatnost da će uzeti vrijednost iz intervala ;
c) pronaći vjerojatnost da modul ne odstupa više od ;
d) primjenom pravila "tri sigme", pronađite vrijednosti slučajne varijable.

Takvi se problemi nude posvuda, a tijekom godina prakse uspio sam ih riješiti stotine i stotine. Obavezno vježbajte crtanje rukom i korištenje papirnatih tablica ;)

Pa, analizirat ću primjer povećane složenosti:

Primjer 7

Gustoća distribucije vjerojatnosti slučajne varijable ima oblik . Nađi, matematičko očekivanje, varijanca, funkcija distribucije, gustoća prikaza i funkcije distribucije, nađi.

Odluka: prije svega, obratimo pozornost da uvjet ne govori ništa o prirodi slučajne varijable. Sama po sebi prisutnost izlagača ne znači ništa: to može biti npr. demonstrativna ili općenito proizvoljno kontinuirana distribucija. I stoga, "normalnost" distribucije još uvijek treba biti potkrijepljena:

Budući da funkcija utvrđeno na bilo koji stvarna vrijednost, a može se svesti na formu , tada je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu.

Predstavljamo. Za ovo odaberite cijeli kvadrat i organizirati trokatnica fraction:


Obavezno izvršite provjeru, vraćajući indikator u izvorni oblik:

što smo htjeli vidjeti.

Tako:
- uključeno pravilo moći"odštipavanje". I ovdje možete odmah zapisati očite numeričke karakteristike:

Pronađimo sada vrijednost parametra. Budući da multiplikator normalne distribucije ima oblik i , tada je:
, iz koje izražavamo i zamjenjujemo u našu funkciju:
, nakon čega ćemo još jednom pogledom prijeći preko zapisa i uvjeriti se da dobivena funkcija ima oblik .

Nacrtajmo gustoću:

i prikaz funkcije distribucije :

Ako pri ruci nema Excela, pa čak ni običnog kalkulatora, posljednji se grafikon lako gradi ručno! U tom trenutku funkcija distribucije poprima vrijednost i ovdje je

Definicija. Normalan naziva se distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustoćom vjerojatnosti

Normalna raspodjela se također naziva Gaussov zakon.

Zakon normalne distribucije središnji je za teoriju vjerojatnosti. To je zbog činjenice da se ovaj zakon očituje u svim slučajevima kada je slučajna varijabla rezultat djelovanja velikog broja različitih čimbenika. Svi ostali zakoni raspodjele približavaju se normalnom zakonu.

Lako se može pokazati da parametri i , uključeni u gustoću distribucije su matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable x.

Nađimo funkciju distribucije F(x) .

Grafik gustoće normalne distribucije naziva se normalna krivulja ili Gaussova krivulja.

Normalna krivulja ima sljedeća svojstva:

1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

2) Za sve x funkcija raspodjele poprima samo pozitivne vrijednosti.

3) Os OX je horizontalna asimptota grafa gustoće vjerojatnosti, jer uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti argumenta x, vrijednost funkcije teži nuli.

4) Nađite ekstrem funkcije.

Jer na g’ > 0 na x < m i g’ < 0 na x > m, zatim u točki x = t funkcija ima maksimum jednak
.

5) Funkcija je simetrična u odnosu na ravnu liniju x = a, jer razlika

(x - a) ulazi u kvadrat funkcije gustoće distribucije.

6) Da bismo pronašli točke infleksije grafa, nalazimo drugu derivaciju funkcije gustoće.

Na x = m+  i x = m-  druga derivacija jednaka je nuli, a prolaskom kroz te točke mijenja predznak, tj. u tim točkama funkcija ima infleksiju.

U tim točkama vrijednost funkcije je
.

Izgradimo graf funkcije gustoće distribucije (slika 5).

Grafikoni su izgrađeni za t=0 i tri moguće vrijednosti standardne devijacije  = 1,  = 2 i  = 7. Kao što vidite, kako se vrijednost standardne devijacije povećava, graf postaje ravniji, a maksimalna vrijednost opada.

Ako a> 0, tada će se graf pomaknuti u pozitivnom smjeru ako a < 0 – в отрицательном.

Na a= 0 i  = 1 naziva se krivulja normalizirao. Jednadžba normalizirane krivulje:

Laplaceova funkcija

Odredite vjerojatnost da slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu padne u zadani interval.

Označiti

Jer sastavni
nije izražena elementarnim funkcijama, tada funkcija

,

koji se zove Laplaceova funkcija ili integral vjerojatnosti.

Vrijednosti ove funkcije za različite vrijednosti x izračunati i prikazati u posebnim tablicama.

Na sl. 6 prikazuje graf Laplaceove funkcije.

Laplaceova funkcija ima sljedeća svojstva:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplaceova funkcija se također naziva funkcija pogreške a označavaju erf x.

Još u upotrebi normalizirao Laplaceova funkcija, koja je povezana s Laplaceovom funkcijom relacijom:

Na sl. Slika 7 prikazuje dijagram normalizirane Laplaceove funkcije.

P pravilo tri sigme

Kada se razmatra normalna distribucija, izdvaja se važan poseban slučaj, poznat kao pravilo tri sigme.

Zapišimo vjerojatnost da je odstupanje normalno raspodijeljene slučajne varijable od matematičkog očekivanja manje od zadane vrijednosti :

Ako prihvatimo  = 3, tada dobivamo pomoću tablica vrijednosti Laplaceove funkcije:

Oni. vjerojatnost da slučajna varijabla odstupa od svog matematičkog očekivanja za iznos veći od trostrukog standardnog odstupanja je praktički nula.

Ovo pravilo se zove pravilo tri sigme.

U praksi se smatra da ako je za bilo koju slučajnu varijablu zadovoljeno pravilo tri sigme, tada ta slučajna varijabla ima normalnu distribuciju.

Zaključak predavanja:

Na predavanju smo obradili zakone raspodjele kontinuiranih veličina.U pripremi za sljedeća predavanja i praktične vježbe potrebno je samostalno dopuniti svoje bilješke s predavanja dubljim proučavanjem preporučene literature i rješavanjem predloženih problema.

Kratka teorija

Normalna je distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable čija gustoća ima oblik:

gdje je matematičko očekivanje standardna devijacija.

Vjerojatnost da će uzeti vrijednost koja pripada intervalu:

gdje je Laplaceova funkcija:

Vjerojatnost da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja:

Konkretno, za vrijedi jednakost:

Pri rješavanju problema koje praksa postavlja, treba se suočiti s različitim distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli.

Uz normalnu distribuciju, glavni zakoni distribucije za kontinuirane slučajne varijable su:

Primjer rješenja problema

Dio se izrađuje na stroju. Njegova duljina je slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu s parametrima , . Odredite vjerojatnost da će duljina dijela biti između 22 i 24,2 cm.Od kojeg se odstupanja duljine dijela može jamčiti s vjerojatnošću 0,92; 0,98? U kojim će granicama, simetrično s obzirom na , ležati praktički sve dimenzije dijelova?

pridružite se VK grupi.

Odluka:

Vjerojatnost da će slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu biti u intervalu:

Dobivamo:

Vjerojatnost da slučajna varijabla, raspodijeljena prema normalnom zakonu, odstupa od srednje vrijednosti za najviše:

Po stanju

:

Ako vam pomoć sada nije potrebna, ali će vam možda trebati u budućnosti, kako ne biste izgubili kontakt,

Bit će tu i zadataka za samostalno rješavanje, na koje možete vidjeti odgovore.

Normalna razdioba: teorijske osnove

Primjeri slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu su visina osobe, masa ulovljene ribe iste vrste. Normalna raspodjela znači sljedeće : postoje vrijednosti ​​ljudske visine, mase ribe iste vrste, koje se na intuitivnoj razini percipiraju kao "normalne" (a zapravo - prosječne), a puno su češće u dovoljno velikim uzorak od onih koji se razlikuju gore ili dolje.

Normalna distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable (ponekad Gaussova distribucija) može se nazvati zvonastom zbog činjenice da je funkcija gustoće ove distribucije, koja je simetrična u odnosu na srednju vrijednost, vrlo slična rezu zvona ( crvena krivulja na gornjoj slici).

Vjerojatnost zadovoljavanja određenih vrijednosti u uzorku jednaka je površini figure ispod krivulje, au slučaju normalne distribucije vidimo da ispod vrha "zvona", što odgovara vrijednostima koje teže prosjeku, površina, a time i vjerojatnost, veća je nego ispod rubova. Dakle, dobivamo isto što je već rečeno: vjerojatnost da ćete sresti osobu "normalne" visine, uhvatiti ribu "normalne" težine veća je nego za vrijednosti koje se razlikuju gore ili dolje. U vrlo velikom broju slučajeva u praksi, pogreške mjerenja raspoređene su prema zakonu bliskom normalnom.

Zaustavimo se ponovno na slici s početka lekcije koja prikazuje funkciju gustoće normalne distribucije. Graf ove funkcije dobiven je izračunavanjem nekog uzorka podataka u programskom paketu STATISTIKA. Na njemu stupci histograma predstavljaju intervale uzorkovanih vrijednosti čija je distribucija bliska (ili, kako kažu u statistici, ne razlikuje se značajno) samom grafu funkcije gustoće normalne distribucije, a to je crvena krivulja. Grafikon pokazuje da je ova krivulja doista u obliku zvona.

Normalna distribucija je vrijedna na mnoge načine jer znajući samo srednju vrijednost kontinuirane slučajne varijable i standardnu ​​devijaciju, možete izračunati bilo koju vjerojatnost povezanu s tom varijablom.

Normalna distribucija ima dodatnu prednost jer je jedna od najjednostavnijih za korištenje statistički kriteriji koji se koriste za provjeru statističkih hipoteza – Studentov t-test- može se koristiti samo u slučaju kada podaci uzorka slijede normalan zakon distribucije.

Funkcija gustoće normalne distribucije kontinuirane slučajne varijable može se pronaći pomoću formule:

,

gdje x- vrijednost varijable, - srednja vrijednost, - standardna devijacija, e\u003d 2,71828 ... - baza prirodnog logaritma, \u003d 3,1416 ...

Svojstva funkcije gustoće normalne distribucije

Promjene srednje vrijednosti pomiču zvonastu krivulju u smjeru osi Vol. Ako se povećava, krivulja se pomiče udesno, ako se smanjuje, onda ulijevo.

Ako se promijeni standardna devijacija, mijenja se i visina vrha krivulje. Kada standardna devijacija raste, vrh krivulje je viši, kada se smanjuje, niži je.

Vjerojatnost da će vrijednost normalno distribuirane slučajne varijable pasti unutar zadanog intervala

Već u ovom odlomku počet ćemo rješavati praktične probleme čije je značenje naznačeno u naslovu. Analizirajmo koje mogućnosti teorija pruža za rješavanje problema. Početni koncept za izračunavanje vjerojatnosti da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u zadani interval je integralna funkcija normalne distribucije.

Funkcija normalne integralne distribucije:

.

Međutim, problematično je dobiti tablice za svaku moguću kombinaciju srednje vrijednosti i standardne devijacije. Stoga je jedan od jednostavnih načina za izračunavanje vjerojatnosti da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u zadani interval korištenje tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju.

Normalna distribucija naziva se standardizirana ili normalizirana distribucija., čija je srednja vrijednost , a standardna devijacija je .

Funkcija gustoće standardizirane normalne distribucije:

.

Kumulativna funkcija standardizirane normalne distribucije:

.

Na donjoj slici prikazana je integralna funkcija standardizirane normalne distribucije čiji je graf dobiven izračunavanjem nekog uzorka podataka u programskom paketu STATISTIKA. Sam grafikon je crvena krivulja, a vrijednosti uzorka joj se približavaju.

Da biste povećali sliku, kliknite na nju lijevom tipkom miša.

Standardiziranje slučajne varijable znači prelazak s izvornih jedinica korištenih u zadatku na standardizirane jedinice. Normiranje se provodi prema formuli

U praksi se često ne znaju sve moguće vrijednosti slučajne varijable, pa se vrijednosti srednje i standardne devijacije ne mogu točno odrediti. Oni su zamijenjeni aritmetičkom sredinom opažanja i standardnom devijacijom s. Vrijednost z izražava odstupanja vrijednosti slučajne varijable od aritmetičke sredine pri mjerenju standardnih odstupanja.

Otvoreni interval

Tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju, koja je dostupna u gotovo svakoj knjizi o statistici, sadrži vjerojatnosti da slučajna varijabla ima standardnu ​​normalnu distribuciju Z poprima vrijednost manju od određenog broja z. To jest, pasti će u otvoreni interval od minus beskonačnosti do z. Na primjer, vjerojatnost da vrijednost Z manje od 1,5 jednako je 0,93319.

Primjer 1 Tvrtka proizvodi dijelove koji imaju normalno raspodijeljen životni vijek s prosjekom od 1000 i standardnom devijacijom od 200 sati.

Za nasumično odabrani dio izračunajte vjerojatnost da će njegov radni vijek biti najmanje 900 sati.

Odluka. Uvedimo prvu oznaku:

Željena vjerojatnost.

Vrijednosti slučajne varijable su u otvorenom intervalu. Ali možemo izračunati vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od zadane vrijednosti, a prema uvjetu problema potrebno je pronaći jednaku ili veću vrijednost od zadane. Ovo je drugi dio prostora ispod krivulje zvona. Dakle, da bi se našla željena vjerojatnost, potrebno je od jedan oduzeti spomenutu vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od zadanih 900:

Sada slučajnu varijablu treba standardizirati.

Nastavljamo s uvođenjem oznake:

z = (x ≤ 900) ;

x= 900 - zadana vrijednost slučajne varijable;

μ = 1000 - prosječna vrijednost;

σ = 200 - standardna devijacija.

Na temelju ovih podataka dobivamo uvjete problema:

.

Prema tablicama standardizirane slučajne varijable (granica intervala) z= −0,5 odgovara vjerojatnosti 0,30854. Oduzmite ga od jedinice i dobijete ono što se traži u uvjetu problema:

Dakle, vjerojatnost da će vijek trajanja dijela biti najmanje 900 sati je 69%.

Ova vjerojatnost se može dobiti pomoću MS Excel funkcije NORM.DIST (vrijednost integralne vrijednosti je 1):

P(x≥900) = 1 - P(x≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

O izračunima u MS Excelu - u jednom od sljedećih odlomaka ove lekcije.

Primjer 2 U nekom gradu prosječni godišnji obiteljski dohodak je normalno raspodijeljena slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 300 000 i standardnom devijacijom od 50 000. Poznato je da je prihod 40% obitelji manji od vrijednosti A. Pronađite vrijednost A.

Odluka. U ovom problemu, 40% nije ništa drugo nego vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz otvorenog intervala koja je manja od određene vrijednosti, označene slovom A.

Da biste pronašli vrijednost A, prvo sastavljamo integralnu funkciju:

Prema zadatku

μ = 300000 - prosječna vrijednost;

σ = 50000 - standardna devijacija;

x = A je vrijednost koju treba pronaći.

Izmišljanje jednakosti

.

Prema statističkim tablicama nalazimo da vjerojatnost od 0,40 odgovara vrijednosti granice intervala z = −0,25 .

Stoga, stvaramo jednakost

i pronaći njegovo rješenje:

A = 287300 .

Odgovor: prihod 40% obitelji manji je od 287300.

Zatvoreni interval

U mnogim problemima potrebno je pronaći vjerojatnost da normalno distribuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost u intervalu od z 1 do z 2. To znači da će pasti u zatvoreni interval. Za rješavanje takvih problema potrebno je u tablici pronaći vjerojatnosti koje odgovaraju granicama intervala, a zatim pronaći razliku između tih vjerojatnosti. To zahtijeva oduzimanje manje vrijednosti od veće. Primjeri za rješavanje ovih uobičajenih problema su sljedeći, a predlaže se da ih sami riješite, a zatim možete vidjeti točna rješenja i odgovore.

Primjer 3 Dobit poduzeća za određeno razdoblje je slučajna varijabla podložna normalnom zakonu raspodjele s prosječnom vrijednošću od 0,5 milijuna c.u. i standardnom devijacijom od 0,354. Odredite, s točnošću do dva decimalna mjesta, vjerojatnost da će dobit poduzeća biti od 0,4 do 0,6 c.u.

Primjer 4 Duljina proizvedenog dijela je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima μ =10 i σ =0,071. Odredite, s točnošću do dva decimalna mjesta, vjerojatnost braka ako bi dopuštene dimenzije dijela trebale biti 10 ± 0,05.

Savjet: u ovom problemu, osim pronalaženja vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u zatvoreni interval (vjerojatnost dobivanja nedefektnog dijela), potrebna je još jedna radnja.

omogućuje određivanje vjerojatnosti da standardizirana vrijednost Z ne manje -z i nema više +z, gdje z- proizvoljno odabrana vrijednost standardizirane slučajne varijable.

Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije

Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije vrijednosti uzorka temelji se na sljedećem svojstvo normalne distribucije: asimetrija β 1 i koeficijent kurtoze β 2 nula.

Koeficijent asimetrije β 1 numerički karakterizira simetriju empirijske distribucije u odnosu na srednju vrijednost. Ako je asimetrija jednaka nuli, tada su aritmetrijska sredina, medijan i mod jednaki: a krivulja gustoće distribucije je simetrična u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije manji od nule (β 1 < 0 ), tada je aritmetička sredina manja od medijana, a medijan je zauzvrat manji od modusa () i krivulja je pomaknuta udesno (u usporedbi s normalnom distribucijom). Ako je koeficijent asimetrije veći od nule (β 1 > 0 ), tada je aritmetička sredina veća od medijana, a medijan je zauzvrat veći od modusa () i krivulja je pomaknuta ulijevo (u usporedbi s normalnom distribucijom).

Kurtosis koeficijent β 2 karakterizira koncentraciju empirijske distribucije oko aritmetičke sredine u smjeru osi Joj i stupanj vrha krivulje gustoće distribucije. Ako je koeficijent kurtoze veći od nule, tada je krivulja više izdužena (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Joj(graf je šiljatiji). Ako je koeficijent kurtoze manji od nule, tada je krivulja spljoštenija (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Joj(graf je tuplji).

Koeficijent zakrivljenosti može se izračunati pomoću MS Excel funkcije SKRS. Ako provjeravate jedan niz podataka, tada morate unijeti niz podataka u jedan okvir "Broj".

Koeficijent kurtosisa može se izračunati pomoću MS Excel funkcije kurtosis. Kod provjere jednog niza podataka također je dovoljno unijeti raspon podataka u jedno polje "Broj".

Dakle, kao što već znamo, s normalnom distribucijom koeficijenti asimetrije i kurtoze jednaki su nuli. Ali što ako imamo koeficijente asimetrije jednake -0,14, 0,22, 0,43, a koeficijente kurtoze jednake 0,17, -0,31, 0,55? Pitanje je sasvim pošteno, jer u praksi imamo posla samo s približnim, selektivnim vrijednostima asimetrije i kurtoze, koje su podložne nekom neizbježnom, nekontroliranom rasipanju. Stoga je nemoguće zahtijevati striktnu jednakost ovih koeficijenata nuli, oni bi trebali biti samo dovoljno blizu nule. Ali što znači dovoljno?

Potrebno je usporediti dobivene empirijske vrijednosti s dopuštenim vrijednostima. Da biste to učinili, morate provjeriti sljedeće nejednakosti (usporedite vrijednosti koeficijenata modulo s kritičnim vrijednostima - granicama područja testiranja hipoteze).

Za koeficijent asimetrije β 1 .

Definicija. Normalan naziva se distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustoćom vjerojatnosti

Normalna raspodjela se također naziva Gaussov zakon.

Zakon normalne distribucije središnji je za teoriju vjerojatnosti. To je zbog činjenice da se ovaj zakon očituje u svim slučajevima kada je slučajna varijabla rezultat djelovanja velikog broja različitih čimbenika. Svi ostali zakoni raspodjele približavaju se normalnom zakonu.

Lako se može pokazati da parametri i , uključeni u gustoću distribucije su matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable x.

Nađimo funkciju distribucije F(x) .

Grafik gustoće normalne distribucije naziva se normalna krivulja ili Gaussova krivulja.

Normalna krivulja ima sljedeća svojstva:

1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

2) Za sve x funkcija raspodjele poprima samo pozitivne vrijednosti.

3) Os OX je horizontalna asimptota grafa gustoće vjerojatnosti, jer uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti argumenta x, vrijednost funkcije teži nuli.

4) Nađite ekstrem funkcije.

Jer na g’ > 0 na x < m i g’ < 0 na x > m, zatim u točki x = t funkcija ima maksimum jednak
.

5) Funkcija je simetrična u odnosu na ravnu liniju x = a, jer razlika

(x - a) ulazi u kvadrat funkcije gustoće distribucije.

6) Da bismo pronašli točke infleksije grafa, nalazimo drugu derivaciju funkcije gustoće.

Na x = m+  i x = m-  druga derivacija jednaka je nuli, a prolaskom kroz te točke mijenja predznak, tj. u tim točkama funkcija ima infleksiju.

U tim točkama vrijednost funkcije je
.

Izgradimo graf funkcije gustoće distribucije (slika 5).

Grafikoni su izgrađeni za t=0 i tri moguće vrijednosti standardne devijacije  = 1,  = 2 i  = 7. Kao što vidite, kako se vrijednost standardne devijacije povećava, graf postaje ravniji, a maksimalna vrijednost opada.

Ako a> 0, tada će se graf pomaknuti u pozitivnom smjeru ako a < 0 – в отрицательном.

Na a= 0 i  = 1 naziva se krivulja normalizirao. Jednadžba normalizirane krivulje:

Laplaceova funkcija

Odredite vjerojatnost da slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu padne u zadani interval.

Označiti

Jer sastavni
nije izražena elementarnim funkcijama, tada funkcija

,

koji se zove Laplaceova funkcija ili integral vjerojatnosti.

Vrijednosti ove funkcije za različite vrijednosti x izračunati i prikazati u posebnim tablicama.

Na sl. 6 prikazuje graf Laplaceove funkcije.

Laplaceova funkcija ima sljedeća svojstva:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplaceova funkcija se također naziva funkcija pogreške a označavaju erf x.

Još u upotrebi normalizirao Laplaceova funkcija, koja je povezana s Laplaceovom funkcijom relacijom:

Na sl. Slika 7 prikazuje dijagram normalizirane Laplaceove funkcije.

P pravilo tri sigme

Kada se razmatra normalna distribucija, izdvaja se važan poseban slučaj, poznat kao pravilo tri sigme.

Zapišimo vjerojatnost da je odstupanje normalno raspodijeljene slučajne varijable od matematičkog očekivanja manje od zadane vrijednosti :

Ako prihvatimo  = 3, tada dobivamo pomoću tablica vrijednosti Laplaceove funkcije:

Oni. vjerojatnost da slučajna varijabla odstupa od svog matematičkog očekivanja za iznos veći od trostrukog standardnog odstupanja je praktički nula.

Ovo pravilo se zove pravilo tri sigme.

U praksi se smatra da ako je za bilo koju slučajnu varijablu zadovoljeno pravilo tri sigme, tada ta slučajna varijabla ima normalnu distribuciju.

Zaključak predavanja:

Na predavanju smo obradili zakone raspodjele kontinuiranih veličina.U pripremi za sljedeća predavanja i praktične vježbe potrebno je samostalno dopuniti svoje bilješke s predavanja dubljim proučavanjem preporučene literature i rješavanjem predloženih problema.