Sjecište susjednih uglova. Kutak

Geometrija je vrlo višestruka znanost. Razvija logiku, maštu i inteligenciju. Naravno, zbog svoje složenosti i veliki iznos teorema i aksioma, školarci to ne vole uvijek. Osim toga, postoji potreba za stalnim dokazivanjem svojih zaključaka korištenjem općeprihvaćenih standarda i pravila.

Susjedni i okomiti kutovi sastavni su dio geometrije. Sigurno ih mnogi školarci jednostavno obožavaju iz razloga što su njihova svojstva jasna i lako dokaziva.

Formiranje uglova

Bilo koji kut nastaje sjecištem dviju linija ili povlačenjem dviju zraka iz jedne točke. Mogu se nazvati jednim slovom ili trima, koja uzastopno označavaju točke konstrukcije ugla.

Kutovi se mjere u stupnjevima i mogu se (ovisno o njihovoj vrijednosti) različito zvati. Dakle, postoji pravi kut, oštar, tup i raspoređen. Svaki od naziva odgovara određenoj stupnjskoj mjeri ili njezinom intervalu.

Oštri kut je kut čija mjera ne prelazi 90 stupnjeva.

Tupi kut je kut veći od 90 stupnjeva.

Kut se naziva pravim ako mu je mjera 90.

U slučaju kada ga čini jedna neprekinuta ravna linija, a stupanj mu je mjera 180, naziva se razvučen.

Kutovi koji imaju zajednička strana, čija se druga strana nastavlja jedna na drugu, nazivaju se susjednim. Mogu biti oštri ili tupi. Sjecište pravca tvori susjedne kutove. Njihova svojstva su sljedeća:

1. Zbroj takvih kutova bit će jednak 180 stupnjeva (postoji teorem koji to dokazuje). Stoga se jedan od njih može lako izračunati ako je drugi poznat.
2. Iz prve točke slijedi da susjedne kutove ne mogu tvoriti dva tupa ili dva oštra kuta.

Zahvaljujući tim svojstvima, uvijek se može izračunati stupanjska mjera kuta s obzirom na vrijednost drugog kuta, ili barem omjer između njih.

Vertikalni kutovi

Kutovi čije se stranice nastavljaju jedna na drugu nazivaju se okomiti. Bilo koja od njihovih sorti može djelovati kao takav par. Vertikalni kutovi uvijek su međusobno jednaki.

Nastaju kada se linije sijeku. Zajedno s njima uvijek su prisutni susjedni uglovi. Kut može biti i susjedan za jedan i okomit za drugi.

Pri prelasku proizvoljne linije uzima se u obzir još nekoliko vrsta kutova. Takav se pravac naziva sekantom, a tvori odgovarajuće, jednostrane i unakrsne kutove. Međusobno su jednaki. Mogu se promatrati u svjetlu svojstava koje imaju okomiti i susjedni kutovi.

Stoga se tema uglova čini prilično jednostavnom i razumljivom. Sva njihova svojstva lako se pamte i dokazuju. Rješavanje problema nije teško sve dok uglovi odgovaraju brojčana vrijednost. Već dalje, kada počne proučavanje sin i cos, morat ćete puno naučiti napamet složene formule, njihove zaključke i posljedice. Do tada, možete samo uživati ​​u lakim zagonetkama u kojima trebate pronaći susjedne kutove.

1. Susjedni uglovi.

Nastavimo li stranicu nekog kuta preko njegova vrha, dobit ćemo dva kuta (sl. 72): ∠ABC i ∠CBD, u kojima je jedna stranica BC zajednička, a druge dvije, AB i BD, tvore ravnu crtu .

Dva kuta kojima je jedna stranica zajednička, a druge dvije tvore ravnu crtu nazivaju se susjednim kutovima.

Susjedni kutovi mogu se dobiti i na ovaj način: ako povučemo zraku iz neke točke na pravoj liniji (koja ne leži na danoj pravoj liniji), tada ćemo dobiti susjedne kutove.

Na primjer, ∠ADF i ∠FDV su susjedni kutovi (slika 73).

Susjedni kutovi mogu imati različite položaje (slika 74).

Susjedni kutovi zbrajaju ravni kut, pa zbroj dva susjedni uglovi jednak 180°

Stoga se pravi kut može definirati kao kut jednak svom susjednom kutu.

Znajući vrijednost jednog od susjednih kutova, možemo pronaći vrijednost drugog susjednog kuta.

Na primjer, ako je jedan od susjednih kutova 54°, tada će drugi kut biti:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalni kutovi.

Produžimo li stranice kuta izvan njegova vrha, dobit ćemo okomite kutove. Na slici 75. kutovi EOF i AOC su okomiti; kutovi AOE i COF su također okomiti.

Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednog kuta produžeci stranica drugog kuta.

Neka je ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (slika 76). ∠2 uz njega bit će jednak 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, tj. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Na isti način možete izračunati koliko su ∠3 i ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Slika 77).

Vidimo da je ∠1 = ∠3 i ∠2 = ∠4.

Možete riješiti još nekoliko istih zadataka i svaki put ćete dobiti isti rezultat: okomiti kutovi su međusobno jednaki.

Međutim, kako bi bili sigurni da su vertikalni kutovi uvijek jednaki jedan drugome, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne brojčani primjeri, jer zaključci izvedeni na temelju pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Provjerite je li svojstvo ispravno okomiti kutovi zahtijeva se dokazom.

Dokaz se može provesti na sljedeći način (slika 78):

∠a +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(budući da je zbroj susjednih kutova 180°).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(budući da je lijeva strana ove jednakosti 180°, a desna također 180°).

Ova jednakost uključuje isti kut S.

Ako smo iz jednake vrijednosti oduzeti jednako, onda će ostati jednako. Rezultat će biti: ∠a = ∠b, tj. vertikalni kutovi su međusobno jednaki.

3. Zbroj kutova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79, ∠1, ∠2, ∠3 i ∠4 nalaze se na istoj strani pravca i imaju zajednički vrh na ovom pravcu. U zbroju, ovi kutovi čine ravni kut, tj.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na crtežu 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 i ∠5 imaju zajednički vrh. Zbroj tih kutova je puni kut, tj. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Ostali materijali

POGLAVLJE I.

OSNOVNI KONCEPTI.

§jedanaest. SUSJEDNI I OKOMITI KUTOVI.

1. Susjedni uglovi.

Nastavimo li stranicu nekog kuta izvan njegova vrha, dobit ćemo dva kuta (slika 72): / Sunce i / SVD, u kojem je jedna stranica BC zajednička, a druge dvije AB i BD čine ravnu liniju.

Dva kuta kojima je jedna stranica zajednička, a druge dvije tvore ravnu crtu nazivaju se susjednim kutovima.

Susjedni kutovi mogu se dobiti i na ovaj način: ako povučemo zraku iz neke točke na pravoj liniji (koja ne leži na danoj pravoj liniji), tada ćemo dobiti susjedne kutove.
Na primjer, / ADF i / FDV - susjedni kutovi (slika 73).

Susjedni kutovi mogu imati različite položaje (slika 74).

Susjedni kutovi zbrajaju ravni kut, pa umma dva susjedna ugla je 2d.

Stoga se pravi kut može definirati kao kut jednak svom susjednom kutu.

Znajući vrijednost jednog od susjednih kutova, možemo pronaći vrijednost drugog susjednog kuta.

Na primjer, ako je jedan od susjednih kutova 3/5 d, tada će drugi kut biti jednak:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikalni kutovi.

Produžimo li stranice kuta izvan njegova vrha, dobit ćemo okomite kutove. Na crtežu 75 kutovi EOF i AOC su okomiti; kutovi AOE i COF su također okomiti.

Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednog kuta produžeci stranica drugog kuta.

Neka / 1 = 7 / 8 d(Slika 76). Uz njega / 2 će biti jednako 2 d- 7 / 8 d, tj. 1 1/8 d.

Na isti način možete izračunati čemu su jednaki / 3 i / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Slika 77).

Vidimo to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.

Možete riješiti još nekoliko istih zadataka i svaki put ćete dobiti isti rezultat: okomiti kutovi su međusobno jednaki.

Međutim, da bismo bili sigurni da su okomiti kutovi uvijek međusobno jednaki, nije dovoljno razmatrati pojedinačne numeričke primjere, jer zaključci izvedeni iz pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstva okomitih kutova potrebno je provjeriti zaključivanjem, dokazom.

Dokaz se može provesti na sljedeći način (slika 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(jer je zbroj susjednih kutova 2 d).

/ a +/ c = / b+/ c

(pošto je lijeva strana ove jednakosti jednaka 2 d, a njegova desna strana također je jednaka 2 d).

Ova jednakost uključuje isti kut S.

Ako od jednakih vrijednosti oduzmemo jednako, onda će ostati jednako. Rezultat će biti: / a = / b, tj. vertikalni kutovi su međusobno jednaki.

Razmatrajući pitanje okomitih kutova, najprije smo objasnili koji se kutovi nazivaju okomitima, tj. dali smo definicija okomiti uglovi.

Zatim smo iznijeli sud (tvrdnju) o jednakosti okomitih kutova i dokazom smo se uvjerili u valjanost tog suda. Takve presude, čija se valjanost mora dokazati, nazivaju se teoremi. Stoga smo u ovom odjeljku dali definiciju okomitih kutova, a također smo naveli i dokazali teorem o njihovom svojstvu.

U budućnosti, proučavajući geometriju, stalno ćemo se morati susretati s definicijama i dokazima teorema.

3. Zbroj kutova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79 / 1, / 2, / 3 i / 4 nalaze se na istoj strani pravca i imaju zajednički vrh na tom pravcu. U zbroju, ovi kutovi čine ravni kut, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na crtežu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 imaju zajednički vrh. Zbrojeno, ovi kutovi čine puni kut, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Vježbe.

1. Jedan od susjednih kutova je 0,72 d. Izračunajte kut koji čine simetrale ovih susjednih kutova.

2. Dokaži da simetrale dvaju susjednih kutova tvore pravi kut.

3. Dokažite da ako su dva kuta jednaka, onda su im jednaki i susjedni kutovi.

4. Koliko je pari susjednih uglova na crtežu 81?

5. Može li se par susjednih kutova sastojati od dva šiljasta kuta? iz dva tupa kuta? iz pravog i tupog kuta? iz izravnih i oštar kut?

6. Ako je jedan od susjednih kutova pravi, što se onda može reći o vrijednosti kuta koji mu je pridružen?

7. Ako u sjecištu dviju ravnih linija postoji jedan pravi kut, što se onda može reći o veličini ostala tri kuta?

Jednak dva prava kuta .

Dana su dva susjedna kuta: AOB i WOS. Potrebno je dokazati da:

∠AOW+∠BOS=d+ d = 2d

Vratimo se s točke O na ravnu liniju AC okomito OD. Kut AOB podijelili smo na dva dijela AOD i DOB tako da možemo napisati:

∠AOB = ∠ AOD+∠ DOB

Dodajmo objema stranama ove jednakosti isti kut BOC, zašto jednakost neće biti narušena:

∠ AOB + ∠ BOIZ= ∠ AOD + ∠ DOB + ∠ BOIZ

Budući da iznos DOB + BOC je pravi kut ČINIIZ, onda

∠ AOB+ ∠ BOIZ= ∠ AOD + ∠ ČINIIZ= d + d = 2 d,

Q.E.D.

Posljedice.

1. Zbroj kutova (AOb,BOC, BAKALAR, DOE) koji se nalazi oko zajedničkog vrha (O) s jedne strane ravne linije ( AE) jednako je 2 d= 180 0 , jer je ovaj zbroj zbroj dva susjedni uglovi, kao što su: AOC + COE

2. Zbroj kutova smješten oko zajedničkog vrhovi (O) na obje strane prave jednaka je 4 d=360 0 ,

Inverzni teorem.

Ako a zbroj dva kuta, koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranu i ne pokrivaju jedan drugog, jednak je dva prava kuta (2d), tada su takvi kutovi - srodni, tj. druge dvije strane su ravna crta.

Ako iz jedne točke (O) pravca (AB) na nju uspostavimo okomice, sa svake njegove strane, tada te okomice tvore jedan pravac (CD). S bilo koje točke izvan linije, možete se spustiti na ovu liniju okomito i samo jedan.

Jer zbroj uglova KLIP i BOD jednak je 2d.

RavnoIZ dijelovi kojih OIZ i OD su okomiti na pravac AB, naziva se pravac okomit na AB.

Ako je ravno IZD okomito na liniju AB, i obrnuto: AB okomito na IZD jer dijelovi OA i OB služe također okomito na IZD. Stoga, izravni AB i IZD nazvao međusobno okomiti.

To dvoje ravno AB i IZD međusobno okomiti, pismeno izraženi kao AB^ IZD.

Dva ugla se zovu vertikalna ako su stranice jedne nastavak stranica druge.

Dakle, kada se dvije linije sijeku AB i IZD formiraju se dva para okomitih kutova: AOD i KLIP; AOC i DOB .

Teorema.

Dva vertikalni kut jednak .

Neka su dana dva okomita kuta: AOD i IZOB oni. OB postoji nastavak OA, a OIZ nastavak OD.

To je potrebno dokazati AOD = IZOB.

Prema svojstvu susjednih kutova možemo napisati:

AOD + DOB= 2 d

DOB + BOC = 2d

Sredstva: AOD + DOB = DOB + BOC.

Ako oduzmete od oba dijela ovoga jednakost po kutu DOB, dobivamo:

AOD = BOC, što je trebalo dokazati.

Na sličan način ćemo i to dokazati AOC = DOB.

Na ovu lekciju sami ćemo razmotriti i razumjeti koncept susjednih kutova. Razmotrimo teorem koji ih se tiče. Uvedimo pojam "okomiti kutovi". Razmotrite potkrepljujuće činjenice u vezi s ovim kutovima. Zatim ćemo formulirati i dokazati dvije korolare o kutu između simetrala okomitih kutova. Na kraju lekcije razmotrit ćemo nekoliko problema posvećenih ovoj temi.

Započnimo našu lekciju konceptom "susjedni kutovi". Slika 1 prikazuje razvijeni kut ∠AOC i polupravu OB koja taj kut dijeli na 2 kuta.

Riža. 1. Kut ∠AOC

Promotrimo kutove ∠AOB i ∠BOC. Posve je očito da imaju zajedničku stranicu VO, dok su stranice AO i OS suprotne. Zrake OA i OS se međusobno nadopunjuju, što znači da leže na istoj ravnoj liniji. Kutovi ∠AOB i ∠BOC su susjedni.

Definicija: Ako dva kuta imaju zajedničku stranicu, a druge dvije stranice su komplementarne zrake, tada se ti kutovi nazivaju srodni.

Teorem 1: Zbroj susjednih kutova je 180 o.

Riža. 2. Crtež za teorem 1

∠MOL + ∠LON = 180o. Ova tvrdnja je točna jer zraka OL dijeli ravni kut ∠MON na dva susjedna kuta. Odnosno, ne znamo mjere stupnja niti jedan od susjednih kutova, nego znamo samo njihov zbroj - 180 o.

Razmotrimo sjecište dviju linija. Na slici je prikazano sjecište dviju pravaca u točki O.

Riža. 3. Vertikalni kutovi ∠BOA i ∠COD

Definicija: Ako su stranice jednog kuta nastavak drugog kuta, onda se takvi kutovi nazivaju okomitima. Zato su na slici prikazana dva para okomitih kutova: ∠AOB i ∠COD, kao i ∠AOD i ∠BOC.

Teorem 2: Vertikalni kutovi su jednaki.

Poslužimo se slikom 3. Promotrimo razvijeni kut ∠AOC. ∠AOB \u003d ∠AOC - ∠BOC \u003d 180 o - β. Promotrimo razvijeni kut ∠BOD. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β.

Iz ovih razmatranja zaključujemo da je ∠AOB = ∠COD = α. Slično, ∠AOD = ∠BOC = β.

Posljedica 1: Kut između simetrala susjednih kutova je 90°.

Riža. 4. Crtež za posljedicu 1

Kako je OL simetrala kuta ∠BOA, onda je kut ∠LOB = , slično kao i ∠BOK = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Zbroj kutova α + β jednak je 180 o jer su ti kutovi susjedni.

Posljedica 2: Kut između simetrala okomitih kutova je 180°.

Riža. 5. Crtež za posljedicu 2

KO je simetrala ∠AOB, LO je simetrala ∠COD. Očito je ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Zbroj kutova α + β jednak je 180 o jer su ti kutovi susjedni.

Razmotrimo neke zadatke:

Odredite kut uz ∠AOC ako je ∠AOC = 111 o.

Napravimo crtež za zadatak:

Riža. 6. Crtanje na primjer 1

Kako su ∠AOC = β i ∠COD = α susjedni kutovi, tada je α + β = 180 o. Odnosno, 111 o + β \u003d 180 o.

Dakle, β = 69 o.

Ova vrsta problema iskorištava teorem o zbroju susjednih kutova.

Jedan od susjednih kutova je pravi kut, koji (oštar, tupi ili pravi) je drugi kut?

Ako je jedan od kutova prav, a zbroj ta dva kuta iznosi 180°, tada je i drugi kut prav. Ovim se zadatkom provjerava znanje o zbroju susjednih kutova.

Je li točno da su susjedni kutovi pravi kutovi ako su jednaki?

Napravimo jednadžbu: α + β = 180 o, ali kako je α = β, onda je β + β = 180 o, što znači β = 90 o.

Odgovor: Da, izjava je točna.

S obzirom na dva jednaki kutovi. Je li istina da će i njima susjedni kutovi biti jednaki?

Riža. 7. Crtanje na primjer 4

Ako su dva kuta jednaka α, tada će njihovi odgovarajući susjedni kutovi biti 180 o - α. Odnosno, oni će biti jednaki jedni drugima.

Odgovor: Izjava je istinita.

1. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. itd. Geometrija 7. - M.: Prosvjeta.
2. Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomcev S.B. i dr. Geometrija 7. 5. izd. - M.: Prosvjeta.
3. \Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, uredio V.A. Sadovnichy. - M.: Obrazovanje, 2010.

1. Mjerenje segmenata ().
2. Opća lekcija o geometriji u 7. razredu ().
3. Ravna linija, segment ().

1. Broj 13, 14. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, uredio V.A. Sadovnichy. - M.: Obrazovanje, 2010.
2. Nađi dva susjedna kuta ako je jedan od njih 4 puta veći od drugog.
3. S obzirom na kut. Izgradite susjedne i okomite kutove za to. Koliko se takvih uglova može izgraditi?
4. * U kojem slučaju se dobiva više parova okomitih kutova: kada se tri pravca sijeku u jednoj točki ili u tri točke?