Ovaj članak je odgovor na dva pitanja: "Što je" i "Kako pronaći koordinate projekcije točke na ravninu"? Prvo se daju potrebne informacije o projekciji i njezinim vrstama. Zatim se daje definicija projekcije točke na ravninu i daje se grafička ilustracija. Nakon toga dobivena je metoda za pronalaženje koordinata projekcije točke na ravninu. U zaključku se analiziraju rješenja primjera u kojima se izračunavaju koordinate projekcije zadane točke na zadanu ravninu.

Navigacija po stranici.

Projekcija, vrste projekcija - potrebne informacije.

Prilikom proučavanja prostornih figura, prikladno je koristiti njihove slike na crtežu. Crtanje prostorne figure je tzv projekcija ovu cifru u avion. Proces izgradnje slike prostornog lika na ravnini odvija se prema određenim pravilima. Tako se proces konstruiranja slike prostorne figure na ravnini, zajedno sa skupom pravila po kojima se taj proces provodi, naziva projekcija figure na ovoj ravnini. Ravnina u kojoj se gradi slika zove se projekcijska ravnina.

Ovisno o pravilima po kojima se projekcija provodi, postoje središnji i paralelna projekcija. Nećemo ulaziti u detalje, jer je to izvan okvira ovog članka.

U geometriji se uglavnom koristi poseban slučaj paralelne projekcije - okomita projekcija, koji se također zove ortogonalni. U nazivu ove vrste projekcije često se izostavlja pridjev "okomit". Odnosno, kada u geometriji govore o projekciji lika na ravninu, obično misle da je ta projekcija dobivena pomoću okomite projekcije (ako nije drugačije navedeno, naravno).

Treba napomenuti da je projekcija lika na ravninu skup projekcija svih točaka ovog lika na ravninu projekcije. Drugim riječima, da bi se dobila projekcija određenog lika, potrebno je znati pronaći projekcije točaka tog lika na ravninu. Sljedeći odlomak članka samo pokazuje kako pronaći projekciju točke na ravninu.

Projekcija točke na ravninu - definicija i ilustracija.

Još jednom naglašavamo da ćemo govoriti o okomitoj projekciji točke na ravninu.

Napravimo konstrukcije koje će nam pomoći u definiranju projekcije točke na ravninu.

Neka nam je u trodimenzionalnom prostoru dana točka M 1 i ravnina. Povucimo pravu a kroz tocku M 1, okomitu na ravninu. Ako točka M 1 ne leži u ravnini, tada točku presjeka pravca a i ravnine označavamo kao H 1. Dakle, po konstrukciji, točka H 1 je baza okomice spuštene iz točke M 1 na ravninu.

Definicija.

Projekcija točke M 1 na ravninu je sama točka M 1, ako , ili točka H 1, ako .

Sljedeća definicija je ekvivalentna ovoj definiciji projekcije točke na ravninu.

Definicija.

Projekcija točke na ravninu- ovo je ili sama točka, ako leži u danoj ravnini, ili baza okomice spuštena iz ove točke na danu ravninu.

Na donjem crtežu točka H 1 je projekcija točke M 1 na ravninu; točka M 2 leži u ravnini, stoga je M 2 projekcija same točke M 2 na ravninu.

Nalaženje koordinata projekcije točke na ravninu – rješavanje primjera.

Neka se Oxyz uvede u trodimenzionalni prostor, točku i avion. Postavimo si zadatak: odrediti koordinate projekcije točke M 1 na ravninu.

Rješenje zadatka logično slijedi iz definicije projekcije točke na ravninu.

Označimo projekciju točke M 1 na ravninu kao H 1 . Po definiciji, projekcija točke na ravninu, H 1 je presječna točka dane ravnine i ravne a koja prolazi kroz točku M 1 okomito na ravninu. Dakle, željene koordinate projekcije točke M 1 na ravninu su koordinate točke presjeka pravca a i ravnine.

Stoga, pronaći koordinate projekcije točke u avionu trebate:

Razmotrimo primjere.

Primjer.

Pronađite koordinate projekcije točke do aviona .

Odluka.

U uvjetu zadatka dana nam je opća jednadžba ravnine forme , tako da ga nije potrebno sastavljati.

Napišimo kanonske jednadžbe ravne a, koja prolazi točkom M 1 okomito na zadanu ravninu. Da bismo to učinili, dobivamo koordinate usmjerivača vektora ravne a. Budući da je pravac a okomit na danu ravninu, vektor smjera pravca a je normalni vektor ravnine . tj. - usmjeravajući vektor ravne a . Sada možemo napisati kanonske jednadžbe ravne u prostoru koja prolazi kroz točku i ima vektor smjera :
.

Da bismo dobili potrebne koordinate projekcije točke na ravninu, ostaje odrediti koordinate točke presjeka pravca i avion . Da bismo to učinili, iz kanonskih jednadžbi ravne linije, prelazimo na jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku, sastavljamo sustav jednadžbi i pronaći njegovo rješenje. Koristimo:

Dakle, projekcija točke do aviona ima koordinate.

Odgovor:

Primjer.

U pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru, točke i . Odredite koordinate projekcije točke M 1 na ravninu ABC.

Odluka.

Napišimo najprije jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

Ali pogledajmo alternativni pristup.

Uzmimo parametarske jednadžbe ravne a , koja prolazi kroz točku i okomito na ravninu ABC. Normalni vektor ravnine ima koordinate , dakle, vektor je vektor smjera pravca a . Sada možemo napisati parametarske jednadžbe ravne u prostoru, budući da znamo koordinate točke na pravoj liniji ( ) i koordinate njegovog vektora smjera ( ):

Ostaje odrediti koordinate točke presjeka linije i avioni. Da bismo to učinili, zamjenjujemo u jednadžbu ravnine:
.

Sada parametarskim jednadžbama izračunaj vrijednosti varijabli x, y i z na:
.

Dakle, projekcija točke M 1 na ravninu ABC ima koordinate.

Odgovor:

Zaključno, razgovarajmo o pronalaženju koordinata projekcije neke točke na koordinatne ravnine i ravnine paralelne s koordinatnim ravninama.

točkaste projekcije na koordinatne ravnine Oxy , Oxz i Oyz su točke s koordinatama i shodno tome. I projekcije točke u avionu i , koje su paralelne s koordinatnim ravninama Oxy , Oxz i Oyz redom, točke su s koordinatama i .

Pokažimo kako su ovi rezultati dobiveni.

Na primjer, pronađimo projekciju točke u ravninu (drugi slučajevi su slični ovome).

Ova je ravnina paralelna s koordinatnom ravninom Oyz i njezin je vektor normale. Vektor je vektor smjera pravca okomitog na ravninu Oyza. Tada parametarske jednadžbe ravne koja prolazi točkom M 1 okomito na zadanu ravninu imaju oblik .

Pronađite koordinate točke presjeka pravca i ravnine. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo u jednadžbu jednakosti: , i projekciju točke

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi svezak: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Točka, kao matematički koncept, nema dimenzije. Očito, ako je objekt projekcije nultodimenzionalan objekt, onda je besmisleno govoriti o njegovoj projekciji.

sl.9 sl.10

U geometriji je pod točkom preporučljivo uzeti fizički objekt koji ima linearne dimenzije. Konvencionalno se kao točka može uzeti lopta beskonačno malog polumjera. Ovakvim tumačenjem pojma točke možemo govoriti o njezinim projekcijama.

Prilikom konstruiranja ortogonalnih projekcija točke treba se voditi prvim nepromjenjivim svojstvom ortogonalne projekcije: ortogonalna projekcija točke je točka.

Položaj točke u prostoru određen je s tri koordinate: X, Y, Z, koji prikazuje udaljenosti na kojima je točka udaljena od ravnina projekcije. Da bi se odredile te udaljenosti, dovoljno je odrediti točke susreta ovih linija s ravninama projekcije i izmjeriti odgovarajuće vrijednosti, koje će ukazati na vrijednosti apscise. x, ordinate Y i aplikacije Z točke (slika 10).

Projekcija točke je baza okomice spuštene iz točke na odgovarajuću ravninu projekcije. Horizontalna projekcija bodova a nazovimo pravokutnu projekciju točke na vodoravnu ravninu projekcija, frontalna projekcija a /- odnosno na frontalnoj ravnini projekcija i profil a // – na ravnini projekcije profila.

Direktno Aa, Aa / i Aa // nazivaju se projicirajućim linijama. U isto vrijeme, izravni Ah, projekcijska točka ALI na horizontalnoj ravnini projekcija, tzv vodoravno izbočena linija, Aa / i Aa //- odnosno: frontalno i ravne linije koje projiciraju profil.

Dvije projicirane linije koje prolaze kroz točku ALI definirati ravninu, koja se zove projiciranje.

Prilikom pretvorbe prostornog rasporeda, frontalna projekcija točke A - a / ostaje na mjestu kao da pripada ravnini koja ne mijenja svoj položaj pod razmatranom transformacijom. Horizontalna projekcija - a zajedno s vodoravnom ravninom projekcije okrenut će se u smjeru kretanja kazaljke na satu i nalazit će se na jednoj okomici na os x s prednjom projekcijom. Projekcija profila - a // rotirati će zajedno s ravninom profila i do kraja transformacije zauzeti poziciju prikazanu na slici 10. Istovremeno - a // bit će okomita na os Z izvučeno iz točke a / i bit će uklonjena s osi Z ista udaljenost kao i horizontalna projekcija a udaljeno od osi x. Stoga se veza između horizontalne i profilne projekcije točke može uspostaviti pomoću dva ortogonalna segmenta aa y i a y a // i konjugirajući luk kružnice sa središtem u točki presjeka osi ( O- podrijetlo). Označena veza služi za pronalaženje projekcije koja nedostaje (za dvije zadane). Položaj profilne (horizontalne) projekcije prema zadanim horizontalnim (profilnim) i frontalnim projekcijama može se pronaći pomoću ravne linije povučene pod kutom od 45 0 od ishodišta do osi Y(ova simetrala se naziva ravna linija) k je Mongeova konstanta). Prva od ovih metoda je poželjnija, jer je točnija.

Stoga:

1. Uklonjena točka u prostoru:

iz horizontalne ravnine H Z,

iz frontalne ravnine V po vrijednosti zadane koordinate Y,

iz profilne ravnine W po vrijednosti koordinate. x.

2. Dvije projekcije bilo koje točke pripadaju istoj okomici (jedna spojna linija):

horizontalno i frontalno - okomito na os x,

horizontalno i profilno - okomito na os Y,

frontalni i profilni - okomito na os Z.

3. Položaj točke u prostoru potpuno je određen položajem njezinih dviju ortogonalnih projekcija. Stoga - iz bilo koje dvije zadane ortogonalne projekcije točke uvijek je moguće konstruirati njezinu treću projekciju koja nedostaje.

Ako točka ima tri određene koordinate, onda se takva točka naziva točka u općem položaju. Ako točka ima jednu ili dvije koordinate jednake nuli, tada se takva točka naziva privatna pozicijska točka.

Riža. 11 sl. 12

Slika 11 prikazuje prostorni crtež točaka određenog položaja, slika 12 prikazuje složeni crtež (dijagrame) tih točaka. Točka ALI pripada ravnini frontalne projekcije, točki NA– horizontalna ravnina projekcija, točka S– profilna ravnina projekcija i točka D– os apscise ( x).

Pomoćna linija višestrukog crteža

Na crtežu prikazanom na sl. 4.7, a, nacrtane su projekcijske osi, a slike su međusobno povezane komunikacijskim linijama. Horizontalne i profilne projekcije povezane su komunikacijskim linijama pomoću lukova centriranih u točki O sjecišta osi. Međutim, u praksi se koristi i druga implementacija integriranog crteža.

Na crtežima bez osi slike se također postavljaju u projekcijski odnos. Međutim, treća projekcija se može postaviti bliže ili dalje. Na primjer, projekcija profila može se postaviti udesno (slika 4.7, b, II) ili lijevo (slika 4.7, b, ja). To je važno za uštedu prostora i jednostavno dimenzioniranje.

Riža. 4.7.

Ako je na crtežu izrađenom prema bezosnom sustavu potrebno povući komunikacijske linije između pogleda odozgo i lijevog pogleda, tada se koristi pomoćna ravna crta složenog crteža. Da biste to učinili, otprilike na razini gornjeg pogleda i malo desno od njega, povlači se ravna linija pod kutom od 45 ° u odnosu na okvir za crtanje (slika 4.8, a). Zove se pomoćna linija složenog crteža. Postupak konstruiranja crteža pomoću ove ravne linije prikazan je na sl. 4.8, b, c.

Ako su već izgrađena tri pogleda (slika 4.8, d), tada se položaj pomoćne linije ne može birati proizvoljno. Prvo morate pronaći točku kroz koju će proći. Da biste to učinili, dovoljno je nastaviti do međusobnog presjeka osi simetrije horizontalne i profilne projekcije i kroz rezultirajuću točku k nacrtajte ravnu liniju pod kutom od 45 ° (slika 4.8, d). Ako nema osi simetrije, nastavite do raskrižja u točki k 1 horizontalne i profilne projekcije bilo kojeg lica projicirane kao ravna linija (slika 4.8, d).

Riža. 4.8.

Potreba za crtanjem komunikacijskih linija, a time i pomoćne ravne linije, javlja se prilikom konstruiranja nedostajućih projekcija i pri izvođenju crteža na kojima je potrebno odrediti projekcije točaka kako bi se razjasnile projekcije pojedinih elemenata dijela.

Primjeri korištenja pomoćnog retka dati su u sljedećem odlomku.

Projekcije točke koja leži na površini predmeta

Da bi se pri izradi crteža pravilno izgradile projekcije pojedinih elemenata dijela, potrebno je na svim crtežnim slikama moći pronaći projekcije pojedinih točaka. Na primjer, teško je nacrtati horizontalnu projekciju dijela prikazanog na Sl. 4.9 bez korištenja projekcija pojedinačnih točaka ( A B C D E i tako dalje.). Sposobnost pronalaženja svih projekcija točaka, rubova, lica neophodna je i za rekreiranje u mašti oblika predmeta prema njegovim ravnim slikama na crtežu, kao i za provjeru ispravnosti dovršenog crteža.

Riža. 4.9.

Razmotrimo načine nalaženja druge i treće projekcije točke zadane na površini predmeta.

Ako je u crtežu predmeta dana jedna projekcija točke, tada je najprije potrebno pronaći projekcije površine na kojoj se ta točka nalazi. Zatim odaberite jednu od dvije dolje opisane metode za rješavanje problema.

Prvi način

Ova metoda se koristi kada barem jedna od projekcija prikazuje danu površinu kao pravac.

Na sl. 4.10, a prikazan je cilindar na čijoj je čeonoj projekciji postavljena projekcija a" bodova ALI, koja leži na vidljivom dijelu njezine površine (dane izbočine označene su dvobojnim kružićima). Pronaći horizontalnu projekciju točke ALI, tvrde kako slijedi: točka leži na površini cilindra čija je horizontalna projekcija kružnica. To znači da će projekcija točke koja leži na ovoj površini također ležati na kružnici. Nacrtajte komunikacijsku liniju i označite željenu točku na njezinom sjecištu s krugom a. treća projekcija a"

Riža. 4.10.

Ako je točka NA, koji leži na gornjoj bazi cilindra, dano njegovom horizontalnom projekcijom b, zatim se komunikacijske linije povlače do raskrižja s ravnim segmentima koji prikazuju čeonu i profilnu projekciju gornje baze cilindra.

Na sl. 4.10, b prikazuje detalj - naglasak. Konstruirati projekcije točke ALI, dan svojom horizontalnom projekcijom a, pronađite dvije druge projekcije gornjeg lica (na kojem leži točka ALI) i povlačeći linije povezivanja do sjecišta sa segmentima koji prikazuju ovo lice, odredite željene projekcije - točke a" i a". Točka NA leži na lijevoj okomitoj strani, što znači da će i njezine projekcije ležati na projekcijama ovog lica. Dakle, iz zadane točke b" crtajte komunikacijske linije (kao što je označeno strelicama) sve dok se ne sretnu sa segmentima linija koji prikazuju ovo lice. frontalna projekcija s" bodova S, koji leže na nagnutom (u prostoru) licu, nalaze se na liniji koja prikazuje ovo lice, a profil s"- na sjecištu priključne linije, budući da projekcija profila ovog lica nije crta, već lik. Izrada točkastih projekcija D prikazano strelicama.

Drugi način

Ova metoda se koristi kada se prva metoda ne može koristiti. Onda biste trebali učiniti ovo:

• povući kroz zadanu projekciju točke projekciju pomoćne linije koja se nalazi na zadanoj plohi;
• pronađite drugu projekciju ove linije;
• na pronađenu projekciju pravca prenesite zadanu projekciju točke (to će odrediti drugu projekciju točke);
• pronađite treću projekciju (ako je potrebno) na raskrižju komunikacijskih linija.

Na sl. 4.10, data je frontalna projekcija a" bodova ALI, koji leži na vidljivom dijelu površine stošca. Pronaći horizontalnu projekciju kroz točku a" izvršiti frontalnu projekciju pomoćne ravne koja prolazi kroz točku ALI i vrh stošca. Dobiti bod V je projekcija točke susreta nacrtane linije s bazom stošca. Imajući frontalne projekcije točaka koje leže na ravnoj crti, mogu se pronaći njihove horizontalne projekcije. Horizontalna projekcija s vrh stošca je poznat. Točka b leži na obodu baze. Kroz ove točke se povlači segment i na njega se prenosi točka (kao što je prikazano strelicom). a", dobivanje boda a. Treća projekcija a" bodova ALI nalazi na raskrižju.

Isti problem može se riješiti drugačije (slika 4.10, G).

Kao pomoćna linija koja prolazi kroz točku ALI, ne uzimaju ravnu liniju, kao u prvom slučaju, već krug. Ovaj krug nastaje ako je u točki ALI sijeku konus ravninom paralelnom s bazom, kao što je prikazano na vizualnom prikazu. Frontalna projekcija ove kružnice bit će prikazana kao pravi segment, budući da je ravnina kružnice okomita na ravninu frontalne projekcije. Horizontalna projekcija kružnice ima promjer jednak duljini ovog segmenta. Opisujući krug navedenog promjera, nacrtajte iz točke a" spojna linija do raskrižja s pomoćnom kružnicom, budući da je horizontalna projekcija a bodova ALI leži na pomoćnoj liniji, t.j. na konstruiranoj kružnici. treća projekcija kao" bodova ALI nalazi na raskrižju komunikacijskih linija.

Na isti način možete pronaći projekcije točke koja leži na površini, na primjer, piramide. Razlika će biti u tome što kada ga prijeđe vodoravna ravnina, ne nastaje krug, već lik sličan bazi.

Ciljevi:

• Proučavanje pravila za građenje projekcija točaka na površini predmeta i čitanje crteža.
• Razvijati prostorno razmišljanje, sposobnost analiziranja geometrijskog oblika predmeta.
• Njegovati marljivost, sposobnost suradnje u radu u grupama, interes za predmet.

TIJEKOM NASTAVE

I STUDIJA. MOTIVIRANJE AKTIVNOSTI UČENJA.

II FAZA. FORMIRANJE ZNANJA, VJEŠTINA I VJEŠTINA.

PAUZA ZA ŠTEDENJE ZDRAVLJA. REFLEKSIJA (RASPOSOBLJENJE)

FAZA III. INDIVIDUALNI RAD.

I STUDIJA. MOTIVIRANJE AKTIVNOSTI UČENJA

1) Učitelj, nastavnik, profesor: Provjerite svoje radno mjesto, je li sve na svom mjestu? Jesu li svi spremni za polazak?

DUBOKO UDIŠI, ZADRŽI DAH NA ISPUH, IZDIHNI.

Odredite svoje raspoloženje na početku lekcije prema shemi (takva je shema na stolu za sve)

ŽELIM VAM SREĆU.

2)Nastavnik: Praktični rad na temu “ Projekcije vrhova, rubova, lica” pokazao je da postoje dečki koji griješe pri projektiranju. Oni se zbune koja je od dvije podudarne točke na crtežu vidljivi vrh, a koja nevidljiva; kada je brid paralelan s ravninom, a kada je okomit. Ista stvar s rubovima.

Kako biste izbjegli ponavljanje pogrešaka, obavite potrebne zadatke pomoću kartice za savjetovanje i ispravite pogreške u praktičnom radu (ručno). I dok radite, zapamtite:

“SVAKO MOŽE GRIJEŠITI, OSTATI NA SVOJOJ GRIŠCI – SAMO LUDI”.

A oni koji su dobro svladali temu radit će u grupama s kreativnim zadacima (vidi. dodatak 1 ).

II FAZA. FORMIRANJE ZNANJA, VJEŠTINA I VJEŠTINA

1)Učitelj, nastavnik, profesor: U proizvodnji postoji mnogo dijelova koji su međusobno pričvršćeni na određeni način.
Na primjer:
Poklopac radne površine pričvršćen je na okomite stupove. Obratite pažnju na stol za kojim se nalazite, kako i čime su poklopac i stalci međusobno pričvršćeni?

Odgovor: Vijak.

Učitelj, nastavnik, profesor:Što je potrebno za vijak?

Odgovor: Rupa.

Učitelj, nastavnik, profesor: Stvarno. A da biste napravili rupu, morate znati njezino mjesto na proizvodu. Prilikom izrade stola stolar ne može svaki put kontaktirati kupca. Dakle, koja je potreba za osiguranjem stolara?

Odgovor: Crtanje.

Učitelj, nastavnik, profesor: Crtanje!? Kako zovemo crtež?

Odgovor: Crtež je slika predmeta pravokutnim projekcijama u projekcijskom spoju. Prema crtežu, možete predstaviti geometrijski oblik i dizajn proizvoda.

Učitelj, nastavnik, profesor: Završili smo pravokutne projekcije, a onda? Hoćemo li iz jedne projekcije moći odrediti mjesto rupa? Što još trebamo znati? Što naučiti?

Odgovor: Izgradite bodove. Pronađite projekcije ovih točaka u svim pogledima.

Učitelj, nastavnik, profesor: Dobro napravljeno! Ovo je svrha naše lekcije, a tema: Konstrukcija projekcija točaka na površini objekta. Zapiši temu lekcije u svoju bilježnicu.
Vi i ja znamo da je bilo koja točka ili segment na slici objekta projekcija vrha, ruba, lica, t.j. svaki pogled je slika ne s jedne strane (pog. pogled, pogled odozgo, pogled slijeva), nego cijeli objekt.
Da biste ispravno pronašli projekcije pojedinih točaka koje leže na plohama, prvo morate pronaći projekcije ovog lica, a zatim pomoću veznih linija pronaći projekcije točaka.

(Gledamo crtež na ploči, radimo u bilježnici gdje se kod kuće izrađuju 3 projekcije istog dijela).

- Otvorio bilježnicu s dovršenim crtežom (Objašnjenje konstrukcije točaka na površini predmeta s vodećim pitanjima na ploči, a učenici to popravljaju u bilježnicu.)

Učitelj, nastavnik, profesor: Razmotrite točku NA. S kojom je ravninom paralelno lice s ovom točkom?

Odgovor: Lice je paralelno s frontalnom ravninom.

Učitelj, nastavnik, profesor: Postavljamo projekciju točke b' u frontalnoj projekciji. Povucite prema dolje od točke b' vertikalna linija komunikacije prema horizontalnoj projekciji. Gdje će biti horizontalna projekcija točke? NA?

Odgovor: Na raskrižju s horizontalnom projekcijom lica koje je projicirano u rub. I nalazi se na dnu projekcije (pogleda).

Učitelj, nastavnik, profesor: Projekcija profila točke b'' gdje će se nalaziti? Kako ćemo ga pronaći?

Odgovor: Na raskrižju horizontalne komunikacijske linije od b' s okomitim rubom na desnoj strani. Ovaj rub je projekcija lica s točkom NA.

ONI KOJI ŽELE IZGRADITI SLJEDEĆU PROJEKCIJU TOČKE POZIVAJU SE NA PLOČU.

Učitelj, nastavnik, profesor: Točkaste projekcije ALI također se nalaze pomoću komunikacijskih linija. Koja je ravnina paralelna s rubom s točkom ALI?

Odgovor: Lice je paralelno s ravninom profila. Postavili smo točku na projekciju profila a'' .

Učitelj, nastavnik, profesor: Na kojoj se projekciji lice projicira u rub?

Odgovor: Na prednjoj i horizontalnoj. Nacrtajmo vodoravnu liniju veze do raskrižja s okomitim rubom lijevo na frontalnoj projekciji, dobivamo točku a' .

Učitelj, nastavnik, profesor: Kako pronaći projekciju točke ALI na horizontalnoj projekciji? Uostalom, komunikacijske linije iz projekcije točaka a' i a'' ne sijeku projekciju lica (ruba) na horizontalnoj projekciji s lijeve strane. Što nam može pomoći?

Odgovor: Možete koristiti stalnu ravnu liniju (određuje položaj pogleda na lijevoj strani). a'' crtati okomitu komunikacijsku liniju dok se ne siječe s konstantnom ravnom crtom. Od točke raskrižja povlači se vodoravna komunikacijska linija, sve dok se ne siječe okomitim rubom s lijeve strane. (Ovo je lice s točkom A) i označava projekciju točkom a .

2) Učitelj, nastavnik, profesor: Svatko ima karticu zadatka na stolu, s priloženim paus papirom. Razmotrite crtež, sada pokušajte sami, bez ponovnog crtanja projekcija, pronaći zadane projekcije točaka na crtežu.

– Pronađi u udžbeniku str. 76 sl. 93. Testirajte se. Tko je ispravno izveo - rezultat "5" "; jedna pogreška - "4"; dvije - "3".

(Ocjene postavljaju sami učenici u samokontrolnom listu).

- Prikupite kartice za testiranje.

3)Grupni rad: Vrijeme ograničeno: 4 min. + 2 min. provjere. (Dva stola s učenicima se kombiniraju, a unutar grupe se bira voditelj).

Za svaku grupu zadaci su raspoređeni u 3 razine. Učenici biraju zadatke po razinama, (po želji). Riješiti zadatke na konstrukciju točaka. Razgovarajte o izgradnji pod nadzorom voditelja. Zatim se točan odgovor prikazuje na ploči uz pomoć kodoskopa. Svi provjeravaju jesu li točke točno projicirane. Uz pomoć voditelja grupe daju se ocjene na zadacima i na listićima za samokontrolu (vidi. Dodatak 2 i Dodatak 3 ).

ZDRAVSTVENA PAUZA. ODRAZ

"faraonova poza"- sjednite na rub stolice, ispravite leđa, savijte ruke u laktovima, prekrižite noge i stavite prste. Udahnite, zategnite sve mišiće tijela dok zadržavate dah, izdahnite. Učinite 2-3 puta. Čvrsto zatvori oči, prema zvijezdama, otvori. Označite svoje raspoloženje.

FAZA III. PRAKTIČNI DIO. (Pojedinačni zadaci)

Na raspolaganju su vam kartice zadataka s različitim razinama. Učenici sami biraju svoju opciju. Pronađite projekcije točaka na površini predmeta. Radovi se predaju i ocjenjuju za sljedeći sat. (cm. Dodatak 4 , Prilog 5 , Dodatak 6 ).

FAZA IV. ZAVRŠNI

1) Domaća zadaća. (Uputa). Izvodi se po razinama:

B - razumijevanje, na "3". Vježba 1 sl. 94a str. 77 - prema zadatku u udžbeniku: dopuni nedostajuće projekcije točaka na tim projekcijama.

B - aplikacija, na "4". Vježba 1 Slika 94 a, b. dovršite nedostajuće projekcije i označite vrhove na vizualnoj slici u 94a i 94b.

A - analiza, na "5". (Povećana težina.) npr. 4 sl.97 - konstruirati nedostajuće projekcije točaka i označiti ih slovima. Nema vizualne slike.

2)Reflektivna analiza.

1. Odredite raspoloženje na kraju lekcije, označite ga na listu za samokontrolu bilo kojim znakom.
2. Što ste novo naučili na lekciji danas?
3. Koji je oblik rada za vas najučinkovitiji: grupni, individualni i želite li da se ponovi na sljedećem satu?
4. Prikupite kontrolne liste.

3)"Pogrešan učitelj"

Učitelj, nastavnik, profesor: Naučili ste graditi projekcije vrhova, bridova, lica i točaka na površini objekta, poštujući sva pravila konstrukcije. Ali ovdje ste dobili crtež, gdje postoje greške. Sada se okušajte kao učitelj. Pronađite pogreške sami, ako pronađete svih 8-6 pogrešaka, tada je rezultat "5", respektivno; 5–4 pogreške - "4", 3 pogreške - "3".

odgovori:

Razmotrimo profilnu ravninu projekcija. Projekcije na dvije okomite ravnine obično određuju položaj lika i omogućuju doznavanje njegovih stvarnih dimenzija i oblika. Ali postoje trenuci kada dvije projekcije nisu dovoljne. Zatim primijenite konstrukciju treće projekcije.

Treća projekcijska ravnina izvedena je tako da je istovremeno okomita na obje projekcijske ravnine (slika 15.). Treća ravnina se zove profil.

U takvim konstrukcijama naziva se zajednička crta horizontalne i frontalne ravnine os x , zajednička linija horizontalne i profilne ravnine - os na , a zajednička ravna linija frontalne i profilne ravnine - os z . Točka O, koji pripada sve tri ravnine, naziva se ishodišna točka.

Slika 15a prikazuje točku ALI i tri njegove projekcije. Projekcija na ravninu profila ( a) se zovu projekcija profila i označiti a.

Dobiti dijagram točke A, koji se sastoji od tri projekcije a, a a, potrebno je izrezati triedar koji čine sve ravnine duž osi y (slika 15b) i spojiti sve te ravnine s ravninom frontalne projekcije. Horizontalna ravnina mora biti rotirana oko osi x, a ravnina profila je blizu osi z u smjeru označenom strelicom na slici 15.

Slika 16 prikazuje položaj projekcija a, a i a bodova ALI, dobiveno kao rezultat kombiniranja sve tri ravnine s ravninom crtanja.

Kao rezultat rezanja, y-os se pojavljuje na dijagramu na dva različita mjesta. Na vodoravnoj ravnini (slika 16) zauzima okomit položaj (okomito na os x), a na ravnini profila - vodoravno (okomito na os z).

Slika 16 prikazuje tri projekcije a, a i a točke A imaju strogo definiran položaj na dijagramu i podliježu nedvosmislenim uvjetima:

a i a uvijek moraju biti smješteni na jednoj okomitoj pravoj liniji okomitoj na os x;

a i a uvijek moraju biti smješteni na istoj horizontalnoj liniji okomitoj na os z;

3) kada se povuče kroz horizontalnu projekciju i vodoravnu liniju, ali kroz profilnu projekciju a- okomita ravna linija, konstruirane linije će se nužno sijeći na simetrali kuta između osi projekcije, budući da je slika Oa na a 0 a n je kvadrat.

Prilikom konstruiranja triju projekcija točke potrebno je provjeriti ispunjenje sva tri uvjeta za svaku točku.

Koordinate točke

Položaj točke u prostoru može se odrediti pomoću tri broja koja se nazivaju njezinim koordinate. Svaka koordinata odgovara udaljenosti točke od neke ravnine projekcije.

Udaljenost točke ALI na profilnu ravninu je koordinata x, pri čemu x = a˝A(Sl. 15), udaljenost do frontalne ravnine - po koordinati y, a y = aa, a udaljenost do horizontalne ravnine je koordinata z, pri čemu z = aA.

Na slici 15. točka A zauzima širinu pravokutnog okvira, a mjere ovog okvira odgovaraju koordinatama ove točke, odnosno svaka od koordinata je na slici 15. prikazana četiri puta, tj.:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = áA = Oa y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Na dijagramu (slika 16) koordinate x i z pojavljuju se tri puta:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Svi segmenti koji odgovaraju koordinatnoj x(ili z) međusobno su paralelni. Koordinirati na dvaput predstavljeno okomitom osi:

y \u003d Oa y \u003d a x a

i dva puta - vodoravno:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Ova razlika nastala je zbog činjenice da je os y prisutna na dijagramu u dva različita položaja.

Treba napomenuti da je položaj svake projekcije na dijagramu određen samo dvije koordinate, i to:

1) horizontalno - koordinate x i na,

2) frontalni - koordinate x i z,

3) profil - koordinate na i z.

Korištenje koordinata x, y i z, možete izgraditi projekcije točke na dijagramu.

Ako je točka A data koordinatama, njihov se zapis definira na sljedeći način: A ( X; y; z).

Prilikom konstruiranja projekcija točaka ALI potrebno je provjeriti sljedeće uvjete:

1) horizontalne i frontalne projekcije a i a x x;

2) frontalne i profilne projekcije a i a treba biti smješten na istoj okomici na os z, budući da imaju zajedničku koordinatu z;

3) horizontalna projekcija i također uklonjena s osi x, poput projekcije profila a udaljeno od osi z, budući da projekcije a′ i a˝ imaju zajedničku koordinatu na.

Ako točka leži u bilo kojoj ravnini projekcije, tada je jedna od njenih koordinata jednaka nuli.

Kada točka leži na osi projekcije, njezine su dvije koordinate nula.

Ako točka leži u ishodištu, sve tri njene koordinate su nula.

Projekcija ravne linije

Za definiranje linije potrebne su dvije točke. Točku definiraju dvije projekcije na horizontalnu i frontalnu ravninu, tj. ravna crta se određuje pomoću projekcija njezinih dviju točaka na horizontalnu i frontalnu ravninu.

Slika 17 prikazuje projekcije ( a i a, b i b) dva boda ALI i B. Uz njihovu pomoć položaj neke ravne crte AB. Prilikom povezivanja istoimenih projekcija ovih točaka (tj. a i b, a i b) možete dobiti projekcije ab i ab izravni AB.

Slika 18 prikazuje projekcije obiju točaka, a slika 19 prikazuje projekcije ravne linije koja prolazi kroz njih.

Ako su projekcije ravne linije određene projekcijama njezinih dviju točaka, tada se označavaju s dva susjedna latinična slova koja odgovaraju oznakama projekcija točaka uzetih na ravnoj crti: potezima koji označavaju frontalnu projekciju ravna linija ili bez poteza - za horizontalnu projekciju.

Ako ne razmatramo pojedinačne točke ravne linije, već njezine projekcije u cjelini, tada su te projekcije označene brojevima.

Ako neka točka S leži na ravnoj liniji AB, njegove projekcije s i ś su na projekcijama istog pravca ab i ab. Slika 19 ilustrira ovu situaciju.

Ravni tragovi

trag ravno- ovo je točka njegova presjeka s nekom ravninom ili površinom (slika 20).

Horizontalna staza ravno neka točka se zove H gdje linija spaja horizontalnu ravninu, i frontalni- točka V, u kojem se ova ravna linija susreće s frontalnom ravninom (slika 20).

Slika 21a prikazuje horizontalni trag ravne crte i njen frontalni trag na slici 21b.

Ponekad se uzima u obzir i profilni trag ravne linije, W- točka presjeka ravne s ravninom profila.

Horizontalni trag je u horizontalnoj ravnini, tj. njegova horizontalna projekcija h poklapa se s ovim tragom, a frontalni h leži na x-osi. Frontalni trag leži u frontalnoj ravnini, pa se s njim poklapa njegova frontalna projekcija ν́, a horizontalna v leži na osi x.

Tako, H = h, i V= v. Stoga se za označavanje tragova ravne linije mogu koristiti slova h i v.

Različiti položaji linije

Ravna crta se zove izravni opći stav, ako nije ni paralelan ni okomit ni na jednu od ravnina projekcije. Projekcije pravca u općem položaju također nisu ni paralelne ni okomite na osi projekcije.

Prave koje su paralelne s jednom od ravnina projekcije (okomite na jednu od osi). Slika 22 prikazuje ravnu liniju koja je paralelna s horizontalnom ravninom (okomita na os z), je vodoravna ravna crta; slika 23 prikazuje ravnu liniju koja je paralelna s frontalnom ravninom (okomita na os na), je frontalna ravna linija; slika 24 prikazuje ravnu liniju koja je paralelna s ravninom profila (okomita na os x), je profilna ravna linija. Unatoč činjenici da svaka od ovih linija tvori pravi kut s jednom od osi, one je ne sijeku, već samo sijeku s njom.

Zbog činjenice da je vodoravna linija (slika 22) paralelna s horizontalnom ravninom, njezine frontalne i profilne projekcije bit će paralelne s osi koje definiraju horizontalnu ravninu, tj. x i na. Stoga projekcije ab|| x i a˝b˝|| na z. Horizontalna projekcija ab može zauzeti bilo koji položaj na grafu.

Na frontalnoj liniji (slika 23) projekcija ab|| x i a˝b˝ || z, tj. okomite su na os na, pa prema tome u ovom slučaju frontalna projekcija ab linija može zauzeti bilo koji položaj.

Na liniji profila (slika 24) ab|| y, ab|| z, a obje su okomite na os x. Projekcija a˝b˝ može se postaviti na dijagram na bilo koji način.

Kada se uzme u obzir ravnina koja projicira horizontalnu liniju na frontalnu ravninu (slika 22), možete vidjeti da ona projicira i ovu liniju na ravninu profila, tj. radi se o ravnini koja projicira liniju na dvije ravnine projekcije odjednom - frontalni i profil. Iz tog razloga se zove dvostruko projicirajuća ravnina. Na isti način, za frontalnu liniju (slika 23), dvostruko izbočena ravnina projicira je na ravnine horizontalne i profilne projekcije, a za profil (slika 23) - na ravnine horizontalne i frontalne projekcije .

Dvije projekcije ne mogu definirati ravnu liniju. Dvije projekcije 1 i jedan profilna ravna crta (slika 25) bez specificiranja projekcija dviju točaka ove ravne na njih neće odrediti položaj ove ravne crte u prostoru.

U ravnini koja je okomita na dvije zadane ravnine simetrije može postojati beskonačan broj linija za koje su podaci na dijagramu 1 i jedan su njihove projekcije.

Ako je točka na pravcu, tada njezine projekcije u svim slučajevima leže na istoimenim projekcijama na ovaj pravac. Suprotna situacija nije uvijek istinita za liniju profila. Na njegovim projekcijama možete proizvoljno naznačiti projekcije određene točke i ne biti sigurni da ta točka leži na danoj liniji.

U sva tri posebna slučaja (sl. 22, 23 i 24) položaj ravne u odnosu na ravninu projekcija je njen proizvoljni segment AB, uzet na svakoj od ravnih linija, projicira se na jednu od projekcijskih ravnina bez izobličenja, odnosno na ravninu s kojom je paralelna. Segment linije AB vodoravna ravna crta (slika 22) daje projekciju u prirodnoj veličini na horizontalnu ravninu ( ab = AB); linijski segment AB frontalna ravna linija (slika 23) - u punoj veličini na ravnini frontalne ravnine V ( ab = AB) i segment AB profil ravna linija (slika 24) - u punoj veličini na ravnini profila W (a˝b˝\u003d AB), tj. moguće je izmjeriti stvarnu veličinu segmenta na crtežu.

Drugim riječima, uz pomoć dijagrama mogu se odrediti prirodne dimenzije kutova koje razmatrana linija tvori s ravninama projekcije.

Kut koji ravna crta stvara s vodoravnom ravninom H, uobičajeno je označavati slovo α, s frontalnom ravninom - slovo β, s ravninom profila - slovo γ.

Nijedna od razmatranih ravnih linija nema traga na ravnini koja je paralelna s njom, tj. vodoravna ravna linija nema vodoravni trag (slika 22), frontalna ravna linija nema frontalni trag (slika 23), a profil ravna linija nema profilni trag (slika 24).