Smanjenje sličnih pojmova 7. Smanjenje sličnih pojmova (Wolfson G.I.)

METODE RJEŠAVANJA TRIGONOMETRIJSKIH NEJEDNAČBI

Relevantnost. Povijesno gledano, dane su trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe posebno mjesto V školski tečaj. Možemo reći da je trigonometrija jedan od najvažnijih dijelova školskog tečaja i cjeline matematička znanost općenito.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe zauzimaju jedno od središnjih mjesta u srednjoškolskom kolegiju matematike, kako u pogledu sadržaja nastavnog materijala, tako iu pogledu metoda obrazovne i kognitivne aktivnosti koje se mogu i trebaju formirati tijekom njihovog proučavanja i primijeniti na rješavanje. veliki broj problemi teorijske i primijenjene prirode.

Riješenje trigonometrijske jednadžbe a nejednakosti stvara preduvjete za usustavljivanje učeničkih znanja vezanih za sve obrazovni materijal u trigonometriji (primjerice, svojstva trigonometrijskih funkcija, metode transformacije trigonometrijskih izraza itd.) i omogućuje uspostavljanje učinkovitih veza s proučavanim gradivom u algebri (jednadžbe, ekvivalentnost jednadžbi, nejednadžbe, identične transformacije). algebarski izrazi itd.).

Drugim riječima, razmatranje metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi uključuje svojevrstan prijenos tih vještina na novi sadržaj.

Značaj teorije i njezine brojne primjene dokaz su relevantnosti odabrane teme. To vam zauzvrat omogućuje određivanje ciljeva, zadataka i predmeta istraživanja kolegija.

Svrha studije: generalizirati dostupne tipove trigonometrijske nejednakosti, osnovne i posebne metode za njihovo rješavanje, odabrati set zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi od strane učenika.

Ciljevi istraživanja:

1. Na temelju analize dostupne literature o temi istraživanja sistematizirati građu.

2. Dajte skup zadataka potrebnih za konsolidaciju teme "Trigonometrijske nejednakosti".

Predmet proučavanja su trigonometrijske nejednakosti u školskom tečaju matematike.

Predmet proučavanja: vrste trigonometrijskih nejednadžbi i metode njihova rješavanja.

Teorijski značaj je organizirati gradivo.

Praktični značaj: primjena teorijsko znanje u rješavanju problema; analiza glavnih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi koje se često susreću.

Metode istraživanja : analiza znanstvena literatura, sinteza i generalizacija stečenih znanja, analiza rješenja zadataka, pretraživanje optimalne metode rješenje nejednakosti.

§1. Vrste trigonometrijskih nejednadžbi i osnovne metode njihova rješavanja

1.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe

Dva trigonometrijski izrazi, povezane znakom ili >, nazivaju se trigonometrijske nejednadžbe.

Riješiti trigonometrijsku nejednadžbu znači pronaći skup vrijednosti nepoznanica uključenih u nejednadžbu, pod kojima je nejednakost zadovoljena.

Glavni dio trigonometrijskih nejednadžbi rješava se njihovim svođenjem na rješavanje najjednostavnijih:

Ovo može biti metoda faktorizacije, promjena varijable (
,
itd.), gdje se prvo rješava uobičajena nejednakost, a zatim nejednakost oblika
itd., ili na druge načine.

Najjednostavnije nejednadžbe rješavaju se na dva načina: pomoću jedinične kružnice ili grafički.

Nekaf(x  je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija. Za rješavanje nejednadžbe
dovoljno je pronaći njegovo rješenje na jednoj periodi, tj. na bilo kojem segmentu čija je duljina jednaka periodu funkcijef  x  . Tada će rješenje izvorne nejednadžbe biti pronađenox , kao i one vrijednosti koje se razlikuju od onih pronađenih bilo kojim cijelim brojem perioda funkcije. U ovom slučaju prikladno je koristiti grafičku metodu.

Navedimo primjer algoritma za rješavanje nejednadžbi
(
) I
.

Algoritam za rješavanje nejednadžbe
(
).

1. Formulirajte definiciju sinusa brojax na jediničnoj kružnici.

3. Na y-osi označite točku s koordinatoma .

4. Kroz dana točka povući pravac paralelan s osi OX i kružićem označiti njegove sjecišne točke.

5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu manju oda .

6. Odredite smjer premosnice (suprotno od kazaljke na satu) i zapišite odgovor dodavanjem perioda funkcije na krajeve intervala2πn ,
.

Algoritam za rješavanje nejednadžbe
.

1. Formulirajte definiciju tangensa brojax na jediničnoj kružnici.

2. Nacrtaj jediničnu kružnicu.

3. Nacrtaj tangentu i na njoj ordinatom označi točkua .

4. Spojite ovu točku s ishodištem i označite točku presjeka dobivenog segmenta s jediničnom kružnicom.

5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu na tangenti manju oda .

6. Označite smjer obilaženja i zapišite odgovor vodeći računa o opsegu funkcije uz točkupn ,
(broj lijevo od unosa je uvijek manje od broja stoji s desne strane).

Grafička interpretacija rješenja najjednostavnijih jednadžbi i formula za rješavanje nejednadžbi u opći pogled navedeni u prilogu (prilozi 1 i 2).

Primjer 1 Riješite nejednadžbu
.

Nacrtaj crtu na jediničnoj kružnici
, koja siječe krug u točkama A i B.

Sve vrijednostig na intervalu NM više , sve točke luka AMB zadovoljavaju ovu nejednakost. U svim kutovima rotacije, veliki , ali manji ,
poprimit će vrijednosti veće od (ali ne više od jednog).

Sl. 1

Dakle, rješenje nejednadžbe će biti sve vrijednosti u intervalu
, tj.
. Da bismo dobili sva rješenja ove nejednadžbe, dovoljno je zbrojiti krajeve tog intervala
, Gdje
, tj.
,
. Imajte na umu da vrijednosti
I
su korijeni jednadžbe
,

oni.
;
.

Odgovor:
,
.

1.2. Grafička metoda

U praksi je često korisna grafička metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Razmotrimo bit metode na primjeru nejednadžbe
:

1. Ako je argument složen (različit odx ), tada ga zamijenimo st .

2. Gradimo u jednom koordinatna ravnina također grafovi funkcija
I
.

3. Takve nalazimodvije susjedne točke presjeka grafova, između kojihsinusoidanalazi seviši ravno
. Odredite apscise tih točaka.

4. Snimanje dvostruka nejednakost za argumentt , uzimajući u obzir period kosinusa (t bit će između pronađenih apscisa).

5. Izvršite obrnutu zamjenu (vratite se na izvorni argument) i izrazite vrijednostx iz dvostruke nejednakosti, zapisujemo odgovor kao numerički interval.

Primjer 2 Riješite nejednadžbu: .

Pri rješavanju nejednadžbi grafička metoda potrebno je što točnije crtati grafove funkcija. Transformirajmo nejednakost u oblik:

Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu
I
(slika 2).

sl.2

Grafikoni funkcija sijeku se u točkiA s koordinatama
;
. Između
točke grafikona
ispod točaka karte
. I kada
vrijednosti funkcije su iste. Zato
na
.

Odgovor:
.

1.3. Algebarska metoda

Nerijetko se izvorna trigonometrijska nejednadžba, dobro odabranom zamjenom, može svesti na algebarsku (racionalnu ili iracionalnu) nejednadžbu. Ova metoda podrazumijeva transformaciju nejednadžbe, uvođenje supstitucije ili promjenu varijable.

Razmotrite dalje konkretni primjeri primjena ove metode.

Primjer 3 Svođenje na najjednostavniji oblik
.

(slika 3)

sl.3

,
.

Odgovor:
,

Primjer 4 Riješite nejednadžbu:

ODZ:
,
.

Korištenje formula:
,

nejednakost zapisujemo u obliku:
.

Ili, pod pretpostavkom
nakon jednostavnih transformacija dobivamo

,

,

.

Rješavajući posljednju nejednadžbu metodom intervala, dobivamo:

sl.4

, odnosno
. Zatim sa Sl. 4 slijedi
, Gdje
.

sl.5

Odgovor:
,
.

1.4. Metoda razmaka

Opća shema rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi metodom intervala:

Pomoću trigonometrijske formule razložiti na činioce.

Pronađite prijelomne točke i nule funkcije, stavite ih na krug.

Uzmite bilo koju točkuDO (ali ranije nisu pronađeni) i saznajte znak proizvoda. Ako je umnožak pozitivan, stavite točku izvan jedinične kružnice na zraku koja odgovara kutu. U suprotnom, stavite točku unutar kruga.

Ako se točka pojavljuje paran broj puta, nazivamo je točkom parne višestrukosti; ako se neparan broj puta, nazivamo je točkom neparne višestrukosti. Nacrtajte lukove na sljedeći način: počnite od točkeDO , ako je sljedeća točka neparnog višestrukosti, tada luk siječe kružnicu u ovoj točki, ali ako je točka parnog višestrukosti, tada se ne siječe.

Lukovi iza kruga su pozitivni razmaci; unutar kruga su negativni intervali.

Primjer 5 Riješite nejednadžbu

,
.

Bodovi prve serije:
.

Bodovi druge serije:
.

Svaka točka se pojavljuje neparan broj puta, odnosno sve točke neparnog višestrukosti.

Saznajte znak proizvoda na
: . Označavamo sve točke na jediničnoj kružnici (slika 6):

Riža. 6

Odgovor:
,
;
,
;
,
.

Primjer 6 . Riješite nejednadžbu.

Riješenje:

Nađimo nule izraza .

Dobitiaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Na jediničnoj kružnici, niz vrijednostix 1 predstavljena točkama
. Nizx 2 daje bodove
. Serijax 3 dobivamo dva boda
. Konačno, serijax 4 će predstavljati bodove
. Stavljamo sve te točke na jedinični krug, označavajući u zagradama pored svake njihovu višestrukost.

Sada neka broj bit će jednaki. Procjenu vršimo prema znaku:

Dakle poantaA treba odabrati na gredi koja tvori kut sa gredomOh, izvan jediničnog kruga. (Imajte na umu da je pomoćna zrakaOKO A ne mora biti prikazano na slici. TočkaA odabrano približno.)

Sada s točkeA crtamo valovitu kontinuiranu liniju uzastopno do svih označenih točaka. I to po točkama
naša crta prelazi iz jedne regije u drugu: ako je bila izvan jedinične kružnice, tada prelazi u nju. Približavanje točki , linija se vraća u unutarnje područje, budući da je višestrukost ove točke paran. Slično u točki (s parnim višestrukim) linija se mora okrenuti vanjsko područje. Dakle, nacrtali smo određenu sliku prikazanu na Sl. 7. Pomaže pri isticanju željenih područja na jediničnom krugu. Označeni su znakom "+".

sl.7

Konačan odgovor:

Bilješka. Ako se valovita linija nakon obilaska svih točaka označenih na jediničnoj kružnici ne može vratiti u točkuA , bez prelaska kruga na “nedopuštenom” mjestu, to znači da je u rješenju napravljena pogreška, naime izostavljen je neparan broj korijena.

Odgovor: .

§2. Skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi

U procesu razvijanja sposobnosti učenika za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi također se mogu razlikovati 3 faze.

1. pripremni,

2. formiranje vještina rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi;

3. uvođenje trigonometrijskih nejednadžbi drugih vrsta.

Svrha pripremne faze je da je potrebno formirati kod školaraca sposobnost korištenja trigonometrijskog kruga ili grafikona za rješavanje nejednakosti, i to:

Sposobnost rješavanja jednostavnih nejednadžbi oblika
,
,
,
, korištenje svojstava funkcije sinusa i kosinusa;

Sposobnost sastavljanja dvostrukih nejednakosti za lukove brojčani krug ili za lukove grafova funkcija;

Sposobnost izvođenja različitih transformacija trigonometrijskih izraza.

Preporuča se provesti ovu fazu u procesu sistematiziranja znanja učenika o svojstvima trigonometrijskih funkcija. Glavno sredstvo mogu biti zadaci koji se učenicima nude i izvode pod vodstvom nastavnika ili samostalno, kao i stečene vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Evo primjera takvih zadataka:

1 . Označite točku na jediničnoj kružnici , Ako

.

2. U kojoj se četvrtini koordinatne ravnine nalazi točka , Ako jednako:

3. Označite točke na trigonometrijskoj kružnici , ako:

4. Izraz dovesti do trigonometrijskih funkcijajačetvrtine.

A)
, b)
, V)

5. S obzirom na luk MR.M - sredinajačetvrt,R - sredinaIItromjesečje. Ograničite vrijednost varijablet za: (sastaviti dvostruku nejednadžbu) a) luk MP; b) RM lukovi.

6. Napišite dvostruku nejednadžbu za odabrane dijelove grafikona:

Riža. 1

7. Riješite nejednadžbe
,
,
,
.

8. Pretvori izraz .

U drugom stupnju učenja rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi možemo ponuditi sljedeće preporuke vezane uz metodologiju organizacije aktivnosti učenika. Istovremeno, potrebno je fokusirati se na vještine s kojima učenici već moraju raditi trigonometrijski krug ili graf nastao tijekom rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Prvo, moguće je motivirati svrsishodnost dobivanja opće metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi pozivajući se, na primjer, na nejednadžbu oblika
. Koristeći znanja i vještine stečene u pripremnoj fazi, učenici će predloženu nejednadžbu unijeti u obrazac
, ali može biti teško pronaći skup rješenja rezultirajuće nejednakosti, jer nemoguće ga je riješiti samo korištenjem svojstava sinusne funkcije. Ova se poteškoća može izbjeći ako se pogleda odgovarajuća ilustracija (rješenje jednadžbe grafički ili korištenjem jedinične kružnice).

Drugo, nastavnik treba učenicima skrenuti pozornost razne načine rješavajući zadatak dati odgovarajući uzorak za rješavanje nejednadžbe grafički i pomoću trigonometrijske kružnice.

Razmotrite takve opcije za rješavanje nejednadžbe
.

1. Rješavanje nejednadžbe pomoću jedinične kružnice.

U prvoj lekciji o rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi učenicima ćemo ponuditi detaljan algoritam rješavanja koji u postupnom prikazu odražava sve osnovne vještine potrebne za rješavanje nejednadžbe.

Korak 1.Nacrtajte jediničnu kružnicu, označite točku na y-osi i kroz nju povucite ravnu liniju paralelnu s osi x. Ova linija će presijecati jediničnu kružnicu u dvije točke. Svaka od ovih točaka prikazuje brojeve čiji je sinus jednak .

Korak 2Ova ravna crta dijeli krug na dva luka. Izdvojimo onu na kojoj su prikazani brojevi koji imaju sinus veći od . Naravno, ovaj luk se nalazi iznad nacrtane ravne linije.

Riža. 2

3. korakOdaberimo jedan od krajeva označenog luka. Zapišimo jedan od brojeva koji je predstavljen ovom točkom jedinične kružnice .

Korak 4Da bismo odabrali broj koji odgovara drugom kraju odabranog luka, "prolazimo" ovim lukom od imenovanog kraja do drugog. Pritom podsjećamo da se pri kretanju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu povećavaju brojevi koje ćemo mimoići (u suprotnom smjeru brojevi bi se smanjivali). Zapišimo broj koji je na jediničnoj kružnici prikazan drugim krajem označenog luka .

Dakle, vidimo da je nejednakost
zadovoljavaju brojevi za koje nejednakost
. Riješili smo nejednadžbu za brojeve koji se nalaze na istoj periodi funkcije sinusa. Stoga se sva rješenja nejednadžbe mogu napisati kao

Učenike treba zamoliti da pažljivo promotre sliku i odgonetnu zašto su sva rješenja nejednadžbe
može se napisati u obliku
,
.

Riža. 3

Potrebno je skrenuti pozornost učenicima da kod rješavanja nejednadžbi za kosinusnu funkciju povlačimo ravnu liniju paralelnu s osi y.

Grafički način rješenja nejednakosti.

Izrada dijagrama
I
, s obzirom na to
.

Riža. 4

Zatim napišemo jednadžbu
i njegovo rješenje
,
,
, pronađeno pomoću formula
,
,
.

(Davanjen vrijednosti 0, 1, 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe). Vrijednosti
su tri uzastopne apscise sjecišta grafova
I
. Očito, uvijek u intervalu
nejednakost
, i na intervalu
- nejednakost
. Zanima nas prvi slučaj, a zatim dodajući krajevima ovog intervala broj koji je višekratnik sinusne periode, dobivamo rješenje nejednadžbe
kao:
,
.

Riža. 5

Rezimirati. Za rješavanje nejednadžbe
, potrebno je sastaviti odgovarajuća jednadžba i riješiti ga. Iz dobivene formule pronađite korijene I , a odgovor nejednadžbe napiši u obliku: ,
.

Treće, činjenica o skupu korijena odgovarajuće trigonometrijske nejednadžbe vrlo se jasno potvrđuje kada se ona grafički rješava.

Riža. 6

Učenicima je potrebno pokazati da se zavojnica, koja je rješenje nejednadžbe, ponavlja kroz isti interval, jednak periodu trigonometrijske funkcije. Također možete razmotriti sličnu ilustraciju za graf funkcije sinusa.

Četvrto, preporučljivo je raditi na ažuriranju studentskih metoda pretvaranja zbroja (razlike) trigonometrijskih funkcija u produkt, kako bi se školarcima skrenula pozornost na ulogu ovih tehnika u rješavanju trigonometrijskih nejednakosti.

Ovaj rad se može organizirati kroz samostalna izvedba učenici zadatke koje im je predložio nastavnik, među kojima izdvajamo sljedeće:

Peto, od učenika se mora tražiti da ilustriraju rješenje svake jednostavne trigonometrijske nejednadžbe pomoću grafikona ili trigonometrijske kružnice. Svakako obratite pozornost na njegovu svrhovitost, posebno na korištenje kruga, jer pri rješavanju trigonometrijskih nejednakosti odgovarajuća ilustracija služi kao vrlo zgodno sredstvo za fiksiranje skupa rješenja zadane nejednadžbe

Upoznavanje učenika s metodama rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi koje nisu najjednostavnije preporučljivo je provoditi prema sljedećoj shemi: pozivanje na određenu trigonometrijsku nejednadžbu pozivanje na odgovarajuću trigonometrijsku jednadžbu zajedničko traženje (nastavnik – učenici) rješenja samostalno prijenos pronađene tehnike na druge nejednadžbe istog tipa.

Kako bismo usustavili znanja učenika iz trigonometrije, preporučamo posebno izdvajanje takvih nejednadžbi čije rješavanje zahtijeva različite transformacije koje se mogu provoditi u procesu rješavanja, usmjeravajući pozornost učenika na njihove značajke.

Kao takve proizvodne nejednakosti, možemo predložiti, na primjer, sljedeće:

U zaključku dajemo primjer skupa problema za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.

1. Riješite nejednadžbe:

2. Riješite nejednadžbe: 3. Odredi sva rješenja nejednadžbi: 4. Pronađite sva rješenja nejednadžbi:

A)
, zadovoljavajući uvjet
;

b)
, zadovoljavajući uvjet
.

5. Pronađite sva rješenja nejednadžbi:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

e)
.

6. Riješite nejednadžbe:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e) ;

e) ;

i)
.

7. Riješite nejednadžbe:

A)
;

b) ;

V) ;

G) .

8. Riješite nejednadžbe:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e)
;

e) ;

i)
;

h) .

Preporučljivo je učenicima koji studiraju matematiku ponuditi zadatke 6 i 7 povišena razina, zadatak 8 - za učenike razreda sa dubinsko proučavanje matematika.

§3. Posebne metode rješenja trigonometrijskih nejednadžbi

Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi – odnosno one metode kojima se mogu rješavati samo trigonometrijske jednadžbe. Ove se metode temelje na korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija, kao i na korištenju različitih trigonometrijskih formula i identiteta.

3.1. Sektorska metoda

Razmotrimo sektorsku metodu za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Rješenje nejednadžbi oblika

, GdjeP ( x ) IQ ( x ) - racionalne trigonometrijske funkcije (u njih racionalno ulaze sinus, kosinus, tangens i kotangens), slično rješavanju racionalnih nejednadžbi. Racionalne nejednakosti zgodno je rješavati metodom intervala na realnoj osi. Njegov analog u rješavanju racionalnih trigonometrijskih nejednakosti je metoda sektora u trigonometrijski krug, Zasinx Icosx (
) ili trigonometrijski polukrug zatgx Ictgx (
).

U metodi intervala, svaki linearni faktor brojnika i nazivnika oblika
točka na brojevnoj osi , i kada prolazi kroz ovu točku
mijenja predznak. U metodi sektora, svaki množitelj oblika
, Gdje
- jedna od funkcijasinx ilicosx I
, u trigonometrijskom krugu odgovaraju dva kuta I
, koji krug dijele na dva sektora. Prilikom prolaska I funkcija
mijenja predznak.

Morate imati na umu sljedeće:

a) Množnici oblika
I
, Gdje
, zadrži znak za sve vrijednosti . Takvi množitelji brojnika i nazivnika se odbacuju, mijenjajući (ako
) za svako takvo odbijanje, znak nejednakosti je obrnut.

b) Množenici oblika
I
također se odbacuju. Štoviše, ako su to faktori nazivnika, tada se nejednadžbe oblika dodaju ekvivalentnom sustavu nejednakosti
I
. Ako su to faktori brojnika, onda u ekvivalentnom sustavu ograničenja odgovaraju nejednadžbama
I
u slučaju stroge početne nejednakosti, i jednakosti
I
u slučaju nestroge početne nejednakosti. Pri ispuštanju množitelja
ili
znak nejednakosti je obrnut.

Primjer 1 Riješite nejednadžbe: a)
, b)
. imamo funkciju, b). Odlučiti nejednakost Imamo,

3.2. Metoda koncentričnog kruga

Ova metoda je analogna metodi paralelnih numeričkih osi u rješavanju sustava racionalnih nejednadžbi.

Razmotrimo primjer sustava nejednakosti.

Primjer 5 Riješite sustav jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

Prvo rješavamo svaku nejednadžbu zasebno (slika 5). U desnoj gornji kut slici, naznačit ćemo za koji se argument razmatra trigonometrijska kružnica.

sl.5

Zatim gradimo sustav koncentričnih krugova za argumentx . Crtamo kružnicu i osjenčamo je prema rješenju prve nejednadžbe, zatim nacrtamo kružnicu većeg radijusa i osjenčamo je prema rješenju druge, zatim gradimo kružnicu za treću nejednadžbu i osnovni krug . Iz središta sustava povlačimo zrake kroz krajeve lukova tako da sijeku sve kružnice. Oblikujemo otopinu na osnovnom krugu (slika 6).

sl.6

Odgovor:
,
.

Zaključak

Svi zadaci istraživanje tečaja bili dovršeni. Usustavljeno teorijsko gradivo: dane su glavne vrste trigonometrijskih nejednadžbi i glavne metode za njihovo rješavanje (grafička, algebarska, metoda intervala, sektora i metoda koncentričnih kružnica). Za svaku metodu dan je primjer rješavanja nejednadžbe. Nakon teorijskog dijela uslijedio je praktični dio. Sadrži skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi.

Ovaj predmet studenti mogu koristiti za samostalan rad. Učenici mogu provjeriti razinu asimilacije ove teme, vježbati u izvođenju zadataka različite složenosti.

Nakon pregleda relevantne literature o ovo pitanje, očito, možemo zaključiti da su sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti u školskom tečaju algebre i početak analize vrlo važne, čije razvijanje zahtijeva znatne napore od strane nastavnika matematike.

Stoga će ovaj rad biti koristan za nastavnike matematike, jer omogućuje učinkovito organiziranje obuke učenika na temu "Trigonometrijske nejednakosti".

Studij se može nastaviti proširivanjem na završni kvalifikacijski rad.

Popis korištene literature

Bogomolov, N.V. Zbirka zadataka iz matematike [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 str.

Vygodsky, M.Ya. Priručnik elementarne matematike [Tekst] / M.Ya. Vigodski. – M.: Bustard, 2006. – 509 str.

Zhurbenko, L.N. Matematika u primjerima i zadacima [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 str.

Ivanov, O.A. Elementarna matematika za učenike, studente i nastavnike [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 str.

Karp, A.P. Zadaci iz algebre i počeci analize za organizaciju završnog ponavljanja i svjedodžbe u 11. razredu [Tekst] / A.P. Šaran. – M.: Prosvjetljenje, 2005. – 79 str.

Kulanin, E.D. 3000 natjecateljskih zadataka iz matematike [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 str.

Leibson, K.L. Kolekcija praktičnih zadataka iz matematike [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 str.

Lakat, V.V. Problemi s parametrima i njihovo rješavanje. Trigonometrija: jednadžbe, nejednadžbe, sustavi. Razred 10 [Tekst] / V.V. Lakat. – M.: ARKTI, 2008. – 64 str.

Manova, A.N. Matematika. Express tutor za pripremu ispita: račun. dodatak [Tekst] / A.N. Manova. - Rostov na Donu: Phoenix, 2012. - 541 str.

Mordkovich, A.G. Algebra i počeci matematička analiza. 10-11 razreda. Udžbenik učenika obrazovne ustanove[Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 str.

Novikov, A.I. Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe [Tekst] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 str.

Oganesyan, V.A. Metodika nastave matematike u Srednja škola: Opća metodologija. Proc. dodatak za studente fizike. - mat. fak. ped. in-drug. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Prosvjetljenje, 2006. – 368 str.

Olečnik, S.N. Jednadžbe i nejednadžbe. Nestandardne metode rješenja [Tekst] / S.N. Olekhnik. - M .: Izdavačka kuća Factorial, 1997. - 219 str.

Sevrjukov, P.F. Trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamske jednadžbe i nejednakosti [Tekst] / P.F. Sevrjukov. – M.: javno obrazovanje, 2008. - 352 str.

Sergejev, I.N. UPOTREBA: 1000 zadataka s odgovorima i rješenjima iz matematike. Svi zadaci grupe C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Ispit, 2012. – 301 str.

Sobolev, A.B. Elementarna matematika [Tekst] / A.B. Sobolev. - Jekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 str.

Fenko, L.M. Metoda intervala u rješavanju nejednadžbi i proučavanju funkcija [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 str.

Friedman, L.M. Teorijska osnova metodika nastave matematike [Tekst] / L.M. Friedman. - M .: Knjižara "LIBROKOM", 2009. - 248 str.

Prilog 1

Grafička interpretacija rješenja najjednostavnijih nejednadžbi

Riža. 1

Riža. 2

sl.3

sl.4

sl.5

sl.6

sl.7

sl.8

Dodatak 2

Rješenja najjednostavnijih nejednadžbi

Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe oblika sin x>a osnova su za rješavanje složenijih trigonometrijskih nejednadžbi.

Razmotrimo rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi oblika sin x>a na jediničnoj kružnici.

1) na 0

Uz pomoć asocijacije kosinus-kolobok (oba počinju s co-, oba su "okrugla"), prisjećamo se da je kosinus x, odnosno sinus y. Odavde gradimo graf y=a - ravnu liniju paralelnu s osi vola. Ako je nejednadžba stroga, punktiraju se točke presjeka jedinične kružnice i pravca y=a, ako nejednakost nije stroga, popunjavaju se točke (kako je lako zapamtiti kada je točka punktirana, kada ispunjen je, vidi). Najveću poteškoću u rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi predstavlja ispravno pronalaženje točaka presjeka jedinične kružnice i pravca y=a.

Prvu od točaka je lako pronaći - to je arcsin a. Određujemo put kojim idemo od prve točke do druge. Na liniji y=a sinx=a, iznad, iznad crte, sin x>a, a ispod, ispod crte, sin x a, trebamo gornji put. Tako od prve točke, arcsin a, do druge idemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, odnosno u smjeru povećanja kuta. Ne dosežemo p. Koliko ne stignemo? Na arcsin a. Kako nismo došli do n, onda je druga točka manja od n, što znači da je potrebno od n oduzeti arcsinu da bi je pronašli. Rješenje nejednadžbe sin x>a u ovom slučaju je interval od arcsin a do n-arcsin a. Budući da je period sinusa 2n, kako bi se uzela u obzir sva rješenja nejednadžbe (i takvi intervali - beskonačan skup), dodajemo 2pn na svaki kraj intervala, gdje je n cijeli broj (n pripada Z).

2) a=0, tj. sin x>0

U ovom slučaju, prva točka intervala je 0, druga je n. Na oba kraja intervala, uzimajući u obzir period sinusa, dodajemo 2pn.

3) s a=-1, tj. sinx>-1

U ovom slučaju, prva točka je -p / 2, a da bismo došli do druge, obilazimo cijeli krug u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dolazimo do točke -p/2+2p=3p/2. Da bismo uzeli u obzir sve intervale koji su rješenje ove nejednadžbe, dodajemo 2pn na oba kraja.

4) sinx>-a, na 0

Prva točka je, kao i obično, arcsin(-a)=-arcsina. Da bismo došli do druge točke, idemo gornjim putem, odnosno u smjeru povećanja kuta.

Ovaj put idemo preko n. Koliko idemo? Na arcsinxu. Dakle, druga točka je n+arcsin x. Zašto nema minusa? Jer minus u oznaci -arcsin a znači kretanje u smjeru kazaljke na satu, a mi smo išli suprotno. I na kraju, dodajemo 2pn na svaki kraj intervala.

5) sinx>a ako je a>1.

Jedinična kružnica u cijelosti leži ispod pravca y=a. Nema točke iznad crte. Dakle, rješenja nema.

6) sinx>-a, gdje je a>1.

U ovom slučaju cijela jedinična kružnica u potpunosti leži iznad linije y=a. Prema tome, svaka točka zadovoljava uvjet sinx>a. Dakle, x je bilo koji broj.

I ovdje je x bilo koji broj, budući da su točke -n/2+2n uključene u rješenje, za razliku od stroge nejednakosti sinx>-1. Ne treba ništa isključiti.

Jedina točka na kružnici koja zadovoljava ovaj uvjet je n/2. Uzimajući u obzir period sinusa, rješenje ove nejednadžbe je skup točaka x=p/2+2pn.

Na primjer, riješite nejednadžbu sinx>-1/2: