teorijsko gradivo.

Kao što znate, implicitno dana funkcija jedne varijable definirana je na sljedeći način: funkcija nezavisne varijable x naziva se implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije riješena u odnosu na y:

Primjer 1.11.

Jednadžba

implicitno definira dvije funkcije:

I jednadžba

ne definira nikakvu funkciju.

Teorem 1.2 (postojanje implicitne funkcije).

Neka su funkcija z \u003d f (x, y) i njezine parcijalne derivacije f "x i f" y definirane i kontinuirane u nekoj okolini UM0 točke M0 (x0y0). Nadalje, f(x0,y0)=0 i f"(x0,y0)≠0, tada jednadžba (1.33) definira u susjedstvu UM0 implicitnu funkciju y= y(x), kontinuiranu i diferencijabilnu u nekom intervalu D sa središtem u točki x0, i y(x0)=y0.

Bez dokaza.

Iz teorema 1.2 slijedi da je na ovom intervalu D:

odnosno postoji identitet u

gdje se "ukupna" derivacija nalazi prema (1.31)

To jest, (1.35) daje formulu za pronalaženje derivacije implicitno zadane funkcije jedne varijable x.

Slično se definira implicitna funkcija dviju ili više varijabli.

Na primjer, ako je u nekom području V prostora Oxyz sljedeća jednadžba istinita:

tada pod određenim uvjetima na funkciju F implicitno definira funkciju

Istodobno, analogno (1.35), njegove parcijalne derivacije nalaze se kako slijedi:

Primjer 1.12. Uz pretpostavku da jednadžba

implicitno definira funkciju

nađi z "x, z" y.

stoga prema (1.37) dobivamo odgovor.

11. Primjena parcijalnih derivacija u geometriji.

12. Ekstremumi funkcije dviju varijabli.

Koncepti maksimuma, minimuma, ekstrema funkcije dviju varijabli slični su odgovarajućim konceptima funkcije jedne nezavisne varijable (vidi odjeljak 25.4).

Neka je funkcija z = ƒ(h;u) definirana u nekoj domeni D, točka N(x0;y0) n D.

Točka (x0; y0) se zove maksimalna točka funkcije z=ƒ(x; y) ako postoji takva d-okolina točke (x0; y0) da za svaku točku (x; y) osim (xo; yo), ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost ƒ(h;u)<ƒ(хо;уо).

ALI minimalna točka funkcije je definirana logički: za sve točke (x; y) osim (x0; y0), sljedeća nejednakost vrijedi iz d-okoline točke (xo; yo): ƒ(x; y) >ƒ(x0; y0).

Na slici 210: N1 je točka maksimuma, a N2 točka minimuma funkcije z=ƒ(x;y).

Vrijednost funkcije u točki maksimuma (minimuma) naziva se maksimum (minimum) funkcije. Maksimum i minimum funkcije nazivamo njezinim ekstremima.

Imajte na umu da, temeljem definicije, točka ekstrema funkcije leži unutar domene funkcije; maksimum i minimum imaju lokalni (lokalni) karakter: vrijednost funkcije u točki (x0; y0) uspoređuje se s njezinim vrijednostima u točkama dovoljno blizu (x0; y0). U području D funkcija može imati nekoliko ekstrema ili niti jedan.

46.2. Nužni i dovoljni uvjeti za ekstrem

Razmotrimo uvjete postojanja ekstrema funkcije.

Teorem 46.1 (nužni uvjeti za ekstrem). Ako u točki N (x0; y0) diferencijabilna funkcija z \u003d ƒ (x; y) ima ekstrem, tada su njezine parcijalne derivacije u ovoj točki jednake nuli: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0.

Popravljamo jednu od varijabli. Pretpostavimo, na primjer, y=y0. Tada dobivamo funkciju ƒ(x; y0)=φ(x) jedne varijable, koja ima ekstrem u x = x0. Prema tome, prema nužnom uvjetu za ekstremum funkcije jedne varijable (vidi paragraf 25.4), φ "(x0) \u003d 0, odnosno ƒ "x (x0; y0) \u003d 0.

Slično se može pokazati da je ƒ "y (x0; y0) \u003d 0.

Geometrijski, jednakosti ƒ "x (x0; y0) \u003d 0 i ƒ "y (x0; y0) \u003d 0 znače da je u točki ekstrema funkcije z \u003d ƒ (x; y), tangentna ravnina na površina koja prikazuje funkciju ƒ (x; y ), paralelna je s Oxy ravninom, budući da je jednadžba tangentne ravnine z=z0 (vidi formulu (45.2)).

Z Bilješka. Funkcija može imati ekstrem u točkama u kojima ne postoji barem jedna od parcijalnih derivacija. Na primjer, funkcija ima maksimum u točki O (0; 0) (vidi sliku 211), ali nema parcijalne derivacije u ovoj točki.

Točka u kojoj su parcijalne derivacije prvog reda funkcije z ≈ ƒ(x; y) jednake nuli, tj. f "x=0, f" y=0, naziva se stacionarna točka funkcije z.

Stacionarne točke i točke u kojima ne postoji barem jedna parcijalna derivacija nazivamo kritičnim točkama.

U kritičnim točkama funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem. Jednakost parcijalnih derivacija nuli je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje ekstrema. Promotrimo, na primjer, funkciju z = xy. Za nju je točka O (0; 0) kritična (u njoj z "x \u003d y i z" y - x nestaju). Međutim, funkcija z=xy u sebi nema ekstrem, jer u dovoljno maloj okolini točke O(0; 0) postoje točke za koje vrijedi z>0 (točke I i III četvrtine) i z< 0 (точки II и IV четвертей).

Dakle, da bi se pronašli ekstremi funkcije u određenom području, potrebno je svaku kritičnu točku funkcije podvrgnuti dodatnom istraživanju.

Teorem 46.2 (dovoljan uvjet za ekstrem). Neka funkcija ƒ(x; y) ima kontinuirane parcijalne derivacije do uključivo drugog reda u stacionarnoj točki (xo; yo) i nekoj njezinoj okolini. Izračunajmo u točki (x0;y0) vrijednosti A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označiti

1. ako je Δ > 0, tada funkcija ƒ(x; y) u točki (x0; y0) ima ekstrem: maksimum ako je A< 0; минимум, если А > 0;

2. ako je Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

U slučaju Δ = 0, može, ali i ne mora postojati ekstrem u točki (x0; y0). Potrebno je više istraživanja.

ZADACI

1.

Primjer. Odredite intervale rasta i opadanja funkcije. Riješenje. Prvi korak je pronalaženje područja definicija funkcija. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao nestati, dakle, . Prijeđimo na funkciju izvoda: Da bismo odredili intervale porasta i opadanja funkcije dovoljnim kriterijem, rješavamo nejednadžbe i na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x=2, a nazivnik nestaje na x=0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Plusevima i minusima uvjetno označavamo intervale na kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu. Na ovaj način, i . U točki x=2 funkcija je definirana i kontinuirana, pa se mora dodati i rastućem i opadajućem intervalu. U točki x=0 funkcija nije definirana, pa ova točka nije uključena u potrebne intervale. Prikazujemo graf funkcije kako bismo s njim usporedili dobivene rezultate. Odgovor: funkcija se povećava sa , smanjuje se na intervalu (0; 2] .

2.

Primjeri.

Postavite intervale za konveksnost i konkavnost krivulje g = 2 – x 2 .

Nađimo g"" i odredi gdje je druga derivacija pozitivna, a gdje negativna. g" = –2x, g"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

g = e x. Jer g"" = e x > 0 za bilo koje x, tada je krivulja posvuda konkavna.

g = x 3 . Jer g"" = 6x, onda g"" < 0 при x < 0 и g"" > 0 kada x> 0. Prema tome, na x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 je konkavan.

3.

4. Dana je funkcija z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j i točka A(3,2). Nađite dz/dl (kako ja to razumijem, izvod funkcije u smjeru vektora), gradz(A), |gradz(A)|. Nađi parcijalne derivacije: z(in x)=2x+5 z(in y)=-2y+4 Nađi vrijednosti derivacija u točki A(3,2): z(in x)(3,2)= 2*3+ 5=11 z(po y)(3,2)=-2*2+4=0 ^2)=11 Derivacija funkcije z u smjeru vektora l: dz/dl=z( in x)*cosa+z(in y)*cosb, a,b-kutovi vektora l s koordinatnim osima. cosa=lh/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Neka je funkcija zadana implicitno pomoću jednadžbe
(1) .
I neka ova jednadžba, za neku vrijednost, ima jedinstveno rješenje. Neka je funkcija diferencijabilna funkcija u točki , i
.
Tada za ovu vrijednost postoji derivacija koja se određuje formulom:
(2) .

Dokaz

Za dokaz, razmotrite funkciju kao složenu funkciju varijable:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije i nalazimo derivaciju po varijabli lijeve i desne strane jednadžbe
(3) :
.
Kako je derivacija konstante jednaka nuli i , tada je
(4) ;
.

Formula je dokazana.

Derivati ​​viših redova

Prepišimo jednadžbu (4) koristeći druge oznake:
(4) .
Štoviše, i su složene funkcije varijable:
;
.
Ovisnost definira jednadžbu (1):
(1) .

Derivaciju po varijabli nalazimo s lijeve i desne strane jednadžbe (4).
Prema formuli za izvod složene funkcije imamo:
;
.
Prema formuli derivata proizvoda:

.
Prema formuli zbroja izvedenica:


.

Kako je derivacija desne strane jednadžbe (4) jednaka nuli, tada
(5) .
Zamjenom derivacije ovdje dobivamo vrijednost derivacije drugog reda u implicitnom obliku.

Diferenciranjem jednadžbe (5) na sličan način dobivamo jednadžbu koja sadrži derivaciju trećeg reda:
.
Zamjenjujući ovdje pronađene vrijednosti derivacija prvog i drugog reda, nalazimo vrijednost derivacije trećeg reda.

Nastavljajući diferencijaciju, može se pronaći derivat bilo kojeg reda.

Primjeri

Primjer 1

Pronađite prvu derivaciju funkcije implicitno zadane jednadžbom:
(P1) .

Rješenje formule 2

Derivaciju nalazimo formulom (2):
(2) .

Pomaknimo sve varijable na lijevu stranu tako da jednadžba poprimi oblik .
.
Odavde.

Derivaciju nalazimo u odnosu na , uz pretpostavku da je konstantna.
;
;
;
.

Derivaciju nalazimo u odnosu na varijablu, pod pretpostavkom da je varijabla konstantna.
;
;
;
.

Po formuli (2) nalazimo:
.

Možemo pojednostaviti rezultat ako uočimo da prema izvornoj jednadžbi (A.1), . Zamjena:
.
Pomnožite brojnik i nazivnik sa:
.

Rješenje na drugi način

Riješimo ovaj primjer na drugi način. Da bismo to učinili, nalazimo derivaciju u odnosu na varijablu lijevog i desnog dijela izvorne jednadžbe (P1).

Primjenjujemo:
.
Primjenjujemo formulu za izvod razlomka:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije:
.
Diferenciramo izvornu jednadžbu (P1).
(P1) ;
;
.
Pomnožite i grupirajte pojmove.
;
.

Zamjena (iz jednadžbe (P1)):
.
Pomnožimo sa:
.

Odgovor

Primjer 2

Pronađite derivaciju drugog reda implicitno zadane funkcije pomoću jednadžbe:
(P2.1) .

Riješenje

Diferencirajte izvornu jednadžbu s obzirom na varijablu, pretpostavljajući da je ona funkcija od:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije.
.

Diferenciramo izvornu jednadžbu (A2.1):
;
.
Iz izvorne jednadžbe (A2.1) slijedi da je . Zamjena:
.
Proširite zagrade i grupirajte članove:
;
(P2.2) .
Nalazimo izvod prvog reda:
(P2.3) .

Da bismo pronašli derivaciju drugog reda, diferenciramo jednadžbu (A2.2).
;
;
;
.
Zamjenjujemo izraz za izvod prvog reda (A2.3):
.
Pomnožimo sa:

;
.
Odavde nalazimo izvod drugog reda.

Odgovor

Primjer 3

Pronađite derivaciju trećeg reda za implicitno zadanu funkciju pomoću jednadžbe:
(P3.1) .

Riješenje

Diferencirajte izvornu jednadžbu s obzirom na varijablu, pretpostavljajući da je funkcija od .
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Diferenciramo jednadžbu (A3.2) s obzirom na varijablu .
;
;
;
;
;
(P3.3) .

Diferenciramo jednadžbu (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

Iz jednadžbi (A3.2), (A3.3) i (A3.4) nalazimo vrijednosti izvedenica na .
;
;
.

Naučit ćemo pronaći derivacije funkcija koje su zadane implicitno, odnosno zadane nekim jednadžbama koje međusobno povezuju varijable x i g. Primjeri implicitno definiranih funkcija:

,

,

Derivative implicitnih funkcija, ili derivate implicitnih funkcija, prilično je lako pronaći. Analizirajmo sada odgovarajuće pravilo i primjer, a zatim saznajmo zašto je to uopće potrebno.

Kako bi se pronašla derivacija funkcije koja je dana implicitno, potrebno je diferencirati obje strane jednadžbe s obzirom na x. Oni članovi u kojima je prisutan samo x pretvorit će se u uobičajenu derivaciju funkcije od x. A članovi s y moraju se razlikovati pomoću pravila diferencijacije složene funkcije, budući da je y funkcija od x. Ako je sasvim jednostavno, onda bi u rezultirajućoj derivaciji člana s x trebalo ispasti: derivacija funkcije iz y, pomnožena s derivacijom iz y. Na primjer, izvedenica pojma bit će napisana kao , izvedenica pojma bit će napisana kao . Nadalje, iz svega ovoga potrebno je izraziti ovaj "y potez" i dobit će se željena derivacija implicitno zadane funkcije. Pogledajmo ovo na primjeru.

Primjer 1

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x, pretpostavljajući da je y funkcija od x:

Odavde dobivamo derivat koji je potreban u zadatku:

Sada nešto o dvosmislenom svojstvu implicitno definiranih funkcija i zašto su potrebna posebna pravila za njihovo razlikovanje. U nekim slučajevima, možete osigurati da supstitucija u danoj jednadžbi (vidi primjere iznad) umjesto y njenog izraza kroz x dovodi do činjenice da se ova jednadžba pretvara u identitet. Tako. gornja jednadžba implicitno definira sljedeće funkcije:

Nakon zamjene izraza y na kvadrat kroz x u izvornu jednadžbu, dobivamo identitet:

.

Izrazi koje smo zamijenili dobiveni su rješavanjem jednadžbe za y.

Ako bismo razlikovali odgovarajuću eksplicitnu funkciju

tada bismo dobili odgovor kao u primjeru 1 - od implicitno navedene funkcije:

Ali ne može se svaka implicitno dana funkcija prikazati u obliku g = f(x) . Tako, na primjer, implicitno definirane funkcije

nisu izražene elementarnim funkcijama, odnosno te se jednadžbe ne mogu riješiti u odnosu na igrača. Dakle, postoji pravilo za razlikovanje funkcije zadane implicitno, koje smo već proučili i dosljedno ćemo ga primjenjivati ​​u drugim primjerima.

Primjer 2 Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

.

Izražavamo y prost i - na izlazu - izvod funkcije dane implicitno:

Primjer 3 Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

.

Riješenje. Diferencirajte obje strane jednadžbe s obzirom na x:

.

Primjer 4 Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

.

Riješenje. Diferencirajte obje strane jednadžbe s obzirom na x:

.

Izražavamo i dobivamo izvod:

.

Primjer 5 Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

Riješenje. Članove s desne strane jednadžbe prenosimo na lijevu stranu, a s desne ostavljamo nulu. Diferencirajte obje strane jednadžbe s obzirom na x.

Zadan je sustav jednadžbi

ili nakratkoF(x, g)=0 (1)

Definicija. Sustav (1) definira implicitno definiranu funkcijug= f(x) naD R n

,

ako x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorem (postojanje i jedinstvenost preslikavanja implicitno definiranog sustavom jednadžbi). Neka

Zatim u nekom kvartuU (x 0 ) postoji jedinstvena funkcija (mapiranje) definirana u ovom susjedstvug = f(x), tako da

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 ig 0 = f(x 0 ).

Ova funkcija je kontinuirano diferencijabilna u nekoj okolini točkex 0 .

5. Izračunavanje derivacija implicitnih funkcija zadanih sustavom jednadžbi

Zadani sustav

(1)

Pretpostavit ćemo da su uvjeti teorema o postojanju i jedinstvenosti za implicitnu funkciju zadanu ovim sustavom jednadžbi zadovoljeni. Označavamo ovu funkciju g= f(x) . Zatim u nekom susjedstvu točke x 0 identitete

(F(x, f(x))=0) (2)

Razlikovanje tih identiteta s obzirom na x j dobivamo

=0 (3)

Ove jednakosti mogu se napisati u matričnom obliku

, (3)

ili proširena

.

Imajte na umu da prijelaz iz jednakosti F(x, f(x))=0 do
, odgovara pravilima razlikovanja za slučaj kada x i g su točke u jednodimenzionalnom prostoru. Matrica nije degenerirana prema pretpostavci, pa matrična jednadžba
ima rješenje
. Stoga se mogu naći parcijalne derivacije prvog reda implicitnih funkcija . Da bismo pronašli diferencijale, označimo

dy = ,dx = , diferenciranje jednakosti (2) dobivamo

=0 ,

ili u matričnom obliku

. (4)

Prošireno

.

Kao i u slučaju parcijalnih derivacija, formula (4) imamo isti oblik kao i za slučaj jednodimenzionalnih prostora n=1, str=1. Rješenje ove matrične jednadžbe može se napisati kao
. Da bi se našle parcijalne derivacije drugog reda, bit će potrebno diferencirati identitete (3) (da biste izračunali diferencijale drugog reda, morate razlikovati identitete (4) ). Dakle, dobivamo

,

gdje kroz A naznačeni su pojmovi koji ne sadrže željene
.

Matrica koeficijenata ovog sustava za određivanje derivacija
je Jacobianova matrica .

Slična se formula može dobiti za diferencijale. U svakom od ovih slučajeva dobit će se matrična jednadžba s istom matricom koeficijenata u sustavu jednadžbi za određivanje željenih derivata ili diferencijala. Isto će se dogoditi pod sljedećim diferencijacijama.

Primjer 1. Pronađite ,,u točki u=1, v=1.

Riješenje. Diferenciraj zadane jednakosti

(5)

Imajte na umu da bismo, prema formulaciji problema, trebali promatrati neovisne varijable x, g. Tada će funkcije biti z, u, v. Tako sustav (5) odlučiti o nepoznatom du, dv, dz . U obliku matrice to izgleda ovako

.

Riješimo ovaj sustav koristeći Cramerovo pravilo. Determinanta matrice koeficijenata

, Treća "zamijenjena" odrednica za dz bit će jednako (izračunava se proširivanjem zadnjeg stupca)

, onda

dz =
, i
,
.

Razlikovanje (5) opet ( x, g – nezavisne varijable)

Matrica koeficijenata sustava je ista, treća determinanta

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo izraz za d 2 z gdje možete pronaći željenu izvedenicu.

Implicitne funkcije definirane sustavom jednadžbi

Zadan je sustav jednadžbi

ili nakratko F(x,y)= 0. (6.7)

Definicija. Sustav(6.7)definira implicitnu funkciju y=f(x)prema DÌR n

ako je "xOD:F(x, f(x)) = 0.

Teorem (postojanje i jedinstvenost preslikavanja implicitno definiranog sustavom jednadžbi).Neka

1) F i(x,y)iz (6.4) su definirani i imaju kontinuirane parcijalne derivacije prvog reda, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) u susjedstvu U(M 0)točke M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Zatim u nekom kvartu U(x 0)postoji jedinstvena funkcija (preslikavanje) definirana u ovom susjedstvu y = f(x), tako da

"xO U(x 0) :F(x, f(x))=0i y 0 = f(x 0).

Ova funkcija je kontinuirano diferencijabilna u nekoj okolini točke x 0 .

Zadani sustav

Pretpostavit ćemo da su uvjeti teorema o postojanju i jedinstvenosti za implicitnu funkciju zadanu ovim sustavom jednadžbi zadovoljeni. Označavamo ovu funkciju y=f(x) . Zatim u nekom susjedstvu točke x 0 identiteti su valjani

Razlikovanje tih identiteta s obzirom na x j dobivamo

= 0.(6.9)

Ove jednakosti mogu se napisati u matričnom obliku

ili proširena

Imajte na umu da prijelaz iz jednakosti F(x, f(x))=0k , odgovara pravilima razlikovanja za slučaj kada x i g su točke u jednodimenzionalnom prostoru. Matrica nije degenerirana prema uvjetu, tako da matrična jednadžba ima rješenje. Dakle, moguće je pronaći parcijalne derivacije prvog reda implicitnih funkcija. Da bismo pronašli diferencijale, označimo

dy= , dx=, diferencirajući jednakosti (6.8), dobivamo

ili u matričnom obliku

Prošireno

Kao iu slučaju parcijalnih derivacija, formula (6.10) ima isti oblik kao iu slučaju jednodimenzionalnih prostora n= 1, p= 1. Rješenje ove matrične jednadžbe može se napisati kao Za pronalaženje parcijalnih derivacija drugog reda bit će potrebno diferencirati identitete (6.9) (za izračun diferencijala drugog reda potrebno je diferencirati identitete (6.10)). Dakle, dobivamo

gdje kroz A označeni su pojmovi koji ne sadrže željene.

Matrica koeficijenata ovog sustava za određivanje derivacija je Jacobijeva matrica.

Slična se formula može dobiti za diferencijale. U svakom od ovih slučajeva dobit će se matrična jednadžba s istom matricom koeficijenata u sustavu jednadžbi za određivanje željenih derivacija ili diferencijala. Isto će se dogoditi pod sljedećim diferencijacijama.

Primjer 1 Pronađite, u jednom trenutku u= 1,v= 1.

Riješenje. Diferenciraj zadane jednakosti

Imajte na umu da iz uvjeta problema proizlazi da bismo trebali promatrati kao nezavisne varijable x, y. Tada će funkcije biti z, u, v. Dakle, sustav (6.11) treba riješiti s obzirom na nepoznanice du, dv, dz. U obliku matrice to izgleda ovako

Riješimo ovaj sustav koristeći Cramerovo pravilo. Determinanta matrice koeficijenata

Treća "zamijenjena" odrednica za dz bit će jednako (izračunava se proširivanjem zadnjeg stupca)

dz = , i, .

Ponovno razlikujemo (6.11) ( x, y- nezavisne varijable)

Matrica koeficijenata sustava je ista, treća determinanta

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo izraz za d2z gdje možete pronaći željenu izvedenicu.

6.3. Diferencijabilna preslikavanja

Izvedena preslikavanja. Redoviti prikazi. Nužni i dovoljni uvjeti za funkcionalnu ovisnost.