Pravac je cilj hiperbole. Hiperbola i njezina kanonska jednadžba

Okupacija 10 . Krivulje drugog reda.

10.1. Elipsa. Kanonička jednadžba. Poluosovine, ekscentricitet, graf.

10.2. Hiperbola. Kanonička jednadžba. Poluosi, ekscentricitet, asimptote, graf.

10.3. Parabola. Kanonička jednadžba. Parabola parabole, graf.

Krivulje drugog reda u ravnini nazivaju se pravcima, čija implicitna specifikacija ima oblik:

gdje
- dati realni brojevi,
- koordinate točaka krivulje. Najvažnije linije među krivuljama drugog reda su elipsa, hiperbola, parabola.

10.1. Elipsa. Kanonička jednadžba. Poluosovine, ekscentricitet, graf.

Definicija elipse.Elipsa je ravninska krivulja čiji je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka
ravninom do bilo koje točke

(oni.). bodova
nazivaju žarišta elipse.

Kanonska jednadžba elipse:
. (2)

(ili os
) prolazi kroz žarišta
, a ishodište je točka - nalazi se u središtu segmenta
(Sl. 1). Elipsa (2) je simetrična u odnosu na koordinatne osi i ishodište (središte elipse). Trajna
,
nazvao poluosi elipse.

Ako je elipsa dana jednadžbom (2), tada se žarišta elipse nalaze na sljedeći način.

1) Prvo odredimo gdje se nalaze žarišta: žarišta leže na koordinatnoj osi na kojoj se nalaze velike poluosi.

2) Zatim se izračunava žarišna duljina (udaljenost od žarišta do ishodišta).

Na
fokusi leže na osi
;
;
.

ekscentričnost elipsa se naziva vrijednost: (na
);(na
).

Ellipse uvijek ima
. Ekscentricitet je karakteristika kompresije elipse.

Ako se elipsa (2) pomakne tako da središte elipse padne na točku

,
, tada jednadžba rezultirajuće elipse ima oblik

10.2. Hiperbola. Kanonička jednadžba. Poluosi, ekscentricitet, asimptote, graf.

Definicija hiperbole.Hiperbola je ravna krivulja u kojoj je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dviju fiksnih točaka
ravninom do bilo koje točke
ova krivulja je konstanta neovisna o točki
(oni.). bodova
nazivaju žarišta hiperbole.

Kanonska jednadžba hiperbole:
ili
. (3)

Takvu jednadžbu dobivamo ako koordinatna os
(ili os
) prolazi kroz žarišta
, a ishodište je točka - nalazi se u središtu segmenta
. Hiperbole (3) su simetrične u odnosu na koordinatne osi i ishodište. Trajna
,
nazvao poluosi hiperbole.

Fokusi hiperbole nalaze se na sljedeći način.

Kod hiperbole
fokusi leže na osi
:
(slika 2.a).

Kod hiperbole
fokusi leže na osi
:
(Sl. 2.b)

Ovdje - žarišna duljina (udaljenost od žarišta do ishodišta). Izračunava se po formuli:
.

ekscentričnost hiperbola se naziva vrijednost:

(za
);(za
).

Hiperbola uvijek jest
.

Asimptote hiperbola(3) su dvije ravne linije:
. Obje grane hiperbole približavaju se asimptoti neograničeno kao .

Konstrukciju grafikona hiperbole treba izvesti na sljedeći način: prvo, duž poluosi
gradimo pomoćni pravokutnik sa stranama paralelnim s koordinatnim osima; zatim kroz suprotne vrhove ovog pravokutnika povučemo ravne crte, to su asimptote hiperbole; konačno, prikazujemo grane hiperbole, one dodiruju središta odgovarajućih strana pomoćnog pravokutnika i približavaju se rastom na asimptote (slika 2).

Ako se hiperbole (3) pomaknu tako da im središte padne na točku
, a poluosi će ostati paralelne s osima
,
, onda se jednadžba rezultirajućih hiperbola može napisati u obliku

,
.

10.3. Parabola. Kanonička jednadžba. Parabola parabole, graf.

Definicija parabole.Parabola je ravninska krivulja u kojoj za bilo koju točku
ova krivulja je udaljenost od
na fiksnu točku ravnina (koja se naziva žarište parabole) jednaka je udaljenosti od
na fiksnu liniju u avionu(naziva se direktrisa parabole) .

Jednadžba kanonske parabole:
, (4)

gdje je konstanta tzv parametar parabole.

Točka
parabola (4) naziva se vrhom parabole. Os
je os simetrije. Žarište parabole (4) je u točki
, direktrisna jednadžba
. Parabola (4) s vrijednostima
i
prikazano na sl. 3.a odnosno 3.b.

Jednadžba
također definira parabolu u ravnini
, koja u usporedbi s parabolom (4) ima osi
,
zamijenili mjesta.

Ako se parabola (4) pomakne tako da njezin vrh udari u točku
, a os simetrije će ostati paralelna s osi
, tada jednadžba rezultirajuće parabole ima oblik

Prijeđimo na primjere.

Primjer 1. Krivulja drugog reda dana je jednadžbom
. Dajte ime ovoj krivulji. Pronađite njegove žarište i ekscentričnost. Nacrtaj krivulju i njezina žarišta u ravnini
.

Riješenje. Ova krivulja je elipsa sa središtem u točki
i osovinske osovine
. To se lako može provjeriti zamjenom
. Ova transformacija znači pomicanje iz zadanog Kartezijevog koordinatnog sustava
na novi kartezijanski koordinatni sustav
, čije sjekire
paralelno s osima
,
. Ova transformacija koordinata naziva se pomak sustava.
točno . U novom koordinatnom sustavu
jednadžba krivulje se pretvara u kanoničku jednadžbu elipse
, njegov grafikon je prikazan na sl. četiri.

Pronađimo trikove.
, dakle trikovi
elipsa koja se nalazi na osi
.. U koordinatnom sustavu
:
. Jer
, u starom koordinatnom sustavu
fokusi imaju koordinate.

Primjer 2. Navedite naziv krivulje drugog reda i navedite njezin graf.

Riješenje. Selektiramo pune kvadrate po pojmovima koji sadrže varijable i .

Sada se jednadžba krivulje može prepisati kao:

Stoga je dana krivulja elipsa sa središtem u točki
i osovinske osovine
. Dobivene informacije omogućuju nam da nacrtamo njegov grafikon.

Primjer 3. Dajte ime i nacrtajte linijski grafikon
.

Riješenje. . Ovo je kanonska jednadžba elipse sa središtem u točki
i osovinske osovine
.

Jer,
, zaključujemo: dana jednadžba definira na ravnini
donja polovica elipse (slika 5).

Primjer 4. Navedite naziv krivulje drugog reda
. Pronađite njene trikove, ekscentričnost. Nacrtajte graf ove krivulje.

- kanonska jednadžba hiperbole s poluosima
.

Žarišna duljina.

Znak minus nalazi se ispred pojma sa , dakle trikovi
hiperbole leže na osi
:. Grane hiperbole nalaze se iznad i ispod osi
.

je ekscentricitet hiperbole.

Asimptote hiperbole: .

Konstrukcija grafa ove hiperbole provodi se u skladu s gornjim postupkom: gradimo pomoćni pravokutnik, crtamo asimptote hiperbole, crtamo grane hiperbole (vidi sl. 2.b).

Primjer 5. Odredite oblik krivulje zadan jednadžbom
i zacrtajte ga.

- hiperbola sa središtem u točki
i poluosovine.

Jer , zaključujemo: dana jednadžba određuje dio hiperbole koji se nalazi desno od pravca
. Hiperbolu je bolje nacrtati u pomoćnom koordinatnom sustavu
dobiven iz koordinatnog sustava
pomaknuti
, a zatim debelom linijom označite željeni dio hiperbole

Primjer 6. Odredi vrstu krivulje i nacrtaj njezin graf.

Riješenje. Označite puni kvadratić prema članovima s varijablom :

Napišimo ponovno jednadžbu krivulje.

Ovo je jednadžba parabole s vrhom u točki
. Transformacijom pomaka jednadžba parabole se svodi na kanonski oblik
, iz čega se vidi da je parametar parabole. Usredotočenost parabole u sustavu
ima koordinate
,, i u sustavu
(prema transformaciji pomaka). Graf parabole prikazan je na sl. 7.

Domaća zadaća.

1. Nacrtajte elipse zadane jednadžbama:
Odredite njihove poluosi, žarišnu duljinu, ekscentricitet i na grafovima elipsa označite mjesta njihovih žarišta.

2. Nacrtajte hiperbole zadane jednadžbama:
Odredite njihove poluosi, žarišnu duljinu, ekscentricitet i označite na grafovima hiperbola mjesto njihovih žarišta. Napiši jednadžbe za asimptote zadanih hiperbola.

3. Nacrtajte parabole zadane jednadžbama:
. Pronađite njihov parametar, žarišnu duljinu i označite mjesto žarišta na grafovima parabola.

4. Jednadžba
definira dio krivulje 2. reda. Nađite kanoničku jednadžbu te krivulje, zapišite njezin naziv, izgradite njezin graf i na njemu odaberite onaj dio krivulje koji odgovara izvornoj jednadžbi.

Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka za koje je razlika u udaljenostima od dviju fiksnih točaka ravnine, zvanih žarišta, konstanta; naznačena razlika se uzima u apsolutnoj vrijednosti i obično se označava s 2a Žarišta hiperbole označavaju se slovima F 1 i F 2, udaljenost između njih je kroz 2s. Po definiciji hiperbole 2a

Neka je navedena hiperbola. Ako su osi kartezijanskog pravokutnog koordinatnog sustava odabrane tako da se žarišta dane hiperbole nalaze na apscisnoj osi simetrično u odnosu na ishodište, tada u tom koordinatnom sustavu jednadžba hiperbole ima oblik

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

gdje je b \u003d √ (c 2 - a 2). Jednadžba oblika (I) naziva se kanonska jednadžba hiperbole. Uz navedeni izbor koordinatnog sustava, koordinatne osi su osi simetrije hiperbole, a ishodište koordinata je njezino središte simetrije (sl. 18). Osi simetrije hiperbole jednostavno se nazivaju njezine osi, središte simetrije je središte hiperbole. Hiperbola siječe jednu od njegovih osi; točke presjeka nazivaju se vrhovi hiperbole. Na sl. 18 Vrhovi hiperbole su točke A" i A.

Pravokutnik sa stranicama 2a i 2b, koji se nalazi simetrično oko osi hiperbole i dodiruje je u vrhovima, naziva se glavni pravokutnik hiperbole.

Segmenti duljine 2a i 2b koji spajaju središta stranica glavnog pravokutnika hiperbole nazivaju se i njezine osi. Dijagonale glavnog pravokutnika (produženog unedogled) su asimptote hiperbole; njihove jednadžbe su:

y = b/a x, y = - b/a x

Jednadžba

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

definira hiperbolu simetričnu oko koordinatnih osi sa žarištima na y-osi; jednadžba (2), kao i jednadžba (1), naziva se kanonska jednadžba hiperbole; u ovom slučaju konstantna razlika udaljenosti od proizvoljne točke hiperbole do žarišta jednaka je 2b.

Dvije hiperbole koje su definirane jednadžbama

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

u istom koordinatnom sustavu nazivaju se konjugirani.

Hiperbola s jednakim polukracima (a \u003d b) naziva se jednakostranična; njegova kanonska jednadžba je

x 2 - y 2 \u003d a 2 ili - x 2 + y 2 \u003d a 2.

gdje je a udaljenost od središta hiperbole do njenog vrha, naziva se ekscentricitet hiperbole. Očito je za svaku hiperbolu ε > 1. Ako je M(x; y) proizvoljna točka hiperbole, tada se odsječci F 1 M i F 2 M (vidi sliku 18) nazivaju žarišnim radijusima točke M. Žarišni polumjeri točaka desne grane hiperbole izračunate su formule

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

žarišni polumjeri točaka lijeve grane - prema formulama

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Ako je hiperbola dana jednadžbom (1), tada su linije definirane jednadžbama

x = -a/ε, x = a/ε

nazivaju se njezini direktori (vidi sliku 18). Ako je hiperbola dana jednadžbom (2), onda su direktrise određene jednadžbama

x = -b/ε, x = b/ε

Svaka direktrisa ima sljedeće svojstvo: ako je r udaljenost od proizvoljne točke hiperbole do nekog žarišta, d je udaljenost od iste točke do jednostrane direktrise s ovim fokusom, tada je omjer r/d konstanta vrijednost jednaka ekscentričnosti hiperbole:

515. Sastavite jednadžbu hiperbole kojoj su žarišta smještena na apscisnoj osi simetrično u odnosu na ishodište, znajući, osim toga, da:

1) njegove osi 2a = 10 i 2b = 8;

2) udaljenost između žarišta 2s = 10 i osi 2b = 8;

3) udaljenost između žarišta 2s = 6 i ekscentriciteta ε = 3/2;

4) os 2a = 16 i ekscentricitet ε = 5/4;

5) jednadžbe asimptota y = ±4/3x i udaljenosti između žarišta 2c = 20;

6) razmak između direktrisa je 22 2/13, a razmak između žarišta 2c = 26; 39

7) razmak između direktrisa je 32/5 i osi 2b = 6;

8) razmak između direktrisa je 8/3, a ekscentricitet ε = 3/2;

9) jednadžbe asimptota y = ± 3/4 x i razmak između direktrisa je 12 4/5.

516. Napiši jednadžbu hiperbole čija su žarišta smještena na y-osi simetrično u odnosu na ishodište, znajući, osim toga, da:

1) njegove poluosi a = 6, b = 18 (slovo a označava poluosu hiperbole koja se nalazi na osi apscise);

2) udaljenost između žarišta 2s = 10 i ekscitriteta ε = 5/3; oh ja 12

3) jednadžbe asimptota y = ±12/5x i razmak između vrhova je 48;

4) razmak između direktrisa je 7 1/7, a ekscentricitet ε = 7/5;

5) jednadžbe asimptota y = ± 4/3x i razmak između direktrisa je 6 2/5.

517. Odredite poluosi a i b svake od sljedećih hiperbola:

1) x 2 /9 - y 2 /4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 \u003d 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Zadana je hiperbola 16x 2 - 9y 2 = 144. Odredite: 1) poluosi a i b; 2) trikovi; 3) ekscentričnost; 4) jednadžbe asimptota; 5) jednadžbe direktrisa.

519. Zadana je hiperbola 16x 2 - 9y 2 = -144. Nađite: 1) poluosi a i b; 2) trikovi; 3) ekscentričnost; 4) jednadžbe asimptota; 5) jednadžbe direktrisa.

520. Izračunajte površinu trokuta kojeg tvore asimptote hiperbole x 2 /4 - y 2 /9 = 1 i pravca 9x + 2y - 24 = 0.

521. Odredi koji su pravci određeni sljedećim jednadžbama:

1) y \u003d + 2 / 3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4 / 3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Zadana je točka M 1 (l0; - √5) na hiperboli - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Sastavite jednadžbe pravaca na kojima leže žarišni polumjeri točke M 1.

523. Uvjerivši se da točka M 1 (-5; 9/4) leži na guilerballu x 2 /16 - y 2 /9 = 1, odredi žarišne polumjere točke M 1 .

524. Ekscentricitet hiperbole ε = 2, polumjer žarišta njezine točke M, povučene iz nekog žarišta, iznosi 16. Izračunajte udaljenost od točke M do jednostrane direktrise s tim žarištem.

525. Ekscentricitet hiperbole ε = 3, udaljenost od točke M hiperbole do direktrise je 4. Izračunajte udaljenost od točke M do fokusa, jednostrano s ovom direktrisom.

526. Ekscentricitet hiperbole ε = 2, središte joj je u ishodištu, jedno od žarišta je F(12; 0). Izračunajte udaljenost od točke M 1 hiperbole s apscisom jednakom 13 do direktrise koja odgovara zadanom fokusu.

527. Ekscentricitet hiperbole ε = 3/2, središte joj je u ishodištu, jedna od direktrisa dana je jednadžbom x = -8. Izračunajte udaljenost od točke M 1 hiperbole s apscisom jednakom 10 do žarišta koje odgovara zadanoj direktrisi.

528. Odredi točke hiperbole - x 2 /64 - y 2 /36 = 1 čija je udaljenost od desnog žarišta 4,5.

529. Odredi točke hiperbole x 2 /9 - y 2 /16 = 1 čija je udaljenost od lijevog žarišta 7.

530. Kroz lijevo žarište hiperbole x 2 /144 - y 2 /25 = 1 povučena je okomica na njezinu os koja sadrži vrhove. Odredite udaljenosti od žarišta do točaka sjecišta te okomice s hiperbolom.

531. Pomoću jednog šestara konstruirajte žarišta hiperbole x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (uz pretpostavku da su prikazane koordinatne osi i zadana jedinica mjerila).

532. Napiši jednadžbu hiperbole čiji fokusi leže na x-osi simetrično u odnosu na ishodište, ako je zadano:

1) točke M 1 (6; -1) i M 2 (-8; 2√2) hiperbole;

2) točka M 1 (-5; 3) hiperbole i ekscentricitet ε = √2;

3) točka M 1 (9/2;-l) hiperbole i jednadžba asimptota y = ± 2,3x;

4) točka M 1 (-3; 5.2) jednadžbe hiperbola i direktrisa x = ± 4/3;

5) jednadžbe asimptote y = ±-3/4x i jednadžbe direktrise x = ± 16/5

533. Odredite ekscentricitet jednakostranične hiperbole.

534. Odredite ekscentricitet hiperbole ako je segment između njezinih vrhova vidljiv iz žarišta konjugirane hiperbole pod kutom od 60°.

535. Žarišta hiperbole poklapaju se sa žarištima elipse x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Napiši jednadžbu hiperbole ako je njezin ekscentricitet ε = 2.

536. Napiši jednadžbu za hiperbolu čiji fokusi leže u vrhovima elipse x 2 /100 + y 2 /64 = 1, a direktrise prolaze kroz žarišta te elipse.

537. Dokažite da je udaljenost od žarišta hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 do njezine asimptote jednaka b.

538. Dokažite da je umnožak udaljenosti od bilo koje točke hiperbole x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 do njezine dvije asimptote konstantna vrijednost jednaka a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Dokažite da je površina paralelograma omeđena asimptotama hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i ravnim crtama povučenim kroz bilo koju njegovu točku paralelnu s asimptotama konstantna vrijednost jednaka do ab/2.

540. Sastavite jednadžbu hiperbole ako su poznate njezine poluosi a i b, središte C (x 0; y 0) i žarišta nalaze se na pravoj liniji: 1) paralelno s osi Ox; 2) paralelno s osi Oy.

541. Utvrdite da svaka od sljedećih jednadžbi definira hiperbolu, te pronađite koordinate njezina središta C, poluosi, ekscentriciteta, jednadžbe asimptote i jednadžbe direktrise:

1) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 54y - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Odredi koje pravce određuju sljedeće jednadžbe:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7- 3 / 2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

Nacrtajte ove linije na crtežu.

543. Napiši jednadžbu hiperbole znajući da je:

1) udaljenost između njegovih vrhova je 24, a žarišta su F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) žarišta su F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) i razmak između direktrisa je 3,6;

3) kut između asimptota je 90°, a žarišta su F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Napiši jednadžbu hiperbole ako su poznati njezin ekscentricitet ε = 5/4, žarište F (5; 0) i jednadžba pripadajuće direktrise 5x - 16 = 0.

545. Napiši jednadžbu hiperbole ako je poznat njezin ekscentricitet e - fokus F (0; 13) i jednadžba pripadajuće direktrise 13y - 144 = 0.

546. Točka A (-3; - 5) leži na hiperboli čiji je fokus F (-2; -3), a odgovarajuća direktrisa dana je jednadžbom x + 1 = 0. Napišite jednadžbu za tu hiperbolu .

547. Napiši jednadžbu hiperbole ako su poznati njezin ekscentricitet ε = √5, fokus F(2;-3) i jednadžba pripadajuće direktrise Zx - y + 3 = 0.

548. Točka M 1 (1; 2) leži na hiperboli čiji je fokus F(-2; 2), a odgovarajuća direktrisa dana je jednadžbom 2x - y - 1 = 0. Napišite jednadžbu za to hiperbola.

549. Dana je jednadžba jednakostranične hiperbole x 2 - y 2 = a 2. Pronađite njegovu jednadžbu u novom sustavu, uzimajući njegove asimptote kao koordinatne osi.

550. Nakon što ste utvrdili da svaka od sljedećih jednadžbi definira hiperbolu, pronađite za svaku od njih središte, poluosi, jednadžbe asimptota i nanesite ih na crtež: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Odredi sjecišne točke pravca 2x - y - 10 = 0 i hiperbole x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Odredi sjecišne točke pravca 4x - 3y - 16 = 0 i hiperbole x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Odredi sjecišne točke pravca 2x - y + 1 = 0 i hiperbole x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. U sljedećim slučajevima odredi kako se pravac nalazi u odnosu na hiperbolu: siječe li je, dodiruje ili prolazi izvan nje:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2 / 12 - y 2 / 3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Odredite za koje vrijednosti m pravac y = 5/2x + m

1) siječe hiperbolu x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) dodiruje je;

3) prolazi izvan ove hiperbole.

556. Izvedite uvjet pod kojim pravac y \u003d kx + m dodiruje hiperbolu x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1.

557. Sastavite jednadžbu tangente na hiperbolu x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 u njezinoj točki Af, (*,; #i).

558. Dokažite da su tangente na hiperbolu povučene na krajevima istog promjera paralelne.

559. Sastavite jednadžbe tangenti na hiperbolu x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1, okomitu na pravac 4x + Zy - 7 \u003d 0.

560. Sastavite jednadžbe tangenti na hiperbolu x 2 /16 - y 2 /64 = 1, paralelnu s pravcem 10x - 3y + 9 = 0.

561. Povuci tangente na hiperbolu x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 paralelno s pravcem 2x + 4y - 5 = 0 i izračunaj njihovu udaljenost d.

562. Na hiperboli x 2 /24- y 2 /18 = 1 nađi točku M 1 najbližu pravcu Zx + 2y + 1 = O i izračunaj udaljenost d od točke M x do tog pravca.

563. Sastavite jednadžbu tangenti na hiperbolu x 2 - y 2 = 16, povučenu iz točke A (- 1; -7).

564. Iz točke C (1; -10) povučene su tangente na hiperbolu x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Napiši jednadžbu tetive koja spaja dodirne točke.

565. Iz točke P (1; -5) povučene su tangente na hiperbolu x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Izračunaj udaljenost d od točke P do tetive hiperbole koja spaja dodirne točke.

566. Hiperbola prolazi točkom A(√6; 3) i dodiruje pravac 9x + 2y - 15 == 0. Napiši jednadžbu za tu hiperbolu, pod uvjetom da joj se osi poklapaju s koordinatnim osima.

567. Napiši jednadžbu hiperbole tangente na dva pravca: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, uz uvjet da joj se osi poklapaju s koordinatnim osima.

568. Uvjerivši se da su sjecišta elipse x 2 /3 - y 2 /5 = 1 i hiperbole x 2 /12 - y 2 /3 = 1 vrhovi pravokutnika, sastavi jednadžbe njegovih stranica .

569. Zadane su hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i neke njezine tangente: P - sjecište tangente s osi Ox, Q - projekcija dodirne točke na istu. os. Dokažite da je OP OQ = a 2 .

570. Dokažite da se žarišta hiperbole nalaze na suprotnim stranama bilo koje njezine tangente.

571. Dokažite da je umnožak udaljenosti od žarišta do bilo koje tangente na hiperbolu x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 konstanta jednaka b 2 .

572. Pravac 2x - y - 4 == 0 dodiruje hiperbolu čija su žarišta u točkama F 1 (-3; 0) i F 2 (3; 0). Napiši jednadžbu za ovu hiperbolu.

573. Sastavite jednadžbu hiperbole kojoj se žarišta nalaze na apscisnoj osi simetrično u odnosu na ishodište, ako su jednadžba tangente na hiperbolu 15x + 16y - 36 = 0 i razmak između njezinih vrhova 2a = 8 jednaki znan.

574. Dokažite da pravac tangenta na hiperbolu u nekoj točki M zatvara jednake kutove sa žarišnim polumjerima F 1 M, F 2 M i prolazi unutar kuta F 1 MF 2 . X^

575. Iz desnog fokusa hiperbole x 2 /5 - y 2 /4 = 1 pod kutom α(π

576. Dokažite da se elipsa i hiperbola sa zajedničkim žarištima sijeku pod pravim kutom.

577. Koeficijent jednolike kompresije ravnine prema osi Ox je 4/3. Odredite jednadžbu pravca u koji se pri tom sažimanju pretvara hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1. Indikacija. Vidi zadatak 509.

578. Koeficijent jednolike kompresije ravnine na os Oy je 4/5. Odredite jednadžbu pravca u koji se hiperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1 transformira tijekom ove kompresije.

579. Nađite jednadžbu pravca u koji se hiperbola x 2 - y 2 \u003d 9 transformira s dva uzastopna jednolika sažimanja ravnine na koordinatne osi, ako su koeficijenti jednolikog sažimanja ravnine na osi Ox i Oy jednaki su 2/3 i 5/3.

580. Odredite koeficijent q jednolike kompresije ravnine na os Ox, pri čemu se hiperbola - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 transformira u hiperbolu x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Odredite koeficijent q jednolike kompresije ravnine na os Oy, pri čemu se hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 transformira u hiperbolu x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Odredite koeficijente q 1 i q 2 dvaju uzastopnih jednolikih kompresija ravnine na osi Ox i Oy, pri kojima se hiperbola x 2 /49 - y 2 /16 = 1 transformira u hiperbolu x 2 /25 - y 2 /64 = 1.

Hiperbola je skup točaka u ravnini čija je razlika udaljenosti od dviju zadanih točaka, žarišta, konstantna i jednaka .

Slično elipsi, žarišta postavljamo u točke , (vidi sl. 1).

Riža. jedan

Na slici se može vidjeti da može biti slučajeva i title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}

Poznato je da je u trokutu razlika dviju stranica manja od treće stranice, stoga, na primjer, s dobivamo:

Donosimo oba dijela na trg i nakon daljnjih transformacija nalazimo:

gdje . Hiperbolička jednadžba (1) je kanonska jednadžba hiperbole.

Hiperbola je simetrična oko koordinatnih osi, stoga je, kao i za elipsu, dovoljno nacrtati njezin grafikon u prvoj četvrtini, gdje je:

Raspon vrijednosti za prvi kvartal.

Kada imamo jedan od vrhova hiperbole . Drugi vrh. Ako , onda iz (1) - nema pravih korijena. Kažemo da i su zamišljeni vrhovi hiperbole. Iz omjera ispada da za dovoljno velike vrijednosti postoji mjesto za najbližu jednakost title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}

Oblik i karakteristike hiperbole

Istražujemo jednadžbu (1) oblik i mjesto hiperbole.

Varijable i upišite jednadžbu (1) u parovima potencija. Dakle, ako točka pripada hiperboli, onda i točke pripadaju hiperboli. To znači da je lik simetričan oko osi i , te točke , koja se naziva središtem hiperbole.
Nađimo točke presjeka s koordinatnim osima. Zamjenom u jednadžbu (1) dobivamo da hiperbola siječe os u točkama . Stavljanjem dobivamo jednadžbu koja nema rješenja. To znači da hiperbola ne siječe os. Točke se nazivaju vrhovima hiperbole. Odsječak = i naziva se realna os hiperbole, a odsječak zamišljena os hiperbole. Brojeve i nazivamo realnom i imaginarnom poluosi hiperbole. Pravokutnik koji stvaraju osi naziva se glavni pravokutnik hiperbole.
Iz jednadžbe (1) proizlazi da je , tj. To znači da se sve točke hiperbole nalaze desno od pravca (desna grana hiperbole) i lijevo od pravca (lijeva grana hiperbole).
Uzmimo točku u prvom kvadrantu na hiperboli, to jest, i stoga . Od 0" title="(!LANG:Renderirao QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}

Asimptote hiperbole

Postoje dvije asimptote hiperbole. Nađimo asimptotu do grane hiperbole u prvoj četvrtini, a zatim upotrijebimo simetriju. Razmotrimo bod u prvoj četvrtini, tj. U ovom slučaju , , tada asimptota ima oblik: , gdje je

Dakle, linija je asimptota funkcije. Dakle, zbog simetrije, asimptote hiperbole su ravne linije.

Na temelju utvrđenih karakteristika konstruiramo granu hiperbole koja se nalazi u prvoj četvrtini i koristimo simetriju:

Riža. 2

U slučaju kada je , odnosno hiperbola je opisana jednadžbom . U ovoj hiperboli, asimptote, koje su simetrale koordinatnih kutova.

Primjeri zadataka za građenje hiperbole

Primjer 1

Zadatak

Odredite osi, vrhove, žarišta, ekscentricitet i jednadžbe asimptota hiperbole. Konstruirajte hiperbolu i njene asimptote.

Riješenje

Svodimo jednadžbu hiperbole na kanonski oblik:

Uspoređujući ovu jednadžbu s kanonskom jednadžbom (1), nalazimo , , . Vrhovi , fokusi i . Ekscentričnost ; asmptoti; Gradimo parabolu. (vidi sl. 3)

Napiši jednadžbu hiperbole:

Riješenje

Napisavši jednadžbu asimptote u obliku, nalazimo omjer poluosi hiperbole . Iz uvjeta problema slijedi da je . Stoga se problem sveo na rješavanje sustava jednadžbi:

Zamjenom u drugu jednadžbu sustava dobivamo:

gdje . Sada nalazimo.

Dakle, hiperbola ima sljedeću jednadžbu:

Odgovor

Hiperbola i njezina kanonska jednadžba ažurirano: 17. lipnja 2017. od strane: Znanstveni članci.Ru

Definicija . Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka, od kojih je razlika svake od dvije zadane točke, zvane žarišta, konstantna vrijednost

Uzmimo koordinatni sustav tako da žarišta leže na apscisnoj osi, a ishodište koordinata dijeli segment F 1 F 2 na pola (slika 30). Označimo F 1 F 2 = 2c. Tada je F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 žarišni su polumjeri hiperbole.

Prema definiciji hiperbole, r 1 - r 2 = const.

Označimo ga s 2a

Tada je r 2 - r 1 = ±2a pa je:

=> kanonska jednadžba hiperbole

Budući da je jednadžba hiperbole x i y u parnim potencijama, onda ako točka M 0 (x 0; y 0) leži na hiperboli, tada točke M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M3 (-x 0; -y 0).

Dakle, hiperbola je simetrična oko obje koordinatne osi.

Kada je y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x = ± a. Vrhovi hiperbole bit će točke A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. Zbog simetrije, istraživanje se provodi u prvom kvartalu

1) na
y ima imaginarnu vrijednost, dakle točke hiperbole s apscisama
ne postoji

2) kod x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) pripada hiperboli

3) za x > a; y > 0. Štoviše, s neograničenim porastom x, grana hiperbole ide u beskonačnost.

Iz toga slijedi da je hiperbola krivulja koja se sastoji od dvije beskonačne grane.

P 6. Asimptote hiperbole

Razmotrite zajedno s jednadžbom
jednadžba ravne linije

Do krivulja će ležati ispod ravne linije (slika 31). Razmotrite točke N (x, Y) i M (x, y) čije su apscise iste, i Y - y \u003d MN. Promotrimo duljinu segmenta MN

Nađimo

Dakle, ako se točka M, krećući se po hiperboli u prvoj četvrtini, udaljava u beskonačnost, tada je njezina udaljenost od pravca
opada i teži nuli.

Zbog simetrije isto svojstvo ima i pravac.
.

Definicija. Izravne linije do kojih
krivulja se neograničeno približava nazivaju se asimptote.

I
dakle, jednadžba asimptota hiperbole
.

Asimptote hiperbole nalaze se duž dijagonala pravokutnika čija je jedna stranica paralelna s osi x i jednaka je 2a, a druga je paralelna s osi y i jednaka je 2b, a središte leži u ishodištu (slika 32).

P 7. Ekscentricitet i direktrise hiperbole

r 2 – r 1 = ± 2a znak + odnosi se na desnu granu hiperbole

znak - odnosi se na lijevu granu hiperbole

Definicija. Ekscentricitet hiperbole je omjer udaljenosti između žarišta te hiperbole i udaljenosti između njezinih vrhova.

. Kako je c > a, ε > 1

Izražavamo žarišne radijuse hiperbole u terminima ekscentričnosti:

Definicija . Nazovimo linije
, okomito na žarišnu os hiperbole i smješteno na udaljenostiiz svog središta direktrisom hiperbole koja odgovara desnom i lijevom žarištu.

T
kao za hiperbolu
prema tome, direktrise hiperbole nalaze se između njezinih vrhova (slika 33). Pokažimo da je omjer udaljenosti bilo koje točke hiperbole do fokusa i odgovarajuće direktrise konstantan i jednak ε.

P. 8 Parabola i njezina jednadžba

O
definicija. Parabola je geometrijsko mjesto točaka koje su jednako udaljene od dane točke, koja se naziva žarište, i od dane linije, koja se naziva direktrisa.

Da bismo sastavili jednadžbu parabole, uzmimo x-os kao ravnu liniju koja prolazi kroz fokus F 1 okomito na direktrisu i razmotrimo x-os usmjerenu od direktrise prema fokusu. Za ishodište koordinata uzimamo polovište O isječka iz točke F na zadanu ravnicu čiju duljinu označavamo s p (slika 34). Veličinu p ćemo zvati parametar parabole. Koordinatna točka fokusa
.

Neka je M(x, y) proizvoljna točka parabole.

Po definiciji

na 2 = 2px je kanonska jednadžba parabole

Da bismo odredili vrstu parabole, transformiramo njezinu jednadžbu
iz čega slijedi . Dakle, vrh parabole je u ishodištu, a os simetrije parabole je x. Jednadžba y 2 \u003d -2px s pozitivnim p reducira se na jednadžbu y 2 \u003d 2px zamjenom x s -x i njezin graf izgleda ovako (Sl. 35).

Na
jednadžba x 2 \u003d 2py je jednadžba parabole s vrhom u točki O (0; 0) čije su grane usmjerene prema gore.

x
2 \u003d -2ru - jednadžba parabole sa središtem u ishodištu je simetrična oko y-osi, čije su grane usmjerene prema dolje (slika 36).

Parabola ima jednu os simetrije.

Ako je x na prvu, a y na drugu potenciju, tada je os simetrije x.

Ako je x na drugu potenciju, a y na prvu, tada je os simetrije y-os.

Napomena 1. Jednadžba direktrise parabole ima oblik
.

Napomena 2. Budući da za parabolu , ondaε parabola je 1.ε = 1 .

Pozdrav, dragi studenti Sveučilišta Argemony! Želim vam dobrodošlicu na još jedno predavanje o magiji funkcija i integrala.

Danas ćemo govoriti o hiperboli. Počnimo jednostavno. Najjednostavniji oblik hiperbole je:

Ova funkcija, za razliku od ravne linije u svojim standardnim oblicima, ima posebnost. Kao što znamo, nazivnik razlomka ne može biti jednak nuli, jer ne možete dijeliti s nulom.
x ≠ 0
Iz ovoga zaključujemo da je područje definicije cijeli realni pravac, osim točke 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Ako x teži 0 s desna (napisano ovako: x->0+), tj. postaje vrlo, vrlo mali, ali još uvijek pozitivan, tada y postaje vrlo, vrlo velik pozitivan (y->+∞).
Ako x teži 0 slijeva (x->0-), tj. postane vrlo, vrlo malen u apsolutnoj vrijednosti, ali ostaje negativan, tada će y također biti negativan, ali će u apsolutnoj vrijednosti biti vrlo velik (y->-∞).
Ako x teži plus beskonačnosti (x->+∞), tj. postaje vrlo velik pozitivan broj, tada će y postajati sve manji i manji pozitivan broj, tj. će težiti 0, ostajući cijelo vrijeme pozitivni (y->0+).
Ako x teži minus beskonačnosti (x->-∞), tj. postaje veliki modulo, ali negativan broj, tada će y također uvijek biti negativan broj, ali mali modul (y->0-).

Y, kao i x, ne može poprimiti vrijednost 0. Teži samo nuli. Stoga je skup vrijednosti isti kao domena definicije: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Na temelju ovih razmatranja možemo shematski nacrtati graf funkcije

Vidi se da se hiperbola sastoji od dva dijela: jedan je u 1. koordinatnom kutu, gdje su x i y vrijednosti pozitivne, a drugi dio je u trećem koordinatnom kutu, gdje su x i y vrijednosti su negativni.
Ako se pomaknemo od -∞ do +∞, tada vidimo da naša funkcija opada od 0 do -∞, zatim dolazi do oštrog skoka (od -∞ do +∞) i počinje druga grana funkcije, koja također opada, ali od +∞ do 0. Odnosno ova hiperbola je opadajuća.

Ako samo malo promijenite funkciju: upotrijebite minus magiju,

(1")

Tada se funkcija nekim čudom pomiče iz 1. i 3. četvrtine u 2. i 4. četvrtinu i postaje rastuća.

Podsjetimo se da je funkcija povećavajući se, ako su za dvije vrijednosti x 1 i x 2 takve da je x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
I funkcija će biti opadajući ako je f(x 1) > f(x 2) za iste vrijednosti x.

Grane hiperbole približavaju se osi, ali ih nikada ne križaju. Takve linije kojima se graf funkcije približava, ali ih nikada ne prelazi nazivamo asimptota ovu funkciju.
Za našu funkciju (1), asimptote su ravne linije x=0 (OY os, vertikalna asimptota) i y=0 (OX os, horizontalna asimptota).

Sada malo zakomplicirajmo najjednostavniju hiperbolu i vidimo što se događa s grafom funkcije.

(2)

Upravo sam dodao konstantu "a" u nazivnik. Dodavanje nekog broja nazivniku kao člana x znači pomicanje cijele "hiperboličke konstrukcije" (zajedno s okomitom asimptotom) za (-a) mjesta udesno ako je a negativan broj, i za (-a) mjesta na lijevo ako je a pozitivan broj.

Na lijevom grafikonu negativna konstanta je dodana x (a<0, значит, -a>0), što uzrokuje pomicanje grafikona udesno, a na desnom grafikonu pozitivnu konstantu (a>0) zbog koje se grafikon pomiče ulijevo.

I kakva magija može utjecati na prijenos "hiperboličke konstrukcije" gore ili dolje? Dodavanje konstantnog člana razlomku.

(3)

Sada će cijela naša funkcija (obje grane i horizontalna asimptota) ići gore za b pozicija ako je b pozitivan broj, i spustiti se za b pozicija prema dolje ako je b negativan broj.

Imajte na umu da se asimptote kreću zajedno s hiperbolom, tj. hiperbola (obje njezine grane) i obje njezine asimptote moraju se nužno smatrati nerazdvojnom konstrukcijom koja se kao jedna kreće lijevo, desno, gore ili dolje. Vrlo je ugodan osjećaj kada cijelu funkciju možete pokrenuti u bilo kojem smjeru samo dodavanjem nekog broja. Zašto ne magija, koju možete vrlo lako savladati i usmjeriti je po vlastitom nahođenju u pravom smjeru?
Usput, na ovaj način možete kontrolirati kretanje bilo koje funkcije. U sljedećim lekcijama ćemo učvrstiti ovu vještinu.

Prije nego što vam dam domaću zadaću, želim vam skrenuti pozornost na ovu funkciju

(4)

Donja grana hiperbole pomiče se prema gore od 3. koordinatnog kuta do drugog, do kuta u kojem je vrijednost y pozitivna, tj. ova se grana reflektira simetrično oko osi OX. I sada dobivamo parnu funkciju.

Što znači "ujednačena funkcija"? Funkcija se zove čak, ako je ispunjen uvjet: f(-x)=f(x)
Funkcija se zove neparan, ako je ispunjen uvjet: f(-x)=-f(x)
U našem slučaju

(5)

Svaka parna funkcija je simetrična u odnosu na os OY, tj. pergament s crtežom grafa može se saviti duž OY osi, i dva dijela grafa će se međusobno točno podudarati.

Kao što vidite, ova funkcija također ima dvije asimptote - horizontalnu i vertikalnu. Za razliku od gore razmatranih funkcija, ova funkcija je na jednom svom dijelu rastuća, a na drugom opadajuća.

Pokušajmo sada voditi ovaj grafikon dodavanjem konstanti.

(6)

Podsjetimo se da dodavanje konstante kao izraza "x" uzrokuje da se cijeli graf (zajedno s okomitom asimptotom) pomiče vodoravno, duž vodoravne asimptote (lijevo ili desno, ovisno o predznaku te konstante).

(7)

A dodavanje konstante b kao člana razlomku uzrokuje pomicanje grafa gore ili dolje. Sve je vrlo jednostavno!

Sada pokušajte sami eksperimentirati s ovom magijom.

domaća zadaća 1.

Svatko preuzima dvije funkcije za svoje pokuse: (3) i (7).
a = prva znamenka vašeg LD-a
b=druga znamenka vašeg LD-a
Pokušajte doprijeti do magije ovih funkcija, počevši od najjednostavnije hiperbole, kao što sam ja učinio u lekciji, i postupno dodajući vlastite konstante. Funkcija (7) već se može modelirati na temelju konačnog oblika funkcije (3). Navedite domene definicije, skup vrijednosti, asimptote. Kako se ponašaju funkcije: smanjenje, povećanje. Čak i čudno. Općenito, pokušajte provesti isto istraživanje kao što je bilo u lekciji. Možda nađete još nešto što sam zaboravio spomenuti.

Inače, obje grane najjednostavnije hiperbole (1) su simetrične u odnosu na simetrale 2 i 4 koordinatnih kutova. Sada zamislite da se hiperbola počela okretati oko ove osi. Dobivamo samo tako lijepu figuru, koja se može koristiti.

Zadatak 2. Gdje se ova figura može koristiti? Pokušajte nacrtati figuru rotacije funkcije (4) oko njezine osi simetrije i raspravite gdje se takva figura može koristiti.

Sjećate li se kako smo dobili ravnu crtu s izbušenom točkom na kraju prošle lekcije? I evo posljednjeg zadatak 3.
Napravite grafikon za ovu funkciju:

(8)

Koeficijenti a, b isti su kao u zadatku 1.
c=3. znamenka vašeg LD-a ili a-b ako je vaš LD dvoznamenkasti.
Mali savjet: prvo, razlomak dobiven nakon zamjene brojeva mora se pojednostaviti, a zatim ćete dobiti uobičajenu hiperbolu koju trebate izgraditi, ali na kraju morate uzeti u obzir domenu izvornog izraza.