Rješavanje linearnih jednadžbi matričnom metodom. Metoda rješavanja matrice Slough: primjer rješavanja pomoću inverzne matrice

Matrična metoda SLAU rješenja koristi se za rješavanje sustava jednadžbi u kojima broj jednadžbi odgovara broju nepoznanica. Metoda se najbolje koristi za rješavanje sustava niskog reda. Matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi temelji se na primjeni svojstava matričnog množenja.

Ovako, drugim riječima metoda inverzne matrice, naziva se tako, budući da se rješenje svodi na uobičajenu matričnu jednadžbu, za čije rješenje je potrebno pronaći inverznu matricu.

Metoda matričnog rješenja SLAE s determinantom većom ili manjom od nule je kako slijedi:

Pretpostavimo da postoji SLE (sustav linearnih jednadžbi) sa n nepoznato (preko proizvoljnog polja):

Dakle, lako ga je prevesti u matrični oblik:

AX=B, gdje A je glavna matrica sustava, B i x- stupci besplatnih članova odnosno rješenja sustava:

Pomnožite ovu matričnu jednadžbu s lijeve strane s A -1- inverzna matrica u matricu A: A −1 (AX)=A −1 B.

Jer A −1 A=E, sredstva, X=A −1 B. Desna strana jednadžbe daje stupac rješenja početnog sustava. Uvjet za primjenjivost matrične metode je nedegeneriranost matrice A. Nužan i dovoljan uvjet za to je da determinanta matrice A:

detA≠0.

Za homogeni sustav linearnih jednadžbi, tj. ako vektor B=0, vrijedi suprotno pravilo: sustav AX=0 je netrivijalno (tj. nije jednako nuli) rješenje samo kada detA=0. Ova veza između rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih jednadžbi naziva se alternativa Fredholmu.

Dakle, rješenje SLAE matričnom metodom izrađuje se prema formuli . Ili se SLAE rješenje pronalazi pomoću inverzna matrica A -1.

Poznato je da kvadratna matrica ALI narudžba n na n postoji inverzna matrica A -1 samo ako je njegova determinanta različita od nule. Tako sustav n linearne algebarske jednadžbe sa n nepoznanice se rješavaju matričnom metodom samo ako determinanta glavne matrice sustava nije jednaka nuli.

Unatoč činjenici da postoje ograničenja mogućnosti korištenja takve metode i postoje računske poteškoće za velike vrijednosti koeficijenata i sustava visokog reda, metoda se može lako implementirati na računalu.

Primjer rješavanja nehomogenog SLAE.

Prvo provjerimo nije li determinanta matrice koeficijenata za nepoznate SLAE jednaka nuli.

Sada nalazimo matrica saveza, transponirajte ga i zamijenite u formulu za određivanje inverzne matrice.

Zamjenjujemo varijable u formuli:

Sada nalazimo nepoznanice množenjem inverzne matrice i stupca slobodnih članova.

Tako, x=2; y=1; z=4.

Kada prelazite s uobičajenog oblika SLAE na matrični oblik, budite oprezni s redoslijedom nepoznatih varijabli u jednadžbama sustava. Na primjer:

NEMOJTE pisati kao:

Potrebno je prvo poredati nepoznate varijable u svakoj jednadžbi sustava i tek nakon toga prijeći na matrični zapis:

Osim toga, morate biti oprezni s označavanjem nepoznatih varijabli, umjesto x 1, x 2 , …, x n mogu biti i druga slova. Na primjer:

u matričnom obliku pišemo:

Primjenom matrične metode bolje je rješavati sustave linearnih jednadžbi u kojima se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sustava nije jednaka nuli. Kada postoji više od 3 jednadžbe u sustavu, bit će potrebno više računalnog napora da se pronađe inverzna matrica, stoga je u ovom slučaju preporučljivo koristiti Gaussovu metodu za rješavanje.

Jednadžbe općenito, linearne algebarske jednadžbe i njihovi sustavi, kao i metode za njihovo rješavanje, zauzimaju posebno mjesto u matematici, kako teorijskoj tako i primijenjenoj.

To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednadžbi i njihovih sustava. Nedavno je matematičko modeliranje steklo posebnu popularnost među istraživačima, znanstvenicima i praktičarima u gotovo svim predmetnim područjima, što se objašnjava njegovim očitim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode za proučavanje objekata različite prirode, posebno tzv. sustava. Postoji velika raznolikost različitih definicija matematičkog modela koje su dali znanstvenici u različitim vremenima, ali po našem mišljenju najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednadžbi i njihovih sustava sastavna je karakteristika modernog stručnjaka.

Za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi najčešće se koriste metode: Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.

Metoda matričnog rješenja - metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi s determinantom različitom od nule pomoću inverzne matrice.

Ako ispišemo koeficijente za nepoznate vrijednosti xi u matricu A, sakupimo nepoznate vrijednosti u stupac X vektor, a slobodne članove u stupac B vektor, tada se sustav linearnih algebarskih jednadžbi može napisati u oblik sljedeće matrične jednadžbe A X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U tom slučaju rješenje sustava jednadžbi može se pronaći na sljedeći način x = A-jedan · B, gdje A-1 - inverzna matrica.

Metoda matričnog rješenja je sljedeća.

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s n nepoznato:

Može se prepisati u matričnom obliku: SJEKIRA = B, gdje A- glavna matrica sustava, B i x- stupci besplatnih članova odnosno rješenja sustava:

Pomnožite ovu matričnu jednadžbu s lijeve strane s A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (SJEKIRA) = A -1 B

Jer A -1 A = E, dobivamo x= A -1 B. Desna strana ove jednadžbe dat će stupac rješenja izvornog sustava. Uvjet za primjenjivost ove metode (kao i općenito postojanje rješenja nehomogenog sustava linearnih jednadžbi s brojem jednadžbi jednakim broju nepoznanica) je nedegeneriranost matrice A. Nužan i dovoljan uvjet za to je da determinanta matrice A: det A≠ 0.

Za homogeni sustav linearnih jednadžbi, odnosno kada vektor B = 0 , zapravo suprotno pravilo: sustav SJEKIRA = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako je det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih jednadžbi naziva se Fredholmova alternativa.

Primjer rješenja nehomogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljene od koeficijenata nepoznanica sustava linearnih algebarskih jednadžbi, nije jednaka nuli.

Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koja se sastoji od koeficijenata nepoznanica. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prolaze iz gornjeg lijevog kuta u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice koje imaju isti broj redaka i stupaca.

Teorem o uvjetu postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nedegenerirana.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran ako su vektori stupci linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i desno (na mjesto desnih dijelova jednadžbi) dodijelite joj matricu E.
Koristeći Jordanove transformacije, dovedite matricu A u matricu koja se sastoji od pojedinačnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da se dobije matrica identiteta E ispod matrice A izvorne tablice.
Napišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.

Primjer 1

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Zapisujemo matricu A i desno pridružujemo matricu identiteta E. Pomoću Jordanovih transformacija reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su prikazani u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica dobiva se matrica identiteta. Dakle, izračuni su točni.

Odgovor:

Rješenje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C zadane matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, trebate pomnožiti ovu jednadžbu s s lijeve strane.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Primjer 2

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverz matrice jednak (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Zajedno s drugima, oni također nalaze primjenu matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve metode koriste se za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno usporediti funkcioniranje organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene matričnih metoda analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi provodi se formiranje sustava ekonomskih pokazatelja i na temelju njega sastavlja se matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su brojevi sustava prikazani u njegovim pojedinačnim recima (i = 1,2,....,n), a duž okomitih grafikona - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi za svaki okomiti stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti pokazatelja, koja se uzima kao jedinica.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje vještak.

Na posljednjem četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupirani prema rastućem ili opadajućem redoslijedu.

Navedene matrične metode trebale bi se koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijskih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja uspješnosti organizacija.

Smatrati sustav linearnih algebarskih jednadžbi(SPORI) u vezi n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :

Ovaj sustav u "presavijenom" obliku može se napisati na sljedeći način:

S n i=1 a i J x j = b ja , i=1,2, ..., n.

U skladu s pravilom matričnog množenja, razmatrani sustav linearnih jednadžbi može se napisati matrični oblik sjekira=b, gdje

Matrica A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznanice, a redovi su koeficijenti za nepoznanice u odgovarajućoj jednadžbi naziva se matrica sustava. matrica stupaca b, čiji su elementi desni dijelovi jednadžbi sustava, naziva se matrica desnog dijela ili jednostavno desnu stranu sustava. matrica stupaca x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sustavno rješenje.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi zapisan kao sjekira=b, je matrična jednadžba.

Ako matrica sustava nedegeneriran, tada ima inverznu matricu, a zatim rješenje sustava sjekira=b daje se formulom:

x=A -1 b.

Primjer Riješite sustav matrična metoda.

Riješenje pronađite inverznu matricu za matricu koeficijenata sustava

Izračunajte determinantu proširivanjem preko prvog reda:

Jer Δ ≠ 0 , onda A -1 postoji.

Inverzna matrica je ispravno pronađena.

Pronađimo rješenje za sustav

Posljedično, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Ispitivanje:

7. Kronecker-Capellijev teorem o kompatibilnosti sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Sustav linearnih jednadžbi izgleda kao:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Ovdje su zadani a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept produkta matrica, sustav (5.1) možemo prepisati u obliku:

gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata nepoznanica sustava (5.1) koja se naziva matrica sustava, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vektori stupci sastavljeni od nepoznatih x j i slobodnih članova b i .

Naručeno preuzimanje n realnih brojeva (c 1 , c 2 ,..., c n) naziva se sustavno rješenje(5.1) ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1 , x 2 ,..., x n svaka jednadžba sustava pretvori u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC  B.

Sustav (5.1) se zove zglob, ili rješiv ako ima barem jedno rješenje. Sustav se zove nekompatibilno, ili netopljiv ako nema rješenja.

formiran dodjeljivanjem stupca slobodnih članova matrici A s desne strane, naziva se sustav proširene matrice.

Pitanje kompatibilnosti sustava (5.1) rješava se sljedećim teoremom.

Kronecker-Capellijev teorem . Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A podudaraju, tj. r(A) = r(A) = r.

Za skup M rješenja sustava (5.1) postoje tri mogućnosti:

1) M =  (u ovom slučaju sustav je nekonzistentan);

2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sustav ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sustav se zove određeni);

3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sustav naziva neizvjestan). U trećem slučaju sustav (5.1) ima beskonačan broj rješenja.

Sustav ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju broj jednadžbi nije manji od broja nepoznanica (mn); ako je m>n, tada su m-n jednadžbi posljedice ostalih. Ako je 0

Za rješavanje proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi potrebno je znati riješiti sustave u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica, tzv. Sustavi tipa Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sustavi (5.3) rješavaju se na jedan od sljedećih načina: 1) Gaussovom metodom, odnosno metodom eliminacije nepoznanica; 2) prema Cramerovim formulama; 3) metodom matrice.

Primjer 2.12. Istražite sustav jednadžbi i riješite ga ako je kompatibilan:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Riješenje. Ispisujemo proširenu matricu sustava:

 .

Izračunajmo rang glavne matrice sustava. Očito je da je, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom kutu = 7  0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli:

Stoga je rang glavne matrice sustava 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite rubni minor

dakle, rang proširene matrice je r(A) = 3. Budući da je r(A)  r(A), sustav je nekonzistentan.