Bilo koji poligon može ležati u osnovi prizme - trokut, četverokut itd. Obje baze su potpuno iste, i prema tome, čime su kutovi paralelnih stranica međusobno povezani, one su uvijek paralelne. U podnožju pravilne prizme leži pravilan mnogokut, odnosno onaj u kojem su sve stranice jednake. U ravnoj prizmi, rubovi između bočnih stranica okomiti su na bazu. U ovom slučaju, mnogokut s bilo kojim brojem kutova može ležati na bazi ravne prizme. Prizma čija je baza paralelogram naziva se paralelopiped. Pravokutnik je poseban slučaj paralelograma. Ako ova figura leži u podnožju, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na podnožje, paralelopiped se naziva pravokutnim. Drugo ime ovog geometrijskog tijela je pravokutno.

Kako ona izgleda

U okruženju modernog čovjeka ima dosta pravokutnih prizmi. To je, na primjer, uobičajeni karton ispod cipela, računalne komponente itd. Razgledati. Čak iu sobi, sigurno ćete vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. Ovo je kućište za računalo, i polica za knjige, i hladnjak, i ormarić, i mnogi drugi predmeti. Forma je iznimno popularna ponajprije jer vam omogućuje što učinkovitije korištenje prostora, bilo da uređujete interijer ili stvari pakirate u karton prije selidbe.

Svojstva pravokutne prizme

Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Bilo koji par lica može poslužiti kao njegov, budući da su sva susjedna lica smještena pod istim kutom jedna prema drugoj, a taj kut je 90 °. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati nego bilo koju drugu. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu duljinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, dovoljno je pomnožiti ove mjere. Odnosno, formula izgleda ovako: V \u003d a * b * h, gdje je V volumen, a i b su strane baze, h je visina koja se podudara s bočnim rubom ovog geometrijskog tijela. Osnovna površina izračunava se po formuli S1=a*b. Da biste dobili bočnu površinu, prvo morate izračunati opseg baze pomoću formule P=2(a+b), a zatim ga pomnožiti s visinom. Ispada formula S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dvostruku površinu baze i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Grana matematike koja proučava svojstva različitih oblika (točaka, linija, kutova, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih objekata), njihovu veličinu i relativni položaj. Radi lakšeg poučavanja, geometrija se dijeli na planimetriju i geometriju tijela. NA…… Collier Encyclopedia

Geometrija prostora dimenzija većih od tri; pojam se primjenjuje na one prostore čija je geometrija izvorno razvijena za slučaj tri dimenzije i tek onda generalizirana na broj dimenzija n> 3, prvenstveno euklidski prostor, ... ... Matematička enciklopedija

N dimenzionalna euklidska geometrija je generalizacija euklidske geometrije na prostor više dimenzija. Iako je fizički prostor trodimenzionalan, a ljudska osjetila su dizajnirana da percipiraju tri dimenzije, N je dimenzionalan ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Pyramidatsu (značenja). Pouzdanost ovog dijela članka dovedena je u pitanje. Potrebno je provjeriti točnost činjenica navedenih u ovom odjeljku. Možda postoje objašnjenja na stranici za razgovor ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Geometrija strukturnih blokova često je, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Omogućuje vam stvaranje složene scene ili ... Wikipedije

Konstruktivna geometrija čvrstih tijela (CSG) je tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Geometrija strukturnih blokova često je, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Ona ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Opseg (značenja). Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge ... ... Wikipedije

Vrsta kocke Pravilni poliedar Lice kvadrat Vertice Bridovi Lica ... Wikipedia

Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge definicije u odnosu na trodimenzionalna tijela trodimenzionalnog euklidskog prostora. ... ... Wikipedia

Dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona (vidi GEOMETRIJA) povezanih na takav način da je svaka stranica bilo kojeg mnogokuta stranica točno jednog drugog poligona (koji se naziva ... ... Collier Encyclopedia

knjige

• Set stolova. Geometrija. 10. razred. 14 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Pribor uključuje brošuru s metodološkim preporukama za nastavnike. Studijski album od 14 listova.…

Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravnini. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo dati definiciju prizme s geometrijskog gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su joj karakteristična.

Geometrijski lik

Definicija prizme u geometriji je sljedeća: to je prostorna figura koja se sastoji od dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, međusobno povezani svojim vrhovima.

Nabaviti prizmu nije teško. Zamislimo da postoje dva identična n-kuta, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu međusobno paralelni. Nakon toga vrhove jednog poligona treba spojiti s odgovarajućim vrhovima drugog. Formirana figura sastojat će se od dvije n-kutne stranice, koje se nazivaju bazama, i n četverokutnih stranica, koje su u općem slučaju paralelogrami. Skup paralelograma čini bočnu površinu figure.

Postoji još jedan način da se geometrijski dobije dotični lik. Dakle, ako uzmemo n-kut i prenesemo ga u drugu ravninu pomoću paralelnih odsječaka jednakih duljina, tada ćemo u novoj ravnini dobiti izvorni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti izvučeni iz njihovih vrhova tvore prizmu.

Gornja slika pokazuje da se tako zove jer su mu baze trokuti.

Elementi koji čine figuru

Gore je dana definicija prizme iz koje je jasno da su glavni elementi figure njezina lica ili strane, ograničavajući sve unutarnje točke prizme od vanjskog prostora. Bilo koje lice figure koja se razmatra pripada jednoj od dvije vrste:

• bočno;
• osnove.

Ima n bočnih dijelova, a to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnik, kvadrat). Općenito, bočne strane se razlikuju jedna od druge. Postoje samo dvije strane baze, one su n-kuti i međusobno su jednake. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.

Osim stranica, lik karakteriziraju i njegovi vrhovi. To su točke u kojima se dodiruju tri lica u isto vrijeme. Štoviše, dva od tri lica uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedno - bazi. Dakle, u prizmi nema posebno odabranog jednog vrha, kao, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).

Konačno, treći važan element prizme su njezini rubovi. To su segmenti određene duljine, koji nastaju kao rezultat sjecišta strana figure. Poput lica, rubovi također imaju dvije različite vrste:

• ili formirana samo sa strane;
• ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-kutne baze.

Broj bridova je tako 3*n, a njih 2*n pripadaju drugom od spomenutih tipova.

Vrste prizmi

Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se temelje na dvije značajke figure:

• o vrsti baze n-ugljena;
• na strani tipa.

Za početak, okrenimo se drugoj singularnosti i dajmo definiciju ravne linije. Ako je barem jedna strana paralelogram općeg tipa, tada se lik naziva kosi ili kosi. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.

Također možete dati definiciju malo drugačije: ravna figura je prizma u kojoj su bočni rubovi i lica okomiti na njezine baze. Slika prikazuje dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna je ukošena.

Sada prijeđimo na klasifikaciju prema vrsti n-kuta koji leži u bazama. Može imati iste strane i kutove ili različite. U prvom slučaju poligon se naziva pravilnim. Ako lik koji se razmatra sadrži mnogokut s jednakim stranicama i kutovima na bazi i ravna je linija, tada se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj bazi može imati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilan peterokut ili šesterokut i tako dalje. Navedene točne brojke prikazane su na slici.

Linearni parametri prizmi

Za opisivanje dimenzija figura koje se razmatraju koriste se sljedeći parametri:

• visina;
• strane baze;
• duljine bočnih rebara;
• volumetrijske dijagonale;
• dijagonalne stranice i baze.

Za pravilne prizme sve navedene veličine su međusobno povezane. Na primjer, duljine bočnih rebara su iste i jednake su visini. Za određenu n-kutnu pravilnu figuru postoje formule koje nam omogućuju da odredimo sve ostalo iz bilo koja dva linearna parametra.

Površina figure

Ako se okrenemo gore navedenoj definiciji prizme, tada neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Površina je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:

S = 2*S o + P o *h

gdje je S o površina baze, P o je opseg n-kuta na bazi, h je visina (udaljenost između baza).

volumen figure

Uz površinu za vježbanje važno je znati i volumen prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:

Ovaj izraz vrijedi za apsolutno bilo koju vrstu prizme, uključujući one koje su kose i formirane od nepravilnih poligona.

Točno, to je funkcija duljine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-kutnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro je zajednička stranica dviju susjednih bočnih stranica

Visina prizme je odsječak okomit na osnovice prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Baze ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina - zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2 .

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Stranice su pravokutnici.
• Bočne strane su međusobno jednake
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - desni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" podrazumijeva da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa zadacima iz geometrije (dio geometrija tijela - prizma). Ovdje su navedeni zadaci koji izazivaju poteškoće u rješavanju. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, koji nije ovdje - napišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vađenja kvadratnog korijena u rješavanju zadataka koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi osnovka je 144 cm 2, a visina 14 cm.Nađite dijagonalu prizme i ukupnu plohu.

Odluka.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, stranica baze bit će jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će dijagonala baze pravilne pravokutne prizme biti jednaka
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme čini pravokutni trokut s dijagonalom baze i visinom prizme. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odredite ukupnu površinu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne plohe 4 cm.

Odluka.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, tada se stranica baze (označena kao a) nalazi prema Pitagorinom teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

U školskom kurikulumu za predmet čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut, na čijem se dnu nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravni paralelopiped.

Dolje je prikazana slika koja prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek je okomit (presijeca rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu također se uzima u obzir dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se mogu sastaviti je 2), koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sprim h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezino kretanje.

Iz crteža je vidljivo da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = položaj h

Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Pun = Sstrana + 2Sosnova

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Pun = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

• duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
• visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko površine ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gornje omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?

Treba argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat toga, nova razina pijeska bit će h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu vrijednost, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se formulom za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti oblijepljen tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje problema za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke