Proučavanje teorije vjerojatnosti počinje rješavanjem problema zbrajanja i množenja vjerojatnosti. Vrijedno je odmah napomenuti da se učenik, kada svladava ovo područje znanja, može susresti s problemom: ako se fizički ili kemijski procesi mogu vizualizirati i razumjeti empirijski, tada je razina matematičke apstrakcije vrlo visoka, a razumijevanje ovdje dolazi samo s iskustvo.

Međutim, igra je vrijedna svijeća, jer se formule - i one razmatrane u ovom članku i one složenije - danas koriste posvuda i mogu dobro doći u radu.

Podrijetlo

Začudo, poticaj za razvoj ovog dijela matematike bilo je ... kockanje. Doista, kocka, bacanje novčića, poker, rulet tipični su primjeri koji koriste zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Na primjeru zadataka u bilo kojem udžbeniku to se jasno vidi. Ljude je zanimalo kako povećati svoje šanse za pobjedu i moram reći da su neki u tome i uspjeli.

Primjerice, već u 21. stoljeću jedna je osoba, čije ime nećemo otkriti, iskoristila stoljećima nakupljeno znanje kako bi doslovno “očistila” kockarnicu, osvojivši nekoliko desetaka milijuna dolara na ruletu.

Međutim, usprkos povećanom interesu za ovu temu, tek u 20. stoljeću razvijena je teorijska baza koja je "theorver" učinila punopravnim. Danas se u gotovo svakoj znanosti mogu naći izračuni pomoću probabilističkih metoda.

Primjenjivost

Važna točka pri korištenju formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti, uvjetne vjerojatnosti je zadovoljivost središnjeg graničnog teorema. U suprotnom, iako student to možda neće shvatiti, svi izračuni, ma koliko vjerojatni izgledali, bit će netočni.

Da, visoko motivirani učenik je u iskušenju koristiti novo znanje u svakoj prilici. Ali u ovom slučaju treba malo usporiti i strogo ocrtati opseg primjenjivosti.

Teorija vjerojatnosti bavi se slučajnim događajima, koji su u empirijskom smislu rezultati eksperimenata: možemo baciti kocku sa šest strana, izvući kartu iz špila, predvidjeti broj neispravnih dijelova u seriji. Međutim, u nekim je pitanjima kategorički nemoguće koristiti formule iz ovog dijela matematike. O značajkama razmatranja vjerojatnosti događaja, teorema zbrajanja i množenja događaja raspravljat ćemo na kraju članka, ali za sada se okrenimo primjerima.

Osnovni koncepti

Slučajni događaj je neki proces ili rezultat koji se može ili ne mora pojaviti kao rezultat eksperimenta. Na primjer, bacimo sendvič - može pasti maslac gore ili maslac dolje. Svaki od dva ishoda bit će slučajan, a ne znamo unaprijed koji će se od njih dogoditi.

Kada proučavamo zbrajanje i množenje vjerojatnosti, potrebna su nam još dva pojma.

Zajednički događaji su takvi događaji od kojih pojava jednog ne isključuje pojavu drugog. Recimo da dvoje ljudi istovremeno puca u metu. Ako jedan od njih proizvede uspješnu, to neće utjecati na sposobnost druge da pogodi metku ili promaši.

Nedosljedni događaji bit će takvi događaji čije je pojavljivanje istovremeno nemoguće. Na primjer, izvlačenjem samo jedne kuglice iz kutije ne možete dobiti i plavu i crvenu odjednom.

Oznaka

Pojam vjerojatnosti označava se velikim latiničnim slovom P. Dalje, u zagradama, nalaze se argumenti koji označavaju neke događaje.

U formulama teorema zbrajanja, uvjetne vjerojatnosti, teorema množenja vidjet ćete izraze u zagradama, na primjer: A+B, AB ili A|B. Oni će se izračunati na razne načine, a mi ćemo se sada osvrnuti na njih.

Dodatak

Razmotrite slučajeve u kojima se koriste formule za zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Za nekompatibilne događaje relevantna je najjednostavnija formula zbrajanja: vjerojatnost bilo kojeg od slučajnih ishoda bit će jednaka zbroju vjerojatnosti svakog od tih ishoda.

Pretpostavimo da postoji kutija s 2 plave, 3 crvene i 5 žutih kuglica. U kutiji je ukupno 10 predmeta. Koliki je postotak istinitosti tvrdnje da ćemo izvući plavu ili crvenu kuglicu? To će biti jednako 2/10 + 3/10, tj. pedeset posto.

U slučaju nekompatibilnih događaja, formula postaje kompliciranija, jer se dodaje dodatni član. Vratit ćemo se na to u jednom paragrafu, nakon razmatranja još jedne formule.

Množenje

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti neovisnih događaja koristi se u različitim slučajevima. Ako smo, prema uvjetima eksperimenta, zadovoljni bilo kojim od dva moguća ishoda, izračunat ćemo zbroj; ako želimo dobiti dva sigurna ishoda jedan za drugim, pribjeći ćemo korištenju druge formule.

Vraćajući se na primjer iz prethodnog odjeljka, prvo želimo nacrtati plavu kuglu, a zatim crvenu. Prvi broj koji znamo je 2/10. Što je slijedeće? Ostalo je 9 kuglica, ostalo je još toliko crvenih - tri komada. Prema izračunima, dobivate 3/9 ili 1/3. Ali što sad s dva broja? Točan odgovor je da pomnožite da biste dobili 2/30.

Zajednički događaji

Sada se ponovno možemo okrenuti formuli zbroja za zajedničke događaje. Zašto skrećemo s teme? Naučiti kako se vjerojatnosti množe. Sada nam je potrebno ovo znanje.

Već znamo kolika će biti prva dva člana (isto kao u prethodno razmatranoj formuli zbrajanja), ali sada trebamo oduzeti umnožak vjerojatnosti, koji smo upravo naučili izračunati. Radi jasnoće pišemo formulu: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Ispada da se u jednom izrazu koriste i zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Recimo da moramo riješiti jedan od dva problema kako bismo dobili kredit. Prvu možemo riješiti s vjerojatnošću 0,3, a drugu 0,6. Rješenje: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Imajte na umu da jednostavno zbrajanje brojeva ovdje neće biti dovoljno.

Uvjetna vjerojatnost

Konačno, postoji koncept uvjetne vjerojatnosti, čiji su argumenti navedeni u zagradama i odvojeni okomitom crtom. Zapis P(A|B) glasi: "vjerojatnost događaja A danog događaja B".

Pogledajmo primjer: prijatelj vam da neki uređaj, neka to bude telefon. Može biti pokvaren (20%) ili dobar (80%). Možete popraviti svaki uređaj koji vam padne u ruke s vjerojatnošću 0,4 ili niste u mogućnosti to učiniti (0,6). Konačno, ako je uređaj u ispravnom stanju, možete se javiti pravoj osobi s vjerojatnošću od 0,7.

Lako je vidjeti kako uvjetna vjerojatnost funkcionira u ovom slučaju: ne možete dobiti osobu ako je telefon pokvaren, a ako je dobar, ne morate ga popravljati. Dakle, da biste dobili bilo kakve rezultate na "drugoj razini", morate znati koji je događaj izvršen na prvoj.

Izračuni

Razmotrite primjere rješavanja zadataka zbrajanja i množenja vjerojatnosti, koristeći podatke iz prethodnog odlomka.

Prvo, odredimo vjerojatnost da ćete popraviti uređaj koji vam je dan. Da biste to učinili, prvo mora biti neispravan, a drugo, morate se nositi s popravkom. Ovo je tipičan problem množenja: dobivamo 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kolika je vjerojatnost da ćete odmah doći do prave osobe? Lakše nego jednostavno: 0,8 * 0,7 \u003d 0,56. U ovom slučaju ste ustanovili da telefon radi i uspješno ste uputili poziv.

Na kraju, razmislite o ovom scenariju: dobili ste pokvaren telefon, popravili ga, zatim birali broj, a osoba na suprotnoj strani podigla je slušalicu. Ovdje je već potrebno množenje tri komponente: 0,2 * 0,4 * 0,7 \u003d 0,056.

Ali što ako imate dva neradna telefona odjednom? Koliko je vjerojatno da ćete popraviti barem jedan od njih? na zbrajanje i množenje vjerojatnosti, budući da se koriste zajednički događaji. Rješenje: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Dakle, ako vam u ruke padnu dva pokvarena uređaja, to ćete moći popraviti u 64% slučajeva.

Pažljivo korištenje

Kao što je spomenuto na početku članka, korištenje teorije vjerojatnosti treba biti namjerno i svjesno.

Što je serija eksperimenata veća, to se teoretski predviđena vrijednost više približava vrijednosti dobivenoj u praksi. Na primjer, bacamo novčić. Teoretski, znajući za postojanje formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti, možemo predvidjeti koliko će puta ispasti glava i rep ako eksperiment izvedemo 10 puta. Proveli smo eksperiment i slučajno je omjer strana koje su ispale bio 3 prema 7. Ali ako provedete niz od 100, 1000 ili više pokušaja, ispada da je graf distribucije sve bliži i bliži teorijski: 44 do 56, 482 do 518, i tako dalje.

Sada zamislite da se ovaj eksperiment ne izvodi s novčićem, već s proizvodnjom neke nove kemijske tvari, čiju vjerojatnost ne znamo. Izveli bismo 10 eksperimenata i, bez dobivanja uspješnog rezultata, mogli bismo generalizirati: "tvar se ne može dobiti." Ali tko zna, da smo iz jedanaestog pokušaja, bismo li stigli na cilj ili ne?

Dakle, ako idete u nepoznato, u neistraženo područje, teorija vjerojatnosti možda nije primjenjiva. Svaki sljedeći pokušaj u ovom slučaju može uspjeti, a generalizacije tipa "X ne postoji" ili "X je nemoguće" bit će preuranjene.

Završna riječ

Dakle, razmotrili smo dvije vrste zbrajanja, množenje i uvjetne vjerojatnosti. Daljnjim proučavanjem ovog područja potrebno je naučiti razlikovati situacije kada se koristi pojedina formula. Osim toga, morate razumjeti jesu li probabilističke metode općenito primjenjive u rješavanju vašeg problema.

Ako vježbate, nakon nekog vremena počet ćete sve potrebne radnje izvoditi isključivo u svom umu. Za one koji vole kartaške igre, ova vještina može se smatrati iznimno vrijednom - znatno ćete povećati svoje šanse za dobitak samim izračunavanjem vjerojatnosti ispadanja određene karte ili boje. No, stečeno znanje lako se može primijeniti iu drugim područjima djelovanja.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Nastavni i odgojni zadaci:
- dati pojam slučajnog događaja, vjerojatnosti događaja;
- naučiti izračunati vjerojatnost događaja; vjerojatnosti slučajnih događaja prema klasičnoj definiciji;
- naučiti kako primijeniti teoreme zbrajanja i množenja vjerojatnosti za rješavanje problema;
- nastaviti poticati interes za matematiku rješavanjem problema korištenjem klasične definicije vjerojatnosti za izravno izračunavanje vjerojatnosti pojava;
- usaditi interes za matematiku, koristeći povijesni materijal;
- njegovati svjestan odnos prema procesu učenja, usaditi osjećaj odgovornosti za kvalitetu znanja, vježbati samokontrolu nad procesom rješavanja i osmišljavanja vježbi.

Osiguravanje lekcije:
- kartice zadataka za pojedinačnu anketu;
- kartice zadataka za rad provjere;
- prezentacija.

Učenik mora znati:
- definicije i formule za broj permutacija, plasmana i kombinacija;
- klasična definicija vjerojatnosti;
- određivanje zbroja događaja, proizvoda događaja; formulacije i formule teorema zbrajanja i množenja vjerojatnosti.

Student mora biti sposoban:
- izračunati permutacije, plasmane i kombinacije;
- izračunati vjerojatnost događaja koristeći se klasičnom definicijom i kombinatoričkim formulama;
- rješavati zadatke o primjeni teorema zbrajanja i množenja vjerojatnosti.

Motivacija kognitivne aktivnosti učenika.
Nastavnik izvještava da pojava teorije vjerojatnosti seže u sredinu 17. stoljeća. i povezan sa studijom B. Pascala, P. Fermata i H. Huygensa (1629.-1695.) . Veliki korak u razvoju teorije vjerojatnosti povezan je s radom J. Bernoullija (1654.-1705.). Posjeduje prvi dokaz jedne od najvažnijih odredbi teorije vjerojatnosti - zakona velikih brojeva. Sljedeća faza u razvoju teorije povezana je s imenima A. Moivrea (1667-1754), C. Gaussa, P. Laplacea (1749-1827), S. Poissona (1781-1840). Među znanstvenicima peterburške škole ističu se imena A.M. Ljapunov (1857-1918) i A.A. Markov (1856-1922). Nakon rada ovih matematičara diljem svijeta, teorija vjerojatnosti počela se nazivati ​​"ruska znanost". Sredinom 1920-ih, A.Ya. Khinchin (1894-1959) i A.N. Kolmogorov je stvorio moskovsku školu teorije vjerojatnosti. Doprinos akademika A.N. Kolmogorov - laureat Lenjinove nagrade, Međunarodne nagrade. B. Bolzano, član niza inozemnih akademika - u suvremenoj matematici je ogroman. Zasluga A. N. Kolmogorova nije samo u razvoju novih znanstvenih teorija, već još više u činjenici da je odgojio čitavu plejadu talentiranih znanstvenika (akademik Akademije znanosti Ukrajinske SSR B. V. Gnedenko, akademik Yu. V. Prohorov, B.A. Sevastjanov i drugi).
Teorija vjerojatnosti - matematička znanost koja proučava obrasce slučajnih varijabli - u proteklom je desetljeću postala jedna od glavnih metoda moderne znanosti i tehnologije. Nagli razvoj teorije automatskog upravljanja doveo je do potrebe rješavanja brojnih pitanja vezanih uz rasvjetljavanje mogućeg tijeka procesa koji su pod utjecajem slučajnih čimbenika. Teorija vjerojatnosti potrebna je širokom krugu stručnjaka - fizičarima, biolozima, liječnicima, ekonomistima, inženjerima, vojnicima, organizatorima proizvodnje itd.

Napredak tečaja.

ja. Organiziranje vremena.

II. Provjera domaće zadaće
Provedite anketu licem u lice u obliku odgovora na pitanja:

Provjerite rješenja zadataka:

• Na koliko načina možete napraviti popis od 10 ljudi?
• Na koliko načina se od 15 radnika mogu formirati timovi od 5 ljudi?
• 30 učenika međusobno je razmijenilo foto kartice. Koliko je karata ukupno podijeljeno?

III. Učenje novog gradiva.
U rječniku objašnjenja S.I. Ozhegova i N.Yu. Shvedova čitamo: "Vjerojatnost je mogućnost izvršenja, izvedivost nečega." U svakodnevnom životu često koristimo “vjerojatno”, “vjerojatnije”, “nevjerojatno”, uopće ne misleći na konkretne kvantitativne procjene ove mogućnosti izvršenja.
Utemeljitelj moderne teorije vjerojatnosti A.N. Kolmogorov je o vjerojatnosti napisao sljedeće: "Matematička vjerojatnost je numerička karakteristika stupnja mogućnosti pojave određenog događaja u određenim određenim uvjetima koji se može ponoviti neograničen broj puta."
Dakle, u matematici se vjerojatnost mjeri brojem. Vrlo brzo ćemo saznati kako se to točno može učiniti. Ali počet ćemo raspravom o tome koji događaji imaju "matematičku vjerojatnost" i što su ti "određeni, beskonačno ponovljivi uvjeti". Zato razmatramo slučajne događaje i slučajne eksperimente.
Mora se reći da je teorija vjerojatnosti, kao ni jedno drugo područje matematike, puna kontradikcija i paradoksa. Objašnjenje za to je vrlo jednostavno - previše je povezano sa stvarnom stvarnošću koja nas okružuje. Dugo je, zajedno s matematičkom statistikom, nisu niti htjeli svrstati u matematičke discipline, smatrajući ih isključivo primijenjenim znanostima.
Tek u prvoj polovici prošlog stoljeća, uglavnom zahvaljujući radu našeg velikog sunarodnjaka A.N. Kolmogorova, čije je ime već spomenuto, izgrađeni su matematički temelji teorije vjerojatnosti, što je omogućilo odvajanje prave znanosti od njezinih primjena. Pristup koji je predložio Kolmogorov sada se naziva aksiomatskim, budući da se u njemu vjerojatnost (točnije prostor vjerojatnosti) definira kao određena matematička struktura koja zadovoljava određeni sustav aksioma.
Upravo na tom pristupu izgrađen je suvremeni sveučilišni kolegij teorije vjerojatnosti kroz koji su u svoje vrijeme prošli svi sadašnji nastavnici matematike. Međutim, u školi je takav pristup proučavanju vjerojatnosti (i matematike općenito) teško razuman. Ako je na sveučilištu glavni naglasak na proučavanju matematičkog aparata za proučavanje probabilističkih modela, onda se u školi učenik mora naučiti graditi ove modele, analizirati, provjeriti njihovu primjerenost stvarnim situacijama. Ovo stajalište danas dijeli većina znanstvenika koji se bave problemima školskog matematičkog obrazovanja.
U suvremenim školskim udžbenicima možete pronaći sljedeću definiciju: događaj se naziva slučajan ako se pod istim uvjetima može ili ne mora dogoditi. Slučajan će biti, na primjer, događaj "Kada bacite kocku, 6 bodova će pasti."
Gornja definicija implicitno implicira jedan važan zahtjev koji treba naglasiti: moramo biti u mogućnosti opetovano reproducirati iste uvjete pod kojima se opaža dani događaj(na primjer, bacanje kocke) - inače je nemoguće procijeniti njegovu slučajnost.
Stoga, govoreći o bilo kojem slučajnom događaju, uvijek mislimo na prisutnost određenih uvjeta, bez kojih nema smisla uopće govoriti o tom događaju. Ovaj skup uvjeta naziva se slučajno iskustvo ili slučajni eksperiment.
Unaprijediti slučajnim ćemo nazvati svaki događaj povezan sa slučajnim eksperimentom. Prije eksperimenta, u pravilu, nemoguće je sa sigurnošću reći hoće li se određeni događaj dogoditi ili ne - to postaje jasno tek nakon njegovog završetka. Ali nismo bez razloga napravili rezervu "u pravilu": u teoriji vjerojatnosti, uobičajeno je smatrati da su svi događaji povezani sa slučajnim eksperimentom slučajni, uključujući:

• nemoguće to se nikada ne može dogoditi;
• autentičan, koji se pojavljuju u svakom takvom eksperimentu.

Na primjer, događaj "Kocka će baciti 7" je nemoguć, ali "Kocka će baciti manje od sedam" je siguran. Naravno, ako govorimo o kocki, na čijim stranama su ispisani brojevi od 1 do 6.
Događaji se zovu nekompatibilan ako se svaki put može pojaviti samo jedan od njih. Događaji se zovu spojnica, ako u danim uvjetima pojava jednog od ovih događaja ne isključuje pojavu drugog u istom pokusu (U urni su dvije kugle - bijela i crna, pojava crne kugle ne isključuje pojavu bijeli u istom pokusu). Događaji se zovu suprotan, ako su, prema uvjetima testa, oni, budući da su jedini njegovi ishodi, nekompatibilni. Vjerojatnost događaja smatra se mjerom objektivne mogućnosti nastanka slučajnog događaja.

Oznake:
Slučajni događaji (velikim slovima latinične abecede): A,B,C,D,.. (ili ). "Slučajni" je izostavljen i jednostavno "događaji".
Broj ishoda koji pogoduju pojavi ovog događaja je m;
Broj svih ishoda (eksperimenata) je n.
Klasična definicija vjerojatnosti.
Vjerojatnost događaj A je omjer broja ishoda m koji pogoduju nastanku tog događaja prema broju n svih ishoda (nekompatibilnih, jedinstvenih i jednako mogućih), tj.
– vjerojatnost slučajnog događaja
Vjerojatnost bilo kojeg događaja ne može biti manja od nule ni veća od jedan, tj. 0≤P(A)≤1
Nemogući događaj odgovara vjerojatnosti P(A)=0, a pouzdani događaj odgovara vjerojatnosti P(A)=1

Teoremi zbrajanja vjerojatnosti.
Teorem zbrajanja za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.
Vjerojatnost pojavljivanja jednog od nekoliko u paru nekompatibilnih događaja, bez obzira kojeg, jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Teorem zbrajanja vjerojatnosti zajedničkih događaja.
Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od dvaju zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog događanja:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Za tri zajednička događaja primjenjuje se formula:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Događaj suprotan događaju A (tj. nepojavljivanje događaja A) označava se s . Zbroj vjerojatnosti dvaju suprotnih događaja jednak je jedan: P(A)+P()=1

Vjerojatnost događanja događaja A, izračunata uz pretpostavku da se događaj B već dogodio, naziva se uvjetna vjerojatnost događaj A pod uvjetom B i označen s (A) ili P(A/B).
Ako su A i B nezavisni događaji, tada
P(B)-(B)=(B).

Pozivaju se događaji A,B,C,… kolektivno nezavisni, ako se vjerojatnost svakoga od njih ne mijenja zbog nastupanja ili nenastupanja drugih događaja pojedinačno ili u bilo kojoj njihovoj kombinaciji.

Teoremi množenja vjerojatnosti.
Teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja.
Vjerojatnost zajedničkog događanja dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja:
P(AB)=P(A) P(B)

Vjerojatnost pojave više događaja koji su u agregatu neovisni izračunava se po formuli:
P()=P() P()… P().

Teorem množenja vjerojatnosti zavisnih događaja.
Vjerojatnost zajedničke pojave dvaju zavisnih događaja jednaka je umnošku jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog:
P(AB)=P(A)(B)=P(B)(A)

IV. Primjena znanja u rješavanju tipičnih problema
Zadatak 1.
Od 1000 listića na lutriji je 200 dobitnika. Nasumično se izvlači jedan listić. Koja je vjerojatnost da ovaj listić dobije?
Odluka: Događaj A je dobitni listić. Ukupan broj različitih ishoda je n=1000
Broj ishoda koji idu u prilog dobitku je m=200. Prema formuli P(A)=, dobivamo P(A)== = 0,2 = 0,147

Zadatak 4.
Postoji 20 dijelova nasumično postavljenih u kutiju, od kojih je 5 standardnih. Radnik nasumično uzima 3 dijela. Odredite vjerojatnost da je barem jedan od uzetih dijelova standardan.

Zadatak 5.
Odredite vjerojatnost da je nasumično odabran dvoznamenkasti broj višekratnik 3 ili 5, ili oboje

Zadatak 6.
Jedna urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, druga urna sadrži 3 bijele i 9 crnih kuglica. Iz svake urne uzeta je kuglica. Odredite vjerojatnost da su obje kuglice bijele.
Odluka: Neka A bude izgled bijele kugle iz prve urne, a B izgled bijele kugle iz druge urne. Očito je da su događaji A i B neovisni. Nađi P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, dobivamo
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Zadatak 7.
Kutija sadrži 12 dijelova od kojih je 8 standardnih. Radnik uzima dva dijela nasumce, jedan za drugim. Nađite vjerojatnost da su oba dijela standardna.
Odluka: Uvedimo sljedeće oznake: A – prvi uzeti dio je standardni; B - drugi snimljeni dio je standardan. Vjerojatnost da je prvi dio standardan je P(A)=8/12=2/3. Vjerojatnost da će drugi uzeti dio biti standardan, pod uvjetom da je prvi dio bio standardan, tj. uvjetna vjerojatnost događaja B je (B)=7/11.
Vjerojatnost da će oba dijela biti standardna nalazimo po teoremu množenja vjerojatnosti zavisnih događaja:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Samostalna primjena znanja, vještina i sposobnosti.
Opcija 1.

1. Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabran cijeli broj između 40 i 70 višekratnik broja 6?
2. Kolika je vjerojatnost da će nakon pet bacanja novčić pasti tri puta s grbom do vrha?

opcija 2.

1. Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabran cijeli broj između 1 i 30 (uključivo) djelitelj broja 30?
2. Istraživački institut zapošljava 120 ljudi, od kojih 70 govori engleski, 60 govori njemački, a 50 govori oba. Kolika je vjerojatnost da nasumično odabrani zaposlenik ne govori niti jedan strani jezik?

VI. Sažimanje lekcije.

VII. Domaća zadaća:
G.N. Jakovljev, matematika, knjiga 2, § 24.1, 24.2, str. 365-386. Vježbe 24.11, 24.12, 24.17

Tema: 15. GLAVNI TEOREMI TEORIJE

VJEROJATNOSTI I NJIHOVE POSLJEDICE

1. Teorem zbrajanja vjerojatnosti zajedničkih događaja.

2. Teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja.

3. Uvjetna vjerojatnost događaja. Teorem množenja vjerojatnosti zavisnih događaja.

4. Teorem zbrajanja vjerojatnosti zajedničkih događaja.

5. Formula potpune vjerojatnosti, Bayesova formula.

6. Ponavljanje testova.

1. Teorem zbrajanja vjerojatnosti zajedničkih događaja.

iznos više događaja naziva se događaj koji se sastoji u pojavi barem jednog od tih događaja.

Ako su događaji A i B zajednički, tada njihov zbroj A + B označava pojavu ili događaja A, ili događaja B, ili oba događaja zajedno. Ako su A i B nekompatibilni događaji, tada njihov zbroj A + B znači pojavu događaja A ili događaja B.

raditi dva događaja A i B nazivaju se događaj AB, koji se sastoji u zajedničkom događanju tih događaja.

Teorema: Vjerojatnost pojave jednog od dva nekompatibilna događaja, bez obzira koji je, jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Posljedica: Zbroj vjerojatnosti nekompatibilnih događaja A 1 ,...,A n , koji tvore potpunu skupinu, jednak je jedan:

P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) \u003d 1

2. Teorem množenja vjerojatnosti za nezavisne

događanja .

Dva događaja se zovu nezavisna ako vjerojatnost nastanka jednog od njih ne ovisi o tome je li se drugi događaj dogodio ili nije dogodio.

Nekoliko događaja nazivamo međusobno neovisnim (ili međusobno neovisnim) ako su svaki od njih i bilo koja kombinacija sastavljena od ostatka (dijela ili svih) događaja nezavisni događaji.

Ako su događaji A 1 ,A 2 ,...,A n međusobno neovisni, tada su i njihovi suprotni događaji međusobno neovisni.

Teorema: Vjerojatnost stvaranja nekoliko međusobno neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja .

GODIŠNJE 1 I 2 ,...I n ) = P(A 1 )  GODIŠNJE 2 )  ...  GODIŠNJE n )

Za dva događaja P(AB) = P(A)  P(B)

Zadatak. Dva merchandisera rade neovisno jedan o drugom. Vjerojatnost preskakanja neispravnog proizvoda od strane prvog prodavača je 0,1; drugi 0,2. Koja je vjerojatnost da prilikom pregledavanja proizvoda oba prodavača neće propustiti brak.

Odluka: događaj A - trgovac sam propustio brak, događaj B - trgovac II propustio brak.

Gdje događaj A - brak neće izostati I trgovac,

događaj B - brak neće izostati II merchandiser.

Budući da oba rade neovisno jedan o drugome, tada su A i B neovisni događaji.

3. Uvjetna vjerojatnost događaja. Teorem množenja vjerojatnosti zavisnih događaja.

Događaj B se zove ovisan od događaja A, ako pojava događaja A mijenja vjerojatnost pojavljivanja događaja B.

Vjerojatnost događaja B, pronađena pod uvjetom da se događaj A dogodio, naziva se uvjetna vjerojatnost događaj B i označava se s P A (B).

Teorema : Vjerojatnost zajedničkog događanja dvaju zavisnih događaja A i B jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, dobivenom pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio, tj.

P(AB) = P(A) R I (B) ili P (AB) \u003d P (B) P NA (I)

Teorem o množenju vjerojatnosti može se proširiti na bilo koji broj m ovisnih događaja A 1 A 2 ...A m .

GODIŠNJE 1 I 2 ..I m )=P(A 1 ) 

a vjerojatnost sljedećeg događaja izračunava se pod pretpostavkom da su se svi prethodni dogodili.

Zadatak. Kutija sadrži 2 bijele i 3 plave olovke. Iz kutije se vade dvije olovke u nizu. Odredite vjerojatnost da su obje olovke bijele.

Rješenje: događaj A - obje olovke su bijele, događaj B - pojava prve bijele olovke, događaj C - pojava druge bijele olovke.

Zatim A=B S.

Budući da se prva olovka ne vraća u kutiju, tj. promijenio se sastav kutije, tada su događaji B i C ovisni.

P (B) \u003d 2/5; Vjerojatnost događaja C nalazimo pod pretpostavkom da se B već dogodio, tj. P B (C) \u003d ¼.

Željena vjerojatnost

Vrsta posla: 4

Stanje

Vjerojatnost da baterija nije napunjena je 0,15. Kupac u trgovini nasumično kupuje paket koji sadrži dvije od ovih baterija. Nađite vjerojatnost da su obje baterije u ovom paketu napunjene.

Prikaži rješenje

Odluka

Vjerojatnost da je baterija napunjena je 1-0,15 = 0,85. Nađimo vjerojatnost događaja "obje baterije su napunjene". Označimo s A i B događaje “prvi akumulator je napunjen” i “drugi akumulator je napunjen”. Dobili smo P(A) = P(B) = 0,85. Događaj "obje baterije su napunjene" je sjecište događaja A \ cap B, njegova vjerojatnost je jednaka P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Odgovor

Vrsta posla: 4
Tema: Zbrajanje i množenje vjerojatnosti događaja

Stanje

Vjerojatnost da je olovka neispravna je 0,05. Kupac u trgovini nasumično kupuje paket koji sadrži dvije olovke. Nađite vjerojatnost da su obje olovke u ovom paketu dobre.

Prikaži rješenje

Odluka

Vjerojatnost da je olovka u dobrom stanju je 1-0,05 = 0,95. Nađimo vjerojatnost događaja "obje ručke rade". Označite s A i B događaje "prva ručica radi" i "druga ručica radi". Dobili smo P(A) = P(B) = 0,95. Događaj “oba ručka su dobra” je presjek događaja A \ cap B, njegova vjerojatnost je jednaka P(A\kapa B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 4
Tema: Zbrajanje i množenje vjerojatnosti događaja

Stanje

Slika prikazuje labirint. Buba puzi u labirint na točki "Ulaz". Buba se ne može okrenuti i puzati u suprotnom smjeru, pa na svakom račvanju bira jednu od staza na kojoj još nije bila. Kolika je vjerojatnost da će kornjaš doći do izlaza D ako je odabir daljnjeg puta slučajan.

Prikaži rješenje

Odluka

Postavimo strelice na raskrižje u smjerovima u kojima se kornjaš može kretati (vidi sl.).

Odaberimo na svakom od raskrižja jedan smjer od dva moguća, te ćemo pretpostaviti da će se buba, kada udari u raskrižje, kretati u smjeru koji smo odabrali.

Kako bi buba stigla do izlaza D, na svakom raskrižju mora se odabrati smjer označen punom crvenom linijom. Ukupno se odabir smjera vrši 4 puta, svaki put bez obzira na prethodni izbor. Vjerojatnost da je puna crvena strelica odabrana svaki put je \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 4
Tema: Zbrajanje i množenje vjerojatnosti događaja

Stanje

Parkiralište je osvijetljeno lanternom s dvije svjetiljke. Vjerojatnost da jedna lampa pregori u godini je 0,4. Odredite vjerojatnost da barem jedna lampa ne pregori u godini dana.

Prikaži rješenje

Odluka

Najprije nalazimo vjerojatnost događaja “obje su lampe pregorjele tijekom godine”, što je suprotno od događaja iz tvrdnje problema. Neka A i B označavaju događaje "prva lampa je izgorjela u roku od godinu dana" i "druga lampa je izgorjela u roku od godinu dana". Prema uvjetu P(A) = P(B) = 0,4. Događaj "obje lampe su pregorjele u roku od godinu dana" je A\cap B, njegova vjerojatnost je P(A\capB) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (budući da su događaji A i B neovisni).

Željena vjerojatnost je jednaka 1 - P(A\kap B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 4
Tema: Zbrajanje i množenje vjerojatnosti događaja

Stanje

U hotelu postoje dva hladnjaka. Svaki od njih može biti neispravan s vjerojatnošću od 0,2, neovisno o drugom hladnjaku. Odredite vjerojatnost da je barem jedan od ovih hladnjaka ispravan.

Prikaži rješenje

Odluka

Najprije pronađimo vjerojatnost događaja "oba hladnjaka su u kvaru", koji je suprotan događaju iz tvrdnje problema. Označimo s A i B događaje “prvi hladnjak je u kvaru” i “drugi hladnjak je u kvaru”. Prema uvjetu P(A) = P(B) = 0,2. Događaj "oba hladnjaka su neispravna" je A \cap B , sjecište događaja A i B , njegova vjerojatnost je P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04(budući da su događaji A i B neovisni). Željena vjerojatnost je 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 4
Tema: Zbrajanje i množenje vjerojatnosti događaja

Stanje

Na ispitu iz fizike student odgovara na jedno pitanje iz liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da se ovo pitanje odnosi na "Mehaniku" je 0,25. Vjerojatnost da se ovo pitanje odnosi na "Električnu energiju" je 0,3. Nema pitanja koja bi se odnosila na dvije teme odjednom. Odredite vjerojatnost da će student dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.