Lekcija o operacijama s razlomcima. Lekcija: Izvanredne igre s običnim razlomcima

>>Geometrija: Treći znak jednakosti trokuta. Kompletne lekcije

TEMA LEKCIJE: Treći znak jednakosti trokuta.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni – ponavljanje, generalizacija i provjera znanja o temi: “Znakovi jednakosti trokuta”; razvoj osnovnih vještina.
Razvojni – razvijati pažnju učenika, ustrajnost, ustrajnost, logično mišljenje, matematički govor.
Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći i neovisnosti.

Ciljevi lekcije:

Razviti vještine konstruiranja trokuta pomoću ravnala, kutomjera i crtanja trokuta.
Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja:

Iz povijesti matematike.
Znakovi jednakosti trokuta.
Obnavljanje temeljnih znanja.
Pravokutni trokuti.

Iz povijesti matematike.
Pravokutni trokut zauzima počasno mjesto u babilonskoj geometriji, a često se spominje u Ahmesovom papirusu.

Pojam hipotenuza dolazi od grčke riječi hypoteinsa, što znači istezanje ispod nečega, skupljanje. Riječ potječe od slike staroegipatskih harfi, na kojima su žice bile napete preko krajeva dva međusobno okomita stalka.

Izraz noga dolazi od grčka riječ“Katetos”, što je značilo visak, okomito. U srednjem vijeku riječ cathet označava visinu pravokutni trokut, dok su se njegove druge stranice nazivale hipotenuza, odnosno baza. U 17. stoljeću riječ cathet počela se koristiti u modernom smislu te je postala široko rasprostranjena počevši od 18. stoljeća.

Euklid koristi izraze:

“strane koje zaključuju pravi kut” - za noge;

“strana koja spaja pravi kut” - za hipotenuzu.

Prvo trebamo osvježiti pamćenje prethodnih znakova jednakosti trokuta. I tako krenimo s prvim.

1. znak jednakosti trokuta.

Predmeti > Matematika > Matematika 7.r

Među veliki iznos poligona, koji su u biti zatvorene izlomljene linije koje se ne sijeku, trokut je lik s najmanje kutova. Drugim riječima, ovo je najjednostavniji poligon. No, unatoč svoj svojoj jednostavnosti, ova je figura prepuna mnogih misterija i zanimljiva otkrića koji su osvijetljeni poseban odjeljak matematika – geometrija. Ova se disciplina u školama počinje učiti od sedmog razreda, a tema “Trokut” data je ovdje Posebna pažnja. Djeca ne samo da uče pravila o samom liku, već ih i uspoređuju proučavajući 1., 2. i 3. znak jednakosti trokuta.

Prvi sastanak

Jedno od prvih pravila koje školarci uče glasi otprilike ovako: zbroj vrijednosti svih kutova trokuta jednak je 180 stupnjeva. Da biste to potvrdili, dovoljno je kutomjerom izmjeriti svaki od vrhova i zbrojiti sve dobivene vrijednosti. Na temelju toga, uz dvije poznate veličine, lako je odrediti treću. Na primjer: U trokutu je jedan od kutova 70°, a drugi 85°, kolika je veličina trećeg kuta?

180 - 85 - 70 = 25.

Odgovor: 25°.

Problemi mogu biti složeniji ako je specificirana samo jedna vrijednost kuta, a drugoj vrijednosti se kaže samo koliko ili koliko puta je veća ili manja.

U trokutu, da bi se odredile neke njegove značajke, mogu se nacrtati posebne linije od kojih svaka ima svoje ime:

visina - okomita ravna crta povučena od vrha do suprotne strane;
sve tri visine, nacrtane istovremeno, sijeku se u središtu figure, tvoreći ortocentar, koji se, ovisno o vrsti trokuta, može nalaziti i iznutra i izvana;
medijan - crta koja povezuje vrh sa sredinom suprotne strane;
sjecište medijana je točka njegove gravitacije, koja se nalazi unutar figure;
simetrala - pravac koji ide od vrha do točke sjecišta sa suprotnom stranicom je središte upisane kružnice;

Jednostavne istine o trokutima

Trokuti, kao, zapravo, sve figure, imaju svoje karakteristike i svojstva. Kao što je već spomenuto, ova figura je najjednostavniji poligon, ali sa svojim karakterističnim značajkama:

kut s većom vrijednošću uvijek leži nasuprot najduže stranice i obrnuto;
Jednaki kutovi leže nasuprot jednakim stranicama, primjer za to je jednakokračni trokut;
iznos unutarnji kutovi uvijek jednak 180°, što je već pokazano primjerom;
Kada se jedna stranica trokuta produži izvan njegovih granica, formira se vanjski kut, koji će uvijek biti jednak zbroju uglovi koji nisu uz njega;
bilo koja strana je uvijek manja od zbroja druge dvije strane, ali veća od njihove razlike.

Vrste trokuta

Sljedeća faza upoznavanja je određivanje skupine kojoj pripada prikazani trokut. Pripadnost jednoj ili drugoj vrsti ovisi o veličini kutova trokuta.

Jednakokračan – s dva jednake strane, koji se nazivaju bočnim, treći u ovom slučaju djeluje kao baza figure. Kutovi na osnovici takvog trokuta su jednaki, a središnja povučena iz vrha je simetrala i visina.
Ispravno, odn jednakostraničan trokut, je ona kojoj su sve strane jednake.
Pravokutnik: jedan od njegovih kutova je 90°. U tom se slučaju strana nasuprot ovom kutu naziva hipotenuza, a druge dvije katete.
Oštrokutni trokut - svi kutovi su manji od 90°.
Tupi - jedan od kutova veći od 90°.

Jednakost i sličnost trokuta

Tijekom procesa učenja ne samo da razmatraju jednu figuru, već i uspoređuju dva trokuta. A ovaj, čini se, jednostavna tema ima puno pravila i teorema kojima se može dokazati da su dotični likovi jednaki trokuti. Kriteriji jednakosti trokuta imaju sljedeću definiciju: trokuti su jednaki ako su im pripadne stranice i kutovi jednaki. S takvom jednakošću, ako postavite ove dvije figure jednu na drugu, sve će njihove linije konvergirati. Također, brojke mogu biti slične, posebno se to odnosi na praksu identične figure, razlikuju se samo u veličini. Za takav zaključak o prikazanim trokutima mora biti ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

dva kuta jedne figure jednaka su dvama kutovima druge;
dvije stranice jednog proporcionalne su dvjema stranicama drugog trokuta, a kutovi koje stranice tvore jednaki su;
tri strane druge figure jednake su prvoj.

Naravno, za neosporivu jednakost koja neće izazvati ni najmanju sumnju, potrebno je imati iste vrijednosti svih elemenata obje figure, međutim, korištenjem teorema zadatak je uvelike pojednostavljen, a samo nekoliko dopušteni su uvjeti za dokazivanje jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti trokuta

Zadaci iz ove teme rješavaju se na temelju dokaza teorema koji glasi ovako: „Ako su dvije stranice trokuta i kut koji one tvore jednake dvjema stranicama i kutu drugog trokuta, tada su i likovi jednaki jedni druge.”

Kako glasi dokaz teorema o prvom znaku jednakosti trokuta? Svatko zna da su dva odsječka jednaka ako su jednake duljine ili da su krugovi jednaki ako imaju isti polumjer. A u slučaju trokuta postoji nekoliko znakova, s kojima možemo pretpostaviti da su figure identične, što je vrlo zgodno za korištenje pri rješavanju raznih geometrijskih problema.

Kako zvuči teorem “Prvi znak jednakosti trokuta” opisano je gore, ali evo njegovog dokaza:

Pretpostavimo da trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 imaju iste stranice AB i A 1 B 1 i prema tome BC i B 1 C 1, a kutovi koje te stranice tvore imaju jednaku veličinu, odnosno jednaki su. Zatim superponiranjem △ ABC na △ A 1 B 1 C 1 dobivamo podudarnost svih pravaca i vrhova. Slijedi da su ovi trokuti apsolutno identični, te stoga međusobno jednaki.

Teorem "Prvi znak jednakosti trokuta" također se naziva "O dvije strane i kutu." Zapravo, to je njegova suština.

Teorem o drugom znaku

Drugi znak jednakosti dokazuje se na sličan način; dokaz se temelji na činjenici da se figure, kada se nalože jedna na drugu, potpuno podudaraju na svim vrhovima i stranicama. A teorem zvuči ovako: "Ako jedna stranica i dva kuta u čijem formiranju sudjeluje odgovaraju stranici i dva kuta drugog trokuta, tada su te figure identične, to jest jednake."

Treći znak i dokaz

Ako su se i 2 i 1 znak jednakosti trokuta odnosili i na stranice i na kutove figure, onda se 3. odnosi samo na stranice. Dakle, teorem ima sljedeću formulaciju: "Ako su sve strane jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su figure identične."

Da bismo dokazali ovaj teorem, moramo se detaljnije udubiti u samu definiciju jednakosti. U biti, što znači izraz "trokuti su jednaki"? Identitet kaže da ako postavite jednu figuru na drugu, svi njihovi elementi će se podudarati, to može biti slučaj samo kada su njihove strane i kutovi jednaki. U isto vrijeme, kut nasuprot jednoj od strana, koji je isti kao i kod drugog trokuta, bit će jednak odgovarajućem vrhu druge figure. Treba primijetiti da se u ovom trenutku dokaz lako može prevesti na 1 kriterij za jednakost trokuta. Ako se takav niz ne poštuje, jednakost trokuta je jednostavno nemoguća, osim u slučajevima kada je lik zrcalna slika prvi.

Pravokutni trokuti

Struktura takvih trokuta uvijek ima vrhove s kutom od 90°. Stoga su sljedeće tvrdnje istinite:

trokuti s pravim kutom jednaki su ako su katete jednog identične katetama drugog;
figure su jednake ako su im hipotenuze i jedna kateta jednake;
takvi su trokuti jednaki ako su im katete i oštar kut identičan.

Ovaj znak se odnosi na Da bi dokazali teorem, oni međusobno primjenjuju figure, zbog čega su trokuti presavijeni krakovima tako da izlaze dvije ravne crte sa stranicama CA i CA 1.

Praktična upotreba

U većini slučajeva u praksi se koristi prvi znak jednakosti trokuta. Dapače, takva naizgled jednostavna tema iz 7. razreda iz geometrije i planimetrije služi i za izračunavanje duljine, primjerice, telefonskog kabela bez mjerenja površine kroz koju će on proći. Koristeći ovaj teorem, lako je napraviti potrebne izračune za određivanje duljine otoka koji se nalazi u sredini rijeke bez plivanja do njega. Ili ojačajte ogradu postavljanjem šipke u raspon tako da je dijeli na dva jednaka trokuta ili izračunajte složeni elementi rad u stolariji, ili pri proračunu krovnog rešetkastog sustava tijekom izgradnje.

Prvi znak jednakosti trokuta naširoko se koristi u stvarnom "odraslom" životu. Iako u školske godine Upravo se ova tema mnogima čini dosadnom i potpuno nepotrebnom.

1) na dvije stranice i kut između njih

Dokaz:

Neka trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 imaju kut A jednak kutu A 1, AB jednak A 1 B 1, AC jednak A 1 C 1. Dokažimo to trokuta su jednaki.

Nametnimo se trokut ABC (ili simetrično njemu) na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je kut A poravnat s kutom A 1 . Budući da je AB=A 1 B 1, a AC=A 1 C 1, tada će se B podudarati s B 1, a C će se podudarati s C 1. To znači trokut A 1 B 1 C 1 podudara se s trokutom ABC, pa prema tome jednaka trokutu ABC.

Teorem je dokazan.

2) duž bočnih i susjednih uglova

Dokaz:

Neka su ABC i A 1 B 1 C 1 dva trokuta u kojima je AB jednak A 1 B 1, kut A jednak kutu A 1, a kut B jednak kutu B 1. Dokažimo da su jednaki.

Nametnimo se trokut ABC (ili simetrično njemu) na trokut A 1 B 1 C 1 tako da se AB poklapa s A 1 B 1. Kako je ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 i ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1, tada će se zraka AC poklapati s A 1 C 1, a BC će se podudarati s B 1 C 1. Slijedi da se vrh C podudara s C 1. To znači da se trokut A 1 B 1 C 1 podudara s trokutom ABC, pa je stoga jednak trokutu ABC.

Teorem je dokazan.

3) na tri strane

Dokaz:

Razmotrimo trokuti ABC i A l B l C 1, za koje je AB=A 1 B 1, BC = B l C 1 CA=C 1 A 1. Dokažimo da je ΔAVS =ΔA 1 B 1 C 1.

Prijavimo se trokut ABC (ili simetrično njemu) na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1 , vrh B je poravnat s vrhom B 1 , a vrhovi C i C 1 su poravnati različite strane od prave linije A 1 B 1. Razmotrimo 3 slučaja:

1) Zraka C 1 C prolazi unutar kuta A 1 C 1 B 1. Kako su prema uvjetima teorema stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, tada su trokuti A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednaki. jednakokračan. Po teoremu o svojstvu kutova jednakokračan trokut∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, pa je ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Zraka C 1 C podudara se s jednom od stranica tog kuta. A leži na CC 1. AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - jednakokračan, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Zraka C 1 C prolazi izvan kuta A 1 C 1 B 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, što znači ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

Dakle, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1. Stoga su trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki
prvi kriterij jednakosti trokuta.

Teorem je dokazan.

2. Dijeljenje segmenta na n jednakih dijelova.

Nacrtajte zraku kroz A, položite na nju n jednakih odsječaka. Povucite ravnu crtu kroz B i A n i s njom paralelne pravce kroz točke A 1 - A n -1. Označimo njihove sjecišne točke s AB. Dobivamo n odsječaka koji su jednaki prema Thalesovom teoremu.

Thalesov teorem. Ako je nekoliko jednakih segmenata položeno jedan za drugim na jednoj od dvije crte i kroz njihove krajeve su povučene paralelne crte koje sijeku drugu crtu, tada će oni odrezati jednake segmente na drugoj liniji.

Dokaz. AB=CD

1. Nacrtajte ravne crte kroz točke A i C paralelne s drugom stranom kuta. Uzmimo dvije paralelogram AB 2 B 1 A 1 i CD 2 D 1 C 1 . Prema imovini paralelogram: AB 2 = A 1 B 1 i CD 2 = C 1 D 1 .

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 i jednaki su na temelju drugog kriterija jednakosti trokuta:
AB = CD prema teoremu,
kao odgovarajuće, nastale u sjecištu paralele BB 1 i DD 1 pravca BD.

3. Slično, ispada da je svaki od kutova jednaka kutu s vrhom u točki presjeka sekanti. AB 2 = CD 2 kao odgovarajući elementi u sukladnim trokutima.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

Razvoj lekcije iz matematike, 5. razred

Profesor matematike
Kurtushan Marina Anatolevna

2011.-2012. akademske godine

Datum od:_________________

Tema: Lekcija - ponavljanje “Radnje na obični razlomci»

Cilj: - generalizacija i sistematizacija znanja o temi: „Obični razlomak. Akcije na običnim razlomcima."

Zadaci:
Edukativni : generalizacija i sistematizacija znanja; razvoj kognitivnih sposobnosti;
razvoj: razvijanje interesa za predmet, matematičke pismenosti, širenje vidika učenika;
obrazovni : njegovanje odgovornosti za povjereni posao, osjećaja kolektivizma i druženja.

Vrsta lekcije: lekcija-igra.

Organizacijski trenutak.

Neka svaki sat
Kupit će ti nešto novo.
Neka tvoj um bude dobar,
I srce će biti pametno.
S. Marshak.

Pozdrav ljudi, sjednite. 1,2,3,4...s ovim ulazimo u zemlju brojeva. Ono nema granica. Iza brojki stoji sam život. Vrlo je važno da se osoba sprijatelji s brojem i zna s njim raditi. Dakle, ti i ja idemo na putovanje u zemlju "Razlomaka". Jesu li svi spremni? Je li svima ugodno? Pa onda idemo.

1 postaja “Teoretski”

Razlomak se naziva pravim ako...
Za usporedbu dvaju razlomaka isti nazivnici, moram…
Pri usporedbi razlomaka sa različite nazivnike, moram …
Da biste zbrojili dva razlomka s istim nazivnicima, trebate...
Kada oduzimate razlomke s različitim nazivnicima, morate...
Kako od nepravi razlomak napraviti mješoviti broj?
Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate...

2. stanica "Smekalkino"

Samo znanje nije dovoljno za rješavanje mnogih problema. Također su potrebni oprez i domišljatost. A sada ćemo provjeriti tko je od vas najpažljiviji. Pozor na ploču.

3 stanica "Sportivnaya"

Zadatak zahtijeva pažnju, vještinu, strpljenje,
I također oduzimanje, dijeljenje, množenje.

Dva para digitalnih bokserica,
Jednom smo se sreli u finalu.
A moći ćete saznati uskoro,
Koliko su svi osvojili bodova?
Koja ste mjesta zauzeli?
Zadatak je općenito jednostavan,
Ali da brojim bodove.
Samo trebate saznati
U kojoj bitki su se umnožili?
Koja se dijelila, oduzimala...
I napiši rezultat u krugove,
Gdje se ne stavljaju bodovi.

Dakle, pogledajte pobliže boksače, kakva je matematika napravljena? Riješi i zapiši odgovore.

4 stanica "Vychislyalkino"
Izvršite množenje:

Izvršite dijeljenje:

3. Zadatak.

Stranice trokuta su jednakePronađite opseg.

4. Zadatak.

Aiman i Sholpan sakupili su 48 jabuka. Broj jabuka koje je Ayman sakupio uputa više od broja jabuka koje je sakupio Sholpan. Koliko je jabuka sakupio Sholpan? Riješite zadatak pisanjem jednadžbe.

Sažimajući.

1) Procjena stupnja sudjelovanja svakog učenika.

2) Brojanje žetona.

3) Ocjenjivanje.

Bravo svima danas. Svatko dobiva mini-certifikat za današnju lekciju.

Kada oduzimate razlomke s različitim nazivnicima, trebate... Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate... Da biste razlomak podijelili s razlomkom, trebate...

2. postaja Smekalkino

Kolika je vrijednost ako se 2 desetice pomnože s 3 desetice? 600 Tri konja pretrčala su 30 km. Koliko je kilometara pretrčao svaki konj? 30 km. U pilani svake minute stroj izreže komad od 1 m. Za koliko minuta će izrezati trupac od 6 metara? 5 minuta Motociklist je vozio do sela i susreo 3 automobila i kamion. Koliko je ukupno automobila putovalo u selo? 1 motociklist

3. stanica Sportivnaya

4 stanica Vchyslyalkino

Slijedite korake 1

Samostalni rad Zadatak br.

Domaća zadaća № 916; № 921.