Koliki je medijan u formuli trokuta. Medijan trokuta

Medijan i visina trokuta jedan je od najfascinantnijih i zanimljive teme geometrija. Pojam "medijan" označava liniju ili segment koji povezuje vrh trokuta s njegovim suprotna strana. Drugim riječima, medijan je pravac koja ide od sredine jedne strane trokuta do suprotnog vrha istog trokuta. Budući da trokut ima samo tri vrha i tri stranice, mogu postojati samo tri medijane.

Svojstva medijana trokuta

Sve medijane trokuta sijeku se u jednoj točki i tom su točkom razdvojene u omjeru 2:1, računajući od vrha. Dakle, ako nacrtate sve tri medijane u trokutu, tada će ih točka njihova presjeka podijeliti na dva dijela. Dio koji je bliži vrhu bit će 2/3 cijele linije, a dio koji je bliži stranici trokuta bit će 1/3 prave. Medijani se sijeku u jednoj točki.
Tri medijane nacrtane u jednom trokutu dijele ovaj trokut na 6 malih trokuta, čija će površina biti jednaka.
Što je veća stranica trokuta iz koje dolazi medijan, to je medijan manji. Suprotno tome, najviše kratka strana ima najduži medijan.
Srednja vrijednost u pravokutni trokut ima niz svojih karakteristika. Na primjer, ako je opisan krug oko takvog trokuta, koji će prolaziti kroz sve vrhove, tada je medijan pravi kut, povučen na hipotenuzu, postat će polumjer opisane kružnice (odnosno, njezina će duljina biti udaljenost od bilo koje točke na kružnici do njenog središta).

Jednadžba srednje duljine trokuta

Formula medijana dolazi iz Stewartovog teorema i kaže da medijan jest Korijen iz omjera kvadrata zbroja stranica trokuta koji tvore vrh, minus kvadrat stranice na koju je povučena medijan na četiri. Drugim riječima, da biste saznali duljinu medijana, trebate kvadrirati duljine svake strane trokuta, a zatim ga napisati kao razlomak, čiji će brojnik biti zbroj kvadrata stranica koje tvore kut iz kojeg dolazi medijan, minus kvadrat treće stranice. Nazivnik je ovdje broj 4. Zatim, iz ovog razlomka, trebate izvući kvadratni korijen, a zatim dobivamo duljinu medijana.

Točka presjeka medijana trokuta

Kao što smo gore napisali, sve medijane jednog trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta se točka naziva središte trokuta. Ona dijeli svaki medijan na dva dijela, čija je duljina povezana kao 2:1. Središte trokuta također je središte kružnice koja je opisana oko njega. I drugi geometrijski likovi imaju svoje centre.

Koordinate točke presjeka medijana trokuta

Da bismo pronašli koordinate presjeka medijana jednog trokuta, koristimo se svojstvom težišta prema kojem dijeli svaki medijan na segmente 2:1. Označavamo vrhove kao A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

i izračunaj koordinate središta trokuta po formuli: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Površina trokuta u smislu medijane

Sve medijane jednog trokuta dijele ovaj trokut sa 6 jednakih trokuta, a središte trokuta dijeli svaki medijan omjerom 2:1. Stoga, ako su poznati parametri svake medijane, moguće je izračunati površinu trokuta kroz površinu jednog od malih trokuta, a zatim povećati ovu brojku za 6 puta.

Medijan je segment povučen od vrha trokuta do sredine suprotne strane, odnosno dijeli ga na pola točkom presjeka. Točka u kojoj medijan siječe suprotnu stranu iz koje izlazi naziva se baza. Kroz jednu točku, koja se naziva točkom presjeka, prolazi svaka medijana trokuta. Formula za njegovu duljinu može se izraziti na nekoliko načina.

Formule za izražavanje duljine medijana

Često u zadacima iz geometrije učenici se moraju nositi s takvim segmentom kao što je medijan trokuta. Formula za njegovu duljinu izražava se u obliku stranica:

gdje su a, b i c stranice. Štoviše, c je strana na koju medijan pada. Ovako najviše jednostavna formula. Medijani trokuta ponekad su potrebni za pomoćne izračune. Postoje i druge formule.

Ako su tijekom izračuna poznate dvije strane trokuta i određeni kut α koji se nalazi između njih, tada će se duljina medijana trokuta, spuštena na treću stranu, izraziti na sljedeći način.

Osnovna svojstva

Svi medijani imaju jednu zajednička točka sjecišta O i dijele se u omjeru dva prema jedan, ako računamo od vrha. Ta se točka naziva težište trokuta.
Medijan dijeli trokut na dva druga, čija su područja jednaka. Takvi se trokuti nazivaju jednaki trokuti.
Ako nacrtate sve medijane, tada će se trokut podijeliti na 6 jednakih figura, koje će također biti trokuti.
Ako su u trokutu sve tri strane jednake, tada će u njemu svaka medijana također biti visina i simetrala, odnosno okomita na stranu na koju je povučena, te prepolovi kut iz kojeg izlazi.
NA jednakokračan trokut medijan ispušten iz vrha koji je nasuprot strani koja nije jednaka niti jednoj drugoj također će biti visina i simetrala. Medijani ispušteni iz drugih vrhova su jednaki. Također je potrebno i dovoljno stanje jednakokračan.
Ako je trokut baza ispravna piramida, tada se visina spuštena na zadanu bazu projicira na točku presjeka svih medijana.

U pravokutnom trokutu medijan povučen najdužom stranicom je polovica njegove duljine.
Neka je O točka presjeka medijana trokuta. Formula u nastavku vrijedi za bilo koju točku M.

Drugo svojstvo je medijan trokuta. Formula za kvadrat njegove duljine u smislu kvadrata stranica prikazana je u nastavku.

Svojstva stranica na koje je povučena medijana

Ako bilo koje dvije točke presjeka medijana spojimo sa stranicama na koje su spuštene, tada će rezultirajući segment biti središnja crta trokuta i biti polovica stranice trokuta s kojom nema zajedničkih točaka.
Osnove visina i medijana u trokutu, kao i sredine segmenata koji spajaju vrhove trokuta s točkom presjeka visina, leže na istoj kružnici.

Zaključno, logično je reći da je jedan od najvažnijih segmenata upravo medijan trokuta. Njegova formula može se koristiti za pronalaženje duljina njegovih drugih strana.

Uputa

Povući formula za medijane u proizvoljnom , potrebno je obratiti se na posljedicu kosinusnog teorema za paralelogram dobiven popunjavanjem trokut. Formula se na tome može dokazati, vrlo je zgodno pri rješavanju ako su poznate sve duljine stranica ili se lako mogu pronaći iz drugih početnih podataka zadatka.

Zapravo, kosinusni teorem generalizacija je Pitagorinog teorema. Zvuči ovako: za dvodimenzionalno trokut sa duljinama stranica a, b i c i kutom α nasuprot a vrijedi sljedeća jednakost: a² = b² + c² - 2 b c cos α.

Generalizirajući zaključak iz kosinusnog teorema definira jedan od najvažnija svojstvačetverokut: zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih njegovih stranica: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Dopuni trokut do paralelograma ABCD dodavanjem linija paralelnih s a i c. dakle sa stranicama a i c i dijagonalom b. Najprikladniji način za izgradnju je sljedeći: na ravnoj crti kojoj pripada medijan, segment MD iste duljine, spojite njegov vrh s vrhovima preostalih A i C.

Prema svojstvu paralelograma, dijagonale su podijeljene točkom presjeka na jednake dijelove. Primijenite posljedicu kosinusnog teorema, prema kojem je zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak zbroju dvostrukih kvadrata njegovih stranica: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Budući da je BK = 2 BM i BM medijan od m, tada je: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², dakle: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

iznio si formula jedan od trokut za stranu b: mb = m. Slično, postoje medijane njegove druge dvije strane: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Izvori:

srednja formula
Formule za medijan trokuta [video]

medijan trokut naziva se segment koji povezuje bilo koji vrh trokut sa sredinom suprotne strane. Tri medijane sijeku se u jednoj točki uvijek unutra trokut. Ova točka dijeli svaku od njih medijan u omjeru 2:1.

Uputa

Problem nalaženja medijana može se riješiti dodatnim konstrukcijama trokut na paralelogram i kroz teorem o dijagonalama paralelograma. Produljimo stranice trokut i medijan, gradeći ih do paralelograma. Dakle, medijan trokut bit će polovica dijagonale rezultirajućeg paralelograma, dvije strane trokut- njegova strana (a, b) i treća strana trokut, kojemu je povučen medijan, druga je dijagonala rezultirajućeg paralelograma. Prema teoremu, zbroj kvadrata paralelograma jednak je dvostrukom zbroju kvadrata njegovih stranica.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
gdje
d1, d2 - dijagonale rezultirajućeg paralelograma;
odavde:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Medijan je segment koji povezuje vrh trokut a sredina suprotne strane. Znajući duljine sve tri strane trokut, možete pronaći njegove medijane. U posebnim slučajevima jednakokračnih i jednakostraničnih trokut, očito, dovoljno je znati, odnosno, dvije (nisu jednake jedna drugoj) i jednu stranu trokut.

Trebat će vam

Vladar

Uputa

Smatrati opći slučaj trokut ABC s neravnopravnim prijateljem stranke. Duljina medijana AE ovoga trokut može se izračunati pomoću formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Ostatak medijana je potpuno isti. To je izvedeno kroz Stewartov teorem, ili kroz dovršavanje trokut na paralelogram.

Ako je ABC jednakokračan i AB = AC, tada će medijan AE biti i ovo trokut. Stoga će trokut BEA biti pravokutni trokut. Prema Pitagorinom teoremu, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Od ukupne duljine medijana trokut, za medijane BO i SP vrijedi: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Izvori:

Medijane i nesektori trokuta

Medijan je segment koji spaja vrh trokuta i sredinu suprotne strane. Znajući duljine sve tri strane trokuta, možete ga pronaći medijane. U posebnim slučajevima jednakokračnih i jednakostraničan trokut, očito, dovoljno je znati, odnosno, dvije (nisu jednake jedna drugoj) i jednu stranu trokuta. Medijan se može pronaći i iz drugih podataka.

Trebat će vam

Duljine stranica trokuta, kutovi između stranica trokuta

Uputa

Razmotrimo najopćenitiji slučaj trokuta ABC s tri nejednake stranice. Duljina medijane AE ovog trokuta može se izračunati pomoću formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Odmor medijane potpuno su isti. To se izvodi putem Stewartovog teorema ili dovršavanja trokuta do paralelograma.

Ako je ABC jednakokračan i AB = AC, tada će AE biti ujedno i ovaj trokut. Stoga će trokut BEA biti pravokutni trokut. Prema Pitagorinom teoremu, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Od ukupne dužine medijane trokut, za BO i CP vrijedi: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Medijan trokuta može se pronaći i iz drugih podataka. Na primjer, ako su zadane duljine dviju stranica, jednoj od njih se povlači medijan, na primjer, duljine stranica AB i BC, kao i kut x između njih. Zatim duljina medijane može se pronaći kroz kosinusni teorem: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Izvori:

Medijane i simetrale trokuta
kako pronaći duljinu medijana

Medijan trokuta je odsječak koji povezuje vrh trokuta sa središtem suprotne strane ovog trokuta.

Svojstva medijana trokuta

1. Medijan dijeli trokut na dva trokuta iste površine.

2. Medijani trokuta sijeku se u jednoj točki, koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ta se točka naziva težište trokuta (centroid).

3. Cijeli je trokut podijeljen svojim medijanama na šest jednakih trokuta.

Duljina medijana povučena u stranu: ( doc izgradnjom na paralelogram i korištenjem jednakosti u paralelogramu dvostrukog zbroja kvadrata stranica i zbroja kvadrata dijagonala )

T1. Tri medijane trokuta sijeku se u jednoj točki M, koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrhova trokuta. Dano: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 - medijani
∆ABC. Dokaži: i

D-in: Neka je M točka presjeka medijana CC 1 , AA 1 trokuta ABC. Napomena A 2 - sredina segmenta AM i C 2 - sredina segmenta CM. Tada A 2 C 2 - srednja linija trokut AMS. Sredstva, A 2 C 2|| AC

i A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. S 1 ALI 1 je srednja crta trokuta ABC. Dakle, A 1 S 1 || AC i A 1 S 1 \u003d 0,5 * AC.

četverokut A 2 C 1 A 1 C 2- paralelogram, budući da su njegove suprotne strane A 1 S 1 i A 2 C 2 jednake i paralelne. Stoga, A 2 M = MA 1 i C2M = MS 1 . To znači da bodovi A 2 i M podijeliti medijan AA 2 na tri jednaka dijela, tj. AM = 2MA 2. Slično CM = 2MC 1 . Dakle, točka M presjeka dviju medijana AA 2 i CC2 trokut ABC svaki od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrhova trokuta. Sasvim slično, dokazano je da točka presjeka medijana AA 1 i BB 1 dijeli svaku od njih u omjeru 2:1, računajući od vrhova trokuta.

Na medijani AA 1 takva točka je točka M, dakle točka M i postoji točka presjeka medijana AA 1 i BB 1.

Tako, n

T2. Dokažite da segmenti koji spajaju težište s vrhovima trokuta dijele ga na tri jednaka dijela. Dano: ∆ABC , su njegove medijane.

Dokazati: S AMB =S BMC =S-AMC.Dokaz. NA, imaju zajedničko. jer baze su im jednake i visina povučena odozgo M, imaju zajedničko. Zatim

Na sličan način se dokazuje da S AMB = S AMC . Tako, S AMB = S AMC = S CMB .n

Simetrala trokuta Teoremi vezani za simetrale trokuta. Formule za pronalaženje simetrala

Simetrala kuta Zraka koja počinje od vrha kuta i dijeli kut na dva jednaka kuta.

Simetrala kuta je geometrijsko mjesto točke unutar kuta koje su jednako udaljene od stranica kuta.

Svojstva

1. Teorem o simetrali: Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli suprotnu stranu u omjeru jednakom omjeru dviju susjednih stranica

2. Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki - središte - središte kružnice upisane u ovaj trokut.

3. Ako su dvije simetrale u trokutu jednake, tada je trokut jednakokračan (Steiner-Lemusov teorem).

Izračunavanje duljine simetrale

l c - duljina simetrale povučene na stranu c,

a,b,c - stranice trokuta prema vrhovima A,B,C respektivno,

p - pola perimetra trokuta,

a l ,b l - duljine isječaka na koje simetrala l c dijeli stranicu c,

α,β,γ - unutarnji uglovi trokut na vrhovi A,B,C odnosno,

h c - visina trokuta, spuštena na stranu c.

metoda područja.

Karakteristika metode. Iz naziva proizlazi da je glavni objekt ovu metodu je područje. Za veći broj figura, na primjer, za trokut, površina se vrlo jednostavno izražava raznim kombinacijama elemenata lika (trokuta). Stoga je tehnika vrlo učinkovita kada se uspoređuju različiti izrazi za područje dane figure. U tom slučaju nastaje jednadžba koja sadrži poznate i željene elemente figure, rješavanjem koje određujemo nepoznanicu. Tu se očituje glavno obilježje metode područja - od geometrijskog problema "čini" algebarski, svodeći sve na rješavanje jednadžbe (a ponekad i sustava jednadžbi).

1) Metoda usporedbe: povezana s velikim brojem formula S istih brojki

2) Metoda S omjera: na temelju sljedećih referentnih zadataka:

Cevin teorem

Neka točke A",B",C" leže na linijama BC,CA,AB trokuta. Prave AA",BB",CC" sijeku se u jednoj točki ako i samo ako

Dokaz.

Označimo točkom presjeka segmenata i . Spustimo okomice iz točaka C i A na pravac BB 1 dok se ne sijeku s njom u točkama K odnosno L (vidi sliku).

Budući da trokuti i imaju zajednička strana, tada su njihove površine povezane kao visine povučene na ovu stranu, t.j. AL i CK:

Posljednja jednakost je točna, budući da su pravokutni trokuti i slični u oštrom kutu.

Slično, dobivamo i

Pomnožimo ove tri jednakosti:

Q.E.D.

Komentar. Segment (ili nastavak segmenta) koji povezuje vrh trokuta s točkom koja leži na suprotnoj strani ili njezin nastavak naziva se ceviana.

Teorem ( obrnuti teorem Chevy). Neka točke A",B",C" leže na stranicama BC,CA i AB trokuta ABC redom. Neka vrijedi odnos

Tada se segmenti AA“, BB“, CC“ sijeku u jednoj točki.

Menelajev teorem

Menelajev teorem. Neka se pravac siječe trokut ABC, gdje je C 1 točka njezina presjeka sa stranicom AB, A 1 je točka njezina presjeka sa stranicom BC, a B 1 je točka njezina presjeka sa produžetkom stranice AC. Zatim

Dokaz . Nacrtajte pravac kroz točku C paralelnu s AB. Označimo s K njegovu točku presjeka s pravcem B 1 C 1 .

Trokuti AC 1 B 1 i CKB 1 su slični (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Stoga,

Trokuti BC 1 A 1 i CKA 1 su također slični (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Sredstva,

Iz svake jednakosti izražavamo CK:

Gdje Q.E.D.

Teorem (inverzni Menelajev teorem). Neka je zadan trokut ABC. Neka točka C 1 leži na strani AB, točka A 1 leži na strani BC, a točka B 1 leži na produžetku stranice AC, a relacija

Tada točke A 1 , B 1 i C 1 leže na istoj pravoj liniji.

1. Što je medijan?

Vrlo je jednostavno!

Uzmi trokut

Označite sredinu na jednoj od njegovih strana.

I povežite se s suprotnim vrhom!

Rezultirajuća linija i je medijan.

2. Svojstva medijana.

Koja su dobra svojstva medijana?

1) Zamislimo da je trokut - pravokutan. Ima ih, zar ne?

Zašto??? Što je s pravim kutom?

Pogledajmo pažljivo. Samo ne na trokut, već na ... pravokutnik. Zašto pitaš?

Ali hodaš po Zemlji - vidiš li da je okrugla? Ne, naravno, za to trebate pogledati Zemlju iz svemira. Dakle, gledamo naš pravokutni trokut "iz svemira".

Nacrtajmo dijagonalu:

Sjećate li se da su dijagonale pravokutnika jednak i udio točka raskrižja pola? (ako se ne sjećate, pogledajte temu)

Dakle, polovica druge dijagonale je naša medijan. Dijagonale su jednake, njihove polovice, naravno, također. Evo nas

Ovu tvrdnju nećemo dokazivati, ali da biste vjerovali u nju, razmislite sami: postoji li još koji paralelogram s jednakim dijagonalama, osim pravokutnika? Naravno da ne! Pa, to znači da medijan može biti jednak polovici stranice samo u pravokutnom trokutu.

Pogledajmo kako ovo svojstvo pomaže u rješavanju problema.

Ovdje, zadatak:
Na strane; . S vrha održan medijan. Pronađite ako.

Ura! Možete primijeniti Pitagorin teorem! Vidite kako je super? Da to nismo znali medijan jednaka pola stranice

Primjenjujemo Pitagorin teorem:

2) A sada da imamo ne jednu, nego cijelu tri medijane! Kako se ponašaju?

Zapamtite vrlo važna činjenica:

Komplicirano? Pogledaj sliku:

Medijani i sijeku se u jednoj točki.

I .... (dokazujemo to u , ali za sada Zapamtiti!):

- dvostruko više od;
- dvostruko više od;
- duplo više.

Još niste umorni? Dovoljno snage za sljedeći primjer? Sada ćemo primijeniti sve o čemu smo pričali!

Zadatak: U trokutu su povučene medijane i koje se sijeku u točki. Pronađite ako

Po Pitagorinom teoremu nalazimo:

A sada primjenjujemo znanje o točki presjeka medijana.

Obilježimo to. rezati, a. Ako nije sve jasno - pogledajte sliku.

To smo već pronašli.

Sredstva, ; .

U zadatku nam se postavlja pitanje o segmentu.

u našoj notaciji.

Odgovor: .

Svidjelo se? Sada pokušajte sami primijeniti znanje o medijani!

MEDIAN. SREDNJA RAZINA

1. Medijan prepolovi stranu.

I sve? Ili možda čak i podijeli nešto na pola? Zamislite da jest!

2. Teorem: Medijan prepolovi područje.

Zašto? I zapamtimo najviše jednostavna forma površina trokuta.

I ovu formulu primjenjujemo dvaput!

Gledajte, medijan podijeljen u dva trokuta: i. Ali! Imaju istu visinu! Samo na ovoj visini pada u stranu, a na - za nastavak strane. Začudo, događa se i ovako: trokuti su različiti, ali visina je ista. I tako, sada primjenjujemo formulu dvaput.

Što bi to značilo? Pogledaj sliku. Zapravo, u ovom teoremu postoje dvije tvrdnje. Jeste li primijetili?

Prva izjava: medijane se sijeku u jednoj točki.

Druga izjava: presječna točka medijana podijeljena je u odnosu, računajući od vrha.

Pokušajmo razotkriti tajnu ovog teorema:

Spojimo točkice i. Što se dogodilo?

A sada povucimo još jednu srednju liniju: označite sredinu - stavite točku, označite sredinu - stavite točku.

Sada - srednja linija. tj

paralelno;

Jeste li primijetili neke slučajnosti? I jedno i drugo su paralelne. I, i.

Što iz ovoga slijedi?

paralelno;

Naravno, samo paralelogram!

Dakle - paralelogram. Pa što? I prisjetimo se svojstava paralelograma. Na primjer, što znaš o dijagonalama paralelograma? Tako je, dijele točku raskrižja na pola.

Pogledajmo još jednom sliku.

To jest - medijan je podijeljen točkama i na tri jednaka dijela. I to isto.

To znači da su oba medijana odvojena točkom upravo u odnosu, odnosno i.

Što će se dogoditi s trećim medijanom? Vratimo se na početak. O Bože?! Ne, sada će sve biti puno kraće. Ispustimo medijan i nacrtajmo medijane i.

Sada zamislite da smo proveli potpuno isto razmišljanje kao i za medijane i. Što onda?

Ispada da će medijan podijeliti medijan na potpuno isti način: u odnosu, računajući od točke.

Ali koliko točaka može biti na segmentu koje ga dijele u odnosu, računajući od točke?

Naravno, samo jedan! I to smo već vidjeli – u tome je poanta.

Što se dogodilo na kraju?

Medijan je točno prošao! Kroz njega su prolazile sve tri medijane. I svi su se podijelili u odnosu, računajući od vrha.

Tako smo riješili (dokazali) teorem. Ispostavilo se da je odgovor paralelogram koji sjedi unutar trokuta.

4. Formula za duljinu medijana

Kako pronaći duljinu medijana ako su poznate stranice? Jeste li sigurni da vam treba? otvorimo strašna tajna: Ova formula nije baš korisna. Ali ipak ćemo to napisati, ali nećemo dokazivati (ako vas zanima dokaz, pogledajte sljedeću razinu).

Kako bi netko razumio zašto se to događa?

Pogledajmo pažljivo. Samo ne na trokut, već na pravokutnik.

Pa pogledajmo pravokutnik.

Jeste li primijetili da je naš trokut točno polovica ovog pravokutnika?

Nacrtajmo dijagonalu

Sjećate li se da su dijagonale pravokutnika jednake i da dijele presječnu točku? (ako se ne sjećate, pogledajte temu)
Ali jedna od dijagonala je naša hipotenuza! Dakle, točka presjeka dijagonala je središte hipotenuze. Zvali smo je.

Dakle, polovica druge dijagonale je naša medijana. Dijagonale su jednake, njihove polovice, naravno, također. Evo nas

Štoviše, to se događa samo u pravokutnom trokutu!

Evo zadatka:

Na strane; . Medijan je povučen od vrha. Pronađite ako.

Ura! Možete primijeniti Pitagorin teorem! Vidite kako je super? Da nismo znali da je medijan polovica strane samo u pravokutnom trokutu, nismo mogli nikako riješiti ovaj problem. A sada možemo!

Primjenjujemo Pitagorin teorem:

MEDIAN. UKRATKO O GLAVNOM

1. Medijan prepolovi stranu.

2. Teorem: Medijan prepolovi područje

4. Formula za duljinu medijana

Inverzni teorem: ako je medijan jednak polovici stranice, tada je trokut pravokutni i ovaj medijan je povučen prema hipotenuzi.

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan polaganje ispita, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!