Koja je vjerojatnost. Vjerojatnost događaja

Vjerojatnost događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji idu u prilog određenom događaju prema broju svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojima se taj događaj može dogoditi. Vjerojatnost događaja A označava se s P(A) (ovdje je P prvo slovo francuske riječi probabilite - vjerojatnost). Prema definiciji
(1.2.1)
gdje je broj elementarnih ishoda koji favoriziraju događaj A; - broj svih jednako mogućih elementarnih ishoda iskustva, koji tvore potpunu skupinu događaja.
Ova definicija vjerojatnosti naziva se klasična. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerojatnosti.

Vjerojatnost događaja ima sljedeća svojstva:
1. Vjerojatnost određenog događaja jednaka je jedinici. Označimo određeni događaj slovom . Za određeni događaj, dakle
(1.2.2)
2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Nemogući događaj označavamo slovom . Za nemoguć događaj, dakle
(1.2.3)
3. Vjerojatnost slučajnog događaja izražava se pozitivnim brojem manjim od jedan. Budući da su nejednakosti , ili zadovoljene za slučajni događaj, onda
(1.2.4)
4. Vjerojatnost bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
(1.2.5)
To slijedi iz relacija (1.2.2)-(1.2.4).

Primjer 1 U urni se nalazi 10 kuglica iste veličine i težine, od kojih su 4 crvene i 6 plavih. Iz urne se izvlači jedna kugla. Kolika je vjerojatnost da je izvučena kuglica plava?

Riješenje. Događaj "izvučena kuglica je ispala plava" označit ćemo slovom A. Ovaj pokušaj ima 10 jednako mogućih elementarnih ishoda od kojih je 6 u korist događaja A. Sukladno formuli (1.2.1) dobivamo

Primjer 2 Svi prirodni brojevi od 1 do 30 ispisani su na identične kartice i položeni u urnu. Nakon temeljitog miješanja karata, jedna karta se vadi iz urne. Kolika je vjerojatnost da je broj na izvučenoj karti višekratnik broja 5?

Riješenje. Označimo s A događaj "broj na uzetoj kartici je višekratnik broja 5". U ovom testu postoji 30 jednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 ishoda ide u prilog događaju A (brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30). Posljedično,

Primjer 3 Bacaju se dvije kocke, izračunava se zbroj bodova na gornjim stranama. Odredite vjerojatnost događaja B koja se sastoji u tome da će gornje strane kocki imati ukupno 9 točaka.

Riješenje. Postoji 6 2 = 36 jednako mogućih elementarnih ishoda u ovom pokusu. Događaj B favoriziraju 4 ishoda: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), pa

Primjer 4. Slučajno je odabran prirodni broj koji nije veći od 10. Kolika je vjerojatnost da je taj broj prost?

Riješenje. Označimo slovom C događaj "odabrani broj je prost". U ovom slučaju, n = 10, m = 4 (prosti brojevi 2, 3, 5, 7). Prema tome, željena vjerojatnost

Primjer 5 Bacaju se dva simetrična novčića. Kolika je vjerojatnost da oba novčića imaju znamenke na gornjim stranama?

Riješenje. Označimo slovom D događaj "na gornjoj strani svakog novčića bio je broj". U ovom testu postoje 4 jednako moguća elementarna ishoda: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) znači da je na prvom novčiću grb, na drugom - broj). Događaj D favorizira jedan elementarni ishod (C, C). Kako je m = 1, n = 4, tada je

Primjer 6 Kolika je vjerojatnost da su znamenke u slučajno odabranom dvoznamenkastom broju iste?

Riješenje. Dvoznamenkasti brojevi su brojevi od 10 do 99; takvih je brojeva ukupno 90. 9 brojeva ima iste znamenke (to su brojevi 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kako je u ovom slučaju m = 9, n = 90, tada je
,
gdje je A događaj "broj s istim znamenkama".

Primjer 7 Od slova riječi diferencijal nasumično se bira jedno slovo. Kolika je vjerojatnost da će to slovo biti: a) samoglasnik b) suglasnik c) slovo h?

Riješenje. Riječ diferencijal ima 12 slova, od kojih je 5 samoglasnika, a 7 suglasnika. pisma h ova riječ ne. Označimo događaje: A - "samoglasnik", B - "suglasnik", C - "slovo h". Broj povoljnih elementarnih ishoda: - za događaj A, - za događaj B, - za događaj C. Budući da je n \u003d 12, tada
, i .

Primjer 8 Bacaju se dvije kocke, bilježi se broj bodova na gornjoj strani svake kocke. Odredite vjerojatnost da obje kocke imaju isti broj bodova.

Riješenje. Označimo ovaj događaj slovom A. Događaj A favorizira 6 elementarnih ishoda: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Ukupno postoje jednako mogući elementarni ishodi koji tvore potpunu grupu događaja, u ovom slučaju n=6 2 =36. Dakle, željena vjerojatnost

Primjer 9 Knjiga ima 300 stranica. Koja je vjerojatnost da će nasumično otvorena stranica imati redni broj koji je višekratnik broja 5?

Riješenje. Iz uvjeta zadatka proizlazi da će svih jednako mogućih elementarnih ishoda koji čine cjelovitu skupinu događaja biti n = 300. Od toga m = 60 ide u prilog zbivanju navedenog događaja. Doista, broj koji je višekratnik broja 5 ima oblik 5k, gdje je k prirodan broj, a , odakle . Posljedično,
, gdje A - događaj "stranica" ima redni broj koji je višekratnik 5".

Primjer 10. Bacaju se dvije kocke, izračunava se zbroj bodova na gornjim stranama. Što je vjerojatnije da će dobiti ukupno 7 ili 8?

Riješenje. Označimo događaje: A - "ispalo je 7 bodova", B - "ispalo je 8 bodova". Događaju A pogoduje 6 elementarnih ishoda: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a događaju B - prema 5 ishoda: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Postoji n = 6 2 = 36 svih jednako mogućih elementarnih ishoda. Dakle, i .

Dakle, P(A)>P(B), odnosno dobivanje ukupno 7 bodova vjerojatniji je događaj nego dobivanje ukupno 8 bodova.

Zadaci

1. Nasumično je odabran prirodan broj koji nije veći od 30. Kolika je vjerojatnost da je taj broj višekratnik broja 3?
2. U urni a crvena i b plave kuglice iste veličine i težine. Kolika je vjerojatnost da je nasumično izvučena kuglica iz ove urne plava?
3. Nasumično je odabran broj koji nije veći od 30. Kolika je vjerojatnost da je taj broj djelitelj od zo?
4. U urni a plava i b crvene kuglice iste veličine i težine. Jedna kugla se izvlači iz ove urne i ostavlja sa strane. Ova lopta je crvena. Zatim se iz urne izvlači još jedna kugla. Nađite vjerojatnost da je i druga kuglica crvena.
5. Slučajno je odabran prirodan broj koji nije veći od 50. Kolika je vjerojatnost da je taj broj prost?
6. Bacaju se tri kocke, izračunava se zbroj bodova na gornjim plohama. Što je vjerojatnije - dobiti ukupno 9 ili 10 bodova?
7. Bacaju se tri kocke, računa se zbroj ispuštenih bodova. Što je vjerojatnije da će dobiti ukupno 11 (događaj A) ili 12 bodova (događaj B)?

Odgovori

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - vjerojatnost dobivanja ukupno 9 bodova; p 2 \u003d 27/216 - vjerojatnost dobivanja ukupno 10 bodova; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pitanja

1. Što se naziva vjerojatnost događaja?
2. Kolika je vjerojatnost određenog događaja?
3. Kolika je vjerojatnost nemogućeg događaja?
4. Koje su granice vjerojatnosti slučajnog događaja?
5. Koje su granice vjerojatnosti bilo kojeg događaja?
6. Koja se definicija vjerojatnosti naziva klasičnom?

Profesionalac bi trebao biti dobro upućen u izglede, brzo i ispravno procijeniti vjerojatnost događaja pomoću koeficijenta a po potrebi i moći pretvoriti tečajeve iz jednog formata u drugi. U ovom priručniku ćemo govoriti o tome koje su vrste koeficijenata, kao i pomoću primjera ćemo analizirati kako možete izračunajte vjerojatnost iz poznatog koeficijenta i obrnuto.

Koje su vrste koeficijenata?

Postoje tri glavne vrste kvota koje nude kladionice: decimalni izgledi, frakcijski izgledi(engleski) i američki izgledi. Najčešći tečajevi u Europi su decimalni. Američki tečajevi popularni su u Sjevernoj Americi. Frakcijski koeficijenti su najtradicionalniji tip, oni odmah odražavaju informacije o tome koliko se trebate kladiti da biste dobili određeni iznos.

Decimalni koeficijenti

Decimale ili se inače zovu europske kvote- ovo je uobičajeni format broja, predstavljen decimalnim razlomkom s točnošću od stotinki, a ponekad čak i tisućinki. Primjer decimalne kvote je 1,91. Izračunavanje dobiti u slučaju decimalnog koeficijenta vrlo je jednostavno, samo pomnožite iznos svojeg uloga s tim koeficijentom. Na primjer, u utakmici "Manchester United" - "Arsenal", pobjeda "MU" je postavljena s koeficijentom - 2,05, remi se procjenjuje s koeficijentom - 3,9, a pobjeda "Arsenala" jednaka je - 2.95. Recimo da smo uvjereni da će United pobijediti i kladimo se na njih u 1000 dolara. Tada se naš mogući prihod izračunava na sljedeći način:

2.05 * $1000 = $2050;

Nije li stvarno tako teško? Na isti način izračunava se mogući prihod kod klađenja na remi i pobjedu Arsenala.

Crtati: 3.9 * $1000 = $3900;
Pobjeda Arsenala: 2.95 * $1000 = $2950;

Kako izračunati vjerojatnost događaja pomoću decimalnih koeficijenata?

Zamislimo sada da trebamo odrediti vjerojatnost događaja prema decimalnim koeficijentima koje postavlja kladionica. Ovo je također vrlo jednostavno učiniti. Da bismo to učinili, jedinicu podijelimo s ovim koeficijentom.

Uzmimo podatke koje već imamo i izračunajmo vjerojatnost svakog događaja:

Pobjeda Manchester Uniteda: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Crtati: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Pobjeda Arsenala: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Fractional Odds (engleski)

Kao što naziv govori frakcijski koeficijent predstavljen običnim razlomkom. Primjer engleske kvote je 5/2. Brojnik razlomka sadrži broj koji je potencijalni iznos neto dobitka, a nazivnik sadrži broj koji označava iznos koji se mora uložiti da bi se dobio ovaj dobitak. Jednostavno rečeno, moramo se kladiti u 2 dolara da bismo osvojili 5 dolara. Omjer 3/2 znači da ćemo morati uložiti 2 dolara da bismo dobili 3 dolara neto dobitka.

Kako izračunati vjerojatnost događaja pomoću razlomaka?

Također nije teško izračunati vjerojatnost događaja pomoću frakcijskih koeficijenata, samo trebate podijeliti nazivnik sa zbrojem brojnika i nazivnika.

Za razlomak 5/2 izračunavamo vjerojatnost: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Za razlomak 3/2 izračunavamo vjerojatnost:

američki izgledi

američki izgledi nepopularan u Europi, ali vrlo nepopularan u Sjevernoj Americi. Možda je ova vrsta koeficijenata najteža, ali to je samo na prvi pogled. Zapravo, u ovoj vrsti koeficijenata nema ništa komplicirano. Sada pogledajmo sve redom.

Glavna značajka američkih omjera je da mogu biti bilo koji pozitivan, i negativan. Primjer američkih kvota je (+150), (-120). Američki tečaj (+150) znači da da bismo zaradili 150 dolara moramo uložiti 100 dolara. Drugim riječima, pozitivni američki multiplikator odražava potencijalnu neto zaradu pri okladi od 100 USD. Negativan američki koeficijent odražava iznos oklade koji se mora napraviti da bi se ostvario neto dobitak od 100 USD. Na primjer, koeficijent (- 120) nam govori da ćemo ulaganjem 120$ osvojiti 100$.

Kako izračunati vjerojatnost događaja koristeći američke koeficijente?

Vjerojatnost događaja prema američkim koeficijentima izračunava se prema sljedećim formulama:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), gdje je M negativni američki koeficijent;
100/(P+100), gdje je P pozitivan američki koeficijent;

Na primjer, imamo koeficijent (-120), tada se vjerojatnost izračunava na sljedeći način:

(-(M))/((-(M)) + 100); zamijenimo vrijednost (-120) umjesto "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Dakle, vjerojatnost događaja s američkim koeficijentom (-120) iznosi 54,5%.

Na primjer, imamo koeficijent (+150), tada se vjerojatnost izračunava na sljedeći način:

100/(P+100); zamijenimo vrijednost (+150) umjesto "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Dakle, vjerojatnost događaja s američkim koeficijentom (+150) je 40%.

Kako, znajući postotak vjerojatnosti, prevesti ga u decimalni koeficijent?

Da biste izračunali decimalni koeficijent za poznati postotak vjerojatnosti, trebate podijeliti 100 s vjerojatnošću događaja u postocima. Na primjer, ako je vjerojatnost događaja 55%, tada će decimalni koeficijent te vjerojatnosti biti jednak 1,81.

100 / 55% = 1,81

Kako, znajući postotak vjerojatnosti, prevesti ga u frakcijski koeficijent?

Kako biste izračunali frakcijski koeficijent iz poznatog postotka vjerojatnosti, trebate oduzeti jedan od dijeljenja 100 s vjerojatnošću događaja u postocima. Na primjer, imamo postotak vjerojatnosti od 40%, tada će frakcijski koeficijent ove vjerojatnosti biti jednak 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Frakcijski koeficijent je 1,5/1 ili 3/2.

Kako, znajući postotak vjerojatnosti, to prevesti u američki koeficijent?

Ako je vjerojatnost događaja veća od 50%, tada se izračun vrši prema formuli:

- ((V) / (100 - V)) * 100, gdje je V vjerojatnost;

Na primjer, imamo 80% vjerojatnosti događaja, tada će američki koeficijent te vjerojatnosti biti jednak (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ako je vjerojatnost događaja manja od 50%, tada se izračun vrši prema formuli:

((100 - V) / V) * 100, gdje je V vjerojatnost;

Na primjer, ako imamo postotak vjerojatnosti događaja od 20%, tada će američki koeficijent te vjerojatnosti biti jednak (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Kako pretvoriti koeficijent u drugi format?

Postoje trenuci kada je potrebno pretvoriti koeficijente iz jednog formata u drugi. Na primjer, imamo frakcijski koeficijent 3/2 i moramo ga pretvoriti u decimalni. Za pretvorbu frakcijskih u decimalne koeficijente, prvo određujemo vjerojatnost događaja s frakcijskim koeficijentima, a zatim tu vjerojatnost pretvaramo u decimalne koeficijente.

Vjerojatnost događaja s frakcijskim koeficijentom 3/2 je 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Sada pretvaramo vjerojatnost događaja u decimalni koeficijent, za to dijelimo 100 s vjerojatnošću događaja kao postotak:

100 / 40% = 2.5;

Dakle, razlomačka kvota od 3/2 jednaka je decimalnoj kvoti od 2,5. Na sličan način, na primjer, američki tečajevi se pretvaraju u razlomke, decimalni u američke, itd. Najteži dio svega ovoga su upravo izračuni.

Prva razina

Teorija vjerojatnosti. Rješavanje problema (2019.)

Što je vjerojatnost?

Kad bih se prvi put susreo s ovim pojmom, ne bih razumio što je to. Pa ću pokušati objasniti na razumljiv način.

Vjerojatnost je šansa da će se željeni događaj dogoditi.

Na primjer, odlučili ste posjetiti prijatelja, zapamtite ulaz, pa čak i kat na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. I sada stojite na stubištu, a ispred vas su vrata među kojima možete birati.

Kolika je šansa (vjerojatnost) da vam, ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj otvori? Cijeli stan, a prijatelj živi samo iza jednog od njih. S jednakim šansama možemo odabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je to šansa?

Vrata, prava vrata. Vjerojatnost pogađanja zvonjenjem na prva vrata: . Odnosno, jedan put od tri ćete sigurno pogoditi.

Želimo znati pozivom jednom, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

pozvali ste na 1 Vrata
pozvali ste na 2 Vrata
pozvali ste na 3 Vrata

A sada razmotrite sve opcije gdje prijatelj može biti:

a. Po 1 vrata
b. Po 2 vrata
u. Po 3 vrata

Usporedimo sve opcije u obliku tablice. Kvačica označava opcije kada vaš izbor odgovara lokaciji prijatelja, križić - kada se ne podudara.

Kako ti sve vidiš Može biti opcije prijateljevu lokaciju i vaš izbor na koja ćete vrata nazvati.

ALI povoljni ishodi svih . Odnosno, vremena ćete pogoditi tako da jednom pozvonite na vrata, tj. .

Ovo je vjerojatnost - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor podudara s lokacijom prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Vjerojatnost se obično označava s p, pa je:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa uzmimo za – broj povoljnih ishoda, a za – ukupan broj ishoda.

Vjerojatnost se može napisati kao postotak, za to morate pomnožiti rezultat s:

Vjerojatno vam je riječ "ishodi" zapela za oko. Budući da matematičari razne radnje (kod nas je takva radnja zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, uobičajeno je da se rezultat takvih eksperimenata naziva ishodom.

Dobro, ishodi su povoljni i nepovoljni.

Vratimo se našem primjeru. Recimo, pozvonili smo na jedna vrata, ali nam je otvorio stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerojatnost da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste to mislili, onda je ovo greška. Hajdemo shvatiti.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Nazovite 1 Vrata
2) Poziv 2 Vrata

Prijatelj, uz sve ovo, sigurno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza ovog kojeg smo pozvali):

a) prijatelj 1 vrata
b) prijatelj za 2 vrata

Nacrtajmo tablicu ponovo:

Kao što vidite, postoje sve opcije, od kojih - povoljne. Odnosno, vjerojatnost je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmotrili je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

I oni se nazivaju ovisni jer utječu na sljedeće radnje. Uostalom, ako je prijatelj otvorio vrata nakon prvog zvona, kolika bi bila vjerojatnost da je bio iza jednog od druga dva? Ispravno, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih mora biti nezavisna? Istina, postoje.

Udžbenički primjer je bacanje novčića.

Bacamo novčić. Kolika je vjerojatnost da će se pojaviti npr. glave? Tako je - jer opcije za sve (bilo glave ili repa, zanemarit ćemo vjerojatnost da novčić stoji na rubu), ali samo nama odgovara.
Ali repovi su ispali. U redu, ponovimo to. Koja je vjerojatnost da će se sada pojaviti? Ništa se nije promijenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka ispadaju repovi barem tisuću puta zaredom. Vjerojatnost padanja glava odjednom bit će ista. Uvijek postoje opcije, ali povoljne.

Razlikovanje zavisnih događaja od nezavisnih događaja je jednostavno:

Ako se eksperiment izvede jednom (jednom se baci novčić, jednom zazvoni zvono na vratima itd.), tada su događaji uvijek neovisni.
Ako se pokus izvodi više puta (jedanput se baci novčić, nekoliko puta pozvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek neovisan. I onda, ako se mijenja broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji ovisni, a ako ne, nezavisni su.

Vježbajmo malo da odredimo vjerojatnost.

Primjer 1

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da dobijete heads up dvaput zaredom?

Riješenje:

Razmotrite sve moguće opcije:

orao orao
orao rep
tails-eagle
Repovi-repovi

Kao što vidite, sve opcije. Od njih smo samo mi zadovoljni. To je vjerojatnost:

Ako uvjet traži jednostavno pronalaženje vjerojatnosti, tada se odgovor mora dati kao decimalni razlomak. Kad bi bilo naznačeno da se odgovor mora dati u postotku, tada bismo pomnožili s.

Odgovor:

Primjer 2

U bombonijeri su svi bomboni pakirani u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, konjakom, trešnjama, karamelom i nugatom.

Kolika je vjerojatnost da uzmete jedan slatkiš i dobijete slatkiš s orasima. Dajte svoj odgovor u postocima.

Riješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, uzimajući jedan slatkiš, to će biti jedan od onih u kutiji.

A koliko povoljnih ishoda?

Jer u kutiji su samo čokolade s orasima.

Odgovor:

Primjer 3

U kutiji loptica. od kojih su bijele i crne.

Kolika je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice?
Dodali smo još crnih kuglica u kutiju. Kolika je vjerojatnost da sada izvučete bijelu kuglicu?

Riješenje:

a) U kutiji su samo kuglice. od kojih su bijele.

Vjerojatnost je:

b) Sada su kuglice u kutiji. A bijelih je ostalo taman toliko.

Odgovor:

Potpuna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja je ().

Na primjer, u kutiji crvenih i zelenih kuglica. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice

Zelena kugla:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbroj svih mogućih događaja jednak je (). Razumijevanje ove točke pomoći će vam u rješavanju mnogih problema.

Primjer 4

U kutiji su flomasteri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerojatnost da NE nacrtate crveni marker?

Riješenje:

Izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleni, plavi, žuti ili crni.

Vjerojatnost svih događaja. A vjerojatnost događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvučemo crveni flomaster) je .

Dakle, vjerojatnost da NE nacrtate crveni flomaster je -.

Odgovor:

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi je minus vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Već znate što su nezavisni događaji.

A ako trebate pronaći vjerojatnost da će se dva (ili više) neovisna događaja dogoditi u nizu?

Recimo da nas zanima kolika je vjerojatnost da jednom bacanjem novčića dva puta vidimo orla?

Već smo razmotrili - .

Što ako bacimo novčić? Kolika je vjerojatnost da vidite orla dva puta zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

Orao-orao-orao
Orao-glava-repi
Glava-rep-orao
Glava-rep-rep
repovi-orao-orao
Repovi-glave-repovi
Repovi-repovi-glave
Rep-rep-rep

Ne znam za vas, ali ja sam jednom krivo napravio ovaj popis. Wow! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 bacanja možete sami napraviti popis mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao vi.

Stoga su najprije uočili, a potom i dokazali, da se vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja svaki put smanjuje za vjerojatnost jednog događaja.

Drugim riječima,

Razmotrite primjer iste, zlosretne kovanice.

Vjerojatnost da ćete doći do glave u suđenju? . Sada bacamo novčić.

Kolika je vjerojatnost da će se repovi zaredati?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerojatnost da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Kad bismo željeli pronaći niz REP-ORAO-REP na uzastopnim preokretima, učinili bismo isto.

Vjerojatnost dobivanja repova - , glava - .

Vjerojatnost dobivanja niza REPOVI-ORAO-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti izradom tablice.

Pravilo za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Pa stani! Nova definicija.

Hajdemo shvatiti. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

Orao-orao-orao
Orao-glava-repi
Glava-rep-orao
Glava-rep-rep
repovi-orao-orao
Repovi-glave-repovi
Repovi-repovi-glave
Rep-rep-rep

Dakle, ovdje su nekompatibilni događaji, ovo je određeni, zadani slijed događaja. su nekompatibilni događaji.

Ako želimo odrediti kolika je vjerojatnost dvaju (ili više) nekompatibilnih događaja, tada zbrajamo vjerojatnosti tih događaja.

Morate shvatiti da su gubitak orla ili repa dva neovisna događaja.

Ako želimo odrediti kolika je vjerojatnost da niz) (ili bilo koji drugi) ispadne, tada koristimo pravilo množenja vjerojatnosti.
Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti glavu u prvom bacanju, a repove u drugom i trećem?

Ali ako želimo znati kolika je vjerojatnost dobivanja jedne od nekoliko sekvenci, na primjer, kada se glave pojave točno jednom, tj. opcije i onda moramo dodati vjerojatnosti ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti zbrajanjem vjerojatnosti pojavljivanja svakog niza:

Dakle, zbrajamo vjerojatnosti kada želimo odrediti vjerojatnost nekog, nekompatibilnog, niza događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da se ne zbunite kada množiti, a kada zbrajati:

Vratimo se na primjer gdje smo puta bacili novčić i želimo znati kolika je vjerojatnost da ćemo jednom vidjeti glave.
Što ce se dogoditi?

Treba ispustiti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) ILI (repovi I repovi I glave).
I tako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narančasta, žuta i crna. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom ili zelenom olovkom?

Riješenje:

Što ce se dogoditi? Moramo se izvući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, zbrajamo vjerojatnosti ovih događaja:

Odgovor:

Primjer 6

Kocka se baca dvaput, koja je vjerojatnost da će ispasti ukupno 8?

Riješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerojatnost ispadanja s jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerojatnost:

Odgovor:

Vježbati.

Mislim da vam je sada postalo jasno kada trebate računati vjerojatnosti, kada ih zbrajati, a kada množiti. Nije li? Idemo malo vježbati.

Zadaci:

Uzmimo špil karata u kojem su karte pik, herc, 13 tref i 13 tambura. Od do As svake boje.

Kolika je vjerojatnost izvlačenja trefova u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
Kolika je vjerojatnost izvlačenja crne karte (pik ili tref)?
Koja je vjerojatnost izvlačenja slike (jaket, dama, kralj ili as)?
Kolika je vjerojatnost izvlačenja dviju sličica u nizu (prvu izvučenu kartu uklanjamo iz špila)?
Kolika je vjerojatnost da ćete, uzimajući dvije karte, sakupiti kombinaciju - (Jack, Queen ili King) i As. Redoslijed kojim će karte biti izvučene nije bitan.

odgovori:

U špilu karata svake vrijednosti to znači:
Događaji su ovisni, jer se nakon prve izvučene karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj "slika"). Ukupan broj pukova, dama, kraljeva i aseva u početnom špilu, što znači vjerojatnost izvlačenja "slike" s prvom kartom:
Budući da vadimo prvu kartu iz špila, to znači da je u špilu već ostala karta od koje postoje slike. Vjerojatnost crtanja slike s drugom kartom:
Budući da nas zanima situacija kada iz špila dobijemo: “slika” I “slika”, tada trebamo pomnožiti vjerojatnosti:
Odgovor:
Nakon što se izvuče prva karta, broj karata u špilu će se smanjiti, pa imamo dvije mogućnosti:
1) Prvom kartom izvadimo asa, drugom - jack, dama ili kralj
2) Prvom kartom vadimo Jacka, Damu ili Kralja, drugom - asa. (kec i (žandar ili dama ili kralj)) ili ((žandar ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite smanjiti broj karata u špilu!

Ako si sam uspio riješiti sve probleme, onda si super momak! Sad ćete zadatke iz teorije vjerojatnosti na ispitu kliktati kao ludi!

TEORIJA VJEROJATNOSTI. PROSJEČNA RAZINA

Razmotrite primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? Ovo je naziv kocke s brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od koliko do? Prije.

Dakle, bacamo kockicu i želimo da dođe do ili. I ispadamo.

U teoriji vjerojatnosti kažu što se dogodilo povoljan događaj(ne brkati s dobrim).

Ako bi ispao, događaj bi također bio povoljan. Ukupno se mogu dogoditi samo dva povoljna događaja.

Koliko loših? Budući da su svi mogući događaji, onda su nepovoljni od njih događaji (ovo je ako ispadne ili).

Definicija:

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja.. Odnosno, vjerojatnost pokazuje koji je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označavaju vjerojatnost latiničnim slovom (navodno od engleske riječi probability - vjerojatnost).

Uobičajeno je mjeriti vjerojatnost kao postotak (vidi temu). Da biste to učinili, vrijednost vjerojatnosti mora se pomnožiti s. U primjeru s kockom, vjerojatnost.

I u postocima: .

Primjeri (odlučite sami):

Koja je vjerojatnost da će bacanje novčića pasti na glave? A kolika je vjerojatnost repova?
Koja je vjerojatnost da će se paran broj pojaviti kada se kocka baci? A čime - neparnim?
U ladici obične, plave i crvene olovke. Nasumično izvlačimo jednu olovku. Koja je vjerojatnost izvlačenja jednostavnog?

rješenja:

Koliko opcija postoji? Glava i rep - samo dvije. A koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerojatnost
Isto s repovima: .
Ukupno opcija: (koliko strana ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi :).
Vjerojatnost. S neparnim, naravno, ista stvar.
Ukupno: . Povoljno: . Vjerojatnost: .

Potpuna vjerojatnost

Sve olovke u ladici su zelene. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom olovkom? Nema šanse: vjerojatnost (uostalom, povoljni događaji -).

Takav se događaj naziva nemogućim.

Kolika je vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku? Povoljnih događaja ima točno onoliko koliko je ukupno događaja (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerojatnost je ili.

Takav se događaj naziva izvjesnim.

Ako se u kutiji nalaze zelena i crvena olovka, kolika je vjerojatnost da ćete izvući zelenu ili crvenu? Opet opet. Imajte na umu sljedeću stvar: vjerojatnost crtanja zelene je jednaka, a crvena je .

U zbroju, te su vjerojatnosti potpuno jednake. To je, zbroj vjerojatnosti svih mogućih događaja jednak je ili.

Primjer:

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, jednostavna, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno?

Riješenje:

Zapamtite da se sve vjerojatnosti zbrajaju. I vjerojatnost crtanja zelene je jednaka. To znači da je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi je minus vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Neovisni događaji i pravilo množenja

Bacite novčić dvaput i želite da oba puta ispadne glava. Koja je vjerojatnost za to?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Orao-Orao, Rep-Orao, Orao-Rep, Rep-Rep. Što drugo?

Cijela varijanta. Od njih nam samo jedan odgovara: Eagle-Eagle. Dakle, vjerojatnost je jednaka.

Dobro. Sada bacimo novčić. Prebrojite se. Dogodilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerojatnost smanjuje za faktor. Opće pravilo se zove pravilo množenja:

Vjerojatnosti neovisnih događaja se mijenjaju.

Što su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne ovise jedni o drugima. Na primjer, kada bacamo novčić nekoliko puta, svaki put slijedi novo bacanje čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. S istim uspjehom možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Još primjera:

Kocka se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će se pojaviti oba puta?
Novčić se baca puta. Kolika je vjerojatnost da ćete dvaput dobiti glavu, a zatim rep?
Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerojatnost da zbroj brojeva na njima bude jednak?

odgovori:

Događaji su neovisni, što znači da pravilo množenja funkcionira: .
Vjerojatnost orla je jednaka. Vjerojatnost repova također. Množimo:
12 se može dobiti samo ako ispadnu dva -ki: .

Nespojivi događaji i pravilo zbrajanja

Nekompatibilni događaji su događaji koji se međusobno nadopunjuju do pune vjerojatnosti. Kao što naziv implicira, ne mogu se dogoditi u isto vrijeme. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, jednostavna, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da nacrtate zeleno ili crveno?

Riješenje .

Vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji od svih: zeleno + crveno. Dakle, vjerojatnost crtanja zelene ili crvene je jednaka.

Ista se vjerojatnost može prikazati u sljedećem obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Mješoviti zadaci

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će rezultat bacanja biti drugačiji?

Riješenje .

To znači da ako su glave prve, repovi bi trebali biti drugi, i obrnuto. Ispada da ovdje postoje dva para neovisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje množiti, a gdje zbrajati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte opisati što bi se trebalo dogoditi povezujući događaje s unijama "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Must roll (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je unija "i", bit će množenje, a gdje je "ili" zbrajanje:

Pokušajte sami:

Koja je vjerojatnost da dva bacanja novčića oba puta budu s istom stranom?
Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerojatnost da će zbroj pasti bodove?

rješenja:

(Glavu gore i glavu gore) ili (rep gore i rep gore): .
Koje su opcije? i. Zatim:
Smotao (i) ili (i) ili (i): .

Još jedan primjer:

Jednom bacamo novčić. Koja je vjerojatnost da će glave iskrsnuti barem jednom?

Riješenje:

Oh, kako ne želim prebirati po opcijama ... Glava-rep-rep, Orao-glava-rep, ... Ali ne morate! Razgovarajmo o punoj vjerojatnosti. Sjetio se? Kolika je vjerojatnost da orao nikada neće ispasti? Jednostavno je: repovi lete cijelo vrijeme, to znači.

TEORIJA VJEROJATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja.

Neovisni događaji

Dva su događaja neovisna ako pojava jednog ne mijenja vjerojatnost da će se drugi dogoditi.

Potpuna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja je ().

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi je minus vjerojatnost da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od događaja

Nespojivi događaji

Nekompatibilni događaji su oni događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Niz nekompatibilnih događaja čini cjelovitu skupinu događaja.

Zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Nakon što smo opisali što bi se trebalo dogoditi, koristeći unije "I" ili "ILI", umjesto "I" stavljamo znak množenja, a umjesto "ILI" - zbrajanje.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u onih 5%!

Sada ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, to je ... to je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen ispit, za upis na proračun na institut i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas uvjeravati ni u što, samo ću reći jedno...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da budete bolji od drugih na ispitu i na kraju ... sretniji?

PUNITE SVOJU RUKU, RJEŠAVAJUĆI ZADATKE NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće pitati teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili je jednostavno nećete napraviti na vrijeme.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti puno puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije nužno) i svakako ih preporučamo.

Kako biste dobili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka s rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve razine složenosti." Definitivno je dovoljno da se uhvatite u koštac s rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je puno više od običnog simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima omogućen je tijekom cijelog trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Vjerojatnost suprotnog događaja

Razmotrite neki slučajni događaj A, i neka je njegova vjerojatnost godišnje) znan. Zatim vjerojatnost suprotnog događaja određena je formulom

. (1.8)

Dokaz. Podsjetimo se da prema aksiomu 3 za nekompatibilne događaje

p(A+B) = p(A) + p(B).

Zbog nekompatibilnosti A i

Posljedica., odnosno vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Formula (1.8) se koristi za određivanje, na primjer, vjerojatnosti promašaja ako je vjerojatnost pogotka poznata (ili, obrnuto, vjerojatnosti pogotka ako je poznata vjerojatnost promašaja; na primjer, ako je vjerojatnost pogotka za pištolj je 0,9, vjerojatnost promašaja za njega je (1 - 0, 9 = 0,1).

Vjerojatnost zbroja dva događaja

Ovdje bi bilo umjesno podsjetiti na to za nekompatibilne događaje ova formula izgleda ovako:

Primjer. Tvornica proizvodi 85% proizvoda prvog razreda i 10% drugog. Ostale stavke smatraju se neispravnim. Koja je vjerojatnost da ćemo, uzimajući proizvod nasumce, dobiti kvar?

Riješenje. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Vjerojatnost zbroja bilo koja dva slučajna događaja jednako je

Dokaz. Zamislite događaj A + B kao zbroj nespojivih događaja

S obzirom na nekompatibilnost A i , dobivamo prema aksiomu 3

Slično, nalazimo

Zamjenom potonjeg u prethodnu formulu, dobivamo željeni (1.10) (slika 2).

Primjer. Od 20 učenika, 5 je položilo ispit iz povijesti za dvojku, 4 iz engleskog, a 3 učenika dobila su dvojke iz oba predmeta. Koliki je postotak učenika u grupi koji nemaju dvojke iz ovih predmeta?

Riješenje. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

Uvjetna vjerojatnost

U nekim slučajevima potrebno je odrediti vjerojatnost slučajnog događaja B pod pretpostavkom da se dogodio slučajni događaj A, koja ima vjerojatnost različitu od nule. Taj događaj A dogodilo, sužava prostor elementarnih događaja na skup A koji odgovara ovom događaju. Daljnje obrazloženje provest će se na primjeru klasične sheme. Neka se W sastoji od n jednako mogućih elementarnih događaja (ishoda) i događaja A usluge m(A), i događaj AB - m(AB) ishodi. Označite uvjetnu vjerojatnost događaja B pod uvjetom da A dogodilo se, - p(B|A). Po definiciji,

= .

Ako a A dogodilo, tada jedan od m(A) ishoda i događaja B može dogoditi samo ako se dogodi jedan od povoljnih ishoda AB; takve ishode m(AB). Stoga je prirodno staviti uvjetnu vjerojatnost događaja B pod uvjetom da A dogodilo, jednako omjeru

Ukratko, dajemo opću definiciju: uvjetna vjerojatnost događaja B, pod uvjetom da se dogodio događaj A s vjerojatnošću različitom od nule , nazvao

. (1.11)

Lako je provjeriti da ovako uvedena definicija zadovoljava sve aksiome te su, prema tome, svi prethodno dokazani teoremi istiniti.

Često uvjetna vjerojatnost p(B|A) može se lako pronaći iz uvjeta problema, u složenijim slučajevima treba koristiti definiciju (1.11).

Primjer. Urna sadrži N kuglica, od kojih su n bijele i N-n crne. Iz nje se izvadi lopta i, bez vraćanja ( uzorak bez povrata ), nabavite još jedan. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice bijele?

Riješenje. Pri rješavanju ovog problema primjenjujemo i klasičnu definiciju vjerojatnosti i pravilo umnoška: označimo s A događaj koji se sastoji u tome da je prva izvađena bijela kugla (zatim je prva izvađena crna kugla), a kroz B događaj koji se sastoji u činjenici da je druga lopta izvađena bijela kugla; zatim

Lako je vidjeti da je vjerojatnost da tri kuglice izvađene u nizu (bez zamjene) budu bijele:

itd.

Primjer. Od 30 ispitnih listića, učenik je pripremio samo 25. Ako odbije odgovoriti na prvi uzeti listić (koji ne zna), tada mu je dozvoljeno pristupiti drugom. Odredite vjerojatnost da je drugi listić sretan.

Riješenje. Neka događaj A leži u činjenici da se prva izvučena karta pokazala "lošom" za učenika, i B- drugi - ²dobar². Jer nakon događaja A jedan od “loših” je već izvađen, onda je ostalo samo 29 listića, od kojih 25 student zna. Stoga je željena vjerojatnost, uz pretpostavku da je pojavljivanje bilo koje karte jednako moguće i da se ne vrate natrag, jednaka .

Vjerojatnost proizvoda

Relacija (1.11), pod pretpostavkom da godišnje) ili p(B) nisu jednaki nuli, mogu se napisati u obliku

Taj se omjer naziva teorem o vjerojatnosti umnoška dva događaja , koji se može generalizirati na bilo koji broj faktora, na primjer, za tri ima oblik

Primjer. Pod uvjetima iz prethodnog primjera, pronađite vjerojatnost uspješnog polaganja ispita, ako za to student mora odgovoriti na prvu kartu ili, bez odgovaranja na prvu, obavezno odgovoriti na drugu.

Riješenje. Neka događaji A i B su da su prva i druga karta "dobre". Zatim - pojava "loše" karte po prvi put. Ispit će se polagati ako se dogodi neki događaj A ili u isto vrijeme i B. Odnosno, željeni događaj C - uspješno polaganje ispita - izražava se na sljedeći način: C = A+ .Odavde

Ovdje smo iskoristili nekompatibilnost A a time i nekompatibilnost A i , teoremi o vjerojatnosti zbroja i umnoška i klasična definicija vjerojatnosti pri računanju godišnje) i .

Ovaj se problem može još jednostavnije riješiti ako upotrijebimo teorem o vjerojatnosti suprotnog događaja:

Neovisnost događaja

Slučajni događaji A i Bnazovimonezavisna, ako

Za nezavisne događaje iz (1.11) slijedi da je ; vrijedi i obrnuto.

Neovisnost događajaznači da pojava događaja A ne mijenja vjerojatnost pojave događaja B, odnosno da je uvjetna vjerojatnost jednaka bezuvjetnoj .

Primjer. Razmotrimo prethodni primjer s urnom koja sadrži N kuglica, od kojih je n bijelih, ali promijenimo iskustvo: nakon što smo izvadili kuglicu, vraćamo je natrag i tek onda vadimo sljedeću ( dohvatiti s povratkom ).

A je događaj da je prva izvučena bijela kuglica, događaj da je prva izvučena crna kuglica, a B je događaj da je bijela kuglica izvučena druga; zatim

odnosno u ovom slučaju događaji A i B su neovisni.

Dakle, kod uzorkovanja s vraćanjem događaji kod drugog izvlačenja kuglice su neovisni o događajima kod prvog izvlačenja, ali kod uzorkovanja bez zamjene to nije slučaj. Međutim, za velike N i n te su vjerojatnosti vrlo blizu jedna drugoj. Ovo se koristi jer se ponekad provodi uzorkovanje bez zamjene (npr. u kontroli kvalitete, kada ispitivanje predmeta dovodi do njegovog uništenja), a izračuni se provode pomoću formula za uzorkovanje sa zamjenom koje su jednostavnije.

U praksi se pri računanju vjerojatnosti često koristi pravilo prema kojem iz fizičke neovisnosti događaja slijedi njihova neovisnost u probabilističkom smislu .

Primjer. Vjerojatnost da osoba od 60 godina neće umrijeti u sljedećih godinu dana je 0,91. Osiguravajuća kuća osigurava život dvije osobe od 60 godina na godinu dana.

Vjerojatnost da nitko od njih neće umrijeti: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Vjerojatnost da oboje umru:

(1 – 0,91)×(1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Vjerojatnost umiranja najmanje jedan:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Vjerojatnost umiranja jedan:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

Sustav događaja A 1 , A 2 ,..., A n neovisnim u agregatu nazivamo ako je vjerojatnost umnoška jednaka umnošku vjerojatnosti za bilo koju kombinaciju faktora iz ovog sustava. U ovom slučaju, posebno

Primjer.Šifra sefa sastoji se od sedam decimalnih znamenki. Kolika je vjerojatnost da lopov prvi put bude u pravu?

Na svakoj od 7 pozicija možete birati bilo koju od 10 znamenki 0,1,2,...,9, za ukupno 107 brojeva, počevši od 0000000 do 9999999.

Primjer.Šifra sefa sastoji se od ruskog slova (ima ih 33) i tri znamenke. Kolika je vjerojatnost da lopov prvi put bude u pravu?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Primjer. U općenitijem obliku, problem osiguranja: vjerojatnost da osoba u dobi od ... godina neće umrijeti u idućoj godini jednaka je p. Osiguravajuće društvo osigurava život n osoba ove dobi na godinu dana.

Vjerojatnost da nitko od njih neće umrijeti: pn (ne moraju nikome platiti premiju osiguranja).

Vjerojatnost umiranja najmanje jedan: 1 - p n (uplate dolaze).

Vjerojatnost da oni svi umri: (1 – p) n (najveće isplate).

Vjerojatnost umiranja jedan: n × (1 – p) × p n-1 (ako su ljudi nabrojani, onda se onaj koji umre može nabrojati s 1, 2,…,n – to je n različitih događaja od kojih svaki ima vjerojatnost (1 – p) × pn-1).

Formula ukupne vjerojatnosti

Neka događaji H1, H2, ..., H n zadovoljiti uvjete

Ako i .

Takva zbirka zove se puna grupa događaja.

Pretpostavimo da su nam poznate vjerojatnosti str(Bok), str(A/H i). U ovom slučaju primjenjivo formula ukupne vjerojatnosti

. (1.14)

Dokaz. Iskoristimo što Bok(obično se zovu hipoteze ) nedosljedni su u parovima (dakle, nedosljedni i Bok× A), a njihov zbroj je određeni događaj

Ova se shema događa uvijek kada možemo govoriti o podijeljenosti cjelokupnog prostora događanja na nekoliko, općenito govoreći, heterogenih regija. U ekonomiji, to je podjela zemlje ili područja na regije različite veličine i različitih uvjeta, kada je poznat udio svake regije p(bok) i vjerojatnost (udio) nekog parametra u svakoj regiji (npr. postotak nezaposlenih - različit je u svakoj regiji) - p(A/Hi). Skladište može sadržavati proizvode iz tri različite tvornice, koje isporučuju različite količine proizvoda s različitim postocima grešaka, itd.

Primjer. Ulijevanje svinja dolazi iz dvije trgovine u treću: 70% iz prve i 30% iz druge. U isto vrijeme, proizvodi prve radionice imaju 10% nedostataka, a drugi - 20%. Nađite vjerojatnost da jedan disk, uzet nasumce, ima defekt.

Riješenje: p(Hl) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/Hl) = 0,1; p(A/H2)=0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (u prosjeku je 13% praznina u trećoj radnji neispravno).

Matematički model može biti, na primjer, sljedeći: postoji nekoliko urni različitog sastava; u prvoj urni nalazi se n 1 kuglica, od kojih je m 1 bijela, i tako dalje. Formula ukupne vjerojatnosti koristi se za iznalaženje vjerojatnosti da se iz nje izvuče bijela kuglica slučajnim odabirom urne.

Problemi se rješavaju na isti način u općem slučaju.

Primjer. Vratimo se na primjer s urnom koja sadrži N kuglica, od kojih je n bijelih. Iz njega izvlačimo (bez povratka) dvije lopte. Kolika je vjerojatnost da je druga kuglica bijela?

Riješenje. H 1 - prva kuglica je bijela; p(H1)=n/N;

H 2 - prva kuglica je crna; p(H2)=(N-n)/N;

B - druga kuglica je bijela; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Isti model može se primijeniti za rješavanje sljedećeg problema: od N ulaznica učenik je naučio samo n. Što mu je isplativije - povući kartu prvi ili drugi? Ispada da je u svakom slučaju s vjerojatnošću n/N izvući će dobar listić i to s vjerojatnošću ( N-n)/N- loše.

Primjer. Odredite vjerojatnost da će putnik koji krene iz točke A završiti u točki B ako na račvanju nasumično odabere bilo koju cestu (osim povratne). Karta puta prikazana je na sl. 1.3.

Riješenje. Neka su dolazak putnika u točke H 1 , H 2 , H 3 i H 4 odgovarajuće hipoteze. Očito, oni čine potpunu skupinu događaja i, prema uvjetu problema,

p(H1) = p(H2) = p(H3) = p(H4) = 0,25.

(Putniku su jednako mogući svi pravci iz A). Prema shemi ceste, uvjetne vjerojatnosti udarca u B, pod uvjetom da je putnik prošao kroz H i , jednake su:

Primjenom formule ukupne vjerojatnosti dobivamo

Bayesova formula

Pretpostavimo da su uvjeti iz prethodnog paragrafa zadovoljeni i da je dodatno poznato da je događaj A dogodilo se. Odredite vjerojatnost da se hipoteza ostvarila H k. Po definiciji uvjetne vjerojatnosti

. (1.15)

Dobiveni omjer naziva se Bayesova formula. Ona daje do znanja
(prije pokusa) apriorne vjerojatnosti hipoteza p(bok) i uvjetne vjerojatnosti p(A|Bok) odrediti uvjetnu vjerojatnost p(H k |A), koji se zove a posteriori (to jest, dobiveno pod uvjetom da, kao rezultat iskustva, događaj A već dogodilo).

Primjer. 30% pacijenata primljenih u bolnicu pripada prvoj društvenoj skupini, 20% - drugoj i 50% - trećoj. Vjerojatnost zaraze tuberkulozom za predstavnika svake društvene skupine je 0,02, 0,03 i 0,01. Testovi obavljeni za nasumično odabranog pacijenta pokazali su prisutnost tuberkuloze. Odredite vjerojatnost da se radi o predstavniku treće skupine.

Kratka teorija

Za kvantitativnu usporedbu događaja prema stupnju mogućnosti njihova događanja uvodi se brojčana mjera koja se naziva vjerojatnost događaja. Vjerojatnost slučajnog događaja naziva se broj koji je izraz mjere objektivne mogućnosti zbivanja događaja.

Vrijednosti koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi za računanje na pojavu događaja karakteriziraju vjerojatnost događaja. Mora se naglasiti da je vjerojatnost objektivna veličina koja postoji neovisno o spoznavatelju i uvjetovana je ukupnošću uvjeta koji pridonose zbivanju događaja.

Objašnjenja koja smo dali konceptu vjerojatnosti nisu matematička definicija, jer ne definiraju ovaj koncept kvantitativno. Postoji nekoliko definicija vjerojatnosti slučajnog događaja, koje se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasična, aksiomatska, statistička itd.).

Klasična definicija vjerojatnosti događaja svodi ovaj koncept na elementarniji koncept jednako vjerojatnih događaja, koji više nije podložan definiciji i pretpostavlja se da je intuitivno jasan. Na primjer, ako je kocka homogena kocka, tada će ispad bilo koje strane te kocke biti jednako vjerojatan događaj.

Neka se određeni događaj podijeli na jednako vjerojatne slučajeve čiji zbroj daje događaj. To jest, slučajevi iz , na koje se raspada, nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih osigurava ofenzivu.

Vjerojatnost događaja označit ćemo simbolom .

Vjerojatnost događaja jednaka je omjeru broja za njega povoljnih slučajeva od ukupnog broja jedinstvenih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, prema broju, tj.

Ovo je klasična definicija vjerojatnosti. Dakle, da bismo pronašli vjerojatnost nekog događaja, potrebno je, nakon razmatranja različitih ishoda testa, pronaći skup jedinih mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupni broj n, broj slučajeva m koji favorizirajte ovaj događaj, a zatim izvršite izračun prema gornjoj formuli.

Vjerojatnost događaja jednaka omjeru broja ishoda iskustva povoljnih za događaj prema ukupnom broju ishoda iskustva naziva se klasična vjerojatnost slučajni događaj.

Iz definicije proizlaze sljedeća svojstva vjerojatnosti:

Svojstvo 1. Vjerojatnost određenog događaja jednaka je jedinici.

Svojstvo 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Svojstvo 4. Vjerojatnost pojavljivanja događaja koji čine potpunu skupinu jednaka je jedinici.

Svojstvo 5. Vjerojatnost nastanka suprotnog događaja definirana je na isti način kao i vjerojatnost nastanka događaja A.

Broj pojavljivanja koja pogoduju pojavljivanju suprotnog događaja. Dakle, vjerojatnost da se dogodi suprotni događaj jednaka je razlici između jedinice i vjerojatnosti da se dogodi događaj A:

Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je u tome što se pomoću nje vjerojatnost događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na temelju logičkog zaključivanja.

Kada se ispuni niz uvjeta, određeni događaj će se sigurno dogoditi, a nemoguće se sigurno neće dogoditi. Među događajima koji se, kada se stvori splet uvjeta, mogu i ne moraju dogoditi, na pojavu jednih može se računati s više razloga, na pojavu drugih s manje razloga. Ako, na primjer, u urni ima više bijelih kuglica nego crnih, tada postoji više razloga za nadu da će se pojaviti bijela kugla kada se nasumično izvadi iz urne nego da će se pojaviti crna kugla.

Primjer rješenja problema

Primjer 1

Kutija sadrži 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih kuglica. Nasumično se izvlače 3 kuglice. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja: - izvučena je najmanje 1 crvena kuglica, - postoje najmanje 2 kuglice iste boje, - postoje najmanje 1 crvena i 1 bijela kuglica.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda testa nalazimo kao broj kombinacija od 19 (8 + 4 + 7) elemenata od po 3:

Pronađite vjerojatnost događaja– izvučena najmanje 1 crvena kuglica (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Tražena vjerojatnost:

Neka događaj- postoje najmanje 2 kuglice iste boje (2 ili 3 bijele kuglice, 2 ili 3 crne kuglice i 2 ili 3 crvene kuglice)

Broj ishoda koji idu u prilog događaju:

Tražena vjerojatnost:

Neka događaj– postoji najmanje jedna crvena i jedna bijela lopta

(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda koji idu u prilog događaju:

Tražena vjerojatnost:

Odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primjer 2

Bacaju se dvije kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bodova najmanje 5.

Riješenje

Neka događaj bude zbroj bodova najmanje 5

Upotrijebimo klasičnu definiciju vjerojatnosti:

Ukupan broj mogućih ishoda ispitivanja

Broj ispitivanja koja favoriziraju događaj koji nas zanima

Na ispuštenoj strani prve kocke može se pojaviti jedna točka, dvije točke ..., šest točaka. slično, šest ishoda moguće je pri drugom bacanju kocke. Svaki od ishoda prve kocke može se kombinirati sa svakim od ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju postavljanja s ponavljanjima (izbor s postavljanjem 2 elementa iz skupa volumena 6):

Odredite vjerojatnost suprotnog događaja - zbroj bodova manji od 5

Sljedeće kombinacije izgubljenih bodova favorizirat će događaj:

№

1. kost

2. kost

Prikazana je geometrijska definicija vjerojatnosti i dano rješenje poznatog problema susreta.