Izračunavanje određenog integrala metodom pravokutnika. Numerička integracija

Ekaterinburg

Izračunavanje određenog integrala

Uvod

Zadatak numeričke integracije funkcija je izračunati približnu vrijednost određenog integrala:

na temelju niza vrijednosti integranda.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Formule za numerički izračun jednog integrala nazivaju se kvadraturne formule, dvostruke i višestruke - kubature.

Uobičajena tehnika za konstruiranje kvadraturnih formula je zamjena integranda f(x) na segmentu s interpolirajućom ili aproksimirajućom funkcijom g(x) relativno jednostavnog oblika, na primjer, polinomom, nakon čega slijedi analitička integracija. To vodi do prezentacije

Zanemarujući preostali član R[f], dobivamo približnu formulu

Označimo s y i = f(x i) vrijednost integranda u različitim točkama na . Kvadraturne formule su formule zatvorenog tipa ako je x 0 =a, x n =b.

Kao približnu funkciju g(x) smatramo interpolacijski polinom na u obliku Lagrangeovog polinoma:

, pri čemu , gdje je preostali član Lagrangeove interpolacijske formule.

Formula (1) daje

, (2)

. (3)

U formuli (2) veličine () se nazivaju čvorovi, () - težine, - pogreška kvadraturne formule. Ako se težine () kvadraturne formule izračunavaju formulom (3), tada se odgovarajuća kvadraturna formula naziva kvadraturnom formulom interpolacijskog tipa.

Rezimirati.

1. Težine () kvadraturne formule (2) za dani raspored čvorova ne ovise o vrsti integranda.

2. U kvadraturnim formulama interpolacijskog tipa, preostali član R n [f] može se prikazati kao vrijednost određenog diferencijalnog operatora na funkciji f(x). Za

3. Za polinome do reda n uključivo, kvadraturna formula (2) je egzaktna, tj. . Najviši stupanj polinoma za koji je kvadraturna formula točna naziva se stupanj kvadraturne formule.

Razmotrimo posebne slučajeve formula (2) i (3): metodu pravokutnika, trapeza, parabole (Simpsonova metoda). Nazivi ovih metoda nastali su zbog geometrijske interpretacije odgovarajućih formula.

Metoda pravokutnika

Određeni integral funkcije f(x): brojčano je jednak površini krivuljastog trapeza omeđenog krivuljama y=0, x=a, x=b, y=f(x) (slika 1).

Riža. 1 Površina ispod krivulje y=f(x) Za izračun ove površine cijeli integracijski interval je podijeljen na n jednakih podintervala duljine h=(b-a)/n. Površina ispod integranda približno se zamjenjuje zbrojem površina pravokutnika, kao što je prikazano na slici (2).

Riža. 2 Površina ispod krivulje y=f(x) aproksimirana je zbrojem površina pravokutnika
Zbroj površina svih pravokutnika izračunava se formulom

Metoda predstavljena formulom (4) naziva se metoda lijevog okvira, a metoda predstavljena formulom (5) naziva se metoda desnog okvira:

Pogreška u izračunu integrala određena je vrijednošću koraka integracije h. Što je manji korak integracije, točnije integralni zbroj S aproksimira vrijednost integrala I. Na temelju toga se gradi algoritam za izračunavanje integrala sa zadanom točnošću. Smatra se da integralni zbroj S predstavlja vrijednost integrala I s točnošću eps, ako razlika u apsolutnim vrijednostima između integralnih zbrojeva i izračunatih s korakom h odnosno h/2 ne prelazi eps.

Za iznalaženje određenog integrala pomoću metode srednjih pravokutnika, područje omeđeno linijama a i b podijeli se na n pravokutnika s istim bazama h, visine pravokutnika bit će točke presjeka funkcije f(x) s središtima pravokutnika (h/2). Integral će biti numerički jednak zbroju površina n pravokutnika (slika 3).

Riža. 3 Površina ispod krivulje y=f(x) je aproksimirana zbrojem površina pravokutnika

n je broj particija segmenta.

Trapezoidna metoda

Da bi se odredio određeni integral metodom trapeza, površina krivocrtnog trapeza također se dijeli na n pravokutnih trapeza s visinama h i bazama y 1, y 2, y 3,..y n, gdje je n broj trapeza. pravokutni trapez. Integral će biti numerički jednak zbroju površina pravokutnih trapeza (slika 4).

Riža. 4 Površina ispod krivulje y=f(x) aproksimirana je zbrojem površina pravokutnih trapeza.

n je broj particija

(6)

Pogreška formule trapeza procjenjuje se brojem

Pogreška formule trapeza opada brže s rastom nego pogreška formule pravokutnika. Stoga vam formula trapeza omogućuje veću točnost od metode pravokutnika.

Simpsonova formula

Ako za svaki par segmenata konstruiramo polinom drugog stupnja, zatim ga integriramo na segment i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, tada ćemo dobiti Simpsonovu formulu.

U Simpsonovoj metodi za izračunavanje određenog integrala cijeli interval integracije podijeljen je na podintervale jednake duljine h=(b-a)/n. Broj segmenata pregrade je paran broj. Zatim se na svakom paru susjednih podintervala subintegralna funkcija f(x) zamijeni Lagrangeovim polinomom drugog stupnja (slika 5).

Riža. 5 Funkcija y=f(x) na segmentu zamijenjena je polinomom 2. reda

Razmotrimo integrand na intervalu . Zamijenimo ovaj integrand Lagrangeovim interpolacijskim polinomom drugog stupnja koji koincidira s y= u točkama:

Integriramo na segment .:

Uvodimo promjenu varijabli:

S obzirom na formule zamjene,

Nakon integracije dobivamo Simpsonovu formulu:

Vrijednost dobivena za integral podudara se s područjem krivuljastog trapeza omeđenog osi, ravnim linijama i parabolom koja prolazi kroz točke. Na segmentu će Simpsonova formula izgledati ovako:

U formuli parabole, vrijednost funkcije f (x) u neparnim točkama dijeljenja x 1, x 3, ..., x 2 n -1 ima koeficijent 4, u parnim točkama x 2, x 4, .. ., x 2 n -2 - koeficijent 2 i na dvije granične točke x 0 \u003d a, x n \u003d b - koeficijent 1.

Geometrijsko značenje Simpsonove formule: područje krivuljastog trapeza ispod grafa funkcije f(x) na segmentu približno je zamijenjeno zbrojem područja figura koje leže ispod parabola.

Ako funkcija f(x) ima kontinuiranu derivaciju četvrtog reda, tada apsolutna vrijednost pogreške Simpsonove formule nije veća od

gdje je M najveća vrijednost na segmentu. Budući da n 4 raste brže od n 2 , pogreška Simpsonove formule opada s porastom n mnogo brže nego pogreška formule trapeza.

Računamo integral

Ovaj integral je lako izračunati:

Uzmimo n jednako 10, h=0,1, izračunajmo vrijednosti integranda na particijskim točkama, kao i polucijele točke .

Prema formuli srednjih pravokutnika dobivamo I ravno = 0,785606 (pogreška je 0,027%), prema formuli trapeza I trap = 0,784981 (pogreška je oko 0,054. Kod korištenja metode desnog i lijevog pravokutnika pogreška je više od 3%.

Da bismo usporedili točnost približnih formula, još jednom izračunamo integral

ali sada po Simpsonovoj formuli za n=4. Segment podijelimo na četiri jednaka dijela s točkama x 0 = 0, x 1 = 1/4, x 2 = 1/2, x 3 = 3/4, x 4 = 1 i približno izračunamo vrijednosti funkcije f (x) \u003d 1 / ( 1+x) u ovim točkama: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Prema Simpsonovoj formuli, dobivamo

Procijenimo pogrešku dobivenog rezultata. Za integrand f(x)=1/(1+x) vrijedi: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , odakle slijedi da je na segmentu . Stoga možemo uzeti M=24, a pogreška rezultata ne prelazi 24/(2880× 4 4)=0,0004. Uspoređujući približnu vrijednost s točnom, zaključujemo da je apsolutna pogreška rezultata dobivenog Simpsonovom formulom manja od 0,00011. Ovo je u skladu s gore navedenom procjenom pogreške i, osim toga, ukazuje da je Simpsonova formula mnogo točnija od formule trapeza. Stoga se Simpsonova formula za aproksimativni izračun određenih integrala koristi češće od formule trapeza.

Usporedba metoda za točnost

Usporedimo metode u smislu točnosti, za to ćemo izračunati integral funkcija y=x, y=x+2, y=x 2, pri n=10 i n=60, a=0, b=10 . Točna vrijednost integrala je redom: 50, 70, 333.(3)

stol 1

Tablica 1 pokazuje da je najprecizniji integral dobiven Simpsonovom formulom, pri izračunavanju linearnih funkcija y=x, y=x+2, točnost se također postiže metodama srednjih pravokutnika i metodom trapeza, metodom desne pravokutnika manje je točan. Tablica 1 pokazuje da s povećanjem broja particija n (povećanje broja integracija) raste točnost približnog izračuna integrala

Zadatak za laboratorijski rad

1) Napišite programe za izračunavanje određenog integrala koristeći metode: srednji, pravokutni pravokutnik, trapez i Simpsonova metoda. Izvršite integraciju sljedećih funkcija:

na segmentu s korakom , ,

3. Izraditi varijantu pojedinačnog zadatka (tablica 2)

Tablica 2. Mogućnosti pojedinačnih zadataka

	Funkcija f(x)	Segment integracije

2) Provesti komparativnu analizu metoda.

Izračunavanje određenog integrala: Upute za laboratorijske vježbe iz discipline "Računalna matematika" / komp. I.A. Selivanova. Jekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2006. 14 str.

Smjernice su namijenjene studentima svih oblika obrazovanja specijalnosti 230101 - "Računala, kompleksi, sustavi i mreže" i prvostupnicima smjera 230100 - "Računalstvo i računalna tehnologija". Sastavila Selivanova Irina Anatolyevna

Grafička slika:

Izračunajmo približnu vrijednost integrala. Za ocjenu točnosti koristimo se izračunom metodom lijevog i desnog pravokutnika.

Izračunajte korak kod dijeljenja na 10 dijelova:

Točke razdvajanja segmenta definirane su kao.

Približnu vrijednost integrala izračunavamo pomoću formula lijevih pravokutnika:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Približnu vrijednost integrala izračunavamo pomoću formula pravokutnika:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Rješenje rubnog problema obične diferencijalne jednadžbe metodom prevođenja.

Za približno rješenje obične diferencijalne jednadžbe može se koristiti metoda prevođenja.

Promotrimo linearni d.p.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

s linearnim rubnim uvjetima u dvije točke

Uvedimo oznaku:

Metoda brisanja sastoji se od "pomaka naprijed", u kojem se određuju koeficijenti:

Nakon izvođenja "pomaka naprijed", nastavlja se s izvođenjem "pomaka unatrag", koji se sastoji u određivanju vrijednosti željene funkcije prema formulama:

Koristeći metodu prelaska, sastaviti rješenje rubnog problema za običnu diferencijalnu jednadžbu s točnošću; Korak h=0,05

2; A=1; =0; B=1,2;

Dirichletov problem za Laplaceovu jednadžbu metodom mreže

Pronađite kontinuiranu funkciju u(x, y) koja zadovoljava Laplaceovu jednadžbu unutar pravokutnog područja

i uzimanje na granici regije zadanih vrijednosti, tj.

gdje su f l , f 2 , f 3 , f 4 zadane funkcije.

Uvođenjem oznake, aproksimiramo parcijalne derivacije i na svakom unutarnjem čvoru mreže centralnim derivacijama razlike drugog reda

a Laplaceovu jednadžbu zamijeniti jednadžbom konačnih razlika

Pogreška zamjene diferencijalne jednadžbe diferentnom je.

Jednadžbe (1) zajedno s vrijednostima u graničnim čvorovima čine sustav linearnih algebarskih jednadžbi za približne vrijednosti funkcije u(x, y) u čvorovima mreže. Ovaj sustav ima najjednostavniji oblik kada:

Pri dobivanju mrežnih jednadžbi (2) korištena je shema čvorova prikazana na sl. 1. 1. Skup čvorova koji se koriste za aproksimaciju jednadžbe u točki naziva se predložak.

Slika 1

Numeričko rješenje Dirichletovog problema za Laplaceovu jednadžbu u pravokutniku sastoji se u pronalaženju približnih vrijednosti željene funkcije u(x, y) u unutarnjim čvorovima mreže. Za određivanje veličina potrebno je riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi (2).

U ovom radu rješava se Gauss--Seidelovom metodom koja se sastoji u konstruiranju niza iteracija oblika

(superskript s označava broj iteracije). Za niz konvergira k egzaktnom rješenju sustava (2). Kao uvjet za završetak iterativnog procesa može se uzeti

Dakle, pogreška približnog rješenja dobivenog metodom mreže sastoji se od dvije pogreške: pogreške aproksimacije diferencijalne jednadžbe razlikom; pogreška koja proizlazi iz približnog rješenja sustava diferencijskih jednadžbi (2).

Poznato je da ovdje opisana diferencijska shema ima svojstvo stabilnosti i konvergencije. Stabilnost sheme znači da male promjene u početnim podacima dovode do malih promjena u rješenju diferencijskog problema. Samo takve sheme imaju smisla primijeniti u stvarnim izračunima. Konvergencija sheme znači da kada korak mreže teži nuli (), rješenje diferentnog problema teži u određenom smislu rješenju izvornog problema. Dakle, odabirom dovoljno malog koraka h, izvorni problem se može riješiti proizvoljno točno.

Metodom mreže sastaviti približno rješenje Dirichletovog problema za Laplaceovu jednadžbu u kvadratu ABCD s vrhovima A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); korak h=0,02. Prilikom rješavanja problema koristite iterativni Libmanov proces usrednjavanja dok se ne dobije odgovor s točnošću od 0,01.

1) Izračunajte vrijednosti funkcije na stranicama:

1. Na strani AB: prema formuli. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
2. BC strana=0
3. Na strani CD=0

4. Na strani AD: po formuli u(0;0)=0 u(0,2;0)=29,376 u(0,4;0)=47,542 u(0,6;0)=47,567 u(0,8;0)=29,44 u(1;0)=0
2) Da bismo odredili vrijednosti funkcije u unutarnjim točkama regije pomoću metode mreže, zamjenjujemo danu Laplaceovu jednadžbu u svakoj točki s jednadžbom konačne razlike prema formuli

Pomoću ove formule napravit ćemo jednadžbu za svaku unutarnju točku. Kao rezultat toga dobivamo sustav jednadžbi.

Rješavanje ovog sustava provodi se iterativnom metodom Liebmanovog tipa. Za svaku vrijednost sastavljamo niz koji gradimo do konvergencije u stotinkama. Zapišimo relacije uz pomoć kojih ćemo pronaći elemente svih nizova:

Za izračune pomoću ovih formula potrebno je odrediti početne vrijednosti koje se mogu pronaći na bilo koji način.

3) Da bismo dobili početno aproksimativno rješenje problema, pretpostavimo da je funkcija u(x,y) jednoliko raspoređena po horizontalama područja.

Prvo, razmotrite vodoravnu liniju s graničnim točkama (0;0.2) i (1;0.2).

Označimo željene vrijednosti funkcije u unutarnjim točkama kroz.

Budući da je segment podijeljen na 5 dijelova, mjerni korak funkcije

Tada dobivamo:

Slično, nalazimo vrijednosti funkcije u unutarnjim točkama drugih horizontala. Za horizontalu s rubnim točkama (0;0,4) i (1;0,4) imamo

Za horizontalu s rubnim točkama (0;0.6) i (1;0.6) imamo

Na kraju nalazimo vrijednosti za horizontalu s graničnim točkama (0;0,8) i (1;0,8).

Sve dobivene vrijednosti prikazat ćemo u sljedećoj tablici koja se naziva nulti obrazac:

Procjena ostatka formule:

ili

Dodjela usluge. Usluga je namijenjena online izračunu određenog integrala pomoću formule pravokutnika.

Uputa. Unesite integrand f(x) , kliknite Riješi. Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku. Predložak rješenja također se izrađuje u Excelu. Ispod je video instrukcija.

Pravila unosa funkcija

Primjeri
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Ovo je najjednostavnija kvadraturna formula za izračun integrala, koja koristi jednu vrijednost funkcije

(8.5.1)
gdje ; h=x 1 -x 0 .
Formula (8.5.1) je središnja formula za pravokutnike. Izračunajmo ostatak. Proširimo funkciju y=f(x) u točki ε 0 u Taylorov niz:
(8.5.2)
gdje ; . Integriramo (8.5.2):

(8.5.3)

U drugom članu integrand je neparan, a granice integracije su simetrične u odnosu na točku ε 0 . Prema tome, drugi integral je jednak nuli. Dakle, iz (8.5.3) slijedi .
Budući da drugi faktor integranda ne mijenja predznak, tada po teoremu o srednjoj vrijednosti dobivamo , gdje . Nakon integracije dobivamo . (8.5.4)
Uspoređujući s ostatkom formule trapeza, vidimo da je pogreška formule pravokutnika dva puta manja od pogreške formule trapeza. Ovaj rezultat je točan ako u formuli pravokutnika uzmemo vrijednost funkcije u sredini.
Dobivamo formulu pravokutnika i preostali član za interval. Neka je mreža x i =a+ih, i=0,1,...,n, . Promotrimo mrežu ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Zatim . (8.5.5)
Preostali rok .
Geometrijski, formula pravokutnika može se prikazati sljedećom slikom:

Ako je funkcija f (x) dana u tablici, tada se koristi ili lijeva formula pravokutnika (za uniformnu mrežu)

ili desnu formulu pravokutnika

.
Pogreška ovih formula procjenjuje se preko prve derivacije. Za interval, pogreška je

; .
Nakon integracije dobivamo .

Primjer. Izračunajte integral za n=5:
a) prema formuli trapeza;
b) prema formuli pravokutnika;
c) prema Simpsonovoj formuli;
d) prema Gaussovoj formuli;
e) prema Chebyshevljevoj formuli.
Izračunajte pogrešku.
Riješenje. Za 5 integracijskih čvorova, korak mreže bit će 0,125.
Prilikom rješavanja koristit ćemo se tablicom vrijednosti funkcija. Ovdje je f(x)=1/x.

	x		f(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) formula trapeza:
I=h/2×;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Najveća vrijednost druge derivacije funkcije na intervalu je 16: max (f¢¢(x)), xn=2/(0,5 3)=16, dakle
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) formula pravokutnika:
za lijevu formulu I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
c) Simpsonova formula:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 e-4;
d) Gaussova formula:
I=(b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i , t i - tablične vrijednosti).

				t (n=5)		A (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	A2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
e) Čebiševljeva formula:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - potrebno smanjenje integracijskog intervala na interval [-1;1].
Za n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Pronađimo x vrijednosti i vrijednosti funkcije u ovim točkama:

x1	0,958	f(x1)	1,043
x2	0,844	f(x2)	1,185
x3	0,75	f(x3)	1,333
x4	0,656	f(x4)	1,524
x5	0,542	f(x5)	1,845

Zbroj vrijednosti funkcije je 6,927.
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.

Općenito formula lijevog pravokutnika na segmentu kako slijedi (21) :

U ovoj formuli x 0 =a, x n =b, budući da svaki integral općenito izgleda ovako: (vidi formulu 18 ).

h se može izračunati pomoću formule 19 .

g 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x ja =x i-1 +h).

Formula pravokutnika.

Općenito formula desnog pravokutnika na segmentu kako slijedi (22) :

U ovoj formuli x 0 =a, x n =b(vidi formulu za lijeve pravokutnike).

h se može izračunati pomoću iste formule kao u formuli za lijeve pravokutnike.

g 1 ,y 2 ,...,y n su vrijednosti odgovarajuće funkcije f(x) u točkama x 1 , x 2 ,..., x n (x ja =x i-1 +h).

Formula srednjeg pravokutnika.

Općenito formula srednjeg pravokutnika na segmentu kako slijedi (23) :

Gdje x ja =x i-1 +h.

U ovoj formuli, kao iu prethodnim, h je potreban za množenje zbroja vrijednosti funkcije f (x), ali ne samo zamjenom odgovarajućih vrijednosti x 0 ,x 1 ,...,x n-1 u funkciju f(x), i dodajući svakoj od ovih vrijednosti h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) i zatim ih samo zamijeniti u zadanu funkciju.

h se može izračunati pomoću iste formule kao u formuli za lijeve pravokutnike." [ 6 ]

U praksi se ove metode provode na sljedeći način:

Mathcad ;

excel .

Mathcad ;

excel .

Da biste izračunali integral pomoću formule prosječnih pravokutnika u Excelu, morate izvršiti sljedeće korake:

Nastavite s radom u istom dokumentu kao kod izračunavanja integrala pomoću formula lijevog i desnog pravokutnika.

Unesite tekst xi+h/2 u ćeliju E6, a f(xi+h/2) u ćeliju F6.

Unesite formulu =B7+$B$4/2 u ćeliju E7, kopirajte ovu formulu povlačenjem u raspon ćelija E8:E16

Unesite formulu =ROOT(E7^4-E7^3+8) u ćeliju F7, kopirajte ovu formulu povlačenjem u raspon ćelija F8:F16

Unesite formulu =SUM(F7:F16) u ćeliju F18.

Unesite formulu =B4*F18 u ćeliju F19.

Unesite tekst prosjeka u ćeliju F20.

Kao rezultat toga dobivamo sljedeće:

Odgovor: vrijednost zadanog integrala je 13,40797.

Na temelju dobivenih rezultata možemo zaključiti da je formula za srednji pravokutnik najtočnija od formule za desni i lijevi pravokutnik.

1. Monte Carlo metoda

"Glavna ideja metode Monte Carlo je ponoviti nasumične testove mnogo puta. Karakteristična značajka metode Monte Carlo je korištenje slučajnih brojeva (numeričke vrijednosti neke slučajne varijable). Takvi se brojevi mogu dobiti pomoću generatori slučajnih brojeva Na primjer, programski jezik Turbo Pascal ima standardnu funkciju slučajan, čije su vrijednosti slučajni brojevi ravnomjerno raspoređeni na intervalu . To znači da ako navedeni segment podijelite na određeni broj jednakih intervala i izračunate vrijednost slučajne funkcije veliki broj puta, tada će približno isti broj slučajnih brojeva pasti u svaki interval. U programskom jeziku bazena, sličan senzor je funkcija rnd. U proračunskoj tablici MS Excel, funkcija RAND vraća ravnomjerno raspodijeljeni slučajni broj veći ili jednak 0 i manji od 1 (mijenja se kada se ponovno izračunava)" [ 7 ].

Da biste ga izračunali, morate koristiti formulu () :

Gdje su (i=1, 2, …, n) nasumični brojevi koji leže u intervalu .

Za dobivanje takvih brojeva na temelju niza slučajnih brojeva x i jednoliko raspoređenih u intervalu dovoljno je izvršiti transformaciju x i =a+(b-a)x i .

U praksi se ova metoda provodi na sljedeći način:

Da biste izračunali integral Monte Carlo metodom u Excelu, morate izvršiti sljedeće korake:

U ćeliju B1 unesite tekst n=.

U ćeliju B2 unesite tekst a=.

U ćeliju B3 unesite tekst b=.

Unesite broj 10 u ćeliju C1.

Unesite broj 0 u ćeliju C2.

U ćeliju C3 upišite broj 3.2.

U ćeliju A5 unesite I, u B5 - xi, u C5 - f (xi).

Ćelije A6:A15 popunite brojevima 1,2,3, ..., 10 - budući da je n=10.

Unesite formulu =RAND()*3.2 u ćeliju B6 (brojevi se generiraju u rasponu od 0 do 3.2), kopirajte ovu formulu povlačenjem u raspon ćelija B7:B15.

Unesite formulu =ROOT(B6^4-B6^3+8) u ćeliju C6, kopirajte ovu formulu povlačenjem u raspon ćelija C7:C15.