prigušene vibracije. Dekrement prigušenja

Prigušenje oscilacija je postupno smanjenje amplitude oscilacija tijekom vremena, zbog gubitka energije oscilatornog sustava.

Prirodne vibracije bez prigušenja su idealizacija. Razlozi blijeđenja mogu biti različiti. U mehaničkom sustavu, vibracije su prigušene prisutnošću trenja. U elektromagnetskom krugu energija vibracije je smanjena Gubitak topline u vodičima koji čine sustav. Kad se potroši sva energija pohranjena u oscilirajućem sustavu, oscilacije će prestati. Prema tome, amplituda prigušene oscilacije smanjuje dok ne postane nula.

prigušene vibracije, kao i vlastite, u sustavima koji su po prirodi različiti, mogu se razmatrati iz jedna točka vid – zajedničke osobine. Međutim, takve karakteristike kao što su amplituda i period zahtijevaju redefiniranje, dok druge zahtijevaju dodatke i pojašnjenja u usporedbi s istim karakteristikama za prirodne neprigušene oscilacije. Opći znakovi a koncepti prigušenih oscilacija su sljedeći:

Diferencijalna jednadžba mora se dobiti uzimajući u obzir smanjenje vibracijske energije u procesu oscilacija.

Jednadžba titranja je rješenje diferencijalne jednadžbe.

Amplituda prigušenih oscilacija ovisi o vremenu.

Frekvencija i period ovise o stupnju prigušenja oscilacija.

Faza i početna faza imaju isto značenje kao i za neprigušene oscilacije.

3.1. Mehaničke prigušene vibracije

mehanički sustav: opružno njihalo pod utjecajem sila trenja.

Sile koje djeluju na njihalo:

Elastična sila. , gdje je k koeficijent krutosti opruge, h je pomak njihala iz ravnotežnog položaja.

Sila otpora. Promotrimo silu otpora proporcionalnu brzini kretanja v (takva je ovisnost tipična za veliku klasu sila otpora): . Predznak minus pokazuje da je smjer sile otpora suprotan smjeru brzine tijela. Koeficijent otpora r numerički jednako snazi otpor koji nastaje pri jedinici brzine tijela:

Zakon gibanjaopružno njihalo je Newtonov drugi zakon:

m a = F pr. + F odoljeti.

S obzirom na to i , zapisujemo drugi Newtonov zakon u obliku:

Dijeljenje svih članova jednadžbe s m, prenošenje svih na desna strana, dobivamo diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije:

Označimo , gdje je β faktor prigušenja, , gdje je ω 0 frekvencija neprigušenog slobodnih vibracija u nedostatku gubitaka energije u oscilatornom sustavu.

U novom zapisu diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija ima oblik:

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda.

Jednadžba prigušenog titranja je rješenje sljedeće diferencijalne jednadžbe:

U prilogu 1 prikazano je rješenje diferencijalne jednadžbe prigušenih oscilacija metodom promjene varijabli.

Prigušena frekvencija osciliranja:

(samo pravi korijen ima fizičko značenje, dakle).

Period prigušenih oscilacija:

Značenje koje je stavljeno u koncept perioda za neprigušene oscilacije nije prikladno za prigušene oscilacije, jer se oscilatorni sustav nikada ne vraća u svoje prvobitno stanje zbog gubitka oscilacijske energije. U prisustvu trenja oscilacije su sporije: .

Period prigušenih oscilacija naziva se minimalni vremenski interval za koji sustav dvaput prijeđe ravnotežni položaj u istom smjeru.

Za mehanički sustav opružno njihalo imamo:

, .

Amplituda prigušenih oscilacija:

Za opružno njihalo.

Amplituda prigušenih oscilacija nije konstantna vrijednost, već se mijenja s vremenom to brže što je koeficijent β veći. Stoga se definicija amplitude, dana ranije za neprigušene slobodne oscilacije, mora promijeniti za prigušene oscilacije.

Za malo prigušenje amplituda prigušenih oscilacija zove se najveće odstupanje od ravnotežnog položaja za razdoblje.

Grafikoni Krivulje pomaka u odnosu na vrijeme i amplitude u odnosu na vrijeme prikazane su na slikama 3.1 i 3.2.

Slika 3.1 - Ovisnost pomaka o vremenu za prigušene oscilacije

Slika 3.2 - Ovisnosti amplitude o vremenu za prigušene oscilacije

3.2. Elektromagnetske prigušene oscilacije

Elektromagnetske prigušene oscilacije nastaju u npr elektromagnetski oscilatorni sustav, nazvan LCR - kontura (slika 3.3).

Slika 3.3.

Diferencijalna jednadžba dobivamo koristeći drugi Kirchhoffov zakon za zatvoreni LCR - krug: zbroj padova napona na aktivnom otporu (R) i kondenzatoru (C) jednak je EMF indukcija, razvijen u strujnom krugu:

Pad napona:

Na aktivnom otporu: , gdje je I jakost struje u krugu;

Na kondenzatoru (C): , gdje je q količina naboja na jednoj od ploča kondenzatora.

EMF razvijen u krugu je indukcijski EMF koji se javlja u induktoru kada se struja u njemu mijenja, i stoga magnetski tok kroz svoj dio: (Faradayev zakon).

Zamijenimo vrijednosti U R , U C , u jednadžbu koja odražava Kirchhoffov zakon, dobivamo:

Jačina struje definira se kao derivacija naboja, a diferencijalna jednadžba ima oblik:

Označavamo , , u ovim oznakama dobivamo diferencijalnu jednadžbu prigušenih oscilacija u obliku:

Rješenje diferencijalne jednadžbe odn jednadžba oscilacije naboja na pločama kondenzatora izgleda ovako:

Amplituda prigušenih oscilacija naboja izgleda kao:

Prigušena frekvencija osciliranja u LCR krugu:

Razdoblje prigušene elektromagnetske oscilacije:

Uzmimo onda jednadžbu za naboj u obliku jednadžba naprezanja na pločama kondenzatora može se napisati kao
.

Vrijednost se zove amplituda napona na kondenzatoru.

Trenutno u krugu se mijenja s vremenom. Trenutna jednadžba u konturi može se dobiti pomoću omjera i vektorskog dijagrama.

Konačna jednadžba za jakost struje je:

Gdje - početna faza.

Ona nije jednaka α, jer se jakost struje ne mijenja duž sinusa, što bi dalo izvod naboja, već duž kosinusa.

energija oscilacija u krugu čini energija električnog polja

i energije magnetsko polje

ukupna energija u bilo koje vrijeme:

Gdje W0 – ukupna energija kontura u trenutku t=0 .

3.3. Karakteristike prigušenih oscilacija

1.Faktor prigušenja β.

Promjena amplitude prigušenih oscilacija odvija se prema eksponencijalnom zakonu:

Neka se amplituda oscilacije smanji za "e" puta tijekom vremena τ ("e" je baza prirodnog logaritma, e ≈ 2,718). Zatim, s jedne strane, , a s druge strane, naslikavši amplitude A zat. (t) i A na. (t+τ), imamo . Ovi odnosi impliciraju βτ = 1, dakle

Naziva se vremenski interval τ, tijekom kojeg se amplituda smanjuje za "e" puta vrijeme opuštanja.

Faktor prigušenjaβ je vrijednost obrnuto proporcionalna vremenu relaksacije.

2. logaritamski dekrement prigušenje δ - fizička količina, brojčano jednako prirodni logaritam omjer dviju uzastopnih amplituda vremenski odvojenih periodom.

§6 Prigušene vibracije

Dekrement prigušenja. Logaritamsko smanjenje prigušenja.

Slobodne vibracije tehnički sustavi u stvarnim uvjetima teku kad na njih djeluju sile otpora. Djelovanje tih sila dovodi do smanjenja amplitude oscilirajuće veličine.

Oscilacije, čija amplituda opada s vremenom zbog gubitaka energije realnog oscilatornog sustava, nazivaju se blijedeći.

Najčešći su slučajevi kada je sila otpora proporcionalna brzini kretanja.

Gdje r- srednji koeficijent otpora. Znak minus to pokazujeF Cusmjerena u smjeru suprotnom od brzine.

Napišimo jednadžbu oscilacija u točki koja oscilira u sredstvu čiji je koeficijent otporar. Prema drugom Newtonovom zakonu

gdje je β faktor prigušenja. Ovaj koeficijent karakterizira brzinu prigušenja oscilacija.U prisutnosti sila otpora, energija oscilirajućeg sustava postupno će se smanjivati, oscilacije će se prigušiti.

- diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija.

Na izjednačavanje prigušenih oscilacija.

ω - frekvencija prigušenih oscilacija:

Period prigušenih oscilacija:

Prigušene oscilacije, strogo uzete u obzir, nisu periodične. Stoga možemo govoriti o periodu prigušenih oscilacija kada je β mali.

Ako su slabljenja slabo izražena (β→0), tada. prigušene oscilacije mogu

mogu se smatrati harmoničkim oscilacijama, čija amplituda varira prema eksponencijalnom zakonu

U jednadžbi (1) A 0 i φ 0 proizvoljne konstante ovisne o izboru trenutka vremena, polazeći od kojeg razmatramo oscilacije

Promotrimo oscilaciju tijekom nekog vremena τ, tijekom kojeg će se amplituda smanjivati e jednom

τ - vrijeme relaksacije.

Faktor prigušenja β obrnuto je proporcionalan vremenu tijekom kojeg se amplituda smanjuje e jednom. Međutim, koeficijent prigušenja nije dovoljan za karakterizaciju prigušenja oscilacija. Stoga je potrebno uvesti takvu karakteristiku za prigušenje oscilacija koja uključuje vrijeme jednog titraja. Takva karakteristika je smanjenje(na ruskom: smanjenje) prigušenje D, koji je jednak omjeru amplituda vremenski razdvojenih periodom:

Logaritamsko smanjenje prigušenja jednak je logaritmu D :

Logaritamski dekrement prigušenja je obrnuto proporcionalan broju oscilacija, zbog čega se amplituda oscilacija smanjila u e jednom. Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati sustav.

Druga karakteristika oscilatornog sustava je faktor kvaliteteQ.

Faktor kvalitete proporcionalan je broju oscilacija koje sustav izvrši tijekom vremena relaksacije τ.

Qoscilatorni sustav je mjera relativnog rasipanja (disipacije) energije.

Qoscilatorni sustav naziva se broj koji pokazuje koliko je puta elastična sila veća od sile otpora.

Što je faktor kvalitete veći, dolazi do prigušenja sporije, prigušene oscilacije bliže su slobodnim harmonicima.

§7 Prisilne vibracije.

Rezonancija

U brojnim slučajevima postaje neophodno stvoriti sustave koji rade neprigušene oscilacije. Moguće je dobiti neprigušene oscilacije u sustavu ako se gubici energije kompenziraju djelovanjem na sustav periodički promjenjivom silom.

Neka

Napišimo izraz za jednadžbu gibanja materijalne točke koja pod djelovanjem pogonske sile izvodi harmonično oscilatorno gibanje.

Prema drugom Newtonovom zakonu:

(1)

Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija.

Ova diferencijalna jednadžba je linearno nehomogena.

Njegovo rješenje je jednako zbroju zajedničko rješenje homogena jednadžba i privatna odluka nehomogena jednadžba:

Nađimo partikularno rješenje nehomogene jednadžbe. Da bismo to učinili, prepisujemo jednadžbu (1) u sljedećem obliku:

(2)

Pojedinačno rješenje ove jednadžbe tražit ćemo u obliku:

Zatim

Zamjena u (2):

jer izvedena za bilo kojit, onda mora vrijediti jednakost γ = ω, dakle,

Ovaj složeni broj zgodno je prikazati u obliku

Gdje A određuje se formulom (3 u nastavku), a φ - formulom (4), dakle, rješenje (2), u složeni oblik ima oblik

Njegov realni dio, koji je bio rješenje jednadžbe (1), jednak je:

Gdje

(3)

(4)

Pojam H o.o. igra bitnu ulogu samo u početno stanje kada se uspostavljaju oscilacije dok amplituda prisilnih oscilacija ne dosegne vrijednost određenu jednadžbom (3). U ustaljenom stanju javljaju se prisilne oscilacije s frekvencijom ω i harmonijske su. Amplituda (3) i faza (4) prisilnih oscilacija ovise o frekvenciji pogonske sile. Na određenu frekvenciju amplituda pogonske sile može doseći vrlo velike vrijednosti. Naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija pogonske sile približi vlastitoj frekvenciji mehaničkog sustava naziva se rezonancija.

Frekvencija ω pogonske sile pri kojoj se opaža rezonancija naziva se rezonantna. Da bismo pronašli vrijednost ω res, potrebno je pronaći uvjet za maksimalnu amplitudu. Da biste to učinili, potrebno je odrediti minimalni uvjet za nazivnik u (3) (tj. ispitati (3) za ekstrem).

Ovisnost amplitude oscilirajuće veličine o frekvenciji pogonske sile naziva se krivulja rezonancije. Krivulja rezonancije bit će to viša što je faktor prigušenja β niži, a sa smanjenjem β maksimum krivulje rezonancije će se pomaknuti udesno. Ako je β = 0, tada

ω res = ω 0 .

Pri ω→0 sve krivulje dolaze na vrijednost- statičko odstupanje.

Parametarska rezonancija nastaje kada periodična promjena jednog od parametara sustava dovodi do naglog povećanja amplitude oscilirajućeg sustava. Na primjer, kabine koje čine "sunce" promjenom položaja težišta sustava. (Isto u "čamcima".) Vidi §61.t. 1 Saveljev I.V.

Samooscilacije nazivaju se takve oscilacije, čija se energija povremeno obnavlja kao rezultat utjecaja samog sustava zbog izvora energije koji se nalazi u istom sustavu. Vidi §59 v.1 Savelyev I.V.

Oscilatorno kretanje je svako kretanje koje se periodički ponavlja. Dakle, ovisnosti koordinate i brzine tijela o vremenu tijekom oscilacija opisuju se periodičkim funkcijama vremena. U školski tečaj fizičari smatraju takve oscilacije u kojima su ovisnosti i brzine tijela trigonometrijske funkcije , ili njihova kombinacija, gdje je neki broj. Takve oscilacije nazivamo harmonijskim (funkcijama I često nazivane harmonijskim funkcijama). Za rješavanje problema za vibracije uključene u program jedinstvenog državni ispit u fizici morate znati definicije glavnih karakteristika oscilatorno gibanje: amplituda, period, frekvencija, kružna (ili ciklička) frekvencija i faza titranja. Navedimo ove definicije i povežimo nabrojane veličine s parametrima ovisnosti koordinate tijela o vremenu, koji se kod harmonijskih oscilacija uvijek mogu prikazati kao

gdje su , i neki brojevi.

Amplituda titranja je najveće odstupanje tijela koje oscilira od ravnotežnog položaja. Jer maksimalno i minimalna vrijednost kosinusa u (11.1) jednak ±1, tada je amplituda titraja tijela koje oscilira (11.1) jednaka . Period titranja je minimalno vrijeme nakon kojeg se gibanje tijela ponavlja. Za ovisnost (11.1), razdoblje se može postaviti prema sljedećim razmatranjima. kosinus - periodična funkcija s točkom. Dakle, kretanje se potpuno ponavlja kroz takvu vrijednost da . Odavde dobivamo

Kružna (ili ciklička) frekvencija titranja je broj titraja u jedinici vremena. Iz formule (11.3) zaključujemo da je kružna frekvencija vrijednost iz formule (11.1).

Faza oscilacije je argument trigonometrijske funkcije koja opisuje ovisnost koordinate o vremenu. Iz formule (11.1) vidimo da je faza titranja tijela, čije je gibanje opisano ovisnošću (11.1), jednaka . Vrijednost faze titranja u trenutku = 0 naziva se početna faza. Za ovisnost (11.1) početna faza oscilacija jednaka je vrijednosti . Očito, početna faza oscilacija ovisi o izboru vremenske referentne točke (moment = 0), koja je uvijek uvjetna. Promjenom ishodišta vremenske referentne točke početna faza oscilacija može se uvijek "učiniti" jednakom nuli, a sinus u formuli (11.1) "pretvoriti" u kosinus ili obrnuto.

Program jedinstvenog državnog ispita također uključuje poznavanje formula za frekvenciju osciliranja opruge i matematičkog njihala. Opružnim njihalom uobičajeno je nazivati tijelo koje može oscilirati na glatkoj vodoravnoj površini pod djelovanjem opruge, čiji je drugi kraj fiksiran (lijeva slika). Matematičko njihalo je masivno tijelo čije se dimenzije mogu zanemariti, a oscilira na dugoj, bestežinskoj i nerastezljivoj niti (desna slika). Naziv ovog sustava - "matematičko njihalo" je zbog činjenice da je apstraktan matematički pravi model ( fizički) njihala. Potrebno je zapamtiti formule za period (ili frekvenciju) oscilacija opruge i matematičkog njihala. Za opružno njihalo

gdje je duljina niti, je ubrzanje slobodan pad. Razmotrite primjenu ovih definicija i zakona na primjeru rješavanja problema.

Da biste pronašli cikličku frekvenciju opterećenja u zadatak 11.1.1 pronađimo najprije period titranja, a zatim upotrijebimo formulu (11.2). Kako je 10 m 28 s 628 s, a za to vrijeme teret napravi 100 oscilacija, period titranja tereta je 6,28 s. Stoga je frekvencija cikličke oscilacije 1 s -1 (odgovor 2 ). U zadatak 11.1.2 teret je napravio 60 oscilacija u 600 s, pa je frekvencija osciliranja 0,1 s -1 (odgovor 1 ).

Da shvatim što put će proći teret za 2,5 razdoblja ( zadatak 11.1.3), pratite njegovo kretanje. Nakon određenog razdoblja teret će se vratiti na točku najvećeg otklona, stvarajući potpunu oscilaciju. Stoga, tijekom tog vremena, opterećenje proći će udaljenost, jednako četiri amplitude: do ravnotežnog položaja - jedna amplituda, od ravnotežnog položaja do točke najvećeg odstupanja u drugom smjeru - druga, natrag u ravnotežni položaj - treća, od ravnotežnog položaja do početne točke - četvrti. Tijekom drugog razdoblja, opterećenje će ponovno proći četiri amplitude, a za preostalu polovicu razdoblja - dvije amplitude. Dakle, prijeđena udaljenost jednaka je deset amplituda (odgovor 4 ).

Količina kretanja tijela je udaljenost od početne do krajnje točke. Za 2,5 razdoblja u zadatak 11.1.4 tijelo će imati vremena da izvrši dvije pune i polupune oscilacije, tj. bit će na najvećem odstupanju, ali s druge strane ravnotežnog položaja. Stoga je iznos pomaka jednak dvjema amplitudama (odgovor 3 ).

Po definiciji, faza oscilacija je argument trigonometrijske funkcije, koja opisuje ovisnost koordinate oscilirajućeg tijela o vremenu. Stoga je točan odgovor zadatak 11.1.5 - 3 .

Period je vrijeme potpunog titranja. To znači da povratak tijela natrag u istu točku iz koje se tijelo počelo kretati ne znači da je razdoblje prošlo: tijelo se mora vratiti u istu točku istom brzinom. Na primjer, tijelo, koje je započelo oscilacije iz ravnotežnog položaja, tijekom razdoblja će imati vremena odstupiti za maksimalnu vrijednost u jednom smjeru, vratiti se, odstupiti do maksimuma u drugom smjeru i ponovno se vratiti. Stoga će tijekom razdoblja tijelo imati vremena dvaput odstupiti za najveću vrijednost od ravnotežnog položaja i vratiti se natrag. Dakle, prijelaz iz ravnotežnog položaja do točke najvećeg odstupanja ( zadatak 11.1.6) tijelo potroši četvrti dio perioda (odgovor 3 ).

Takve oscilacije nazivamo harmoničkim, kod kojih je ovisnost koordinate tijela koje oscilira o vremenu opisana trigonometrijskom (sinus ili kosinus) funkcijom vremena. U zadatak 11.1.7 ovo su funkcije i, unatoč činjenici da su parametri uključeni u njih označeni kao 2 i 2. Funkcija je trigonometrijska funkcija kvadrata vremena. Stoga su fluktuacije samo količina i harmonične (odgovor 4 ).

Na harmonijske vibracije brzina tijela mijenja se po zakonu , gdje je amplituda oscilacija brzine (referenca vremena je odabrana tako da početna faza oscilacija bude jednaka nuli). Odavde nalazimo ovisnost kinetičke energije tijela o vremenu
(zadatak 11.1.8). Koristeći dobro poznate trigonometrijska formula, dobivamo

Iz ove formule proizlazi da kinetička energija tijelo se tijekom harmonijskog titranja mijenja također po harmonijskom zakonu, ali s udvostručenom frekvencijom (odgovor 2 ).

Iza omjera između kinetičke energije tereta i potencijalne energije opruge ( zadatak 11.1.9) može se lako pratiti iz sljedećih razmatranja. Kada je tijelo maksimalno otklonjeno od položaja ravnoteže, brzina tijela je nula, pa je potencijalna energija opruge veća od kinetičke energije tereta. Nasuprot tome, kad tijelo prijeđe položaj ravnoteže, potencijalna energija opruge je nula, pa je stoga kinetička energija veća od potencijalne. Stoga se između prolaska ravnotežnog položaja i najvećeg odstupanja kinetička i potencijalna energija uspoređuju jednom. A budući da tijekom razdoblja tijelo četiri puta prijeđe iz ravnotežnog položaja do najvećeg otklona ili obrnuto, tada se tijekom razdoblja kinetička energija tereta i potencijalna energija opruge međusobno uspoređuju četiri puta (odgovor je 2 ).

Amplituda fluktuacija brzine ( zadatak 11.1.10) najlakše je pronaći prema zakonu održanja energije. U točki najvećeg otklona energija oscilatornog sustava jednaka je potencijalna energija opruge , gdje je koeficijent krutosti opruge, je amplituda oscilacija. Pri prolasku kroz položaj ravnoteže energija tijela jednaka je kinetičkoj energiji , gdje je masa tijela, brzina tijela pri prolasku kroz ravnotežni položaj, koja je maksimalna brzina tijelo u procesu osciliranja i, prema tome, predstavlja amplitudu oscilacija brzine. Izjednačavajući ove energije, nalazimo

(odgovor 4 ).

Iz formule (11.5) zaključujemo ( zadatak 11.2.2), koji je iz mase matematičko njihalo njegov period ne ovisi, a s povećanjem duljine za 4 puta, period oscilacija se povećava za 2 puta (odgovor je 1 ).

Sat je oscilatorni proces, koji se koristi za mjerenje vremenskih intervala ( zadatak 11.2.3). Riječi sat "juri" znače da je razdoblje ovog procesa manje od toga kakav bi trebao biti. Stoga, da bi se razjasnio tijek ovih satova, potrebno je povećati razdoblje procesa. Prema formuli (11.5), da bi se povećao period titranja matematičkog njihala, potrebno je povećati njegovu duljinu (odgovor je 3 ).

Da biste pronašli amplitudu oscilacija u zadatak 11.2.4, potrebno je prikazati ovisnost koordinate tijela o vremenu u obliku jedne trigonometrijske funkcije. Za funkciju zadanu u uvjetu to se može učiniti uvođenjem dodatnog kuta. Množenje i dijeljenje ove funkcije s a koristeći adicionu formulu trigonometrijske funkcije, dobivamo

gdje je kut takav da . Iz ove formule proizlazi da je amplituda oscilacija tijela (odgovor 4 ).

Sada želimo malo razgovarati o tome kako se amplitude vjerojatnosti ponašaju tijekom vremena. Kažemo “malo” jer zapravo ponašanje u vremenu nužno uključuje i ponašanje u prostoru. Dakle, u želji da to ponašanje opišemo sa svom ispravnošću i detaljima, odmah se nalazimo u vrlo teškoj poziciji. Pred nama se pojavljuje naša stalna poteškoća - ili proučavati nešto strogo logično, ali apsolutno apstraktno, ili ne razmišljati o strogosti, već dati neku ideju o pravom stanju stvari, odgađajući temeljitiju studiju za kasnije. Sada, govoreći o ovisnosti amplituda o energiji, namjeravamo odabrati drugu metodu. Bit će dat niz izjava. Pritom nećemo nastojati biti rigorozni, već ćemo vam jednostavno reći što je pronađeno kako biste mogli osjetiti kako se amplitude ponašaju tijekom vremena. Kako budemo napredovali, točnost opisa će se povećavati, stoga nemojte biti nervozni gledajući mađioničara kako izvlači stvari iz zraka. One doista dolaze iz nečeg nematerijalnog – iz duha eksperimenta i iz mašte mnogih ljudi. Ali prođite kroz sve faze povijesni razvoj tema je jako dugačka, nešto će se jednostavno morati preskočiti. Moglo bi se uroniti u apstrakcije i sve striktno zaključiti (ali teško da biste to razumjeli) ili proći kroz mnoge eksperimente potvrđujući njima svaku svoju tvrdnju. Izabrat ćemo nešto između.

Jedan elektron u praznom prostoru može pod određenim uvjetima imati točno određenu energiju. Na primjer, ako miruje (tj. nema ni pomaka, ni zamaha, ni kinetičke energije), tada ima energiju mirovanja. Složeniji objekt, poput atoma, također može, u stanju mirovanja, imati određenu energiju, ali se može pokazati i interno pobuđenim - pobuđenim na različitu energetsku razinu. (Mehanizam za to ćemo opisati kasnije.) Često smo opravdani kada pretpostavimo da atom u pobuđenom stanju ima određenu energiju; međutim, u stvarnosti je to istina samo približno. Atom ne ostaje zauvijek uzbuđen, jer uvijek nastoji isprazniti svoju energiju u interakciji s elektromagnetsko polje. Dakle, uvijek postoji neka amplituda da će nastati novo stanje - s atomom u najnižem stanju pobuđenosti i elektromagnetskim poljem u najvišem. Ukupna energija sustava i prije i poslije je ista, ali energija atoma opada. Dakle, nije točno reći da pobuđeni atom ima određenu energiju; ali često je zgodno tako reći i nije jako pogrešno.

[Usput, zašto sve teče u jednom smjeru, a ne u drugom? Zašto atom emitira svjetlost? Odgovor je povezan s entropijom. Kada je energija u elektromagnetskom polju, pred njom se otvara toliko različitih puteva - toliko različitih mjesta gdje može doći - da smo, tražeći stanje ravnoteže, uvjereni da se u najvjerojatnijem položaju polje pokazuje pobuđeno jedan foton, a atom je nepobuđen. I potrebno je puno vremena da se foton vrati i otkrije da može pobuditi atom natrag. Ovo je potpuno slično klasični problem: zašto ubrzani naboj zrači? Ne zato što "želi" izgubiti energiju, ne, jer zapravo, kada on zrači, energija svijeta ostaje ista kao i prije. Samo što zračenje ili apsorpcija uvijek ide u smjeru povećanja entropije.]

Jezgre također mogu postojati na različitim energetskim razinama, iu aproksimaciji kada se zanemari elektromagnetski učinci, imamo pravo reći da jezgra u pobuđenom stanju ostaje takva. Iako znamo da to neće ostati tako zauvijek, često je korisno započeti s donekle idealiziranom aproksimacijom koju je lakše razmotriti. Osim toga, u nekim je okolnostima ovo zakonska aproksimacija. (Kad smo se prvi put predstavili klasični zakoni tijela koja padaju, nismo uzeli u obzir trenje, a gotovo nikada se ne događa da trenja uopće nema.)

Osim toga, postoje i "čudne čestice" različitih masa. Ali oni masivniji se raspadaju u lakši, pa bi opet bilo pogrešno reći da im je energija točno određena. To bi bila istina da su ustrajali zauvijek. Dakle, kada približno smatramo da imaju određenu energiju, zaboravljamo da se moraju raspasti. Ali sada ćemo namjerno zaboraviti na takve procese, a kasnije, s vremenom, naučit ćemo ih i uzeti u obzir.

Neka postoji atom (ili elektron, ili bilo koja čestica) koja ima određenu energiju u mirovanju. Pod energijom podrazumijevamo masu svega toga pomnoženu s . Masa uključuje svaku unutarnju energiju; stoga se masa pobuđenog atoma razlikuje od mase istog atoma, ali u osnovnom stanju. (Osnovno stanje znači stanje s najnižom energijom.) Nazovimo to "energija mirovanja".

Za atom u mirovanju, kvantno-mehanička amplituda da se on nađe na nekom mjestu posvuda je ista; ne ovisi o poziciji. To, naravno, znači da je vjerojatnost pronalaska atoma bilo gdje ista. Ali znači još više. Vjerojatnost nije mogla ovisiti o položaju, a faza amplitude se ipak mogla mijenjati od točke do točke. Ali za česticu u mirovanju, ukupna amplituda je posvuda ista. Međutim, to ovisi o vremenu. Za česticu u stanju određene energije, amplituda za otkrivanje čestice u točki u trenutku jednaka je

gdje je neka konstanta. Amplituda boravka na toj i toj točki prostora je ista za sve točke, ali ovisi o vremenu prema (5.1). Jednostavno ćemo pretpostaviti da je ovo pravilo uvijek istinito.

Naravno, (5.1) se može napisati i na sljedeći način:

a je masa mirovanja atomskog stanja ili čestice. Postoje tri različita načina određivanja energije: pomoću frekvencije amplitude, energije u klasičnom smislu ili inercijske mase. Svi su jednaki; jednostavno je različiti putevi izraziti isto.

Možda vam se čini čudnim zamisliti da se "čestica" iste amplitude pojavljuje bilo gdje u svemiru. Uostalom, između ostalog, "česticu" uvijek zamišljamo kao mali predmet nalazi se "negdje". Ali ne zaboravite na princip nesigurnosti. Ako čestica ima određenu energiju, onda ima i određeni impuls. Ako je nesigurnost u momentu jednaka nuli, tada relacija nesigurnosti kaže da nesigurnost u položaju mora biti beskonačna; to je ono što govorimo kada kažemo da postoji ista amplituda za detekciju čestice u svim točkama u prostoru.

Ako su unutarnji dijelovi atoma u različitom stanju s različitom ukupnom energijom, tada amplituda varira s vremenom na drugačiji način. A ako ne znate u kojem je stanju atom, onda će postojati neka amplituda postojanja u jednom stanju i neka amplituda postojanja u drugom, a svaka od tih amplituda će imati svoju frekvenciju. Između ove dvije različite komponente postojat će smetnje poput otkucaja, koje se mogu pojaviti kao promjenjiva vjerojatnost. Nešto će se "kuhati" unutar atoma, čak i ako "miruje" u smislu da se njegovo središte mase ne pomiče. Ako atom ima samo jednu određenu energiju, tada je amplituda dana formulom (5.1) i kvadrat modula amplitude ne ovisi o vremenu. Dakle, vidite da ako je energija neke stvari definirana, i ako pitate "anketu o vjerojatnosti nečega u toj stvari, tada odgovor ne ovisi o vremenu. Iako same amplitude ovise o vremenu, ali ako je energija sigurna, mijenjaju se kao imaginarni eksponent i apsolutna vrijednost(modul) ih ne mijenja.

Zbog toga često kažemo da je atom na određenom razina energije je u stacionarnom stanju. Ako mjerite nešto unutar toga, ustanovit ćete da se ništa (vjerojatno) ne mijenja tijekom vremena. Da bi se vjerojatnost mijenjala tijekom vremena, mora postojati interferencija dviju amplituda na dvije različite frekvencije, što bi značilo da se ne zna kolika je energija. Objekt bi imao jednu amplitudu bivanja u stanju s jednom energijom i drugu amplitudu bivanja u stanju s drugom energijom. Tako se nešto opisuje u kvantnoj mehanici ako ponašanje tog "nečega" ovisi o vremenu.

Ako postoji slučaj u kojem su pomiješana dva različita stanja s različitim energijama, tada se amplitude svakog od dva stanja mijenjaju s vremenom prema jednadžbi (5.2), recimo, kao

A ako postoji kombinacija ova dva stanja, tada će se pojaviti smetnje. Ali imajte na umu da dodavanje iste konstante objema energijama ne mijenja ništa. Ako je netko drugi koristio drugačiju energetsku ljestvicu, na kojoj su sve energije pomaknute za konstantu (recimo, za), tada bi amplitude koje bi bile u ova dva stanja, s njegove točke gledišta, bile

Sve njegove amplitude bile bi pomnožene istim faktorom , a u svim linearnim kombinacijama, u svim smetnjama, znojio bi se isti množitelj. Izračunavajući module za određivanje vjerojatnosti, došao bi do istih odgovora. Odabir referentne točke na našoj ljestvici energija ne mijenja ništa; energija se može računati od bilo koje nule. U relativističkim problemima ugodnije je mjeriti energiju tako da masa mirovanja ulazi u nju, ali za mnoge druge nerelativističke svrhe često je bolje oduzeti od svih energija koje se pojavljuju standardna vrijednost. Na primjer, u slučaju atoma obično je zgodno oduzeti energiju, gdje je masa njegovih pojedinačnih dijelova, jezgre i elektrona, koja se, naravno, razlikuje od mase samog atoma. U drugim zadacima korisno je oduzeti broj od svih energija, gdje je masa cijelog atoma u osnovnom stanju; tada je preostala energija jednostavno energija pobude atoma. To znači da ponekad imamo pravo vrlo, vrlo snažno pomaknuti našu energetsku nulu, a to još uvijek ništa ne mijenja (pod uvjetom da su sve energije u ovom konkretnom izračunu pomaknute za isti broj). Na ovom ćemo se rastati s česticama u mirovanju.

5. poglavlje

OVISNOST AMPLITUDA O VREMENU

§ 1. Atomi u mirovanju; stacionarna stanja

§ 2. Jednoliko gibanje

§ 3. Potencijalna energija; očuvanje energije

§ 4. Sile; klasična granica

§ 5. "Precesija" čestice sa spinom 1/2

Ponoviti: CH. 17 (broj 2) "Prostor-vrijeme"; CH. 48 (broj 4) "Otkucaji"

§ 1. Atomi u mirovanju; stacionarna stanja

Sada želimo malo razgovarati o tome kako se amplitude vjerojatnosti ponašaju tijekom vremena. Kažemo “malo” jer zapravo ponašanje u vremenu nužno uključuje i ponašanje u prostoru. Dakle, u želji da to ponašanje opišemo sa svom ispravnošću i detaljima, odmah se nalazimo u vrlo teškoj poziciji. Pred nama se pojavljuje naša stalna poteškoća - ili proučavati nešto strogo logično, ali apsolutno apstraktno, ili ne razmišljati o strogosti, već dati neku ideju o pravom stanju stvari, odgađajući temeljitiju studiju za kasnije. Sada, govoreći o ovisnosti amplituda o energiji, namjeravamo odabrati drugu metodu. Bit će dat niz izjava. Pritom nećemo nastojati biti rigorozni, već ćemo vam jednostavno reći što je pronađeno kako biste mogli osjetiti kako se amplitude ponašaju tijekom vremena. Kako budemo napredovali, točnost opisa će se povećavati, stoga nemojte biti nervozni gledajući mađioničara kako izvlači stvari iz zraka. One doista dolaze iz nečeg nematerijalnog – iz duha eksperimenta i iz mašte mnogih ljudi. Ali prolazak kroz sve faze povijesnog razvoja subjekta je vrlo duga stvar, nešto će se jednostavno morati preskočiti. Moglo bi se uroniti u apstrakcije i sve striktno zaključiti (ali teško da biste to razumjeli) ili proći kroz mnoge eksperimente potvrđujući njima svaku svoju tvrdnju. Izabrat ćemo nešto između.

Pojedinačni elektron u praznom prostoru može, pod određenim uvjetima, imati točno određenu energiju. Na primjer, ako miruje (tj. nema ni pomaka, ni zamaha, ni kinetičke energije), tada ima energiju mirovanja. Složeniji objekt, poput atoma, također može, u stanju mirovanja, imati određenu energiju, ali se može pokazati i interno pobuđenim - pobuđenim na različitu energetsku razinu. (Mehanizam za to ćemo opisati kasnije.) Često smo opravdani kada pretpostavimo da atom u pobuđenom stanju ima određenu energiju; međutim, u stvarnosti je to istina samo približno. Atom ne ostaje zauvijek uzbuđen, jer uvijek nastoji isprazniti svoju energiju interakcijom s elektromagnetskim poljem. Tako da uvijek postoji neka amplituda da će nastati novo stanje - s atomom unutra najniže stanje pobuda i elektromagnetsko polje u višim. Ukupna energija sustava prije i poslije je ista, ali energija atom smanjuje se. Dakle, nije točno reći da pobuđeni atom ima određeni energija; ali često je zgodno tako reći i nije jako pogrešno.

[Usput, zašto sve teče u jednom smjeru, a ne u drugom? Zašto atom emitira svjetlost? Odgovor je povezan s entropijom. Kada je energija u elektromagnetskom polju, pred njom postoji toliko različitih puteva - toliko različitih mjesta gdje može doći - da smo, tražeći stanje ravnoteže, uvjereni da u najvjerojatnijem u tom položaju ispada da je polje pobuđeno jednim fotonom, a atom - nepobuđenim. I potrebno je mnogo vremena da se foton vrati i otkrije da može pobuditi atom natrag. Ovo je potpuno analogno klasičnom problemu: zašto ubrzani naboj zrači? Ne zato što "želi" izgubiti energiju, ne, jer zapravo, kada on zrači, energija svijeta ostaje ista kao i prije. Samo što emisija ili apsorpcija uvijek ide u smjeru rasta. entropija.

Jezgre mogu postojati i na različitim energetskim razinama, au aproksimaciji kada se zanemare elektromagnetski učinci, imamo pravo reći da jezgra u pobuđenom stanju takva i ostaje. Iako znamo da to neće ostati tako zauvijek, često je korisno započeti s donekle idealiziranom aproksimacijom koju je lakše razmotriti. Osim toga, u nekim je okolnostima ovo zakonska aproksimacija. (Kada smo prvi put predstavili klasične zakone pada tijela, nismo uzeli u obzir trenje, a gotovo se nikada ne događa da trenje uopće nisu imali.)

Neka postoji atom (ili elektron, ili bilo koja čestica) koja ima određenu energiju u mirovanju E 0 . Ispod energije E 0 mislimo na masu svega ovoga, pomnoženu s S 2. Masa uključuje svaku unutarnju energiju; stoga se masa pobuđenog atoma razlikuje od mase istog atoma, ali u osnovnom stanju. (Osnovni, temeljni stanje znači stanje s najmanjom energijom.) Nazovimo E 0 energija odmora. Za atom u državi odmor, kvantno mehanički amplituda pronaći negdje posvuda isto; iz njezine pozicije ne ovisi. Ovo, naravno, znači to vjerojatnost pronalaska atom bilo gdje je isti. Ali znači još više. Vjerojatnost ne može ovisiti o situaciji, ali faza amplitude još bi se moglo mijenjati od točke do točke. Ali za česticu u mirovanju, ukupna amplituda je posvuda ista. Međutim, ovisi o vrijeme. Za česticu u stanju određene energije E 0 , amplituda detektirati česticu u točki (x, y, z) u trenutku t jednako je

Gdje A - neka konstanta. Amplituda boravka na toj i toj točki prostora je ista za sve točke, ali ovisi o vremenu prema (5.1). Jednostavno ćemo pretpostaviti da je ovo pravilo uvijek istinito.

Naravno, (5.1) se može napisati i na sljedeći način:

A M je masa mirovanja atomskog stanja ili čestice. Postoje tri različita načina određivanja energije: pomoću frekvencije amplitude, energije u klasičnom smislu ili inercijske mase. Svi su jednaki; to su samo različiti načini izražavanja iste stvari.

Možda vam se čini čudnim zamisliti da se "čestica" iste amplitude pojavljuje bilo gdje u svemiru. Uostalom, između ostalog, uvijek zamišljamo "česticu" kao mali objekt koji se nalazi "negdje". Ali ne zaboravite na princip nesigurnosti. Ako čestica ima određenu energiju, onda ima i određeni impuls. Ako je nesigurnost količine kretanja jednaka nuli, tada je relacija nesigurnosti D R D x=h kaže da neizvjesnost u položaju mora biti beskonačna; to je ono što govorimo kada kažemo da postoji ista amplituda za detekciju čestice u svim točkama u prostoru.

Ako su unutarnji dijelovi atoma u različitom stanju s različitom ukupnom energijom, tada amplituda varira s vremenom na drugačiji način. A ako ne znate u kojem je stanju atom, onda će postojati neka amplituda postojanja u jednom stanju i neka amplituda postojanja u drugom, a svaka od tih amplituda će imati svoju frekvenciju. Između ove dvije različite komponente postojat će smetnje poput otkucaja, koje se mogu pojaviti kao promjenjiva vjerojatnost. Nešto će se "kuhati" unutar atoma, čak i ako "miruje" u smislu da se njegovo središte mase ne pomiče. Ako atom ima samo jednu određenu energiju, tada je amplituda dana formulom (5.1) i kvadrat modula amplitude ne ovisi o vremenu. Dakle, vidite da ako je energija neke stvari određena i ako postavite pitanje o vjerojatnosti nešto u ovoj stvari, onda odgovor ne ovisi o vremenu. Iako sami amplituda ovise o vremenu, ali ako energija siguran, mijenjaju se kao imaginarni eksponent i ne mijenja im se apsolutna vrijednost (modul).

Zbog toga često kažemo da je atom na određenoj energetskoj razini in stacionarno stanje. Ako mjerite nešto unutar toga, ustanovit ćete da se ništa (vjerojatno) ne mijenja tijekom vremena. Da bi se vjerojatnost mijenjala tijekom vremena, mora postojati interferencija dviju amplituda na dvije različite frekvencije, što bi značilo da se ne zna kolika je energija. Objekt bi imao jednu amplitudu bivanja u stanju s jednom energijom i drugu amplitudu bivanja u stanju s drugom energijom. Dakle u kvantna mehanika opisuje nešto ako ponašanje ovo "nešto" ovisi o vremenu.

Ako postoji slučaj u kojem su pomiješana dva različita stanja s različitim energijama, tada se amplitude svakog od dva stanja mijenjaju s vremenom prema jednadžbi (5.2), recimo, kao

A ako postoji kombinacija ova dva stanja, tada će se pojaviti smetnje. Ali imajte na umu da dodavanje iste konstante objema energijama ne mijenja ništa. Ako je netko drugi koristio drugačiju skalu energija, na kojoj su sve energije pomaknute za konstantu (recimo, za A), onda bi amplitude koje bi bile u ova dva stanja, s njegove točke gledišta, bile

Sve njegove amplitude bile bi pomnožene istim faktorom

iskustvo [- i(A/h)/t], a u sve linearne kombinacije, u sve interferencije, ulazio bi isti množitelj. Izračunavajući module za određivanje vjerojatnosti, došao bi do istih odgovora. Odabir referentne točke na našoj ljestvici energija ne mijenja ništa; energija se može računati od bilo koje nule. U relativističkim problemima ugodnije je mjeriti energiju na takav način da uključuje masu mirovanja, ali za mnoge druge nerelativističke svrhe često je bolje oduzeti standardnu vrijednost od svih energija koje se pojavljuju. Na primjer, u slučaju atoma obično je prikladno oduzeti energiju M s od 2, gdje je M s - težina pojedinac njegovi dijelovi, jezgra i elektroni, razlikuju se, naravno, od mase samog atoma. U drugim problemima korisno je oduzeti broj od svih energija M g c 2 , Gdje M g - masa cijelog atoma uglavnom država; tada je preostala energija jednostavno energija pobude atoma. To znači da ponekad imamo pravo na pomak, naša energetska nula je vrlo, vrlo jaka, i dalje ništa ne mijenja (pod uvjetom da su sve energije u ovom konkretnom izračunu pomaknute za isti broj). Na ovom ćemo se rastati s česticama u mirovanju.

§ 2. Jednoliko gibanje

Ako pretpostavimo da je teorija relativnosti točna, tada čestica u mirovanju u jednoj inercijski sustav, u drugom inercijalnom okviru može biti u jednoliko kretanje. U okviru mirovanja čestice, amplituda vjerojatnosti za sve x, y I z isto, ali ovisi o t. Vrijednost amplitude za sve t isto, i faza ovisi o t. Možemo dobiti sliku ponašanja amplitude ako crtamo linije jednake faze (recimo nula) kao funkcije x I t. Za česticu u mirovanju, ove linije jednake faze su paralelne s osi x a nalaze se duž osi t na jednake udaljenosti(prikazano točkastim linijama na sl. 5.1).

sl. 5.1. Relativistička transformacija amplitude u mirovanju. čestica u x-t sustav.

U drugom sustavu X", y", z", t", krećući se u odnosu na česticu, recimo, u pravcu X, koordinate X" I t" neka privatna točka u prostoru povezana s x I t Lorentzova transformacija. Ova se transformacija može grafički prikazati crtanjem osi X" I t", kao što je prikazano na Sl. 5.1 [vidi CH. 17 (broj 2), sl. 17.2]. Vidite to u sustavu x"--t" točke jednake faze duž osi t" nalaze na različitim udaljenostima, pa je učestalost vremenskih promjena već različita. Osim toga, faza se mijenja X". tj. amplituda vjerojatnosti mora biti funkcija X".

Pod Lorentzovom transformacijom za brzinu v usmjerena, recimo, u negativnom smjeru X. vrijeme t vezano uz vrijeme t" formula

a sada se naša amplituda mijenja ovako:

U šrafiranom sustavu varira u prostoru i vremenu. Ako je amplituda napisana kao

jasno je da E" R =E 0 /C( 1-v 2 /s 2). To je energija izračunata prema klasičnim pravilima za česticu s energijom mirovanja E 0 , krećući se brzinom v; p"=E" str v/c 2 - odgovarajući moment količine gibanja čestice.

Znaš li to x m =(t, x, y, z) i R m =(E, str x , R g , R G ) su četiri vektora, a str m x m = et-r x-skalarna invarijanta. U okviru čestičnog mirovanja str m x m samo jednako Et; znači, kada se pretvori u drugi sustav Et treba zamijeniti s

Dakle, amplituda vjerojatnosti za česticu čiji je impuls R, bit će proporcionalna

Gdje E R - energija čestica s količinom gibanja R, tj.

A E 0 , kao i prije, energija odmora. U nerelativističkim problemima može se pisati

Gdje W str - višak (ili nedostatak) energije u odnosu na energiju mirovanja M s iz 2 dijela atoma. Općenito, u W str morala bi ući i kinetička energija atoma i njegova energija vezanja ili ekscitacije, koja se može nazvati "unutarnjom" energijom. Onda bismo pisali

a amplitude bi izgledale

Sve izračune provodit ćemo nerelativistički, pa ćemo koristiti ovu vrstu amplituda vjerojatnosti.

Imajte na umu da nam je naša relativistička transformacija dala formulu za promjenu amplitude atoma koji se kreće kroz prostor bez potrebe za bilo kakvim dodatnim pretpostavkama. Valni broj njegovih promjena u prostoru, kako slijedi iz (5.9), jednak je

a time i valnu duljinu

To je ista valna duljina koju smo prije koristili za čestice s količinom gibanja R. Na taj je način de Broglie prvi došao do ove formule. Za pokretnu česticu frekvencija promjena amplitude i dalje je dana formulom

Apsolutna vrijednost (5.9) jednostavno je jednaka jedinici, tako da za česticu koja se kreće s određenu energiju vjerojatnost da ćete ga pronaći svugdje je ista i ne mijenja se tijekom vremena. (Važno je napomenuti da je amplituda sveobuhvatan val. Ako bismo koristili pravu sinusoidu, tada bi se njezin kvadrat od točke do točke mijenjao, što bi bilo pogrešno.)

Naravno, znamo da postoje slučajevi gdje se čestice kreću s jednog mjesta na drugo, tako da vjerojatnost ovisi o lokaciji i mijenja se tijekom vremena. Kako treba opisati takve slučajeve? To se može učiniti razmatranjem amplituda koje su superpozicija dva ili više amplitude za stanja s određenom energijom. Već smo raspravljali o ovoj situaciji u Pogl. 48 (broj 4), a to je za amplitude vjerojatnosti! Zatim smo otkrili da zbroj dviju amplituda s različitim valnim brojevima k(tj. impulsa) i frekvencija w (tj. energija) dovodi do interferencijskih udaraca ili otkucaja, tako da kvadrat amplitude varira iu prostoru iu vremenu. Također smo otkrili da se ti otkucaji kreću s takozvanom "grupnom brzinom" definiranom formulom

gdje su Dk i Dw razlike između valnih brojeva i frekvencija dvaju valova. U složenijim valovima, sastavljenim od zbroja mnogih amplituda s bliskim frekvencijama, grupna brzina je

Od w =E R /h, a k = p/h Da

Ali iz (5.6) slijedi da

i od E str =Mc 2 , Da

a to je samo klasična brzina čestice. Čak i korištenjem nerelativističkih izraza, imat ćemo

tj. opet klasična brzina.

Naš rezultat je stoga da ako postoji nekoliko amplituda za čistu energetsko stanje s gotovo istom energijom, tada njihova interferencija dovodi do "prasova" vjerojatnosti koji se kreću kroz prostor brzinom jednaka brzina klasična čestica iste energije. Međutim, treba primijetiti da kada kažemo da možemo dodati dvije amplitude s različitim valnim brojevima kako bismo dobili pakete koji odgovaraju čestici koja se kreće, uvodimo nešto novo - nešto što se ne može izvesti iz teorije relativnosti. Rekli smo kako se mijenja amplituda nepokretne čestice, a zatim iz toga zaključili kako bi se promijenila da se čestica giba. Ali iz ovih razmatranja mi nesposoban zaključiti što bi se dogodilo da ih ima dva valovi koji se kreću različitim brzinama. Ako zaustavimo jednog od njih, ne možemo zaustaviti drugog. Pa smo tiho dodali još jedan hipoteza: pored toga što je (5.9). moguće odluka, mi. pretpostavljamo da isti sustav može imati više rješenja sa svim mogućim str te da će se miješati različiti termini.

§ 3. Potencijalna energija; Ušteda energije

A sada bismo htjeli razjasniti pitanje što se događa; kada se energija čestice može promijeniti. Započnimo s razmišljanjem o čestici koja se giba u polju sila opisanih potencijalom. Razmotrimo prvo utjecaj konstantnog potencijala. Pretpostavimo da imamo veliku metalnu kutiju koju smo naelektrizirali na neki elektrostatski potencijal j (slika 5.2).

| SLIKA 5.2. Čestica mase M i momenta p u području konstantnog potencijala.

Ako se unutar kutije nalaze nabijeni objekti, tada će njihova potencijalna energija biti jednaka q j; taj ćemo broj označiti slovom v. Po stanju je potpuno neovisan o položaju samog objekta. Od nametanja potencijala neće doći do fizičkih promjena unutar kutije, jer stalni potencijal ne mijenja ništa u onome što se događa unutar kutije. To znači da se zakon prema kojem će se amplituda sada mijenjati ne može nikako izvesti. Može se samo nagađati. Evo ga, točan odgovor - izgleda otprilike kao što biste očekivali: umjesto energije trebate staviti zbroj potencijalne energije V i energije E R , koja je sama zbroj unutarnje i kinetičke energije. Amplituda će tada biti proporcionalna

Opće načelo je li to koeficijent t, koji bi se mogao nazvati sa uvijek je dan puna energija sustav: unutarnja energija ("energija mase") plus kinetička energija plus potencijalna energija:

Ili u nerelativističkom slučaju

Pa, što je s fizičkim fenomenima unutar kutije? Ako psihičko stanje ne jedan, nego nekoliko, što ćemo dobiti? u rasponu svake ući će države isti dodatni faktor

e -( ja / h ) Vt

izvan onoga što je bilo V=0. Ovo se ne razlikuje od pomaka nule na našoj energetskoj ljestvici. Dobit će se isti pomak svih faza svih amplituda, a to, kao što smo vidjeli prije, ne mijenja nikakve vjerojatnosti. Svi fizički fenomeni ostaju isti. (Pretpostavili smo da pričamo O različite države istog nabijenog objekta, tako da q j svi imaju isto. Kad bi objekt mogao promijeniti svoj naboj iz jednog stanja u drugo, tada bismo došli do potpuno drugačijeg rezultata, ali očuvanje naboja sprječava nas u tome.)

Do sada je naša pretpostavka bila u skladu s onim što bi se očekivalo od jednostavna promjena razina očitavanja energije. Ali ako je to stvarno točno, onda mora vrijediti i za potencijalnu energiju, koja nije samo konstantna. Općenito V može proizvoljno varirati u vremenu i prostoru, a konačni rezultat za amplitudu mora biti izražen jezikom diferencijalne jednadžbe. Ali ne želimo odmah početi. opći slučaj, i ograničimo se na neku ideju o tome što se događa. Dakle, za sada ćemo razmatrati samo potencijal koji je konstantan u vremenu i polako se mijenja u prostoru. Tada ćemo moći usporediti klasične i kvantne prikaze.

Pretpostavimo da razmišljamo o slučaju prikazanom na sl. 5.3, gdje se dvije kutije održavaju na konstantnim potencijalima j 1 i j 2 , au području između njih potencijal se glatko mijenja od j 1 do j 2 .

sl. 5.3. Amplituda za česticu koja prelazi iz jednog potencijala u drugi.

Zamislimo da neka čestica ima amplitudu da bude u jednom od ovih područja. Pretpostavimo također da je zamah dovoljno velik da je u bilo kojem malom području koje sadrži mnogo valnih duljina potencijal gotovo konstantan. Tada imamo pravo pretpostaviti da u bilo kojem dijelu prostora amplituda mora izgledati kao (5.18), samo V svaki dio prostora imat će svoje.

Smatrati poseban slučaj, kada je j 1 =0, tako da je potencijalna energija u prvom polju nula, u drugom neka q j 2 će biti negativan, pa će klasično čestica u njemu imati veću kinetičku energiju. U klasičnom smislu, brže će se kretati u drugoj kutiji, pa će imati više zamaha. Pogledajmo kako to može ispasti iz kvantne mehanike.

Pod našim pretpostavkama, amplituda u prvom okviru trebala je biti proporcionalna s

Pretpostavit ćemo da su svi potencijali konstantni u vremenu, tako da se ništa ne mijenja u uvjetima. Tada pretpostavljamo da su promjene amplitude (tj. njene faze) posvuda iste frekvencija, jer u "okolisu" između kutija nema takoreći ničega što bi ovisilo o vremenu. Ako se ništa ne mijenja u prostoru, onda možemo pretpostaviti da val u jednom području "generira" pomoćne valove u cijelom prostoru, koji svi osciliraju istom frekvencijom i, poput svjetlosnih valova koji prolaze kroz tvar u mirovanju, ne mijenjaju svoju frekvenciju. Ako su frekvencije u (5.21) i (5.22) iste, tada vrijedi jednakost

Ovdje, s obje strane, postoje jednostavno klasične ukupne energije, tako da je (5.23) izjava o održanju energije. Drugim riječima, klasična tvrdnja o očuvanju energije sasvim je ekvivalentna kvantnomehaničkoj tvrdnji da su frekvencije čestice svugdje iste ako se uvjeti ne mijenjaju tijekom vremena. Sve je to u skladu s predodžbom da h w =E.

U posebnom slučaju kada je V 1 =0 i V 2 je negativan (5.23) znači da str još 2 R 1, t. To jest, u regiji 2, valovi su kraći. Površine jednake faze prikazane su na sl. 5.3 isprekidana linija. Tu je i graf realnog dijela amplitude, iz kojeg se također vidi kako se valna duljina smanjuje pri prelasku iz područja 1 u područje 2. Grupna brzina valova, jednaka r/m, također raste kao što bi se očekivalo od klasičnog očuvanja energije, jer se jednostavno podudara s (5.23).

Postoji zanimljiv poseban slučaj gdje V 2 postaje toliko velik da V 2 - V 1 već prelazi str 2 1 /2M. Zatim str 2 2 , zadan formulom

postaje negativan. A ovo znači to R 2 je imaginarni broj, recimo ip". Klasično bismo rekli da čestica nikada neće doći do područja 2, neće imati dovoljno energije da se popne na potencijalno brdo. Međutim, u kvantnoj mehanici, amplituda je još uvijek predstavljena jednadžbom (5.22); njegove promjene u prostoru i dalje slijede zakon

Ali vremena str 2 imaginaran broj, tada se prostorna ovisnost pretvara u stvarni eksponent. Ako bi se recimo čestica prvo kretala u pravcu +x, tada će se amplituda mijenjati kao

S rastom x ona brzo pada.

Zamislimo da se oba područja s različitim potencijalima nalaze vrlo blizu jedno drugome, tako da se potencijalna energija iznenada mijenja od V 1 do V 2 (Sl. 5.4, a).

sl. 5.4. Amplituda za česticu koja se približava snažnom odbojnom potencijalu.

Crtanjem grafa realnog dijela amplitude vjerojatnosti dobivamo ovisnost prikazanu na sl. 5.4, b. Val u području 1 odgovara čestici koja pokušava ući u područje 2, ali amplituda tamo brzo opada. Postoji neka šansa da će biti zamijećena u području 2, gdje je klasično za ništa Nije se pokazalo, ali je amplituda toga vrlo mala (osim mjesta u blizini same granice). Stanje stvari je vrlo slično onome što smo otkrili u potpunosti unutarnja refleksija Sveta. Obično ne izlazi svjetlo, ali se ipak može vidjeti ako se nešto postavi jednu ili dvije valne duljine od površine.

Podsjetimo se da ako drugu površinu postavite blizu granice gdje se svjetlost potpuno reflektira, tada možete osigurati da se dio svjetlosti i dalje širi u drugom komadu materije. Ista stvar se događa s česticama u kvantnoj mehanici. Ako postoji usko područje s tako visokim potencijalom V, da je klasična kinetička energija tamo negativna, onda čestica nikada neće proći kroz njega. Ali u kvantnoj mehanici, eksponencijalno opadajuća amplituda može probiti ovo područje i dati male šanse da se čestica nađe s druge strane - gdje je kinetička energija ponovno pozitivna. Sve je to prikazano na Sl. 5.5.

sl. 5.5. Prodor amplitude kroz potencijalnu barijeru.

Učinak se naziva kvantno mehanički "prodor kroz barijeru".

Prodor kvantno mehaničke amplitude kroz barijeru daje objašnjenje (ili opis) a-raspada jezgre urana. Potencijalna energija a-čestice kao funkcija udaljenosti od središta prikazana je na sl. 5.6, A.

sl. 5.6. Potencijal a-čestice u jezgri urana (a) i kvalitetan izgled amplitude vjerojatnosti (b).

Kad bismo pokušali gađati a-česticu energijom E do srži tada bi osjetila elektrostatsko odbijanje nuklearnog naboja z a prema klasičnim kanonima ne bi došao bliže jezgri nego na toliku udaljenost r 1 pri čemu njegova ukupna energija postaje jednaka potencijalnoj v. Ali negdje unutar jezgre, potencijalna energija će biti puno manja zbog snažnog privlačenja nuklearnih sila kratkog dometa. Kako onda objasniti zašto radioaktivni raspad nalazimo a-čestice, koje, u početku unutar jezgre, zatim se ispostave da su izvan nje s energijom E?Zato jer oni. energiziran od početka E, "procurila" kroz potencijalnu barijeru. Shematski prikaz amplitude vjerojatnosti dan je na Sl. 5.6, b, iako je u stvarnosti eksponencijalni pad mnogo jači od prikazanog. Zanimljivo je da prosječni životni vijek a-čestice u jezgri urana doseže 4 1/2 milijarde godina, dok su prirodne oscilacije unutar jezgre iznimno brze, ima ih 10 22 u sekundi! Kako je moguće od 10 -2 2 sek dobiti broj reda veličine 10 9 godina? Odgovor je da eksponent daje nečuveno mali faktor reda veličine 10 -4 5 , što dovodi do vrlo male, iako sasvim izvjesne, vjerojatnosti curenja. Ako je a-čestica već udarila u jezgru, tada gotovo da nema amplitude da je otkrije izvan jezgre; ako pak uzmete više tih jezgri i malo duže pričekate, možda ćete imati sreće i vidjeti kako će čestica iskočiti.

§ 4. Sile; klasična granica

Pretpostavimo da se čestica kreće kroz područje u kojem postoji potencijal koji se mijenja tijekom gibanja. Klasično, opisali bismo ovaj slučaj kao što je prikazano na sl. 5.7.

sl. 5.7. Devijacija čestice transverzalnim gradijentom potencijala.

Ako se čestica giba u pravcu x i ulazi u regiju gdje postoji potencijal koji varira duž g, tada će čestica dobiti poprečno ubrzanje od sile F=-dV/dy. Ako je sila prisutna samo u ograničenom području širine w, onda će raditi samo neko vrijeme w/vČestica će dobiti transverzalni moment

str g = Fw/v

Tada će kut otklona dq biti jednak

Gdje R - početni impuls. Zamjena umjesto F broj - dV / dy, dobivamo

Sada moramo otkriti može li se ovaj rezultat dobiti korištenjem ideje da se valovi pokoravaju jednadžbi (5.20). Istu pojavu razmotrit ćemo kvantno mehanički, uz pretpostavku da su sve ljestvice u njoj mnogo veće od valnih duljina naših amplituda vjerojatnosti. U bilo kojoj maloj regiji, možemo pretpostaviti da amplituda varira kao

Možemo li vidjeti kako će otklon čestica proizaći iz ovoga kada V hoće li postojati poprečni gradijent? Na Sl. Na slici 5.8 skicirali smo kako bi izgledali valovi amplitude vjerojatnosti.

sl. 5.8. Amplituda vjerojatnosti u području s transverzalnim gradijentom potencijala.

Nacrtali smo niz "valnih čvorova" koje možete zamisliti kao, recimo, površine gdje je faza amplitude nula. U svakom malom području, valna duljina (udaljenost između susjednih čvorova) je

Gdje R povezano s V formula

Na području gdje se V više tamo R manji i duži valovi. Stoga se smjer linija čvorova valova postupno mijenja, kao što je prikazano na slici.

Da biste pronašli promjenu nagiba linija čvorova valova, primijetite da na dvije staze A I b postoji potencijalna razlika D V=(dV/dy)D, i otuda razlika D R između impulsa. Ova razlika se može dobiti iz (5.28):

valni broj p/h tako i dalje različiti putevi različite, što znači da faze rastu duž njih različitim brzinama. Razlika u brzini rasta faze je D k=D R/h, i akumulirano cijelim putem w fazna razlika će biti jednaka

Ovaj broj pokazuje koliko je, do trenutka izlaska iz benda, faza na putu b"vodi" fazu po stazi A. Ali na izlazu iz pojasa, takvo fazno napredovanje odgovara napredovanju valnog čvora za vrijednost

Pozivajući se na SL. 5.8, vidimo da će fronta novog vala rotirati za kut dq dan formulom

pa imamo

I to se podudara s (5.26) ako zamijenimo r/m na v, a D V/D na dV/dy.

Rezultat koji smo upravo dobili istinit je samo kada se potencijal mijenja polako i glatko – u tzv klasična granica. Pokazali smo da pod ovim uvjetima dobivamo ista gibanja čestica koja bi bila dobivena iz F=ma, ako pretpostavimo da potencijal doprinosi fazi amplitude vjerojatnosti jednake Vt/h. U klasičnoj granici kvantizirana mehanika ispada da je u skladu s Newtonovom mehanikom.

§ 5. "Precesija" čestice sa spinom 1 / 2

Imajte na umu da nismo pretpostavili da imamo neku posebnu potencijalnu energiju, to je jednostavno energija čiji derivat daje silu. Na primjer, u Stern-Gerlachovom eksperimentu energija je imala oblik U=-m B; dakle, u prisutnosti prostorne varijacije u B, dobivena je sila. Kad bismo trebali kvantnomehanički opis iskustva, morali bismo reći da čestice u jednom snopu mijenjaju svoju energiju u jednom smjeru, a u drugom snopu - u obrnuta strana, (Magnetska energija U može se umetnuti ili u potencijalnu energiju V, ili "unutarnja" energija W; točno gdje, uopće nije važno.) Zbog varijacija energije valovi se lome, grede se savijaju gore ili dolje. (Sada znamo da kvantna mehanika predviđa istu zakrivljenost koja slijedi iz proračuna u klasičnoj mehanici.)

Iz ovisnosti amplitude o potencijalnoj energiji također slijedi da se za česticu koja sjedi u jednoličnom magnetskom polju usmjerenom duž osi z, amplituda vjerojatnosti mora mijenjati s vremenom prema zakonu

izvan onoga što bi bilo bez polja. Budući da čestica sa spinom 1/2 može imati m z plus ili minus neki broj, recimo m, onda dva zamisliva stanja u jednoličnom polju, faze će se mijenjati istom brzinom u suprotnim smjerovima. Amplitude će se pomnožiti s

Ovaj rezultat dovodi do zanimljivih posljedica. Neka je čestica spina 1/2 u nekom stanju koje nije ni čisto stanje spina gore ni čisto stanje spina dolje. Može se opisati u smislu amplituda bivanja u ta dva stanja. Ali u magnetskom polju, faze ova dva stanja počet će se mijenjati različitim brzinama. A ako postavimo bilo kakvo pitanje o amplitudama, tada će odgovor ovisiti o tome koliko je vremena čestica provela u ovom polju.

Kao primjer, razmotrimo raspad miona u magnetskom polju. Kada mioni nastaju raspadom p mezona, oni su polarizirani (drugim riječima, imaju preferirani smjer vrtnje). Mioni se pak raspadaju (u prosjeku nakon 2.2 mikrosekunda), emitiraju elektron i par neutrina:

U ovom raspadu, pokazalo se da (barem pri visokim energijama) elektroni emitiraju pretežno u smjeru suprotnom od smjera mionskog spina.

Pretpostavimo onda da postoji eksperimentalni uređaj (Sl. 5.9): polarizirani mioni ulaze slijeva iu blok materije A prestati, a onda se malo kasnije raspasti.

sl.. 5.9. Eksperiment raspada miona.

Emitirani elektroni izlaze, općenito govoreći, u svim zamislivim smjerovima. Zamislimo, međutim, da svi mioni uđu u usporavajući blok A tako da su im leđa okrenuta u pravcu X. Bez magnetskog polja, tamo bi se promatrala neka vrsta kutne raspodjele smjerova raspada; želimo znati kako bi se ta distribucija promijenila u prisutnosti magnetskog polja. Može se očekivati da će se to s vremenom nekako promijeniti. Možete saznati što se događa pitajući koja će biti amplituda u svakom trenutku činjenice da se mion nalazi u stanju (+ x).

Ovaj problem se može formulirati na sljedeći način: neka je poznato da je u trenutku t=0 mionski spin usmjeren duž + x; kolika je amplituda činjenice da će u trenutku t biti u istom stanju? I iako ne znamo pravila za ponašanje čestice sa spinom 1/2 u magnetskom polju okomitom na spin, ali znamo što se događa sa stanjima kada su spinovi usmjereni gore ili dolje u polju - tada su njihove amplitude pomnoženo s izrazom (5.34) . Naš postupak bi tada bio odabir reprezentacije u kojoj su osnovna stanja smjerovi spin-gore ili spin-dolje u odnosu na z(u odnosu na smjer polja). I svako pitanje se tada može izraziti kroz amplitude tih stanja.

Neka |y(t)> predstavlja stanje miona. Kad uđe u blok A, njegovo stanje je |y (0)>, a mi. želite znati |y (t)> u više kasno vrijeme t. Ako su dva osnovna stanja označena sa (+z) i (-z), tada su nam poznate amplitude i - one su poznate jer znamo da je |y (0)> stanje sa spinom u smjeru (+ x). Iz prethodnog poglavlja proizlazi da su te amplitude jednake

Ispada da su isti. Budući da se odnose na poziciju u t=0, označit ćemo ih S+ (0) i S - (0).

Ali ako znamo C + (t) I C - (t), onda imamo sve da znamo trenutne uvjete t. Postoji još samo jedna poteškoća koju treba prevladati: potrebna nam je vjerojatnost da će vrtnja (u ovom trenutku t) bit će usmjerena duž + X. Ali naša opća pravila uzimaju u obzir i ovaj zadatak. Pišemo da je amplituda bivanja u stanju (+x) u trenutku t[označimo to A + (t)]Tamo je

Ponovno korištenje rezultata posljednje poglavlje(ili bolje jednakošću

* iz pogl. 3), pišemo

Dakle, u (5.37) sve je poznato. Dobivamo

Nevjerojatno jednostavan rezultat! Imajte na umu da je odgovor u skladu s očekivanim kada t= 0. Dobivamo A + (0)= 1, i to je sasvim točno, jer se isprva pretpostavljalo da kada t=0 mion je bio u stanju (+ x).

Vjerojatnost R + da će mion biti u stanju (+x) u trenutku t, Tamo je (A+) 2 , tj.

Vjerojatnost se kreće od nule do jedan, kao što je prikazano na sl. 5.10.

sl. 5.10. Vremenska ovisnost vjerojatnosti toga. da čestica sa spinom 1 / 2 će biti u (+) stanju u odnosu na x-osu.

Imajte na umu da se vjerojatnost vraća na jedan kao m Bt/h=p (a ne kada 2p). Budući da je kosinus na kvadrat, vjerojatnost se ponavlja s određenom frekvencijom 2mV/h.

Stoga smo otkrili da je prilika za hvatanje u elektroničkom brojaču prikazanom na Sl. 5.9, raspadajući elektron periodički se mijenja s vrijednošću vremenskog intervala tijekom kojeg je mion sjedio u magnetskom polju. Frekvencija ovisi o magnetskom momentu (L. Na taj način je zapravo izmjerena magnetski moment mion.

Ista se metoda može, naravno, koristiti za odgovor na druga pitanja o raspadu miona. Na primjer, kako to ovisi o vremenu t priliku uočiti raspadajući elektron u smjeru y, 90° prema smjeru X, ali ipak pod pravim kutom u odnosu na polje? Ako riješite ovaj problem, vidjet ćete da je vjerojatnost da možete (+y) promjene poput cos 2 ((m bt/h)-(p/4)); fluktuira s istim periodom, ali doseže maksimum četvrtinu ciklusa kasnije, kada je mVt/h=p/4. Ono što se zapravo događa jest da tijekom vremena mion prolazi kroz slijed stanja koja odgovaraju punoj polarizaciji u smjeru koji kontinuirano rotira oko osi z. To se može opisati riječima da spinski precesi s učestalošću

Trebalo bi vam biti jasno kakav oblik ima kvantno mehanički opis kada opisujemo ponašanje nečega tijekom vremena.

* Ako ste propustili pogl. 4, tada (5.35) možete samo smatrati nedostatnim pravilom za sada. Kasnije, u pogl. 8 detaljnije ćemo analizirati precesiju spina, te će se dobiti i te amplitude.

* Pretpostavljamo da faze moraju imati istu vrijednost u odgovarajućim točkama u dva koordinatna sustava. Međutim, ovo je vrlo delikatna točka, budući da je u kvantnoj mehanici faza uglavnom proizvoljna. Da bi se ova pretpostavka u potpunosti opravdala, potrebna su detaljnija razmatranja koja uzimaju u obzir interferenciju dviju ili više amplituda.