Algemene vergelijking van de dynamiek. Analytische dynamiek

De algemene dynamische vergelijking voor een systeem met beperkingen (joined d'Alembert-Lagrange principe of algemene vergelijking van de mechanica):

waar wordt de actieve kracht uitgeoefend op het -de punt van het systeem; is de sterkte van de bindingsreactie; - punttraagheidskracht; - mogelijke beweging.

In het geval van evenwicht van het systeem, wanneer alle traagheidskrachten van de punten van het systeem naar nul gaan, gaat het over in het principe van mogelijke verplaatsingen. Het wordt meestal gebruikt voor systemen met ideale beperkingen waarvoor de voorwaarde:

In dit geval neemt (229) een van de volgende vormen aan:

. (230)

Op deze manier, volgens de algemene dynamische vergelijking is op elk bewegingsmoment van een systeem met ideale beperkingen de som van de elementaire arbeid van alle actieve krachten en traagheidskrachten van de punten van het systeem gelijk aan nul bij elke mogelijke verplaatsing van het systeem toegestaan door de beperkingen.

De algemene dynamische vergelijking kan andere equivalente vormen krijgen. Door het scalaire product van vectoren uit te breiden, kan het worden uitgedrukt als

waar zijn de coördinaten van het -de punt van het systeem. Rekening houdend met het feit dat de projecties van traagheidskrachten op de coördinaatassen door de projecties van versnellingen op deze assen worden uitgedrukt door de relaties

de algemene dynamische vergelijking kan de vorm krijgen

In deze vorm heet het de algemene dynamische vergelijking in analytische vorm.

Bij gebruik van de algemene dynamische vergelijking is het noodzakelijk om de elementaire arbeid van de systeemtraagheidskrachten op mogelijke verplaatsingen te kunnen berekenen. Hiervoor worden de overeenkomstige formules voor elementaire arbeid verkregen voor gewone krachten toegepast. Laten we eens kijken naar hun toepassing op de traagheidskrachten van een star lichaam in bepaalde gevallen van zijn beweging.

Met voorwaartse beweging. In dit geval heeft het lichaam drie vrijheidsgraden en kan het vanwege de opgelegde beperkingen alleen translatiebewegingen uitvoeren. Mogelijke bewegingen van het lichaam, die verbindingen mogelijk maken, zijn ook translationeel.

De traagheidskrachten in translatiebeweging worden gereduceerd tot de resultante . Voor de som van de elementaire arbeid van traagheidskrachten op de translatie mogelijke verplaatsing van het lichaam, verkrijgen we:

waar is de mogelijke verplaatsing van het massamiddelpunt en een willekeurig punt van het lichaam, aangezien de translatie mogelijke verplaatsing hetzelfde is voor alle punten van het lichaam: de versnellingen zijn hetzelfde, d.w.z. .

Wanneer een star lichaam rond een vaste as draait. Het lichaam heeft in dit geval één vrijheidsgraad. Het kan rond een vaste as draaien. Mogelijke verplaatsing, die wordt toegestaan door opgelegde beperkingen, is ook een rotatie van het lichaam over een elementaire hoek rond een vaste as.

De traagheidskrachten, gereduceerd tot een punt op de rotatie-as, worden gereduceerd tot de hoofdvector en het hoofdmoment. De hoofdvector van traagheidskrachten wordt toegepast op een vast punt en het elementaire werk op een mogelijke verplaatsing is nul. Voor het belangrijkste traagheidsmoment zal elementair werk dat niet gelijk is aan nul alleen worden uitgevoerd door zijn projectie op de rotatie-as. Dus, voor de som van de arbeid van de traagheidskrachten op de beschouwde mogelijke verplaatsing, hebben we:

als de hoek wordt gerapporteerd in de richting van de boogpijl van de hoekversnelling.

in vlakke beweging. De beperkingen die in dit geval aan een stijf lichaam worden opgelegd, laten in dit geval alleen een mogelijke vliegtuigverplaatsing toe. In het algemeen bestaat het uit een translatie mogelijke beweging samen met de pool, waarvoor we het massamiddelpunt kiezen, en rotatie over een elementaire hoek rond de as die door het massamiddelpunt gaat en loodrecht op het vlak, evenwijdig waaraan het lichaam kan een vlakke beweging uitvoeren.

Aangezien de traagheidskrachten in een vlakke beweging van een star lichaam kunnen worden teruggebracht tot de hoofdvector en het hoofdmoment (als het zwaartepunt wordt gekozen als referentiepunt), dan is de som van de elementaire arbeid van de krachten van traagheid op een mogelijke verplaatsing van een vlak wordt teruggebracht tot de elementaire arbeid van de traagheidskrachtvector op de mogelijke verplaatsing van het massamiddelpunt en de elementaire arbeid van het hoofdtraagheidsmoment op de elementaire rotatiebeweging rond de as die door het middelpunt gaat van massa. In dit geval kan elementaire arbeid die niet gelijk is aan nul alleen worden uitgevoerd door de projectie van het hoofdtraagheidsmoment op de as, d.w.z. . In het onderhavige geval hebben we dus:

Invoering

In de kinematica wordt de beschrijving van de eenvoudigste soorten mechanische bewegingen overwogen. Tegelijkertijd is niet ingegaan op de oorzaken van veranderingen in de positie van het lichaam ten opzichte van andere lichamen en is het referentiekader gekozen voor het gemak bij het oplossen van een bepaald probleem. In de dynamiek zijn in de eerste plaats de redenen waarom sommige lichamen beginnen te bewegen ten opzichte van andere lichamen van belang, evenals de factoren die het optreden van versnelling veroorzaken. Strikt genomen hebben de wetten in de mechanica echter verschillende vormen in verschillende referentiekaders. Vast staat dat er dergelijke referentiekaders bestaan waarin de wet- en regelgeving niet afhankelijk is van de keuze van het referentiekader. Dergelijke referentiesystemen worden traagheidssystemen(ISO). In deze referentiekaders hangt de waarde van versnelling alleen af van de werkende krachten en niet van de keuze van het referentiekader. Het inertiaalstelsel is heliocentrisch referentiekader, waarvan de oorsprong in het centrum van de zon ligt. Referentieframes die uniform rechtlijnig bewegen ten opzichte van het traagheidsframe zijn ook traagheidsframes en referentiekaders die met versnelling bewegen ten opzichte van het traagheidsframe zijn niet-inertiaal. Om deze redenen is het aardoppervlak strikt genomen een niet-inertiaal referentiekader. Bij veel problemen kan het referentiekader dat met de aarde wordt geassocieerd, met een goede mate van nauwkeurigheid als traagheid worden beschouwd.

Basiswetten van dynamiek in traagheid en niet-inertiaal

referentiesystemen

Het vermogen van een lichaam om een staat van uniforme rechtlijnige beweging te handhaven of te rusten in ISO wordt genoemd lichaam traagheid. De maat van lichaamstraagheid is gewicht. Massa is een scalaire grootheid, in het SI-systeem wordt het gemeten in kilogram (kg). De mate van interactie is een grootheid genaamd kracht. Kracht is een vectorgrootheid, in het SI-systeem wordt het gemeten in Newton (N).

De eerste wet van Newton. In traagheidsreferentiesystemen beweegt een punt uniform in een rechte lijn of is het in rust als de som van alle krachten die erop werken nul is, d.w.z.:

waar zijn de krachten die op een bepaald punt werken.

De tweede wet van Newton. In traagheidssystemen beweegt een lichaam met versnelling als de som van alle krachten die erop werken niet gelijk is aan nul, en het product van de massa van het lichaam en zijn versnelling gelijk is aan de som van deze krachten, d.w.z.:

De derde wet van Newton. De krachten waarmee de lichamen op elkaar inwerken zijn even groot en tegengesteld gericht, d.w.z.: .

Krachten, als maten van interactie, worden altijd in paren geboren.

Om de meeste problemen met behulp van de wetten van Newton met succes op te lossen, is het noodzakelijk om zich aan een bepaalde reeks acties te houden (een soort algoritme).

De belangrijkste punten van het algoritme.

1. Analyseer de toestand van het probleem en ontdek met welke lichamen het beschouwde lichaam in wisselwerking staat. Bepaal op basis hiervan het aantal krachten dat op het betreffende lichaam inwerkt. Stel dat het aantal krachten dat op het lichaam inwerkt gelijk is aan . Voer vervolgens een schematisch correcte tekening uit, waarop alle krachten die op het lichaam inwerken, kunnen worden gebouwd.

2. Bepaal met behulp van de toestand van het probleem de versnellingsrichting van het lichaam in kwestie en geef de versnellingsvector weer in de figuur.

3. Schrijf in vectorvorm de tweede wet van Newton, d.w.z.:

waar krachten die op het lichaam werken.

4. Kies een inertiaal referentiekader. Teken een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem in de figuur, waarvan de OX-as langs de versnellingsvector is gericht, de OY- en OZ-assen loodrecht op de OX-as.

5. Schrijf met behulp van de hoofdeigenschap van vectorgelijkheden de tweede wet van Newton voor de projecties van vectoren op de coördinaatassen, d.w.z.:

6. Als het in het probleem, naast krachten en versnellingen, nodig is om de coördinaten en snelheid te bepalen, dan is het, naast de tweede wet van Newton, noodzakelijk om kinematische bewegingsvergelijkingen te gebruiken. Na het systeem van vergelijkingen te hebben geschreven, is het noodzakelijk om aandacht te besteden aan het feit dat het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden in dit probleem.

Beschouw een niet-inertiaal referentiekader dat roteert met een constante hoeksnelheid rond een as die translationeel beweegt met een snelheid ten opzichte van het traagheidsframe. In dit geval is de versnelling van een punt in het inertiaalstelsel () gerelateerd aan de versnelling in het niet-traagheidsstelsel () door de relatie:

waar is de versnelling van het niet-traagheidsframe ten opzichte van het traagheidsframe , de lineaire snelheid van het punt in het niet-traagheidsframe. Uit de laatste relatie, in plaats van versnelling, vervangen we door gelijkheid (1), we krijgen de uitdrukking:

Deze verhouding heet De tweede wet van Newton in een niet-inertiaal referentiekader.

Traagheidskrachten. Laten we de notatie introduceren:

1. – translationele traagheidskracht;

2. – Corioliskracht;

3 – middelpuntvliedende traagheid.

In taken wordt de translatiekracht van traagheid afgebeeld tegen de vector door de versnelling van de translatiebeweging van een niet-inertiaal referentiekader (), de middelpuntvliedende traagheidskracht - vanuit het rotatiecentrum langs de straal (); de richting van de Corioliskracht wordt bepaald door de regel gimlet voor het uitwendig product van vectoren.

Strikt genomen zijn de traagheidskrachten geen krachten in de volledige zin, omdat: De derde wet van Newton geldt niet voor hen, d.w.z. ze zijn niet gekoppeld.

krachten

De zwaartekracht. De kracht van universele zwaartekracht ontstaat in het proces van interactie tussen lichamen met massa's en wordt berekend uit de verhouding:

. (4)

De evenredigheidscoëfficiënt heet zwaartekrachtconstante. De waarde ervan in het SI-systeem is .

Interventiemacht. Reactiekrachten ontstaan wanneer een lichaam interageert met verschillende structuren die zijn positie in de ruimte beperken. Een lichaam dat aan een draad is opgehangen, wordt bijvoorbeeld onderworpen aan een reactiekracht, gewoonlijk de kracht genoemd spanning. De kracht van de draadspanning is altijd langs de draad gericht. Er is geen formule om de waarde te berekenen. Meestal wordt de waarde ervan gevonden in de eerste of de tweede wet van Newton. Reactiekrachten omvatten ook krachten die inwerken op een deeltje op een glad oppervlak. Ze noemen haar normale reactiekracht, aanduiden. De reactiekracht is altijd loodrecht op het beschouwde oppervlak gericht. Een kracht die vanuit een lichaam op een glad oppervlak inwerkt, heet kracht van normale druk(). Volgens de derde wet van Newton is de reactiekracht even groot als de kracht van normale druk, maar de vectoren van deze krachten zijn tegengesteld in richting.

Elastische kracht. Elastische krachten ontstaan in lichamen als de lichamen worden vervormd, d.w.z. als de vorm van het lichaam of het volume is veranderd. Wanneer de vervorming stopt, verdwijnen de elastische krachten. Opgemerkt moet worden dat, hoewel elastische krachten ontstaan tijdens vervormingen van lichamen, vervorming niet altijd leidt tot het ontstaan van elastische krachten. Elastische krachten ontstaan in lichamen die in staat zijn hun vorm te herstellen na beëindiging van externe invloeden. Dergelijke lichamen, en de bijbehorende vervormingen, worden elastisch. Bij plastische vervorming verdwijnen de veranderingen niet volledig na het beëindigen van de externe invloed. Een treffend voorbeeld van de manifestatie van elastische krachten kunnen de krachten zijn die optreden in veren die onderhevig zijn aan vervorming. Voor elastische vervormingen die optreden in vervormde lichamen, is de elastische kracht altijd evenredig met de grootte van de vervorming, d.w.z.:

, (5)

waar is de elasticiteitscoëfficiënt (of stijfheid) van de veer, de rekvector van de veer.

Deze verklaring heet De wet van Hooke.

Wrijvingskracht. Wanneer het ene lichaam langs het oppervlak van het andere beweegt, ontstaan er krachten die deze beweging verhinderen. Dergelijke krachten worden genoemd glijdende wrijvingskrachten. De grootte van de statische wrijvingskracht kan variëren afhankelijk van de uitgeoefende externe kracht. Bij een bepaalde waarde van de externe kracht bereikt de statische wrijvingskracht zijn maximale waarde. Daarna begint het glijden van het lichaam. Er is experimenteel vastgesteld dat de kracht van glijdende wrijving recht evenredig is met de kracht van normale druk van het lichaam op het oppervlak. Volgens de derde wet van Newton is de kracht van de normale druk van een lichaam op een oppervlak altijd gelijk aan de reactiekracht waarmee het oppervlak zelf inwerkt op een bewegend lichaam. Met dit in gedachten heeft de formule voor het berekenen van de grootte van de glijdende wrijvingskracht de vorm:

, (6)

waar is de grootte van de reactiekracht; wrijvingscoëfficiënt. De glijdende wrijvingskracht die op een bewegend lichaam inwerkt, is altijd tegen de snelheid in gericht, langs de contactoppervlakken.

De kracht van verzet. Wanneer lichamen in vloeistoffen en gassen bewegen, treden ook wrijvingskrachten op, maar deze verschillen aanzienlijk van de krachten van droge wrijving. Deze krachten heten viskeuze wrijvingskrachten, of weerstandskrachten. De krachten van viskeuze wrijving ontstaan alleen met de relatieve beweging van lichamen. De weerstandskrachten zijn afhankelijk van vele factoren, namelijk: van de grootte en vorm van lichamen, van de eigenschappen van het medium (dichtheid, viscositeit), van de relatieve bewegingssnelheid. Bij lage snelheden is de weerstandskracht recht evenredig met de snelheid van het lichaam ten opzichte van het medium, d.w.z.:

. (7)

Bij hoge snelheden is de weerstandskracht evenredig met het kwadraat van de snelheid van het lichaam ten opzichte van het medium, d.w.z.:

, (8)

waarbij sommige evenredigheidscoëfficiënten, genaamd luchtweerstandscoëfficiënten.

Basisvergelijking van dynamiek

De basisvergelijking van de dynamiek van een materieel punt is niets meer dan een wiskundige uitdrukking van de tweede wet van Newton:

. (9)

In een traagheidsreferentiekader omvat de som van alle krachten alleen krachten die maatstaven zijn voor interacties; in niet-traagheidsstelsels omvat de som van krachten de traagheidskrachten.

Vanuit wiskundig oogpunt is relatie (9) een differentiaalvergelijking van puntbeweging in vectorvorm. De oplossing ervan is het belangrijkste probleem van de dynamiek van een materieel punt.

Voorbeelden van probleemoplossing

Taak nummer 1. Een glas wordt op een vel papier geplaatst. Met welke versnelling moet het vel in beweging worden gebracht om het onder het glas vandaan te trekken, als de wrijvingscoëfficiënt tussen het glas en het vel papier 0,3 is?

Laten we aannemen dat voor een kracht die op een vel papier inwerkt, het glas samen met het vel beweegt. Laten we afzonderlijk de krachten weergeven die op een glas met massa inwerken. De volgende lichamen werken op het glas in: Aarde met zwaartekracht, een vel papier met een reactiekracht, een vel papier met een wrijvingskracht gericht langs de snelheid van het glas. De beweging van het glas wordt uniform versneld, daarom is de versnellingsvector gericht langs de snelheid van het glas.

Laten we de glasversnellingsvector in de figuur weergeven. We schrijven de tweede wet van Newton in vectorvorm voor de krachten die op het glas werken:

Laten we de OX-as langs de glasversnellingsvector richten, en de OY-as ¾ verticaal naar boven. We schrijven de tweede wet van Newton in projecties op deze coördinaatassen, we krijgen de volgende vergelijkingen:

(1.1)

Met een toename van de kracht die op een vel papier werkt, neemt de grootte van de wrijvingskracht waarmee een vel papier op een glas inwerkt toe. Bij een bepaalde waarde van de kracht bereikt de grootte van de wrijvingskracht zijn maximale waarde, die even groot is als de glijdende wrijvingskracht. Vanaf dit moment begint het glas te schuiven ten opzichte van het oppervlak van het papier. De grenswaarde van de wrijvingskracht is gerelateerd aan de reactiekracht die op het glas werkt door de volgende relatie:

Vanuit gelijkheid (1.2) drukken we de grootte van de reactiekracht uit, en dan vervangen we deze door de laatste relatie die we hebben. Uit de verkregen relatie vinden we de waarde van de wrijvingskracht en zetten deze in vergelijking (1.1), we verkrijgen een uitdrukking voor het bepalen van de maximale versnelling van het glas:

Door de numerieke waarden van de hoeveelheden in de laatste gelijkheid te vervangen, vinden we de waarde van de maximale versnelling van het glas:

De verkregen waarde van de glasversnelling is gelijk aan de minimale versnelling van een vel papier, waarbij het onder het glas kan worden “uitgetrokken”.

Antwoord: .

Laten we alle krachten weergeven die op het lichaam inwerken. Naast de externe kracht werkt de aarde op het lichaam in met de zwaartekracht, een horizontaal oppervlak met de reactiekracht en de wrijvingskracht, gericht tegen de snelheid van het lichaam. Het lichaam beweegt uniform versneld en daarom is de vector van zijn versnelling gericht langs de bewegingssnelheid. Laten we een vector in de figuur tekenen. Kies een coördinatensysteem zoals weergegeven in de afbeelding. We schrijven de tweede wet van Newton in vectorvorm:

Gebruikmakend van de hoofdeigenschap van vectorgelijkheden, noteren we de vergelijkingen voor de projecties van de vectoren die zijn opgenomen in de laatste vectorgelijkheid:

We schrijven de verhouding voor de kracht van glijdende wrijving

Uit gelijkheid (2.2) vinden we de grootte van de reactiekracht

Uit de resulterende uitdrukking substitueren we in gelijkheid (2.3) in plaats van de grootte van de reactiekracht , we verkrijgen de uitdrukking

Als we de resulterende uitdrukking voor de wrijvingskracht in vergelijking (2.1) substitueren, hebben we een formule voor het berekenen van de versnelling van het lichaam:

In de laatste formule vervangen we numerieke gegevens in het SI-systeem, we vinden de waarde van de versnelling van de beweging van de last:

Antwoord: .

Voor de minimale waarde van de kracht bepalen we de richting van de wrijvingskracht die op de ruststaaf inwerkt. Stel je voor dat de kracht minder is dan de minimale kracht die voldoende is om het lichaam in rust te houden. In dit geval zal het lichaam naar beneden bewegen en de wrijvingskracht die erop wordt uitgeoefend, zal verticaal naar boven worden gericht. Om het lichaam te stoppen, moet u de grootte van de uitgeoefende kracht vergroten. Bovendien wordt dit lichaam beïnvloed door de aarde met een zwaartekracht die verticaal naar beneden is gericht, evenals een muur met een horizontaal naar links gerichte reactiekracht. Laten we in de figuur alle krachten weergeven die op het lichaam inwerken. We nemen een rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel, waarvan we de assen richten zoals weergegeven in de figuur. Voor een lichaam in rust schrijven we de eerste wet van Newton in vectorvorm:

Voor de gevonden vectorgelijkheid schrijven we de gelijkheden voor de projecties van vectoren op de coördinaatassen, we krijgen de volgende vergelijkingen:

Bij de minimale waarde van de externe kracht bereikt de grootte van de statische wrijvingskracht een maximale waarde die gelijk is aan de grootte van de glijdende wrijvingskracht:

Uit gelijkheid (3.1) vinden we de waarde van de reactiekracht en vervangen deze in vergelijking (3.3), we verkrijgen de volgende uitdrukking voor de wrijvingskracht:

Laten we de rechterkant van deze relatie vervangen in plaats van de wrijvingskracht in vergelijking (3.2), we krijgen een formule voor het berekenen van de grootte van de uitgeoefende kracht:

Uit de laatste formule vinden we de grootte van de kracht:

Antwoord: .

Laten we alle krachten weergeven die inwerken op een bal die verticaal naar beneden in de lucht beweegt. Het wordt ingewerkt door de aarde met de zwaartekracht en de lucht met de weerstandskracht. We geven de beschouwde krachten weer in de figuur. Op het beginmoment heeft de resultante van alle krachten een maximale waarde, aangezien de snelheid van de bal nul is en de weerstandskracht ook nul. Op dit moment heeft de bal een maximale versnelling gelijk aan . Naarmate de bal beweegt, neemt de snelheid van zijn beweging toe, en bijgevolg neemt de kracht van de luchtweerstand toe. Op een bepaald moment bereikt de sleepkracht een waarde die gelijk is aan de waarde van de zwaartekracht. Vanaf dit moment beweegt de bal gelijkmatig. Laten we de eerste wet van Newton in vectorvorm schrijven voor de uniforme beweging van de bal:

Laten we de OY-as verticaal naar beneden richten. Voor een gegeven vectorgelijkheid schrijven we een gelijkheid voor de projecties van vectoren op de OY-as:

. (4.1)

De weerstandskracht is als volgt afhankelijk van het dwarsdoorsnede-oppervlak van de bal en de grootte van zijn snelheid:

, (4.2)

waar is de evenredigheidscoëfficiënt, de luchtweerstandscoëfficiënt genoemd.

Vergelijkingen (4.1) en (4.2) impliceren de volgende relatie:

. (4.3)

We drukken de massa van de bal uit in termen van dichtheid en volume, en het volume op zijn beurt in termen van de straal van de bal:

. (4.4)

Uit deze uitdrukking vinden we de massa en vervangen deze door gelijkheid (4.3), we krijgen de volgende gelijkheid:

. (4.5)

We drukken het dwarsdoorsnede-oppervlak van de bal uit in termen van zijn straal:

Rekening houdend met relatie (4.6), neemt gelijkheid (4.5) de volgende vorm aan:

Geef aan als de straal van de eerste bal; als de straal van de tweede bal. Laten we de formules schrijven voor de snelheden van de constante beweging van de eerste en tweede kogel:

Uit de verkregen gelijkheden vinden we de verhouding van snelheden:

Uit de toestand van het probleem is de verhouding van de stralen van de ballen gelijk aan twee. Met behulp van deze voorwaarde vinden we de verhouding van snelheden:

Antwoord: .

Op een lichaam dat langs een hellend vlak omhoog beweegt, werken externe lichamen: a) de aarde met de zwaartekracht verticaal naar beneden gericht; b) een hellend vlak met een reactiekracht die loodrecht op het hellende vlak is gericht; c) een hellend vlak met wrijvingskracht gericht tegen de beweging van het lichaam; d) een uitwendig lichaam met een naar boven gerichte kracht langs een hellend vlak. Onder invloed van deze krachten beweegt het lichaam gelijkmatig versneld omhoog in het hellende vlak, en daarom wordt de versnellingsvector langs de beweging van het lichaam gericht. Laten we de versnellingsvector in de figuur weergeven. Laten we de tweede wet van Newton in vectorvorm schrijven:

We kiezen een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem, waarvan de OX-as is gericht langs de versnelling van het lichaam, en de OY-as loodrecht op het hellende vlak staat. We schrijven de tweede wet van Newton in projecties op deze coördinaatassen, we krijgen de volgende vergelijkingen:

De glijdende wrijvingskracht is gerelateerd aan de reactiekracht door de volgende relatie:

Uit gelijkheid (5.2) vinden we de grootte van de reactiekracht en vervangen deze in vergelijking (5.3), we hebben de volgende uitdrukking voor de wrijvingskracht:

. (5.4)

We vervangen de rechterkant van vergelijking (5.4) in plaats van de wrijvingskracht in vergelijking (5.1), we krijgen de volgende vergelijking voor het berekenen van de grootte van de gewenste kracht:

Laten we de grootte van de kracht berekenen:

Antwoord: .

Laten we alle krachten weergeven die op de lichamen en op het blok inwerken. Beschouw het proces van beweging van lichamen verbonden door een draad die over een blok wordt gegooid. De draad is gewichtloos en niet uitrekbaar, daarom zal de grootte van de spankracht in elk deel van de draad hetzelfde zijn, d.w.z. en .

De verplaatsingen van lichamen voor alle tijdsintervallen zullen hetzelfde zijn, en daarom zullen op elk moment de waarden van de snelheden en versnellingen van deze lichamen hetzelfde zijn. Uit het feit dat het blok wrijvingsloos roteert en gewichtloos is, volgt dat de spankracht van de draad aan beide zijden van het blok hetzelfde zal zijn, d.w.z.: .

Dit impliceert de gelijkheid van de spankrachten van de draad die inwerken op het eerste en tweede lichaam, d.w.z. . Laten we de versnellingsvectoren van het eerste en tweede lichaam in de figuur weergeven. Laten we twee x-assen tekenen. Laten we de eerste as langs de versnellingsvector van het eerste lichaam richten, de tweede - langs de versnellingsvector van het tweede lichaam. We schrijven de tweede wet van Newton voor elk lichaam in projectie op deze coördinaatassen:

Rekening houdend met dat , en uitdrukkend vanuit de eerste vergelijking , we substitueren in de tweede vergelijking, krijgen we

Uit de laatste gelijkheid vinden we de waarde van versnelling:

Uit gelijkheid (1) vinden we de grootte van de spankracht:

Antwoord: , .

Twee krachten werken op een kleine ring terwijl deze rond een cirkel draait: zwaartekracht, verticaal naar beneden gericht, en reactiekracht, gericht naar het midden van de ring. We geven deze krachten weer in de figuur en laten ook het traject van de ringlet zien. De centripetale versnellingsvector van de ring ligt in het vlak van de baan en is gericht naar de rotatie-as. Laten we het op de foto laten zien. Laten we de tweede wet van Newton in vectorvorm schrijven voor een roterende ringlet:

We kiezen een rechthoekig coördinatensysteem, waarvan de OX-as langs de centripetale versnelling zal worden gericht, en de OY-as - verticaal naar boven langs de rotatie-as. We schrijven de tweede wet van Newton in projecties op deze coördinaatassen:

Uit gelijkheid (7.2) vinden we de grootte van de reactiekracht en vervangen deze in vergelijking (7.1), we verkrijgen de uitdrukking:

. (7.3)

Centripetale versnelling is gerelateerd aan de rotatiesnelheid door de verhouding: , waar is de rotatiestraal van de kleine ring. Laten we de rechterkant van de laatste gelijkheid in formule (7.3) vervangen, we krijgen de volgende relatie:

. (7.4)

Uit de figuur vinden we de waarde van de tangens van de hoek alfa . Rekening houdend met deze uitdrukking, neemt gelijkheid (7.4) de vorm aan:

Uit de laatste vergelijking vinden we de vereiste hoogte:

Antwoord: .

Op een met de schijf roterend lichaam werken drie krachten: zwaartekracht, reactiekracht en wrijvingskracht, gericht op de rotatie-as. Laten we alle krachten in de figuur weergeven. Laten we in deze figuur de richting van de middelpuntzoekende versnellingsvector laten zien. We schrijven de tweede wet van Newton in vectorvorm:

We kiezen een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem zoals weergegeven in de figuur. Laten we de tweede wet van Newton in projecties op de coördinaatassen schrijven:

; (8.1)

. (8.2)

We schrijven de relatie voor centripetale versnelling:

. (8.3)

We vervangen de rechterkant van gelijkheid (8.3) in plaats van centripetale versnelling in gelijkheid (8.1), we krijgen:

. (8.4)

Uit vergelijking (8.4) blijkt dat de waarde van de wrijvingskracht recht evenredig is met de rotatiestraal, dus met een toename van de rotatiestraal neemt de statische wrijvingskracht toe, en bij een bepaalde waarde neemt de statische wrijvingskracht bereikt een maximale waarde die gelijk is aan de glijdende wrijvingskracht ().

Rekening houdend met gelijkheid (8.2), verkrijgen we uitdrukkingen voor de maximale statische wrijvingskracht:

We vervangen de rechterkant van de verkregen gelijkheid in plaats van de wrijvingskracht door gelijkheid (4), we krijgen de volgende relatie:

Uit deze vergelijking vinden we de grenswaarde van de rotatiestraal:

Antwoord: .

Tijdens de vlucht van een druppel werken er twee krachten op: zwaartekracht en weerstand. Laten we alle krachten in de figuur weergeven. We kiezen een verticaal gerichte as OY, waarvan de oorsprong zich op het aardoppervlak bevindt. Laten we de basisvergelijking van de dynamiek opschrijven:

Door gelijkheid op de OY-as te projecteren, krijgen we de relatie:

We delen beide delen van de laatste gelijkheid door en vermenigvuldigen tegelijkertijd beide delen met , er rekening mee houdend dat we de uitdrukking krijgen:

We verdelen beide delen van deze uitdrukking in , krijgen we de verhouding:

We integreren de laatste relatie, we verkrijgen de afhankelijkheid van de snelheid op tijd: .

We vinden de constante van de beginvoorwaarden ( ), verkrijgen we de gewenste afhankelijkheid van de snelheid op tijd:

Bepaal de maximale snelheid uit de voorwaarde :

Antwoord: ; .

Laten we in de figuur de krachten weergeven die op de ring werken. We schrijven de tweede wet van Newton in projecties op de assen OX, OY en OZ

Omdat , dan is voor het hele traject van de ring voor de wrijvingskracht de formule geldig, die, rekening houdend met de gelijkheid voor OZ, wordt omgezet in de vorm:

Rekening houdend met deze relatie, krijgt de gelijkheid voor de OX-as de vorm

Door de tweede wet van Newton te projecteren op de raaklijn aan de baan van de puck in het beschouwde punt, krijgen we de relatie:

waar is de waarde van tangentiële versnelling. Als we de juiste delen van de laatste gelijkheden vergelijken, concluderen we dat .

Aangezien en , rekening houdend met de vorige relatie, hebben we de gelijkheid , waarvan de integratie leidt tot de uitdrukking , waar de integratieconstante is. Vervangen in de laatste uitdrukking , verkrijgen we de afhankelijkheid van de snelheid van de hoek:

We bepalen de constante uit de beginvoorwaarden (wanneer . ). Met dit in gedachten schrijven we de laatste afhankelijkheid

De minimale snelheidswaarde wordt bereikt wanneer , en de snelheidsvector parallel aan de OX-as is gericht en de waarde gelijk is aan .

Het principe van mogelijke bewegingen: voor het evenwicht van een mechanisch systeem met ideale verbindingen is het noodzakelijk en voldoende dat de som van de elementaire arbeid van alle actieve krachten die erop werken voor elke mogelijke verplaatsing gelijk is aan nul. of in projecties: .

Het principe van mogelijke verplaatsingen geeft in algemene vorm de evenwichtsomstandigheden voor elk mechanisch systeem, geeft een algemene methode voor het oplossen van statische problemen.

Als het systeem meerdere vrijheidsgraden heeft, wordt de vergelijking van het principe van mogelijke verplaatsingen gemaakt voor elk van de onafhankelijke verplaatsingen afzonderlijk, d.w.z. er zullen net zoveel vergelijkingen zijn als het systeem vrijheidsgraden heeft.

Het principe van mogelijke verplaatsingen is handig omdat bij het overwegen van een systeem met ideale verbindingen geen rekening wordt gehouden met hun reacties en het alleen nodig is om met actieve krachten te werken.

Het principe van mogelijke bewegingen is als volgt geformuleerd:

Naar de moeder. het systeem, onderhevig aan ideale beperkingen, was in rust, het is noodzakelijk en voldoende dat de som van de elementaire arbeid die wordt uitgevoerd door actieve krachten op mogelijke verplaatsingen van de punten van het systeem positief is

Algemene dynamische vergelijking - wanneer een systeem op een bepaald moment met ideale verbindingen beweegt, zal de som van de elementaire arbeid van alle uitgeoefende actieve krachten en alle traagheidskrachten op een mogelijke beweging van het systeem gelijk zijn aan nul. De vergelijking maakt gebruik van het principe van mogelijke verplaatsingen en het d'Alembert-principe en maakt het mogelijk om differentiaalvergelijkingen van beweging op te stellen voor elk mechanisch systeem. Geeft een algemene methode voor het oplossen van problemen van dynamiek.

compilatie volgorde:

a) de gespecificeerde krachten die erop inwerken, worden op elk lichaam uitgeoefend, en ook de krachten en momenten van paren traagheidskrachten worden voorwaardelijk uitgeoefend;

b) het systeem informeren over mogelijke bewegingen;

c) stel de vergelijkingen van het principe van mogelijke verplaatsingen samen, rekening houdend met het systeem in evenwicht.

Opgemerkt moet worden dat de algemene dynamische vergelijking ook kan worden toegepast op systemen met niet-ideale bindingen, alleen in dit geval moeten de reacties van niet-ideale bindingen, zoals bijvoorbeeld de wrijvingskracht of het rollende wrijvingsmoment, worden geclassificeerd als actieve krachten.

Het werk aan de mogelijke verplaatsing van zowel actieve als traagheidskrachten wordt op dezelfde manier gezocht als het elementaire werk aan de feitelijke verplaatsing:

Mogelijke krachtwerking: .

Mogelijk werk van het moment (krachtenpaar): .

Gegeneraliseerde coördinaten van een mechanisch systeem zijn onderling onafhankelijke parameters q 1 , q 2 , ..., q S van elke dimensie, die op elk moment de positie van het systeem op unieke wijze bepalen.

Het aantal gegeneraliseerde coördinaten is S - het aantal vrijheidsgraden van het mechanische systeem. De positie van elk νe punt van het systeem, dat wil zeggen de straalvector ervan, kan in het algemeen altijd worden uitgedrukt als een functie van gegeneraliseerde coördinaten:

De algemene dynamische vergelijking in gegeneraliseerde coördinaten ziet er als volgt uit als een stelsel van S-vergelijkingen:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

hier is de gegeneraliseerde kracht die overeenkomt met de gegeneraliseerde coördinaat:

(26)

a is de gegeneraliseerde traagheidskracht die overeenkomt met de gegeneraliseerde coördinaat:

Het aantal onafhankelijke mogelijke verplaatsingen van het systeem wordt het aantal vrijheidsgraden van dit systeem genoemd. Bijvoorbeeld. de bal op het vlak kan in elke richting bewegen, maar elke mogelijke beweging kan worden verkregen als de geometrische som van twee bewegingen langs twee onderling loodrechte assen. Een vrij stijf lichaam heeft 6 vrijheidsgraden.

Gegeneraliseerde krachten. Voor elke gegeneraliseerde coördinaat kan men de bijbehorende gegeneraliseerde kracht berekenen Q k.

De berekening wordt gemaakt volgens deze regel.

Om de gegeneraliseerde kracht te bepalen Q k overeenkomend met de gegeneraliseerde coördinaat q k, moet u deze coördinaat een toename geven (verhoog de coördinaat met dit bedrag), waarbij alle andere coördinaten ongewijzigd blijven, bereken de som van de arbeid van alle krachten die op het systeem worden uitgeoefend op de overeenkomstige verplaatsingen van de punten en deel deze door de toename van de coördinaat:

(7)

waar is verplaatsing? i-dat punt van het systeem, verkregen door te veranderen k-de gegeneraliseerde coördinaat.

De gegeneraliseerde kracht wordt bepaald met behulp van elementaire arbeid. Daarom kan deze kracht anders worden berekend:

En aangezien er een toename van de straalvector is vanwege de toename van de coördinaten met de resterende coördinaten en de tijd ongewijzigd t, kan de verhouding worden gedefinieerd als een partiële afgeleide van . Dan

waarbij de coördinaten van de punten functies zijn van de gegeneraliseerde coördinaten (5).

Als het systeem conservatief is, dat wil zeggen, de beweging vindt plaats onder invloed van potentiële veldkrachten waarvan de projecties , waar , en de coördinaten van de punten zijn functies van gegeneraliseerde coördinaten, dan

De gegeneraliseerde kracht van een conservatief systeem is een partiële afgeleide van de potentiële energie ten opzichte van de overeenkomstige gegeneraliseerde coördinaat met een minteken.

Bij het berekenen van deze gegeneraliseerde kracht moet de potentiële energie natuurlijk worden gedefinieerd als een functie van de gegeneraliseerde coördinaten

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Opmerkingen.

Eerste. Bij het berekenen van de gegeneraliseerde reactiekrachten wordt geen rekening gehouden met ideale bindingen.

Tweede. De afmeting van de gegeneraliseerde kracht hangt af van de afmeting van de gegeneraliseerde coördinaat.

Lagrangevergelijkingen van de 2e soort zijn afgeleid van de algemene dynamische vergelijking in gegeneraliseerde coördinaten. Het aantal vergelijkingen komt overeen met het aantal vrijheidsgraden:

(28)

Om de Lagrange-vergelijking van de 2e soort samen te stellen, worden gegeneraliseerde coördinaten gekozen en worden gegeneraliseerde snelheden gevonden . De kinetische energie van het systeem wordt gevonden, wat een functie is van de gegeneraliseerde snelheden , en, in sommige gevallen, gegeneraliseerde coördinaten. De bewerkingen van differentiatie van de kinetische energie worden uitgevoerd, voorzien door de linkerkant van de Lagrange-vergelijkingen. De resulterende uitdrukkingen worden gelijkgesteld aan gegeneraliseerde krachten, waarvoor, naast formules (26), de volgende vaak worden gebruikt wanneer problemen oplossen:

(29)

In de teller aan de rechterkant van de formule - de som van de elementaire arbeid van alle actieve krachten op de mogelijke verplaatsing van het systeem, overeenkomend met de variatie van de i-de gegeneraliseerde coördinaat - . Met deze mogelijke verplaatsing veranderen alle andere gegeneraliseerde coördinaten niet. De resulterende vergelijkingen zijn differentiaalvergelijkingen van beweging van een mechanisch systeem met S graden van vrijheid.

De algemene dynamische vergelijking voor een systeem met beperkingen (joined d'Alembert-Lagrange principe of algemene vergelijking van de mechanica):

waar wordt de actieve kracht uitgeoefend op het -de punt van het systeem; is de sterkte van de bindingsreactie; - punttraagheidskracht; - mogelijke beweging.

In dit geval neemt (229) een van de volgende vormen aan:

. (230)

De algemene dynamische vergelijking kan andere equivalente vormen krijgen. Door het scalaire product van vectoren uit te breiden, kan het worden uitgedrukt als

de algemene dynamische vergelijking kan de vorm krijgen

In deze vorm heet het de algemene dynamische vergelijking in analytische vorm.

als de hoek wordt gerapporteerd in de richting van de boogpijl van de hoekversnelling.

Het principe van mogelijke verplaatsingen biedt een algemene methode voor het oplossen van statische problemen. Aan de andere kant maakt het d'Alembert-principe het mogelijk om de methoden van statica te gebruiken om dynamische problemen op te lossen. Door deze twee principes tegelijkertijd toe te passen, kunnen we daarom een algemene methode verkrijgen voor het oplossen van dynamische problemen.

Beschouw een systeem van materiële punten waarop ideale verbindingen worden opgelegd. Als we aan alle punten van het systeem, behalve de actieve krachten die erop werken en de reacties van de bindingen, de overeenkomstige traagheidskrachten optellen, dan zal, volgens het d'Alembert-principe, het resulterende systeem van krachten in evenwicht zijn . Dan, door het principe van mogelijke verplaatsingen op deze krachten toe te passen, verkrijgen we:

Maar de laatste som van voorwaarde (98) is gelijk aan nul en zal uiteindelijk zijn:

Uit het verkregen resultaat volgt het volgende d'Alembert-Lagrange-principe: wanneer een mechanisch systeem met ideale beperkingen op elk moment beweegt, zal de som van de elementaire arbeid van alle uitgeoefende actieve krachten en alle traagheidskrachten op elke mogelijke verplaatsing van het systeem gelijk zijn aan nul.

Vergelijking (102), die dit principe uitdrukt, wordt de algemene dynamische vergelijking genoemd. In analytische vorm heeft vergelijking (102) de vorm

Met vergelijkingen (102) of (103) kan men differentiaalvergelijkingen van beweging van een mechanisch systeem samenstellen.

Als in dit geval het systeem een verzameling is van enkele vaste lichamen, dan is het om vergelijkingen op te stellen nodig om bij de actieve krachten die op elk lichaam inwerken de kracht op te tellen die in elk middelpunt gelijk is aan de hoofdvector van traagheidskrachten, en een koppel met een moment gelijk aan het hoofdtraagheidsmoment ten opzichte van dit middelpunt (of een van deze grootheden, zie § 134) en pas dan het principe van mogelijke verplaatsingen toe.

Probleem 173. In een centrifugale regelaar die uniform rond een verticale as roteert met een hoeksnelheid co (Fig. 362), is het gewicht van elk van de kogels en gelijk aan het gewicht van de koppeling Q. Als we het gewicht van de stangen verwaarlozen, bepaal de hoek a, als

Beslissing. We tellen de middelpuntvliedende traagheidskrachten op bij de actieve krachten (de traagheidskracht van de koppeling zal uiteraard gelijk zijn aan nul) en stellen de algemene dynamische vergelijking samen in de vorm (103). Als we vervolgens de projecties van alle krachten op de coördinaatassen berekenen, verkrijgen we:

De coördinaten van de aangrijpingspunten van krachten zijn gelijk aan:

Als we deze uitdrukkingen differentiëren, vinden we:

Als we alle gevonden waarden in vergelijking (a) substitueren, krijgen we

vandaar eindelijk

Omdat de ballen afwijken wanneer . Met toenemende hoek neemt a toe, neigt naar 90 ° bij

Probleem 174. In de lift getoond in Fig. 363 wordt een draaimechanisme M toegepast op een tandwiel met een gewicht en een traagheidsstraal om zijn as. Bepaal de versnelling van de geheven last 3 op basis van gewicht Q, waarbij het gewicht van het touw en de wrijving in de assen worden verwaarloosd. De trommel, waarop het touw is gewikkeld, is stevig vastgemaakt aan een ander tandwiel; hun totale gewicht is , en de traagheidsstraal ten opzichte van de rotatieas. De stralen van de tandwielen zijn respectievelijk gelijk, en de straal van de trommel.

Beslissing. We geven de actieve kracht Q weer die op het systeem inwerkt en het koppel M (de krachten werken niet); we voegen er de traagheidskracht van de last en paren met momenten aan toe en waartoe de traagheidskrachten van roterende lichamen worden verminderd (zie § 134).