Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen

Welkom terug. In deze les zullen we zoiets prachtigs als een bepaalde integraal in detail analyseren. Deze keer zal de inleiding kort zijn. Alles. Omdat een sneeuwstorm buiten het raam.

Om te leren hoe je bepaalde integralen oplost, moet je:

1) in staat zijn vind onbepaalde integralen.

2) in staat zijn berekenen bepaalde integraal.

Zoals je kunt zien, moet je, om de bepaalde integraal onder de knie te krijgen, redelijk goed thuis zijn in de "gewone" onbepaalde integralen. Daarom, als je net begint met integraalrekening en de waterkoker nog helemaal niet heeft gekookt, is het beter om met de les te beginnen Onbepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen. Daarnaast zijn er pdf-cursussen voor: ultrasnelle training- als je letterlijk een dag, een halve dag over hebt.

In het algemeen wordt de bepaalde integraal geschreven als:

Wat is er toegevoegd ten opzichte van de onbepaalde integraal? toegevoegd integratiegrenzen.

Ondergrens van integratie
Bovengrens van integratie standaard aangeduid met de letter .
Het segment heet segment van integratie.

Voordat we verder gaan met praktische voorbeelden, een kleine faq over de bepaalde integraal.

Wat betekent het om een ​​bepaalde integraal op te lossen? Het oplossen van een bepaalde integraal betekent het vinden van een getal.

Hoe een bepaalde integraal op te lossen? Met behulp van de van school bekende Newton-Leibniz-formule:

Het is beter om de formule op een apart vel papier te herschrijven, dat moet je de hele les voor ogen hebben.

De stappen voor het oplossen van een bepaalde integraal zijn als volgt:

1) Eerst vinden we de primitieve functie (onbepaalde integraal). Merk op dat de constante in de bepaalde integraal niet toegevoegd. De aanduiding is puur technisch en de verticale stok heeft geen wiskundige betekenis, het is eigenlijk gewoon een doorhaling. Waarom is het dossier nodig? Voorbereiding voor het toepassen van de Newton-Leibniz-formule.

2) We vervangen de waarde van de bovengrens in de primitieve functie: .

3) We vervangen de waarde van de ondergrens in de antiderivaatfunctie: .

4) We berekenen (zonder fouten!) het verschil, dat wil zeggen, we vinden het getal.

Bestaat er altijd een bepaalde integraal? Nee niet altijd.

De integraal bestaat bijvoorbeeld niet omdat het integratie-interval niet is opgenomen in het domein van de integrand (waarden onder de vierkantswortel kunnen niet negatief zijn). Hier is een minder voor de hand liggend voorbeeld: . Hier, op het integratie-interval raaklijn verdraagt eindeloze pauzes op de punten , , en daarom bestaat zo'n bepaalde integraal ook niet. Trouwens, wie heeft het methodologische materiaal nog niet gelezen Grafieken en basiseigenschappen van elementaire functies- Dit is het moment om het te doen. Het zal geweldig zijn om te helpen in de loop van de hogere wiskunde.

Voor om de bepaalde integraal überhaupt te laten bestaan, is het voldoende dat de integrand continu is op het integratie-interval.

Uit het bovenstaande volgt de eerste belangrijke aanbeveling: voordat u verder gaat met de oplossing van ELKE bepaalde integraal, moet u ervoor zorgen dat de integrand continu op het integratie-interval. Als student had ik herhaaldelijk een incident waarbij ik lange tijd leed met het vinden van een moeilijke primitief, en toen ik het eindelijk vond, puzzelde ik nog een vraag: "wat voor soort onzin is er uitgekomen?". In een vereenvoudigde versie ziet de situatie er ongeveer zo uit:

???! Je kunt negatieve getallen niet vervangen onder de wortel! Wel verdomme?! aanvankelijke onzorgvuldigheid.

Als je voor een oplossing (in een toets, in een toets, een examen) een integraal zoals of aangeboden krijgt, dan moet je antwoorden dat deze bepaalde integraal niet bestaat en rechtvaardigen waarom.

! Opmerking : in het laatste geval kan het woord “zeker” niet weggelaten worden, omdat de integraal met puntdiscontinuïteiten is verdeeld in verschillende, in dit geval in 3 oneigenlijke integralen, en de formulering "deze integraal bestaat niet" wordt onjuist.

Kan de bepaalde integraal gelijk zijn aan een negatief getal? Kan zijn. En een negatief getal. En nul. Het kan zelfs oneindig blijken te zijn, maar dat zal het al zijn Onjuist integraal, die een aparte lezing krijgt.

Kan de ondergrens van integratie groter zijn dan de bovengrens van integratie? Wellicht komt een dergelijke situatie in de praktijk ook voor.

- de integraal wordt rustig berekend met de formule van Newton-Leibniz.

Waar kan de hogere wiskunde niet zonder? Uiteraard zonder allerlei eigenschappen. Daarom beschouwen we enkele eigenschappen van een bepaalde integraal.

In een bepaalde integraal kun je de boven- en ondergrenzen herschikken, terwijl je het teken verandert:

In een bepaalde integraal vóór integratie is het bijvoorbeeld raadzaam om de limieten van integratie te wijzigen in de "gewone" volgorde:

- in deze vorm is integratie veel handiger.

- dit geldt niet alleen voor twee, maar ook voor een willekeurig aantal functies.

In een bepaalde integraal kan men uitvoeren verandering van integratievariabele, in vergelijking met de onbepaalde integraal heeft dit echter zijn eigen bijzonderheden, waar we het later over zullen hebben.

Voor een bepaalde integraal, formule voor integratie door delen:

voorbeeld 1

Oplossing:

(1) We halen de constante uit het integraalteken.

(2) We integreren over de tafel met behulp van de meest populaire formule . Het is raadzaam om de verschenen constante te scheiden van en uit de beugel te halen. Het is niet nodig om dit te doen, maar het is wenselijk - waarom extra berekeningen?

. Eerst vervangen we de bovengrens, dan de ondergrens. We voeren verdere berekeningen uit en krijgen het definitieve antwoord.

Voorbeeld 2

Bereken een bepaalde integraal

Dit is een voorbeeld voor zelfoplossend vermogen, oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we het een beetje moeilijker maken:

Voorbeeld 3

Bereken een bepaalde integraal

Oplossing:

(1) We gebruiken de lineariteitseigenschappen van de bepaalde integraal.

(2) We integreren over de tafel, terwijl we alle constanten weghalen - ze zullen niet deelnemen aan de vervanging van de boven- en ondergrenzen.

(3) Voor elk van de drie termen passen we de Newton-Leibniz-formule toe:

EEN ZWAKKE VERBINDING in een bepaalde integraal zijn rekenfouten en een veel voorkomende TEKENVERWARRING. Doe voorzichtig! Ik richt me op de derde termijn: - eerste plaats in de hitparade van fouten door onoplettendheid, heel vaak schrijven ze automatisch (vooral wanneer de vervanging van de boven- en ondergrens mondeling wordt uitgevoerd en niet zo gedetailleerd is ondertekend). Bestudeer nogmaals zorgvuldig het bovenstaande voorbeeld.

Opgemerkt moet worden dat de overwogen methode voor het oplossen van een bepaalde integraal niet de enige is. Met enige ervaring kan de oplossing aanzienlijk worden verminderd. Zelf loste ik dergelijke integralen bijvoorbeeld als volgt op:

Hier gebruikte ik verbaal de regels van lineariteit, mondeling geïntegreerd over de tafel. Ik eindigde met slechts één haakje met de geschetste limieten: (in tegenstelling tot de drie haakjes in de eerste methode). En in de "hele" antiderivaatfunctie, heb ik eerst 4 vervangen, daarna -2, opnieuw alle acties in mijn hoofd uitvoerend.

Wat zijn de nadelen van de korte oplossingsmethode? Alles is hier niet erg goed vanuit het oogpunt van de rationaliteit van berekeningen, maar persoonlijk kan het me niet schelen - ik tel gewone breuken op een rekenmachine.
Daarnaast is er een verhoogd risico op het maken van fouten in de berekeningen, dus het is voor een student-dummies beter om de eerste methode te gebruiken, bij “mijn” oplossingsmethode zal het bord zeker ergens verloren gaan.

De onbetwiste voordelen van de tweede methode zijn echter de snelheid van de oplossing, de compactheid van de notatie en het feit dat het antiderivaat tussen één haakje staat.

Tip: voordat u de Newton-Leibniz-formule gebruikt, is het handig om te controleren: is het antiderivaat zelf correct gevonden?

Dus, met betrekking tot het beschouwde voorbeeld: is het raadzaam om, voordat de boven- en ondergrens in de antiderivatieve functie worden ingevuld, op een concept te controleren of de onbepaalde integraal überhaupt correct is gevonden? Differentiëren:

De oorspronkelijke integrand is verkregen, wat betekent dat de onbepaalde integraal correct is gevonden. Nu kunt u de formule van Newton-Leibniz toepassen.

Een dergelijke controle is niet overbodig bij het berekenen van een bepaalde integraal.

Voorbeeld 4

Bereken een bepaalde integraal

Dit is een voorbeeld van zelfoplossend vermogen. Probeer het op een korte en gedetailleerde manier op te lossen.

Verandering van variabele in een bepaalde integraal

Voor de bepaalde integraal zijn alle soorten vervangingen geldig, net als voor de onbepaalde integraal. Dus als je niet erg goed bent in vervangingen, moet je de les aandachtig lezen. Vervangingsmethode in onbepaalde integraal.

Er is niets engs of ingewikkelds aan deze paragraaf. De nieuwigheid zit in de vraag hoe de grenzen van integratie te veranderen bij vervanging?.

In de voorbeelden zal ik proberen om dergelijke soorten vervangingen te geven die nog nergens op de site zijn gezien.

Voorbeeld 5

Bereken een bepaalde integraal

De belangrijkste vraag hier is helemaal niet in een bepaalde integraal, maar hoe de vervanging correct uit te voeren. we kijken binnen integrale tafel en we zoeken uit hoe onze integrand er vooral uitziet? Duidelijk, op de lange logaritme: . Maar er is één inconsistentie, in de tabelintegraal onder de wortel, en in de onze - "x" tot de vierde graad. Het idee van vervanging volgt uit de redenering - het zou leuk zijn om onze vierde macht op de een of andere manier in een vierkant te veranderen. Dit is echt.

Eerst bereiden we onze integraal voor op vervanging:

Uit de bovenstaande overwegingen suggereert de vervanging zichzelf natuurlijk:
Dus alles komt goed in de noemer: .
We zoeken uit wat de rest van de integrand zal worden, hiervoor vinden we het differentieel:

In vergelijking met de vervanging in de onbepaalde integraal voegen we een extra stap toe.

Nieuwe grenzen van integratie vinden.

Het is eenvoudig genoeg. We kijken naar onze vervanging en de oude grenzen van integratie, .

Eerst vervangen we de ondergrens van integratie, dat wil zeggen nul, in de vervangingsuitdrukking:

Vervolgens vervangen we de bovengrens van integratie in de vervangingsuitdrukking, dat wil zeggen, de wortel van drie:

Klaar. En gewoon iets...

Laten we doorgaan met de oplossing.

(1) Volgens vervanging schrijf een nieuwe integraal met nieuwe integratiegrenzen.

(2) Dit is de eenvoudigste tabelintegraal die we over de tabel integreren. Het is beter om de constante buiten de haakjes te laten (u kunt dit niet doen) zodat het verdere berekeningen niet verstoort. Aan de rechterkant tekenen we een lijn die de nieuwe integratiegrenzen aangeeft - dit is een voorbereiding op het toepassen van de Newton-Leibniz-formule.

(3) We gebruiken de formule van Newton-Leibniz .

We streven ernaar om het antwoord in de meest compacte vorm te schrijven, hier heb ik de eigenschappen van logaritmen gebruikt.

Een ander verschil met de onbepaalde integraal is dat, nadat we de vervanging hebben gemaakt, er zijn geen vervangingen nodig.

En nu een paar voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing. Welke vervangingen u moet uitvoeren - probeer zelf te raden.

Voorbeeld 6

Bereken een bepaalde integraal

Voorbeeld 7

Bereken een bepaalde integraal

Dit zijn voorbeelden van zelfhulp. Oplossingen en antwoorden aan het einde van de les.

En aan het einde van de paragraaf een paar belangrijke punten, waarvan de analyse verscheen dankzij de bezoekers van de site. De eerste betreft legitimiteit van vervanging. In sommige gevallen kan het niet! Dus voorbeeld 6 lijkt op te lossen met: universele trigonometrische substitutie, maar de bovengrens van integratie ("pi") niet inbegrepen in domein deze raaklijn en daarom is deze vervanging illegaal! Op deze manier, de functie "vervanging" moet continu zijn in alles punten van het integratiesegment.

In een andere e-mail kwam de volgende vraag binnen: “Moeten we de integratiegrenzen veranderen als we de functie onder het differentieelteken brengen?”. In eerste instantie wilde ik "de onzin van me afschudden" en automatisch antwoorden "natuurlijk niet", maar toen dacht ik na over de reden van zo'n vraag en ontdekte ik plotseling dat de informatie ontbreekt. Maar het is, zij het voor de hand liggend, maar heel belangrijk:

Als we de functie onder het teken van het differentieel brengen, dan is het niet nodig om de grenzen van integratie te veranderen! Waarom? Omdat in dit geval geen daadwerkelijke overgang naar nieuwe variabele. Bijvoorbeeld:

En hier is het optellen veel handiger dan de academische vervanging door het daaropvolgende 'schilderen' van nieuwe integratiegrenzen. Op deze manier, als de bepaalde integraal niet erg ingewikkeld is, probeer dan altijd de functie onder het teken van het differentieel te brengen! Het is sneller, compacter en het is gebruikelijk - zoals je tientallen keren zult zien!

Hartelijk dank voor uw brieven!

Methode van integratie door delen in een bepaalde integraal

Er is nog minder nieuwigheid hier. Alle postings van het artikel Integratie door delen in de onbepaalde integraal zijn ook volledig geldig voor een bepaalde integraal.
Bovendien is er maar één detail, in de formule voor integratie in delen, zijn de integratiegrenzen toegevoegd:

De formule van Newton-Leibniz moet hier twee keer worden toegepast: voor het product en, nadat we de integraal hebben genomen.

Ik heb bijvoorbeeld weer het type integraal gekozen dat ik nergens anders op de site heb gezien. Het voorbeeld is niet het gemakkelijkste, maar zeer, zeer informatief.

Voorbeeld 8

Bereken een bepaalde integraal

Wij bepalen.

Gedeeltelijk integreren:

Wie had moeite met de integraal, bekijk de les Integralen van goniometrische functies, waar het uitgebreid wordt besproken.

(1) We schrijven de oplossing volgens de formule voor integratie in delen.

(2) Voor het product gebruiken we de Newton-Leibniz-formule. Voor de resterende integraal gebruiken we de eigenschappen van lineariteit en verdelen deze in twee integralen. Laat je niet verwarren door borden!

(4) We passen de formule van Newton-Leibniz toe voor de twee gevonden antiderivaten.

Om eerlijk te zijn, ik hou niet van de formule en, indien mogelijk, ... doe het helemaal zonder! Overweeg de tweede manier van oplossen, vanuit mijn oogpunt is het rationeler.

Bereken een bepaalde integraal

In de eerste stap vind ik de onbepaalde integraal:

Gedeeltelijk integreren:

Er is een anti-afgeleide functie gevonden. Het heeft in dit geval geen zin om een ​​constante toe te voegen.

Wat is het voordeel van zo'n reis? Het is niet nodig om de grenzen van integratie "mee te slepen", inderdaad, je kunt tientallen keren worden gekweld door kleine iconen van de grenzen van integratie te schrijven

In de tweede stap controleer ik:(meestal op trek).

Het is ook logisch. Als ik de antiderivatieve functie verkeerd heb gevonden, dan zal ik ook de bepaalde integraal verkeerd oplossen. Het is beter om er meteen achter te komen, laten we het antwoord differentiëren:

De oorspronkelijke integrand is verkregen, wat betekent dat de antiderivaatfunctie correct is gevonden.

De derde fase is de toepassing van de formule van Newton-Leibniz:

En daar zit een belangrijk voordeel aan! In "mijn" manier van oplossen is er een veel kleiner risico op verwarring bij vervangingen en berekeningen - de Newton-Leibniz-formule wordt slechts één keer toegepast. Als de ketel een vergelijkbare integraal oplost met behulp van de formule (de eerste manier), dan zal stopudovo ergens een fout maken.

Het overwogen oplossingsalgoritme kan worden toegepast op elke bepaalde integraal.

Beste student, print en bewaar:

Wat als er een bepaalde integraal wordt gegeven die ingewikkeld lijkt of niet meteen duidelijk is hoe deze op te lossen?

1) Eerst vinden we de onbepaalde integraal (antiderivatieve functie). Als er in de eerste etappe een tegenvaller was, heeft het geen zin om de boot te laten schommelen met Newton en Leibniz. Er is maar één manier: uw kennis en vaardigheden bij het oplossen vergroten onbepaalde integralen.

2) We controleren de gevonden antiderivaatfunctie door differentiatie. Als het verkeerd wordt gevonden, is de derde stap tijdverspilling.

3) We gebruiken de formule van Newton-Leibniz. We voeren alle berekeningen UITERST ZORGVULDIG uit - hier is de zwakste schakel in de taak.

En voor een snack een integraal voor een zelfstandige oplossing.

Voorbeeld 9

Bereken een bepaalde integraal

De oplossing en het antwoord zijn ergens in de buurt.

De volgende aanbevolen tutorial over het onderwerp is − Hoe de oppervlakte van een figuur berekenen met behulp van de bepaalde integraal?
Gedeeltelijk integreren:

Heb je ze zeker opgelost en zulke antwoorden gekregen? ;-) En er is porno op de oude vrouw.

Om te leren hoe je bepaalde integralen oplost, moet je:

1) in staat zijn vind onbepaalde integralen.

2) in staat zijn berekenen bepaalde integraal.

Zoals je kunt zien, moet je, om de bepaalde integraal onder de knie te krijgen, redelijk goed thuis zijn in de "gewone" onbepaalde integralen. Daarom, als je net begint met integraalrekening en de waterkoker nog helemaal niet heeft gekookt, is het beter om met de les te beginnen Onbepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen.

In het algemeen wordt de bepaalde integraal geschreven als:

Wat is er toegevoegd ten opzichte van de onbepaalde integraal? toegevoegd integratiegrenzen.

Ondergrens van integratie
Bovengrens van integratie standaard aangeduid met de letter .
Het segment heet segment van integratie.

Voordat we verder gaan met praktische voorbeelden, een beetje "fuck" over de bepaalde integraal.

Wat is een bepaalde integraal? Ik zou je kunnen vertellen over de diameter van de deling van het segment, de limiet van integrale sommen, enz., maar de les is van praktische aard. Daarom zal ik zeggen dat de bepaalde integraal een GETAL is. Ja, ja, het meest voorkomende nummer.

Heeft de bepaalde integraal een geometrische betekenis? Er bestaat. En heel goed. De meest populaire taak het gebied berekenen met behulp van een bepaalde integraal.

Wat betekent het om een ​​bepaalde integraal op te lossen? Het oplossen van een bepaalde integraal betekent het vinden van een getal.

Hoe een bepaalde integraal op te lossen? Met behulp van de van school bekende Newton-Leibniz-formule:

Het is beter om de formule op een apart vel papier te herschrijven, dat moet je de hele les voor ogen hebben.

De stappen voor het oplossen van een bepaalde integraal zijn als volgt:

1) Eerst vinden we de primitieve functie (onbepaalde integraal). Merk op dat de constante in de bepaalde integraal nooit toegevoegd. De aanduiding is puur technisch en de verticale stok heeft geen wiskundige betekenis, het is eigenlijk gewoon een doorhaling. Waarom is het dossier nodig? Voorbereiding voor het toepassen van de Newton-Leibniz-formule.

2) We vervangen de waarde van de bovengrens in de primitieve functie: .

3) We vervangen de waarde van de ondergrens in de antiderivaatfunctie: .

4) We berekenen (zonder fouten!) het verschil, dat wil zeggen, we vinden het getal.

Bestaat er altijd een bepaalde integraal? Nee niet altijd.

De integraal bestaat bijvoorbeeld niet omdat het integratie-interval niet is opgenomen in het domein van de integrand (waarden onder de vierkantswortel kunnen niet negatief zijn). Hier is een minder voor de hand liggend voorbeeld: . Zo'n integraal bestaat ook niet, omdat er geen raaklijn is aan de punten van het segment. Trouwens, wie heeft het methodologische materiaal nog niet gelezen Grafieken en basiseigenschappen van elementaire functies- Dit is het moment om het te doen. Het zal geweldig zijn om te helpen in de loop van de hogere wiskunde.

Om een ​​bepaalde integraal te laten bestaan, is het noodzakelijk dat de integrand continu is op het integratie-interval.

Uit het bovenstaande volgt de eerste belangrijke aanbeveling: voordat u verder gaat met de oplossing van ELKE bepaalde integraal, moet u ervoor zorgen dat de integrand continu op het integratie-interval. Als student had ik herhaaldelijk een incident waarbij ik lange tijd leed met het vinden van een moeilijke primitief, en toen ik het eindelijk vond, puzzelde ik nog een vraag: "wat voor soort onzin is er uitgekomen?". In een vereenvoudigde versie ziet de situatie er ongeveer zo uit:

???!!!

Je kunt negatieve getallen niet vervangen onder de wortel!

Als je voor een oplossing (in een test, in een test, een examen) een niet-bestaande integraal krijgt aangeboden zoals

dan moet je een antwoord geven dat de integraal niet bestaat en rechtvaardigen waarom.

Kan de bepaalde integraal gelijk zijn aan een negatief getal? Kan zijn. En een negatief getal. En nul. Het kan zelfs oneindig blijken te zijn, maar dat zal het al zijn Onjuist integraal, die een aparte lezing krijgt.

Kan de ondergrens van integratie groter zijn dan de bovengrens van integratie? Wellicht komt een dergelijke situatie in de praktijk ook voor.

- de integraal wordt rustig berekend met de formule van Newton-Leibniz.

Waar kan de hogere wiskunde niet zonder? Uiteraard zonder allerlei eigenschappen. Daarom beschouwen we enkele eigenschappen van een bepaalde integraal.

In een bepaalde integraal kun je de boven- en ondergrens herschikken, terwijl je het teken verandert:

In een bepaalde integraal vóór integratie is het bijvoorbeeld raadzaam om de limieten van integratie te wijzigen in de "gewone" volgorde:

- in deze vorm is integratie veel handiger.

Wat betreft de onbepaalde integraal, de lineariteitseigenschappen zijn geldig voor de bepaalde integraal:

- dit geldt niet alleen voor twee, maar ook voor een willekeurig aantal functies.

In een bepaalde integraal kan men uitvoeren verandering van integratievariabele, in vergelijking met de onbepaalde integraal heeft dit echter zijn eigen bijzonderheden, waar we het later over zullen hebben.

Voor een bepaalde integraal, formule voor integratie door delen:

voorbeeld 1

Oplossing:

(1) We halen de constante uit het integraalteken.

(2) We integreren over de tafel met behulp van de meest populaire formule . Het is raadzaam om de verschenen constante te scheiden van en uit de beugel te halen. Het is niet nodig om dit te doen, maar het is wenselijk - waarom extra berekeningen?

(3) We gebruiken de formule van Newton-Leibniz

.

Eerst vervangen we de bovengrens, dan de ondergrens. We voeren verdere berekeningen uit en krijgen het definitieve antwoord.

Voorbeeld 2

Bereken een bepaalde integraal

Dit is een voorbeeld voor zelfoplossend vermogen, oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Laten we het een beetje moeilijker maken:

Voorbeeld 3

Bereken een bepaalde integraal

Oplossing:

(1) We gebruiken de lineariteitseigenschappen van de bepaalde integraal.

(2) We integreren over de tafel, terwijl we alle constanten weghalen - ze zullen niet deelnemen aan de vervanging van de boven- en ondergrenzen.

(3) Voor elk van de drie termen passen we de Newton-Leibniz-formule toe:

EEN ZWAKKE VERBINDING in een bepaalde integraal zijn rekenfouten en een veel voorkomende TEKENVERWARRING. Doe voorzichtig! Ik richt me op de derde termijn:

- eerste plaats in de hitparade van fouten door onoplettendheid, heel vaak schrijven ze automatisch

(vooral wanneer de vervanging van de boven- en ondergrens mondeling wordt uitgevoerd en niet zo gedetailleerd is ondertekend). Bestudeer nogmaals zorgvuldig het bovenstaande voorbeeld.

Opgemerkt moet worden dat de overwogen methode voor het oplossen van een bepaalde integraal niet de enige is. Met enige ervaring kan de oplossing aanzienlijk worden verminderd. Zelf loste ik dergelijke integralen bijvoorbeeld als volgt op:

Hier gebruikte ik verbaal de regels van lineariteit, mondeling geïntegreerd over de tafel. Ik eindigde met slechts één haakje met de geschetste limieten:

(in tegenstelling tot de drie haakjes in de eerste methode). En in de "hele" antiderivaatfunctie, heb ik eerst 4 vervangen, daarna -2, opnieuw alle acties in mijn hoofd uitvoerend.

Wat zijn de nadelen van de korte oplossingsmethode? Alles is hier niet erg goed vanuit het oogpunt van de rationaliteit van berekeningen, maar persoonlijk kan het me niet schelen - ik tel gewone breuken op een rekenmachine.
Daarnaast is er een verhoogd risico op het maken van een fout in de berekeningen, dus het is voor een student-dummies beter om de eerste methode te gebruiken, bij “mijn” oplossingsmethode gaat het bord zeker ergens verloren.

De onbetwiste voordelen van de tweede methode zijn de snelheid van de oplossing, de compactheid van de notatie en het feit dat de primitieve

staat tussen haakjes.

Het proces van het oplossen van integralen in de wetenschap dat 'wiskunde' wordt genoemd, wordt integratie genoemd. Met behulp van integratie kun je enkele fysieke grootheden vinden: oppervlakte, volume, massa van lichamen en nog veel meer.

Integralen zijn onbepaald en bepaald. Overweeg de vorm van een bepaalde integraal en probeer de fysieke betekenis ervan te begrijpen. Het ziet er als volgt uit: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Een onderscheidend kenmerk van het schrijven van een bepaalde integraal van een onbepaalde is dat er grenzen zijn aan integratie a en b. Nu zullen we ontdekken waar ze voor zijn en wat een bepaalde integraal betekent. In geometrische zin is zo'n integraal gelijk aan het gebied van de figuur begrensd door de kromme f(x), lijnen a en b, en de as Ox.

Uit figuur 1 blijkt dat de definitieve integraal het gebied is dat grijs is gearceerd. Laten we eens kijken met een eenvoudig voorbeeld. Laten we het gebied van de figuur in de onderstaande afbeelding zoeken met behulp van integratie en het vervolgens berekenen op de gebruikelijke manier door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte.

Figuur 2 laat zien dat $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nu vervangen we ze in de definitie van de integraal, we krijgen dat $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Laten we het op de gebruikelijke manier controleren. In ons geval, lengte = 3, vormbreedte = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Zoals je kunt zien, alles paste perfect bij elkaar.

De vraag rijst: hoe kunnen onbepaalde integralen worden opgelost en wat is hun betekenis? De oplossing van dergelijke integralen is het vinden van antiderivatieve functies. Dit proces is het tegenovergestelde van het vinden van de afgeleide. Om de antiderivaat te vinden, kunt u onze hulp gebruiken bij het oplossen van problemen in de wiskunde, of u moet zelfstandig de eigenschappen van integralen en de integratietabel van de eenvoudigste elementaire functies uit het hoofd leren. Vinden ziet er als volgt uit $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(waar) F(x) $ is de primitieve van $ f(x), C = const $.

Om de integraal op te lossen, moet je de functie $ f(x) $ integreren met betrekking tot de variabele. Als de functie in tabelvorm is, wordt het antwoord in de juiste vorm geschreven. Zo niet, dan wordt het proces gereduceerd tot het verkrijgen van een tabelfunctie uit de functie $ f(x) $ door lastige wiskundige transformaties. Hier zijn verschillende methoden en eigenschappen voor, die we hieronder zullen bespreken.

Laten we nu een algoritme maken om integralen voor dummies op te lossen?

Algoritme voor het berekenen van integralen

1. Ontdek de bepaalde integraal of niet.
2. Indien niet gedefinieerd, dan moet je de anti-afgeleide functie $ F(x) $ van de integrand $ f(x) $ vinden met behulp van wiskundige transformaties die de functie $ f(x) $ naar een tabelvorm brengen.
3. Indien gedefinieerd, moet stap 2 worden uitgevoerd en vervolgens de limieten van $a$ en $b$ in de antiderivaatfunctie $F(x)$ vervangen. Met welke formule u dit moet doen, leert u in het artikel "Formule van Newton Leibniz".

Voorbeelden van oplossingen

Dus je hebt geleerd hoe je integralen voor dummies oplost, voorbeelden van het oplossen van integralen zijn gesorteerd op de planken. Ze leerden hun fysieke en geometrische betekenis. Oplossingsmethoden zullen in andere artikelen worden besproken.

Voorbeelden van het berekenen van onbepaalde integralen

Tabel Integrale Berekening

Substitutie integratie:

Voorbeelden van het berekenen van integralen

Newton-Leibniz basisformule

Vervangingsberekeningen

Hoofdstuk 4 Differentiaalvergelijkingen.

differentiaalvergelijking een vergelijking genoemd die een onafhankelijke variabele relateert X , de gewenste functie Bij en zijn afgeleiden of differentiëlen.

De symbolisch gedifferentieerde vergelijking wordt als volgt geschreven:

De differentiaalvergelijking heet normaal als de gewenste functie afhankelijk is van één onafhankelijke variabele.

bestellen differentiaalvergelijking wordt de volgorde van de hoogste afgeleide (of differentiaal) genoemd die in deze vergelijking is opgenomen.

Beslissing(of integraal) van een differentiaalvergelijking is een functie die van deze vergelijking een identiteit maakt.

Algemene oplossing(of gemeenschappelijke integraal) van een differentiaalvergelijking is een oplossing die evenveel onafhankelijke willekeurige constanten bevat als de volgorde van de vergelijking. De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de eerste orde bevat dus één willekeurige constante.

privé beslissing Een differentiaalvergelijking is een oplossing verkregen uit een algemene voor verschillende numerieke waarden van willekeurige constanten. De waarden van willekeurige constanten zijn te vinden bij bepaalde beginwaarden van het argument en de functie.

De grafiek van een bepaalde oplossing van een differentiaalvergelijking heet integrale kromme.

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking komt overeen met de verzameling (familie) van alle integrale krommen.

Differentiaalvergelijking van de eerste orde een vergelijking wordt genoemd, die afgeleiden (of differentialen) bevat die niet hoger zijn dan de eerste orde.

Differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen heet een vergelijking van de vorm

Om deze vergelijking op te lossen, moet u eerst de variabelen scheiden:

en integreer vervolgens beide delen van de resulterende gelijkheid:

1. Vind een algemene oplossing voor de vergelijking

o Als we de variabelen verdelen, hebben we

Integratie van beide delen van de resulterende vergelijking:

Omdat een willekeurige constante VAN elke numerieke waarde kan aannemen, dan voor het gemak van verdere transformaties in plaats van C wij schreven (1/2) ln C. Door de laatste gelijkheid te versterken, verkrijgen we

Dit is de algemene oplossing van deze vergelijking.

Literatuur

V. G. Boltyansky, Wat is differentiatie, "Populaire lezingen over wiskunde",

Nummer 17, Gostekhizdat 1955, 64 pp.

V.A. Gusev, A.G. Mordkovich "Wiskunde"

G. M. Fikhtengolts "Cursus differentiaal- en integraalrekening", volume 1

VM Borodikhin, Hogere wiskunde, leerboek. handleiding, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikolsky SM Hoofdstuk 9. Riemanns definitieve integrale // Cursus van wiskundige analyse. - 1990. - T.1.

Ilyin V.A., Poznyak, E.G. Hoofdstuk 6. Onbepaalde integraal // Grondbeginselen van wiskundige analyse. - 1998. - V. 1. - (Cursus hogere wiskunde en wiskundige natuurkunde).

Demidovich BP Afdeling 3. Onbepaalde integraal // Verzameling van problemen en oefeningen in wiskundige analyse. - 1990. - (Cursus hogere wiskunde en wiskundige natuurkunde).

Valutse II, Diligul G.D. Wiskunde voor technische scholen op basis van middelbare school: Textbook-2nd ed.rev. en extra M.6 Wetenschap. 1989

Kolyagin Yu.M. Yakovlev GN wiskunde voor technische scholen. Algebra en het begin van analyse delen 1 en 2. Uitgeverij "Naukka" M., 1981.

Shchipachev V.S. Taken in de hogere wiskunde: Proc. Toelage voor universiteiten. Hoger School 1997

Bogomolov N.V. Praktische lessen in de wiskunde: leerboek. Toeslag voor technische scholen. Hoger School 1997