Evenement 2 actie. Stellingen van optellen en vermenigvuldigen van kansen: hoofdtaken

vertaling

1 Antwoorden = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = a) 126; b) P(4, 5, 6) = a) P4 = 24; b) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, Onvoldoende, 9, Acties op gebeurtenissen Een gebeurtenis wordt willekeurig of mogelijk genoemd als de uitkomst van de test leidt tot het al dan niet optreden van deze gebeurtenis . Bijvoorbeeld het verlies van een wapen bij het opgooien van een munt; een gezicht laten vallen met een aantal punten gelijk aan 3 bij het werpen van een dobbelsteen. Een gebeurtenis wordt zeker genoemd als deze onder de testomstandigheden zeker zal plaatsvinden. Bijvoorbeeld het extraheren van een witte bal uit een urn met alleen witte ballen; niet meer dan 6 punten laten vallen bij het werpen van een dobbelsteen. Er wordt gezegd dat een gebeurtenis onmogelijk is als, onder de omstandigheden van de test, bekend is dat deze niet plaatsvindt. Bijvoorbeeld het verlies van zeven punten bij het werpen van één dobbelsteen; meer dan vier azen trekken uit een gewoon kaartspel. Willekeurige gebeurtenissen worden aangeduid met Latijnse letters van het alfabet A, B, C enzovoort. Gebeurtenissen zijn gezamenlijk en onverenigbaar. Gebeurtenissen worden onverenigbaar genoemd als, onder de testomstandigheden, het optreden van een van hen het optreden van de andere uitsluit. Bijvoorbeeld het verlies van een wapenschild en staart met één opgooien van een muntstuk; wisselvallig met één schot. Gebeurtenissen worden gezamenlijk genoemd als, onder de testomstandigheden, het optreden van een van hen het optreden van de andere niet uitsluit. Bijvoorbeeld een doel raken en missen bij het afvuren van twee geweren tegelijk; het verlies van twee wapenschilden bij het werpen van twee munten. Gebeurtenissen worden even waarschijnlijk genoemd als, onder de omstandigheden van een bepaalde test, de kans dat elk van deze gebeurtenissen zich voordoet, hetzelfde is. Voorbeelden van even waarschijnlijke gebeurtenissen: het verlies van een wapenschild en het verlies van muntstukken in één keer opgooien van een munt; dertien

2 een aantal punten laten vallen van 1 tot 6 bij het werpen van een dobbelsteen. De gebeurtenis C, die bestaat uit het optreden van ten minste één van de gebeurtenissen A of B, wordt de som (vereniging) van gebeurtenissen genoemd en wordt aangeduid als C = A + B (C = A B). De gebeurtenis C, die bestaat uit het gezamenlijk optreden van gebeurtenissen A en B, wordt het product (kruispunt) van deze gebeurtenissen genoemd en wordt aangeduid als C = A B (C = A B). De gebeurtenis C, die erin bestaat dat de gebeurtenis a niet plaatsvindt, wordt de tegenovergestelde gebeurtenis genoemd en wordt aangeduid met A. De som van de tegenovergestelde gebeurtenissen is een bepaalde gebeurtenis Ω, dat wil zeggen, A + A = Ω. Het product van tegengestelde gebeurtenissen is een onmogelijke gebeurtenis (V), dat wil zeggen A A = V. De verzameling mogelijke gebeurtenissen vormt een complete groep als ten minste één van deze gebeurtenissen optreedt als resultaat van testen: n A i = Ω. i=1 Als bijvoorbeeld een dobbelsteen wordt gegooid, vormen uitval van één tot zes punten een complete groep gebeurtenissen. Gebeurtenis A van vier geteste gloeilampen, allemaal defect; gebeurtenis B alle bollen zijn goed. Wat betekenen de gebeurtenissen: 1) A + B; 2) AB; 3) een; 4) B? Beslissing. 1) Gebeurtenis A is dat alle gloeilampen defect zijn en gebeurtenis B is dat alle gloeilampen goed zijn. De som van gebeurtenissen A + B betekent dat alle lampen defect of goed moeten zijn. 2) Event A B-lampen moeten zowel defect als goed zijn, dus event A B is onmogelijk. 3) A alle lampen zijn defect, dus A is ten minste één lamp goed. 4) B alle lampen zijn goed, dus B is minimaal één lamp defect. veertien

3 2.2. Er wordt willekeurig één getal uit een tabel met willekeurige getallen genomen. Gebeurtenis A het geselecteerde getal is deelbaar door 2, gebeurtenis B is het geselecteerde getal deelbaar door 3. Wat betekenen de gebeurtenissen: 1) A+B; 2) AB; 3) Een B? Beslissing. 1) De som van gebeurtenissen a + B is een gebeurtenis die bestaat uit het optreden van ten minste één van de gebeurtenissen A of B, dat wil zeggen dat een willekeurig gekozen getal deelbaar moet zijn door 2, of 3, of 6. 2) De product van gebeurtenissen A B betekent dat gebeurtenissen A en B tegelijkertijd plaatsvinden. Daarom moet het geselecteerde getal deelbaar zijn door 6. 3) A B het geselecteerde getal is niet deelbaar door Twee schutters lossen één schot op hetzelfde doel. Gebeurtenis A de eerste schutter raakt het doel; gebeurtenis B raakt de tweede schutter het doel. Wat betekenen de gebeurtenissen: a) A + B; b) AB; c) A + B; d) Een B? Beslissing. a) Gebeurtenis A+B betekent: ten minste één van de schutters raakt het doel; b) gebeurtenis A B betekent: beide pijlen raken het doel; c) gebeurtenis A+B betekent: minimaal één misser; d) gebeurtenissen A B betekent: beide maken fouten Twee schakers spelen één spel. Evenement A wordt gewonnen door de eerste speler, evenement B door de tweede speler. Welk evenement moet aan de opgegeven set worden toegevoegd om een complete groep evenementen te krijgen? Beslissing. Gebeurtenis C loting Gegeven twee dubbele blokken een 1 en een 2. Schrijf de gebeurtenis op dat het systeem gesloten is. Beslissing. Laten we de volgende notatie introduceren: A 1-gebeurtenis, bestaande uit het feit dat blok a 1 bruikbaar is; a1 a A 2 2 gebeurtenis die blok a 2 is gezond; S is een gebeurtenis dat het systeem is gesloten. De blokken zijn redundant, dus het systeem wordt gesloten wanneer ten minste één van de blokken werkt, dat wil zeggen S = A 1 + A Een systeem van drie blokken a 1, a 2, b wordt gegeven. Schrijf gebeurtenissen op - 15

4 gelijkspel, bestaande uit het feit dat het systeem gesloten is. Beslissing. Laten we de notatie introduceren: A 1 a a 1 2 b de volgende gebeurtenis, bestaande uit het feit dat blok a 1 bruikbaar is; Een 2-gebeurtenis die een 2 blokkeert, is gezond; B een gebeurtenis die erin bestaat dat blok b gezond is; S is een gebeurtenis dat het systeem is gesloten. Laten we het systeem in twee delen splitsen. De sluiting van een systeem bestaande uit dubbele blokken kan, zoals we zien, worden geschreven als een gebeurtenis A 1 + A 2. Voor de sluiting van het hele systeem is altijd de bruikbaarheid van blok B vereist, daarom S = (A 1 + A 2) B. Problemen voor onafhankelijke oplossing 2.7 . Er wordt willekeurig één getal uit een tabel met willekeurige getallen genomen. Gebeurtenis A geselecteerd nummer is deelbaar door 5, gebeurtenis B dit nummer eindigt op nul. Wat betekenen de gebeurtenissen: 1) A+B; 2) AB; 3) AB; 4) Een B? 2.8. Drie schutters schieten op een doel. Gebeurtenissen: een 1-hit op het doel door de eerste schutter; Een 2 treffer door de tweede schutter; Een 3 treffer door de derde schutter. Maak een complete groep evenementen Er zitten meerdere ballen van dezelfde grootte maar verschillende kleuren in de doos: wit, rood, blauw. Gebeurtenis K i een willekeurige rode bal; gebeurtenis Bi is wit; gebeurtenis C i is blauw. Er worden twee ballen achter elkaar verwijderd (i = 1, 2 is het serienummer van de verwijderde ballen). Schrijf de volgende gebeurtenissen op: a) gebeurtenis A, de tweede willekeurig genomen bal bleek blauw te zijn; b) gebeurtenis A; c) gebeurtenis B zijn beide ballen rood? Maak een complete groep gebeurtenissen Er worden drie schoten op het doel gelost. Gezien de gebeurtenissen A i (i = 1, 2, 3) het doelwit raken tijdens het i-de schot. Druk via A i en A i de volgende gebeurtenissen uit: 1) geen enkele treffer in 16

5 doelpunt; 2) één slag op het doel; 3) twee treffers op het doel; 4) drie treffers op het doel; 5) ten minste één treffer op het doel; 6) minstens één misser Zijn de volgende gebeurtenissen onverenigbaar: a) de ervaring van het opgooien van een munt; gebeurtenissen: A het uiterlijk van het wapen, B het verschijnen van cijfers; b) ervaar twee schoten op het doel; gebeurtenissen: Een minstens één treffer, minstens één misser Zijn de volgende gebeurtenissen even goed mogelijk: a) de ervaring van het opgooien van een munt; gebeurtenissen: A het uiterlijk van het wapen, B het verschijnen van cijfers; b) de ervaring van het opgooien van een gebogen munt; gebeurtenissen: A het uiterlijk van het wapen, B het verschijnen van cijfers; c) ervaring: schot op een doel; evenementen: A hit, B miss Maak de volgende evenementen een complete groep van evenementen: a) ervaring met het opgooien van munten; gebeurtenissen: Een wapenschild, B-figuur; b) de ervaring van het opgooien van twee munten; gebeurtenissen: A twee wapenschilden, B twee nummers Gooi een dobbelsteen. Laten we de gebeurtenissen aanwijzen: een verlies van 6 punten, B verlies van 3 punten, C verlies van een even aantal punten; D een aantal punten laten vallen dat een veelvoud van drie is. Wat zijn de relaties tussen deze gebeurtenissen? Laat A, B, C willekeurige gebeurtenissen zijn. Wat betekenen de volgende gebeurtenissen: ABC; ABC; A+BC; ABC+ABC+ +ABC; ABC+ABC+ABC+ABC? Zoek via willekeurige gebeurtenissen A, B, C uitdrukkingen voor de volgende gebeurtenissen: a) alleen gebeurtenis A vond plaats; b) A en B zijn gebeurd, C is niet gebeurd; c) alle drie de gebeurtenissen hebben plaatsgevonden; d) ten minste één van deze gebeurtenissen heeft plaatsgevonden; e) er hebben zich ten minste twee gebeurtenissen voorgedaan; e) er heeft zich slechts één gebeurtenis voorgedaan; g) er hebben zich twee en slechts twee gebeurtenissen voorgedaan; 17

ELEMENTEN VAN WAARSCHIJNLIJKE THEORIE. Kansrekening is een tak van de wiskunde die patronen bestudeert die zich voordoen in willekeurige proeven. De uitkomst van de test is willekeurig in verhouding tot de test, als tijdens deze

1 Basisconcepten van combinatoriek 1 Toepassing Definitie Het product van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met n wordt de n-factor genoemd en wordt geschreven Voorbeeld Bereken 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Betrouwbaar evenement. Een gebeurtenis wordt zeker genoemd als deze noodzakelijkerwijs onder een bepaalde reeks voorwaarden zal plaatsvinden. Symbool: Ω (waar). Onmogelijk evenement. Het evenement dat

ONDERWERP 1. BASISBEGRIPPEN VAN DE KANSBAARHEIDSTHEORIE. KLASSIEKE EN GEOMETRISCHE KANSEN Een onderwerp van kansrekening. Het concept van een willekeurige gebeurtenis. Ruimte van elementaire gebeurtenissen. klassiek en geometrisch

1.1. Klassieke definitie van waarschijnlijkheid Het basisconcept van de kanstheorie is het concept van een willekeurige gebeurtenis. Een willekeurige gebeurtenis is een gebeurtenis die, onder bepaalde voorwaarden,

De belangrijkste bepalingen van de kanstheorie Een gebeurtenis wordt willekeurig genoemd met betrekking tot bepaalde voorwaarden, die, onder toepassing van deze voorwaarden, al dan niet kunnen plaatsvinden. Kansrekening heeft

( σ-algebra - veld van willekeurige gebeurtenissen - eerste groep van axioma's van Kolmogorov - tweede groep van axioma's van Kolmogorov - basisformules van kansrekening - stelling van kansoptelling - voorwaardelijke kans

Het onderwerp van kansrekening In verschillende takken van wetenschap en technologie doen zich vaak situaties voor waarin het resultaat van elk van de vele uitgevoerde experimenten niet vooraf kan worden voorspeld, maar het is mogelijk om te onderzoeken

INHOUD THEMA III. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE... 2 1. REFERENTIEMATERIALEN... 2 1.1. BASISBEGRIPPEN EN DEFINITIES... 2 1.2. ACTIES BIJ WILLEKEURIGE GEBEURTENISSEN... 4 1.3. KLASSIEKE DEFINITIE

LES 3 INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE METHODOLOGISCHE AANBEVELINGEN MISIS 2013 GOEDGEKEURD: D.E. Kaputkin Voorzitter van de educatieve en methodologische commissie voor de uitvoering van de overeenkomst met het ministerie van Onderwijs van de bergen.

1.6. Onafhankelijke testen. Bernoulli-formule Bij het oplossen van probabilistische problemen heeft men vaak te maken met situaties waarin dezelfde test vele malen wordt herhaald en de uitkomst van elke test

Waarschijnlijkheid. Wat is het? Waarschijnlijkheidstheorie, zoals de naam al doet vermoeden, houdt zich bezig met kansen. We zijn omringd door veel dingen en fenomenen waarover het, hoe geavanceerd de wetenschap ook is, onmogelijk is om nauwkeurige voorspellingen te doen.

Praktische oefening 1. Bepaling van waarschijnlijkheid Eigenschappen van willekeurige gebeurtenissen 1. [Wentzel E.S., 1.1.] Vormen de volgende groepen gebeurtenissen een volledige groep: a) De ervaring van het opgooien van een munt; evenementen: b) Werpervaring

ONDERWERP. THEOREN VAN TOEVOEGING EN MULTIPLICATIE VAN KANSEN Bewerkingen op willekeurige gebeurtenissen. Algebra van gebeurtenissen. Het concept van de compatibiliteit van gebeurtenissen. Complete groep evenementen. Afhankelijkheid en onafhankelijkheid van willekeurige gebeurtenissen. Voorwaardelijk

Hoorcollege 2. Stellingen van optellen en vermenigvuldigen van kansen De som en het product van een gebeurtenis

Wiskunde (BkPl-100) M.P. Kharlamov studiejaar 2011/2012, 1e semester Hoorcollege 5. Onderwerp: Combinatoriek, inleiding kansrekening 1 Onderwerp: Combinatoriek Combinatoriek is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met

Lesonderwerp: "De eenvoudigste probabilistische problemen." Graad 11 Wiskundedocent Pereverzeva N.S. MOU Lyceum 6 Het is opmerkelijk dat de wetenschap, die begon met de overweging van gokken, de belangrijkste belooft te worden

Elementen van de waarschijnlijkheidstheorie. Plan. 1. Evenementen, soorten evenementen. 2. Kans op een gebeurtenis a) Klassieke kans op een gebeurtenis. b) Statistische waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. 3. Algebra van gebeurtenissen a) Som van gebeurtenissen. Waarschijnlijkheid

Onderwerp 33 "Kans op gebeurtenissen" We zeggen allemaal vaak "dit is ongelooflijk", "waarschijnlijker", "dit is onwaarschijnlijk", enz., wanneer we proberen het optreden van een gebeurtenis te voorspellen. Waarin

Federaal Agentschap voor Onderwijs Tomsk Staatsuniversiteit voor Controlesystemen en Radio-elektronica NE Lugina WORKSHOP OVER KANSENTHEORIE Leerboek Tomsk 2006 Reviewers: Cand.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Lezing 1 Willekeurige gebeurtenissen Acties op gebeurtenissen Õppejõud: I. Gusseva KANSTHEORIE Inleiding Kansrekening behandelt

KANS OP EEN WILLEKEURIGE GEBEURTENIS Kolmogorov's Axioma's In 1933 gaf AN Kolmogorov in zijn boek "Basic Concepts of Probability Theory" een axiomatische onderbouwing van de waarschijnlijkheidstheorie. "Dit betekent dat na

Huiswerk 1 "Kansrekening" Opdracht 1. 1.1. Er zijn vijf kaartjes ter waarde van één roebel, drie kaartjes voor drie roebel en twee kaartjes voor vijf roebel. Er worden willekeurig drie loten getrokken. Bepaal de waarschijnlijkheid

Examen toegepaste wiskunde voor studenten van het 2e jaar correspondentieonderwijs van de Hogere School of Economics, voorbereidingsrichting 08.03.01 constructie Optie 1 1) Een natuurlijk getal niet groter dan

Praktisch werk 3 Algebra van gebeurtenissen. Optellen en vermenigvuldigen van kansen Het doel van het werk: de berekening van de kansen van gezamenlijke gebeurtenissen beheersen, de definitie van waarschijnlijkheid met behulp van de som- en productformules. Apparatuur

MINISTERIE VAN ONDERWIJS VAN DE RUSSISCHE FEDERATIE VOLGOGRAD STAAT TECHNISCHE UNIVERSITEIT VOLGA POLYTECHNISCH INSTITUUT AFDELING WISKUNDE Kansrekening (inleiding) Deel 1 Methodisch

Vakgroep Wiskunde en Informatica Wiskunde Onderwijs- en methodologisch complex voor mbo-studenten studeren met behulp van afstandstechnologieën Module 6 Elementen van kansrekening en wiskundige statistiek

BASISBEGRIPPEN VAN DE KANSBAARHEIDSTHEORIE. 3.1. Willekeurige gebeurtenissen. Elke wetenschap werkt bij het bestuderen van de verschijnselen van de materiële wereld met bepaalde concepten, waaronder er noodzakelijkerwijs fundamentele zijn;

Praktijkwerk 2 Onderwerp 2 Totale kansformule en Bayes-formule Herhaling van experimenten (Bernoulli-schema). We zullen zeggen dat de gebeurtenissen H 1, H 2, H n een volledige groep vormen, als als resultaat van het experiment:

13 Optellen en vermenigvuldigen van kansen Een gebeurtenis A wordt een speciaal geval van een gebeurtenis B genoemd als, wanneer A zich voordoet, B optreedt en B wordt geregistreerd: Gebeurtenissen A en B worden gelijk genoemd als elk van hen een speciaal geval is

COMBINATORILE KANS Onderwerp 5 Inhoud college 1 Inleiding 2 3 4 Volgende paragraaf 1 Inleiding 2 3 4 Probleem... Probleem... Probleem... ... en oplossing: Meisje

Lezing Onderwerp: ALGEBRA VAN GEBEURTENISSEN BASISTHORMEN OVER KANS Algebra van gebeurtenissen De som van gebeurtenissen wordt de gebeurtenis S = + genoemd, die bestaat uit het optreden van ten minste één van hen Het product van gebeurtenissen en wordt genoemd

College 9

CONTROLETAKKEN Onderzoek 1 Optie 1 1. Van de 0 keramische producten die door de winkel zijn ontvangen, zijn er 4 defecte. Om de kwaliteit te controleren, selecteert de merchandiser willekeurig twee producten. Vind waarschijnlijkheid

(definities - willekeurige gebeurtenis - bewerkingen op gebeurtenissen kans op een discrete ruimte van elementaire uitkomsten klassieke definitie van kans voorbeeld hypergeometrische distributie voorbeeld

PRCTICUM Basisformules van combinatoriek Soorten gebeurtenissen Acties op gebeurtenissen Klassieke kans Geometrische waarschijnlijkheid Basisformules van combinatoriek Combinatoriek bestudeert het aantal combinaties,

LEZING 1 Kansrekeningstheorie Kansrekening is een wetenschap die regelmatigheden in willekeurige verschijnselen bestudeert. Een willekeurig fenomeen is zo'n fenomeen dat, bij herhaalde reproductie van hetzelfde

1 Waarschijnlijkheid Experimentele gegevens worden op verschillende manieren verwerkt. Meestal is de onderzoeker, die experimentele gegevens over een of meerdere groepen proefpersonen heeft ontvangen en daaruit bepaalt

Grondslagen van de kansrekening Hoorcollege 2 Inhoud 1. Voorwaardelijke kans 2. Waarschijnlijkheid van het product van gebeurtenissen 3. Waarschijnlijkheid van de som van gebeurtenissen 4. Totale kansformule Afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen Definitie

Onderwerp: Kansrekening Discipline: Wiskunde Auteurs: Nefedova G.A. Datum: 9.0.0. De kans op een willekeurige gebeurtenis kan gelijk zijn. 0,5. 3. 0. 0.7 5.5 6. - 7. 0.3. De kans op een bepaalde gebeurtenis is gelijk.

Waarschijnlijkheidstheorie Lezingsplan P Over waarschijnlijkheid als wetenschap P Basisdefinities van waarschijnlijkheid P Frequentie van een willekeurige gebeurtenis Definitie van waarschijnlijkheid P 4 Combinatoriek toepassen op tellen

Chiv via S de gebeurtenis, bestaande in het feit dat het systeem niet gesloten is, kan worden geschreven: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Net als bij de oplossing van de problemen 2.5, 2.6 krijgen we S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Onderwerp 8 Discrete willekeurige variabelen. Vaak is het resultaat van een willekeurig experiment een getal. U kunt bijvoorbeeld een dobbelsteen gooien en een van de nummers:,3,4,5,6 krijgen. U kunt naar het tankstation rijden

Voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Kansvermenigvuldigingsstelling Getal:..B Probleem: De kans op het gezamenlijk optreden van onafhankelijke gebeurtenissen A en B wordt bepaald door de formule Antwoorden:). P(A)PA(B)). P(A) + P(B)).

Hoorcollege 10 ONDERWERP Grondbeginselen van kansrekening (deel 2). Auteur: Maksim Igorevich Pisarevsky, docent aan het Center for Pre-University Training, National Research Nuclear University MEPhI. Moskou, 2017 Definities en eigenschappen Basisdefinities van de theorie

Taak Problemen oplossen in kansrekening Onderwerp: "Kans op een willekeurige gebeurtenis." Taak. De munt wordt drie keer achter elkaar opgeworpen. Met de uitkomst van het experiment bedoelen we de rij X X X. waarbij elk

Test 01 1. Willekeurige gebeurtenissen en hun classificatie. 2. Wiskundige verwachting van een willekeurige variabele. 3. Er zitten 15 rode, 9 blauwe en 6 groene ballen in een doos. Er worden willekeurig 6 ballen getrokken. Wat is de kans?

LES 1 WILLEKEURIGE GEBEURTENISSEN Het belangrijkste concept van natuurwetenschap is het concept van experiment, ongeacht of de natuur of de onderzoeker dit experiment uitvoert.

Oplossen van problemen uit de verzameling van Chudesenko Kansrekening Taken -0. Optie 6 Taak. Er wordt met twee dobbelstenen gegooid. Bepaal de kans dat: a) de som van het aantal punten N niet overschrijdt; b) werk

TOMSK STATE UNIVERSITY Faculteit der Economische Wetenschappen WORKSHOP OVER KANSTHEORIE EN WISKUNDE STATISTIEKEN VOOR ECONOMEN DEEL Tomsk 06 GOEDGEKEURD door de afdeling Wiskundige Methoden en Informatie

1 DEEL I. KANSTHEORIE HOOFDSTUK 1. 1. Elementen van combinatoriek Definitie 1. Voorbeelden: Definitie. -faculteit is het getal dat wordt aangegeven met !, terwijl! = 1** * voor alle natuurlijke getallen 1, ; daarnaast,

Paragraaf: Algemene concepten Kansrekening Willekeurige gebeurtenissen Definitie: Kansrekening is een wiskundige wetenschap die kwantitatieve patronen bestudeert in willekeurige verschijnselen Kansrekening is dat niet

Evaluatietools voor actuele voortgangsbewaking, tussentijdse certificering op basis van de resultaten van het beheersen van de discipline en educatieve en methodologische ondersteuning voor zelfstandig werk van studenten 1 Varianten van controlewerk

Vorobyov V.V. "Lyceum" van Kalachinsk, regio Omsk Workshop over het oplossen van problemen in kansrekening en wiskundige statistiek

AV Clubless Probability Theory Textbook Nizjni Novgorod 06 Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen van de Russische Federatie Federale Staat Budgettaire Onderwijsinstelling voor Hoger Beroepsonderwijs

Opgaveboek Chudesenko, kansrekening, variant Er wordt met twee dobbelstenen gegooid. Bepaal de kans dat: a de som van het aantal punten N niet overschrijdt; b het product van het aantal punten niet groter is dan N; in

Samengesteld door: Universitair hoofddocent van de afdeling Medische en Biologische Fysica Romanova N.Yu. Kansrekening 1 hoorcollege Inleiding. Kansrekening is een wiskundige wetenschap die de patronen van willekeurige verschijnselen bestudeert.

MVDubatovskaya Waarschijnlijkheidstheorie en wiskundige statistiek Lezing 3 Methoden voor het bepalen van kansen 0 Klassieke definitie van kansen We noemen alle mogelijke resultaten van een experiment elementair

1. De trein bestaat uit 12 wagons. Elk van de 7 passagiers kiest willekeurig een auto. Vind de kansen op de volgende gebeurtenissen: A = (alle passagiers stapten in de eerste drie auto's); B = (alle passagiers stapten in verschillende

Elementen van de kanstheorie Willekeurige gebeurtenissen Deterministische processen In wetenschap en technologie wordt gekeken naar processen waarvan de uitkomst met zekerheid kan worden voorspeld: Als een verschil wordt toegepast op de uiteinden van de geleider

Federaal Agentschap voor Onderwijs Staatsonderwijsinstelling voor hoger beroepsonderwijs "NATIONAAL ONDERZOEK TOMSK POLYTECHNISCHE UNIVERSITEIT" THEORIELEZING

1 Klassieke definitie van kans 1 Een stapel van 3 kaarten wordt zorgvuldig geschud Vind de kans dat alle vier de azen achter elkaar in de stapel zitten zonder andere kaarten te verwisselen Oplossing Nummer

Hoorcollege 3 VOORWAARDELIJKE KANS EN ONAFHANKELIJKHEID VAN GEBEURTENISSEN TOTALE KANSFORMULE EN DE THEOREM VAN BAYES DOEL VAN DE LEZING: de concepten van voorwaardelijke waarschijnlijkheid en onafhankelijkheid van gebeurtenissen definiëren; maak een vermenigvuldigingsregel

CONTROLETAKEN Taak. Het is noodzakelijk om het probleem op te lossen dat overeenkomt met het nummer van uw optie. De doos bevat spoelen van vier kleuren: wit 5 rood groen blauw 0. Wat is de kans dat willekeurig

1. Er zitten 14 appels in een mand, waarvan 4 rood. Willekeurig (zonder terug te keren) kregen ze 4 appels. Bereken de kans dat er precies 3 rode vissen worden gevangen. 2. Er wordt willekeurig een lijst van 20 zakelijke gesprekken opgesteld.

1. De nummers 1,..., n staan in willekeurige volgorde. Bereken de kans dat de getallen 1, 2 en 3 in de gegeven volgorde naast elkaar staan. 2. Van de tien teams gaan er vier naar de finale. Ervan uitgaande dat elk

FEDERALE STAATSBEGROTING ONDERWIJSINSTELLING VOOR HOGER PROFESSIONEEL ONDERWIJS "Chelyabinsk State Academy of Culture and Art" Department of Informatics KANSTHEORIE

THEMA 1 Combinatoriek Kansberekening Opgave 1B 17 teams nemen deel aan de nationale voetbalbeker Op hoeveel manieren zijn er gouden, zilveren en bronzen medailles te verdelen? Voor zover

We introduceren het concept: willekeurig evenementen. Omdat we in de toekomst alleen willekeurige gebeurtenissen zullen beschouwen, zullen we ze vanaf dit moment in de regel gewoon gebeurtenissen noemen.

Elke set elementaire uitkomsten, of, met andere woorden, een willekeurige deelverzameling ruimten van elementaire uitkomsten, genaamd evenement .

Elementaire uitkomsten die elementen zijn van de beschouwde subset (gebeurtenissen) worden genoemd elementaire uitkomsten, gunstig gegeven evenement , of genereren Deze evenement .

Gebeurtenissen worden aangeduid met Latijnse hoofdletters en voorzien ze indien nodig van indices, bijvoorbeeld: MAAR, BIJ 1 ,Met 3 enz.

Ze zeggen dat het evenement MAAR gebeurde (of gebeurde) als een van de elementaire uitkomsten verscheen als resultaat van het experiment.

Opmerking 1. Voor het gemak van de presentatie van het materiaal, wordt de term "gebeurtenis" als een subset van de ruimte van elementaire gebeurtenissen Ω geïdentificeerd met de term "een gebeurtenis vond plaats als gevolg van ervaring", of "een gebeurtenis bestaat in het verschijnen van een elementaire gebeurtenis". resultaten".

Dus in voorbeeld 2, waar
, evenement MAAR is een subset
. Maar we zullen ook zeggen dat het evenement MAAR is het optreden van een van de elementaire uitkomsten

Voorbeeld 1.5. In voorbeeld 2 werd aangetoond dat met een enkele worp van een dobbelsteen

waar - een elementaire uitkomst, bestaande in het verlies i punten. Denk aan de volgende gebeurtenissen: MAAR- verlies van een even aantal punten; BIJ- verlies van een oneven aantal punten; Met- verlies van een aantal punten dat een veelvoud van drie is. Het is duidelijk dat

,
,

Een gebeurtenis die bestaat uit alle elementaire uitkomsten, d.w.z. een gebeurtenis die noodzakelijkerwijs plaatsvindt in een bepaalde ervaring, wordt een bepaalde gebeurtenis genoemd.

Een bepaalde gebeurtenis wordt aangegeven met de letter Ω .

Evenement , tegenover een bepaalde gebeurtenis , heet onmogelijk. Duidelijk een onmogelijke gebeurtenis kan niet verschijnen als resultaat van ervaring. Bijvoorbeeld meer dan zes punten laten vallen bij het werpen van een dobbelsteen. Een onmogelijke gebeurtenis wordt aangeduid met Ø.

Een onmogelijke gebeurtenis bevat geen elementaire gebeurtenis. Het komt overeen met de zogenaamde "lege verzameling", die geen enkel punt bevat.

Geometrisch worden willekeurige gebeurtenissen weergegeven door reeksen punten in het domein Ω, d.w.z. regio's die binnen Ω liggen (Fig. 1.1). Een betrouwbaar evenement komt overeen met de hele regio Ω.

In de kansrekening worden verschillende operaties uitgevoerd op gebeurtenissen, waarvan de totaliteit de zogenaamde gebeurtenis algebra, nauw verwant aan de algebra van logica, veel gebruikt in moderne computers.

Rijst. 1.1 Afb. 1.2

Om de problemen van de algebra van gebeurtenissen te beschouwen, introduceren we de belangrijkste definities.

De twee gebeurtenissen worden genoemd gelijkwaardig (gelijkwaardig) als ze uit dezelfde elementaire gebeurtenissen bestaan. De gelijkwaardigheid van gebeurtenissen wordt aangegeven door het gelijkteken:

MAAR=BIJ.

Gebeurtenis B wordt het gevolg van de gebeurtenis genoemd MAAR:

MAARBIJ,

Als van het uiterlijk MAAR gevolgd door het uiterlijk BIJ. duidelijk als MAARBIJ en BIJMAAR, dan MAAR=BIJ, indien MAARBIJ en BIJMet, dan MAARMet(Afb. 1.2).

som of vereniging twee evenementen MAAR en BIJ zo'n evenement heet Met, die bestaat uit of in de realisatie van het evenement MAAR, of evenementen BIJ, of evenementen MAAR en BIJ samen. Voorwaardelijk als volgt geschreven:

Met=MAAR+BIJ of Met=MAAR
BIJ.

De som van een willekeurig getal evenementen MAAR 1 ,MAAR 2 , … , MAAR n heet een gebeurtenis Met, die bestaat uit het optreden van ten minste één van deze gebeurtenissen en wordt geschreven als

het werk of overlappen (kruising) twee evenementen MAAR en BIJ een evenement genoemd Met, die ook bestaat in de realisatie van het evenement MAAR en evenementen BIJ. Voorwaardelijk als volgt geschreven:

Met=AB of Met=MAARBIJ.

Het product van een willekeurig aantal gebeurtenissen wordt op dezelfde manier gedefinieerd. Evenement Met, gelijk aan het product n evenementen MAAR 1 ,MAAR 2 , … , MAAR n wordt geschreven als

of
.

De som en het product van gebeurtenissen hebben de volgende eigenschappen.

MAAR+BIJ=BIJ+MAAR.

(MAAR+BIJ)+Met=MAAR+(BIJ+Met)=MAAR+BIJ+Met.

AB=VA.

(AB)Met=MAAR(zon)=abc.

MAAR(BIJ+Met)=AB+AC.

De meeste zijn eenvoudig zelf te controleren. We raden aan om hiervoor een geometrisch model te gebruiken.

We presenteren het bewijs van de 5e eigenschap.

Evenement MAAR(BIJ+Met) bestaat uit elementaire gebeurtenissen die behoren tot en MAAR en BIJ+Met, d.w.z. evenement MAAR en ten minste één van de evenementen BIJ,Met. Met andere woorden, MAAR(BIJ+Met) is de verzameling elementaire gebeurtenissen die bij de gebeurtenis horen AB, of een evenement AC, d.w.z. evenement AB+AC. geometrische gebeurtenis MAAR(BIJ+Met) is het gemeenschappelijke deel van de regio's MAAR en BIJ+Met(Fig. 1.3.a), en de gebeurtenis AB+AC- gebieden samenvoegen AB en AC(Fig. 1.3.b), d.w.z. hetzelfde gebied MAAR(BIJ+Met).

Rijst. 1.3.a Afb. 1.3.b

Evenement Met, wat betekent dat de gebeurtenis MAAR gebeurt en het evenement BIJ gebeurt niet, heet verschil evenementen MAAR en BIJ. Voorwaardelijk als volgt geschreven:

Met=MAAR-BIJ.

Evenementen MAAR en BIJ genaamd gewricht als ze in hetzelfde proces kunnen verschijnen. Dit betekent dat er zulke elementaire gebeurtenissen zijn die deel uitmaken van en MAAR en BIJ tegelijkertijd (Fig. 1.4).

Evenementen MAAR en BIJ genaamd onverenigbaar , als het uiterlijk van een van hen het uiterlijk van de ander uitsluit, d.w.z. indien AB= Ø. Met andere woorden, er is geen enkele elementaire gebeurtenis die deel zou uitmaken van en MAAR en BIJ tegelijkertijd (afb. 1.5). In het bijzonder tegengestelde gebeurtenissen en altijd onverenigbaar.

Rijst. 1.4 Afb. 1.5

Evenementen
genaamd paarsgewijs onverenigbaar als er twee onverenigbaar zijn.

Evenementen
formulier volledige groep , als ze paarsgewijs onverenigbaar zijn en samen een betrouwbare gebeurtenis geven, d.w.z. als voor enige i, k

Ø;
.

Vanzelfsprekend moet elke elementaire gebeurtenis deel uitmaken van één en slechts één gebeurtenis van de volledige groep
. Geometrisch betekent dit dat de hele regio Ω van de regio
delen door n onderdelen die onderling geen gemeenschappelijke punten hebben (Fig. 1.6).

Tegenover evenementen en vertegenwoordigen het eenvoudigste geval van een volledige groep.

U kunt verschillende acties uitvoeren op gebeurtenissen terwijl u andere gebeurtenissen ontvangt. Laten we deze acties definiëren.

Definitie 2.13.

Als voor elke proef waarin zich een gebeurtenis voordoet MAAR, plaatsvindt en de gebeurtenis BIJ, dan het evenement MAAR genaamd speciaal geval evenementen B.

Ze zeggen ook dat een houdt in B, en schrijf: ( MAAR geïnvesteerd in BIJ) of (Afb. 2.1).

Laat het evenement bijvoorbeeld MAAR bestaat uit het verschijnen van twee punten bij het werpen van een dobbelsteen, en het evenement BIJ bestaat uit het verschijnen van een even aantal punten bij het werpen van een dobbelsteen B = (2; 4; 6). Dan het evenement MAAR er is een speciaal geval van het evenement BIJ omdat twee een even getal is. We kunnen opschrijven.

Rijst. 2.1 . Evenement MAAR- een speciaal geval van een evenement BIJ

Definitie 2.14.

Als een MAAR houdt in BIJ, a BIJ houdt in MAAR, dan deze evenementen zijn gelijk aan , omdat ze samen aanvallen of niet samen aanvallen.

Van wat en (volgt) A = B.

Bijvoorbeeld, MAAR- een gebeurtenis die bestaat uit het feit dat een even aantal van minder dan drie op een dobbelsteen viel. Dit evenement is gelijk aan het evenement BIJ, bestaande uit het feit dat de nummer 2 op een dobbelsteen viel.

Definitie 2.15.

Een gebeurtenis die bestaat uit het gezamenlijk optreden van beide gebeurtenissen en MAAR, en BIJ, wordt genoemd kruispunt deze gebeurtenissen A∩B, of het werk deze gebeurtenissen AB(Afb. 2.2).

Rijst. 2.2. Kruising van evenementen

Laat het evenement bijvoorbeeld MAAR bestaat in het verlies van een even aantal punten bij het werpen van een dobbelsteen, dan wordt het offensief begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande in het verlies van 2, 4 en 6 punten. MAAR -(2; 4; 6). Evenement BIJ bestaat in het verlies van een aantal punten meer dan drie bij het werpen van een dobbelsteen, dan wordt het begin begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande in het verlies van 4, 5 en 6 punten. BIJ= (4; 5; 6). Dan door het snijpunt of product van gebeurtenissen MAAR en BIJ er zal een evenement zijn dat bestaat uit het verlies van een even aantal punten groter dan drie (het evenement MAAR, en evenement BIJ):

A∩B =AB={4; 6}.

Het snijpunt van gebeurtenissen, waarvan er één MAAR- het verlies van een dame uit een pak kaarten, en nog een BIJ- klaverenverlies, er zal een klaverenkoningin zijn.

Opmerking. Als twee gebeurtenissen MAAR en BIJ onverenigbaar zijn, dan is hun gezamenlijke offensief onmogelijk AB = 0.

Definitie 2.16.

Een gebeurtenis die bestaat uit een gebeurtenis of een gebeurtenis MAAR, of evenementen BIJ(ten minste één van de gebeurtenissen, ten minste één van deze gebeurtenissen), wordt hun unie genoemd MAAR en BIJ, of de som van gebeurtenissen MAAR en BIJ en wordt aangegeven met A + B (Fig. 2.3).

Rijst. 2.3. Evenementen samenvoegen

Bijvoorbeeld evenement MAAR bestaat in het verlies van een even aantal punten bij het werpen van een dobbelsteen, dan wordt het optreden ervan begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande in het verlies van 2, 4 en 6 punten, of MAAR -(2; 4; 6). evenement BIJ bestaat uit het verlies van een aantal punten meer dan drie bij het werpen van een dobbelsteen, dan wordt het begin begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande uit het verlies van 4, 5 en 6 punten, of B \u003d (4; 5; 6). Dan de vakbond, of de som van gebeurtenissen MAAR en BIJ er zal een evenement zijn dat bestaat uit het verlies van ten minste één van hen - ofwel een even aantal punten, of een aantal punten groter dan drie (uitgevoerd of het evenement MAAR, of evenement BIJ):

A ∩ B = A + B ={2; 4; 5; 6}.

Definitie 2.17.

Een gebeurtenis die bestaat in het feit dat de gebeurtenis MAAR gebeurt niet, wordt het tegenovergestelde van de gebeurtenis genoemd MAAR en wordt aangeduid met Ā (Afb. 2.4).

Rijst. 2.4. Tegenover evenementen

Laat het evenement bijvoorbeeld MAAR bestaat in het verlies van een even aantal punten bij het werpen van een dobbelsteen, dan wordt het optreden ervan begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande in het verlies van 2, -4 en 6 punten, of A =(2; 4; 6). Dan het evenement Ā bestaat in het verlies van een oneven aantal punten, en het optreden ervan wordt begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande in het verlies van 1e, 3e en 5e punt. Ā ={1;3;5}.

Definitie 2.18.

Gebeurtenis (A en B), bestaande in het feit dat: MAAR gebeurt, maar niet gebeurt, wordt het verschil van gebeurtenissen genoemd MAAR en BIJ en wordt aangeduid met A-B. Van deze notatie kan echter worden afgezien, aangezien uit de definitie volgt dat: A-B-(Afb. 2.5).

Rijst. 2.5. Evenement verschil MAAR en BIJ

Laat het evenement bijvoorbeeld MAAR bestaat uit het verlies van een even aantal punten bij het werpen van een dobbelsteen, dan A =(2; 4; 6). Evenement BIJ bestaat in het verlies van een aantal punten meer dan drie. BIJ= {4; 5; 6}.

Dan - een gebeurtenis die bestaat uit het verlies van het aantal punten van niet meer dan drie, en het optreden ervan wordt begunstigd door elementaire gebeurtenissen bestaande uit het verlies van het 1e, 2e en 3e punt. = {1; 2; 3}.

verschil van gebeurtenissen MAAR en BIJ er zal een evenement zijn dat erin bestaat dat het evenement wordt uitgevoerd MAAR en het evenement wordt niet uitgevoerd BIJ. Zijn offensief wordt begunstigd door een elementaire gebeurtenis die bestaat uit het verlies van 2 punten:

A-B= A∩= {2}.

definities bedragen en producten evenementen gelden voor meer evenementen:

A + B + ... + N =(MAAR of BIJ, of of N) (2.1)

er is een gebeurtenis die bestaat uit de gebeurtenis ten minste een van evenementen A, B, ... Nee;

AB ... N =(MAAR en BIJ en en N), (2.2)

er is een evenement dat gezamenlijk offensief alle evenementen A, B, ... N.

De som en het product van een oneindig aantal gebeurtenissen worden op dezelfde manier gedefinieerd A 1, A 2, ... A p, ...

Merk op dat desalniettemin sommige regels van de algebra bewaard zijn gebleven voor acties op gebeurtenissen. Er is bijvoorbeeld een commutatieve wet (communicativiteit):

A + B \u003d B + A, AB \u003d BA,(2.3)

de distributieve wet (distributiviteit) geldt:

(A + B) C \u003d AC + BC,(2.4)

aangezien de linker- en rechterkant de gebeurtenis vertegenwoordigen die gebeurtenis C en ten minste één van de gebeurtenissen MAAR en BIJ. De associatiewet (associativiteit) is ook geldig:

A + (B + C) \u003d (A + B) + C \u003d A + B + C;

A(BC) = (AB)C = ABC.(2.5)

Bovendien zijn er zulke gelijkheden die in de gewone algebra absurd lijken. Bijvoorbeeld voor elke A, B, C:

AA=A(2.6)

A+A= MAAR(2.7)

A+AB= MAAR(2.8)

AB + C \u003d (A + C) (B + C)(2.9)

Tegengestelde gebeurtenissen zijn gerelateerd:

De wet van dubbele ontkenning:

= een;(2.10)

de wet van de uitgesloten midden

MAAR + = Ω. (hun som is een bepaalde gebeurtenis); (2.11)

De wet van tegenspraak:

A =Ø(het product van hun onmogelijke gebeurtenis). (2.12)

Gelijkheden (2.6)-(2.12) worden bewezen voor proposities in de loop van discrete wiskunde. We nodigen de lezer uit om dit zelf te controleren aan de hand van de definities van de som en het product van gebeurtenissen.

Als een B \u003d A 1 + A 2 + ... + A p en evenementen MAAR zijn paarsgewijs onverenigbaar, d.w.z. elk is onverenigbaar met de andere: A j A k= Ø bij i≠k zeg dat het evenement B is onderverdeeld in bijzondere gevallen A 1, A 2 , ..., A pag. Bijvoorbeeld evenement BIJ, bestaande in het verlies van een oneven aantal punten, wordt onderverdeeld in speciale gevallen E1, E3, E5, bestaande uit respectievelijk het verlies van 1, 3 en 5 punten.

Op basis van de definitie van acties op gebeurtenissen kunnen we een complete groep gebeurtenissen duidelijker definiëren.

Definitie 2.19.

Als een A 1 + A 2 + ... + A p = Ω , d.w.z. als ten minste een van de gebeurtenissen A 1 + A 2 + ... + A p moet zeker uitkomen, en als tegelijkertijd een j paarsgewijs incompatibel (d.w.z. bepaalde gebeurtenis) Ω onderverdeeld in speciale gevallen A 1 + A 2 + ... + A p), dan zeggen we dat de gebeurtenissen A 1 + A 2 + ... + A p een complete groep evenementen vormen. Dus, als A 1 + A 2 + ... + A p- een complete groep gebeurtenissen, dan vindt bij elke test één en slechts één van de gebeurtenissen noodzakelijkerwijs plaats A 1 + A 2 + ... + A p.

Als u bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit, omvat de volledige groep gebeurtenissen ook de gebeurtenissen E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 en E6, bestaande uit respectievelijk het verlies van 1, 2, 3,4, 5 en 6 punten.

Algemene probleemstelling: de kansen van sommige gebeurtenissen zijn bekend, maar de kansen van andere gebeurtenissen die met deze gebeurtenissen samenhangen, moeten worden berekend. Bij deze problemen is er behoefte aan bewerkingen op kansen als optellen en vermenigvuldigen van kansen.

Zo zijn er tijdens de jacht twee schoten gelost. Evenement EEN- een eend raken vanaf het eerste schot, evenement B- treffer vanaf het tweede schot. Dan de som van gebeurtenissen EEN en B- raak vanaf het eerste of tweede schot of vanaf twee schoten.

Taken van een ander type. Er worden verschillende evenementen gegeven, er wordt bijvoorbeeld drie keer met een munt gegooid. Het is nodig om de kans te vinden dat het wapen alle drie de keren uit zal vallen, of dat het wapen er minstens één keer uit zal vallen. Dit is een vermenigvuldigingsprobleem.

Toevoeging van kansen op onverenigbare gebeurtenissen

Kansoptelling wordt gebruikt wanneer het nodig is om de waarschijnlijkheid van een combinatie of een logische som van willekeurige gebeurtenissen te berekenen.

Som van gebeurtenissen EEN en B aanwijzen EEN + B of EEN ∪ B. De som van twee gebeurtenissen is een gebeurtenis die optreedt als en slechts als ten minste één van de gebeurtenissen plaatsvindt. Het betekent dat EEN + B- een gebeurtenis die optreedt als en alleen als een gebeurtenis plaatsvindt tijdens de observatie EEN of evenement B, of tegelijkertijd EEN en B.

Als evenementen EEN en B onderling inconsistent zijn en hun kansen zijn gegeven, wordt de waarschijnlijkheid dat een van deze gebeurtenissen zal plaatsvinden als resultaat van één proef berekend door het optellen van kansen.

De stelling van optelling van kansen. De kans dat een van de twee onderling onverenigbare gebeurtenissen plaatsvindt, is gelijk aan de som van de kansen van deze gebeurtenissen:

Zo zijn er tijdens de jacht twee schoten gelost. Evenement MAAR- een eend raken vanaf het eerste schot, evenement BIJ– treffer vanaf het tweede schot, gebeurtenis ( MAAR+ BIJ) - raak vanaf het eerste of tweede schot of vanaf twee schoten. Dus als twee gebeurtenissen MAAR en BIJ zijn onverenigbare gebeurtenissen, dan MAAR+ BIJ- het optreden van ten minste één van deze gebeurtenissen of twee gebeurtenissen.

voorbeeld 1 Een doos bevat 30 ballen van dezelfde grootte: 10 rode, 5 blauwe en 15 witte. Bereken de kans dat een gekleurde (niet witte) bal wordt gepakt zonder te kijken.

Beslissing. Laten we aannemen dat de gebeurtenis MAAR– “de rode bal is genomen”, en het evenement BIJ- "De blauwe bal is ingenomen." Dan is het evenement "een gekleurde (niet witte) bal wordt genomen". Vind de kans op een gebeurtenis MAAR:

en evenementen BIJ:

Evenementen MAAR en BIJ- onderling onverenigbaar, want als één bal wordt genomen, kunnen ballen van verschillende kleuren niet worden genomen. Daarom gebruiken we de optelling van kansen:

De stelling van optelling van kansen voor verschillende onverenigbare gebeurtenissen. Als de gebeurtenissen de volledige reeks gebeurtenissen vormen, is de som van hun kansen gelijk aan 1:

De som van de kansen op tegengestelde gebeurtenissen is ook gelijk aan 1:

Tegenoverliggende gebeurtenissen vormen een volledige reeks gebeurtenissen, en de kans op een volledige reeks gebeurtenissen is 1.

De kansen op tegengestelde gebeurtenissen worden meestal in kleine letters aangegeven. p en q. In het bijzonder,

waaruit de volgende formules voor de kans op tegengestelde gebeurtenissen volgen:

Voorbeeld 2 Het doel in het streepje is verdeeld in 3 zones. De kans dat een bepaalde schutter op een doel in de eerste zone schiet is 0,15, in de tweede zone - 0,23, in de derde zone - 0,17. Bereken de kans dat de schutter het doel raakt en de kans dat de schutter het doel mist.

Oplossing: Bereken de kans dat de schutter het doel raakt:

Bereken de kans dat de schutter het doel mist:

Moeilijkere taken waarbij je zowel optellen als vermenigvuldigen van kansen moet toepassen - op de pagina "Diverse taken voor optellen en vermenigvuldigen van kansen".

Toevoeging van kansen op onderling gezamenlijke gebeurtenissen

Twee willekeurige gebeurtenissen zijn gezamenlijk als het optreden van een gebeurtenis het optreden van een tweede gebeurtenis in dezelfde waarneming niet uitsluit. Als u bijvoorbeeld een dobbelsteen gooit, is de gebeurtenis MAAR wordt beschouwd als het voorkomen van het getal 4, en de gebeurtenis BIJ- een even getal laten vallen. Aangezien het getal 4 een even getal is, zijn de twee gebeurtenissen compatibel. In de praktijk zijn er taken voor het berekenen van de kansen op het optreden van een van de onderling samenhangende gebeurtenissen.

De stelling van optelling van kansen voor gezamenlijke gebeurtenissen. De kans dat een van de gezamenlijke gebeurtenissen zich voordoet is gelijk aan de som van de kansen van deze gebeurtenissen, waarvan de kans op het gezamenlijk optreden van beide gebeurtenissen wordt afgetrokken, dat wil zeggen het product van de kansen. De formule voor de kansen op gezamenlijke gebeurtenissen is als volgt:

Omdat de gebeurtenissen MAAR en BIJ compatibel, evenement MAAR+ BIJ treedt op als een van de drie mogelijke gebeurtenissen plaatsvindt: of AB. Volgens de stelling van optelling van onverenigbare gebeurtenissen, berekenen we als volgt:

Evenement MAAR treedt op als een van de twee onverenigbare gebeurtenissen optreedt: of AB. De kans op het optreden van één gebeurtenis uit verschillende onverenigbare gebeurtenissen is echter gelijk aan de som van de kansen van al deze gebeurtenissen:

Op dezelfde manier:

Door uitdrukkingen (6) en (7) in uitdrukking (5) te vervangen, verkrijgen we de kansformule voor gezamenlijke gebeurtenissen:

Bij het gebruik van formule (8) moet er rekening mee worden gehouden dat de gebeurtenissen MAAR en BIJ kan zijn:

onderling onafhankelijk;
onderling afhankelijk.

Waarschijnlijkheidsformule voor onderling onafhankelijke gebeurtenissen:

Waarschijnlijkheidsformule voor onderling afhankelijke gebeurtenissen:

Als evenementen MAAR en BIJ inconsistent zijn, dan is hun toeval een onmogelijk geval en dus P(AB) = 0. De vierde kansformule voor onverenigbare gebeurtenissen is als volgt:

Voorbeeld 3 In autoracen, bij het rijden in de eerste auto, de kans om te winnen, bij het rijden in de tweede auto. Vinden:

de kans dat beide auto's zullen winnen;
de kans dat ten minste één auto zal winnen;

1) De kans dat de eerste auto wint, hangt niet af van het resultaat van de tweede auto, dus de gebeurtenissen MAAR(eerste auto wint) en BIJ(tweede auto wint) - onafhankelijke evenementen. Bereken de kans dat beide auto's winnen:

2) Bereken de kans dat een van de twee auto's wint:

Moeilijkere taken waarbij je zowel optellen als vermenigvuldigen van kansen moet toepassen - op de pagina "Diverse taken voor optellen en vermenigvuldigen van kansen".

Los het probleem van het optellen van kansen zelf op, en kijk dan naar de oplossing

Voorbeeld 4 Er worden twee munten gegooid. Evenement EEN- verlies van wapenschild op de eerste munt. Evenement B- verlies van wapenschild op de tweede munt. Vind de kans op een gebeurtenis C = EEN + B .

Kansvermenigvuldiging

Vermenigvuldiging van kansen wordt gebruikt wanneer de kans op een logisch product van gebeurtenissen moet worden berekend.

In dit geval moeten willekeurige gebeurtenissen onafhankelijk zijn. Van twee gebeurtenissen wordt gezegd dat ze onderling onafhankelijk zijn als het optreden van een gebeurtenis geen invloed heeft op de kans op het optreden van de tweede gebeurtenis.

Kansvermenigvuldigingsstelling voor onafhankelijke gebeurtenissen. De kans op het gelijktijdig optreden van twee onafhankelijke gebeurtenissen MAAR en BIJ is gelijk aan het product van de kansen op deze gebeurtenissen en wordt berekend met de formule:

Voorbeeld 5 De munt wordt drie keer achter elkaar opgeworpen. Bereken de kans dat het wapen alle drie de keren uit zal vallen.

Beslissing. De kans dat het wapen zal vallen bij de eerste keer opgooien van een munt, de tweede keer en de derde keer. Bereken de kans dat het wapen alle drie de keren uitvalt:

Los problemen voor het vermenigvuldigen van kansen zelf op, en kijk dan naar de oplossing

Voorbeeld 6 Er is een doos met negen nieuwe tennisballen. Er worden drie ballen genomen voor het spel, na het spel worden ze teruggelegd. Bij het kiezen van ballen maken ze geen onderscheid tussen gespeelde en ongespeelde ballen. Wat is de kans dat er na drie games geen ongespeelde ballen in het strafschopgebied liggen?

Voorbeeld 7 32 letters van het Russische alfabet zijn geschreven op uitgesneden alfabetkaarten. Vijf kaarten worden willekeurig, de een na de ander, getrokken en op de tafel gelegd in de volgorde waarin ze verschijnen. Bereken de kans dat de letters het woord "einde" vormen.

Voorbeeld 8 Van een volledig pak kaarten (52 vellen) worden er vier kaarten tegelijk uitgenomen. Bereken de kans dat alle vier deze kaarten van dezelfde soort zijn.

Voorbeeld 9 Hetzelfde probleem als in voorbeeld 8, maar elke kaart wordt na het trekken terug in de stapel gelegd.

Meer complexe taken, waarbij u zowel optellen als vermenigvuldigen van kansen moet toepassen, en het product van verschillende gebeurtenissen moet berekenen, op de pagina "Verschillende taken voor optellen en vermenigvuldigen van kansen" .

De kans dat ten minste één van de van elkaar onafhankelijke gebeurtenissen plaatsvindt, kan worden berekend door het product van de kansen op tegengestelde gebeurtenissen van 1 af te trekken, dat wil zeggen met de formule.