Спочатку розглянемо рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера. Для цього використовуємо вже вирішений приклад 8.

У EXCEL реалізовано функцію обчислення визначників (див. п.7). Запишемо матрицю коефіцієнтів та матриці, отримані з неї заміною по черзі всіх стовпців на стовпець вільних членів. Лістинг обчислень представлений на рис. 8:

Матриці записані у діапазонах

А значення визначників – у осередках . Стовпець вільних членів – G2:G6. Рішення системи - в I2: I6.

Той самий прикладвирішимо за допомогою зворотної матриці. У EXCEL реалізовані функції знаходження зворотних матриць і перемноження матриць (див. п.7). Лістинг рішення подано на рис. 9. У діапазоні записана матриця коефіцієнтів, у комірках – вектор вільних членів, у діапазоні зворотна матриця, у комірках – рішення системи, поліковане як наслідок множення матриці на матрицю .

Запропонуємо ще один спосіб вирішення лінійних систем EXCELL. Можливо, для систем він не видасться ефективним, проте знайомство з ним корисне для вирішення задач оптимізації, зокрема задач лінійного програмування. Інструментом для цього методу є процедура Пошук рішення,яка знаходиться в Надбудови.Після виклику процедури з'являється вікно на рис. 11.

Покажемо рішення системи з прикладу.

приклад 12.Вирішити систему

У комірки введена матриця коефіцієнтів рівнянь системи, - коефіцієнти останнього рівняння, в комірки G3:G6 - стовпець вільних членів. Осередки B1:E1 відведемо для значень невідомих. У осередках F3:F6 порахуємо суму творів коефіцієнтів кожного рівняння на невідомі (для цього скористаємося вбудованою функцією СУММПРОІЗВ). Виберемо комірку F6 як цільову та викличемо процедуру Пошук рішення. У віконці встановимо, що цільовий осередок має бути рівноювільному члену останнього рівняння і заповнимо поля. В полі «змінюючи осередки»введемо B1: E1. В полі «обмеження»будемо вводити перші рівняння. А саме, значення в комірці F3 має дорівнювати заданому значеннюв осередку G3 (1-е рівняння). Аналогічно додаємо два інші рівняння. Після заповнення всіх полів натискаємо.

Вирішення систем лінійних рівнянь в Excel

1. Введення

Багато завдань організації будівельного виробництва зводяться до розв'язання систем лінійних рівнянь виду:

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 1,
				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
	n 1 1

званою системою n лінійних алгебраїчних рівнянь(СЛАУ) з n

невідомими.

У цьому довільні числа a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n ) називаються

коефіцієнтами за невідомих, а числа b i (i = 1, 2,…, n ) – вільними

членами.

Систему(1) можна записати у матричній формі

A X = B,

де A - матриця коефіцієнтів при невідомих:

					a2 n
			an 1	an 1
	an 1				an 1

X – вектор- стовпець невідомих X = (x1, x2, …, xn) T:

B – вектор-стовпець вільних членів:

b 2B ,

або B = (b 1, b 2, ..., b n) T.

2. Операції з матрицями в Excel

У Excel для операцій з матрицями служать функції категорії «Математичні»:

1) МОПРЕД(матриця) – обчислення визначника матриці; 2) МОБР(матриця) – обчислення зворотної матриці, 3) МУМНІЖ(матриця1;матриця2)– добуток матриць, 4) ТРАНСП (матриця) – транспонування матриці.

Перша з цих функцій як результат повертає число(визначник матриці), тому вводиться як звичайна формула (ENTER).

Останні три повертають блок осередків, тому повинні вводитись як формули масиву (CTRL+SHIFT+ENTER ).

Розглянемо задачу рішення СЛАУ на наступному прикладі

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x1 4x2 8x3 18.

Матриця коефіцієнтів при невідомих A (3) має вигляд

а вектор-стовпець вільних членів (5) B = (-24, -48, 18) T .

Вирішимо СЛАУ (7) у середовищі MS Excel трьома різними способами.

Матричний спосіб розв'язання (зворотної матриці)

Обидві частини матричної рівності (2) помножимо на зворотну матрицюА-1. Отримаємо A –1 A X = A –1 B . Оскільки A –1 A =E , деE – одинична матриця(Діагональна матриця, у якої по головній діагоналі розташовані одиниці). Тоді рішення системи (2) запишеться у такому вигляді

МУМНОЖ(матриця1;матриця2),завершуючи у кожному випадку введення комбінацією

CTRL+SHIFT+ENTER.

Метод Крамера

Рішення СЛАУ знаходиться за формулами Крамера

	det A
		det A
	det A 2
		det A
	det A
	det A

де det A = A – визначник матриці (3) системи (головний визначник), det A i = A i (i = 1, 2, …, n ) – визначники матриці A i (допоміжні визначники), які виходять з A заміною i -го стовпця на стовпець вільних членів B (5).

Для аналізованої СЛАУ (7) допоміжні матриці мають такий вигляд

A 148

Розмістимо їх у робочому аркуші (рис. 1).

Аналогічна формула (=МОПРЕД(A3:C5) ) для обчислення визначника матриці записана в комірку E8 . Залишилося знайти рішення системи. Відповідні формули Excelзапишемо в інтервал рішення B7: B9 (рис. 3), в якому побачимо результат (рис. 4).

Зверніть увагу (рис. 3), що з обчисленні x i (i = 1, 2, 3)

аналізується значення визначника матриці системи A , обчислене в осередку E8, і якщо воно дорівнює нулю, то в B7 міститься текст «Рішення немає», а в осередку B8 і B9 – порожні рядки.

3. Рішення СЛАУ із використанням інструменту Пошук рішення

Широкий клас виробничих завданьстановлять завдання оптимізації. Завдання оптимізації передбачають пошук значень аргументів, що доставляють функції, яку називають цільовою, мінімальною або максимальне значенняза наявності будь-яких додаткових обмежень. Excel має у своєму розпорядженні потужний засіб для вирішення оптимізаційних завдань.

Це інструмент-надбудова, який називається Пошук рішення (Solver )

(доступний через меню Сервіс  Пошук рішення).

Завдання рішення СЛАУ можна звести до оптимізаційного завдання.

Для чого одне з рівнянь (наприклад, перше) взяти як цільової функції, А що залишилися n -1 розглядати як обмеження.

Запишемо систему(1) у вигляді

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
							b 0.
	n 1 1

Для вирішення цього завдання необхідно записати вирази (формули) для обчислення значень функцій, що стоять ліворуч у рівняннях системи (12). Наведемо для прикладу під ці формули інтервал C7: C9. У комірку C7 введемо формулу =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 і скопіюємо її в C8 і C9, що залишилися. Вони з'являться відповідно =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 і =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 .

У вікні діалогу Пошук рішення (рис. 5) задати параметри пошуку (установити цільову комірку C7 рівної нулю, рішення в комірках B7:B9, що змінюються, обмеження задані формулами в комірках C8 і С9). Після клацання по кнопці Виконати в

в інтервалі B7:B9 отримаємо результат (рис. 6) – рішення СЛАУ.

Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.

Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.

Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).

Визначники

виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:

;

.

Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Згідно теоремі Крамерамаємо:

Отже, рішення системи (2):

онлайн-калькулятором вирішальним методомКрамер.

Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь

Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:

Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення

(Система спільна та визначена)

Другий випадок: система лінійних рівнянь має безлічрішень

(Система спільна та невизначена)

** ,

тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.

Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має

(Система несумісна)

Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна системарівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера

Нехай дана система

.

На підставі теореми Крамера

………….
,

де
-

визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:

приклад 2.

.

Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.

приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

.

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, рішення системи – (2; -1; 1).

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

На початок сторінки

Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом

Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.

Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих

Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостейбудь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви який-небудь новий матеріалабо пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.

Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.

Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Знаходимо визначники при невідомих

» Урок 15. Рішення СЛУ методом Крамера та методом Гауса.

Урок 15. Рішення СЛУ методом Крамера та методом Гауса.

Метод Крамера

(СЛУ)
- визначник системи
Якщо визначник СЛУ відмінний від нуля, рішення системи визначається однозначно за формулами Крамера:
, , ()
де:

	Для цього в стовпець, де стоїть змінна х, а значить, у перший стовпець, замість коефіцієнтів при х, ставимо вільні коефіцієнти, які в системі рівнянь стоять у правих частинах рівнянь
	Для цього в стовпець, де стоїть змінна y (2 стовпець), замість коефіцієнтів при y ставимо вільні коефіцієнти, які в системі рівнянь стоять у правих частинах рівнянь
	Для цього в стовпець, де стоїть змінна z, а значить, третій стовпець, замість коефіцієнтів при z, ставимо вільні коефіцієнти, які в системі рівнянь стоять у правих частинах рівнянь

Завдання 1.Вирішити СЛУ за допомогою формул Крамера в Excel

Хід рішення

1. Запишемо рівняння у матричному вигляді:

2. Введіть матрицю А і В Excel.

3. Знайдіть визначник матриці А. Він повинен вийти рівним 30.

4. Визначник системи відмінний від нуля, отже рішення однозначно визначається за формулами Крамера.

5. Заповніть значення dX, dY, dZ на аркуші Excel (див. мал. нижче).

6. Для обчислення значень dX, dY, dZ у комірки F8, F12, F16 необхідно ввести функцію, яка обчислює визначник dX, dY, dZ відповідно.

7. Для обчислення значення X у комірку I8 необхідно запровадити формулу =F8/B5 (за формулою Крамера dX/|A|).

8. Самостійно введіть формули для обчислення Y та Z.

Завдання 2: самостійно знайти рішення СЛУ методом Крамера:

Формули Крамера та матричний методрішення систем лінійних рівнянь не мають серйозного практичного застосування, оскільки пов'язані з громіздкими викладками. Практично на вирішення систем лінійних рівнянь найчастіше застосовується метод Гаусса.

Метод Гауса

Процес рішення методом Гаусса і двох етапів.

1. Прямий хід:система наводиться до ступінчастого (зокрема, трикутного) виду.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь, виписують розширену матрицю цієї системи.

і над рядками цієї матриці виробляють елементарні перетворення, наводячи її до вигляду, коли нижче головної діагоналі будуть розташовуватися нулі.
Дозволяється виконувати елементарні перетворення над матрицями.
За допомогою цих перетворень щоразу виходить розширена матриця нової системи, рівносильної вихідної, тобто. такої системи, розв'язання якої збігається з рішенням вихідної системи.

2. Зворотній хід: йде послідовне визначення невідомих із цієї ступінчастої системи.

приклад.Встановити спільність та вирішити систему

Рішення.
Прямий хід:Випишемо розширену матрицю системи і поміняємо місцями перший і другий рядки для того, щоб елемент дорівнював одиниці (так зручніше робити перетворення матриці).



.

Маємо Ранги матриці системи та її розширеної матриці збіглися з числом невідомих. Відповідно до теореми Кронекера-Капеллі система рівнянь спільна і рішення її єдине.
Зворотній хід:Випишемо систему рівнянь, розширену матрицю якої ми отримали в результаті перетворень:

Отже, маємо .
Далі, підставляючи третє рівняння, знайдемо .
Підставляючи і друге рівняння, отримаємо .
Підставляючи у перше рівняння знайдені отримаємо.
Отже, маємо рішення системи .

Рішення СЛУ методом Гауса в Excel:

У тексті буде пропонуватися ввести в діапазон осередків формулу виду: (=A1:B3+$C$2:$C$3) і т.п., це так звані «формули масиву». Microsoft Excelавтоматично укладає її у фігурні дужки (( )). Для введення такого типу формул необхідно виділити весь діапазон, куди потрібно вставити формулу, у першому осередку ввести формулу без фігурних дужок (для прикладу вище =A1:B3+$C$2:$C$3) і натиснути Ctrl+Shift+Enter.
Нехай маємо систему лінійних рівнянь:

1. Запишемо коефіцієнти системи рівнянь у комірки A1: D4 а стовпець вільних членів у комірки E1: E4. Якщо в осередкуA1перебуває 0, потрібно змінити рядки місцями те щоб у цьому осередку було відмінне від нуля значення. Для більшої наочності можна додати заливку осередків, де знаходяться вільні члени.

2. Необхідно коефіцієнт при x1 у всіх рівняннях, крім першого, привести до 0. Для початку зробимо це для другого рівняння. Скопіюємо перший рядок у комірки A6:E6 без змін, у комірки A7:E7 необхідно ввести формулу: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Таким чином, ми від другого рядка віднімаємо першу, помножену на A2/$A$1, тобто. відношення перших коефіцієнтів другого та першого рівняння. Для зручності заповнення рядків 8 та 9 посилання на комірки першого рядка необхідно використовувати абсолютні (використовуємо символ $).

3. Копуємо введену формулу формулу рядки 8 і 9, таким чином позбавляємося коефіцієнтів перед x1 у всіх рівняннях крім першого.

4. Тепер наведемо коефіцієнти перед x2 у третьому і четвертому рівнянні до 0. Для цього скопіюємо отримані 6-й і 7-й рядки (тільки значення) у рядки 11 і 12, а в комірки A13:E13 введемо формулу (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), яку потім скопіюємо в комірки A14:E14. Таким чином, реалізується різниця рядків 8 і 7, помножених на коефіцієнт B8/$B$7. .

5. Залишилося навести коефіцієнт при x3 у четвертому рівнянні до 0, для цього знову проробимо аналогічні дії: скопіюємо отримані 11, 12 і 13-го рядка (тільки значення) у рядки 16-18, а в комірки A19:E19 введемо формулу (=A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Таким чином, реалізується різниця рядків 14 і 13, помножених на коефіцієнт C14/$C$13. Не забуваємо проводити перестановку рядків, щоб позбавитися від 0 у знаменнику дробу.

6. Пряме прогін методом Гауса завершено. Зворотне прогін почнемо з останнього рядка отриманої матриці. Необхідно всі елементи останнього рядка розділити коефіцієнт при x4. Для цього рядок 24 введемо формулу (=A19:E19/D19).

7. Наведемо всі рядки до такого виду, для цього заповнимо рядки 23, 22, 21 такими формулами:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) – віднімаємо від третього рядка четвертий помножений на коефіцієнт при x4 третього рядка.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – від другого рядка віднімаємо третій та четвертий, помножені на відповідні коефіцієнти.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – від першого рядка забираємо другий, третій та четвертий, помножені на відповідні коефіцієнти.

Результат (корені рівняння) обчислені в осередках E21: E24.

Укладач: Салій Н.А.

Систему лінійних рівнянь алгебри можна також вирішити, використовуючи надбудову "Пошук рішення".При використанні даної надбудови будується послідовність наближень , i=0,1,…n.

Назвемо вектором нев'язок наступний вектор:

Завдання Excelполягає в тому, щоб знайти таке наближення , при якому вектор нев'язок став би нульовим, тобто. домогтися збігу значень правих і лівих частин системи.

Як приклад розглянемо СЛАУ (3.27).

Послідовність дій:

1. Оформимо таблицю, як показано на рис.3.4. Введемо коефіцієнти системи (матрицю А) у комірки А3:С5.

Рис.3.4. Рішення СЛАУ за допомогою надбудови «Пошук рішення»

2. У осередках А8:С8 буде сформовано рішення системи (х 1, х 2, х 3). Спочатку вони залишаються пустими, тобто. рівними нулю. Надалі будемо їх називати змінними комірками.. Однак для контролю правильності формул, що вводяться далі, зручно ввести в ці комірки будь-які значення, наприклад, одиниці. Ці значення можна як нульове наближення рішення системи, = (1, 1, 1).

3. У стовпець D введемо вирази для обчислення лівих частин вихідної системи. Для цього в комірку D3 введемо і потім скопіюємо до кінця таблиці формулу:

D3=СУМПРОВИЗВ (A3:C3;$A$8:$C$8).

Використовувана функція СУМПРОВИЗВналежить категорії Математичні.

4. У стовпець Е запишемо значення правих частин системи (матрицю).

5. У стовпець F введемо нев'язки відповідно до формули (3.29), тобто. введемо формулу F3=D3-E3 і скопіюємо її до кінця таблиці.

6. Буде не зайвим перевірити правильність обчислень для випадку = (1, 1, 1).

7. Виберемо команду Дані\Аналіз\Пошук рішення.

Рис. 3.5. Вікно надбудови «Пошук рішення»

У вікні Пошук рішення(рис.3.5) у полі Змінювані осередкивкажемо блок $А$8:$З$8,а в полі Обмеження – $F$3:$F$5=0. Далі клацніть по кнопці Додатиі введемо ці обмеження. І потім – кнопка Виконати

Отримане рішення систем (3.28) х 1 = 1; х 2 = –1х 3 = 2 записано в осередках А8: С8, рис.3.4.

Реалізація методу Якобі засобами програми MS Excel

Як приклад розглянемо систему рівнянь (3.19), розв'язання якої методом Якобі отримано вище (приклад 3.2)

Наведемо цю систему до нормального вигляду:

Послідовність дій

1. Оформимо таблицю, як показано на рис.3.6.

Матриці і (3.15) введемо до осередків В6:Е8.

Значення e-У Н5.

Номер ітерації kсформуємо в стовпці таблиці А за допомогою автозаповнення.

Як нульове наближення виберемо вектор

= (0, 0, 0) і введемо його до осередків В11:D11.

2. Використовуючи вирази (3.29), в комірки В12:D12 запишемо формули для обчислення першого наближення:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Ці формули можна записати інакше, використовуючи функцію ExcelСУМПРОВИЗВ.

У комірку Е12 введемо формулу: E12=ABS(B11-B12) і скопіюємо її вправо, комірки F12:G12.

Рис.3.6. Схема рішення СЛАУ методом Якобі

3. У комірку Н12 введемо формулу для обчислення M (k) ,використовуючи вираз (3.18): Н12 = МАКС(E12: G12). Функція МАКС знаходиться у категорії статистичні.

4. Виділимо осередки В12:Н12 і скопіюємо їх до кінця таблиці. Таким чином, отримаємо kнаближення рішення СЛАУ.

5. Визначимо наближене рішення системи та кількість ітерацій, необхідну для досягнення заданої точності e.

Для цього оцінимо міру близькості двох сусідніх ітерацій за формулою (3.18). Скористаємося Умовним форматуванняму осередках стовпця.

Результат такого форматування видно на рис.3.6. Осередки стовпця Н, значення яких задовольняють умові (3.18), тобто. менше e=0,1, тоновані.

Аналізуючи результати, приймаємо наближене рішення вихідної системи із заданою точністю e=0,1 четверту ітерацію, тобто.

Досліджуємо характер ітераційного процесу. Для цього виділимо блок осередків А10: D20 і, використовуючи Майстер діаграм,побудуємо графіки зміни кожної компоненти вектора рішення в залежності від номера ітерації,

Наведені графіки (рис.3.7) підтверджують збіжність ітераційного процесу.

Рис. 3.7. Ілюстрація схожого ітераційного процесу

Змінюючи значення eу осередку Н5, отримаємо нове наближене рішення вихідної системи з новою точністю.

Реалізація методу прогонки засобами програми Excel

Розглянемо рішення наступної системилінійних рівнянь алгебри методом «прогонки», використовуючи таблиці Excel.

Вектори:

Послідовність дій

1. Оформимо таблицю, як показано на рис.3.8. Початкові дані розширеної матриці системи (3.30), тобто. вектора введемо до осередків B5:E10.

2. Про гоночні коефіцієнти U 0 =0 і V 0 =0введемо в комірки G4 та H4 відповідно.

3. Обчислимо прогінні коефіцієнти L i , U i , V i. Для цього в осередках F5, G5, H5 обчислимо L 1 , U 1 , V 1. за формулою (3.8). Для цього введемо формули:

F5 = B5 * G4 + C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, а потім скопіюємо їх вниз.

Рис.3.8. Розрахункова схема методу «прогонки»

4. У осередку I10 обчислимо x 6за формулою (3.10)

I10 = (E10-B10 * H9) / (B10 * G9 + C10).

5. За формулою (3.7) обчислимо всі інші невідомі x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 .Для цього в осередку I9 обчислимо x 5за формулою (3.6): I9 = G9 * I10 + H9. А далі копіюємо цю формулу нагору.

Контрольні питання

1. Система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Що рішення СЛАУ. Коли є єдине рішення СЛАУ.

2. Загальна характеристикапрямих (точних) методів розв'язання СЛАУ. Методи Гауса та прогонки.

3. Загальна характеристика ітераційних методіврішення СЛАУ. Методи Якобі ( простих ітерацій) та Гаусса-Зейделя.

4. Умови збіжності ітераційних процесів.

5. Що розуміють під термінами обумовленості завдань та обчислень, коректності задачі розв'язання СЛАУ.

Розділ 4.

Чисельне інтегрування

При вирішенні досить великого кола технічних завдань доводиться стикатися з необхідністю обчислення певного інтегралу:

Обчислення площ, обмежених кривими, роботи, моментів інерції, перемноження епюрза формулою Мора і т.д. зводиться до обчислення певного інтегралу.

Якщо безперервна на відрізку [ a, b] функція y = f(x)має на цьому відрізку первісну F(x), тобто. F '(x) = f(x), Інтеграл (4.1) може бути обчислений за формулою Ньютона - Лейбніца:

Однак, тільки для вузького класу функцій y=f(x)первісна F(x)може бути виражена в елементарних функціях. Крім того, функція y=f(x)може задаватися графічно чи таблично. У таких випадках застосовують різні формули для наближеного обчислення інтегралів.

Такі формули називають квадратурними формулами чи формулами чисельного інтегрування.

Формули чисельного інтегрування добре ілюструються графічно. Відомо, що значення певного інтегралу (4.1) пропорційноплощі криволінійної трапеції, утвореної підінтегральною функцією y=f(x), Прямими х=а та х=b,віссю ОХ(Рис.4.1).

Завдання обчислення певного інтеграла (4.1) замінюємо завданням обчислення площі цієї криволінійної трапеції. Однак завдання знаходження площі криволінійної не є простим.

Звідси ідея чисельного інтегрування полягатиме у заміні криволінійної трапеції фігурою, площа якої обчислюється досить легко.

y=f(x)

y

x

xi

xi+1

xn=b

xо=a

Si

Рис.4.1. Геометрична інтерпретація чисельного інтегрування

Для цього відрізок інтегрування [ a, b] розіб'ємо на nрівних елементарних відрізків (i=0, 1, 2, …..,n-1),з кроком h=(b-a)/n.При цьому криволінійна трапеціярозіб'ється на n елементарних криволінійних трапеційз рівними підставами h(Рис.4.1).

Кожна елементарна криволінійна трапеція замінюється фігурою, площа якої обчислюється досить легко. Позначимо цю площу S i.Сума всіх цих площ називається інтегральною сумоюта обчислюється за формулою

Тоді наближена формула обчислення певного інтеграла (4.1) має вигляд

Точність обчислення за формулою (4.4) залежить від кроку h, тобто. від числа розбиття n.Зі збільшенням nінтегральна сума наближається до точного значення інтегралу

Це добре проілюстровано на рис.4.2.

Рис.4.2. Залежність точності обчислення інтегралу

від числа розбиття

У математиці доводиться теорема: якщо функція y=f(x) безперервна на то межа інтегральної суми б n існує і не залежить від способу розбиття відрізка на елементарні відрізки.

Формулу (4.4) можна використовувати, якщо відома ступінь точності такого наближення.Існують різні формули з метою оцінки похибки висловлювання (4.4), але, зазвичай, досить складні. Проводимо оцінку точності наближення (4.4) методом половинного кроку.