Що таке стаціонарні точки функції? Критичні точки функції

Стаціонарні точки функції. Необхідна умовалокального екстремуму функції

Перше достатня умовалокального екстремуму

Друге та третє достатні умови локального екстремуму

Найменше та найбільше значення функції на сегменті

Опуклі функції та точки перегину

1. Стаціонарні точки функції. Необхідна умова локального екстремуму функції

Визначення 1 . Нехай функція визначена на
. Крапка називається стаціонарною точкою функції
, якщо
диференційована в точці і
.

Теорема 1 (необхідна умова локального екстремуму функції) . Нехай функція
визначено на
і має в точці
локальний екстремум. Тоді виконується одна з умов:

Таким чином, для того, щоб знайти точки, які є підозрілими на екстремум, треба знайти стаціонарні точки функції та точки, в яких похідна функції не існує, але які належать області визначення функції.

приклад . Нехай
. Знайти для неї точки, які є підозрілими на екстремум. Для вирішення поставленого завдання, в першу чергу, знайдемо область визначення функції:
. Знайдемо тепер похідну функцію:

Точки, в яких похідна немає:
. Стаціонарні точки функції:

Оскільки і
, і
належать області визначення функції, то вони обидві будуть підозрілими на екстремум. Але для того, щоб зробити висновок, чи буде там справді екстремум, треба застосовувати достатні умови екстремуму.

2. Перша достатня умова локального екстремуму

Теорема 1 (перша достатня умова локального екстремуму) . Нехай функція
визначено на
та диференційована на цьому інтервалі скрізь за винятком, можливо, точки
, але в цій точці функція
є безперервною. Якщо існують такі права та ліва півоколиці точки , у кожній з яких
зберігає певний знак, то

1) функція
має локальний екстремум у точці , якщо
приймає значення різних знаків у відповідних півоколицях;

2) функція
не має локального екстремуму в точці , якщо справа і зліва від точки
має однаковий знак.

Доведення . 1) Припустимо, що у півоколиці
похідна
, а в

.

Таким чином у точці функція
має локальний екстремум, а саме - локальний максимум, що треба було довести.

2) Припустимо, що ліворуч і праворуч від точки похідна зберігає свій знак, наприклад,
. Тоді на
і
функція
строго монотонно зростає, тобто:

Таким чином екстремуму в точці функція
немає, що треба було довести.

Зауваження 1 . Якщо похідна
при проходженні через точку змінює знак з "+" на "-", то в точці функція
має локальний максимум, і якщо знак змінюється з «-» на «+», то локальний мінімум.

Зауваження 2 . Важливою є умова безперервності функції
у точці . Якщо ця умова не виконується, теорема 1 може не мати місця.

приклад . Розглядається функція (рис.1):

Ця функція визначена на і безперервна скрізь, крім точки
, де вона має усунутий розрив. При проходженні через точку

змінює знак з "-" на "+", але локального мінімуму в цій точці функція не має, а має локальний максимум за визначенням. Дійсно, біля точки
можна побудувати таку околицю, що для всіх аргументів з цієї околиці значення функції будуть меншими, ніж значення
. Теорема 1 не спрацювала тому, що у точці
функція мала розрив.

Примітка 3 . Перша достатня умова локального екстремуму не може бути використана, коли похідна функції
змінює свій знак у кожній лівій та кожній правій півоколиці точки .

приклад . Розглядається функція:

Оскільки
, то
, а тому
, але
. Таким чином:

,

тобто. у точці
функція
має локальний мінімумза визначенням. Подивимося, чи спрацює тут перша достатня умова локального екстремуму.

Для
:

Для першого доданку правої частини отриманої формули маємо:

,

а тому в малій околиці точки
знак похідної визначається знаком другого доданку, тобто:

,

а це означає, що в будь-якій околиці точки

прийматиме як позитивні, так і від'ємні значення. Справді, розглянемо довільну околицю точки
:
. Коли

,

то

(рис.2), а змінює свій знак тут багато разів. Таким чином, у наведеному прикладі не можна використовувати першу достатню умову локального екстремуму.

Визначення:

Екстремумомназивають максимальне або мінімальне значенняфункції на заданій множині.

Точка екстремуму- Це точка, в якій досягається максимальне або мінімальне значення функції.

Точка максимуму- Це точка, в якій досягається максимальне значення функції.

Точка мінімуму- Це точка, в якій досягається мінімальне значення функції.

Пояснення.

На малюнку в околиці точки х = 3 функція досягає максимального значення (тобто в околиці саме цієї точки немає точки вище). В околиці х = 8 вона знову ж таки має максимальне значення (знов уточнимо: саме в цій околиці немає точки вище). У цих точках зростання змінюється зменшенням. Вони є точками максимуму:

x max = 3, x max = 8.

В околиці точки х = 5 досягається мінімальне значення функції (тобто в околиці х = 5 точки нижче немає). У цій точці спад зменшення змінюється зростанням. Вона є точкою мінімуму:

Точки максимуму та мінімуму є точками екстремуму функції, а значення функції у цих точках – її екстремумами.

Критичні та стаціонарні точки функції:

Необхідна умова екстремуму:

Достатня умова екстремуму:

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення або у критичних точках, або на кінцях відрізка .

Алгоритм дослідження безперервної функції y = f(x) на монотонність та екстремуми:

Область визначення функції, обчислити її похідну, знайти область визначення похідної функції, знайти крапкизвернення похідної в нуль, довести належність знайдених точок області визначення вихідної функції.

Приклад 1Визначте критичні крапкифункції y = (x - 3)? · (x-2).

РішенняЗнайдіть область визначення функції, в даному випадкуобмежень немає: x ∈ (-∞; +∞); Обчисліть похідну y'. За правилами диференціювання твори двох є: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·(x - 3)·(x - 2) + (x - 3)? ·1. Після виходить квадратне рівняння: y' = 3 · x² - 16 · x + 21.

Знайдіть область визначення похідної функції: x ∈ (-∞; +∞). Розв'яжіть рівняння 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, щоб знайти, за яких звертається в нуль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Отже, похідна перетворюється на нуль при значеннях x, рівних 3 і 7/3.

Визначте, чи належать знайдені крапкиобласті визначення вихідної функції Оскільки x (-∞; +∞), то обидві ці крапкиє критичними.

Приклад 2Визначте критичні крапкифункції y = x² - 2/x.

РішенняОбласть визначення функції: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), оскільки x стоїть у знаменнику. Обчисліть похідну y' = 2·x + 2/x².

Область визначення похідної функції та сама, що у вихідної: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Рішіть рівняння 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Отже, похідна перетворюється на нуль при x = -1. Виконано необхідну, але недостатню умову критичності. Оскільки x=-1 потрапляє до інтервалу (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то ця точка є критичною.

Джерела:

• Критичний обсяг реалізації, штПоріг

Багато жінок страждають від передменструального синдрому, який проявляється не лише хворобливими відчуттями, а й підвищеним апетитом. В результаті критичні дні можуть сповільнити процес схуднення.

Причини підвищення апетиту під час критичних днів

Причиною підвищення апетиту в період критичних днів є зміна загального гормонального тла в жіночому організмі. За кілька днів до настання менструації рівень гормону прогестерону підвищується, організм налаштовується на можливу і намагається зробити додаткові запаси енергії у вигляді жирових відкладень, навіть якщо жінка сидить. Таким чином, зміна ваги у критичні дні – це нормальне явище.

Як харчуватися під час місячних

Постарайтеся не їсти цими днями солодощі, кондитерські вироби та інші висококалорійні продукти, що містять «швидкі». Їх надлишок негайно відкладеться у жир. Багатьом жінкам у цей період дуже хочеться з'їсти шоколадку, у цьому випадку можна купити гіркий шоколад і побалувати себе кількома часточками, але не більше. У період місячних не варто вживати алкогольні напої, маринади, соління, копченості, насіння та горіхи. Солоніння та копченості взагалі варто обмежити в раціоні за 6-8 днів до початку менструації, оскільки такі продукти збільшують запаси води в організмі, а цей період характеризується підвищенням накопичення рідини. Щоб скоротити кількість солі в раціоні, додавайте її до мінімальній кількостів готові страви.

Рекомендується вживати нежирні молочні продукти, їжу, каші. Будуть корисні бобові, відварена картопля, рис – продукти, до складу яких входять «повільні» вуглеводи. Заповнити втрати заліза допоможуть морепродукти, печінка, риба, яловичина, птах, яйця, бобові, сухофрукти. Будуть корисні пшеничні висівки. Природною реакцієюу період місячних є набряки. Коригувати стан допоможуть легкі сечогінні трави: базилік, кріп, петрушка, селера. Їх можна використовувати як приправу. У другій половині циклу рекомендується вживати білкові продукти (нежирні сорти м'яса та риби, молочні продукти), а кількість вуглеводів у раціоні слід максимально знизити.

Економічне поняттякритичного обсягу продажіввідповідає становищу підприємства над ринком, у якому виручка від реалізації товару є мінімальної. Така ситуація називається точкою беззбитковості, коли попит продукції падає і прибуток ледве покриває собівартість. Щоб визначити критичний обсяг продажіввикористовують кілька методів.

Інструкція

Робочий цикл не обмежується його діяльністю – виробництвом чи послугами. Це складна праця певної структури, що включає роботу основного персоналу, управлінського апарату, менеджерського складу та ін, а також економістів, завдання яких – фінансовий аналіз підприємства.

Метою цього аналізу є розрахунок деяких величин, які тією чи іншою мірою впливають на розмір кінцевого прибутку. Це різні видиобсягів виробництва та реалізації, повної та середньої, показники попиту і т.д. Основне завдання – виявити такий обсяг виробництва, при якому встановлюється стійкий взаємозв'язок між витратами та прибутком.

Мінімальний обсяг продажів, при якому дохід повністю покриває витрати, але не збільшує власний капітал компанії, називається критичним обсягом продажів. Існують три методи розрахунку способу цього показника: метод рівнянь, маржинального доходу та графічний.

Щоб визначити критичний обсяг продажівза першим методом, складіть рівняння виду: Вп - Зпер - Зпос = Пп = 0, де: Вп - виручка від продажіві ;Зпер і Зпос - витрати змінні та постійні;Пп - прибуток від продажівв.

За іншим методом перший доданок, виручка від продажів, уявіть як твори маржинального доходу від одиниці товару обсяг продажів, те саме стосується змінних витрат. Постійні витрати поширюються на всю партію товару, тому цю складову залиште загальною: МД N – Зпер1 N – Зпос = 0.

Виразіть із цього рівняння величину N, і ви отримаєте критичний обсяг продажів:N = Зпос/(МД - Зпер1), де Зпер1 - Змінні витрати на одиницю товару.

Графічний методпередбачає побудову. Нанесіть на координатну площинудві лінії: функцію виручки від продажівза вирахуванням обох витрат та функцію прибутку. На осі абсцис відкладайте обсяг продукції, а по осі ординат – дохід від відповідної кількості товару, виражений у грошових одиницях. Точка перетину цих ліній відповідає критичному об'єму продажів, положення беззбитковості

Джерела:

• як визначити критичну роботу

Критичне мисленняє сукупність суджень, з урахуванням яких формуються певні висновки, і робиться оцінка об'єктів критики. Воно особливо властиве дослідникам та вченим усіх галузей науки. Критичне мислення займає вищу щабель проти звичайним.

Цінність досвіду у формуванні критичного мислення

Складно аналізувати та робити висновки щодо того, в чому погано розумієшся. Отже, щоб навчитися мислити критично, необхідно вивчати об'єкти у зв'язках і взаємовідносинах з іншими явищами. А також велике значенняв даній справі має володіння інформацією про подібні об'єкти, уміння вибудовувати логічні ланцюжки суджень та робити обґрунтовані висновки.

Наприклад, судити про цінність художнього творуможна тільки знаючи досить багато інших плодів літературної діяльності. При цьому непогано бути знавцем історії розвитку людства, становлення літератури та літературної критики. У відриві від історичного контекстутвір може втратити закладений у нього зміст. Щоб оцінка художнього твору була досить повною та обґрунтованою, необхідно також використовувати свої літературознавчі знання, які включають правила побудови художнього текстув рамках окремих жанрів, систему різних літературних прийомів, класифікацію та аналіз існуючих стилівта напрямів у літературі тощо. При цьому важливим є вивчення внутрішньої логіки сюжету, послідовності дій, розстановки та взаємодії персонажів художнього твору.

Особливості критичного мислення

Серед інших особливостей критичного мислення можна назвати такі:
- знання про досліджуваний об'єкт є лише відправною точкою для подальшої мозковий діяльності, пов'язаної з побудовою логічних ланцюжків;
- послідовно збудовані та засновані на здоровому глуздіміркування призводять до виявлення істинної та помилкової інформації про об'єкт, що вивчається;
- критичне мислення завжди пов'язане з оцінкою наявної інформації про даному об'єктіі відповідними висновками, оцінка ж, своєю чергою, пов'язані з вже наявними навичками.

На відміну від звичайного мислення, критичне не підпорядковане сліпій вірі. Критичне мислення дозволяє за допомогою цілої системисуджень про об'єкт критики осягнути її суть, виявити справжні знанняпро неї і спростувати хибні. Воно засноване на логіці, глибині та повноті вивчення, правдивості, адекватності та послідовності суджень. При цьому очевидні та давно доведені твердження приймаються як постулати та не вимагають повторного доказу та оцінки.

Критичні точки – це точки у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає. Якщо похідна дорівнює 0, то функція в цій точці приймає локальний мінімум чи максимум. На графіку у таких точках функція має горизонтальну асимптотутобто дотична паралельна осі Ох.

Такі точки називають стаціонарними. Якщо бачите на графіку безперервної функції "горб" або "яму" пам'ятайте, що максимум або мінімум досягається в критичній точці. Розглянемо для прикладу таке завдання.

приклад 1. Знайти критичні точки функції y=2x^3-3x^2+5.
Рішення. Алгоритм знаходження критичних точок наступний:

Отже, функція має дві критичні точки.

Далі, якщо потрібно провести дослідження функції, то визначаємо знак похідної зліва і праворуч від критичної точки. Якщо похідна під час переходу через критичну точку змінює знак з «-» на «+» , то функція приймає локальний мінімум. Якщо з "+" на "-" повинні локальний максимум.

Другий тип критичних точокце нулі знаменника дробових та ірраціональних функцій

Функції з логарифмами та тригонометричні, які не визначені в цих точках


Третій тип критичних точокмають шматково-безперервні функції та модулі.
Наприклад, будь-яка модуль-функція має мінімум або максимум у точці зламу.

Наприклад, модуль y = | x-5 | у точці x = 5 має мінімум (критичну точку).
Похідна в ній не існує, а праворуч і зліва приймає значення 1 і -1 відповідно.

Спробуйте визначити критичні точки функцій

1)
2)
3)
4)
5)

Якщо у відповіді Ви отримаєте значення
1) x = 4;
2) x = -1; x = 1;
3) x = 9;
4) x = Pi * k;
5) x = 1.
то Ви вже знаєте як знайти критичні точкиі зможете впоратися з простою контрольною чи тестами.

Розглянемо наступний рисунок.

На ньому зображено графік функції y = x^3 – 3*x^2. Розглянемо деякий інтервал, що містить точку х = 0, наприклад, від -1 до 1. Такий інтервал ще називають околицею точки х = 0. Як видно на графіку, в цьому околиці функція y = x^3 – 3*x^2 приймає найбільше значеннясаме у точці х = 0.

Максимум та мінімум функції

У такому разі точку х = 0 називають точкою максимуму функції. За аналогією з цим точку х = 2 називають точкою мінімуму функції y = x^3 – 3*x^2. Тому що існує така околиця цієї точки, в якій значення в цій точці буде мінімальним серед усіх інших значень цієї околиці.

Крапкою максимумуфункції f(x) називається точка x0, за умови, що існує околиця точки х0 така, що для всіх х не рівних х0 з цієї околиці виконується нерівність f(x)< f(x0).

Крапкою мінімумуфункції f(x) називається точка x0, за умови, що існує околиця точки х0 така, що для всіх х не рівних х0 з цієї околиці виконується нерівність f(x) > f(x0).

У точках максимуму та мінімуму функцій значення похідної функції дорівнює нулю. Але це недостатня умова існування у точці максимуму чи мінімуму функції.

Наприклад, функція y = x^3 у точці х = 0 має похідну рівну нулю. Але точка х = 0 не є точкою мінімуму чи максимуму функції. Як відомо, функція y = x^3 зростає на всій числовій осі.

Таким чином, точки мінімуму і максимуму завжди будуть серед кореня рівняння f'(x) = 0. Але не всі корені цього рівняння будуть точками максимуму або мінімуму.

Стаціонарні та критичні точки

Точки, в яких значення похідної функції дорівнює нулю, називають стаціонарними точками. Точки максимуму чи мінімуму можуть бути і вточках, у яких похідної функції взагалі немає. Наприклад, у = | x | у точці х = 0 має мінімум, але похідної у цій точці не існує. Ця точка буде критичною точкою функції.

Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна дорівнює нулю, або похідної у цій точці немає, тобто функція у цій точці недиференційована. Для того щоб знайти максимум або мінімум функції, необхідно виконання достатньої умови.

Нехай f(x) деяка функція, що диференціюється на інтервалі (a;b). Точка х0 належить цьому інтервалу і f'(x0) = 0.

1. якщо під час переходу через стаціонарну точку х0 функція f(x) та її похідна змінює знак, з «плюсу» на «мінус», тоді точка х0 є точкою максимуму функції.

2. якщо під час переходу через стаціонарну точку х0 функція f(x) та її похідна змінює знак, з «мінуса» на «плюс», тоді точка х0 є точкою мінімуму функції.