Геометричні перетворення графіків функції таблиці. Перетворення графіків тригонометричних функцій

Гіпотеза: Якщо вивчити рух графіка при утворенні рівняння функцій можна помітити що всі графіки підпорядковуються загальним закономірностямтому можна сформулювати загальні закони незалежно від функцій, що дозволить як полегшити побудова графіків різних функцій, а й використовувати їх під час вирішення завдань.

Мета: Вивчити рух графіків функцій:

1) Завдання вивчення літератури

2) Навчиться будувати графіки різних функцій

3) Навчиться перетворювати графіки лінійних функцій

4) Розглянути питання застосування графіків під час вирішення завдань

Об'єкт дослідження: Графіки функцій

Предмет дослідження: Руху графіків функцій

Актуальність: Побудова графіків функцій, як правило, займає дуже багато часу і вимагає уважності з боку учня, але знаючи правила перетворення графіків функцій і графіки основних функцій можна досить швидко і легко побудувати графіки функцій, що дозволить не тільки виконувати завдання на побудови графіків функцій, але і вирішувати пов'язані з ним завдання (на знаходження максимально (мінімально висоти часу та точки зустрічі))

Цей проект корисний усім учням школи.

Огляд літератури:

У літературі розглядаються способи побудови графіка різних функцій, а також наведені приклади перетворення графіків цих функцій. Графіки практично всіх основних функцій використовуються в різних технічних процесах, що дозволяє наочно уявити перебіг процесу і спрограмувати результат

Постійна функція. Ця функція задана формулою у = b де b – деяке число. Графіком постійної функціїє пряма, паралельна осі абсцис і проходить через точку (0; b) на осі ординат. Графіком функції у = 0 є вісь абсцис.

Види функції 1 Пряма пропорційність. Ця функція задана формулою у = kx де коефіцієнт пропорційності k ≠ 0. Графіком прямої пропорційності є пряма, що проходить через початок координат.

Лінійна функція. Така функція задана формулою у = kx + b, де k та b – дійсні числа. Графік лінійної функції є пряма.

Графіки лінійних функцій можуть перетинатися чи бути паралельними.

Так, прямі графіки лінійних функцій у = k 1 x + b 1 і у = k 2 x + b 2 перетинаються, якщо k 1 ≠ k 2 ; якщо ж k 1 = k 2 то прямі паралельні.

2Зворотна пропорційність – це функція, яка задана формулою у = k/x, де k ≠ 0. K називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Графіком зворотної пропорційності є гіпербола.

Функція у = х 2 представлена графіком, який отримав назву парабола: на проміжку [-~; 0] функція зменшується, на проміжку функція зростає.

Функція у = х 3 зростає на всій числовій прямій та графічно представлена кубічною параболою.

Ступінна функція з натуральним показником. Ця функція задана формулою у = х n де n – натуральне число. Графіки статечної функціїз натуральним показником залежить від n. Наприклад, якщо n = 1, графіком буде пряма (у = х), якщо n = 2, то графіком буде парабола і т.д.

Ступенева функція з цілим негативним показникомпредставлена формулою у = х -n, де n - натуральне число. Ця функція визначена за всіх х ≠ 0. Графік функції також залежить від показника ступеня n.

Ступенева функція з позитивним дробовим показником. Ця функція представлена формулою у = х r , де r - Позитивний нескоротний дріб. Ця функція також не є ні парною, ні непарною.

Графік-лінія яка відображає взаємозв'язок залежної та незалежної змінних на координатній площині. Графік служить для наочного відображення цих елементів

Незалежна змінна це змінна, яка може приймати будь-які значення в області визначення функцій (де дана функціямає сенс (не можна ділити на нуль))

Щоб побудувати графік функцій, необхідно

1) Знайти ОДЗ (область допустимих значень)

2) взяти кілька довільних значень для незалежної змінної

3) Знайти значення залежної змінної

4) Побудувати координатну площинувідзначити на ній дані точки

5) З'єднати їх лінії за потреби дослідити отриманий графік Перетворення графіків елементарних функцій.

Перетворення графіків

У чистому виглядіОсновні елементарні функції зустрічаються, на жаль, не так часто. Набагато частіше доводиться мати справу з елементарними функціями, отриманими з основних елементарних за допомогою додавання констант та коефіцієнтів. Графіки таких функцій можна будувати, застосовуючи геометричні перетворення до графіків відповідних основних елементарних функцій (або переходити до новій системікоординат). Наприклад, квадратична функція формула є квадратичну параболуформула, стиснуту втричі щодо осі ординат, симетрично відображену щодо осі абсцис, зсунуту проти напрямку цієї осі на 2/3 одиниці і зсунуту за напрямом осі ординат на 2 одиниці.

Давайте розберемося у цих геометричних перетвореннях графіка функції покроково на конкретних прикладах.

За допомогою геометричних перетворень графіка функції f(x) може бути побудований графік будь-якої функції виду формула, де формула - коефіцієнти стиснення або розтягування вздовж осей oy та ox відповідно, знаки «мінус» перед коефіцієнтами формула та формула вказують на симетричне відображення графіка щодо координатних осей, а і b визначають зсув щодо осей абсцис та ординат відповідно.

Таким чином, розрізняють три види геометричних перетворень графіка функції:

Перший вид - масштабування (стиснення або розтягнення) вздовж осей абсцис та ординат.

На необхідність масштабування вказують коефіцієнти формули відмінні від одиниці, якщо число менше 1, то відбувається стиснення графіка щодо oy і розтягнення щодо ox, якщо число більше 1, то робимо розтягнення вздовж осі ординат і стиск уздовж осі абсцис.

Другий вид – симетричне (дзеркальне) відображення щодо координатних осей.

На необхідність цього перетворення вказують знаки мінус перед коефіцієнтами формули (у цьому випадку симетрично відображаємо графік щодо осі ox) і формула (у цьому випадку симетрично відображаємо графік щодо осі oy). Якщо знаків «мінус» немає, цей крок пропускається.

Конспект уроку алгебри та початки аналізував 10 класі

на тему: «Перетворення графіків тригонометричних функцій»

Мета уроку: систематизувати знання на тему «Властивості та графіки тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x)».

Завдання уроку:

повторити властивості тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x);
повторити формули наведення;
перетворення графіків тригонометричних функцій;
розвивати увагу, пам'ять, логічне мислення; активізувати розумову діяльність, вміння аналізувати, узагальнювати та міркувати;
виховання працьовитості, старанності у досягненні мети, інтерес до предмета.

Обладнання уроку: ікт

Тип уроку: вивчення нового

Хід уроку

Перед уроком 2 учні на дошці будують графіки із домашнього завдання.

Організаційний момент:

Здрастуйте, хлопці!

Сьогодні на уроці ми будемо перетворювати графіки тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x).

Усна робота:

Перевірка домашнього завдання.

розгадування ребусів.

Вивчення нового матеріалу

Усі перетворення графіків функцій є універсальними - вони придатні всім функцій, зокрема і тригонометрических. Тут же обмежимося коротким нагадуванням основних перетворень графіків.

Перетворення графіків функцій.

Дана функція у = f (x). Усі графіки починаємо будувати з графіка цієї функції, потім робимо з ним дії.

Функція

Що робити з графіком

y = f(x) + a

Усі точки першого графіка піднімаємо на одиниць вгору.

y = f(x) – a

Усі точки першого графіка опускаємо на одиниць вниз.

y = f(x + a)

Усі точки першого графіка зрушуємо на одиниць вліво.

y = f (x – a)

Усі точки першого графіка зрушуємо на одиниць вправо.

y = a * f (x), a> 1

Закріплюємо нулі на місці, верхні точки зрушуємо вище в раз, нижні - опускаємо нижче в раз.

Графік «витягнеться» вгору й униз, нулі залишаються дома.

y = a * f (x), a<1

Закріплюємо нулі, верхні точки опустяться вниз в раз, нижні - піднімуться в раз. Графік «стиснеться» до осі абсцис.

y = -f (x)

Дзеркально відобразити перший графік щодо осі абсцис.

y = f(ax), a<1

Закріпити крапку на осі ординат. Кожен відрізок на осі абсцис збільшити в раз. Графік розтягнеться від осі ординат у різні боки.

y = f (ax ), a >1

Закріпити точку на осі ординат, кожен відрізок на осі абсцис зменшити в раз. Графік «стиснеться» до осі ординат з обох боків.

у = | f(x)|

Частини графіка розташовані під віссю абсцис дзеркально відобразити. Весь графік буде розташований у верхній півплощині.

Схеми розв'язання.

1)y = sin x +2.

Будуємо графік у = sin x. Кожну точку графіка піднімаємо нагору на 2 одиниці (нулі теж).

2)y = cos x - 3.

Будуємо графік y = cos x. Кожну точку графіки опускаємо вниз на 3 одиниці.

3)y = cos (x - /2)

Будуємо графік y = cos x. Усі точки зрушуємо на п/2 праворуч.

4) у = 2 sin x.

Будуємо графік у = sin x. Нулі залишаємо на місці, верхні точки піднімаємо у 2 рази, нижні опускаємо на стільки ж.

ПРАКТИЧНА РОБОТА Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою програми Advanced Grapher.

Побудуємо графік функції у = -cos 3x + 2.

Побудуємо графік функції у = cos x.
Відобразимо його щодо осі абсцис.
Цей графік треба стиснути втричі вздовж осі абсцис.
Нарешті, такий графік треба підняти нагору на три одиниці вздовж осі ординат.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

у = 5cos 0 ,5 x

y=-3sin(x+π).

2) Знайди помилку та виправ її.

V. Історичний матеріал. Повідомлення про Ейлера.

Леонард Ейлер – найбільший математик 18 століття. Народився у Швейцарії. Довгі роки жив і працював у Росії, член Петербурзької академії.

Чому ж ми повинні знати та пам'ятати ім'я цього вченого?

На початку 18 століття тригонометрія була недостатньо розроблена: був умовних позначень, формули записувалися словами, засвоювати їх було важко, незрозумілим було й питання знаках тригонометричних функцій у різних чвертях кола, під аргументом тригонометричної функції розуміли лише кути чи дуги. Лише у працях Ейлера тригонометрія набула сучасного вигляду. Саме став розглядати тригонометричну функцію числа, тобто. під аргументом стали розуміти як дуги чи градуси, а й числа. Ейлер вивів усі тригонометричні формули з кількох основних, упорядкував питання про знаки тригонометричної функції у різних чвертях кола. Для позначення тригонометричних функцій він запровадив символіку: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На порозі 18-го століття у розвитку тригонометрії виник новий напрямок – аналітичний. Якщо раніше головною метою тригонометрії вважалося рішення трикутників, то Ейлер розглядав тригонометрію як науку про тригонометричні функції. Перша частина: вчення про функцію - частина загального вчення про функції, що вивчається в математичному аналізі. Друга частина: розв'язання трикутників – глава геометрії. Такі нововведення були зроблені Ейлером.

VI. Повторення

Самостійна робота "Допиши формулу".

VII. Підсумки уроку:

1) Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

2) Що ще ви хочете дізнатися?

3) Виставлення оцінок.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Перетворення графіків функції є одним з основних математичних понять, безпосередньо пов'язаних із практичною діяльністю. Перетворення графіків функцій вперше зустрічається в алгебрі 9 класу щодо теми «Квадратична функція». Квадратична функція вводиться і вивчається у зв'язку з квадратними рівняннями і нерівностями. Також багато математичні поняття розглядаються графічними методами, наприклад, у 10 - 11 класах дослідження функції дає можливість знайти область визначення і область значення функції, області спадання чи зростання, асимптоти, інтервали знакопостійності та інших. Так само це важливе питання виноситься на ГИА. Звідси випливає, побудова, і перетворення графіків функції є одним із головних завдань навчання математики у школі.

Однак для побудови графіків багатьох функцій можна використовувати низку методів, що полегшують побудову. Вище сказане визначає актуальністьТеми дослідження.

Об'єктом дослідженняє вивчення перетворення графіків у шкільній математиці.

Предмет дослідження -процес побудови та перетворення графіків функції в загальноосвітній школі.

Проблемне питання: Чи можна побудувати графік незнайомої функції, маючи навичку перетворення графіків елементарних функцій?

Ціль:побудова графіків функції у незнайомій ситуації.

Завдання:

1. Проаналізувати навчальний матеріал з досліджуваної проблеми. 2. Виявити схеми перетворення графіків функції у шкільному курсі математики. 3. Відібрати найбільш ефективні методи та засоби побудова та перетворення графіків функції. 4.Уміти застосовувати дану теорію у вирішенні завдань.

Необхідні початкові знання, уміння, навички:

Визначати значення функції за значенням аргументу за різних способів завдання функції;

Будувати графіки досліджених функцій;

Описувати за графіком та у найпростіших випадках за формулою поведінку та властивості функцій, знаходити за графіком функції найбільші та найменші значення;

Описи з допомогою функцій різних залежностей, уявлення їх графічно, інтерпретації графіків.

Основна частина

Теоретична частина

Як вихідний графік функції y = f(x) виберу квадратичну функцію y = x 2 . Розгляну випадки перетворення даного графіка, пов'язані зі змінами формули, що задає цю функцію і зроблю висновки для будь-якої функції.

1. Функція y = f(x) + a

У новій формулі значення функції (ординати точок графіка) змінюються число a, проти «старим» значенням функції. Це призводить до паралельного перенесення графіка функції вздовж осі OY:

вгору, якщо a> 0; вниз, якщо a< 0.

ВИСНОВОК

Таким чином графік функції y=f(x)+a, виходить з графіка функції y=f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ординат на одиниць вгору, якщо a > 0, і на одиниць вниз, якщо a< 0.

2. Функція y = f(x-a),

У новій формулі значення аргументу (абсциси точок графіка) змінюються число a, проти «старим» значенням аргументу. Це призводить до паралельного перенесення графіка функції вздовж осі OX: праворуч, якщо a< 0, влево, если a >0.

ВИСНОВОК

Значить графік функції y=f(x - a), виходить із графіка функції y=f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис на a одиниць вліво, якщо a > 0, і a одиниць вправо, якщо a< 0.

3. Функція y = k f(x), де k > 0 і k ≠ 1

У новій формулі значення функції (ординати точок графіка) змінюються в раз, проти «старим» значенням функції. Це призводить до: 1) «розтягування» від точки (0; 0) вздовж осі ОY у k разів, якщо k > 1, 2) «стиснення» до точки (0; 0) вздовж осі OY у раз, якщо 0< k < 1.

ВИСНОВОК

Отже, щоб побудувати графік функції y = kf(x), де k > 0 та k ≠ 1 потрібно ординати точок заданого графіка функції y = f(x) помножити на k. Таке перетворення називається розтягуванням від точки (0; 0) вздовж осі ОY у k разів, якщо k > 1; стисненням до точки (0; 0) уздовж осі OY у раз, якщо 0< k < 1.

4. Функція y = f(kx), де k > 0 та k ≠ 1

У новій формулі значення аргументу (абсциси точок графіка) змінюються в раз, проти «старим» значенням аргументу. Це призводить до: 1) «розтягування» від точки (0; 0) уздовж осі ОX в 1/k разів, якщо 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ВИСНОВОК

І так: щоб побудувати графік функції y = f(kx), де k> 0 і k ≠1 потрібно абсциси точок заданого графіка функції y=f(x) помножити на k. Таке перетворення називається розтягуванням від точки (0; 0) уздовж осі ОX в 1/k разів, якщо 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Функція y = - f(x).

У цій формулі значення функції (ординати точок графіка) змінюються протилежні. Ця зміна призводить до симетричного відображення вихідного графіка функції щодо осі Ох.

ВИСНОВОК

Для побудови графіка функції y = f (x) необхідно графік функції y = f (x)

симетрично відобразити щодо осі OX. Таке перетворення називається перетворенням симетрії щодо осі OX.

6. Функція y = f(-x).

У цій формулі значення аргументу (абсциси точок графіка) змінюються протилежні. Ця зміна призводить до симетричного відображення вихідного графіка функції щодо осі ОY.

Приклад функції у = - х² це перетворення не помітно, тому що дана функція парна і графік після перетворення не змінюється. Це перетворення видно, коли функція непарна і коли не парна і непарна.

7. Функція y = | f (x) |.

У новій формулі значення функції (ординати точок графіка) під знаком модуля. Це призводить до зникнення частин графіка вихідної функції з негативними ординатами (тобто що знаходяться в нижній півплощині щодо осі Ох) та симетричному відображенні цих частин щодо осі Ох.

8. Функція y=f(|x|).

У новій формулі значення аргументу (абсциси точок графіка) під знаком модуля. Це призводить до зникнення частин графіка вихідної функції з негативними абсцисами (тобто перебувають у лівій півплощині щодо осі ОY) і заміщення їх частинами вихідного графіка, симетричними щодо осі ОY.

Практична частина

Розглянемо кілька прикладів застосування вищевикладеної теорії.

ПРИКЛАД 1.

Рішення.Перетворюємо цю формулу:

1) Побудуємо графік функції

ПРИКЛАД 2.

Побудувати графік функції, заданої формулою

Рішення. Перетворимо цю формулу, виділивши в цьому квадратному тричленіквадрат двочлена:

1) Побудуємо графік функції

2) Виконаємо паралельне перенесення побудованого графіка на вектор

ПРИКЛАД 3.

ЗАВДАННЯ З ЄДІ Побудова графіка шматкової функції

Графік функції Графік функції y=|2(x-3)2-2|; 1

Паралельне перенесення.

ПЕРЕНОС ВДОЛІ ОСІ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) - b
Нехай потрібно збудувати графік функції у = f(х) - b. Неважко помітити, що ординати цього графіка всім значень x на |b| одиниць менше відповідних ординат графіка функцій у = f(х) при b>0 і |b| одиниць більше - при b 0 або нагору при b Для побудови графіка функції y + b = f(x) слід побудувати графік функції y = f(x) і перенести вісь абсцис на | b | одиниць вгору при b>0 чи |b| одиниць вниз у b

ПЕРЕНОС ВДОЛІ ОСІ АБСЦІСС

f(x) => f(x + a)
Нехай потрібно збудувати графік функції у = f(x + a). Розглянемо функцію y = f(x), яка у певній точці x = x1 набуває значення у1 = f(x1). Вочевидь, функція у = f(x + a) прийме таке значення в точці x2, координата якої визначається рівності x2 + a = x1, тобто. x2 = x1 - a, причому розглянута рівність справедливо для сукупності всіх значень з області визначення функції. Отже, графік функції у = f(x + a) може бути отриманий паралельним переміщенням графіка функції y = f(x) вздовж осі абсцис вліво |a| одиниць при a > 0 чи праворуч |a| одиниць при a Для побудови графіка функції y = f(x + a) слід побудувати графік функції y = f(x) і перенести вісь ординат на | одиниць вправо при a>0 чи |a| одиниць ліворуч у a

Приклади:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Відображення.

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ВИДУ Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, що функції y = f(-x) і y = f(x) приймають рівні значення в точках, абсциси яких рівні абсолютної величиниале протилежні за знаком. Інакше висловлюючись, ординати графіка функції y = f(-x) у сфері позитивних (негативних) значень х дорівнюватимуть ординатам графіка функції y = f(x) при відповідних за абсолютною величиною негативних (позитивних) значеннях х. Отже, отримуємо таке правило.
Для побудови графіка функції y = f(-x) слід побудувати графік функції y = f(x) та відобразити його щодо осі ординат. Отриманий графік є графіком функції y = f(-x)

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ВИДУ Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ординати графіка функції y = - f(x) при всіх значеннях аргументу дорівнюють абсолютної величини, але протилежні за знаком ординатам графіка функції y = f(x) при тих же значеннях аргументу. Отже, отримуємо таке правило.
Для побудови графіка функції y = f (x) слід побудувати графік функції y = f (x) і відобразити його щодо осі абсцис.

Приклади:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформація.

ДЕФОРМАЦІЯ ГРАФІКА ВДОЛІ ОСІ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Розглянемо функцію виду y = k f (x), де k > 0. Неважко помітити, що при рівних значенняхаргументу ординати графіка цієї функції будуть у k разів більшими за ординат графіка функції у = f(x) при k > 1 або 1/k разів меншими від ординат графіка функції y = f(x) при k Для побудови графіка функції y = k f(x) слід побудувати графік функції y = f(x) і збільшити його ординати в k разів при k > 1(здійснити розтягнення графіка вздовж осі ординат) або зменшити його ординати в 1/k разів при k
k > 1- Розтяг від осі Ох
0 - стиск до осі OX

ДЕФОРМАЦІЯ ГРАФІКА ВДОЛІ ОСІ АБСЦІСС

f(x) => f(k x)
Нехай потрібно побудувати графік функції y = f(kx), де k>0. Розглянемо функцію y = f(x), яка в довільній точці x = x1 набуває значення y1 = f(x1). Очевидно, що функція y = f(kx) приймає таке ж значення в точці x = x2, координата якої визначається рівністю x1 = kx2, причому ця рівність справедлива для сукупності всіх значень х з області визначення функції. Отже, графік функції y = f(kx) виявляється стислим (при k 1) вздовж осі абсцис щодо графіка функції y = f(x). Отже, отримуємо правило.
Для побудови графіка функції y = f(kx) слід побудувати графік функції y = f(x) і зменшити його абсциси в k раз при k>1 (виконати стиснення графіка вздовж осі абсцис) або збільшити його абсциси в 1/k раз при k
k > 1- Стиснення до осі Оу
0 - розтяг від осі OY

Роботу виконали Чичканов Олександр, Леонов Дмитро під керівництвом Ткач Т.В, В'язова С.М, Островерховий І.В.
©2014

Основні елементарні функції у чистому вигляді без перетворення зустрічаються рідко, тому найчастіше доводиться працювати з елементарними функціями, які отримали з основних за допомогою додавання констант та коефіцієнтів. Такі графіки будуються з допомогою геометричних перетворень заданих елементарних функций.

Розглянемо з прикладу квадратичні функціївиду y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графіком якої є парабола y = x 2 , яка стиснута втричі щодо О у і симетрична щодо О х, причому зсунуту на 2 3 по О х вправо, на 2 одиниці по О вгору. На координатній прямій це виглядає так:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Геометричні перетворення графіка функції

Застосовуючи геометричні перетворення заданого графіка, отримуємо, що графік зображується функцією виду ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b , коли k 1 > 0 , k 2 > 0 є коефіцієнтами стиснення при 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > 1 вздовж О у і О х. Знак перед коефіцієнтами k 1 і k 2 говорить про симетричне відображення графіка щодо осей, a і b зрушують її по О х і О у.

Визначення 1

Існує 3 види геометричних перетворень графіка:

Масштабуваннявздовж Ох і О у. На це впливають коефіцієнти k 1 і k 2 за умови не рівності 1 коли 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1 , k 2 > 1 то графік розтягується по О у і стискається по О х.
Симетричне відображення щодо координатних осей.За наявності знака «-» перед k 1 симетрія йде щодо Ох, перед k 2 йде щодо О у. Якщо «-» відсутня, то пункт при рішенні пропускається;
Паралельне перенесення (зсув)вздовж Ох і О у. Перетворення проводиться за наявності коефіцієнтів a та b нерівних 0 . Якщо значення a позитивне, до графіка зсувається вліво на | а | одиниць, якщо негативне a , тоді право на таку ж відстань. Значення b визначає рух по осі О, що означає при позитивному b функція рухається вгору, при негативному - вниз.

Розглянемо рішення на прикладах, починаючи зі статечної функції.

Приклад 1

Перетворити y = x 2 3 та побудувати графік функції y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .

Рішення

Представимо функції таким чином:

y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 · 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

Де k 1 = 2 варто звернути увагу на наявність « - » , а = - 1 2 , b = 3 . Звідси отримуємо, що геометричні перетворення виробляються з розтягування вздовж О у вдвічі, відображається симетрично щодо Ох, зрушується вправо на 12 і вгору на 3 одиниці.

Якщо зобразити початкову статечну функцію, отримаємо, що

при розтягуванні вдвічі вздовж О маємо, що

Відображення, симетричне щодо Ох, має вигляд

а рух праворуч на 1 2

рух на 3 одиниці вгору має вигляд

Перетворення показової функції розглянемо з прикладів.

Приклад 2

Зробити побудову графіка показової функції y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .

Рішення.

Перетворимо функцію, виходячи з властивостей статечної функції. Тоді отримаємо, що

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 · 1 2 - 1 2 x + 8

Звідси видно, що отримаємо ланцюжок перетворень y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 · 1 2 1 2 x → y = - 1 2 · 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 · 1 2 - 1 2 x + 8

Виходить, що вихідна показова функціямає вигляд

Стискання вдвічі вздовж О у дає

Розтягування вздовж Ох

Симетричне відображення щодо Ох

Відображення симетрично щодо О у

Зрушення на 8 одиниць нагору

Розглянемо рішення на прикладі логарифмічної функції y = ln (x).

Приклад 3

Побудувати функцію y = ln e 2 · - 1 2 x 3 за допомогою перетворення y = ln (x).

Рішення

Для вирішення необхідно використовувати властивості логарифму, тоді отримуємо:

y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Перетворення логарифмічної функції мають такий вигляд:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Зобразимо графік вихідної логарифмічної функції

Виробляємо стискання ладу по О у

Виробляємо розтягування вздовж Ох

Виробляємо відображення щодо О у

Виконуємо зрушення вгору на 2 одиниці, отримуємо

Для перетворення графіків тригонометричної функції необхідно підганяти під схему розв'язання виду ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b . Необхідно, щоб k 2 дорівнював T k 2 . Звідси отримуємо, що 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Розглянемо приклади розв'язання завдань із перетвореннями y = sin x .

Приклад 4

Побудувати графік y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 за допомогою перетворень функції y = sinx.

Рішення

Необхідно привести функцію до виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. Для цього:

y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Видно, що k 1 = 3 k 2 = 1 2 a = - 3 b = - 2 . Оскільки перед k 1 є « - » , а перед k 2 - немає, тоді отримаємо ланцюжок перетворень виду:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Детальне перетворення синусоїди. При побудові графіка вихідної синусоїди y = sin (x) отримуємо, що найменшим позитивним періодом вважається T = 2 π. Знаходження максимуму в точках π 2 + 2 π · k; 1, а мінімуму - - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

Проводиться розтяг по О у втричі, значить зростання амплітуди коливань зросте в 3 рази. T = 2 π - це найменший позитивний період. Максимуми переходять у π 2 + 2 π · k; 3 , k ∈ Z , мінімуми - π 2 + 2 π · k ; - 3, k ∈ Z.

При розтягуванні Ох вдвічі отримуємо, що найменший позитивний період збільшується в 2 рази і дорівнює T = 2 π k 2 = 4 π . Максимуми переходять у π + 4 π · k; 3 , k ∈ Z , мінімуми – в - π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

Зображення проводиться симетрично щодо х. Найменший позитивний період у даному випадкуне змінюється і дорівнює T = 2 π k 2 = 4 π. Перехід максимуму виглядає як - π + 4 π · k; 3 , k ∈ Z , а мінімуму – π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

Здійснюється зміщення графіка вниз на 2 одиниці. Зміни найменшого загального періоду не відбувається. Знаходження максимумів з переходженням у точки - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, мінімумів - π + 3 + 4 π · k; - 5, k ∈ Z.

на даному етапіграфік тригонометричної функції вважається перетвореним.

Розглянемо докладне перетворенняфункції y = cos x.

Приклад 5

Побудувати графік функції y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 за допомогою перетворення функції виду y = cos x.

Рішення

За алгоритмом необхідно задану функціюпривести до вигляду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. Тоді отримуємо, що

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (-2 (x - 1)) + 1

З умови видно, що k 1 = 3 2 k 2 = 2 a = - 1 b = 1 де k 2 має «-», а перед k 1 він відсутній.

Звідси отримуємо, що вийде графік тригонометричної функції виду:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (-2 x) → → y = 3 2 cos (-2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

Покрокове перетворення косінусоїди з графічною ілюстрацією.

При заданій графіці y = cos (x) видно, що найменший загальний період дорівнює T = 2 π. Знаходження максимумів у 2 π · k; 1, k ∈ Z, а мінімумів π + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

При розтягуванні вздовж О у 3 2 рази відбувається зростання амплітуди коливань у 3 2 рази. T = 2 π є найменшим позитивним періодом. Знаходження максимумів у 2 π · k; 3 2 , k ∈ Z , мінімумів π + 2 π · k ; - 3 2, k ∈ Z.

При стисканні вздовж Ох вдвічі отримуємо, що найменшим позитивним періодом є число T = 2 π k 2 = π. Проводиться перехід максимумів в π · k; 3 2, k ∈ Z, мінімум - π 2 + π · k; - 3 2, k ∈ Z.

Симетричне відображення щодо Про у. Оскільки графік непарний, він не змінюватиметься.

При зрушенні графіка на 1 . Відсутні зміни найменшого позитивного періоду T = π. Знаходження максимумів в π · k + 1; 3 2 , k ∈ Z , мінімумів - π 2 + 1 + π · k; - 3 2, k ∈ Z.

При зрушенні на 1 найменший позитивний період дорівнює T = і не змінений. Знаходження максимумів в π · k + 1; 5 2 , k ∈ Z , мінімумів π 2 + 1 + π · k ; - 1 2, k ∈ Z.

Перетворення функції косинуса завершено.

Розглянемо перетворення з прикладу y = t g x .

Приклад 6

Побудувати графік функції y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 за допомогою перетворень функції y = t g (x) .

Рішення

Для початку необхідно привести задану функцію до виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , після чого отримуємо, що

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Виразно видно, що k 1 = 1 2, k 2 = 2 3, a = - π 2, b = π 3, а перед коефіцієнтами k 1 і k 2 є «-». Отже, після перетворення тангенсоїди отримуємо

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Поетапне перетворення тангенсоіди із графічним зображенням.

Маємо, що вихідний графік - y = t g (x) . Зміна позитивного періоду дорівнює T = π. Областю визначення вважається - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.

Стискаємо в 2 рази вздовж О у. T = π вважається найменшим позитивним періодом, де область визначення має вигляд - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.

Розтягуємо вздовж Ох у 3 2 рази. Обчислимо найменший позитивний період, причому дорівнював T = π k 2 = 3 2 π. А область визначення функції з координатами - 3 π 4 + 3 2 π · k; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z змінюється тільки область визначення.

Симетрія йде на бік Ох. Період не зміниться у цей момент.

Необхідно симетрично відображати осі координат. Область визначення у разі незмінна. Графік збігається із попереднім. Це свідчить, що функція тангенса непарна. Якщо до непарної функціїзадати симетричне відображення О х і О у тоді перетворимо до вихідної функції.