Як навчитися вирішувати ірраціональні нерівності. Ірраціональні нерівності

Т.Д. Іванова

МЕТОДИ РІШЕННЯ ІРРАЦІЙНИХ НЕРАВЕНСТВ

ЦДО та НІТ СРПТЛ

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

Упорядник Т.Д.Іванова

Рецензент: Баїшева М.І. Кандидат педагогічних наук, доцент кафедри

математичного аналізу математичного факультету

Інституту математики та інформатики Якутського

державного університету

Методи вирішення ірраціональних нерівностей: Методичний посібник

М 34 для учнів 9-11 класів/уклад. Іванова Т.Д. з Сунтар Сунтарського улусу

РС(Я): ЦДО НІТ СРПТЛ, 2007, - 56 с.

Посібник адресований старшокласникам середньої загальноосвітньої школи, а також вступникам до вузів як методичний посібник з вирішення ірраціональних нерівностей. У посібнику докладно розібрано основні методи розв'язання ірраціональних нерівностей, наведено приклади розв'язання ірраціональних нерівностей з параметрами, а також запропоновано приклади для самостійного вирішення. Вчителі можуть використовувати посібник як дидактичний матеріалдля проведення самостійних робіт, При оглядовому повторенні теми «Ірраціональні нерівності».

У посібнику відбито досвід роботи вчителя з вивчення з учнями теми «Ірраціональні нерівності».

Завдання взято з матеріалів вступних іспитів, методичних газет та журналів, навчальних посібників, перелік яких наведено в кінці посібника

УДК 511 (О75.3)

ББК 22. 1Я72

 Т.Д.Іванова, сост.,2006.

 ЦДО НІТ СРПТЛ,2007.

Передмова 5

Вступ 6

Розділ I.Приклади вирішення найпростіших ірраціональних нерівностей 7

Розділ II. Нерівності виду
>g(x), g(x), g(x) 9

Розділ ІІІ. Нерівності виду
;
;

;
13

Розділ ІV. Нерівності, що містять кілька коренів парного ступеня 16

Розділ V. Метод заміни (запровадження нової змінної) 20

Розділ VІ. Нерівності виду f(x)
0; f(x)0;

Розділ VII. Нерівності виду
25

Розділ VIII. Використання перетворень підкореного виразу

в ірраціональних нерівностях 26

Розділ ІХ. Графічне вирішення ірраціональних нерівностей 27

Розділ X. Нерівності змішаного типу 31

Розділ ХІ. Використання властивості монотонності функції 41

Розділ ХІІ. Метод заміни функції 43

Розділ ХІІІ. Приклади розв'язання нерівностей безпосередньо

методом інтервалів 45

Розділ XІV. Приклади розв'язання ірраціональних нерівностей із параметрами 46

Література 56

РЕЦЕНЗІЯ

Даний методичний посібник призначений для учнів 10-11 класів. Як показує практика, учні шкіл, абітурієнти відчувають особливі труднощі під час вирішення ірраціональних нерівностей. Це пов'язано з тим, що в шкільної математикицей розділ розглядається недостатньо, не розглядаються, більш розширено, різні методи розв'язання таких нерівностей. Також вчителі шкіл відчувають нестачу методичної літератури, яка проявляється в обмеженій кількості задачного матеріалу із зазначенням різних підходів, методів розв'язання.

У посібнику розглянуто методи розв'язання ірраціональних нерівностей. Іванова Т.Д. на початку кожного розділу знайомить учнів з основною ідеєю методу, потім показуються приклади з поясненнями, і навіть пропонуються завдання самостійного решения.

Упорядник використовує найбільш «ефектні» методи вирішення ірраціональних нерівностей, які зустрічаються при вступі до вищих навчальні закладиіз підвищеними вимогами до знань учнів.

Учні, ознайомившись із цим посібником, можуть здобути неоціненний досвід і навик розв'язання складних ірраціональних нерівностей. Вважаю, що цей посібник також буде корисним вчителям математики, які працюють у профільних класах, а також розробникам елективних курсів.

Кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу математичного факультету Інституту математики та інформатики Якутського державного університету

Баїшева М.І.

ПЕРЕДМОВА

Посібник адресований старшокласникам середньої загальноосвітньої школи, а також вступникам до вузів як методичний посібник з вирішення ірраціональних нерівностей. У посібнику докладно розібрано основні методи розв'язання ірраціональних нерівностей, наведено зразки оформлення розв'язання ірраціональних нерівностей, наведено приклади розв'язання ірраціональних нерівностей з параметрами, а також запропоновано приклади для самостійного розв'язання, для деяких з них надано короткі відповіді та вказівки.

При аналізі прикладів, самостійного розв'язання нерівностей, передбачається, що учень вміє вирішувати лінійні, квадратні та інші нерівності, володіє різними способами розв'язання нерівностей, зокрема, шляхом інтервалів. Пропонується вирішити нерівність декількома способами.

Вчителі можуть використовувати посібник як дидактичний матеріал щодо самостійних робіт, при оглядовому повторенні теми «Ірраціональні нерівності».

У посібнику відбито досвід роботи вчителя з вивчення з учнями теми «Ірраціональні нерівності».

Завдання підібрано з матеріалів вступних іспитів до вищих навчальних закладів, методичних газет та журналів з математики «Перше вересня», «Математика в школі», «Квант», навчальних посібників, перелік яких наведено в кінці посібника.

ВСТУП

Ірраціональними називають нерівності, в які змінні чи функція від змінної входять під знаком кореня.

p align="justify"> Основним стандартним методом вирішення ірраціональних нерівностей є послідовне зведення обох частин нерівності в ступінь з метою звільнення від кореня. Але це операція часто призводить до появи сторонніх коренів чи, навіть, до втрати коріння, тобто. призводить до нерівності, нерівносильної вихідної. Тому, треба дуже ретельно стежити за рівносильністю перетворень і розглядати ті значення змінної, у яких нерівність має сенс:

якщо корінь парного ступеня, то підкорене вираз має бути неотрицательным і значення кореня теж неотрицательное число.

якщо корінь ступеня - непарне число, то підкорене вираз може набувати будь-яке дійсне число і знак кореня збігається зі знаком підкореного виразу.

зводити в парний ступіньобидві частини нерівності можна лише, попередньо переконавшись у їхній невід'ємності;

зведення обох частин нерівності в одну і ту ж непарну міру завжди є рівносильним перетворенням.

РозділI. Приклади вирішення найпростіших ірраціональних нерівностей

Приклади 1- 6:

Рішення:

1. а)
.

б)
.

2. а)

б)

3. а)
.

б)
.

4. а)

б)

5. а)
.

б)

6. а)
.

б)
.

7.

8. а)
.

б)

9. а)
.

б)

11.

12. Знайдіть найменше ціле позитивне значеннях, що задовольняє нерівності

13. а) Знайдіть середину проміжку розв'язання нерівності

б) Знайдіть середнє арифметичне всіх цілих значень х, за яких нерівність має розв'язок 4

14. Знайдіть найменше негативне рішення нерівності

15. а)
;

б)

Розділ ІІ. Нерівності виду g(x), g(x),g(x)

Аналогічно, як і під час вирішення прикладів 1-4, міркуємо під час вирішення нерівностей зазначеного виду.

Приклад 7 : Розв'язати нерівність
> х + 1

Рішення: ОДЗ нерівності: х-3. Для правої частини є два можливі випадки:

а) х + 10 (права частинаневід'ємна) або б) х + 1

Розглянемо а) Якщо х+10, тобто. х- 1, то обидві частини нерівності невід'ємні. Зводимо обидві частини квадрат: х + 3 >х+ 2х+ 1. Отримуємо квадратна нерівність х+ х – 2 xх - 1, отримуємо -1

Розглянемо б) Якщо х+1 х х -3

Об'єднуючи рішення випадку а) -1 та б) х-3, запишемо відповідь: х
.

Усі міркування при вирішенні прикладу 7 зручно записати так:

Вихідна нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей
.

х

Відповідь: .

Міркування при розв'язанні нерівностей виду

1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) можна коротко записати у вигляді наступних схем:

I. > g(x)

2. g(x)

3. g(x)

4. g(x)
.

Приклад 8 :
х.

Рішення: Вихідна нерівність рівносильна системі

х>0

Відповідь: х
.

Завдання для самостійного вирішення:

б)

б)
.

б)

б)

20. а)
x

б)

21. а)

У даному уроціми розглянемо розв'язання ірраціональних нерівностей, наведемо різні приклади.

Тема: Рівняння та нерівності. Системи рівнянь та нерівностей

Урок:Ірраціональні нерівності

При вирішенні ірраціональних нерівностей часто-густо необхідно зводити обидві частини нерівності в певний ступінь, це досить відповідальна операція. Нагадаємо особливості.

Обидві частини нерівності можна звести до квадрата, якщо обидві вони невід'ємні, тільки тоді ми отримуємо з правильної нерівностіправильне нерівність.

Обидві частини нерівності можна звести куб у будь-якому разі, якщо вихідна нерівність була правильною, то при зведенні в куб ми отримаємо правильну нерівність.

Розглянемо нерівність виду:

Підкорене вираз має бути невід'ємним. Функція може набувати будь-яких значень, необхідно розглянути два випадки.

У першому випадку обидві частини нерівності є невід'ємними, маємо право звести в квадрат. У другий випадок права частина негативна, і ми маємо права зводити в квадрат. У такому разі необхідно дивитися на зміст нерівності: тут позитивний вираз ( квадратний корінь) Більше негативного виразу, отже, нерівність виконується завжди.

Отже, маємо таку схему розв'язання:

У першій системі ми не захищаємо окремо підкорене вираз, тому що при виконанні другої нерівності системи підкорене вираз автоматично має бути позитивно.

Приклад 1 - розв'язати нерівність:

Згідно зі схемою, переходимо до еквівалентної сукупності двох систем нерівностей:

Проілюструємо:

Рис. 1 - ілюстрація рішення прикладу 1

Як ми бачимо, при позбавленні ірраціональності, наприклад, при зведенні в квадрат, отримуємо сукупність систем. Іноді цю складну конструкцію можна спростити. В отриманій сукупності ми маємо право спростити першу систему та отримати еквівалентну сукупність:

В якості самостійної вправинеобхідно довести еквівалентність даних сукупностей.

Розглянемо нерівність виду:

Аналогічно попередній нерівності, розглядаємо два випадки:

У першому випадку обидві частини нерівності є невід'ємними, маємо право звести в квадрат. У другий випадок права частина негативна, і ми маємо права зводити в квадрат. У такому разі необхідно дивитися на сенс нерівності: тут позитивний вираз (квадратний корінь) менший за негативний вираз, отже, нерівність суперечлива. Другу систему не слід розглядати.

Маємо еквівалентну систему:

Іноді ірраціональну нерівність можна вирішити графічним методом. Цей спосібзастосовуємо, коли відповідні графіки можна досить легко побудувати та знайти їх точки перетину.

Приклад 2 - розв'язати нерівності графічно:

а)

б)

Першу нерівність ми вже вирішували і знаємо відповідь.

Щоб вирішити нерівності графічно, потрібно побудувати графік функції, що стоїть у лівій частині, та графік функції, що стоїть у правій частині.

Рис. 2. Графіки функцій та

Для побудови графіка функції необхідно перетворити параболу на параболу (дзеркально відобразити щодо осі у), отриману криву змістити на 7 одиниць вправо. Графік підтверджує, що дана функціямонотонно зменшується у своїй області визначення.

Графік функції – це пряма, її легко побудувати. Точка перетину з віссю у - (0; -1).

Перша функція монотонно зменшується, друга монотонно зростає. Якщо рівняння має корінь, він єдиний, за графіком легко його вгадати: .

Коли значення аргументу менше кореня, парабола знаходиться вище за пряму. Коли значення аргументу знаходиться в межах від трьох до семи, пряма проходить вище за параболу.

Маємо відповідь:

Ефективним методомРозв'язання ірраціональних нерівностей є метод інтервалів.

Приклад 3 - розв'язати нерівності шляхом інтервалів:

а)

б)

згідно з методом інтервалів, необхідно тимчасово відійти від нерівності. Для цього перенести в заданій нерівності все в ліву частину (отримати правонуль) і ввести функцію, рівну лівій частині:

тепер потрібно вивчити отриману функцію.

ОДЗ:

Це рівняння ми вже вирішували графічно, тому не зупиняємось на визначенні кореня.

Тепер необхідно виділити інтервали знакостійності та визначити знак функції на кожному інтервалі:

Рис. 3. Інтервали знакості на прикладі 3

Нагадаємо, що для визначення знаків на інтервалі необхідно взяти пробну точку та підставити її у функцію, отриманий знак функція зберігатиме на всьому інтервалі.

Перевіримо значення у граничній точці:

Очевидна відповідь:

Розглянемо наступний тип нерівностей:

Спочатку запишемо ОДЗ:

Коріння існує, воно невід'ємне, обидві частини можемо звести в квадрат. Отримуємо:

Отримали еквівалентну систему:

Отриману систему можна спростити. При виконанні другої та третьої нерівностей перша істинно автоматично. Маємо:

Приклад 4 - розв'язати нерівність:

Діємо за схемою – отримуємо еквівалентну систему.

Будь-яка нерівність, до складу якої входить функція, що стоїть під коренем, називається ірраціональним. Існує два типи таких нерівностей:

У першому випадку корінь менше функції g (x), у другому - більше. Якщо g(x) - константа, нерівність різко спрощується. Зверніть увагу: зовні ці нерівності дуже схожі, але схеми вирішення вони принципово різняться.

Сьогодні навчимося вирішувати ірраціональні нерівності першого типу – вони найпростіші та зрозуміліші. Знак нерівності може бути суворим чи несуворим. Їх правильне таке твердження:

Теорема. Будь-яка ірраціональна нерівність виду

Рівносильно системі нерівностей:

Неслабко? Давайте розглянемо, звідки береться така система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тут все зрозуміло. Це вихідна нерівність, зведена у квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 - це ОДЗ кореня. Нагадаю: арифметичний квадратний корінь існує лише з невід'ємногочисла;
3. g (x ) ≥ 0 – це область значень кореня. Зводячи нерівність у квадрат, ми спалюємо мінуси. В результаті можуть виникнути зайві корені. Нерівність g (x ) ≥ 0 відсікає їх.

Багато учнів «зациклюються» на першій нерівності системи: f (x) ≤ g 2 (x) - і геть-чисто забувають два інших. Результат передбачуваний: неправильне рішення, втрачені бали.

Оскільки ірраціональні нерівності – достатньо складна тема, Розберемо відразу 4 приклади. Від елементарних до справді складних. Усі завдання взято із вступних іспитів МДУ ім. М. В. Ломоносова.

Приклади розв'язання задач

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Перед нами класичне ірраціональна нерівність: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - константа. Маємо:

З трьох нерівностей до кінця рішення залишилося лише дві. Тому що нерівність 2 ≥ 0 виконується завжди. Перетнемо нерівності, що залишилися:

Отже, x ∈ [−1,5; 0,5]. Усі крапки зафарбовані, оскільки нерівності несуворі.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Застосовуємо теорему:

Вирішуємо першу нерівність. Для цього розкриємо квадрат різниці. Маємо:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Тепер вирішимо другу нерівність. Там теж квадратний тричлен:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)