Серед прикладів межфункції часто зустрічаються функції з корінням, які завжди зрозуміло як розкривати. Простіше коли є приклад кордону з кореневою функцією виду

Рішення подібних меж просто і зрозуміле кожному.
Проблеми виникають якщо є такі приклади функцій з корінням.

приклад 1 . Обчислити межу функції

При прямій підстановці точки x = 1 видно, що і чисельник і знаменник функції

перетворюються на нуль, тобто маємо невизначеність виду 0/0.
Для розкриття невизначеності слід помножити вираз, що містить корінь на пов'язане щодо нього і застосувати правило різниці квадратів. Для заданого прикладуперетворення будуть наступними



Межа функції з коріннямдорівнює 6 . Без наведеного правила її важко було знайти.
Розглянемо подібні прикладиобчислення кордону з цим правилом

приклад 2. Знайти межу функції

Переконуємося що з підстановці x = 3 отримуємо невизначеність виду 0/0.
Її розкриваємо множенням чисельника та знаменника на пов'язане до чисельника.


Далі чисельник розкладаємо згідно з правилом різниці квадратів

Ось так просто знайшли межу функції з корінням.

приклад 3. Визначити межу функції

Бачимо, що маємо невизначеність 0/0.
Позбавляємося іраціональності у знаменнику

Межа функції дорівнює 8 .

Тепер розглянемо інший тип прикладів, коли змінна у переділі прагне нескінченності.

Приклад 4 . Обчислити межу функції

Багато хто з Вас не знає як знайти межу функції. Нижче буде розкрито методику обчислень.
Маємо межу типу нескінченність мінус нескінченність. Помножуємо і ділимо на сполучений множник і використовуємо правило різниці квадратів

Кордонів функції дорівнює -2,5.

Обчислення подібних меж фактично зводиться до розкриття ірраціональності, а потім підстановки змінної

Приклад 5. Знайти межу функції

Межа еквівалентна - нескінченність мінус нескінченність
.
Помножимо і розділимо на сполучене вираз і виконаємо спрощення

Цей математичний калькуляторонлайн допоможе вам якщо потрібно обчислити межу функції. Програма вирішення межне просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішенняз поясненнями, тобто. відображає процес обчислення межі.

Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Введіть вираз функції

Обчислити межу

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Межа функції при х->х 0

Нехай функція f(x) визначена на деякій множині X і нехай точка \(x_0 \in X \) або \(x_0 \notin X \)

Візьмемо з X послідовність точок, відмінних від х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
що сходить до х *. Значення функції у точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
і можна порушувати питання про існування її межі.

Визначення. Число А називається межею функції f(х) у точці х = х 0 (або при х -> x 0), якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 (1), значень аргументу x, відмінних від x 0 відповідна послідовність (2) значень функції сходиться до A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функція f(x) може мати у точці x 0 лише одну межу. Це випливає з того, що послідовність
(f(x n)) має лише одну межу.

Існує інше визначення межі функції.

ВизначенняЧисло А називається межею функції f(x) у точці х = x 0 якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0 \) існує число \(\delta > 0 \) таке, що для всіх \(x \in X, \;x \neq x_0 \), що задовольняють нерівності \(|x-x_0| Використовуючи логічні символи, це визначення можна записати у вигляді
((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Зазначимо, що нерівності \(x \neq x_0 , \;|x-x_0| Перше визначення ґрунтується на понятті межі числової послідовностітому його часто називають визначенням «мовою послідовностей». Друге визначення називають визначенням «мовою \(\varepsilon - \delta\)».
Ці два визначення межі функції еквівалентні і можна використовувати будь-яке з них залежно від того, яке зручніше при вирішенні того чи іншого завдання.

Зауважимо, що визначення межі функції «мовою послідовностей» називають також визначенням межі функції за Гейном, а визначення межі функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)» - визначенням межі функції по Коші.

Межа функції при x-> x 0 - і при x-> x 0 +

Надалі будуть використані поняття односторонніх меж функції, які визначаються в такий спосіб.

ВизначенняЧисло А називається правою (лівою) межею функції f(x) у точці x 0 якщо для будь-якої послідовності (1), що сходить до x 0, елементи x n якої більше (менше) x 0 , відповідна послідовність (2) сходиться до А.

Символічно це записується так:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Можна дати рівносильне визначення односторонніх меж функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)»:

Визначеннячисло А називається правою (лівою) межею функції f(х) у точці x 0 якщо для будь-якого \(\varepsilon > 0 \) існує \(\delta > 0 \) таке, що для всіх x, що задовольняють нерівностям \(x_0 Символічні записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

\begin(equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Приклад №4

Знайти $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Оскільки $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ і $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2)=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Щоб позбавитися ірраціональності, що викликала цю невизначеність, потрібно примножити чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний до чисельника. тут вже не допоможе, бо примноження на $sqrt(5x-12)+sqrt(x+4)$ приведе до такого результату:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Як бачите, таке примноження не позбавить нас різниці коренів, що викликає невизначеність $\frac(0)(0)$. Потрібно примножити на інший вираз. Цей вираз має бути таким, щоб після примноження на нього зникла різниця кубічних коренів. А кубічний корінь може "прибрати" лише третій ступінь, тому потрібно використати . Підставивши в праву частинуцієї формули $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$, отримаємо:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Отже, після домноження на $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ різницю кубічних коренів зникла. Саме вираз $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ буде сполученим до виразу $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Повернемося до нашої межі і здійснимо множення чисельника і знаменника на вираз, пов'язаний чисельнику $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2) )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \right)) $$

Завдання практично вирішено. Залишилося лише врахувати, що $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (див. ). Крім того $4x-16=4(x-4)$, тому останню межу перепишемо в такій формі:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ right))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12) \cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\) sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24). $$

Відповідь: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Розглянемо ще один приклад (приклад №5) у цій частині, де застосуємо . Принципово схема рішення нічим не відрізняється від попередніх прикладів, - хіба що сполучене вираз матиме іншу структуру. До речі, варто зазначити, що в типових розрахунках та контрольних роботах часто зустрічаються завдання, коли, наприклад, у чисельнику розміщені вирази з кубічним коренем, а в знаменнику – з коренем квадратним. У цьому випадку доводиться множити і чисельник і знаменник різні сполучені висловлювання. Наприклад, для обчислення межі $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$, що містить невизначеність виду $\frac(0)(0 )$, домноження матиме вигляд:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\to 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\right))(\left(\sqrt(x+1)-3\right)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\right)\cdot\ left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\right))(\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))= \lim_(x \to 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) = frac (1) (2). $$

Усі перетворення, застосовані вище, вже було розглянуто раніше, тому вважаю, особливих неясностей тут немає. Втім, якщо вирішення вашого аналогічного прикладу викликає запитання, прошу відписати про це на форумі.

Приклад №5

Знайти $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Оскільки $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ і $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Для розкриття цієї невизначеності використовуємо. Сполучене вираження до чисельника має вигляд

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Домножуючи чисельник і знаменник дробу $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ на вказане вище сполучене вираз матимемо:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\) cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\ = \lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

Оскільки $5x-10=5\cdot(x-2)$ і $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (див. ), то:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6)+8\right))=\\lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) +2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\frac(5)((2^2+2\cdot 2 +4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2+6)+8right))=frac(5)(384). $$

Відповідь: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Приклад №6

Знайти $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Оскільки $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ і $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. У таких ситуаціях, коли вирази під корінням однакові, можна використовувати спосіб заміни. Потрібно замінити вираз під коренем (тобто $3x-5$), ввівши деяку нову змінну. Проте просте використання нової літери нічого не дасть. Уявіть, що ми просто замінили вираз $3x-5$ буквою $t$. Тоді дріб, що стоїть під межею, стане таким: $ frac ( sqrt (t) -1) ( sqrt (t) -1) $. Ірраціональність нікуди не зникла, - лише дещо видозмінилася, що анітрохи не полегшило завдання.

Тут доречно згадати, що корінь може усунути лише ступінь. Але який саме ступінь використати? Питання не тривіальне, адже у нас два корені. Один корінь п'ятого, а другий – третього порядку. Ступінь має бути таким, щоб одночасно прибрати обидва корені! Нам потрібно натуральне число, Яке одночасно ділилося б на $ 3 $ і на $ 5 $. Таких чисел нескінченна безліч, але найменше їх - число $15$. Його називають найменшим загальним кратнимчисел $3$ та $5$. І заміна має бути такою: $ t ^ (15) = 3x-5 $. Подивіться, що така заміна зробить із корінням.

Теорія меж – це один із розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спочатку коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і сниться у кошмарних снах усім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів велика кількістьтеорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому ми не розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, в даному випадку. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданняхдома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступний важливе питання– а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми роздивились найпростіша межа, Але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з більшим числомвгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі даного типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника та знаменника: в даному прикладівони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, можливо, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питанняпо завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве число нуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна групамеж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціі ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсуматематики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореняє на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове числоз комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольної роботи, на заліку, іспит так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав суворі визначення багатьом поняттям матану та заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, тому що довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема більш вбивча за іншу. У цьому зв'язку ми поки не розглядатимемо визначення межі по Коші, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Більше того, межа має дуже гарний геометричний зміст. Для кращого розуміннятеми рекомендую ознайомитись із методичним матеріалом Графіки та властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, але й познайомитеся з цікавими випадками, коли межі функції взагалі не існує!

На практиці, на жаль, подарунків небагато. А тому переходимо до розгляду складніших меж. До речі, на цю тему є інтенсивний курсу pdf-форматі, який особливо корисний, якщо у вас дуже мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірші:

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Рекомендація: Якщо в межі (майже будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більше того, такі числа доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Та просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити по ходу рішення.

Зверніть увагу, що на заключному етапірішення я виніс за значок межі двійку, а потім мінус.

! Важливо
У результаті рішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. Скорочувати такий дрібне можна . Спочатку потрібно поміняти знак у чисельника чи знаменника (винести -1 за дужки).
тобто з'являється знак «мінус», який при обчисленні межі враховується і втрачати його зовсім не потрібно.

Взагалі, я помітив, що найчастіше в знаходженні меж цього типу доводиться вирішувати два квадратних рівняння, тобто і в чисельнику і знаменнику знаходяться квадратні тричлени.

Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз

Продовжуємо розглядати невизначеність виду

Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.

Приклад 6

Знайти межу

Починаємо вирішувати.

Спочатку пробуємо підставити 3 у вираз під знаком межі
Ще раз повторюю – це перше, що потрібно виконувати для будь-якої межі. Ця діязазвичай проводиться подумки або на чернетці.

Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати.

Як Ви, напевно, помітили, у нас у чисельнику є різниця коренів. А коріння в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися. Навіщо? А без них життя простіше.