Яка третя ознака рівності трикутників. Друга ознака рівності трикутників

>>Геометрія: Третя ознака рівності трикутників. Повні уроки

ТЕМА УРОКА: Третя ознака рівності трикутників.

Цілі уроку:

Освітні – повторення, узагальнення та перевірка знань на тему: “Ознаки рівності трикутників”; вироблення основних навичок.
Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичне мовлення.
Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку:

Формувати навички у побудові трикутників за допомогою масштабної лінійки, транспортира та креслярського трикутника.
Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку:

З історії математики.
Ознаки рівності трикутників.
Актуалізація опорних знань.
Прямокутні трикутники.

З історії математики.
Прямокутний трикутник займає почесне місце у вавилонській геометрії, згадка про нього часто зустрічається в папірусі Ахмеса.

Термін гіпотенуза походить від грецького hypoteinsa, що означає тягнеться під чимось, стягує. Слово бере початок від образу давньоєгипетських арф, на яких струни натягувалися на кінці двох взаємно перпендикулярних підставок.

Термін катет походить від грецького слова«катетос», що означало схильність, перпендикуляр. У середні віки словом катет означали висоту прямокутного трикутника, тоді як інші його сторони називали гіпотенузою, відповідно основою. У XVII столітті слово катет починає застосовуватися в сучасному розумінні і поширюється, починаючи з XVIII століття.

Евклід вживає вирази:

"сторони, що укладають прямий кут", - для катетів;

«сторона, що стягує прямий кут», – для гіпотенузи.

Для початку нам необхідно освіжити у пам'яті попередні ознаки рівності трикутників. І так почнемо з першого.

Перший ознака рівності трикутників.

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Серед величезної кількостібагатокутників, які по суті є замкнутою ламаною лінією, що не перетинається, трикутник - це фігура з найменшою кількістю кутів. Іншими словами, це найпростіший багатокутник. Але, незважаючи на всю свою простоту, ця постать таїть у собі багато загадок і цікавих відкриттів, які висвітлюються особливим розділомматематики – геометрією. Цю дисципліну в школах починають викладати із сьомого класу, і темі «Трикутник» тут приділяється особливу увагу. Діти не тільки дізнаються правила про саму фігуру, а й порівнюють їх, вивчаючи 1, 2 та 3 ознаки рівності трикутників.

Перше знайомство

Один із перших правил, з яким знайомляться школярі, звучить приблизно так: сума величин усіх кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Щоб це підтвердити, достатньо за допомогою транспортира виміряти кожну з вершин і скласти всі значення, що вийшли. Виходячи з цього, за двох відомих величин легко визначити третю. Наприклад: У трикутнику один з кутів дорівнює 70 °, а інший - 85 °, яка величина третього кута?

180 - 85 - 70 = 25.

Відповідь: 25 °.

Завдання можуть бути і більш складними, якщо вказано лише одне значення кута, а про другу величину сказано лише, на скільки або скільки разів вона більша або менша.

У трикутнику для визначення тих чи інших його особливостей можуть бути проведені спеціальні лінії, кожна з яких має свою назву:

висота – перпендикулярна пряма, проведена з вершини до протилежної сторони;
всі три висоти, проведені одночасно, у центрі фігури перетинаються, утворюючи ортоцентр, який залежно від виду трикутника може бути як усередині, так і зовні;
медіана - лінія, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони;
перетин медіан є точкою його тяжкості, що знаходиться всередині фігури;
бісектриса - лінія, що проходить від вершини до точки перетину з протилежною стороною, точка перетину трьох бісектрис є центром вписаного кола.

Прості істини про трикутники

Трикутники, як, власне, і всі фігури, мають свої особливості та властивості. Як уже говорилося, ця фігура є найпростішим багатокутником, але зі своїми характерними ознаками:

проти найдовшої сторони завжди лежить кут із більшою величиною, і навпаки;
проти рівних сторінлежать рівні кути, приклад тому - рівнобедрений трикутник;
сума внутрішніх кутівзавжди дорівнює 180°, що було продемонстровано з прикладу;
при продовженні однієї сторони трикутника за межі утворюється зовнішній кут, який завжди буде дорівнює сумікутів, з ним не суміжних;
будь-яка зі сторін завжди менше суми двох інших сторін, але більше їх різниці.

Види трикутників

Наступний етап знайомства полягає у визначенні групи, до якої належить представлений трикутник. Приналежність того чи іншого виду залежить від величин кутів трикутника.

Рівнобедрений - з двома рівними сторонами, які називають бічними, третя у цьому випадку виступає основою фігури. Кути біля основи такого трикутника однакові, а медіана, проведена з вершини, є бісектрисою та висотою.
Правильний, або рівносторонній трикутник, - Це той, у якого всі його сторони рівні.
Прямокутний: один із його кутів дорівнює 90°. У цьому випадку сторона, що протилежить цьому кутку, називається гіпотенузою, а дві інші - катетами.
Гострокутний трикутник - всі кути менше 90 °.
Тупокутний - один із кутів більше 90°.

Рівність та подоба трикутників

У процесі навчання не лише розглядають окремо взяту фігуру, а й порівнюють два трикутники. І ця, начебто, проста темамає масу правил і теорем, якими можна довести що розглянуті постаті - рівні трикутники. Ознаки рівності трикутників мають таке визначення: трикутники рівні, якщо відповідні сторони і кути однакові. За такої рівності, якщо накласти ці дві фігури одна на одну, всі їхні лінії зійдуться. Також фігури можуть бути подібними, зокрема це стосується практично однакових фігур, Що відрізняються лише величиною. Для того, щоб зробити такий висновок про представлені трикутники, необхідно дотримання однієї з наступних умов:

два кути однієї фігури дорівнюють двом кутам іншої;
дві сторони одного пропорційні двом сторонам другого трикутника, а величини кутів, утворених сторонами, дорівнюють;
три сторони другої фігури такі самі, як і в першої.

Звичайно, для безперечної рівності, яка не викликає жодного сумніву, необхідно мати однакові значення всіх елементів обох фігур, проте з використанням теорем завдання значно спрощується, і для доказу рівності трикутників допускається наявність лише декількох умов.

Перша ознака рівності трикутників

Завдання на цю тему вирішуються з урахуванням докази теореми, яка звучить так: "Якщо дві сторони трикутника і кут, який вони утворюють, дорівнюють двом сторонам і кутку іншого трикутника, то й фігури теж рівні між собою".

Як же звучить підтвердження теореми про першу ознаку рівності трикутників? Всім відомо, що два відрізки рівні, якщо вони однієї довжини, або кола рівні, якщо мають однаковий радіус. А у випадку з трикутниками є кілька ознак, маючи які, можна припустити, що фігури ідентичні, що дуже зручно використовувати під час вирішення різних геометричних завдань.

Як звучить теорема «Перша ознака рівності трикутників», описано вище, а ось її доказ:

Припустимо, трикутники АВС і А 1 В 1 З 1 мають однакові сторони АВ і А 1 В 1 і, відповідно, ВС і В 1 З 1 , а кути, які утворюються цими сторонами, мають одну й ту саму величину, тобто рівні. Тоді, наклавши ABC на A А 1 В 1 С 1, отримаємо збіг всіх ліній і вершин. Звідси випливає, що це трикутники абсолютно ідентичні, отже, рівні між собою.

Теорему "Перша ознака рівності трикутників" називають ще "По двох сторонах і кутку". Власне, в цьому і полягає її суть.

Теорема про другу ознаку

Друга ознака рівності доводиться аналогічно, доказ ґрунтується на тому, що при накладенні фігур одна на одну вони повністю збігаються по всіх вершинах і сторонах. А звучить теорема так: "Якщо одна сторона і два кути, в освіті яких вона бере участь, відповідають стороні і двом кутам другого трикутника, то ці фігури ідентичні, тобто рівні".

Третя ознака та доказ

Якщо як 2, і 1 ознака рівності трикутників стосувався як сторін, і кутів фігури, то третій належить лише до сторон. Отже, теорема має таке формулювання: "Якщо всі сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то фігури ідентичні".

Щоб довести цю теорему, потрібно детальніше заглибитися в саме визначення рівності. Власне, що означає вираз «трикутники рівні»? Ідентичність говорить про те, що якщо накласти одну фігуру на іншу, всі їх елементи збігатимуться, це може бути тільки в тому випадку, коли їхні сторони та кути будуть рівними. У той же час кут, що протилежить одній зі сторін, яка така сама, як у іншого трикутника, дорівнюватиме відповідній вершині другої фігури. Слід зазначити, що тут доказ легко перевести на 1 ознака рівності трикутників. Якщо така послідовність не спостерігається, рівність трикутників просто неможлива, за винятком тих випадків, коли фігура є дзеркальним відображеннямпершою.

Прямокутні трикутники

У будові таких трикутників є вершини з величиною кута 90°. Тому справедливі такі твердження:

трикутники з прямим кутом рівні, якщо катети одного ідентичні катет другого;
фігури рівні, якщо рівні їх гіпотенузи та один із катетів;
такі трикутники рівні, якщо їх катети і гострий кутідентичні.

Ця ознака відноситься до Докази теореми застосовують додаток фігур один до одного, в результаті якого трикутники складають катетами так, щоб з двох прямих вийшов зі сторонами СА і СА 1 .

Практичне застосування

Найчастіше практично застосовується перша ознака рівності трикутників. Насправді така, здавалося б, проста тема 7 класу з геометрії та планіметрії використовується і для обчислення довжини, наприклад, телефонного кабелю без вимірів місцевості, якою він проходитиме. З допомогою цієї теореми легко зробити необхідні розрахунки визначення довжини острова, що є посеред річки, не перепливаючи нею. Або зміцнити паркан, розташувавши планку в прольоті так, щоб вона ділила його на два рівні трикутники, або ж розрахувати складні елементироботи у столярній справі, або при розрахунку кроквяної системи даху під час будівництва.

Перша ознака рівності трикутників має широке застосування у реальному «дорослому» житті. Хоча в шкільні рокисаме ця тема для багатьох здається нудною та зовсім непотрібною.

Відеоурок «Третя ознака рівності трикутників» містить доказ теореми, що є ознакою рівності двох трикутників по трьох сторонах. Ця теорема є важливою частиноюгеометрії. Вона часто використовується для вирішення практичних завдань. Її доказ ґрунтується на відомих уже учням ознаках рівності трикутників.

Доказ цієї теореми складний, тому для поліпшення якості навчання, формування вміння доводити геометричні твердження бажано використати цей наочний посібник, який допоможе сконцентрувати увагу учнів на матеріалі, що вивчається. Також воно за допомогою анімації, наочної демонстрації побудов та доказів дає можливість покращити якість навчання.

На початку уроку демонструється назва теми і формулюється теорема у тому, що трикутники рівні у разі, якщо всі сторони одного трикутника попарно рівні всім сторонам другого трикутника. Текст теореми демонструється на екрані та може бути записаний учнями у зошит. Далі розглядається доказ цієї теореми.

Для доказу теореми будуються трикутники ΔАВС і ΔА1В1С1. З умови теореми випливає, що сторони попарно рівні, тобто АВ = А 1 В 1 ВС = В 1 С 1 і АС = А 1 С 1 . На початку доказу демонструється накладення трикутника ΔАВС на ΔА 1 В 1 С 1 так, щоб вершини А і А 1 , а також В та В 1 даних трикутників поєдналися. При цьому вершини С і С 1 повинні розташовуватися по різні сторонивід накладених сторін АВ та А 1 В 1 . При даному побудовіможливо кілька варіантів розташування елементів трикутників:

Промінь С1С лежить усередині кута ∠А1С1В1.
Промінь С1С збігається з однією зі сторін кута ∠А1С1В1.
Промінь З 1 З лежить поза кутом ∠А 1 З 1 В 1.

Кожен випадок необхідно розглядати окремо, оскільки доказ може бути однаковим всім даних випадків. У першому випадку розглядається два трикутники, утворені в результаті побудови. Оскільки за умовою в цих трикутниках сторони АС=А 1 С 1 , а ВС=В 1 С 1 , трикутники ΔВ 1 С 1 С і ΔА 1 С 1 , що виходять, рівнобедрені. Використовуючи вивчену властивість рівнобедрених трикутників, ми можемо стверджувати, що кути ∠1 та ∠2 рівні між собою, а також ∠3 та ∠4 рівні. Так як дані кути рівні, то і в сумі ∠1 і ∠3, а також ∠2 і ∠4 також будуть давати рівні кути. Тому кути ∠С і ∠С1 рівні. Довівши даний факт, ми можемо знову розглянути трикутники ΔАВС і ΔА 1 В 1 С 1 , в яких сторони ВС=В 1 С 1 і АС=А 1 С 1 за умовою теореми, і доведено, що кути між ними ∠С і ∠С 1 також рівні . Відповідно, дані трикутники дорівнюють за першою ознакою рівності трикутників, який вже відомий учням.

У другому випадку при накладенні трикутників точки С і С 1 лягли на одну пряму, що проходить через точку (1). У сумі двох трикутників ΔАВС та ΔА 1 В 1 С 1 вийшов трикутник ΔСАС 1 , у якому дві сторони АС=А 1 С 1 за умовою теореми є рівними. Відповідно, цей трикутник є рівнобедреним. У рівнобедреному трикутнику при рівних сторонах лежать рівні кути, тому можна стверджувати, що кути ∠С=∠С1. Також з умови теореми випливає, що сторони ВС і В1С1 рівні між собою, тому АВС і А1В1С1 з урахуванням викладених фактів рівні між собою за першою ознакою рівності трикутників.

Доказ у третьому випадку, аналогічно першим двом, використовує першу ознаку рівності трикутників. Побудована накладенням трикутників геометрична фігура при з'єднанні відрізком вершин С і С1 перетворюється на трикутник ΔВ1С1С. А за рівних сторін у рівнобедреному трикутнику кути ∠С і ∠С 1 також рівні. Оскільки за умовою теореми рівні сторони АС=А 1 С 1 , то кути за них у рівнобедреному трикутнику ΔАСС 1 також рівні. З урахуванням того, що кути ∠С і ∠С 1 рівні, і кути ∠DCAі ∠DC 1 A рівні між собою, то і кути ∠АСВ та ∠АС 1 В також рівні. Враховуючи даний факт, для доказу рівності трикутників ΔАВС і ΔА 1 В 1 С 1 можна використовувати першу ознаку рівності трикутників, оскільки дві сторони даних трикутників рівні за умовами, а рівність кутів між ними доведено в ході міркувань.

Наприкінці відеоуроку демонструється важлива програма третьої ознаки рівності трикутників - жорсткість даної геометричної фігури. На прикладі пояснюється, що означає це твердження. Як приклад гнучкої конструкції наводяться дві рейки, з'єднані цвяхом. Дані рейки можуть бути розсунуті та зрушені під будь-яким кутом. Якщо ж до рейок прикріпити ще одну, з'єднану кінцями з рейками, то ми отримаємо жорстку конструкцію, в якій неможливо поміняти кут між рейками. Отримання трикутника з цими сторонами та іншими кутами неможливе. Це наслідок теореми має важливе практичне значення. На екрані зображуються інженерні конструкції, в яких застосовується дана властивістьтрикутників.

Відеоурок «Третя ознака рівності трикутників» полегшує вчителю подачу нового матеріалу на уроці геометрії на цю тему. Також відеоурок може з успіхом використовуватись для дистанційного навчанняматематики, допоможе розібратися у складностях доказу учням самостійно.

>>Математика 7 клас. Повні уроки >>Геометрія: Друга ознака рівності трикутників. Повні уроки

ТЕМА УРОКА: Друга ознака рівності трикутників.

Цілі уроку:

Вивчити другу ознаку рівності трикутників;
Вміти застосовувати ознаку до вирішення найпростіших завдань;
Продовжити розвиток умінь проводити міркування та докази, виконувати найпростіші геометричні побудови.

Завдання уроку:

Засвоєння матеріалу через практикум та теорію;
формування логічного мислення;
Навчитися бачити відмінність та подібність у доказах ознак;
Намагатися розвивати здібності учнів до самоосвіти;
Формування умінь саморегулювання своєї навчально-пізнавальноїдіяльності.

Девіз уроку:
Ні хвилини спокою,
Ні секунди втрат,
Власні знання
Ретельно перевір.

План уроку:

Вступне слово;
Повторення;
Приклади розв'язання задач;
Перевірка власних знань;
Додаткове творче завдання;
Розв'язання задач із практичним змістом.

Вступне слово.

ПОМИЛКУ треба поважати, якщо вона не результат нашого невігластва, не породження нашої лінощів, не плід невивчених уроківа лише іноді супутниця нашого старання у оволодінні геометричними знаннями

Повторення.
Запитання.

Що таке трикутник?
Які трикутники називаються рівними?
Як ви розумієте, що таке "ознака рівності трикутників"?
Чи сформулюйте першу ознаку рівності трикутників?
Навіщо потрібні ознаки?
Чи обов'язково щоразу порівнювати трикутники накладенням один на одного?

Якщо трикутники рівні, то дорівнюють їх відповідні елементи. (т.к. вони поєдналися при накладенні трикутників, і отже рівні (опр. рівних фігур)). Наслідок: у рівних трикутниках:

Проти відповідно рівних сторін лежать рівні кути
Проти відповідно рівних кутівлежать рівні сторони

Ознака математики- те саме, що і достатня умова. У менш суворих науках слово «ознака» вживається як опис фактів, що дозволяють (згідно з існуючої теоріїі т.п.) зробити висновок про наявність явища, що цікавить.

Що таке ознака рівності трикутників та скільки існує ознак? Деякі умови, у яких два даних трикутника виявляються рівними, називаються ознаками рівності трикутників. Можна сміливо сказати, що ознака – це прикмета, якою можна дізнатися ті чи інші властивості постатей.

Іноді поєднати трикутники немає можливості.Що ж робити? Достатньо порівняти лише три елементи одного трикутника з трьома елементами іншого трикутника. Ось тут нам на допомогу прийдуть ознаки рівності трикутників, вони розкажуть, які саме елементи потрібно порівнювати.

Приклади розв'язання задач.

Теорема, друга ознака рівності трикутників

Файл:T.gif Якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні відповідно до сторони та прилеглих до неї кутів іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.

Нехай у трикутників ABC і A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.

Нехай A1B2C2 – трикутник, рівний трикутнику ABC. Вершина B2 розташована на промені A1B1, а вершина С2 у тій же напівплощині щодо прямої A1B1 де лежить вершина С1. Оскільки A1B2 = A1B1, то вершина B2 збігається з вершиною B1. Оскільки ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 і ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то промінь A1C2 збігається з променем A1C1, а промінь B1C2 збігається з променем B1C1. Звідси випливає, що С2 збігається з вершиною С1. Трикутник A1B1C1 збігається з трикутником A1B2C2, отже, дорівнює трикутнику ABC. Теорему доведено.

Перевірка власних знань.

Усні вправи.

Скільки видів трикутників ви знаєте? (3)
Назвати ці види (гострокутний, прямокутний, тупокутний)
Дати визначення кожному виду.
Яким приладом вимірюється градусний західкутів? (транспортиром)
Яка постать називається кутом? (утворена двома променями)

2913 ≈ 2900 (о)
Знайти 1/3 від 36 (12) (ж)
Знайти число, якщо 1/5 цього числа = 10 (50) (е)
4/9 2 = 8(г)
16/17: 2 = 8/17 (10) (о)
7/8: 2 = 7/16 (в)

Отже, вийшло слово – ОПІКІВ.
Ожегов Сергій Іванович– один із авторів тлумачного словникаросійської мови. У цьому словнику написано значення 80 000 слів російської мови та фразеологічних виразів.

Чи можна зобразити трикутник, у якого два кути тупих?
А чи можете ви зобразити трикутник, який має один кут прямий, а інший – тупий?

Запитання:

Що таке друга ознака рівності трикутників?
Що вона каже?
Навіщо потрібні ознаки?
Що таке "ознака рівності трикутників"?

Список використаних джерел:

Урок на тему "Наочна геометрія"
Геометрія: Робочий зошитдля 7 класу загальноосвітніх установ
Уроки геометрії Кирила та Мефодія. 7 клас (2005)
Геометрія. 7 клас. Комплексний заліковий зошит. Стадник Л. Г.

Над уроком працювали:

Самиліна М.В.

Потурнак С.А.

Поставити питання про сучасній освіті, висловити ідею або вирішити назрілу проблему Ви можете на Освітній форум, де на міжнародному рівнізбирається освітня радасвіжої думки та дії. Створивши