У трипроекційному кресленні глибина точки АА 2проектується без спотворень на площині П 1 та П 2 (рис. 62, а).Ця обставина дозволяє побудувати третю - фронтальну проекцію точки Аза її горизонтальною А 1та фронтальній А 2проекціям (рис. 62, в).Для цього через фронтальну проекцію точки необхідно провести горизонтальну лінію зв'язку. A 2 A 3 _|_A 2 A 1 .Потім будь-де на кресленні провести вісь проекцій П 2 /П 3 _|_ А 2 А 3виміряти глибину f точки на горизонтальному поле проекції та відкласти її по горизонтальній лінії зв'язку від осі проекцій П 2 /П 3 . Отримаємо профільну проекцію А 3крапки А.

Таким чином, на комплексному кресленні, що складається з трьох ортогональних проекцій точки, дві проекції знаходяться на одній лінії зв'язку; лінії зв'язку перпендикулярні до відповідних осей проекцій; Дві проекції точки цілком визначають положення її третьої проекції.

Слід зазначити, що у комплексних кресленнях, зазвичай, не обмежують площини проекцій і становище їх задають осями (рис. 62, в). У тих випадках, коли умовами завдання цього не потрібно

ється, проекції точок можуть бути дані без зображення осей (рис. 63, а, б).Така система називається безосновою. Лінії зв'язку можуть проводитися з розривом (рис. 63, б).

62.gif

Зображення:

63.gif

Зображення:

34. Положення точки у просторі тривимірного кута

§ 34. Положення точки у просторі тривимірного кута

Розташування проекцій точок на комплексному кресленні залежить від положення точки просторі тривимірного кута. Розглянемо деякі випадки:

• точка розташована у просторі (див. рис. 62). У цьому випадку вона має глибину, висоту та широту;
• точка розташована на площині проекцій П 1- вона немає висоти, П 2 - немає глибини, Пз - немає широти;
• точка розташована на осі проекцій, П 2 /П 1 не має глибини та висоти, П 2 /П 3 - не має глибини та широти та П 1 /П 3 не має висоти та широти.

35. Конкуруючі точки

§ 35. Конкуруючі точки

Дві точки у просторі можуть бути розташовані по-різному. В окремому випадку вони можуть бути розташовані так, що їх проекції на якій-небудь площині проекцій збігаються. Такі точки називаються конкуруючими.На рис. 64, анаведено комплексне креслення точок Аі Ст.Вони розташовані так, що їх проекції збігаються на площині П 1 [А 1 = = В 1].Такі точки називаються горизонтально конкуруючими.Якщо проекції точок A і Взбігаються на площині

П 2(рис. 64, б),вони називаються фронтально конкуруючими.І якщо проекції точок Аі Узбігаються на площині П 3 [А 3 == B 3 ] (рис. 64, в), вони називаються профільно конкуруючими.

За конкуруючими точками визначають видимість на кресленні. У горизонтально конкуруючих точок буде видно та, у якої більша висота, у фронтально конкуруючих - та, у якої більша глибина, і у профільно конкуруючих - та, у якої більша широта.

64.gif

Зображення:

36. Заміна площин проекцій

§ 36. Заміна площин проекцій

Властивості трипроекційного креслення точки дозволяють горизонтальною та фронтальною її проекціям будувати третю на інші площини проекцій, введені замість заданих.

На рис. 65, апоказано точку Ата її проекції - горизонтальна А 1та фронтальна А 2 .За умовами завдання необхідно провести заміну площин П 2 . Нову площину проекції позначимо П 4 і розташуємо перпендикулярно П 1 .На перетині площин П 1та П 4 отримаємо нову вісь П 1 /П 4 . Нова проекція точки А 4буде розташована на лінії зв'язку, що проходить через точку А 1і перпендикулярно до осі П 1 /П 4 .

Оскільки нова площина П 4замінює фронтальну площину проекції П 2 , висота точки Азображується однаково в натуральну величину і на площині П 2 і на площині П 4 .

Ця обставина дозволяє визначити положення проекції A 4 ,у системі площин П 1 _|_ П 4(рис. 65, б)на комплексному кресленні. Для цього достатньо виміряти висоту точки на плоско-

сті проекції П 2 відкласти її на новій лінії зв'язку від нової осі проекцій - і нова проекція точки А 4буде збудовано.

Якщо нову площину проекцій ввести замість горизонтальної площини проекцій, тобто П 4 _|_ П 2 (рис. 66, а),тоді в новій системі площин нова проекція точки перебуватиме на одній лінії зв'язку з фронтальною проекцією, причому А 2 А 4 _|_.В цьому випадку глибина точки однакова і на площині П 1 ,і на площині П 4 .На цій підставі будують А 4(Рис. 66, б)на лінії зв'язку А 2 А 4на такій відстані від нової осі П 1 /П 4 на якій А 1знаходиться від осі П2/П1.

Як зазначалося, побудова нових додаткових проекцій завжди пов'язані з конкретними завданнями. Надалі буде розглянуто ряд метричних та позиційних завдань, які вирішуються із застосуванням методу заміни площин проекцій. У завданнях, де запровадження однієї додаткової площини не дасть бажаного результату, вводять ще одну додаткову площину, яку позначають П 5 . Її мають перпендикулярно вже введену площину П 4 (рис. 67, а), тобто П 5 П 4 і виробляють побудову, аналогічну раніше розглянутим. Тепер відстані вимірюють на другій з основних площин проекцій, що замінюється (на рис. 67, бна площині П 1)та відкладають їх на новій лінії зв'язку А 4 А 5від нової осі проекцій П5/П4. У новій системі площин П 4 П 5 отримують новий двопроекційний креслення, що складається з ортогональних проекцій А 4та А 5 , пов'язаних лінією зв'язку

Апарат проектування

Апарат проектування (рис. 1) включає три площини проекцій:

π 1 –горизонтальна площина проекцій;

π 2 –фронтальна площина проекцій;

π 3– профільна площина проекцій .

Площини проекцій розташовуються взаємно перпендикулярно ( π 1^ π 2^ π 3), які лінії перетину утворюють осі:

Перетин площин π 1і π 2утворюють вісь 0Х (π 1∩ π 2 = 0Х);

Перетин площин π 1і π 3утворюють вісь 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Перетин площин π 2і π 3утворюють вісь 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Точка перетину осей (ОХ∩OY∩OZ=0), вважається точкою початку відліку (точка 0).

Так як площини і осі взаємно перпендикулярні, такий апарат аналогічний декартової системі координат.

p align="justify"> Площини проекцій весь простір ділять на вісім октантів (на рис. 1 вони позначені римськими цифрами). Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в Iом октанті.

Проектування ортогональне з центрами проектування S 1, S 2і S 3відповідно для горизонтальної, фронтальної та профільної площин проекцій.

А.

З центрів проектування S 1, S 2і S 3виходять проєкуючі промені l 1, l 2і l 3 А

- А 1 А;

- А 2 – фронтальна проекціякрапки А;

- А 3– профільна проекція точки А.

Крапка у просторі характеризується своїми координатами A(x,y,z). Крапки A x, A yі A zвідповідно на осях 0X, 0Yі 0Zпоказують координати x, yі zкрапки А. На рис. 1 дано всі необхідні позначення та показані зв'язки між точкою Апростору, її проекціями та координатами.

Епюр точки

Щоб отримати епюр точки А(рис. 2), в апараті проектування (рис. 1) площина π 1 А 1 0Х π 2. Потім площина π 3з проекцією точки А 3обертають проти годинникової стрілки навколо осі 0Zдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок поворотів площин π 2і π 3показано на рис. 1 стрілками. При цьому прямі А 1 А хі А 2 А х 0Хперпендикулярі А 1 А 2, а прямі А 2 А хі А 3 А хстануть розташовуватися на загальному до осі 0Zперпендикулярі А 2 А 3. Ці прямі надалі називатимемо відповідно вертикальною і горизонтальною лініями зв'язків.

Слід зазначити, що при переході від апарату проектування до епюру проектований об'єкт зникає, але вся інформація про його форму, геометричні розміри і місце його положення в просторі зберігаються.

А(x A , y A , z Ax A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 2). Ця послідовність називається методикою побудови епюра точки.

1. Ортогонально викреслюються осі OX, OYі OZ.

2. На осі OX x Aкрапки Ата отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OX

Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки А А 1на епюрі.

Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aкрапки А А 2на епюрі.

6. Через точку А 2паралельно осі OXпроводиться горизонтальна лінія зв'язку. Перетин цієї лінії та осі OZдасть положення точки А z.

7. На горизонтальній лінії зв'язку від точки А zу напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки Ата визначається положення профільної проекції точки А 3на епюрі.

Характеристика точок

Усі точки простору поділяються на точки приватного та загального положень.

Точки приватного становища. Крапки, що належать апарату проектування, називаються точками приватного положення. До них відносяться точки, що належать площин проекцій, осям, початку координат і центрам проектування. Характерними ознаками точок приватного стану є:

Метаматематичний – одна, дві чи всі чисельні значення координат дорівнюють нулю та (або) нескінченності;

На епюрі - дві або всі проекції точки розташовуються на осях і (або) розташовуються в безкінечності.

Точки загального стану. До точок загального положення належать точки, що не належать апарату проектування. Наприклад, точка Ана рис. 1 та 2.

Загалом чисельні значення координат точки характеризує її віддалення від площини проекцій: координата хвід площини π 3; координата yвід площини π 2; координата zвід площини π 1. Слід зазначити, що знаки при чисельних значеннях координат вказують напрям видалення точки від площин проекцій. Залежно від поєднання знаків при чисельних значеннях координат точки залежить, у якому з октанів вона.

Метод двох зображень

Насправді, крім методу повного проектування використовують метод двох зображень. Він відрізняється тим, що у цьому методі виключається третя проекція об'єкта. Для отримання апарату проектування методу двох зображень з апарату повного проектування виключається профільна площина проекцій з її центром проектування (рис. 3). Крім того, на осі 0Хпризначається початок відліку (точка 0 ) і з нього перпендикулярно до осі 0Ху площинах проекцій π 1і π 2проводять осі 0Yі 0Zвідповідно.

У цьому апараті весь простір ділиться на чотири квадранти. На рис. 3 вони позначені римськими цифрами.

Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в I-ом квадранті.

Розглянемо роботу апарату з прикладу проектування точки А.

З центрів проектування S 1і S 2виходять проєкуючі промені l 1і l 2. Ці промені проходять через точку Аі перетинаючи площинами проекцій утворюють її проекції:

- А 1- горизонтальна проекція точки А;

- А 2- фронтальна проекція точки А.

Щоб отримати епюр точки А(рис. 4), в апараті проектування (рис. 3) площина π 1з отриманою проекцією точки А 1обертають за годинниковою стрілкою навколо осі 0Хдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок повороту площини π 1показано на рис. 3 стрілки. При цьому на епюрі точки отриманої методом двох зображень залишається лише одна вертикальналінія звязку А 1 А 2.

На практиці побудова епюра точки А(x A , y A , z A) здійснюється за чисельними значеннями її координат x A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 4).

1. Викреслюється вісь OXта призначається початок відліку (точка 0 ).

2. На осі OXвідкладається чисельне значення координати x Aкрапки Ата отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OXпроводиться вертикальна лінія зв'язку.

4. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки Ата визначається положення горизонтальної проекції точки А 1 OYне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються нижче за осю OXа негативні вище.

5. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aкрапки Ата визначається положення фронтальної проекції точки А 2на епюрі. Слід зазначити, що на епюрі вісь OZне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються вище за осі OXа негативні нижче.

Конкуруючі точки

Крапки одному проецирующем промені називаються конкуруючими. Вони у напрямі проецирующего променя мають загальну їм проекцію, тобто. їх проекції тотожно збігаються. Характерною ознакою конкуруючих точок на епюрі є тотожний збіг їх однойменних проекцій. Конкуренція полягає у видимості цих проекцій щодо спостерігача. Іншими словами, у просторі для спостерігача одна з точок видима, інша – ні. І, відповідно, на кресленні: одна з проекцій точок, що конкурують, видима, а проекція іншої точки – невидима.

На просторовій моделі проектування (рис. 5) із двох конкуруючих точок Аі Увидима точка Аза двома взаємно доповнювальними ознаками. Судячи з ланцюжка S 1 →А→Вкрапка Аближче до спостерігача, ніж точка У. І, відповідно, – далі від площини проекцій π 1(Тобто. z A > z A).

Рис. 5 Мал.6

Якщо видима сама точка A, то видно і її проекція A 1. По відношенню до збігається з нею проекцією B 1. Для наочності і за потреби на епюрі невидимі проекції точок прийнято укладати в дужки.

Приберемо на моделі точки Аі У. Залишаться їх збігаються проекції на площині π 1та окремі проекції – на π 2. Умовно залишимо і фронтальну проекцію спостерігача (⇩), що знаходиться в центрі проектування S 1. Тоді по ланцюжку зображень ⇩ → A 2 → B 2можна буде судити про те, що z A > z Bі що видно і сама точка Ата її проекція А 1.

Аналогічно розглянемо конкуруючі точки Зі Dмабуть щодо площині π 2 . Оскільки загальний проєційний промінь цих точок l 2паралельний осі 0Y, то ознака видимості конкуруючих точок Зі Dвизначається нерівністю y C > y D. Отже, що точка Dзакрита точкою Зі відповідно проекція точки D 2буде закрито проекцією точки З 2на площині π 2.

Розглянемо, як визначається видимість конкуруючих точок на комплексному кресленні (рис. 6).

Судячи з проекцій, що збігаються А 1≡В 1самі точки Аі Узнаходяться на одному проєційному промені, паралельному осі 0Z. Значить, порівнянню підлягають координати z Aі z Bцих точок. Для цього використовуємо передню площину проекцій з роздільними зображеннями точок. У даному випадку z A > z B. З цього випливає, що видима проекція А 1.

Крапки Cі Dна аналізованому комплексному кресленні (рис. 6) так само знаходяться на одному проецірующем промені, але тільки паралельному осі 0Y. Тому з порівняння y C > y Dробимо висновок, що видима проекція 2 .

Загальне правило . Видимість для збігаються проекцій конкуруючих точок визначається порівнянням координат цих точок у напрямі загального проецирующего променя. Видима та проекція точки, у якої ця координата більша. У цьому порівняння координат ведеться на площині проекцій із роздільними зображеннями точок.

У цій статті ми знайдемо відповіді на питання про те, як створити проекцію точки на площину та як визначити координати цієї проекції. Спиратися в теоретичній частині на поняття проектування. Дамо визначення термінам, супроводжуємо інформацію ілюстраціями. Закріпимо отримані знання під час вирішення прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Проектування, види проектування

Для зручності розгляду просторових фігур використовують креслення із зображенням цих фігур.

Визначення 1

Проекція фігури на площину– креслення просторової фігури.

Вочевидь, що з побудови проекції існує низка використовуваних правил.

Визначення 2

Проектування- Процес побудови креслення просторової фігури на площині з використанням правил побудови.

Площина проекції- це площина, у якій будується зображення.

Використання тих чи інших правил визначає тип проектування: центральнеабо паралельне.

окремим випадком паралельного проектуванняє перпендикулярне проектування або ортогональне: у геометрії переважно використовують саме його. Тому в мові саме прикметник «перпендикулярне» часто опускають: у геометрії говорять просто «проекція фігури» і мають на увазі під цим побудову проекції методом перпендикулярного проектування. В окремих випадках, звичайно, може бути обумовлено інше.

Зазначимо той факт, що проекція фігури на площину є проекція всіх точок цієї фігури. Тому щоб мати можливість вивчати просторову фігуру на кресленні, необхідно отримати базова навичкапроектувати крапку на площині. Про що й говоритимемо нижче.

Нагадаємо, що найчастіше в геометрії, говорячи про проекцію на площину, мають на увазі застосування перпендикулярної проекції.

Зробимо побудови, які дадуть нам можливість отримати визначення проекції точки на площину.

Припустимо, задано тривимірний простір, а в ньому - площину і точка М 1 , не належить площині . Накреслимо через задану точкуМ 1 пряму аперпендикулярно заданій площині? Точку перетину прямої a і площини α позначимо як H 1 вона по побудові буде основою перпендикуляра, опущеного з точки М 1 на площину α .

Якщо задана точка М 2 , що належить заданій площині α , то М 2 буде проекцією самої себе на площину α .

Визначення 3

- Це або сама точка (якщо вона належить заданій площині), або основа перпендикуляра, опущеного із заданої точки на задану площину.

Знаходження координат проекції точки на площину, приклади

Нехай у тривимірному просторі задані: прямокутна система координат O x y z, площина α, точка М 1 (x 1, y 1, z 1). Необхідно знайти координати проекції точки М1 на задану площину.

Рішення очевидно випливає з цього вище визначення проекції точки на площину.

Позначимо проекцію точки М 1 на площину як Н 1 . Згідно з визначенням, H 1 є точкою перетину даної площини і прямою a проведеною через точку М 1 (перпендикулярної площини). Тобто. необхідні нам координати проекції точки М 1 – це координати точки перетину прямої a та площини α .

Таким чином, для знаходження координат проекції точки на площину необхідно:

Отримати рівняння площини α (якщо воно не задано). Тут вам допоможе стаття про види рівнянь площини;

Визначити рівняння прямої a , що проходить через точку М 1 і перпендикулярної площині (вивчіть тему про рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої площини);

Знайти координати точки перетину прямої a та площини α (стаття – знаходження координат точки перетину площини та прямої). Отримані дані будуть потрібними нам координатами проекції точки М 1 на площину α .

Розглянемо теорію на прикладах.

Приклад 1

Визначте координати проекції точки М 1 (-2, 4, 4) на площину 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .

Рішення

Як бачимо, рівняння площині нам поставлено, тобто. складати його потреби немає.

Запишемо канонічні рівняння прямої a проходить через точку М 1 і перпендикулярної заданої площини. З цією метою визначимо координати напрямного вектора прямий a. Оскільки пряма а перпендикулярна заданій площині, напрямний вектор прямий a – це нормальний вектор площини 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким чином, a → = (2 , - 3 , 1) – напрямний вектор прямий a .

Тепер складемо канонічні рівняння прямої в просторі, що проходить через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) і має напрямний вектор a → = (2, - 3, 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Для знаходження шуканих координат наступним кроком визначимо координати точки перетину прямої x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 і площині 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . З цією метою переходимо від канонічних рівняньдо рівнянь двох площин, що перетинаються:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Складемо систему рівнянь:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

І вирішимо її, використовуючи метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 – 28 = 5

Таким чином, шукані координати заданої точки М 1 на задану площину будуть: (0 , 1 , 5) .

Відповідь: (0 , 1 , 5) .

Приклад 2

У прямокутної системикоординат O x y z тривимірного просторудано точки А (0, 0, 2); В (2, - 1, 0); З (4 , 1 , 1) та М 1 (-1, -2, 5). Необхідно знайти координати проекції М 1 на площину АВС

Рішення

Насамперед запишемо рівняння площини, що проходить через три задані точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Запишемо параметричні рівнянняпрямий a , яка проходитиме через точку М 1 перпендикулярно площині А В С. Площина х - 2 y + 2 z - 4 = 0 має нормальний вектор з координатами (1, - 2, 2), тобто. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – напрямний вектор прямий a .

Тепер, маючи координати точки прямої М 1 і координати напрямного вектора цієї прямої, запишемо параметричні рівняння прямої в просторі:

Потім визначимо координати точки перетину площини х – 2 y + 2 z – 4 = 0 та прямий

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для цього в рівняння площини підставимо:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 · λ, z = 5 + 2 · λ

Тепер за параметричними рівняннями x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ знайдемо значення змінних x , y та z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Таким чином, проекція точки М 1 на площину АВС матиме координати (- 2 , 0 , 3) ​​.

Відповідь: (- 2 , 0 , 3) .

Окремо зупинимося на питанні знаходження координат проекції точки на координатні площини та площини, які паралельні координатним площинам.

Нехай задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) і координатні площини O x y, О x z і O y z. Координатами проекції цієї точки на дані площини будуть відповідно: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) і (0, y 1, z 1). Розглянемо також площини, паралельні заданим координатним площинам:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

І проекціями заданої точки М 1 на ці площині будуть точки з координатами x 1, y 1, -DC, x1, -DB, z1 і -DA, y1, z1.

Продемонструємо, як було отримано цей результат.

Як приклад визначимо проекцію точки М 1 (x 1, y 1, z 1) на площину A x + D = 0 . Інші випадки – за аналогією.

Задана площина паралельна координатній площині O y z і i → = (1, 0, 0) є її нормальним вектором. Цей вектор служить напрямним вектором прямої, перпендикулярної до площині O y z . Тоді параметричні рівняння прямої, проведеної через точку M 1 і перпендикулярної заданої площини, матимуть вигляд:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Знайдемо координати точки перетину цієї прямої та заданої площини. Підставимо спочатку в рівняння А x + D = 0 рівності: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 і отримаємо: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Потім обчислимо шукані координати, використовуючи параметричні рівняння прямої при λ = - DA - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Тобто, проекцією точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на площину буде точка з координатами - D A , y 1 , z 1 .

Приклад 2

Необхідно визначити координати проекції точки М 1 (-6,0,12) на координатну площину O x y і площину 2 y - 3 = 0 .

Рішення

Координатна площина O x y відповідатиме неповне загальне рівнянняплощині z = 0. Проекція точки М 1 на площину z = 0 матиме координати (-6, 0, 0).

Рівняння площини 2 y - 3 = 0 можна записати як y = 3 2 2 . Тепер просто записати координати проекції точки M 1 (-6, 0, 1 2) на площину y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Відповідь:(- 6 , 0 , 0) і - 6 , 3 2 2 , 1 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

ПРОЕЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ДВІ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

Утворення відрізка прямої лінії АА 1 можна як результат переміщення точки А у якій-небудь площині Н (рис. 84, а), а утворення площини - як переміщення відрізка прямої лінії АВ (рис. 84, б).

Крапка - основний геометричний елементлінії та поверхні, тому вивчення прямокутного проектування предмета починається з побудови прямокутних проекцій точки.

У простір двогранного кута, утвореного двома перпендикулярними площинами – фронтальною (вертикальною) площиною проекцій V та горизонтальною площиною проекцій Н, помістимо точку А (рис. 85, а).

Лінія перетину площин проекцій - пряма, яка називається віссю проекцій і позначається літерою х.

Площина V тут зображено у вигляді прямокутника, а площина Н - у вигляді паралелограма. Похилий бік цього паралелограма зазвичай проводять під кутом 45° до його горизонтальної сторони. Довжина похилої сторони береться дорівнює 0,5 її дійсної довжини.

З точки А опускають перпендикуляри на площині V і Н. Точки а і а перетину перпендикулярів з площинами проекцій V і Н є прямокутними проекціямиточки А. Фігура Ааа х а" у просторі - прямокутник. Сторона аах цього прямокутника на наочному зображенні зменшується у 2 рази.

Сумісний площині Н з площиною V, обертаючи V навколо лінії перетину площин х. В результаті виходить комплексне креслення точки А (рис. 85, б)

Для спрощення комплексного креслення межі площин проекцій V та Н не вказують (рис. 85, в).

Перпендикуляри, проведені з точки А до площин проекцій, називаються проецірующими лініями, а підстави цих ліній - точки а і а" - називаються проекціями точки А: а" - фронтальна проекція точки А, а - горизонтальна проекція точки А.

Лінія а"а називається вертикальною лінією проекційного зв'язку.

Розташування проекції точки на комплексному кресленні залежить від цієї точки у просторі.

Якщо точка А лежить на горизонтальній площині проекцій Н (рис. 86, а), то її горизонтальна проекція а збігається із заданою точкою, а фронтальна проекція а розташовується на осі При розташуванні точки В на фронтальній площині проекцій V її фронтальна проекція збігається з цією точкою, а горизонтальна проекція лежить на осі х. Горизонтальна та фронтальна проекції заданої точки С, що лежить на осі х, збігаються з цією точкою Комплексне креслення точок А, В і С показано на рис.

ПРОЄЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

У тих випадках, коли по двох проекціях не можна уявити форму предмета, його проектують на три площині проекцій. В цьому випадку вводиться профільна площина проекцій W, перпендикулярна площинам V та Н. Наочне зображення системи із трьох площин проекцій дано на рис. 87, а.

Ребра тригранного кута (перетин площин проекцій) називаються осями проекцій і позначаються x, y z. Перетин осей проекцій називається початком осей проекцій і позначається буквою О. Опустимо з точки А перпендикуляр на площину проекцій W і, відзначивши основу перпендикуляра буквою а, отримаємо профільну проекцію точки А.

Для отримання комплексного креслення точки А площини Н і W поєднують з площиною V, обертаючи навколо осей Ох і Oz. Комплексне креслення точки А показано на рис. 87, б і в.

Відрізки ліній, що проектують, від точки А до площин проекцій називаються координатами точки А і позначаються: х А, у А і z A .

Наприклад, координата z A точки А, що дорівнює відрізку а"а х (рис. 88, а і б), є відстань від точки А до горизонтальної площини проекцій Н. Координата у точки А, що дорівнює відрізку аа х, є відстань від точки А до фронтальної площини проекцій V. Координата х А, що дорівнює відрізку аа у - відстань від точки А до профільної площини проекцій W.

Таким чином, відстань між проекцією точки та віссю проекції визначають координати точки та є ключем до читання її комплексного креслення. За двома проекціями точки можна визначити всі три координати точки.

Якщо задані координати точки А (наприклад, х А = 20 мм, А = 22 мм і z A = 25 мм), то можна побудувати три проекції цієї точки.

Для цього від початку координат Про у напрямку осі Oz відкладають вгору координату z A і вниз координату у А. З кінців відкладених відрізків - точок a z і а у (рис. 88, а) - проводять прямі, паралельні осі Ох, і на них відкладають відрізки, рівні координаті х А. Отримані точки а" і а - фронтальна та горизонтальна проекції точки А.

По двох проекціях а і точки А побудувати її профільну проекцію можна трьома способами:

1) з початку координат Про проводять допоміжну дугу радіусом Оа у, що дорівнює координаті (рис. 87, б і в), з отриманої точки а у1 проводять пряму, паралельну осі Oz, і відкладають відрізок, рівний z A ;

2) з точки а у проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88 а), отримують точку а у1 і т. д.;

3) з початку координат проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88, б), отримують точку а у1 і т. д.

p align="justify"> Метод проекцій є основою теорії побудови креслярських зображень в інженерній графіці. Найчастіше він використовується, коли необхідно знайти зображення тіла у вигляді його проекції на площині або отримати дані про його становище у просторі.

Інструкція

• У багатовимірному просторі будь-яке зображення об'єкта на площині можна отримати за допомогою проектування. Однак не варто судити про геометричну форму тіла або про форму найпростіших образів у геометрії на основі однієї проекції точки. Найбільш повну інформаціюпро зображення геометричного тіла дає кілька проекцій точок. Для чого використовують проекції точок тіла щонайменше у двох площинах.
• Наприклад, необхідно збудувати проекціюточки А. Для цього розташуйте дві площини перпендикулярно одна одній. Одну - горизонтально, називаючи її горизонтальною площиноюта позначаючи всі проекції елементів з індексом 1. Другу – вертикально. Назвіть її, відповідно, фронтальною площиною, а проекціям елементів надайте індекс 2. Обидві ці площини вважайте нескінченними та непрозорими. Ліній їх перетинів стає вісь координат ОХ.
• Потім прийміть факт, що простір між площинами проекції умовно ділиться на чверті. Ви знаходитесь у першій чверті і бачите лише ті лінії та точки, які знаходяться в цій області двогранного кута.
• Суть процесу проектування полягає у проведенні променя через задану точку, поки промінь не зустрінеться з площиноюпроекцій. Цей методотримав назву методу ортогонального проектування. Відповідно до нього, опустіть з точки А перпендикуляр на горизонтальну та фронтальну площину. Підставою цього перпендикуляра таки буде горизонтальна проекція точки А1 чи фронтальна проекція точки А2. Таким чином, ви отримаєте положення цієї точки у просторі заданих площинпроекцій.