Знайти проекцію точки на площину, задану рівнянням. Знаходження координат проекції точки на площину, приклади

Апарат проектування

Апарат проектування (рис. 1) включає три площини проекцій:

π 1 –горизонтальна площина проекцій;

π 2 –фронтальна площина проекцій;

π 3– профільна площина проекцій .

Площини проекцій розташовуються взаємно перпендикулярно ( π 1^ π 2^ π 3), які лінії перетину утворюють осі:

Перетин площин π 1і π 2утворюють вісь 0Х (π 1∩ π 2 = 0Х);

Перетин площин π 1і π 3утворюють вісь 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Перетин площин π 2і π 3утворюють вісь 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Точка перетину осей (ОХ∩OY∩OZ=0), вважається точкою початку відліку (точка 0).

Так як площини та осі взаємно перпендикулярні, то такий апарат аналогічний декартовій системікоординат.

p align="justify"> Площини проекцій весь простір ділять на вісім октантів (на рис. 1 вони позначені римськими цифрами). Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в Iом октанті.

Проектування ортогональне з центрами проектування S 1, S 2і S 3відповідно для горизонтальної, фронтальної та профільної площин проекцій.

А.

З центрів проектування S 1, S 2і S 3виходять проєкуючі промені l 1, l 2і l 3 А

- А 1 А;

- А 2- фронтальна проекція точки А;

- А 3– профільна проекція точки А.

Крапка у просторі характеризується своїми координатами A(x,y,z). Крапки A x, A yі A zвідповідно на осях 0X, 0Yі 0Zпоказують координати x, yі zкрапки А. На рис. 1 дано всі необхідні позначення та показані зв'язки між точкою Апростору, її проекціями та координатами.

Епюр точки

Щоб отримати епюр точки А(рис. 2), в апараті проектування (рис. 1) площина π 1 А 1 0Х π 2. Потім площина π 3з проекцією точки А 3обертають проти годинникової стрілки навколо осі 0Zдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок поворотів площин π 2і π 3показано на рис. 1 стрілками. При цьому прямі А 1 А хі А 2 А х 0Хперпендикулярі А 1 А 2, а прямі А 2 А хі А 3 А хстануть розташовуватися на загальному до осі 0Zперпендикулярі А 2 А 3. Ці прямі надалі називатимемо відповідно вертикальною і горизонтальною лініями зв'язків.

Слід зазначити, що при переході від апарату проектування до епюру проектований об'єкт зникає, але вся інформація про його форму, геометричних розмірахта місце його положення у просторі зберігаються.

А(x A , y A , z Ax A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 2). Ця послідовність називається методикою побудови епюра точки.

1. Ортогонально викреслюються осі OX, OYі OZ.

2. На осі OX x Aкрапки Ата отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OX

Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки А А 1на епюрі.

Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aкрапки А А 2на епюрі.

6. Через точку А 2паралельно осі OXпроводиться горизонтальна лінія зв'язку. Перетин цієї лінії та осі OZдасть положення точки А z.

7. На горизонтальній лінії зв'язку від точки А zу напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки Ата визначається положення профільної проекції точки А 3на епюрі.

Характеристика точок

Усі точки простору поділяються на точки приватного та загального положень.

Точки приватного становища. Крапки, що належать апарату проектування, називаються точками приватного положення. До них відносяться точки, що належать площин проекцій, осям, початку координат і центрам проектування. Характерними ознаками точок приватного стану є:

Метаматематичний – одна, дві чи всі чисельні значення координат дорівнюють нулю та (або) нескінченності;

На епюрі - дві або всі проекції точки розташовуються на осях і (або) розташовуються в безкінечності.

Крапки загального становища. До точок загального положення належать точки, що не належать апарату проектування. Наприклад, точка Ана рис. 1 та 2.

У загальному випадкучисельні значення координат точки характеризує її віддалення від площини проекцій: координата хвід площини π 3; координата yвід площини π 2; координата zвід площини π 1. Слід зазначити, що знаки при чисельних значеннях координат вказують напрям видалення точки від площин проекцій. Залежно від поєднання знаків при чисельних значеннях координат точки залежить, у якому з октанів вона.

Метод двох зображень

Насправді, крім методу повного проектування використовують метод двох зображень. Він відрізняється тим, що у цьому методі виключається третя проекція об'єкта. Для отримання апарату проектування методу двох зображень з апарату повного проектування виключається профільна площина проекцій з її центром проектування (рис. 3). Крім того, на осі 0Хпризначається початок відліку (точка 0 ) і з нього перпендикулярно до осі 0Ху площинах проекцій π 1і π 2проводять осі 0Yі 0Zвідповідно.

У цьому апараті весь простір ділиться на чотири квадранти. На рис. 3 вони позначені римськими цифрами.

Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в I-ом квадранті.

Розглянемо роботу апарату з прикладу проектування точки А.

З центрів проектування S 1і S 2виходять проєкуючі промені l 1і l 2. Ці промені проходять через точку Аі перетинаючи площинами проекцій утворюють її проекції:

- А 1- горизонтальна проекція точки А;

- А 2- фронтальна проекція точки А.

Щоб отримати епюр точки А(рис. 4), в апараті проектування (рис. 3) площина π 1з отриманою проекцією точки А 1обертають за годинниковою стрілкою навколо осі 0Хдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок повороту площини π 1показано на рис. 3 стрілки. При цьому на епюрі точки отриманої методом двох зображень залишається лише одна вертикальналінія звязку А 1 А 2.

На практиці побудова епюра точки А(x A , y A , z A) здійснюється за чисельними значеннями її координат x A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 4).

1. Викреслюється вісь OXта призначається початок відліку (точка 0 ).

2. На осі OXвідкладається чисельне значення координати x Aкрапки Ата отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OXпроводиться вертикальна лінія зв'язку.

4. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки Ата визначається положення горизонтальної проекції точки А 1 OYне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значеннярозташовуються нижче за осю OXа негативні вище.

5. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aкрапки Ата визначається положення фронтальної проекції точки А 2на епюрі. Слід зазначити, що на епюрі вісь OZне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються вище за осі OXа негативні нижче.

Конкуруючі точки

Крапки одному проецирующем промені називаються конкуруючими. Вони у напрямі проецирующего променя мають загальну їм проекцію, тобто. їх проекції тотожно збігаються. Характерною ознакоюконкуруючих точок на епюрі є тотожний збіг їх однойменних проекцій. Конкуренція полягає у видимості цих проекцій щодо спостерігача. Іншими словами, у просторі для спостерігача одна з точок видима, інша – ні. І, відповідно, на кресленні: одна з проекцій точок, що конкурують, видима, а проекція іншої точки – невидима.

На просторовій моделі проектування (рис. 5) із двох конкуруючих точок Аі Увидима точка Аза двома взаємно доповнювальними ознаками. Судячи з ланцюжка S 1 →А→Вкрапка Аближче до спостерігача, ніж точка У. І, відповідно, – далі від площини проекцій π 1(Тобто. z A > z A).

Рис. 5 Мал.6

Якщо видима сама точка A, то видно і її проекція A 1. По відношенню до збігається з нею проекцією B 1. Для наочності і за потреби на епюрі невидимі проекції точок прийнято укладати в дужки.

Приберемо на моделі точки Аі У. Залишаться їх збігаються проекції на площині π 1та окремі проекції – на π 2. Умовно залишимо і фронтальну проекцію спостерігача (⇩), що знаходиться в центрі проектування S 1. Тоді по ланцюжку зображень ⇩ → A 2 → B 2можна буде судити про те, що z A > z Bі що видно і сама точка Ата її проекція А 1.

Аналогічно розглянемо конкуруючі точки Зі Dмабуть щодо площині π 2 . Оскільки загальний проєційний промінь цих точок l 2паралельний осі 0Y, то ознака видимості конкуруючих точок Зі Dвизначається нерівністю y C > y D. Отже, що точка Dзакрита точкою Зі відповідно проекція точки D 2буде закрито проекцією точки З 2на площині π 2.

Розглянемо, як визначається видимість конкуруючих точок на комплексному кресленні (рис. 6).

Судячи з проекцій, що збігаються А 1≡В 1самі точки Аі Узнаходяться на одному проєційному промені, паралельному осі 0Z. Значить, порівнянню підлягають координати z Aі z Bцих точок. Для цього використовуємо передню площину проекцій з роздільними зображеннями точок. У даному випадку z A > z B. З цього випливає, що видима проекція А 1.

Крапки Cі Dна аналізованому комплексному кресленні (рис. 6) так само знаходяться на одному проецірующем промені, але тільки паралельному осі 0Y. Тому з порівняння y C > y Dробимо висновок, що видима проекція 2 .

Загальне правило . Видимість для збігаються проекцій конкуруючих точок визначається порівнянням координат цих точок у напрямі загального проецирующего променя. Видима та проекція точки, у якої ця координата більша. У цьому порівняння координат ведеться на площині проекцій із роздільними зображеннями точок.

Вивчення властивостей фігур у просторі та на площині неможливе без знання відстаней між точкою та такими геометричними об'єктами, як пряма та площина. У цій статті покажемо, як знаходити ці відстані, розглядаючи проекцію точки на площину та пряму.

Рівняння прямої для двовимірного та тривимірного просторів

Розрахунок відстаней точки до прямої та площини здійснюється з використанням її проекції на ці об'єкти. Щоб вміти знаходити ці проекції, слід знати, як задаються рівняння для прямих і площин. Почнемо із перших.

Пряма є сукупність точок, кожну з яких можна отримати з попередньої за допомогою перенесення на паралельні один одному вектора. Наприклад, є точка M і N. Сполучаючий їх вектор MN перекладає M в N. Є також третя точка P. Якщо вектор MP або NP паралельний MN, тоді всі три точки на одній прямій лежать і утворюють її.

Залежно від розмірності простору, рівняння, що задає пряму, може змінювати свою форму. Так, усім відома лінійна залежністькоординати y від x у просторі описує площину, яка паралельна третій осі z. У зв'язку з цим у цій статті розглядатимемо лише векторне рівняння для прямої. Воно має однаковий вигляддля площини та тривимірного просторіва.

У просторі пряму можна задати наступним виразом:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α * (a; b; c)

Тут значення координат з нульовими індексами відповідають належній прямій деякій точці, u¯(a; b; c) - координати напрямного вектора, який лежить на даній прямій, α - довільне дійсне число, змінюючи яке можна отримати всі точки прямої. Це рівняння називається векторним.

Часто наведене рівняння записують у розкритому вигляді:

Аналогічним чином можна записати рівняння для прямої, що знаходиться в площині, тобто у двовимірному просторі:

(x; y) = (x 0; y 0) + α * (a; b);

Рівняння площини

Щоб вміти знаходити відстань від точки до площин проекцій необхідно знати, як задається площина. Так само, як і пряму, її можна уявити декількома способами. Тут розглянемо одне єдине: загальне рівняння.

Припустимо, що точка M(x 0 ; y 0 ; z 0) площині належить, а вектор n¯(A; B; C) їй перпендикулярний, тоді для всіх точок (x; y; z) площини справедливою буде рівність:

A*x + B*y + C*z + D = 0, де D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Слід запам'ятати, що у цьому загальному рівнянні площини коефіцієнти A, B та C є координатами нормального до площини вектора.

Розрахунок відстані по координатам

Перед тим як переходити до розгляду проекцій на площину точки і пряму, слід нагадати, як слід розраховувати відстань між двома відомими точками.

Нехай є дві просторові точки:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) і A 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

Тоді дистанція між ними обчислюється за такою формулою:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

За допомогою цього виразу також визначають довжину вектора A 1 A 2.

Для випадку на площині, коли дві точки задані парою координат, можна записати аналогічну рівність без присутності в ньому члена з z:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Тепер розглянемо різні випадки проекції на площині точки на пряму та площину у просторі.

Точка, пряма та відстань між ними

Припустимо, що є певна точка і пряма:

P 2 (x 1; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α * (a; b)

Відстань між цими геометричними об'єктами буде відповідати довжині вектора, початок якого лежить в точці P 2 , а кінець знаходиться в такій точці P на зазначеній прямій, для якої вектор P 2 P цієї прямої перпендикулярний. Точка P називається проекцією точки P 2 на пряму.

Нижче наведено малюнок, на якому зображена точка P 2 її відстань d до прямої, а також вектор напрямний v 1 ¯. Також на прямій обрано довільна точка P 1 та від неї до P 2 проведено вектор. Точка P тут збігається із місцем, де перпендикуляр перетинає пряму.

Видно, що помаранчеві і червоні стрілки утворюють паралелограм, сторонами якого є вектора P 1 P 2 і v 1, а висотою - d. З геометрії відомо, що для знаходження висоти паралелограма слід розділити його площу на довжину основи, на яку опущено перпендикуляр. Оскільки площа паралелограма обчислюється як векторний добуток його сторін, то отримуємо формулу для розрахунку d:

d = ||/|v 1 ¯|

Всі вектори та координати точок у цьому виразі відомі, тому можна ним користуватися без виконання будь-яких перетворень.

Вирішити це завдання можна було б інакше. Для цього слід записати два рівняння:

• скалярний добуток P 2 P на v 1 повинен дорівнювати нулю, оскільки ці вектори взаємно перпендикулярні;
• координати точки P повинні задовольняти рівняння прямої.

Цих рівнянь достатньо, щоб знайти координати P, а потім довжину d за формулою, наведеною в попередньому пункті.

Завдання на знаходження дистанції між прямою та точкою

Покажемо, як використовувати дані теоретичні відомостідля вирішення конкретного завдання. Допустимо, відомі наступна точка і пряма:

(x; y) = (3; 1) - α * (0; 2)

Необхідно знайти точки проекції на пряму на площині та відстань від M до прямої.

Позначимо проекцію, яку слід знайти, точкою M 1 (x 1; y 1). Розв'яжемо це завдання двома способами, описаними в попередньому пункті.

Спосіб 1. Напрямний вектор v 1 координати має (0; 2). Щоб побудувати паралелограм, виберемо належну пряму якусь точку. Наприклад, точку з координатами (3; 1). Тоді вектор другої сторони паралелограма матиме координати:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Тепер слід вирахувати добуток векторів, що задають сторони паралелограма:

Підставляємо це значення у формулу, отримуємо відстань d від M до прямої:

Спосіб 2. Тепер знайдемо іншим способом не лише відстань, а й координати проекції M на пряму, як це потребує умови завдання. Як було сказано вище, для вирішення задачі необхідно скласти систему рівнянь. Вона набуде вигляду:

(x 1 -5) * 0 + (y 1 +3) * 2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Вирішуємо цю систему:

Проекція вихідної точки координати має M1 (3; -3). Тоді відстань, що шукається, дорівнює:

d = |MM 1 | = √(4+0) = 2

Як бачимо, обидва способи рішення дали однаковий результат, що говорить про правильність виконаних математичних операцій.

Проекція точки на площину

Тепер розглянемо, що є проекція точки, заданої у просторі, на деяку площину. Нескладно здогадатися, що цією проекцією є також точка, яка разом з вихідною утворює перпендикулярний площині вектор.

Припустимо, що проекція на площину точки координати М має такі:

Сама площина описується рівнянням:

A * x + B * y + C * z + D = 0

Виходячи з цих даних, ми можемо скласти рівняння прямої, що перетинає площину під прямим кутом і проходить через M і M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α * (A; B; C)

Тут змінні з нульовими індексами - координати точки M. Розрахувати положення на площині точки M 1 можна виходячи з того, що її координати повинні задовольняти обидва записані рівняння. Якщо цих рівнянь при розв'язанні задачі буде недостатньо, можна використовувати умову паралельності MM 1 і вектора напрямного для заданої площини.

Очевидно, що проекція точки, що належить площині, збігається сама з собою, а відповідна відстань дорівнює нулю.

Завдання з точкою та площиною

Нехай дана точка M(1; -1; 3) та площина, яка описується наступним загальним рівнянням:

Слід обчислити координати проекції на площину точки та розрахувати відстань між цими геометричними об'єктами.

Для початку збудуємо рівняння прямої, що проходить через М і перпендикулярної зазначеної площини. Воно має вигляд:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α * (-1; 3; -2)

Позначимо точку, де ця пряма перетинає площину M 1 . Рівності для площини і прямої повинні виконуватися, якщо підставити координати M 1 . Записуючи у явному вигляді рівняння прямої, отримуємо наступні чотири рівності:

X 1 + 3 * y 1 -2 * z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3 * α;

З останньої рівності отримаємо параметр α, потім підставимо його в передостаннє і друге вираз, отримуємо:

y 1 = -1 + 3 * (3-z 1) / 2 = -3 / 2 * z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Вираз для y1 і x1 підставимо в рівняння для площини, маємо:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Звідки отримуємо:

y 1 = -3/2 * 15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2 * 15/7 - 1/2 = 4/7

Ми визначили, що проекція точки M на задану площинувідповідає координатам (4/7; 2/7; 15/7).

Тепер розрахуємо відстань |MM 1 | Координати відповідного вектора дорівнюють:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Відстань, що шукається, дорівнює:

d = |MM 1 | = √126/7 ≈ 1,6

Три точки проекції

Під час виготовлення креслень часто доводиться отримувати проекції перерізів на перпендикулярні взаємно три площини. Тому корисно розглянути, чому дорівнюють проекції деякої точки M з координатами (x 0 ; y 0 ; z 0) на три координатні площини.

Не складно показати, що площина xy описується рівнянням z = 0, площина xz відповідає виразу y = 0, а площина yz, що залишилася, позначається рівністю x = 0. Неважко здогадатися, що проекції точки на 3 площині будуть рівні:

для x = 0: (0; y 0; z 0);

для y = 0: (x 0; 0; z 0);

для z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Де важливо знати проекції точки та її відстані до площин?

Визначення положення проекції точок на задану площину важливо при знаходженні таких величин, як площа поверхні та об'єм похилих призмта пірамід. Наприклад, відстань від вершини піраміди до площини основи є заввишки. Остання входить у формулу обсягу цієї постаті.

Розглянуті формули та методики визначення проекцій та відстаней від точки до прямої та площини є досить простими. Важливо лише запам'ятати відповідні формирівнянь площині та прямий, а також мати гарне просторова уява, щоб успішно їх застосовувати.

Проекція точки на площину є окремим випадком спільного завданнязнаходження проекції крапки на поверхню. Через простоту обчислення проекції точки на дотичну до поверхні площину використовується як нульове наближення при вирішенні загального завдання.

Розглянемо завдання проектування точки на площину, задану радіус-вектором

Вважатимемо, що вектори не колінеарні. Припустимо, що у випадку вектори не ортогональні і мають одиничну довжину. Площина проходить через точку в якій параметри дорівнюють нулю, а вектори визначають параметричні напрямки. Задана точка має єдину проекцію на площину (4.6.1). Побудуємо поодиноку нормаль до площини

Рис. 4.6.1. Проекція точки на площину s(u, v)

Обчислимо радіус-вектор проекції точки на площину як різницю радіус-вектора точки, що проектується, і складової вектора паралельної нормалі до площини,

(4.6.4)

На рис. 4.6.1 показані вектори площини її початкова точка та проекція заданої точки.

Параметри та довжини проекцій пов'язані рівняннями

де косинус кута між векторами визначається за формулою (1.7.13).

Із системи цих рівнянь знайдемо параметри проекції точки на площину

(4.6.6)

де - коефіцієнти першої основної квадратичної формиплощині (1.7.8), вони ж коваріантні компоненти метричного тензора поверхні - контраваріантні компоненти метричного тензора поверхні. Якщо вектори ортогональні, то формули (4.6.6) і (4.6.7) набудуть вигляду

Відстань від точки до її проекції на площину у загальному випадку обчислюється як довжина вектора. Відстань від точки до її проекції на площину можна визначити, не обчислюючи проекцію точки, а обчисливши проекцію вектора на нормаль до площини

(4.6.8)

Окремі випадки.

Проекції точки на деякі аналітичні поверхні можуть бути знайдені без залучення чисельних методів. Наприклад, щоб знайти проекції точки на поверхню кругового циліндра, конуса, сфери або тора, потрібно перевести точку, що проектується. місцеву системукоординат поверхні, де легко знайти параметри проекцій. Аналогічно можуть бути знайдені проекції на поверхні видавлювання та обертання. У деяких окремих випадках положення проекції, що проектується, її проекції можуть бути легко знайдені і на інші поверхні.

Загальний випадок.

Розглянемо завдання проектування крапки на поверхню у загальному випадку. Нехай потрібно знайти всі проекції крапки на поверхню. Кожна шукана точкаповерхні задовольняє системі двох рівнянь

Система рівнянь (4.6.9) містить дві невідомі величини – параметри u та v. Це завдання вирішується так само, як і завдання знаходження проекцій заданої точки на криву.

На першому етапі визначимо нульові наближення параметрів поверхні для проекцій точки, а на другому етапі знайдемо точні значення параметрів, що визначають проекції заданої точки на поверхню

Пройдемо по поверхні з кроками обчислюваними за формулами (4.2.4) і (4.2.5), описаним вище способом руху параметрічної області. Позначимо параметри точок, якими ми пройдемо, через . У кожній точці обчислюватимемо скалярні твори векторів

(4.6.10)

Якщо рішення лежить поблизу точки з параметрами , то будуть мати різні знаки, а також будуть мати різні знаки. Зміна знаків скалярних творівговорить про те, що поряд знаходиться потрібне рішення. За нульове наближення параметрів приймемо значення Починаючи з нульового наближення параметрів, одним із методів вирішення нелінійних рівняньзнайдемо розв'язання задачі із заданою точністю. Наприклад, у методі Ньютона на ітерації збільшення параметрів проекції знайдуться із системи лінійних рівнянь

де похідні приватні радіус-вектора за параметрами. Наступне наближенняпараметрів проекції точки рівні. p align="justify"> Процес уточнення параметрів закінчимо, коли на черговій ітерації виконуються нерівності , де - Зазначена похибка. Так само знайдемо решту коріння системи рівнянь (4.6.9).

Якщо потрібно знайти лише найближчу проекцію заданої точки на поверхню, то можна пройти тими самими точками геометричного об'єкта і вибрати з них найближчу до заданої точки. Параметри найближчої точки і слід вибрати як нульове наближення рішення задачі.

Проекція точки на поверхню у заданому напрямку.

У певних випадках виникає завдання визначення проекції точки на поверхню за нормаллю до неї, а вздовж заданого напрямку. Нехай напрямок проектування задано вектором одиничної довжини q. Побудуємо пряму лінію

(4.6.12)

проходить через задану точку і має напрямок заданого вектора. Проекції точки на поверхню заданому напрямкувизначимо як точки перетину поверхні з прямої (4.6.12), що проходить через задану точку у заданому напрямку.

ПРОЕЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ДВІ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

Утворення відрізка прямої лінії АА 1 можна як результат переміщення точки А у якій-небудь площині Н (рис. 84, а), а утворення площини - як переміщення відрізка прямої лінії АВ (рис. 84, б).

Крапка - основний геометричний елементлінії та поверхні, тому вивчення прямокутного проектування предмета починається з побудови прямокутних проекцій точки.

У простір двогранного кута, утвореного двома перпендикулярними площинами - фронтальною (вертикальною) площиною проекцій V та горизонтальною площиною проекцій Н, помістимо точку А (рис. 85, а).

Лінія перетину площин проекцій - пряма, яка називається віссю проекцій і позначається літерою х.

Площина V тут зображено у вигляді прямокутника, а площина Н - у вигляді паралелограма. Похилий бік цього паралелограма зазвичай проводять під кутом 45° до його горизонтальної сторони. Довжина похилої сторони береться дорівнює 0,5 її дійсної довжини.

З точки А опускають перпендикуляри на площині V і Н. Точки а і а перетину перпендикулярів з площинами проекцій V і Н є прямокутними проекціямиточки А. Фігура Ааа х а" у просторі - прямокутник. Сторона аах цього прямокутника на наочному зображенні зменшується у 2 рази.

Сумісний площині Н з площиною V, обертаючи V навколо лінії перетину площин х. В результаті виходить комплексне креслення точки А (рис. 85, б)

Для спрощення комплексного креслення межі площин проекцій V та Н не вказують (рис. 85, в).

Перпендикуляри, проведені з точки А до площин проекцій, називаються проецірующими лініями, а підстави цих ліній - точки а і а" - називаються проекціями точки А: а" - фронтальна проекція точки А, а - горизонтальна проекція точки А.

Лінія а"а називається вертикальною лінією проекційного зв'язку.

Розташування проекції точки на комплексному кресленні залежить від цієї точки у просторі.

Якщо точка А лежить на горизонтальній площині проекцій Н (рис. 86, а), то її горизонтальна проекція а збігається із заданою точкою, а фронтальна проекція а розташовується на осі При розташуванні точки В на фронтальній площині проекцій V її фронтальна проекція збігається з цією точкою, а горизонтальна проекція лежить на осі х. фронтальна проекціязаданої точки, що лежить на осі х, збігаються з цією точкою. Комплексне креслення точок А, В і С показано на рис. 86, б.

ПРОЄЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

У тих випадках, коли по двох проекціях не можна уявити форму предмета, його проектують на три площині проекцій. В цьому випадку вводиться профільна площина проекцій W, перпендикулярна площинам V та Н. Наочне зображення системи із трьох площин проекцій дано на рис. 87, а.

Ребра тригранного кута (перетин площин проекцій) називаються осями проекцій і позначаються x, y z. Перетин осей проекцій називається початком осей проекцій і позначається буквою О. Опустимо з точки А перпендикуляр на площину проекцій W і, відзначивши основу перпендикуляра буквою а, отримаємо профільну проекціюточки А.

Для отримання комплексного креслення точки А площини Н і W поєднують з площиною V, обертаючи навколо осей Ох і Oz. Комплексне креслення точки А показано на рис. 87, б і в.

Відрізки ліній, що проектують, від точки А до площин проекцій називаються координатами точки А і позначаються: х А, у А і z A .

Наприклад, координата z A точки А, що дорівнює відрізку а"а х (рис. 88, а і б), є відстань від точки А до горизонтальної площини проекцій Н. Координата у точки А, що дорівнює відрізку аа х, є відстань від точки А до фронтальної площини проекцій V. Координата х А, що дорівнює відрізку аа у - відстань від точки А до профільної площини проекцій W.

Таким чином, відстань між проекцією точки та віссю проекції визначають координати точки та є ключем до читання її комплексного креслення. За двома проекціями точки можна визначити всі три координати точки.

Якщо задані координати точки А (наприклад, х А = 20 мм, А = 22 мм і z A = 25 мм), то можна побудувати три проекції цієї точки.

Для цього від початку координат Про у напрямку осі Oz відкладають вгору координату z A і вниз координату у А. З кінців відкладених відрізків - точок a z і а у (рис. 88, а) - проводять прямі, паралельні осі Ох, і на них відкладають відрізки, рівні координаті х А. Отримані точки а" і а - фронтальна і горизонтальна проекціяточки А.

По двох проекціях а і точки А побудувати її профільну проекцію можна трьома способами:

1) з початку координат Про проводять допоміжну дугу радіусом Оа у, що дорівнює координаті (рис. 87, б і в), з отриманої точки а у1 проводять пряму, паралельну осі Oz, і відкладають відрізок, рівний z A ;

2) з точки а у проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88 а), отримують точку а у1 і т. д.;

3) з початку координат проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88, б), отримують точку а у1 і т. д.