Декоративна система координат. Декартові координати

Прямокутна система координат на площині утворюється двома взаємно перпендикулярними осями координат X'X та Y'Y. Осі координат перетинаються в точці O, яка називається початком координат , на кожній осі вибрано позитивний напрямок. напрямом осі Y'Y. Чотири кути (I, II, III, IV), утворені осями координат X'X та Y'Y, називаються координатними кутами (див. рис. 1).

Положення точки A на площині визначається двома координатами x та y. Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y - довжині відрізка OC у вибраних одиницях виміру. Відрізки OB і OC визначаються лініями, проведеними з точки A паралельно до осей Y'Y і X'X відповідно. Координата x називається абсцисою точки A, координата y – ординатою точки A. Записують так: A(x, y).

Якщо точка A лежить у координатному куті I, то точка A має позитивні абсцису та ординату. Якщо точка A лежить у координатному вугіллі II, то точка A має негативну абсцис і позитивну ординату. Якщо точка A лежить у координатному вугіллі III, то точка A має негативні абсцису та ординату. Якщо точка A лежить у координатному вугіллі IV, то точка A має позитивну абсцис і негативну ординату.

Прямокутна система координат у просторіутворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат OX, OY та OZ. Осі координат перетинаються в точці O, яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивний напрямок, вказаний стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру однакові всім осей. OX – вісь абсцис, OY – вісь ординат, OZ – вісь аплікат. Позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при повороті осі OX проти годинникової стрілки на 90° її позитивний напрямок збіглося з позитивним напрямком осі OY, якщо цей поворот спостерігати з боку позитивного напрямку осі OZ. Така система координат називається правою. Якщо великий палець правої руки прийняти за напрямок X, вказівний за напрямок Y, а середній за напрямок Z, то утворюється права система координат. Аналогічними пальцями лівої руки утворюється ліва система координат. Праву та ліву системи координат неможливо поєднати так, щоб збіглися відповідні осі (див. мал. 2).

Положення точки A у просторі визначається трьома координатами x, y та z. Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y – довжині відрізка OC, координата z – довжині відрізка OD у вибраних одиницях вимірювання. Відрізки OB, OC і OD визначаються площинами, проведеними з точки A паралельно площин YOZ, XOZ і XOY відповідно. Координата x називається абсцисою точки A, координата y – ординатою точки A, координата z – аплікатою точки A. Записують так: A(a, b, c).

Орти

Прямокутна система координат (будь-якої розмірності) також описується набором ортів, сонаправленных з осями координат. Кількість ортів дорівнює розмірності системи координат і вони перпендикулярні друг другу.

У тривимірному випадку такі орти зазвичай позначаються i j kабо e x e y e z. При цьому у разі правої системи координат дійсні такі формули з векторним добутком векторів:

[i j]=k ;
[j k]=i ;
[k i]=j .

Історія

Вперше прямокутну систему координат ввів Рене Декарт у своїй роботі «Міркування про метод» у 1637 році. Тому прямокутну систему координат називають також - Декартова система координат. Координатний метод опису геометричних об'єктів започаткував аналітичну геометрію. Внесок у розвиток координатного методу вніс також П'єр Ферма, проте його роботи вперше було опубліковано вже після його смерті. Декарт та Ферма застосовували координатний метод лише на площині.

Координатний метод для тривимірного простору вперше застосував Леонард Ейлер вже у XVIII столітті.

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Декартова система координат" в інших словниках:

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, прямолінійна система координат на площині або у просторі (зазвичай із взаємно перпендикулярними осями та однаковими масштабами по осях). Названа на ім'я Р. Декарта (див. Декарт Рене). Декарт вперше ввів... Енциклопедичний словник

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ- прямокутна система координат на площині або у просторі, в якій масштаби по осях однакові та осі координат взаємно перпендикулярні. Д. с. к. позначається літерами x:, для точки на площині або x, у, z для точки в просторі. (Див. … …

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введена Рене ДЕКАРТОМ, у якій положення точки визначається відстанню від неї до ліній (осей), що взаємно перетинаються. У найпростішому варіанті системи осі (які позначаються як х і у) перпендикулярні. Науково-технічний енциклопедичний словник

декартова система координат

Прямолінійна система координат (див. Координати) на площині або в просторі (зазвичай з однаковими масштабами по осях). Сам Р. Декарт у «Геометрії» (1637) використовував лише систему координат на площині (взагалі, косокутну). Часто… Велика Радянська Енциклопедія

Комплекс визначень, що реалізує метод координат, тобто спосіб визначати положення точки або тіла за допомогою чисел чи інших символів. Сукупність чисел, що визначають положення конкретної точки називається координатами цієї точки. В… … Вікіпедія

декартова система- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas

СИСТЕМА КООРДИНАТ- Сукупність умов, що визначають положення точки на прямій, на площині, у просторі. Існують різні С. к.: декартова, косокутна, циліндрична, сферична, криволінійна та ін. Лінійні та кутові величини, що визначають положення. Велика політехнічна енциклопедія

Ортонормова прямолінійна система координат в евклідовому просторі. Д. п. с. к. на площині задається двома взаємно перпендикулярними прямими осями координат, на кожній з яких вибрано позитивний напрямок і заданий відрізок одиничної ... Математична енциклопедія

Прямокутна система координат - прямолінійна система координат з взаємно перпендикулярними осями на площині або в просторі. Найбільш проста і тому система координат, що часто використовується. Дуже легко і прямо узагальнюється для ... Вікіпедія

Книжки

Обчислювальна гідродинаміка. Теоретичні основи. Навчальний посібник, Павловський Валерій Олексійович, Нікущенко Дмитро Володимирович. Книга присвячена систематичному викладу теоретичних основ для постановки задач математичного моделювання течій рідин та газів. Особлива увага приділена питанням...

Упорядкована система двох або трьох перпендикулярних один одному осей із загальним початком відліку (початком координат) і загальною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат .

Загальна декартова система координат (афінна система координат) може містити і не обов'язково перпендикулярні осі. На честь французького математика Рене Декарта (1596-1662) названо саме таку систему координат, у якій усім осях відраховується загальна одиниця довжини і осі є прямими.

Прямокутна декартова система координат на площині має дві осі, а прямокутна декартова система координат у просторі - Три осі. Кожна точка на площині чи просторі визначається упорядкованим набором координат - чисел відповідно до одиниці довжини системи координат.

Зауважимо, що, як випливає з визначення, існує декартова система координат і на прямій, тобто в одному вимірі. Введення декартових координат на прямий є одним із способів, за допомогою якого будь-якій точці прямий ставиться у відповідність цілком певне речовинне число, тобто координата.

Метод координат, що у роботах Рене Декарта, ознаменував собою революційну перебудову всієї математики. З'явилася можливість тлумачити рівняння алгебри (або нерівності) у вигляді геометричних образів (графіків) і, навпаки, шукати рішення геометричних завдань за допомогою аналітичних формул, систем рівнянь. Так, нерівність z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyі вище цієї площини на 3 одиниці.

За допомогою декартової системи координат належність точки заданої кривої відповідає тому, що числа xі yзадовольняють деякому рівнянню. Так, координати точки кола з центром у заданій точці ( a; b) задовольняють рівняння (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Прямокутна декартова система координат на площині

Дві перпендикулярні осі на площині із загальним початком та однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат на площині . Одна з цих осей називається віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат . Ці осі називаються також координатними осями. Позначимо через Mxі Myвідповідно проекції довільної точки Мна осі Oxі Ой. Як отримати проекції? Проведемо через точку М Ox. Ця пряма перетинає вісь Oxу точці Mx. Проведемо через точку Мпряму, перпендикулярну до осі Ой. Ця пряма перетинає вісь Ойу точці My. Це показано на малюнку нижче.

xі yточки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMxі OMy. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 і y = y0 - 0 . Декартові координати xі yточки М абсцисою і ординатою . Той факт, що точка Ммає координати xі y, позначається так: M(x, y) .

Координатні осі розбивають площину на чотири квадранта нумерація яких показана на малюнку нижче. На ньому вказана розстановка знаків координат точок залежно від їх розташування в тому чи іншому квадранті.

Крім декартових прямокутних координат на площині, часто розглядається також полярна система координат. Про спосіб переходу від однієї системи координат до іншої – в уроці полярна система координат .

Прямокутна декартова система координат у просторі

Декартові координати у просторі вводяться у повній аналогії з декартовими координатами на площині.

Три взаємно перпендикулярні осі у просторі (координатні осі) із загальним початком Oі однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат у просторі .

Одну із зазначених осей називають віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат третю - віссю Oz, або віссю аплікат . Нехай Mx, My Mz- проекції довільної точки Мпростору на осі Ox , Ойі Ozвідповідно.

Проведемо через точку М OxOxу точці Mx. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Ой. Ця площина перетинає вісь Ойу точці My. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Oz. Ця площина перетинає вісь Ozу точці Mz.

Декартові прямокутні координати x , yі zточки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMx, OMyі OMz. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 , y = y0 - 0 і z = z0 - 0 .

Декартові координати x , yі zточки Мназиваються відповідно до неї абсцисою , ординатою і аплікати .

Попарно взяті координатні осі розташовані в координатних площинах. xOy , yOzі zOx .

Завдання про точки в декартовій системі координат

приклад 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Знайти координати проекцій цих точок на вісь абсцис.

Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, а отже має абсцису, рівну абсцисі самої точки, і ординату (координату на осі Ой, Яку вісь абсцис перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь абсцис:

Ax (2; 0);

Bx (3; 0);

Cx (-5; 0).

приклад 2.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Знайти координати проекцій цих точок на вісь ординат.

Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь ординат розташована на самій осі ординат, тобто осі Ой, а отже має ординату, рівну ординаті самої точки, і абсцису (координату на осі Ox, Яку вісь ординат перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь ординат:

Ay (0; 2);

By (0; 1);

Cy (0; -2).

приклад 3.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox, матиме таку ж абсцису, що і дана точка, і ординату, рівну за абсолютною величиною ординаті цієї точки, і протилежну їй за знаком. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ox :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Вирішити завдання на декартову систему координат самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 4.Визначити, у яких квадрантах (чвертях, малюнок з квадрантами - наприкінці параграфа "Прямокутна декартова система координат на площині") може бути розташована точка M(x; y) , якщо

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Приклад 5.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .

Продовжуємо вирішувати завдання разом

Приклад 6.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .

Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо осі Ойспрямований відрізок, що йде від осі Ойдо цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Ой, матиме таку ж ординату, що і дана точка, і абсцис, рівну за абсолютною величиною абсцис даної точки, і протилежну їй по знаку. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Приклад 7.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат.

Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо початку координат спрямований відрізок, що йде від початку координат до цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо початку координат, матиме абсцису та ординату, рівні за абсолютною величиною абсцисі та ординаті даної точки, але протилежні їм за знаком. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Приклад 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Знайти координати проекцій цих точок:

1) на площину Oxy ;

2) на площину Oxz ;

3) на площину Oyz ;

4) на вісь абсцис;

5) на вісь ординат;

6) на вісь аплікат.

1) Проекція точки на площину Oxyрозташована на самій цій площині, а отже має абсцис і ординату, рівні абсцис і ординаті даної точки, і аплікату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxy :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy (2; -3; 0).

2) Проекція точки на площину Oxzрозташована на самій цій площині, а отже має абсцису та аплікату, рівні абсцисі та аплікату даної точки, та ординату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Проекція точки на площину Oyzрозташована на самій цій площині, а отже має ординату та аплікату, рівні ординаті та аплікату даної точки, та абсцису, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, А отже має абсцис, рівну абсцис самої точки, а ордината і апліката проекції рівні нулю (оскільки осі ординат і аплікат перетинають вісь абсцис в точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь абсцис:

Ax (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx (2; 0; 0).

5) Проекція точки на вісь ординат розташована на самій осі ординат, тобто осі Ой, отже має ординату, рівну ординаті самої точки, а абсцисса і апліката проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис і аплікат перетинають вісь ординат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь ординат:

Ay (0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy (0; -3; 0).

6) Проекція точки на вісь аплікат розташована на самій осі аплікат, тобто осі Oz, отже має аплікату, рівну аплікату самої точки, а абсцисса і ордината проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис і ординат перетинають вісь аплікат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь аплікат:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz (0; 0; 0).

Приклад 9.У декартовій системі координат у просторі дані точки

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо:

1) площині Oxy ;

2) площині Oxz ;

3) площині Oyz ;

4) осі абсцис;

5) осі ординат;

6) осі аплікат;

7) початку координат.

1) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxy Oxy, матиме абсцис і ординату, рівні абсцис і ординаті даної точки, і аплікату, рівну за величиною аплікату даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxzна ту ж відстань. На малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oxz, матиме абсцису та аплікату, рівні абсцисі та аплікату даної точки, та ординату, рівну за величиною ординаті даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oyzна ту ж відстань. На малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oyz, матиме ординату і аплікату, рівні ординаті і аплікату даної точки, і абсцис, рівну за величиною абсцис даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

За аналогією з симетричними точками на площині та точками простору, симетричними даними щодо площин, помічаємо, що у разі симетрії щодо деякої осі декартової системи координат у просторі, координата на осі, щодо якої задана симетрія, збереже свій знак, а координати на двох інших осях будуть тими ж за абсолютною величиною, як і координати цієї точки, але протилежними за знаком.

4) Свій знак збереже абсцисса, а ордината та апліката поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі абсцис:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Свій знак збереже ордината, а абсцисса та апліката поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі ординат:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Свій знак збереже апліката, а абсцисса та ордината поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо осі:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) За аналогією з симетрією у випадку з точками на площині, у разі симетрії щодо початку координат усі координати точки, симетричної даної, будуть рівними по абсолютній величині координатам даної точки, але протилежними їм за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо початку координат.

У II столітті до н. грецький вчений Гіппарх запропонував оперізувати на карті земну кулю паралелями та меридіанами, покривши її ніби умовною сіткою, і запровадити географічні координати – широту та довготу.

Щоправда, ще до цього астрономи використовували цей прийом, вивчаючи небесне склепіння.

У ІІ столітті н.е. знаменитий давньогрецький астроном і математик Клавдій Птолемей активно користувався довготою та широтою як географічні координати.
Але систематизував ці поняття у 17 столітті Рене Декарт.

Рене Декарт (1596 - 1650) - французький математик, філософ, фізик і фізіолог.
Саме він вигадав у 1637 році систему координат, яка використовується у всьому світі і відома кожному школяру. Її називають також "Декартова система координат".

Що ж за чоловік був Декарт?

Декарт походив із дворянського роду і був молодшим (третім) сином у сім'ї. Він народився 1596 року у Франції. Його мати померла, коли йому було 1 рік. Рене здобув чудову початкову освіту в престижному колежі Ла Флеш. Тут він навчався у священиків-єзуїтів.

За десять років, проведених у коледжі, Декарт набув письменницьких навичок, вивчив музичне та драматичне мистецтва і навіть опанував такі шляхетні заняття, як верхова їзда та фехтування.
Провівши ще два роки в Університеті Пуатьє, він отримав науковий ступінь у галузі юриспруденції, але відмовився від кар'єри юриста.
Рене вступив на військову службу і почав багато подорожувати Європою.

Потім Декарт близько двадцяти років жив у Нідерландах. Терпимі голландці в XVII столітті спокійно обходилися без таких речей, як інквізиція, брехня, дибки та спалення на багатті, які загрожували всім європейським оригінальним мислителям. Тут, на відміну інших країн, не потрібно розплачуватись за свої ідеї.
Декарт веде велике листування з найкращими вченими Європи, вивчає різні науки, пише книги. Він займався астрономією та медициною.

Великий фізіолог Іван Петрович Павлов вважав Декарта предтечею

своїх досліджень. Рене Декарт першим запропонував поняття рефлексу.

(Пам'ятник Р. Декарту. Скульптор: І.Ф. Безпалов. Адреса: Алея бюстів великих учених у Колтушах.)

Йому належить відома фраза: "Cogito, ergo sum",
що в перекладі з латинської означає:
«Думаю, отже, існую».

Декартова система координат

Щоб встановити декартову прямокутну систему координат на площині вибирають взаємно перпендикулярні прямі, звані осями.
Точка перетину осей - "O" називається початком координат.
На кожній осі (ОX та ОY) задається позитивний напрямок і вибирається одиниця масштабу (поодинокий відрізок).

Положення точки A на площині визначається двома координатами x та y.
Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y - довжині відрізка OC у вибраних одиницях виміру.
Координата x називається абсцисою точки A, координата y – ординатою точки A.
Кожній точці на координатній площині відповідає пара чисел: її абсцисса та ордината: (х; у). І назад: кожній парі чисел відповідає єдина точка на координатній площині.

У просторі, де положення точки може бути визначено як її проекції на фіксовані прямі, що перетинаються в одній точці, званої початком координат. Ці проекції називаються координатами точки, а прямі – осями координат.

У загальному випадку на площині декартова система координат (афінна система координат) задається точкою О (початком координат) і впорядкованою парою прикладених до неї не лежать на одній прямій векторів е 1 і е 2 (базових векторів). Прямі, що проходять через початок координат у напрямку базисних векторів, називають осями координат цієї декартової системи координат. Перша, що визначається вектором е 1 називається віссю абсцис (або віссю Ох), друга - віссю ординат (або віссю Оу). Сама декартова система координат позначається Ое 1 е 2 або Оху. Декартовими координатами точки М (рисунок 1) в декартовій системі координат Oe 1 е 2 називається впорядкована пара чисел (х, у), які є коефіцієнтами розкладання вектора ЗМ по базису (е 1 , е 2 ), тобто х і у такі, що ОМ = хе 1 + уе 2 . Число х, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Якщо на площині введено дві декартові системи координат Oe 1 e 2 і 0'е' 1 е' 2 так, що вектори базису (е' 1 , е' 2 ) виражені через вектори базису (e 1 ,е 2 ) формулами

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 е 2 , е’ 2 = а 21 e 1 + a 22 e 2

і точка О' має в декартовій системі координат Оe 1 e 2 координати (х 0, у 0), то координати (х, у) точки М в декартовій системі координат Оe 1 e2 і координати (х', у') тієї ж точки у декартовій системі координат О'є 1 е' 2 пов'язані співвідношеннями

х = а 11 х' + а 21 у' + х 0, у = а 12 х' + а 22 у'+ у 0 .

Декартову систему координат називають прямокутною, якщо базис (е 1 е 2 ) ортонормований, тобто вектори е 1 і е 2 взаємно перпендикулярні і мають довжини, рівні одиниці (вектори е 1 і е 2 називають в цьому випадку ортами). У прямокутній декартовій системі координат координати х і точки М суть величини ортогональних проекцій точки М на осі Ох і Оу відповідно. У прямокутній декартовій системі координат Оху відстань між точками М 1 (х 1, у 1) і М 2 (х 2, у 2) дорівнює √(х 2 -х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Формули переходу від однієї прямокутної декартової системи координат Оху до іншої прямокутної декартової системи координат О'х'у', початок якої О'декартової системи координат Оху є О'(х0, у0), мають вигляд

х = х'cosα - у'sinα + х 0, у = х'sinα + у'cosα + у 0

х = х'cosα + у'sinα + х 0, у = х'sinα - у'cosα + у 0 .

У першому випадку система О'х'у' утворюється поворотом базисних векторів е 1; е 2 на кут α і подальшим перенесенням початку координат Про точку О’ (рисунок 2),

а в другому випадку - поворотом базисних векторів е 1 , е 2 на кут α, наступним відображенням осі, що містить вектор е 2 щодо прямої, що несе вектор е 1 і переносом початку координат О в точку О' (рисунок 3).

Іноді використовуються косокутні декартові системи координат, що відрізняються від прямокутної тим, що кут між одиничними базовими векторами не є прямим.

Аналогічно визначається загальна декартова система координат (афінна система координат) у просторі: задається точка О - початок координат і впорядкована трійка прикладених до неї векторів е 1 , е 2 , е 3 (базисних векторів). Як і у випадку площини, визначаються осі координат - вісь абсцис (вісь Ох), вісь ординат (вісь Оу) та вісь аплікат (вісь Оz) (малюнок 4).

Декартова система координат у просторі позначається Oe 1 е 2 е 3 (або Oxyz). Площини, що проходять через пари осей координат, називають координатними площинами. Декартова система координат у просторі називається правою, якщо поворот від осі Ох до осі Оу відбувається в напрямку, протилежному руху годинникової стрілки, якщо дивитися на площину Оху з якоїсь точки позитивної півосі Оz, у протилежному випадку декартова система координат називається лівою. Якщо базисні вектори е1, е2, е3 мають довжини, рівні одиниці, і попарно перпендикулярні, то декартова система координат називається прямокутною. Положення однієї прямокутної декартової системи координат у просторі щодо іншої прямокутної декартової системи координат з тією самою орієнтацією визначається трьома ейлеровими кутами.

Декартова система координат названа під назвою Р. Декарта, хоча у його творі «Геометрія» (1637) розглядалася косоугольная система координат, у якій координати точок були лише позитивними. У виданні 1659-61 років до «Геометрії» прикладено роботу голландського математика І. Гудде, у якій вперше допускаються як позитивні, і негативні значення координат. Просторову декартову систему координат запровадив французький математик Ф. Лаїр (1679). На початку18 століття встановилися позначення х, у, z для декартових координат.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДІНАТ, прямолінійна система координат на площині або в просторі (зазвичай із взаємно перпендикулярними осями та однаковими масштабами по осях). Названа на ім'я Р. Декарта (див.Декарт Рене).
Декарт вперше ввів координатну систему, яка суттєво відрізнялася від загальноприйнятої у наші дні. Він використав косокутну систему координат на площині, розглядаючи криву щодо деякої прямої з фіксованою системою відліку. Положення точок кривої ставилося за допомогою системи паралельних відрізків, похилих або перпендикулярних до вихідної прямої. Декарт не вводив другої координатної осі, не фіксував напрямки відліку від початку координат. Лише у 18 ст. сформувалося сучасне розуміння координатної системи, яке отримало ім'я Декарта.
***
Для завдання декартової прямокутної системи координат вибирають взаємно перпендикулярні прямі звані осями. Крапка перетину осей Oназивається початком координат. На кожній осі задається позитивний напрямок та вибирається одиниця масштабу. Координати точки Pвважаються позитивними або негативними залежно від того, на яку піввісь потрапляє проекція точки P.
Двовимірна система координат
Pна площині у двомірній системі координат називаються взяті з певним знаком відстані (виражені в одиницях масштабу) цієї точки до двох взаємно перпендикулярних прямих - осей координат або проекції радіус-вектора rточки Pна дві взаємно перпендикулярні координатні осі.
У двомірній системі координат горизонтальна вісь називається віссю абсцис (вісь OX), вертикальна вісь - віссю ординат (вісь ОY). Позитивні напрямки вибирають на осі OX- праворуч, на осі OY- Вгору. Координати xі yназиваються відповідно абсцисою та ординатою точки. Запис P(a,b) означає, що точка P на площині має абсцис a і ординату b.
Тривимірна система координат
Декартовими прямокутними координатами точки Pу тривимірному просторі називаються взяті з певним знаком відстані (виражені в одиницях масштабу) цієї точки до трьох взаємно перпендикулярних координатних площин або проекції радіус-вектора (див.РАДІУС-ВЕКТОР) r точки Pна три взаємно перпендикулярні координатні осі.
Через довільну точку простору O- початок координат - проведено три попарно перпендикулярні прямі: вісь OX(вісь абсцис), вісь OY(вісь ординат), вісь OZ(Вісь аплікат).
На осях координат можуть задаватися одиничні вектори i, j, kпо осях OX,OY, OZвідповідно.
Залежно від взаємного розташування позитивних напрямів координатних осей можливі права та ліва координатні системи. Як правило, користуються правою системою координат. У правій системі координат позитивні напрямки вибирають так: по осі OX- На спостерігача; по осі OY - праворуч; по осі OZ – вгору. У правій системі координат найкоротший поворот від осі X до осі Y здійснюється проти годинникової стрілки; якщо одночасно з таким поворотом рухатися вздовж позитивного спрямування осі Z, то вийде рух за правилом правого гвинта.
Запис P(a,b,c) означає, що точка Р має абсцис a, ординату b і аплікату c.
Кожна трійка чисел (a,b,c) задає єдину точку Р. Отже, прямокутна декартова система координат встановлює взаємно однозначну відповідність між безліччю точок простору та безліччю впорядкованих трійок дійсних чисел.
Крім координатних осей, існують також координатні площини. Координатними поверхнями, для яких одна з координат залишається постійною, є площини, паралельні координатним площинам, а координатними лініями, вздовж яких змінюється тільки одна координата, - прямі, паралельні координатним осям. Координатні поверхні перетинаються координатними лініями.
Координатна площина XOYмістить осі OXі OY, координатна площина YOZмістить осі OYі OZ, координатна площина XOZмістить осі OXі OZ.

Енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитись що таке "ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ" в інших словниках:

Прямокутна або декартова система координат найбільш поширена система координат на площині і в просторі. Зміст 1 Прямокутна система координат на площині ... Вікіпедія

декартова система координат

Книжки

Обчислювальна гідродинаміка. Теоретичні основи. Навчальний посібник, Павловський Валерій Олексійович, Нікущенко Дмитро Володимирович. Книга присвячена систематичному викладу теоретичних основ для постановки задач математичного моделювання течій рідин та газів. Особлива увага приділена питанням...