Знайти похідну параметричної функції. Похідна функції, заданої параметричним способом

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулупараметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметром і може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». на координатної площиниможна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права теж дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні і т.д. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, закачайте мою геометричну прогу на сторінці Математичні формулита таблиці.

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, бо для знаходження похідної параметричної функціїіснує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

У даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завданняз похідною ми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Підставляє знайдені похідні формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу:

Я помітив, що в задачі на знаходження похідної параметричної функції досить часто з метою спрощень доводиться використовувати тригонометричні формули . Пам'ятайте їх чи тримайте під рукою, і не пропускайте можливість спростити кожен проміжний результатта відповіді. Навіщо? Зараз нам належить взяти похідну від , і це явно краще, ніж знаходити похідну від .

Знайдемо другу похідну.
Використовуємо формулу: .

Подивимося нашу формулу. Знаменника вже знайдено на попередньому кроці. Залишилося знайти чисельник – похідну від першої похідної до змінної «те»:

Залишилося скористатися формулою:

Для закріплення матеріалу пропоную ще кілька прикладів для самостійного вирішення.

Приклад 9

Приклад 10

Знайти і функції, заданої параметрически

Бажаю успіхів!

Сподіваюся, це заняття було корисним, і Ви тепер легко зможете знаходити похідні від функцій, заданих неявно і від параметричних функцій

Рішення та відповіді:

Приклад 3: Рішення:






Таким чином:

Формула похідної функції, заданої параметричним способом. Доказ та приклади застосування цієї формули. Приклади обчислення похідних першого, другого та третього порядку.

Нехай функція задана параметричним способом:
(1)
де деяка змінна, яка називається параметром. І нехай функції і мають похідні за певного значення змінної. Причому і функція має зворотну функціюв деякій околиці точки. Тоді функція (1) має в похідній точці , яка, в параметричному вигляді, визначається за формулами:
(2)

Тут і - похідні функцій і за змінною (параметром). Їх часто записують у такому вигляді:
;
.

Тоді систему (2) можна записати так:

Доведення

За умовою, функція має зворотну функцію. Позначимо її як
.
Тоді вихідну функцію можна як складну функцію:
.
Знайдемо її похідну, застосовуючи правила диференціювання складної та зворотної функцій:
.

Правило підтверджено.

Доказ другим способом

Знайдемо похідну другим способом, виходячи з визначення похідної функції в точці:
.
Введемо позначення:
.
Тоді й попередня формула набуває вигляду:
.

Скористаємося тим, що функція має зворотну функцію в околиці точки .
Введемо позначення:
; ;
; .
Розділимо чисельник і знаменник дробу на:
.
При , . Тоді
.

Правило підтверджено.

Похідні вищих порядків

Щоб знайти похідні найвищих порядків, треба виконувати диференціювання кілька разів. Припустимо, нам треба знайти похідну другого порядку від функції, заданої параметричним способом наступного виду:
(1)

За формулою (2) знаходимо першу похідну, яка також визначається параметричним способом:
(2)

Позначимо першу похідну, за допомогою змінної:
.
Тоді, щоб знайти другу похідну від функції змінної , потрібно знайти першу похідну від функції змінної . Залежність змінної від змінної також задана параметричним способом:
(3)
Порівнюючи (3) з формулами (1) і (2), знаходимо:

Тепер виразимо результат через функції та . Для цього підставимо та застосуємо формулу похідного дробу:
.
Тоді
.

Звідси отримуємо другу похідну функції змінної :

Вона також задана у параметричному вигляді. Зауважимо, що перший рядок також можна записати так:
.

Продовжуючи процес, можна отримати похідні функції від змінної третього і вищих порядків.

Зауважимо, що можна вводити позначення для похідної . Можна записати так:
;
.

Приклад 1

Знайдіть похідну від функції, заданої параметричним способом:

Рішення

Знаходимо похідні та по .
З таблиці похідних знаходимо:
;
.
Застосовуємо:

.
Тут.

.
Тут.

Похідна:
.

Відповідь

Приклад 2

Знайдіть похідну від функції, вираженої через параметр :

Рішення

Розкриємо дужки, застосовуючи формули для статечних функцій і коріння:
.

Знаходимо похідну:

.

Знаходимо похідну. Для цього введемо змінну та застосуємо формулу похідної складної функції.

.

Знаходимо шукану похідну:
.

Відповідь

Приклад 3

Знайдіть похідні другого та третього порядків від функції, заданої параметричним способом у прикладі 1:

Рішення

У прикладі 1 ми знайшли похідну першого порядку:

Введемо позначення. Тоді функція є похідною . Вона задана параметричним способом:

Щоб знайти другу похідну по нам треба знайти першу похідну по .

Диференціюємо по .
.
Похідну ми знайшли в прикладі 1:
.
Похідна другого порядку за дорівнює похідній першого порядку за :
.

Отже, ми знайшли похідну другого порядку в параметричному вигляді:

Тепер знаходимо похідну третього порядку. Введемо позначення. Тоді нам потрібно знайти похідну першого порядку від функції, яка задана параметричним способом:

Знаходимо похідну по . Для цього перепишемо в еквівалентному вигляді:
.
З

.

Похідна третього порядку дорівнює похідній першого порядку по :
.

Зауваження

Можна не вводити змінні та , які є похідними та відповідно. Тоді можна записати так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Відповідь

У параметричному поданні похідна другого порядку має наступний вигляд:

Похідна третього порядку:

До цього часу розглядалися рівняння ліній на площині, що пов'язують безпосередньо поточні координати точок цих ліній. Однак часто застосовується інший спосіб завдання лінії, у якому поточні координати розглядаються як функції третьої змінної величини.

Нехай дані дві функції змінної

розглянуті для тих самих значень t. Тоді будь-якому з цих значень t відповідає певне значенняі певне значення у, а отже, і певна точка. Коли змінна t пробігає всі значення області визначення функцій (73), точка описує деяку лінію С в площині Рівняння (73) називаються параметричними рівняннямицієї лінії, а змінна – параметром.

Припустимо, що функція має зворотну функцію Підставивши цю функцію у друге з рівнянь (73), отримаємо рівняння

що виражає як функцію

Умовимося говорити, що це функція задана параметрически рівняннями (73). Перехід від рівнянь до рівняння (74) називається винятком параметра. При розгляді функцій, заданих параметрично, виключення параметра не тільки необов'язково, але й не завжди можливо.

У багатьох випадках набагато зручніше, задаючи різними значеннямипараметра обчислювати потім за формулами (73) відповідні значення аргументу та функції у.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай довільна точкакола з центром на початку координат і радіусом R. Декартові координатих і у цієї точки виражаються через її полярний радіус і полярний кут, який ми тут позначимо через t наступним чином (див. гл. I, § 3, п. 3):

Рівняння (75) називаються параметричними рівняннями кола. Параметром у яких є полярний кут , який змінюється не більше від 0 до .

Якщо рівняння (75) почленно звести квадрат і скласти, то з тотожності параметр виключиться і вийде рівняння кола в декартовій системікоординат, що визначає дві елементарні функції:

Кожна з цих функцій визначається параметрично рівняннями (75), але області зміни параметра для цих функцій різні. Для першої з них; графіком цієї функції служить верхнє півколо. Для другої функції графіком її є нижня півкола.

Приклад 2. Розглянемо одночасно еліпс

і коло з центром на початку координат і радіусом а (рис. 138).

Кожній точці М еліпса зіставимо точку N кола, що має ту ж абсцис, що і точка М, і розташовану з нею по один бік від осі Ох. Положення точки N, а отже, і точки М, цілком визначається полярним кутом t точки При цьому для їхньої загальної абсциси отримаємо наступний вираз: х = a. Ординату біля точки М знайдемо з рівняння еліпса:

Знак вибраний тому, що ордината у точки М та ордината точки N повинні мати однакові знаки.

Таким чином, для еліпса отримані такі параметричні рівняння:

Тут параметр t змінюється від 0 до .

Приклад 3. Розглянемо коло з центром у точці а) та радіусом а, яка, очевидно, стосується осі абсцис на початку координат (рис. 139). Припустимо, це це коло котиться без ковзання по осі абсцис. Тоді точка М кола, що збігалася в початковий моментз початком координат описує лінію, яка називається циклоїдою.

Виведемо параметричні рівняння циклоїди, прийнявши за параметр t кут МСВ повороту кола при переміщенні її фіксованої точки з положення О положення М. Тоді для координат і в точки М ми отримаємо наступні вирази:

Внаслідок того, що коло котиться по осі без ковзання, довжина відрізка ОВ дорівнює довжині дуги ВМ. Оскільки довжина дуги ВМ дорівнює добутку радіусу центральний кут t, то . Тому. Але отже,

Ці рівняння є параметричними рівняннями циклоїди. При зміні параметра t від 0 до кола здійснить один повний оборот. Крапка М при цьому опише одну арку циклоїди.

Виняток параметра t призводить до громіздких виразів і практично недоцільно.

Параметричне завдання ліній особливо часто використовують у механіці, причому роль параметра грає час.

Приклад 4. Визначимо траєкторію снаряда, випущеного зі зброї початковою швидкістюпід кутом до горизонту. Опіром повітря та розмірами снаряда, вважаючи його матеріальною точкою, нехтуємо.

Виберемо систему координат. За початок координат приймемо точку вильоту снаряда з дула. Ось Ох направимо горизонтально, а вісь Оу - вертикально, розташувавши їх в одній площині з дулом зброї. Якби не було сили земного тяжіння, то снаряд рухався б по прямій, що складає кут а з віссю Ох і на момент часу t пройшов би шлях Координати снаряда в момент часу t були б відповідно дорівнюють: . Внаслідок земного тяжіння снаряд повинен до цього моменту вертикально опуститися на величину. Тому насправді в момент часу t координати снаряда визначаються за формулами:

У цих рівняннях - постійні величини. При зміні t також будуть змінюватися координати у точки траєкторії снаряда. Рівняння є параметричними рівняннями траєкторії снаряда, у яких параметром є час

Виразивши з першого рівняння і підставивши його в

друге рівняння, отримаємо рівняння траєкторії снаряда у вигляді Це – рівняння параболи.