Знайти кут між градієнтами функції. Векторний аналіз скалярне поле поверхні та лінії рівня похідна за напрямом похідна градієнт скалярного поля основні властивості градієнта

1 0 Градієнт спрямований нормалі до поверхні рівня (або до лінії рівня, якщо поле плоске).

2 0 Градієнт спрямований у бік зростання функції поля.

3 0 Модуль градієнта дорівнює найбільшій похідній за напрямком в даній точці поля:

Ці властивості дають інваріантну характеристику градієнта. Вони свідчать, що вектор gradU вказує напрям і величину найбільшої зміни скалярного поля у цій точці.

Зауваження 2.1.Якщо функція U(x,y) є функція двох змінних, то вектор

(2.3)

лежить у площині oxy.

Нехай U=U(x,y,z) та V=V(x,y,z) диференційованих у точці М 0 (x,y,z) функції. Тоді має місце такі рівності:

а) grad()=; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;

в) grad(UV) = gradU gradV; г) г) grad = , V;

д) gradU( = gradU, де , U=U() має похідну .

приклад 2.1.Дано функцію U = x 2 + y 2 + z 2 . Визначити градієнт функції у точці М(-2;3;4).

Рішення.Згідно з формулою (2.2) маємо

.

Поверхнями рівня даного скалярного поля є сімейство сфер x 2 +y 2 +z 2 вектор gradU=(-4;6;8) є нормальний векторплощин.

приклад 2.2.Знайти градієнт скалярного поля U = x-2y + 3z.

Рішення.Згідно з формулою (2.2) маємо

Поверхнями рівня даного скалярного поля є площини

x-2y+3z=З; вектор gradU=(1;-2;3) є нормальним вектором площин цього сімейства.

приклад 2.3.Знайти найбільшу крутість підйому поверхні U=x y у точці М(2;2;4).

Рішення.Маємо:

Приклад 2.4.Знайти одиничний векторнормалі до поверхні рівня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .

Рішення.Поверхні рівня даного скалярного поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).

Градієнт спрямований нормалі до поверхні рівня, так що

Визначає вектор нормалі до рівня в точці М(x,y,z). Для одиничного вектора нормалі отримуємо вираз

, де

.

приклад 2.5.Знайти градієнт поля U= де і постійні вектори, r –радіус вектор точки.

Рішення.Нехай

Тоді:
. За правилом диференціювання визначника отримуємо

Отже,

приклад 2.6.Знайти градієнт відстані , де P(x,y,z) - точка поля, що вивчається, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - деяка фіксована точка.

Рішення.Маємо - одиничний вектор напряму.

приклад 2.7.Знайти кут між градієнтами функцій у точці М0 (1,1).

Рішення.Знаходимо градієнти даних функцій у точці М 0 (1,1), маємо

; Кут між gradU та gradV у точці М 0 визначається з рівності

Звідси =0.

приклад 2.8.Знайти похідну за напрямком, радіус- вектор дорівнює

(2.4)

Рішення.Знаходимо градієнт цієї функції:

Підставляючи (2.5) у (2.4), отримаємо

Приклад 2.9.Знайти в точці М 0 (1; 1; 1) напрямок найбільшої зміни скалярного поля U = xy + yz + xz і величину цієї найбільшої зміни в цій точці.

Рішення.Напрям найбільшої зміни поля вказується вектором grad U(M). Знаходимо його:

І, отже, . Цей вектор визначає напрям найбільшого зростання даного поляу точці М 0 (1; 1; 1). Величина найбільшої зміни поля у цій точці дорівнює

.

Приклад 3.1.Знайти векторні лінії векторного поля де постійний вектор.

Рішення.Маємо так що

(3.3)

Помножимо чисельник і знаменник першого дробу на х, другий на у, третій на z і складемо почленно. Використовуючи властивість пропорцій, отримаємо

Звідси xdx+ydy+zdz=0, отже

x 2 +y 2 +z 2 = A1, A1-const>0. Помноживши тепер чисельник і знаменник першого дробу (3.3) на с 1 , другий на с 2 , третій на с 3 і склавши почленно, отримаємо

Звідки з 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

І, отже, з 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.

Шукані рівняння векторних ліній

Ці рівняння показують, що векторні лінії виходять в результаті перетину сфер, що мають загальний центр на початку координат, з площинами, перпендикулярним вектору . Звідси випливає, що векторні лінії є колами, центри яких знаходяться на прямій, яка проходить через початок координат у напрямку вектора. Площини кіл перпендикулярні зазначеній прямій.

Приклад 3.2.Знайти векторну лінію поля проходить через точку (1,0,0).

Рішення. Диференційне рівняннявекторних ліній

звідси маємо . Вирішуючи перше рівняння. Або якщо ввести параметр t, то матимемо У цьому випадку рівняння набуває вигляду або dz=bdt, звідки z=bt+c 2 .

Завдання 2. Знайти косинус кута між градієнтами поля в точках А(1, 2, 2) і В(-3, 1, 0). Рішення.

Завдання 3. Для функції знайти похідну за напрямком внутрішньої нормалі циліндричної поверхні x 2 + z 2 = a 2 + c 2 у точці M 0(a, b, c). Рішення. Нехай f(x, y, z) = x 2 + z 2. Дана в умові поверхня – це поверхня рівня для f, що проходить через точку M 0. Маємо Функція f у точці M 0 зростає найшвидше за напрямком grad f, отже, у напрямку нормалі до заданої поверхні.

Виходячи з виду функції f, укладаємо, що це напрям зовнішньої нормалі. Отже, одиничний вектор внутрішньої нормалі в точці M 0 дорівнюватиме

Завдання 5. Обчислити потік векторного поля a = (z 2 – x, 1, y 5) через внутрішню поверхню S: y 2 = 2 x, відтяту площинами: x = 2, z = 0, z = 3. Рішення.

Рішення. I спосіб Контур L - коло радіуса R, що лежить у площині z = 3. Виберемо орієнтацію як показано на малюнку, тобто проти годинникової стрілки. Параметричні рівняннякола мають вигляд

ІІ метод. Для обчислення циркуляції за теоремою Стокса виберемо якусь поверхню S, натягнуту на контур. Природно як S взяти коло, що має контур L своїм кордоном. Рівняння поверхні S має вигляд: Відповідно до обраної орієнтації контуру нормаль до поверхні необхідно взяти рівною

Завдання 7. За допомогою теореми Стокса знайти циркуляцію векторного поля за перерізом x 2 + y 2 + z 2 = R 2 площиною z = 0. Рішення. За формулою Стокса

Завдання 8. Знайти потік вектора через частину сфери x 2 + y 2 + z 2 = R 2 при x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, в напрямку зовнішньої нормалі. Рішення. За визначенням потоку вектора через поверхню, знаходимо

Якщо кожній точці простору чи частини простору визначено значення деякої величини, то кажуть, що вказано поле даної величини. Поле називається скалярним, якщо аналізована величина скалярна, тобто. цілком характеризується своїм числовим значенням. Наприклад, поле температур. Скалярне поле визначається скалярною функцією точки і = /(М). Якщо в просторі введено декартову систему координат, то є функція трьох змінних х, yt z - координат точки М: Визначення. Поверхнею рівня скалярного поля називається безліч точок, у яких функція f(M) приймає те саме значення. Зрівняння поверхні рівня Приклад 1. Знайти поверхні рівня скалярного поля ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта -4 Згідно з визначенням рівнянням поверхні рівня буде. Це рівняння сфери (з Ф 0) із центром на початку координат. Скалярне поле називається плоским, якщо у всіх площинах, паралельних до деякої площини, поле одне й те саме. Якщо зазначену площину прийняти за площину хОу, то функція поля не залежатиме від координати z, тобто буде функцією тільки аргументів х і у, Плоске поле можна характеризувати допомогою ліній рівня - множини точок площини, в яких функція / (ж, у) має одне і також значення. Рівняння лінії рівня - Приклад 2. Знайти лінії рівня скалярного поля Лінії рівня задаються рівняннями При с = 0 одержуємо пару прямих одержуємо сімейство гіпербол (рис. 1). 1.1. Похідна за напрямом Нехай є скалярне поле, яке визначається скалярною функцією і = / (Af). Візьмемо точку Afo і виберемо напрямок, що визначається вектором I. Візьмемо іншу точку М так, щоб вектор М0М був паралельний вектору 1 (рис. 2). Позначимо довжину вектора МоМ через А/, а збільшення функції /(Af) - /(Afo), відповідне переміщенню Д1, через Ді. Ставлення визначає середню швидкістьзміни скалярного поля на одиницю довжини поданому напрямку Нехай тепер прагне нуля те щоб вектор М0М постійно залишався паралельним вектору I. Визначення. Якщо при Д/О існує кінцева межа відношення (5), то його називають похідною функцією в даній точці Afo поданому напрямку I і позначають символом зг! ^. Так що, за визначенням, це визначення не пов'язане з вибором системи координат, тобто носить варіантний характер. Знайдемо вираз для похідної у напрямку в декартовій системікоординат. Нехай функція / диференційована у точці. Розглянемо значення /(Af) у точці. Тоді повне збільшення функції можна записати в наступному вигляді: а символи означають, що приватні похідні обчислені в точці Afo. Звідси Тут величини jfi, суть напрямні косинуси вектора. Так як вектори МоМ і I сонаправлены, їх напрямні косинуси однакові: Так як M Afo, осгаваясь весь час на прямий, паралельний вектор 1, то кути постійні тому Остаточно з рівностей (7) і (8) отримуємо Еамуан іс 1. Приватні похідні, є похідними функції і за напрямами координатних осей ссчлвешне нно- Приклад 3. Знайти похідну функції у напрямку до точки Вектор має довжину. Його напрямні косинуси: За формулою (9) будемо мати Той факт, що означає, що скалярне поле в точці в даному напрямку віку- Для плоского поля похідна за напрямом I в точці обчислюється за формулою де а - кут, утворений вектором I з віссю Ох. Зммчмм 2. Формула (9) для обчислення похідної за напрямом I в даній точці Afo залишається в силі і тоді, коли точка М прагне точки Мо по кривій, для якої вектор I є дотичним у точці ПРИШР 4. Обчислити похідну скалярного поля в точці Afo(l, 1). належить параболі за напрямом цієї кривої (у напрямку зростання абсциси). Напрямком ] параболи в точці вважається напрямок дотичної до параболи в цій точці (рис.3). Нехай дотична до параболи в точці Afo утворює з віссю Ох кут о. Тоді звідки напрямні косинуси дотичної обчислимо значення і в точці. Тепер за формулою (10) отримуємо. Знайти похідну скалярного поля в точці у напрямку кола Векторне рівняння кола має вигляд. Знаходимо одиничний вектор т дотичної до кола Точці відповідає значення параметра Значення г у точці Afo буде рівне Звідси отримуємо напрямні косинуси до кола в точці Обчислимо значення приватних похідних даного скалярного поля в точці Значить, шукана похідна. Градієнт скалярного поля Нехай скалярне поле визначається скалярною функцією, яка передбачається диференційованою. Визначення. Градієнтом скалярного поля в даній точці М називається вектор, що позначається символом grad і і визначається рівністю Зрозуміло, що цей вектор залежить як від функції /, так і відточки М, в якій обчислюється її похідна. Пух 1 - одиничний вектор у напрямку Тоді формулу для похідної за напрямом можна записати в наступному вигляді: . тим самим похідна від функції і за напрямом 1 дорівнює скалярному творуградієнта функції і(М) на орт 1° напрямку I. 2.1. Основні властивості градієнта Теорема 1. Градієнт скалярного поля перпендикулярний до рівня (або до лінії рівня, якщо поле плоске). (2) Проведемо через довільну точкуМ поверхню рівня = const і виберемо на цій поверхні гладку криву L, що проходить через точку М (рис. 4). Нехай I - векгор, дотичний до кривої L у точці М. Оскільки поверхні рівня і(М) = і(М|) для будь-якої точки Мj е L, то З іншого боку, = (gradu, 1°). Тож. Це означає, що вектори grad і і 1° ортогональні, Отже, векгор grad і ортогональний до будь-якої дотичної до поверхні рівня в точці М. Тим самим він ортогональний до поверхні рівня в точці М. Теорема 2. Градієнт спрямований у бік зростання функції поля . Раніше ми довели, що градієнт скалярного поля спрямований нормалі до поверхні рівня, яка може бути орієнтована або в бік зростання функції і(М), або в бік її спадання. Позначимо через п нормальк поверхні рівня, орієнтовану у бік зростання функції ti(M), і знайдемо похідну функції та у напрямку цієї нормалі (рис. 5). Маємо Так як за умовою рис.5 і тому ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта нормаль п, тобто у бік зростання функції та (М). Теорема 3. Довжина градієнта дорівнює найбільшій похідній у напрямку в даній точці поля, (тут шах $ береться за всілякими напрямками в даній точці М паю). Маємо де - кут між векторами 1 і grad п. Так як найбільше значення Приклад 1. Знайти напрямок найбільшого імононія скалярного поля в точці а також величину цієї найбільшої зміни у зазначеній точці. Напрям найбільшої зміни скалярного поля вказується вектором. Маємо так що цей вектор визначає напрямок найбільшого зростання поля в крапку. Величина найбільшої зміни поля у цій точці дорівнює 2.2. Інваріантне визначення градієнта Величини, що характеризують властивості об'єкта, що вивчається і не залежать від вибору системи координат, називаються інваріантами даного об'єкта. Наприклад, довжина кривої – інваріант цієї кривої, а кут дотичної до кривої з віссю Ох – не інваріант. Ґрунтуючись на доведених вище трьох властивостях градієнта скалярного поля, можна дати наступне інваріантне визначенняградієнт. Визначення. Градієнт скалярного поля є вектор, спрямований нормалі до поверхні рівня у бік зростання функції поля і має довжину, рівну найбільшої похідної за напрямом (у цій точці). Нехай – одиничний вектор нормалі, спрямований у бік зростання поля. Приклад 2. Знайти градієнт відстані - деяка фіксована точка, a M (x, y, z) - поточна. 4 Маємо де – одиничний вектор напряму. Правила обчислення градієнта де с - Постійне число. Наведені формули виходять безпосередньо з визначення градієнта та властивостей похідних. За правилом диференціювання твору Доказ аналогічний доказу властивості Нехай F(і) - скалярна функція, що диференціюється. Тоді 4 За визначенням фадієнта маємо Застосуємо до всіх доданків правої частини правило диференціювання складної функції. Отримаємо Зокрема, Формула (6) випливає з формули Приклад 3. Майти похідну за напрямком радіус-воктора г від функції За формулою (3) а за формулою В результаті отримаємо, що Приклад 4. Нехай дано плоске скалярне поле - відстані від деякої точки площині до двох фіксованих точок цієї площини. Розглянемо довільний еліпс з фокусами Fj і F] і доведемо, що будь-який промінь своту, що вийшов з одного фокусу еліпса, після відбиття від еліпса потрапляє до іншого його фокусу. Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, збудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.