Що таке інтегрування частинами? Щоб освоїти цей вид інтегрування, давайте спочатку згадаємо похідну твори:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Постає питання: ну і до чого тут інтеграли? А тепер проінтегруємо обидві сторони цього рівняння. Так і запишемо:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Але що таке первісна від штриха? Це просто сама функція, яка стоїть усередині штриху. Так і запишемо:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

У даному рівнянніпропоную висловити доданок. Маємо:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Це і є формула інтегрування частинами. Таким чином, ми, по суті, міняємо місцями похідну та функцію. Якщо спочатку у нас був інтеграл від штриха, помноженого на щось, то потім виходить інтеграл від нового чогось, помноженого на штрих. Ось і все правило. На перший погляд дана формуламоже здатися складною та безглуздою, але, насправді, вона може значно спрощувати обчислення. Зараз подивимося.

Приклади обчислення інтегралів

Завдання 1. Обчисліть:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Перепишемо вираз, додавши перед логарифмом 1:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Ми маємо право це зробити, тому що ні число, ні функція не зміняться. Тепер порівняємо цей вислів із тим, що у нас написано у формулі. У ролі $(f)"$ виступає 1, так і запишемо:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\end(align)$

Усі ці функції є у ​​таблицях. Тепер, коли ми розписали всі елементи, які входять у наш вираз, перепишемо цей інтеграл за формулою інтегрування частинами:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ end(align)\]

Усі, інтеграл знайдено.

Завдання 2. Обчисліть:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d) )x))$

Якщо в ролі похідної, від якої нам потрібно буде знайти первісну, ми візьмемо $x$, то отримаємо$((x)^(2))$, і підсумковий вираз буде містити $((x)^(2))( (\text(e))^(-x))$.

Очевидно, завдання не спрощується, тому ми поміняємо місцями множники під знаком інтеграла:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

А ось тепер вводимо позначення:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int((((text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

Диференціюємо $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ left(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Іншими словами, спочатку додається мінус, а потім обидві сторони інтегруються:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int((((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e)))^(-) x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\end(align)\]

Тепер розберемося з функцією $g$:

$g=x\Rightarrow (g)"=1$

Вважаємо інтеграл:

$\begin(align)& \int((((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \right)+C \\end(align)$

Отже, ми виконали друге інтегрування частинами.

Завдання 3. Обчисліть:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Що в цьому випадку брати за$(f)"$ , а що за$g$? Якщо в ролі похідної виступатиме$x$ , то при інтегруванні виникне$\frac(((x)^(2)))(2 )$, і нікуди у нас перший множник не пропаде - буде $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$.Тому знову поміняємо множники місцями:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ end(align)$

Переписуємо наш вихідний вираз і розкладаємо його за формулою інтегрування частинами:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\end(align)\]

Все, третє завдання вирішено.

Насамкінець ще раз поглянемо на формулу інтегрування частинами. Як ми вибираємо, який із множників буде похідною, а якою буде справжньою функцією? Критерій тут лише один: елемент, який ми диференціюватимемо, повинен давати або «красиве» вираз, який потім скоротиться, або при диференціюванні взагалі зникати. На цьому урок закінчено.

Інтегрування частинами. Приклади рішень

І знову здрастуйте. Сьогодні на уроці ми навчимося інтегрувати частинами. Метод інтегрування частинами – це один з наріжних каменів інтегрального обчислення. На заліку, екзамені студенту майже завжди пропонують вирішити інтеграли таких типів: найпростіший інтеграл (див. статтю)або інтеграл на зміну змінної (див. статтю)або інтеграл саме на метод інтегрування частинами.

Як завжди, під рукою мають бути: Таблиця інтеграліві Таблиця похідних. Якщо у Вас досі немає, то, будь ласка, відвідайте комору мого сайту: Математичні формули та таблиці. Не втомлюся повторювати – краще все роздрукувати. Весь матеріал я постараюся викласти послідовно, просто і доступно, в інтегруванні частинами немає особливих труднощів.

Яке завдання вирішує метод інтегрування частинами? Метод інтегрування частинами вирішує дуже важливе завдання, він дозволяє інтегрувати деякі функції, відсутні в таблиці, твірфункцій, а деяких випадках – і приватне. Як ми пам'ятаємо, немає зручної формули: . Натомість є така: – формула інтегрування частинами своєї персоною. Знаю, знаю, ти одна така – з нею ми й працюватимемо весь урок (вже легше).

І одразу список у студію. Частками беруться інтеграли наступних видів:

1) , логарифм, логарифм, помножений на якийсь багаточлен.

2) ,– експоненційна функція, помножена на якийсь багаточлен. Сюди можна віднести інтеграли на кшталт – показова функція, помножена на многочлен, але практично відсотках так у 97, під інтегралом красується симпатична літера «е». … щось ліричною виходить стаття, ах так… весна ж прийшла.

3) , , - Тригонометричні функції, помножені на якийсь багаточлен.

4) , – зворотні тригонометричні функції («арки»), «арки», помножені на якийсь багаточлен.

Також частинами беруться деякі дроби, відповідні приклади ми також докладно розглянемо.

Інтеграли від логарифмів

Приклад 1

Класика. Іноді цей інтеграл можна зустріти в таблицях, але користуватися готовою відповіддю небажано, оскільки у викладача весняний авітаміноз і він сильно залаяється. Тому що аналізований інтеграл аж ніяк не табличний - він береться частинами. Вирішуємо:

Перериваємо рішення на проміжні пояснення.

Використовуємо формулу інтегрування частинами:

Формула застосовується зліва направо

Дивимося на ліву частину: . Очевидно, що в нашому прикладі (і в інших, які ми розглянемо) щось потрібно позначити за , а щось за .

В інтегралах типу за завжди позначається логарифм.

Технічно оформлення рішення реалізується так, в стовпчик записуємо:

Тобто за ми позначили логарифм, а за – рештупідінтегрального виразу.

Наступний етап: знаходимо диференціал:

Диференціал – це майже те саме, що й похідна, як його знаходити, ми вже розбирали на попередніх уроках.

Тепер знаходимо функцію. Щоб знайти функцію необхідно проінтегрувати праву частинунижньої рівності:

Тепер відкриваємо наше рішення і конструюємо праву частину формули: .
Ось, до речі, і зразок чистового рішення з невеликими позначками:

Єдиний момент, у творі я відразу переставив місцями і тому, що множник прийнято записувати перед логарифмом.

Як бачите, застосування формули інтегрування частинами, по суті, звело наше рішення до двох простих інтегралів.

Зверніть увагу, що у ряді випадків відразу післязастосування формули, під інтегралом, що залишився, обов'язково проводиться спрощення – у аналізованому прикладі ми скоротили підінтегральне вираження на «ікс».

Виконаємо перевірку. Для цього потрібно взяти похідну від відповіді:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл вирішено правильно.

Під час перевірки ми використали правило диференціювання твору: . І це невипадково.

Формула інтегрування частинами та формула – це два взаємно зворотні правила.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл.

Підінтегральна функція є твір логарифму на многочлен.
Вирішуємо.

Я ще раз докладно розпишу порядок застосування правила, надалі приклади будуть оформлятися коротше, і, якщо у Вас виникнуть труднощі в самостійному рішенні, потрібно повернутися назад до перших двох прикладів уроку.

Як мовилося раніше, необхідно позначити логарифм (те, що він у ступеня – значення немає). За позначаємо рештупідінтегрального виразу.

Записуємо у стовпчик:

Спочатку знаходимо диференціал:

Тут використано правило диференціювання складної функції . Не випадково, на першому уроці теми Невизначений інтеграл. Приклади рішенья наголосив на тому, що для того, щоб освоїти інтеграли, необхідно «набити руку» на похідних. Із похідними доведеться зіткнутися ще неодноразово.

Тепер знаходимо функцію, для цього інтегруємо праву частинунижньої рівності:

Для інтегрування ми застосували найпростішу табличну формулу

Тепер все готове до застосування формули . Відкриваємо «зірочкою» та «конструюємо» рішення відповідно до правою частиною :

Під інтегралом у нас знову багаточлен на логарифм! Тому рішення знову переривається і правило інтегрування частинами застосовується вдруге. Не забуваймо, що за схожих ситуаціях завжди позначається логарифм.

Добре було б, якщо до даному моментунайпростіші інтеграли та похідні Ви вміли знаходити усно.

(1) Не плутаємось у знаках! Дуже часто тут втрачають мінус, також зверніть увагу, що мінус відноситься до всієїдужці і ці дужки потрібно коректно розкрити.

(2) Розкриваємо дужки. Останній інтеграл спрощуємо.

(3) Беремо останній інтеграл.

(4) «Зачісуємо» відповідь.

Необхідність двічі (а то й тричі) застосовувати правило інтегрування частинами виникає не так вже й рідко.

А зараз пара прикладів для самостійного рішення:

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл.

Цей приклад вирішується шляхом заміни змінної (або підведенням під знак диференціала)! А чому б і ні - можете спробувати взяти його частинами, вийде кумедна річ.

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл.

А ось цей інтеграл інтегрується частинами (обіцяний дріб).

Це приклади для самостійного рішення, рішення та відповіді наприкінці уроку.

Начебто в прикладах 3,4 підінтегральні функції схожі, а ось методи вирішення – різні! У цьому-то і полягає основна труднощі освоєння інтегралів - якщо неправильно підібрати метод рішення інтеграла, то возитися з ним можна годинами, як з справжнісінькою головоломкою. Тому чим більше ви вирішуєте різних інтегралів – тим краще, тим легше пройдуть залік та іспит. Крім того, на другому курсі будуть диференційне рівнянняа без досвіду рішення інтегралів і похідних робити там нічого.

За логарифмами, мабуть, більш ніж достатньо. На закуску можу ще згадати, що студенти-технарі логарифмами називають жіночі груди =). До речі, корисно знати назубок графіки основних елементарних функцій: синуса, косинуса, арктангенса, експоненти, багаточлени третього, четвертого ступеня і т.д. Ні, звичайно, презерватив на глобус
я натягувати не буду, але тепер ви багато запам'ятаєте з розділу Графіки та функції =).

Інтеграли від експоненти, помноженої на багаточлен

Загальне правило:

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Використовуючи знайомий алгоритм, інтегруємо частинами:

Якщо виникли труднощі з інтегралом, слід повернутися до статті Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Єдине, що ще можна зробити, це «зачесати» відповідь:

Але якщо Ваша техніка обчислень не дуже хороша, то найвигідніший варіант залишити відповіддю або навіть

Тобто приклад вважається вирішеним, коли взято останній інтеграл. Помилка не буде, інша справа, що викладач може попросити спростити відповідь.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл.

Це приклад самостійного рішення. Цей інтеграл двічі інтегрується частинами. Особливу увагуслід звернути на знаки – тут легко заплутатися в них, також пам'ятаємо, що – складна функція.

Більше про експонента розповідати особливо нічого. Можу тільки додати, що експонента і натуральний логарифм взаємно-зворотні функції, це я до теми цікавих графіків вищої математики=) Стоп-стоп, не хвилюємося, лектор тверезий.

Інтеграли від тригонометричних функцій, помножених на багаточлен

Загальне правило: за завжди позначається багаточлен

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл.

Інтегруємо частинами:

Хммм, …і коментувати нема чого.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад для самостійного вирішення

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

Ще один приклад із дробом. Як і двох попередніх прикладах за позначається многочлен.

Інтегруємо частинами:

Якщо виникли труднощі або непорозуміння зі знаходженням інтеграла, рекомендую відвідати урок Інтеграли від тригонометричних функцій.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення.

Підказка: перед використанням методу інтегрування частинами слід застосувати деяку тригонометричну формулуяка перетворює добуток двох тригонометричних функцій в одну функцію. Формулу також можна використовувати і в ході застосування методу інтегрування частинами, кому як зручніше.

Ось, мабуть, і все в цьому параграфі. Чомусь згадався рядок з гімну фізмата «А синуса графік хвиля за хвилею по осі абсцис пробігає».

Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій.
Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій, помножених на багаточлен

Загальне правило: за завжди позначається зворотна тригонометрична функція.

Нагадую, що до зворотного тригонометричним функціямвідносяться арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Для стислості запису я називатиму їх «арками»

Калькулятор вирішує інтеграли з описом дій ДЕТАЛЬНО російською мовою та безкоштовно!

Рішення невизначених інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

Рішення певних інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Ввести нижню межу для інтегралу
• Ввести верхня межадля інтегралу

Рішення подвійних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)

Рішення невласних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Введіть верхню область інтегрування (або нескінченність)
• Ввести нижню область інтегрування (або - нескінченність)

Перейти: Онлайн сервіс "Невласний інтеграл" →

Рішення потрійних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Ввести нижню та верхню межі для першої області інтегрування
• Ввести нижню та верхню межу для другої області інтегрування
• Ввести нижню та верхню межу для третьої області інтегрування

Перейти: Онлайн сервіс "Потрійний інтеграл" →

Даний сервіс дозволяє перевірити свої обчисленняна правильність

Можливості

• Підтримка всіх можливих математичних функцій: синус, косинус, експонента, тангенс, котангенс, корінь квадратний та кубічний, ступеня, показові та інші.
• Є приклади для введення як для невизначених інтегралів, і для невласних і певних.
• Виправляє помилки у ведених виразах і пропонує свої варіанти для введення.
• Чисельне рішення для певних та невласних інтегралів(у тому числі для подвійних та потрійних інтегралів).
• Підтримка комплексних чисел, а також різних параметрів (ви можете вказувати в підінтегральному вираженні не тільки змінну інтеграцію, але й інші змінні параметри)

Поняття первісної та невизначеної інтегралу. Теорема про сукупність первісних. Властивості невизначеного інтегралу. Таблиця інтегралів.

Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо на цьому проміжку функція F(x) безперервна, і в кожній внутрішньої точкипроміжку справедливо рівність: F'(x) = f(x)

Теорема 1. Якщо функція F(x) має на проміжку первинну F(x), то всі функції виду F(x)+C будуть для неї першорядними на тому ж проміжку. Назад, будь-яка первісна Ф(x) для функції y = f(x) може бути представлена ​​у вигляді Ф(x) = F(x)+C, де F(x) - одна з первісних функційа C - довільна постійна.

Доведення:

За визначенням первісної маємо F'(x) = f(x). Враховуючи, що похідна постійної дорівнює нулю, отримуємо

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). Це і означає, що F(x)+C є первісною для y = f(x). Покажемо тепер, що якщо функція y = f(x) задана на деякому проміжку і F(x) - одна з її першоподібних, то Ф (x) може бути представлена ​​у вигляді

Насправді, за визначенням першорядної маємо

Ф'(x) = F(x)+C та F'(x) = f(x).

Але дві функції, що мають на проміжку рівні похідні, відрізняються один від одного лише на постійне доданок. Отже, Ф(x) = F(x)+C, що потрібно було довести.

Визначення.

Сукупність всіх первісних функції y = f(x) на заданому проміжку називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається ∫f(x)dx = F(x)+C

Функція f(x) називається підінтегральною функцією, а добуток f(x)*dx - підінтегральним виразом.

Часто кажуть: "взяти невизначений інтеграл" або "обчислити невизначений інтеграл", розуміючи під цим наступне: знайти безліч всіх первісних для підінтегральної функції,

Властивості невизначеного інтегралу

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Таблиця інтегралів

Інтегрування підстановкою та частинами в невизначеному інтегралі.

Метод інтегрування підстановкоюполягає у введенні нової змінної інтегрування(Тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтегралу, який є табличним або зводиться до нього (у разі «вдалої» підстановки). Загальних методівпідбору підстановок немає.

Нехай потрібно обчислити інтеграл ∫f(x)dx. Зробимо підстановку х = φ (t), де φ (t) - функція, що має безперервну похідну. Тоді dx=φ"(t) dt і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'(t)dt Ця формула також називається формулою Після знаходження інтеграла правої частини цієї рівності слід перейти від нової змінної інтегрування t назад до змінної х.

Метод інтегрування частинами

Нехай u=u(х) і ν=v(х) - функції безперервні похідні. Тоді d(uv)=u dv+v du.

Інтегруючи цю рівність, отримаємо ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu або

∫udv =uv - ∫vdu

Отримана формула називається формулою інтегрування частинами. Вона дає можливість звести обчислення інтеграла ∫udv до обчислення інтеграла ∫vdu, який може виявитися значно простішим, ніж вихідний.

Раніше ми по заданої функції, керуючись різними формулами та правилами, знаходили її похідну. Похідна має численні застосування: це швидкість руху (або узагальнюючи швидкість протікання будь-якого процесу); кутовий коефіцієнтщо стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; вона допомагає вирішувати завдання оптимізацію.

Але поряд із завданням про знаходження швидкості за відомим законом руху зустрічається і зворотне завдання- Завдання про відновлення закону руху по відомій швидкості. Розглянемо одне з таких завдань.

приклад 1.По прямій рухається матеріальна точка, Швидкість її руху в момент часу t задається формулою v = gt. Знайти закон руху.
Рішення. Нехай s = s(t) – шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = v(t). Значить, для вирішення задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює gt. Неважко здогадатися, що \(s(t) = \frac(gt^) 2) (2) \).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt \)
Відповідь: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Насправді завдання має безліч рішень: будь-яка функція виду \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), де C - довільна константа, може служити законом руху, оскільки \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад при t = 0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 , то з рівності s(t) = (gt 2)/2 + C одержуємо: s(0) = 0 + С, тобто C = s 0 . Тепер закон руху визначено однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення, наприклад: зведення в квадрат (х 2) та витяг квадратного кореня(\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) і арксинус (arcsin x) і т. д. Процес знаходження похідної за заданою функцією називають диференціюванням, А зворотну операцію, тобто процес знаходження функції за заданою похідною, - інтегруванням.

Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «по-житейськи»: функція у = f(x) «виробляє світ» нову функціюу "= f"(x). Функція у = f(x) виступає хіба що як «батька», але математики, природно, не називають її «батьком» чи «виробником», вони кажуть, що це стосовно функції у" = f"(x) , первинний образ, або первісна.

Визначення.Функцію y = F(x) називають первісною для функції y = f(x) на проміжку X, якщо для (x \ in X \) виконується рівність F"(x) = f(x)

Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).

Наведемо приклади.
1) Функція у = х 2 є первісною для функції у = 2х, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 2) "= 2х
2) Функція у = х 3 є первісною для функції у = 3х 2, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 3) "= 3х 2
3) Функція у = sin(x) є первісною для функції y = cos(x), оскільки для будь-якого x справедлива рівність (sin(x))" = cos(x)

При знаходженні первісних, як і похідних, використовуються як формули, а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.

Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 1.Первісна сума дорівнює сумі первісних.

Ми знаємо, що множник можна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 2Якщо F(x) - первісна для f(x), то kF(x) - первісна для kf(x).

Теорема 1.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x), то першорядною для функції у = f(kx + m) служить функція \(y=\frac(1)(k)F(kx+m) \)

Теорема 2.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x) на проміжку X, то у функції у = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд y = F(x) + C.

Методи інтегрування

Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод інтегрування підстановкою полягає у запровадженні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Загальних методів підбору підстановок немає. Вміння правильно визначити підстановку набуває практики.
Нехай потрібно обчислити інтеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Зробимо підстановку \(x= \varphi(t) \) де \(\varphi(t) \) - функція, що має безперервну похідну.
Тоді \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)

Інтегрування виразів виду \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Якщо m непарне, m > 0, то зручніше зробити підстановку sin x = t.
Якщо n непарне, n > 0, зручніше зробити підстановку cos x = t.
Якщо n і m парні, зручніше зробити підстановку tg x = t.

Інтегрування частинами

Інтегрування частинами - застосування наступної формули для інтегрування:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
або:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$