Рівна градусна. Градусний захід дуги кола

Кутом називається фігура, яка складається з точки - вершини кута та двох різних напівпрямих, що виходять з цієї точки, - сторін кута (рис. 14). Якщо сторони кута є додатковими променями, то кут називається розгорнутим.

Кут позначається або зазначенням його вершини, або зазначенням його сторін, або зазначенням трьох точок: вершини та двох точок на сторонах кута. Слово «кут» іноді заміняють

символом Кут малюнку 14 можна позначити трьома способами:

Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута якщо він виходить з його вершини і перетинає якийсь відрізок з кінцями на сторонах кута.

На малюнку 15 промінь проходить між сторонами кута так як він перетинає відрізок

У разі розгорнутого кута будь-який промінь, що виходить з його вершини і відрізняється від його сторін, проходить між сторонами кута.

Кути вимірюються у градусах. Якщо взяти розгорнутий кут і розділити його на 180 рівних кутівто градусний західкожного із цих кутів називається градусом.

Основні властивості вимірювання кутів виражені в наступній аксіомі:

Кожен кут має певний градусний захід, велику нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Це означає, що якщо промінь з проходить між сторонами кута, то кут дорівнює сумі кутів.

Градусний захід кута знаходиться за допомогою транспортира.

Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом. Кут, менший за 90°, називається гострим кутом. Кут, більший за 90° і менший за 180°, називається тупим.

Сформулюємо основну властивість відкладання кутів.

Від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим 180°, і тільки один.

Розглянемо напівпряму а. Продовжимо її за початкову точку А. Отримана пряма розбиває площину на дві напівплощини. На малюнку 16 показано, як за допомогою транспортира відкласти від напівпрямої а у верхню напівплощину кут з даною градусною мірою 60°.

Т. 1. 2. Якщо від даної напівпрямої відкласти в одну напівплощину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної напівпрямої, проходить між сторонами більшого кута.

Нехай - кути, відкладені від даної напівпрямої, а в одну напівплощину, і нехай кут менше кута. У теоремі 1. 2 стверджується, що промінь проходить між сторонами кута (рис. 17).

Бісектриса кута називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між сторонами і ділить кут навпіл. На малюнку 18 промінь - бісектриса кута

У геометрії існує поняття плоского кута. Плоським кутом називається частина площини, обмежена двома різними променями, що виходять із однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута. Існують два плоскі кути з цими сторонами. Вони називаються додатковими. На малюнку 19 заштрихований один із плоских кутів зі сторонами а і

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Основні терміни

Чи добре ти пам'ятаєш усі назви, пов'язані з колом? Про всяк випадок нагадаємо - дивись на картинки - освіжай знання.

Ну, по-перше - центр кола - така точка, відстані від якої до всіх точок кола однакові.

По-друге - радіус - відрізок, що з'єднує центр та точку на колі.

Радіусів дуже багато (стільки ж, скільки і точок на колі), але довжина у всіх радіусів – однакова.

Іноді для стислості радіусомназивають саме довжину відрізка«Центр - точка на колі», а не сам відрізок.

А ось що вийде, якщо з'єднати дві точки на колі? Теж відрізок?

Так от, цей відрізок називається «Хорда».

Так само, як і у випадку з радіусом, діаметром часто називають довжину відрізка, що з'єднує дві точки на колі і проходить через центр. До речі, а як пов'язані діаметр та радіус? Подивись уважно. Звичайно ж, радіус дорівнює половині діаметра.

Крім хорд бувають ще й січучі.

Згадали найпростіше?

Центральний кут – кут між двома радіусами.

А тепер – вписаний кут

Вписаний кут - кут між двома хордами, які перетинаються в точці на колі.

У цьому кажуть, що вписаний кут спирається на дугу (чи хорду) .

Дивись на картинку:

Вимірювання дуг та кутів.

Довжина окружності. Дуги та кути вимірюються в градусах та радіанах. Спершу про градуси. Для кутів проблем немає – потрібно навчитися виміряти дугу у градусах.

Градусна міра (величина дуги) – це величина (у градусах) відповідного центрального кута

Що означає слово «відповідного»? Дивимося уважно:

Бачиш дві дуги і два центральні кути? Ну от більшій дузі відповідає більший кут (і нічого страшного, що він більше), а меншій дузі відповідає менший кут.

Отже, домовилися: у дузі міститься стільки ж градусів, скільки у відповідному центральному куті.

А тепер про страшне – про радіани!

Що це за звір такий «радіан»?

Уяви собі: радіани – це спосіб вимірювання кута … в радіусах!

Кут завбільшки радіан - такий центральний кут, Довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

Тоді виникає питання – а скільки ж радіан у розгорнутому вугіллі?

Іншими словами: скільки радіусів «міститься» о пів на коло? Або ще по-іншому: у скільки разів довжина половини кола більша за радіус?

Цим питанням задавалися вчені ще Стародавню Грецію.

І ось, після довгих пошуків вони виявили, що відношення довжини кола до радіусу ніяк не хоче висловлюватись «людськими» числами на зразок і т.п.

І навіть не виходить висловити це ставлення через коріння. Тобто, виявляється, не можна сказати, що половина кола в рази чи в раз більше радіусу! Уявляєш, як дивно це було виявити людям уперше?! Для відношення довжини половини кола до радіусу вистачило «нормальних» чисел. Довелося вводити букву.

Отже, - це число, що виражає відношення довжини півкола до радіусу.

Тепер ми можемо відповісти на запитання: скільки радіан у вугіллі? У ньому радіан. Саме тому, що половина кола в раз більше радіусу.

Стародавні (і не дуже) люди протягом століть (!) спробували точніше підрахувати це загадкове число, краще висловити його (хоч приблизно) через «звичайні» числа. А ми зараз до неможливості ліниві – нам достатньо двох знаків після зайнятої, ми звикли, що

Задумайся, це означає, наприклад, що y кола з радіусом одиниця довжина приблизно дорівнює, а точно цю довжину просто неможливо записати «людським» числом – потрібна буква. І тоді ця довжина кола виявиться рівною. І звичайно, довжина кола радіуса дорівнює.

Повернемося до радіанів.

Ми вже з'ясували, що в розгорнутому вугіллі міститься радіан.

Що маємо:

Значить, радий, тобто радий. Так само виходить табличка з найбільш популярними кутами.

Співвідношення між величинами вписаного та центрального кутів.

Має місце дивовижний факт:

Розмір вписаного кута вдвічі менше, ніж величина відповідного центрального кута.

Подивися, як це твердження виглядає на картинці. "Відповідний" центральний кут такий, у якого кінці збігаються з кінцями вписаного кута, а вершина в центрі. І при цьому "відповідний" центральний кут повинен "дивитися" на ту ж хорду (), що і вписаний кут.

Чому так? Давай розберемося спочатку на простому випадку. Нехай одна з хорд проходить через центр. Адже буває так іноді, вірно?

Що ж тут виходить? Розглянемо. Він рівнобедрений - адже й - радіуси. Значить (позначили їх).

Тепер подивимося. Це ж зовнішній кут! Згадуємо, що зовнішній кут дорівнює сум двох внутрішніх, не суміжних із ним, і записуємо:

Тобто! Несподіваний ефект. Але є центральний кут для вписаного.

Значить, для цього випадку довели, що центральний кут вдвічі більший за вписаний. Але аж надто окремий випадок: Правда ж, далеко не завжди хорда проходить прямо через центр? Але нічого, зараз цей окремий випадок нам дуже допоможе. Дивись: другий випадок: нехай центр лежить усередині.

Давай зробимо ось що: проведемо діаметр. І тоді… бачимо дві картинки, які вже розбирали у першому випадку. Тому вже маємо, що

Значить, (на кресленні, а)

Ну ось, і лишився останній випадок: центр поза кутом.

Робимо те саме: проводимо діаметр через точку. Все те саме, але замість суми - різниця.

От і все!

Давай тепер сформуємо два головні і дуже важливі наслідки із твердження про те, що вписаний кут вдвічі менший від центрального.

Наслідок 1

Усі вписані кути, які спираються однією дугу, рівні між собою.

Ілюструємо:

Вписаних кутів, що спираються на ту саму дугу (у нас ця дуга) - безліч, вони можуть виглядати зовсім по-різному, але у них у всіх той самий центральний кут (), а значить, всі ці вписані кути рівні між собою.

Наслідок 2

Кут, що спирається на діаметр – прямий.

Дивись: який кут є центральним для?

Звісно, ​​. Але він рівний! Ну ось, тому (а також ще безліч вписаних кутів, що спираються на) і дорівнює.

Кут між двома хордами та січними

А що, якщо кут, що нас цікавить, НЕ вписаний і НЕ центральний, а, наприклад, такий:

чи такий?

Чи можна його якось висловити через якісь центральні кути? Виявляється, можна. Дивись: нас цікавить.

a) (як зовнішній кут). Але – вписаний, спирається на дугу – . - Вписаний, спирається на дугу - .

Для краси кажуть:

Кут між хордами дорівнює напівсумі кутових величин дуг, укладених у цей кут.

Так пишуть для стислості, але, звичайно, при використанні цієї формули потрібно мати на увазі центральні кути.

b) А тепер – «зовні»! Як же бути? Так майже так само! Тільки тепер (знов застосовуємо властивість зовнішнього кута). Тобто тепер.

Отже, . Наведемо красу та стислість у записах та формулюваннях:

Кут між січними дорівнює напіврізності кутових величин дуг, укладених у цей кут.

Ну ось, тепер ти озброєний усіма основними знаннями про кути, пов'язані з колом. Вперед на штурм завдань!

ОКРУЖНІСТЬ І ВПИСАНИЙ КУТ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке коло, знає і п'ятирічна дитина, чи не так? У математиків, як завжди, на цей рахунок є хитромудре визначення, але ми його наводити не будемо (дивися), а краще згадаємо, як називаються точки, лінії та кути, пов'язані з колом.

Важливі терміни

Ну, по-перше:

центр кола- Така точка, відстані від якої до всіх точок кола однакові.

По-друге:

Тут є ще один прийнятий вислів: «хорд стягує дугу». Ось тут на малюнку, наприклад, хорда стягує дугу. А якщо хорда раптом проходить через центр, то має спеціальну назву: «діаметр».

До речі, а як пов'язані діаметр та радіус? Подивись уважно. Звичайно ж,

А тепер – назви для кутів.

Природно, чи не так? Сторони кута виходять із центру – отже, кут – центральний.

Ось тут іноді виникають складнощі. Зверни увагу - НЕ БУДЬ-ЯКИЙ кут всередині кола - вписаний,а тільки такий, у якого вершина «сидить» на самому колі.

Давай побачимо різницю на картинках:

Інакше ще кажуть:

Тут є один хитрий момент. Що таке «відповідний» чи «свій» центральний кут? Просто кут з вершиною в центрі кола та кінцями у кінцях дуги? Не зовсім так. Подивися на малюнок.

Один з них, щоправда, і на кут не схожий - він більше. Але це в трикутнику не може бути кутів більше, а в колі цілком може! Так ось: меншій дузі AB відповідає менший кут (помаранчевий), а більшій – більший. Просто як, чи не так?

Співвідношення між величинами вписаного та центрального кута

Запам'ятай дуже важливе твердження:

У підручниках цей факт люблять записувати так:

Щоправда, із центральним кутом формулювання простіше?

Але все ж таки давай знайдемо відповідність між двома формулюваннями, а заразом навчимося знаходити на малюнках «відповідний» центральний кут і дугу, на яку «спирається» вписаний кут.

Дивись: ось коло та вписаний кут:

Де ж його «відповідний» центральний кут?

Знову дивимося:

Яке правило?

Але! При цьому важливо, щоб вписаний і центральний кут дивилися з одного боку на дугу. Ось наприклад:

Як не дивно, блакитний! Тому що дуга-то довга, довша за половину кола! От і не блукай ніколи!

Яке ж слідство можна вивести із «половинчастості» вписаного кута?

А ось, наприклад:

Кут, що спирається на діаметр

Ти вже встиг помітити, що математики дуже люблять про те саме говорити різними словами? Для чого це їм? Розумієш, мова математики хоч і формальна, але жива, а тому, як і в звичайною мовою, щоразу хочеться сказати так, як зручніше. Ну ось що таке «кут спирається на дугу» ми вже бачили. І уяви собі, та сама картина називається «кут спирається на хорду». На яку? Так, звичайно, на ту, яка стягує цю дугу!

Коли спиратися на хорду зручніше, ніж на дугу?

Ну, зокрема, коли ця хорда – діаметр.

Для такої ситуації є напрочуд просте, красиве та корисне твердження!

Ось коло, діаметр і кут, який на нього спирається.

ОКРУЖНІСТЬ І ВПИСАНИЙ КУТ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Основні поняття.

3. Вимірювання дуг та кутів.

Кут величиною радіан - такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

Це число, що виражає відношення довжини півкола до радіусу.

Довжина кола радіуса дорівнює.

4. Співвідношення між величинами вписаного та центрального кутів.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Інструкція

Дуга - це частина кола, укладена між двома точками, що лежать на цьому колі. Будь-яку дугу можна виразити через числові значення. Її головною характеристикоюНарівні з довгою є значення градусної міри.

Але при виділенні на колі однієї дуги утворюється інша. Тому для того, щоб однозначно розуміти, про яку дугу йдеться, відзначте на обраній дузі ще одну точку, наприклад, С. Тоді набуде вигляду АВС.

Відрізок, який утворюється двома точками, що обмежують дугу, є хордою.

Градусний захід дуги можна знайти через значення вписаного кута, який, маючи точку вершини на самому колі, спирається на цю дугу. Такий кут називається вписаним, і його градусна міра дорівнює половині дуги, на яку він спирається.

Також у колі існує центральний кут. Він також упирається на дугу, а його вершина знаходиться вже не на колі, а в центрі. І його числове значенняі вже не половині градусної міри дуги, та її цілого значення.

Зрозумівши, як обчислюється дуга через кут, що спирається на неї, можна застосувати цей закон в зворотному напрямкуі вивести правило, що вписаний кут, що спирається на діаметр, є прямим. Так як діаметр ділить коло на дві рівні частини, значить, кожна з дуг має значення 180 градусів. Отже, вписаний кут дорівнює 90 градусів.

Також, виходячи зі способу пошуку градусного значення дуги, справедливо правило, що кути, що спираються на одну дугу, мають рівне значення.

Значення градусної міри дуги часто застосовується для обчислення довжини кола або самої дуги. Для цього використовуйте формулу L=π*R*α/180.

Слово «» має різні тлумачення. У геометрії кут – це частина площини, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки – вершини. Коли мова йдепро прямі, гострі, розгорнуті кути, то маються на увазі саме геометричні кути.

Як і будь-які фігури у геометрії, кути можна порівнювати. Рівність кутів визначається за допомогою руху. Кут легко розділити на дві рівні частини. Розділити на три частини трохи складніше, але все ж таки це можна зробити за допомогою лінійки та циркуля. До речі, це завдання здавалося досить важким. Описати, що один кут більший або менший за інший, геометрично нескладно.

Як одиниця виміру кутів прийнятий – 1/180 розгорнутого кута. Величина кута – це число, що показує, коли кут, обраний за одиницю виміру, укладається в аналізованої формі.

Кожен кут має градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180 градусів. Градусний захід кута вважається рівної суміградусних заходів кутів, куди він розбивається будь-яким променем на площині, обмеженої його сторонами.

Від будь-якого променя в задану площинуможна відкласти кут з деякою градусною мірою, що не перевищує 180 . Причому такий кут буде лише один. Мірою плоского кута, який є частиною напівплощини, вважається градусна міра кута з аналогічними сторонами. Мірою площини кута, що містить напівплощину, є значення 360 - α, де - градусна міра додаткового плоского кута.

Градусна міра кута дає можливість перейти від геометричного їх опису до числового. Так, під прямим кутом розуміється кут, рівний 90 градусів, тупий кут - це кут, менше 180 градусів, але більше 90 градусів, гострий кутне перевищує 90 градусів.

Крім градусної, існує радіальний захід кута. У планіметрії довжина L, радіус – r, а відповідний центральний кут – α. Ці параметри пов'язані співвідношенням α = L/r. Ця є основою радіанної міри виміру кутів. Якщо L=r, то кут α дорівнює одному радіану. Отже, радіальний захід кута – це відношення довжини дуги, проведеної довільним радіусом і укладеної між сторонами цього кута, до радіуса дуги. Повний оборотв градусному вимірі(360 градусів) відповідає 2π у радіанному. Один 57,2958 градусів.

Відео на тему

Джерела:

• градусний захід кутів формула

Вимір величин плоских в градусах придумали в стародавньому Вавилоні задовго до початку нашої ери. Жителі цієї держави надавали перевагу шістдесятковій системі обчислення, тому розподіл кутів на 180 або 360 одиниць сьогодні виглядає трохи дивно. Втім, пропоновані в сучасної системиСІ одиниці виміру, кратні числу Пі, не менш дивні. Цими двома варіантами не обмежуються позначення кутів, що використовуються сьогодні, тому завдання переведення їх величин у градусну міру виникає досить часто.

Інструкція

Якщо градусну міру потрібно перевести величину кута в радіанах, виходьте з того, що одному градусу відповідає число радіан, що дорівнює 1/180 частці числа Пі. Ця математична константа має нескінченну кількість знаків після коми, тому й коефіцієнт перекладу теж є нескінченним десятковим дробом. Це абсолютно точного значення у форматі десяткового дробуотримати не вийде, тож коефіцієнт перекладу потрібно округлити. Наприклад, при точності в одну мільярдну частку одиниці розрахунковий коефіцієнт дорівнюватиме 0,017453293. Після заокруглення до потрібного числа знаків, розділіть на цей коефіцієнт вихідне число радіан, і ви отримаєте градусну міру кута.

Градусний захід кута. Радіанний захід кута. Переведення градусів у радіани та назад.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми опанували відлік кутів на тригонометричному колі. Дізналися, як відраховувати позитивні та негативні кути. Усвідомили, як намалювати кут понад 360 градусів. Настав час розібратися з виміром кутів. Особливо з числом "Пі", яке так і норовить заплутати нас у хитрих завданнях, та...

Стандартні завдання тригонометрії з числом "Пі" вирішуються непогано. Зорова пам'ять рятує. А ось будь-яке відхилення від шаблону – валить наповал! Щоб не впасти - розумітитреба. Що ми з успіхом зараз і зробимо. У сенсі – все зрозуміємо!

Отже, у чому вважаються кути? У шкільному курсітригонометрії використовуються два заходи: градусний захід кутаі радіальний захід кута. Розберемо ці заходи. Без цього у тригонометрії – нікуди.

Градусний захід кута.

До градусів ми якось звикли. Геометрію сяк-так проходили... Та й у житті частенько зустрічаємося з фразою "повернув на 180 градусів", наприклад. Градус, коротше, штука проста...

Так? Дайте відповідь мені тоді, що таке градус? Що, не виходить із ходу? Отож...

Градуси придумали у Стародавньому Вавилоні. Давненько це було... Віків 40 тому... І придумали просто. Взяли та розбили коло на 360 рівних частин. 1 градус - це 1/360 частина кола. І все. Могли розбити на 100 частин. Або на 1000. Але розбили на 360. До речі, чому саме на 360? Чим 360 краще за 100? 100, начебто якось рівніше... Спробуйте відповісти на це питання. Або слабо проти Стародавнього Вавилону?

Десь у той же час, у Стародавньому Єгиптімучилися іншим питанням. У скільки разів довжина кола більша за довжину її діаметра? І так вимірювали, і так... Все виходило трохи більше трьох. Але якось кудлато виходило, нерівно... Але вони, єгиптяни не винні. Після них ще століть 35 мучилися. Поки що остаточно не довели, що як би дрібно не нарізати коло на рівні шматочки, з таких шматочків скласти рівнодовжину діаметра не можна... У принципі, не можна. Ну, скільки разів коло більше діаметра встановили, звичайно. Приблизно. У 3,1415926... разів.

Це і є число "Пі". Ось уже кудлате, так кудлате. Після коми - нескінченна кількість цифр без жодного порядку... Такі числа називаються ірраціональними. Це, до речі, і означає, що з рівних шматочків кола діаметр рівноне скласти. Ніколи.

Для практичного застосуванняприйнято запам'ятовувати лише дві цифри після коми. Запам'ятовуємо:

Раз ми зрозуміли, що довжина кола більше діаметра в "Пі" раз, має сенс запам'ятати формулу довжини кола:

Де L- Довжина кола, а d- Її діаметр.

У геометрії знадобиться.

Для загальної освітидодам, що число "Пі" сидить не тільки в геометрії ... У різних розділах математики, а особливо в теорії ймовірності, це число виникає постійно! Само собою. Поза нашими бажаннями. Ось так.

Але повернемося до градусів. Ви зрозуміли, чому у Стародавньому Вавилоні коло розбили на 360 рівних частин? А чи не на 100, наприклад? Ні? Ну добре. Висловлю версію. У стародавніх вавилонян не спитаєш... Для будівництва, чи, скажімо, астрономії, коло зручно ділити на рівні частини. А тепер прикиньте, на які цифри ділиться націло 100, і на які – 360? І в якому варіанті цих дільників націло- Більше? Людям такий поділ дуже зручний. Але...

Як з'ясувалося набагато пізніше Стародавнього Вавилону, не всім подобаються градуси. Вищій математиці вони не подобаються... Вища математика- Жінка серйозна, за законами природи влаштована. І ця жінка заявляє: "Ви сьогодні на 360 частин коло розбили, завтра на 100 розіб'єте, післязавтра на 245... І що мені робити? Ні вже..." Довелося послухатися. Природу не обдуриш...

Довелося запровадити міру кута, що не залежить від людських вигадок. Знайомтесь - радіан!

Радіанний захід кута.

Що таке радіан? В основі визначення радіана – все одно коло. Кут в 1 радіан, це кут, який вирізує з кола дугу, довжина якої ( L) дорівнює довжині радіусу ( R). Дивимося картинки.

Маленький такий кут, майже немає його... Наводимо курсор на картинку (або торкнемося картинки на планшеті) і бачимо приблизно один радіан. L = R

Відчуваєте різницю?

Один радіан набагато більший за один градус. А скільки разів?

Дивимося таку картинку. На якій я намалював півколо. Розгорнутий кут розміром, звичайно, 180°.

А тепер я наріжу це півколо радіанами! Наводимо курсор на картинку і бачимо, що 180° укладається 3 з хвостиком радіана.

Хто вгадає, чому дорівнює цей хвостик!

Так! Цей хвостик - 0,1415926.... Здрастуйте, число "Пі", ми тебе ще не забули!

Справді, в 180 градусах укладається 3,1415926... радіан. Як ви самі розумієте, постійно писати 3,1415926... незручно. Тому замість цього нескінченного числа завжди пишуть просто:

А ось в Інтернеті число

писати незручно... Тому я в тексті пишу його на ім'я - "Пі". Не заплутаєтеся, мабуть?

Ось тепер цілком осмислено можна записати наближену рівність:

Або точну рівність:

Визначимо, скільки градусів в одному радіані. Як? Легко! Якщо в 3,14 радіанах 180 градусів, то в 1 радіані в 3,14 разів менше! Тобто ми ділимо перше рівняння (формула - це теж рівняння!) на 3,14:

Це співвідношення корисно запам'ятати В одному радіані приблизно 60 °. У тригонометрії дуже часто доводиться прикидати, оцінювати ситуацію. Ось тут це знання дуже допомагає.

Але головне вміння цієї теми – переведення градусів у радіани і назад.

Якщо кут заданий у радіанах із числом "Пі", все дуже просто. Ми знаємо, що "Пі" радіан = 180 °. Ось і підставляємо замість "Пі" радіан – 180°. Отримуємо кут у градусах. Скорочуємо, що скорочується, і відповідь готова. Наприклад, нам потрібно з'ясувати, скільки градусіву куті "Пі"/2 радіан? Ось і пишемо:

Або, більш екзотичний вираз:

Чи легко, так?

Зворотний переклад трохи складніший. Але не дуже. Якщо кут дано в градусах, ми повинні зрозуміти, чому дорівнює один градус у радіанах, і помножити це число на кількість градусів. Чому дорівнює 1° у радіанах?

Дивимося на формулу і розуміємо, що якщо 180 ° = "Пі" радіан, то 1 ° в 180 разів менше. Або, іншими словами, ділимо рівняння (формула - це теж рівняння!) на 180. Уявляти "Пі" як 3,14 ніякої потреби немає, його все одно завжди буквою пишуть. Отримуємо, що один градус дорівнює:

От і все. Помножуємо число градусів на це значення та отримуємо кут у радіанах. Наприклад:

Або, аналогічно:

Як бачите, у неспішній бесіді з ліричними відступамиз'ясувалося, що радіани – це дуже просто. Та й переклад без проблем... І "Пі" - цілком толерантна штука... То звідки плутанина!?

Незабаром таємницю. Справа в тому, що в тригонометричних функціях значок градусів пишеться. Завжди. Наприклад, sin35 °. Це синус 35 градусів . А значок радіанів ( радий) – не пишеться! Він мається на увазі. Чи ліньки математиків охопила, чи ще що... Але вирішили не писати. Якщо всередині синуса – котангенса немає жодних значків, то кут – у радіанах ! Наприклад, cos3 - це косинус трьох радіанів .

Це і призводить до незрозумілих... Людина бачить "Пі" і вважає, що це 180°. Завжди і скрізь. Це, до речі, спрацьовує. До певного часу, поки приклади - стандартні. Але "Пі" – це число! Число 3,14, а ніякі не градуси! Це "Пі" радіан = 180 °!

Ще раз: "Пі" - це число! 3,14. Ірраціональне, але число. Таке саме, як 5 або 8. Можна, наприклад, зробити приблизно "Пі" кроків. Три кроки і ще трішки. Або купити "Пі" кілограмів цукерок. Якщо продавець освічений попадеться...

"Пі" – це число! Що, дістав я вас цією фразою? Ви вже давно зрозуміли? Ну добре. Перевіримо. Скажіть, яке число більше?

Або що менше?

Це із серії трохи нестандартних питань, які можуть і у ступор увігнати...

Якщо ви теж у ступор впали, згадуємо заклинання: "Пі" – це число! 3,14. У першому синусі чітко зазначено, що кут - у градусах! Отже, замінювати "Пі" на 180 ° - не можна! "Пі" градусів - це приблизно 3,14 °. Отже, можна записати:

У другому синусі позначень жодних немає. Значить, там - радіани! Ось тут заміна "Пі" на 180 ° цілком прокотить. Перекладаємо радіани в градуси, як написано вище, отримуємо:

Залишилося порівняти ці два синуси. Що. забули, як? За допомогою тригонометричного кола, звичайно! Малюємо коло, малюємо зразкові кути в 60 ° і 1,05 °. Дивимося, які синуси у цих кутів. Коротше, все, як наприкінці теми про тригонометричне коло розписано. На колі (навіть самому кривому!) буде чітко видно, що sin60°значно більше, ніж sin1,05°.

Абсолютно аналогічно зробимо і з косинусами. На колі намалюємо кути приблизно 4 градусита 4 радіана(Не забули, чому приблизно дорівнює 1 радіан?). Коло все й скаже! Звичайно, cos4 менше cos4 °.

Потренуємося у поводженні з заходами кута.

Переведіть ці кути із градусної міри в радіальну:

360 °; 30 °; 90 °; 270 °; 45 °; 0 °; 180 °; 60°

У вас мають вийти такі значення в радіанах (в іншому порядку!)

0

Я, між іншим, спеціально виділив відповіді у два рядки. Ану, зрозуміємо, що за кути в першому рядку? Хоч у градусах, хоч у радіанах?

Так! Це осі системи координат! Якщо дивитися по тригонометричному колу, то рухома сторона кута при цих значеннях точно потрапляє на осі. Ці значення слід знати залізно. І кут 0 градусів (0 радіан) я відзначив недаремно. А то деякі цей кут ніяк на колі знайти не можуть... І, відповідно, у тригонометричних функціях нуля плутаються... Інша річ, що положення рухомої сторони в нулі градусів збігається зі становищем у 360°, так збіги на колі - суцільно. поряд.

У другому рядку - теж кути спеціальні... Це 30 °, 45 ° і 60 °. І що у них такого спеціального? Особливо – нічого. Єдина відмінність цих кутів від решти - саме про ці кути ви повинні знати всі. І де вони розташовуються, і які у цих кутів тригонометричні функції. Скажімо, значення sin100°ви знати не повинні. А sin45°- Будьте люб'язні! Це обов'язкові знання, без яких у тригонометрії нема чого робити... Але про це докладніше - у наступному уроці.

А поки що продовжимо тренування. Переведіть ці кути з радіанної міри в градусну:

У вас повинні вийти такі результати (безладно):

210 °; 150 °; 135 °; 120 °; 330 °; 315 °; 300 °; 240 °; 225 °.

Вийшло? Тоді можна вважати, що переведення градусів у радіани і назад- вже не ваша проблема.) Але переклад кутів - це перший крок до осягнення тригонометрії. Там же ще із синусами-косинусами працювати треба. Та й із тангенсами, котангенсами теж...

Другий потужний крок – це вміння визначати положення будь-якого кута на тригонометричному колі. І у градусах, і в радіанах. Про це вміння я буду вам у всій тригонометрії занудно натякати, так...) Якщо ви все знаєте (або думаєте, що все знаєте) про тригонометричне коло, і відлік кутів на тригонометричному колі, можете перевіритися. Розв'яжіть ці нескладні завдання:

1. У яку чверть потрапляють кути:

45 °, 175 °, 355 °, 91 °, 355 °?

Чи легко? Продовжуємо:

2. У яку чверть потрапляють кути:

402 °, 535 °, 3000 °, -45 °, -325 °, -3000 °?

Теж без проблем? Ну, дивіться...)

3. Чи зможете розмістити по чвертях кути:

Чи змогли? Ну ви даєте..)

4. На які осі потрапить куточок:

та куточок:

Теж легко? Хм...)

5. У яку чверть потрапляють кути:

І це вийшло!? Ну, тоді я прямо не знаю...)

6. Визначити, в яку чверть попадають кути:

1, 2, 3 та 20 радіанів.

Відповідь дам тільки на останнє запитання (він трохи хитрий) останнього завдання. Кут у 20 радіанів потрапить у першу чверть.

Інші відповіді не дам не з жадібності.) Просто, якщо ви не вирішиличогось, сумніваєтесяв результаті, або на завдання №4 витратили більше 10 секунд,ви слабо орієнтуєтесь у колі. Це буде вашою проблемою у всій тригонометрії. Краще її (проблеми, а не тригонометрії!)) позбутися відразу. Це можна зробити у темі: Практична робота з тригонометричним колом у розділі 555.

Там розказано, як просто та правильно вирішувати такі завдання. Та й ці завдання вирішені, зрозуміло. І четверте завдання вирішено за 10 секунд. Так вирішено, що будь-хто зможе!

Якщо ж ви абсолютно впевнені у своїх відповідях і вас не цікавлять прості та безвідмовні способи роботи з радіанами – можете не відвідувати 555. Не наполягаю.)

Хороше розуміння- Досить вагома причина, щоб рухатися далі!)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.