Вирішувати рівняння, що зводяться до квадратних. Раціональні рівняння

Предмет

алгебра

Клас

Тема та номер уроку у темі

"Квадратні рівняння"; 14 урок

Базовий підручник

"Алгебра 8", під ред. Ш.А. Алимов та ін., Москва: Просвітництво, 2009

5. Мета уроку: закріпити алгоритми розв'язання біквадратного та дробово раціонального рівняння.

6. Завдання:

- Навчальні: знати вид біквадратного та дробово раціонального рівняння; алгоритм вирішення біквадратного

та дробово раціонального рівняння; вміти вирішувати біквадратне та дробово раціональне рівняння;

-розвиваючі : формування вміння виділяти головне, порівнювати, аналізувати та робити висновки;

формування вміння формулювати пізнавальні завдання; планувати пізнавальну діяльність;

розвивати якості особистості – працьовитість, акуратність, наполегливість у досягненні мети;

-виховні: вироблення об'єктивної оцінкисвоїх досягнень; формування відповідальності;

розвиток навичок колективної праці.

7. Тип уроку: урок закріплення знань.

8. Форми роботи учнів: фронтальна, індивідуальна;групова.

9. Необхідне технічне обладнання: комп'ютер, проектор, ВД.

ТЕХНОЛОГІЧНА КАРТА УРОКУ

Дидактичес- ська струк- туру уроку	Методична структура уроку
Дидактичес- ська струк- туру уроку		Актуалізація знань	Формування ЗУН	Закріплення	Контроль		Інструктаж домашнього
	Підготовка учнів до роботи на уроці	Забезпечити мотивацію, провести актуалізацію опорних знань та вмінь	Повторити алгоритм розв'язання біквадр. ур-й та способи вирішення дробо-рац. рівнянь	Знати алгоритм вирішення біквадр. ур-й та способи вирішення дробо-рац. рівнянь та вміння застосовувати їх на практиці	Робота у групах	Провести аналіз та оцінку успішності досягнення мети заняття та намітити перспективи подальшої роботи	Забезпечити розуміння мети, змісту та способів виконання д/з
		Ми сьогодні будемо додекаедром. Щоб закріпити грані додекаедра, потрібно вирішити певного видурівняння. Який вид рівняння навчилися вирішувати на попередніх уроках?	1.Спільно з уч-ся сформулювати мету уроку 2.Повторити алгоритм розв'язання біквадратного рівняння; умови рівності дробу 0; формулу коріння квадр. рівняння	1. Запропоновано кілька варіантів формули коріння кв. ур. - Вибрати правильну През. Л.№2 2.Встановити відповідність між етапами алгоритму та пунктами розв'язання бікв. ур-я През. Л.№3 3.Вибрати з трьох варіантів відповідей умову існування дробу През. Л.№4 4.Знайди помилку у рішенні ур. През. Л.№5	Різнорівневі за складом групи виконують завдання за картками. Додаток №1 На слайді розташовані грані додекаедра із правильними відповідями. През. л. №6. Кожній команді заздалегідь присвоєний колір, якщо команда правильно вирішила рівняння, її вибрані грані відповідатимуть її кольору в трьох місцях. Після закінчення роботи учні перевіряють результати побудови розгортки додекаедра.През.л.№7	Вчитель разом із учнями підбивають підсумок виконаної роботи.	Робота над помилками: виправити розв'язання рівнянь класної роботи, в яких були помилки
Методи навчання		Репродуктивний	Репродуктивний	Частково-пошуковий	Частково пошуковий, пошуковий, самоконтроль	Самоконтроль	Самоконтроль
Форми орг. пізнавач-		Фронтальна	Фронтальна	Фронтальна	Групова	Індивідуальна, фронтальна	Фронтальна
Реальний результат	Всі уч-ся включилися в робочу обстановку	Учні підготувалися до активної навчально- пізнавальної діяльності	Уч-ся познайомилися з рівняннями, що зводяться до квадратних та способами їх вирішення	Учні знають, як розв'язувати рівняння, що зводяться до квадратних	Уч-ся складено уявлення про ступінь засвоєння ними вивченого матеріалу, про досягнення та прогалини у вивченій темі	Уч-ся проведено самооцінку знань і умінь на тему, зроблено висновок про результат своєї роботи	Створено умови для виконання домашньої роботи

У цій статті я покажу вам алгоритми вирішення семи типів раціональних рівнянь , які за допомогою заміни змінних зводяться до квадратних. У більшості випадків перетворення, що призводять до заміни, дуже нетривіальні, і самостійно про них здогадатися досить важко.

Для кожного типу рівнянь я поясню, як у ньому робити заміну змінною, а потім у відповідному відеоуроці покажу детальне рішення.

У вас є можливість продовжити розв'язання рівнянь самостійно, а потім звірити своє рішення із відеоуроком.

Тож почнемо.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Зауважимо, що у лівій частині рівняння стоїть твір чотирьох дужок, а правій - число.

1. Згрупуємо дужки по дві так, щоб сума вільних членів була однаковою.

2. Перемножити їх.

3. Введемо заміну змінної.

У нашому рівнянні згрупуємо першу дужку з третьою, а другу з четвертою, оскільки (-1)+(-4)=(-7)+2:

У цьому місці заміна змінної стає очевидною:

Отримуємо рівняння

Відповідь:

2 .

Рівняння цього типу схоже на попереднє з однією відмінністю: у правій частині рівняння стоїть твір числа на . І вирішується воно зовсім інакше:

1. Групуємо дужки по дві так, щоб добуток вільних членів був однаковим.

2. Перемножуємо кожну пару дужок.

3. З кожного множника виносимо за дужку х.

4. Ділимо обидві частини рівняння на .

5. Вводимо заміну змінної.

У цьому рівнянні згрупуємо першу дужку з четвертою, а другу з третьою, тому що :

Зауважимо, що у кожній дужці коефіцієнт при і вільний член однакові. Винесемо з кожної дужки множник:

Оскільки х=0 перестав бути коренем вихідного рівняння, розділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо:

Отримаємо рівняння:

Відповідь:

3 .

Зауважимо, що у знаменниках обох дробів стоять квадратні тричлени, які мають старший коефіцієнт і вільний член однакові. Винесемо, як і в рівнянні другого типу х за дужку. Отримаємо:

Розділимо чисельник та знаменник кожного дробу на х:

Тепер можемо ввести заміну змінної:

Отримаємо рівняння щодо змінної t:

4 .

Зауважимо, що коефіцієнти рівняння симетричні щодо центрального. Таке рівняння називається зворотним .

Щоб його вирішити,

1. Розділимо обидві частини рівняння на (Ми можемо це зробити, тому що х = 0 не є коренем рівняння.) Отримаємо:

2. Згрупуємо доданки таким чином:

3. У кожній групі винесемо за дужку загальний множник:

4. Введемо заміну:

5. Виразимо через t вираз:

Звідси

Отримаємо рівняння щодо t:

Відповідь:

5. Однорідні рівняння.

Рівняння, що мають структуру однорідного, можуть зустрітися при вирішенні показових, логарифмічних та тригонометричних рівняньтому її потрібно вміти розпізнавати.

Однорідні рівняння мають таку структуру:

У цьому рівні А, У і З - числа, а квадратиком і кружечком позначені однакові висловлювання. Тобто в лівій частині однорідного рівняння стоїть сума одночленів, які мають однаковий ступінь даному випадкуступінь одночленів дорівнює 2), і вільний член відсутній.

Для того щоб вирішити однорідне рівняння, розділимо обидві частини на

Увага! При розподілі правої та лівої частини рівняння на вираз, що містить невідоме, можна втратити коріння. Тому необхідно перевірити, чи не є коріння того виразу, на яке ми ділимо обидві частини рівняння, корінням вихідного рівняння.

Ходімо першим шляхом. Отримаємо рівняння:

Тепер ми вводимо заміну змінної:

Спростимо вираз і отримаємо біквадратне рівняння щодо t:

Відповідь:або

7 .

Це рівняння має таку структуру:

Щоб його вирішити, потрібно у лівій частині рівняння виділити повний квадрат.

Щоб виділити повний квдарат, потрібно додати або відняти вдоволений твір. Тоді ми отримаємо квадрат суми різниці. Для успішної заміни змінної це має визначальне значення.

Почнемо зі знаходження подвоєного твору. Саме воно буде ключиком для заміни змінної. У нашому рівнянні подвоєний твіродно

Тепер прикинемо, що нам зручніше мати – квадрат суми чи різниці. Розглянемо, для початку суму виразів:

Чудово! це виразі точно точно подвоєному твору. Тоді, щоб у дужках отримати квадрат суми, потрібно додати і відняти подвійний твір:

Квадратним рівнянням називається рівняння ax²+bx+c=0 де a, b, c – задані числа, a0, x -невідоме. Коефіцієнти a, b, c квадратного рівняння зазвичай називають так: a – першим чи старшим коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом, c – вільним членом. Наприклад, у рівнянні 3х2-х +2 = 0 старший (перший) коефіцієнт а = 3, другий коефіцієнт b = -1, а вільний член c = 2. Вирішення багатьох завдань математики, фізики, техніки зводиться до розв'язання квадратних рівнянь: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. При вирішенні багатьох завдань виходять рівняння, які за допомогою алгебраїчних перетвореньзводяться до квадратних. Наприклад, рівняння 2x²+3x=x²+2x+2 після перенесення всіх його членів у ліву частину та приведення подібних членів зводиться до квадратного рівняння x²+x-2=0.

Розглянемо рівняння загального вигляду: ax²+bx+c=0, де a0. Коріння рівняння знаходять за формулою: Вираз називають дискримінантом квадратного рівняння. Якщо D 0 то рівняння має два дійсних кореня. У випадку, коли D=0, іноді говорять, що квадратне рівняння має два однакові корені.

Неповні квадратні рівняння. Якщо у квадратному рівнянні ax²+bx+c=0 другий коефіцієнт b або вільний член c дорівнюють нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Неповне квадратне рівняння може мати один з наступних видів: Неповні рівняннявиділяють тому, що для відшукання їх коріння можна не користуватися формулою коренів квадратного рівняння - простіше вирішити рівняння методом розкладання його лівої частини на множники.

Квадратне рівняння виду x 2 +px+q=0 називається наведеним. У цьому рівнянні старший коефіцієнт дорівнює одиниці: a=1. Коріння наведеного квадратного рівняння знаходиться за формулою: Цією формулою зручно користуватися, коли p – парне число. Приклад: Розв'язати рівняння x2-14x-15=0. За формулою знаходимо: Відповідь: x1=15, x2=-1.

Франсуа Вієт? Теорема Вієта. Якщо наведене квадратне рівняння x 2 +px+q=0 має дійсне коріння, їх сума дорівнює -p, а добуток дорівнює q, тобто x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q (сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, А добуток коренів дорівнює вільному члену). Дослідження зв'язку між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння.

Твердження 1: Нехай х 1 і х 2 – коріння рівняння х 2 +pх+q=0. Тоді числа х 1, х 2, p, q пов'язані рівностями: x 1 + х 2 = - p, х 1 х 2 = q Твердження 2: Нехай числа х 1, х 2, p, q пов'язані рівностями х 1 + х 2 = - p, x 1 x 2 = q. Тоді х 1 і х 2 - коріння рівняння х 2 + pх + q = 0 Наслідок: х 2 + pх + q = (х-х 1) (х-х 2). Ситуації, у яких можна використовувати теорема Вієта. Перевірка правильності знайденого коріння. Визначення знаків коріння квадратного рівняння. Усне знаходження цілого коріння наведеного квадратного рівняння. Складання квадратних рівнянь із заданим корінням. Розкладання квадратного тричленана множники.

Біквадратні рівняння Біквадратні називається рівняння виду, де a 0. Біквадратичне рівняннявирішується методом запровадження нової змінної: поклавши, отримаємо квадратне рівняння Приклад: Розв'язати рівняння x 4 +4x 2 -21=0 Поклавши x 2 =t, отримаємо квадратне рівняння t 2 +4t -21=0, звідки знаходимо t 1 = -7, t 2 =3. Тепер завдання зводиться до розв'язання рівнянь x2 = -7, x2 =3. Перше рівняння не має дійсних коренів, з другого знаходимо: які є корінням заданого біквадратного рівняння.

Розв'язання задач за допомогою квадратних рівнянь Завдання 1: Автобус відправився від автовокзалу до аеропорту, що знаходиться на відстані 40 км. Через 10 хвилин за автобусом виїхав пасажир на таксі. Швидкість таксі на 20 км/год більша за швидкість автобуса. Знайти швидкість таксі та автобуса, якщо до аеропорту вони прибули одночасно. Швидкість V (км/год) Час t (год) Шлях S (км) Автобусx40 ТаксіX+2040 На 10 хв 10 хв =ч Складемо і розв'яжемо рівняння:

Помножимо обидві частини рівняння на 6x(x+20), отримаємо: Коріння цього рівняння: При цих значеннях x знаменники дробів, що входять до рівняння, не дорівнюють 0, тому є корінням рівняння. Оскільки швидкість автобуса позитивна, умові завдання задовольняє лише одне корінь: x=60. Тому швидкість таксі 80 км/год. Відповідь: швидкість автобуса 60 км/год, швидкість таксі 80 км/год.

Завдання 2: На передрук рукопису перша друкарка витрачає на 3 год менше, ніж друга. Працюючи одночасно, вони закінчили передрук всього рукопису за 6ч 40 хв. Скільки часу знадобилося б кожній з них на передрук всього рукопису? Кількість роботи за годину Час t (год) Об'єм роботи Перша друкарка x1 Друга друкарка x+31 Разом за 6ч 40хв 6 год 40 хв = 6 год Складемо і розв'яжемо рівняння:

Це рівняння можна записати так: Помножуючи обидві частини рівняння на 20x(x+3), отримуємо: Коріння цього рівняння: При цих значеннях x знаменники дробів, що входять до рівняння, не дорівнюють 0, тому - коріння рівняння. Оскільки час позитивно, то x=12ч. Отже Перша друкарка витрачає на роботу 12 год, друга – 12 год + 3 год = 15 год Відповідь: 12 год і 15 год.

Франсуа Вієт Франсуа Вієт народився 1540 року у Франції. Батько Вієта був прокурором. Син обрав професію батька та став юристом, закінчивши університет у Пуату. У 1563 році він залишає юриспруденцію і стає учителем у почесній родині. Саме викладання спонукало у молодому юристі інтерес до математики. Вієт переїжджає до Парижа, де легше дізнатися про досягнення провідних математиків Європи. З 1571 року Вієт займає важливі державні посади, але в 1584 він був усунений і висланий з Парижа. Тепер він мав можливість серйозно зайнятися математикою. У 1591 році він видає трактат «Введення в аналітичне мистецтво», де показав, що, оперуючи із символами, можна отримати результат, застосовний до будь-яких відповідних величин. Знаменита теорема була оприлюднена того ж року. Гучну славу отримав у Генріху lll під час Франко-Іспанської війни. Протягом двох тижнів, просидівши за роботою дні та ночі, він знайшов ключ до Іспанського шифру. Помер у Парижі в 1603 році, є підозри, що він був убитий.

Розглянемо завдання Коші: (14) (15) де – параметри. Надалі ми розглянемо функціонали, що залежать від параметрів через розв'язання задачі Коші (14) (15). Тоді градієнтні рівняння залежатимуть від похідних щодо вирішення задачі (14), (15).

Ідентифікація параметрів осцилюючих процесів у живій природі, що моделюються диференціальними рівняннями

Завдання Коші для рівнянь Лотки (5) п.2 запишемо, використовуючи більш стандартні математичні позначення: , (1) , (2) Завдання Коші (17), (18) п.1 буде наступним: , , (3) , (4) Як бачимо, завдання Коші (1), (2), (3), (4) поліноміальна...

Інваріантність стаціонарного розподілу тривузлової мережі масового обслуговування

Припустимо, що є стаціонарний розподіл. Складемо рівняння рівноваги.

Інтегрування диференціальних рівняньза допомогою статечних рядів

Звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку функції аргументу називається співвідношення виду (1.10) де - задана функціясвоїх аргументів. У назві цього класу математичних рівняньтермін «диференціальне» наголошує на...

Ірраціональні рівняння

Приклад 1. Розв'язати рівняння. Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння в квадрат. Відповідь: (6). Приклад 2. Розв'язати рівняння. Рішення. У лівій частині вихідного рівняння стоїть арифметичний квадратний корінь- він за визначенням невід'ємний...

Ірраціональні рівняння

Досить часто при розв'язанні рівнянь даного виду учні використовують наступне формулювання властивості твору «Виробництво двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю». Зауважимо...

Ірраціональні рівняння

Дані рівняння можна вирішити за допомогою основного методу розв'язання ірраціональних рівнянь (зведення у квадрат обох частин рівняння), але іноді їх можна вирішити й іншими методами. Розглянемо рівняння (1). Нехай – корінь рівняння (1)...

Квадратні рівняннявирішували й Індії. Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський вчений...

Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків

Поворотне рівняння - рівняння алгебри а0хn + a1xn - 1 + … + an - 1x + an =0, в якому ак = an - k, де k = 0, 1, 2 …n, причому, а? 0...

Лінійні та квадратичні залежності, функція х і пов'язані з ними рівняння та нерівності

У деяких завданнях вступного іспиту потрібно не просто дослідити розташування коренів квадратного тричлена, а з'ясувати, при яких значеннях параметра виконується той чи інший логічний вислів.

Логарифмічна функціяу завданнях

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння. Рішення: Область допустимих значень- безліч всіх дійсних чисел, так як за всіх. За визначенням логарифму маємо. Отримаємо показове рівняння, яке вирішимо методом приведення до алгебраїчного...

Методика вирішення рівнянь типу згортки

Приклад 3.1. Нелінійні рівнянняз ядром Гільберта: (3.12) (3.13) Мають єдине рішення у гільбертовому просторі. 1977 року Г.М. Магомедов розглянув нелінійні сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші виду.

Наближені методи вирішення крайових задач для диференціальних рівнянь з приватними похідними

Нагадаємо рівняння Пуассона (4) (4) На практиці до побудови кінцевих схем застосовують декілька шаблонів. 1. Звичайно різнизна схема "хрест"...

Застосування диференціального та інтегрального обчисленнядо вирішення фізичних та геометричних завданьу MATLab

Багато фізичні законимають вигляд диференціальних рівнянь, т. е. співвідношень між функціями та його похідними. Завдання інтегрування цих рівнянь - найважливіше завданняматематики...

Застосування тригонометричної підстановки для вирішення задач алгебри

Ірраціональні рівняння часто зустрічаються на вступних іспитівз математики, оскільки з допомогою легко діагностується знання таких понять, як рівносильні перетворення, область визначення та інші...

Стандартні види рівнянь та способи їх вирішення

1. Рівняння виду
= b↔ f(x) = b 2 при b ≥ 0; не має рішень при b

Золоте правило.Для вирішення корінь потрібно усамітнити.

приклади.

3)
. Рішень немає, т. до.

2. Рівняння виду

приклади.

Відповідь: х = - 1

2)У прикладах, що зводяться до даному видурівнянь при застосуванні рівносильних переходів необхідно знайти область допустимих значень.

приклад.

Відповідь

3. Рівняння виду

або

Вибрати нерівність, яка простіше.

приклади.

, sinх = t, | t | ≤ 1, t ≥ 0 , 0 ≤ t ≤ 1

2t 2 + t – 1 = 0

t = -1 , t = ½ З урахуванням обмежень t = ½

Відповідь:

4. Рівняння, що зводяться до квадратних

Такі рівняння містять коріння з однаковими підкореними виразами, ступеня яких відрізняються вдвічі (
). Вирішуються шляхом заміни кореня
, з урахуванням обмежень.

приклади.

= t де t ≥ 0

t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, враховуючи, що t ≥ 0, t = 3

= 3

Відповідь: х = ±7

= t тоді

= 2 або = ½

= 32 = 1/32

16z = 32 16 · 32z - z = - 1

z = 2 z = - 1/511
5. Рівняння, що містять більше одного кореня у вигляді доданків

У рівняннях цього виду необхідно позбутися коріння. Найчастіше це відбувається шляхом зведення обох частин у квадрат. Необхідно відзначити, що при зведенні в квадрат ОДЗ невідомого розширюється, що може призвести до стороннім коріннямрівняння. Зведення квадрат не забезпечує рівносильного переходу, тому отримані значення невідомого потрібно перевіряти.

При вирішенні потрібно дотримуватись наступних правил:

Коріння рознести по різні сторони, т. до. перетворення у разі простіше;
Знайти безліч значень, при яких коріння існує;
Звести обидві частини квадрат;
Привести рівняння до стандартного вигляду;
Вирішити згідно з видами 1 – 3;
Виключити стороннє коріння;
Перевірити коріння, що залишилося.

приклади.

вирішуємо, виконуючи п.5 (рівняння виду)

Перевірка х = 3

Рівність вірна.

Відповідь: х = 3.
2)

3х - 4 - 2
= х - 2

2х - 2 = (1) х – 1 =

Зауважимо, що, виходячи з рівносильності, вирішуємо тільки рівняння (1), а не початкове, тому потрібно перевірити.

Можна вирішувати без урахування ОДЗ і не використовувати рівносильність, але в цьому випадку всі отримані значення х необхідно перевірити. У деяких рівняннях це досить складно.

Перевірка. х = 3

Рівність вірна.

Відповідь: х = 3
6. Рівняння, які вирішуються способом заміни змінних.

6.1 Очевидні заміни.

Якщо в прикладі є члени з виразами, що повторюються, то доцільно провести заміну змінних, що по суті не є безпосереднім рішенням, але значно спрощує перетворення виразів і приведення рівняння до стандартного вигляду.

Золоте правило . Зробив заміну – визнач область зміни нової змінної. (Нанеси обмеження на нову змінну)

приклади.

Нехай = t, де t ≥ 0, оскільки корінь арифметичний.

Отримаємо: t 2 – 2t – 3 = 0

t = - 1, t = 3

Т. до. t ≥ 0, t = 3

Перейдемо до х

= 3 х 2 + 32 = 81, х = ±7.

Відповідь: х = ±7.

Т. до.
і
взаємно зворотні висловлювання, то якщо
= t,

= , Де t > 0.

Отримаємо t + = , 2t 2 - 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= або = 2

8х = 1 + 2х, 2х = 4 + 8х

х = 1/6. х = - 2/3

Найбільший корінь x = 1/6.

= t, t ≥ 0 Замінити корінь та виразити через t праву частину.

= t 2
t 2 – 20

t = - (t 2 - 20), t 2 + t - 20 = 0. t = - 5 або t = 4.

Т.к. t ≥ 0 , то t = 4

= 4,

х 2 + 2х + 8 = 16,

х 2 + 2х – 8 = 0, х = – 4 або х = 2.

Відповідь: х = - 4, х = 2.

4)
. Виробимо подвійну заміну:

t =
де t ≥ 0, d =
де d ≥ 0.

Виразимо х із кожного: х = 5 - t 2 або х = d 2 + 3. Отримаємо систему:

. t = 0 або d = 0

= 0 або = 0

х = 5 або х = 3

Відповідь: х = 5; х = 3.

6.2 Неочевидна заміна

Заміна змінної може виникнути не відразу, а після перетворень.

приклади.

ОДЗ: - 1 ≤ х ≤ 3

Перенесемо
право, щоб більше складний вираз
залишилося одне.

Зведемо в квадрат обидві частини, очікуючи на отримання однакових виразів:

Очікування виправдалися.

= t, t ≥0
= t 2 + 4

4t = t 2 + 4, t 2 - 4t + 4 = 0, (t - 2) 2 = 0, t = 2

= 2,
= 4,

х = 1 корінь рівняння, тому що сума коефіцієнтів та вільного члена дорівнює нулю.

розділимо
на х – 1 . Отримаємо х 2 – 2х + 1 = 0. х = 1 ±
.

Усі три корені є рішеннями, тому що задовольняють умові - 1 ≤ х ≤ 3.

Відповідь: х = 1, х = 1 ±
7. Рівняння виду добуток дорівнює нулю.

Твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а інший при цьому не втрачає сенсу.

f(x) · g(x) = 0

приклади.

= 0

рішень немає х = – 1, х = 2.

Відповідь: х = – 1, х = 2.

Нерівності, що входять до системи, можна відразу не вирішувати, а підставити отриманий корінь у нерівність.

2) Необхідно розкласти на множники.

= 4

рішень немає x = 0, x = 5.

Відповідь: х = 0, х = 5.

Рівняння, що містять квадратне та кубічне коріння.

Дані рівняння слід вирішувати шляхом заміни кожного кореня, вираження невідомого через замінені змінні та складання системи рівнянь.

приклади.

= t,
= d де d ≥ 0

x = 2 - t 3 , x = d 2 + 1. Складемо систему:

Т.к. при всіх знайдених значеннях t d ≥ 0, d з системи можна не знаходити, а х знайти з умови x = 2 - t 3 .

х = 2, х = 10, х = 1

Відповідь: х = 2, х = 10, х = 1

2)
.

1 спосіб. Вирішити як попереднє рівняння.

2 спосіб. Зауважимо, що ліва частина рівняння представляє зростаючу функцію, тому що складається з суми двох функцій, що зростають, на області визначення: х ≥ - 1. Права частина- Константа. Графіки цих функцій перетинаються в одній точці, абсцис якої буде рішенням цього рівняння, тобто рівняння має одне рішення. Спробуймо його підібрати.

Очевидно, підбір треба вести в ОДЗ рівняння. Слід вважати, що коріння має витягуватися, т.к. сума дорівнює 3.

Переконуємось, що х = 3 корінь рівняння.

Відповідь: х = 3.

3)
.

Т.к.
наведемо коріння до одного ступеня.

х = - 1

(х + 1) (х 2 - 4х + 4)

х 2 - 4х + 4 = 0 х = 2.

Обидва корені задовольняють ОДЗ.

Відповідь: х = - 1, х = 2

Рівняння, що містить суму (різницю) двох коренів третього ступеня.

Для вирішення таких рівнянь зручно користуватися формулою:

(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),

(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .

При цьому зауважимо, що дужка (a ± b) =

приклади.

1)
. Зведемо обидві частини в куб:

Але
= 2, тому замінимо останню дужку на 2.

Отримаємо

х = 0

відповідь: х = 0.

Зауважимо, що вирази 2 – х та 7 + х повторюються. Зробимо заміну:

t =
, d =
. Звідки x = 2 - t 3 або x = d 3 - 7

Можна не знаходити t і d, а користуватися тим, що td = 2

= 2

- х 2 - 5х + 14 = 8, х 2 + 5х - 6 = 0, х = - 6, х = 1.

Відповідь: х = - 6, х = 1.

Рівняння, які містять складні радикали.

За наявності складних радикалів, наприклад корінь під коренем, використовувати наступну програму дій:

Визначити, чи є підкорене вираз повним квадратом;
Виділити повний квадрат;
За відсутності п. 1 застосувати формули складних радикалів;
За відсутності п.п.1–3 застосувати стандартні перетворення (заміна, розкладання на множники, зведення у ступінь тощо)

приклади.

Спробуймо знайти повний квадрат. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . Міркувати при цьому повинні наступним чином:

Нехай
- подвоєний твір, 2ab.

Нехай
- Перше число а.

Тоді друге число b = 1. Отже, сума квадратів першого чи другого чисел дорівнює х – 3 . Підкорене вираз повний квадрат.

Нехай
- подвоєний твір.

Нехай – перше число а.

Тоді друге число b = 2. Отже, сума квадратів першого чи другого чисел дорівнює х. Підкорене вираз повний квадрат.

+ = 1

Т.к.
│а│, то отримаємо рівняння:
│
│ + │
│ = 1

Тепер зробимо заміну = t = t – 1

│t │ + │t – 1 │ = 1

Знайдемо нулі модулів: t = 0, t = 1

│t │

- │ + │ +

│t – 1 │- 0 - 1 + х

рішень немає
рішень немає

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 Т.к. всі частини нерівності позитивні, зведемо квадрат.

1 ≤ х – 4 ≤ 4, 5 ≤ х ≤ 8.

Відповідь:

Методи вирішення ірраціональних рівнянь

Використання властивостей монотонності функцій.

11.1 Якщо f(x) = g(x) , а f(x) - зростає (зменшується) і g(x) – зменшується (зростає) або одна з функцій константа, то графіки цих функцій перетинаються в одній точці. Рішенням рівняння є абсцис точки перетину. Рівняння має одне рішення, яке можна визначити підбором.

При цьому треба мати на увазі наступне:

Сума двох зростаючих (зменшуваних) функцій є функція зростаюча (зменшується).
Зростання, зменшення функції можна визначити за похідною.

приклади.

1)
.

Нехай f(x) =
. f(x) – зменшується на D(f) = (-∞; 3]

g(x) = 6 – константа. Графіки функцій перетинаються лише у точці. Рівняння має одне рішення.

Підбір ведемо з D(f) = (-∞; 3], враховуючи, що коріння має витягуватися.

х = – 1.

Перевірка.

, 4 + 2 = 6, рівність вірна.

Відповідь: х = – 1.

Нехай f(x) =
. Функція спадна.

Доведемо це. D(f) =

f ′(x) =

f '(x) = 0, = 0, x = 2 D(f)

f(1) =
, f(2) = 3, f(3) =

E(f) = [; 3]

g(x) =
, D(g) =

g '(x) =

g '(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)

g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3

E(g) =

Зауважимо, що однакове значення функцій отримуємо лише за х = 2

Можна міркувати і так: найбільше значенняоднієї функції одно найменшому значеннюінший функції при тих самих значеннях x. Отже, розв'язком рівняння f(x) = g(x) є ці значення х.

max f = 3, min g = 3, max f = min g = 3 при х = 2

Відповідь: х = 2

1 спосіб.

Нехай f(x) =
, D(f) = R.

f '(x) = 4х3 + 12х2 + 12х + 4

f '(x) = 0 4х 3 + 12х 2 + 12х + 4 = 0,

х 3 + 3х 2 + 3х + 1 = 0, (х + 1) 3 = 0

х = - 1
f '(x) - │ +

f(x) - 1
f min = f(-1) = -1 E(f) = [-1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.

g '(x) =
, g '(x) = 0 x = - 1

g '(x) + -

g (x) │- 1

g max = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1 при x = -1.

Відповідь: х = – 1.

2 спосіб.

Виділити повний квадрат у багаточлена:

(х 2+2х) 2+2х 2+4х. Отримаємо:

(х 2 + 2х) 2 + 2(х 2 + 2х) +
.

Тепер можна зробити заміну:

х 2 + 2х = t

t 2 + 2 t +
= 2

Можливо, що в даному рівнянні 2 спосіб кращий. Але способом оцінки необхідно добре опанувати, тому що багато рівнянь, системи, нерівності вирішуються саме цим способом.

Використання ОДЗ

Іноді буває корисно знайти ОДЗ невідомого, що може призвести до звуження пошуку рішення та рішення рівняння.
Аналіз показує, що застосування будь-яких способів важко. Спробуємо знайти ОДЗ.
Таким чином, х = 4 – єдино можливе значення.
Перевірка.
, 0 = 0 рівність правильно.
Відповідь: х = 4.
14. Використання очевидних нерівностей
Відомо що
(Середньо арифметичне більше або дорівнює середньо геометричному). У цьому рівність дотримується, якщо a = b.
За наявності у рівнянні твору під коренем доцільно застосувати цю властивість.
приклади.
1)

Розкладемо підкорене вираз на множники.
Нехай а = х + 1, b = 2x + 3 тоді а + b = 3х + 4.
У лівій частині – середньо геометричне, у правій частині – середньо арифметичне.
Рівність буде, якщо a = b.
х + 1 = 2х + 3, х = - 2.
Відповідь: х = – 2.
15. Використання скалярного твору
Нехай вектор має координати (а 1; а 2), вектор (b 1; b 2).
Тоді скалярний твір· = а 1 b 1 + а 2 b 2 . Т.к.
││ =
││=
│ =

Розглянути можливість використання ОДЗ;

Розглянути можливість використання монотонності функції;

Розглянути можливість використання якостей функції (область значень, максимальне, найменше), тобто. застосувати оцінки;

Розглянути можливість використання сполучених виразів;

Розглянути можливість використання очевидних нерівностей, скалярного твору.
Зауважимо, що одне й теж рівняння можна вирішити у різний спосіб. Потрібно вибирати той спосіб, який краще засвоєний, який раціональніший для даного рівняння.