Розв'язання квадратних рівнянь із дробами через дискримінант. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта

У цій статті ми розглянемо розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Але спочатку повторимо, які рівняння називаються квадратними. Рівняння виду ах 2 + bх + с = 0, де х - змінна, а коефіцієнти а, b і з деякі числа, причому а ≠ 0 називається квадратним. Як бачимо коефіцієнт при х 2 не дорівнює нулю, отже коефіцієнти при х чи вільний член можуть дорівнювати нулю, у разі ми й отримуємо неповне квадратне рівняння.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

1) Якщо b = 0, з ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

2) Якщо b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

3) Якщо b = 0, с = 0, то ах 2 = 0.

• Давайте розберемося як наважуються рівняння виду ах 2+с=0.

Щоб вирішити рівняння перенесемо вільний член з праву частинурівняння, отримаємо

ах 2 = ‒с. Оскільки а ≠ 0, то розділимо обидві частини рівняння на а, тоді х 2 = ‒с/а.

Якщо ‒с/а > 0 , то рівняння має два корені

x = ±√(-c/a) .

Якщо ж ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Спробуймо розібратися на прикладах, як вирішувати такі рівняння.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 2х 2 ‒ 32 = 0.

Відповідь: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 2х 2 + 8 = 0.

Відповідь: рівняння рішень немає.

• Розберемося як вирішуються рівняння виду ах 2+bх = 0.

Щоб розв'язати рівняння ах 2 + bх = 0, розкладемо його на множники, тобто винесемо за дужки х, отримаємо х(ах + b) = 0. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тоді або х = 0, або ах + b = 0. Вирішуючи рівняння ах + b = 0, отримаємо ах = b, звідки х = b/a. Рівняння виду ах 2 + bх = 0, завжди має два корені х 1 = 0 і х 2 = b/a. Подивіться, як виглядає на схемі рішення рівнянь цього виду.

Закріпимо наші знання на конкретному прикладі.

Приклад 3. Розв'язати рівняння 3х 2 – 12х = 0.

х(3х ‒ 12) = 0

х = 0 або 3х - 12 = 0

Відповідь: х1 = 0, х2 = 4.

• Рівняння третього виду ах 2 = 0наважуються дуже просто.

Якщо ах 2 = 0, то х 2 = 0. Рівняння має два рівні корені х 1 = 0, х 2 = 0.

Для наочності розглянемо схему.

Переконаємося під час вирішення прикладу 4, що рівняння цього виду вирішуються дуже просто.

приклад 4.Розв'язати рівняння 7х2 = 0.

Відповідь: х 1, 2 = 0.

Не завжди відразу зрозуміло, який вид неповного квадратного рівняння нам належить вирішити. Розглянемо наступний приклад.

Приклад 5.Вирішити рівняння

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник, тобто на 30

Скоротимо

5 (5х2 + 9) - 6 (4х 2 - 9) = 90.

Розкриємо дужки

25х2 + 45 - 24х 2 + 54 = 90.

Наведемо подібні

Перенесемо 99 з лівої частини рівняння у праву, змінивши знак на протилежний

Відповідь: коріння немає.

Ми розібрали як вирішуються неповні квадратні рівняння. Сподіваюся, тепер у вас не буде складнощів із подібними завданнями. Будьте уважні щодо виду неповного квадратного рівняння, тоді у вас все вийде.

Якщо у вас виникли питання з цієї теми, записуйтесь на мої уроки, ми разом вирішимо проблеми, що виникли.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Деякі завдання математики вимагають вміння обчислювати значення кореня квадратного. До таких завдань належить вирішення рівнянь другого порядку. У цій статті наведемо ефективний методобчислення квадратних коренів та використовуємо його при роботі з формулами коренів квадратного рівняння.

Що таке квадратний корінь?

У математиці цьому поняттю відповідає символ √. Історичні дані кажуть, що він почав використовуватися вперше приблизно у першій половині XVI століття у Німеччині (перша німецька праця з алгебри Крістофа Рудольфа). Вчені вважають, що цей символ є трансформованою латинською літерою r (radix означає "корінь" латиною).

Корінь із якогось числа дорівнює такому значенню, квадрат якого відповідає підкореному виразу. На мові математики це визначення виглядатиме так: x = y, якщо y 2 = x.

Корінь із позитивного числа (x > 0) є також числом позитивним (y > 0), проте якщо беруть корінь із негативного числа (x< 0), то его результатом уже будет комплексне число, Що включає уявну одиницю i.

Наведемо два простих приклади:

√9 = 3, оскільки 32 = 9; √(-9) = 3i, оскільки i 2 = -1.

Ітераційна формула Герона для знаходження значень коріння квадратного

Наведені вище приклади є дуже простими, і обчислення коренів у них не становить жодних труднощів. Складнощі починають з'являтися вже при знаходженні значень кореня для будь-якого значення, яке не може бути представлене у вигляді квадрата натурального числанаприклад, √10, √11, √12, √13, не кажучи вже про те, що на практиці необхідно знаходити коріння для нецілих чисел: наприклад √(12,15), √(8,5) тощо.

У всіх вищезгаданих випадках слід застосовувати спеціальний методобчислення кореня квадратного. В даний час таких методів відомо кілька: наприклад, розкладання в ряд Тейлора, поділ стовпчиком і деякі інші. З усіх відомих методів, мабуть, найбільш простим та ефективним є використання ітераційної формулиГерона, яка також відома як вавилонський спосіб визначення квадратного коріння (існують свідчення, що давні вавилоняни застосовували її у своїх практичних обчисленнях).

Нехай необхідно визначити значення x. Формула знаходження квадратного коренямає такий вигляд:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), де lim n->∞ (a n) => x.

Розшифруємо цей математичний запис. Для обчислення √x слід взяти деяке число a 0 (воно може бути довільним, проте для швидкого отримання результату слід вибирати його таким, щоб (a 0) 2 було максимально близько до x. Потім підставити його в зазначену формулуобчислення квадратного кореня та отримати нове число a 1 , яке вже буде ближчим до шуканого значення. Після цього необхідно вже a 1 підставити вираз і отримати a 2 . Цю процедуру слід повторювати до отримання необхідної точності.

Приклад застосування ітераційної формули Герона

Описаний вище алгоритм отримання кореня квадратного з деякого заданого числа для багатьох може звучати досить складно і заплутано, насправді ж все набагато простіше, оскільки ця формула сходиться дуже швидко (особливо якщо вибрано вдале число a 0).

Наведемо простий приклад: необхідно обчислити √11. Виберемо a 0 = 3, тому що 3 2 = 9, що ближче до 11, ніж 4 2 = 16. Підставляючи у формулу, отримаємо:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Далі немає сенсу продовжувати обчислення, оскільки ми отримали, що a 2 і a 3 починають відрізнятись лише у 5-му знаку після коми. Таким чином, достатньо було застосувати лише 2 рази формулу, щоб обчислити √11 з точністю до 0,0001.

В даний час широко використовуються калькулятори та комп'ютери для обчислення коренів, проте зазначену формулу корисно запам'ятати, щоб мати можливість вручну обчислювати їх точне значення.

Рівняння другого порядку

Розуміння того, що таке квадратний корінь, і вміння його обчислювати використовується при вирішенні квадратних рівнянь. Цими рівняннями називають рівності з однією невідомою, загальний виглядяких наведено на малюнку нижче.

Тут c, b і a є деякі числа, причому a не повинно дорівнювати нулю, а значення c і b можуть бути абсолютно довільними, в тому числі і рівними нулю.

Будь-які значення ікса, що задовольняють вказаній на малюнку рівність, називаються його корінням (слід не плутати це поняття з квадратним коренем √). Оскільки аналізоване рівняння має 2-й порядок (x 2), то коріння йому може бути більше, ніж дві числа. Розглянемо далі у статті, як знаходити це коріння.

Знаходження коріння квадратного рівняння (формула)

Цей спосіб розв'язання типу рівностей також називається універсальним, або методом через дискримінант. Його можна використовувати для будь-яких квадратних рівнянь. Формула дискримінанта і коріння квадратного рівняння має такий вигляд:

З неї видно, що коріння залежить від значення кожного з трьох коефіцієнтів рівняння. Більше того, обчислення x 1 відрізняється від розрахунку x 2 лише знаком перед коренем квадратним. Підкорене вираз, що дорівнює b 2 - 4ac, є чим іншим, як дискримінантом аналізованої рівності. Дискримінант у формулі коріння квадратного рівняння грає важливу роль, оскільки він визначає число та тип рішень. Так, якщо він дорівнює нулю, то рішення буде всього одне, якщо він позитивний, то рівняння має два дійсні коріння, нарешті, негативний дискримінант призводить до двох комплексних коренів x 1 і x 2 .

Теорема Вієта або деякі властивості коренів рівнянь другого порядку

У наприкінці XVIстоліття один із основоположників сучасної алгебри француз вивчаючи рівняння другого порядку, зміг отримати властивості його коріння. Математично їх можна записати так:

x 1 + x 2 = -b/a та x 1 * x 2 = c/a.

Обидві рівності легко може отримати кожен, для цього необхідно лише виконати відповідні математичні операціїз корінням, отриманим через формулу з дискримінантом.

Сукупність цих двох виразів можна по праву назвати другою формулою коренів квадратного рівняння, що дає можливість вгадувати його рішення, не використовуючи у своїй дискримінант. Тут слід зазначити, що хоча обидва вирази справедливі завжди, застосовувати їх для вирішення рівняння зручно тільки в тому випадку, якщо воно може бути розкладене на множники.

Завдання на закріплення здобутих знань

Вирішимо математичне завдання, в якій продемонструємо всі прийоми, які обговорюються у статті. Умови завдання такі: необхідно знайти два числа, котрим твір дорівнює -13, а сума становить 4.

Ця умова відразу нагадує про теорему Вієта, застосовуючи формули суми квадратного коріння та їх твори, записуємо:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c/a = -13.

Якщо припустити, що a = 1, тоді b = -4 та c = -13. Ці коефіцієнти дозволяють скласти рівняння другого порядку:

x 2 – 4x – 13 = 0.

Скористаємося формулою з дискримінантом, отримаємо наступне коріння:

x 1,2 = (4±√D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тобто завдання звелося до знаходження числа √68. Зауважимо, що 68 = 4 * 17, тоді, використовуючи властивість квадратного кореня, отримаємо: √68 = 2√17.

Тепер скористаємося розглянутою формулою квадратного кореня: a 0 = 4 тоді:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

У обчисленні a 3 немає необхідності, оскільки знайдені значення відрізняються лише на 0,02. Таким чином, √68 = 8,246. Підставляючи його у формулу для x 1,2 отримаємо:

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 і x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Як бачимо, сума знайдених чисел дійсно дорівнює 4, якщо ж знайти їх добуток, то він дорівнює -12,999, що задовольняє умові завдання з точністю до 0,001.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Дискримінант дозволяє вирішувати будь-які квадратні рівняння за допомогою загальної формули, яка має такий вигляд:

Формула дискримінанта залежить від рівня багаточлена. Вищеописана формула підійде для розв'язання квадратних рівнянь наступного виду:

Дискримінант має такі властивості, які потрібно знати:

* "D" дорівнює 0, коли многочлен має кратне коріння ( рівне коріння);

* "D" є симетричним багаточленом щодо коріння багаточлена і тому є багаточленом від його коефіцієнтів; більше, коефіцієнти цього многочлена цілі незалежно від розширення, у якому беруться коріння.

Допустимо, нам дано квадратне рівняння наступного виду:

1 рівняння

За формулою маємо:

Оскільки \, то рівняння має 2 корені. Визначимо їх:

Де можна вирішити рівняння через дискримінант онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Сподіваюся, вивчивши цю статтюВи навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант від'ємне число(D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант додатне число(D> 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниціі рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна зауважити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали одну й ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.