Вирішення простих лінійних рівнянь. Більш складні приклади рівнянь

Рівняння - це математичне вираз, що є рівністю, що містить невідоме. Якщо рівність справедлива для будь-яких допустимих значень невідомих, що входять до нього, то вона називається тотожністю; наприклад: співвідношення виду (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) виконується при всіх значеннях x.

Якщо рівняння, що містить невідоме x, виконується лише за певних, а чи не за всіх значеннях x, як і тотожності, може бути корисним визначити ті значення x, у яких це рівняння справедливо. Такі значення x називаються корінням або розв'язками рівняння. Наприклад, число 5 є коренем рівняння 2x + 7 = 17.

У розділі математики, який називається теорією рівнянь, основним предметом вивчення є методи розв'язування рівнянь. У шкільному курсіалгебри рівнянням приділяється велика увага.

Історія вивчення рівнянь налічує багато століть. Найвідомішими математиками, які зробили внесок у розвиток теорії рівнянь, були:

Архімед (близько 287–212 до н. е.) – давньогрецький вчений, математик та механік. При дослідженні одного завдання, що зводиться до кубічного рівняння, Архімед з'ясував роль характеристики, яка згодом отримала назву дискримінанта.

Франсуа Вієт жив у XVI ст. Він зробив великий внесок у вивчення різних проблемматематики. Зокрема, він ввів буквені позначення коефіцієнтів рівняння та встановив зв'язок між корінням квадратного рівняння.

Леонард Ейлер (1707 - 1783) - математик, механік, фізик та астроном. Автор св. 800 робіт з математичного аналізу, диференціальних рівнянь, геометрії, теорії чисел, наближених обчислень, небесної механіки, математики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики, і т. д. Вплинув на розвиток науки. Вивів формули (Формули Ейлера), що виражають тригонометричні функціїзмінного х через показову функцію.

Лагранж Жозеф Луї (1736 – 1813 рр.), французький математикта механік. Йому належать видатні дослідження, серед них дослідження з алгебри (симетричної функції коренів рівняння, диференціальних рівнянь (теорія особливих рішень, метод варіації постійних).

Ж. Лагранж та А. Вандермонд – французькі математики. У 1771 р. вперше застосували спосіб розв'язання систем рівнянь (спосіб підстановки).

Гаус Карл Фрідріх (1777 -1855 рр.) - німецький математик. Написав книгу, в якій викладається теорія рівнянь поділу кола (тобто рівнянь xn – 1 = 0), яка багато в чому була прообразом теорії Галуа. Крім загальних методіввирішення цих рівнянь, встановив зв'язок між ними та побудовою правильних багатокутників. Він, вперше після давньогрецьких вчених, зробив значний крок вперед у цьому питанні, а саме: знайшов усі ті значення n, для яких правильний n-кутникможна побудувати циркулем та лінійкою. Вивчав спосіб складання. Зробив висновок, що системи рівнянь можна між собою складати, ділити і множити.

О. І. Сомов – збагатив різні частини математики важливими та численними працями, серед них теорія певних алгебраїчних рівнянь вищих ступенів.

Галуа Еварист (1811-1832 рр.), - французький математик. Основною його заслугою є формулювання комплексу ідей, до яких він прийшов у зв'язку з продовженням досліджень про розв'язання рівнянь алгебри, започаткованих Ж. Лагранжем, Н. Абелем та ін, створив теорію рівнянь алгебри вищих ступенів з одним невідомим.

А. В. Погорєлов (1919 – 1981 рр.) - У його творчості пов'язані геометричні методи аналітичними методамитеорії диференціальних рівнянь із приватними похідними. Його праці вплинули також на теорію нелінійних диференціальних рівнянь.

П. Руффіні – італійський математик. Присвятив низку робіт, доказу нерозв'язності рівняння 5-го ступеня, систематично використовує замкнутість безлічі підстановок.

Незважаючи на те, що вчені давно вивчають рівняння, науці не відомо, як і коли у людей виникла потреба використовувати рівняння. Відомо лише, що завдання, що призводять до вирішення найпростіших рівнянь, люди вирішували відколи стали людьми. Ще 3 – 4 тисячі років до н. е. єгиптяни та вавилоняни вміли вирішувати рівняння. Правило розв'язання цих рівнянь збігається з сучасним, але невідомо, як вони до цього дійшли.

У Стародавньому Єгиптіта Вавилоні використовувався метод хибного становища. Рівняння першого ступеня з одним невідомим можна завжди привести до виду ах + Ь = с, у якому а, Ь, з цілі числа. За правилами арифметичних дійах = с - b,

Якщо Ь > с, то з b число негативне. Негативні числабули єгиптянам і багатьом іншим пізнішим народам невідомі (рівноправно з позитивними числамиїх почали вживати в математиці лише у сімнадцятому столітті). Для вирішення завдань, які ми тепер вирішуємо рівняннями першого ступеня, було винайдено метод хибного становища. У папірусі Ахмеса 15 завдань вирішується цим методом. Єгиптяни мали особливий знак для позначення невідомого числа, який до недавнього минулого читали «хау» та перекладали словом «купа» («купа» або «невідома кількість» одиниць). Тепер читають трохи менш неточно: ага. Спосіб рішення, застосований Ахмесом, називається методом одного хибного становища. З допомогою цього вирішуються рівняння виду ах = b. Цей спосіб полягає в тому, що кожну частину рівняння поділяють на а. Його застосовували як єгиптяни, і вавілоняни. У різних народівзастосовувався метод двох хибних положень. Арабами цей метод було механізовано та отримано ту форму, в якій він перейшов до підручників європейських народів, у тому числі до «Арифметики» Магницького. Магніцький називає спосіб розв'язання «фальшивим правилом» і пише у частині своєї книги, що викладає цей метод:

Бо хитра є ця частина, Як можеш нею все класти. Не тільки що у громадянстві, Але й вищих наук у просторі, які вважаються у сфері неба, Як мудрим є потреба.

Зміст віршів Магницького можна коротко передати так: ця частина арифметики дуже хитра. За допомогою її можна вирахувати не тільки те, що знадобиться в житейській практиці, але вона вирішує і питання «вищі», які постають перед «мудрими». Магніцький користується «фальшивим правилом» у формі, яку йому надали араби, називаючи його «арифметикою двох помилок» чи «методою терезів». Індійські математики часто давали завдання у віршах. Завдання про лотос:

Над озером тихим, з півмери над водою, Було видно лотоса колір. Він зростав самотньо, і вітер хвилею Нагнув його убік, і вже ні

Квітки над водою. Знайшов його око рибалки У двох заходах від місця, де ріс. Скільки озера тут вода глибока? Тобі запропоную я запитання.

Види рівнянь

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння – це рівняння виду: ах + b = 0, де a та b – деякі постійні. Якщо а не рівне нулю, то рівняння має один єдиний корінь: х = - b: а (ах + b; ах = - b; х = - b: а.).

Наприклад: розв'язати лінійне рівняння: 4х + 12 = 0.

Рішення: Т. до а = 4, а b = 12, то х = - 12: 4; х = - 3.

Перевірка: 4 (-3) + 12 = 0; 0 = 0.

Т. до 0 = 0, то -3 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь. х = -3

Якщо а дорівнює нулю і b дорівнює нулю, то коренем рівняння ах + b = 0 є будь-яке число.

Наприклад:

0 = 0. Т. до 0 дорівнює 0, то коренем рівняння 0х + 0 = 0 є будь-яке число.

Якщо а дорівнює нулю, а b не дорівнює нулю, то рівняння ах + b = 0 немає коріння.

Наприклад:

0 = 6. Т. до 0 не дорівнює 6, то 0х - 6 = 0 не має коріння.

Системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь – це система, всі рівняння якої є лінійними.

Вирішити систему - значить знайти всі її рішення.

Перш ніж розв'язувати систему лінійних рівнянь, можна визначити кількість її розв'язків.

Нехай дана система рівнянь: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2).

Якщо а1 поділений на а2 не дорівнює b1 поділений на b2, система має одне єдине рішення.

Якщо а1 поділений на а2 дорівнює b1 поділений на b2, але одно с1 поділений на с2, то система не має рішень.

Якщо а1 поділене на а2 одно b1 поділене на b2, і одно с1 поділене на с2, то система має безліч рішень.

Система рівнянь, що має принаймні одне рішення, називається спільною.

Спільна система називається певною, якщо вона має кінцеве числорішень, і невизначеною, якщо безліч її рішень нескінченна.

Система, яка має жодного рішення, називається несовместной чи суперечливою.

Способи розв'язання лінійних рівнянь

Усього є кілька способів розв'язання лінійних рівнянь:

1) Метод підбору. Це самий найпростіший спосіб. Він полягає в тому, що підбирають усі допустимі значенняневідомого шляхом перерахування.

Наприклад:

Вирішити рівняння.

Нехай х = 1.

4 = 6. Т. до 4 не дорівнює 6, то наше припущення, що х = 1 було неправильним.

Нехай x = 2.

6 = 6. Т. до 6 дорівнює 6, то наше припущення, що х = 2 було вірним.

Відповідь: х = 2.

2) Спосіб спрощення

Цей спосіб полягає в тому, що всі члени містять невідоме переносимо в ліву частину, а відомі в праву протилежним знаком, Наводимо подібні, і ділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.

Наприклад:

Вирішити рівняння.

5х - 4 = 11 + 2х;

5х - 2х = 11 + 4;

3х = 15; : (3) х = 5.

Відповідь. х = 5.

3) Графічний метод.

Він полягає в тому, що будується графік функцій даного рівняння. Т. до лінійного рівняння у = 0, то графік буде паралельний осі ординат. Крапка перетину графіка з віссю абсцис буде рішенням цього рівняння.

Наприклад:

Вирішити рівняння.

Нехай у = 7. Тоді у = 2х + 3.

Побудуємо графік функцій обох рівнянь:

Способи розв'язання систем лінійних рівнянь

У сьомому класі вивчають три способи розв'язання систем рівнянь:

1) Спосіб підстановки.

Цей спосіб полягає в тому, що в одному із рівнянь виражають одне невідоме через інше. Отримане вираз підставлять на інше рівняння, яке після цього звертається до рівняння з одним невідомим, потім вирішують його. Значення цього невідомого підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять значення другого невідомого.

Наприклад.

Розв'язати систему рівнянь.

5х – 2у – 2 = 1.

3х + у = 4; у = 4 – 3х.

Підставимо отриманий вираз в інше рівняння:

5х - 2 (4 - 3х) -2 = 1;

5х - 8 + 6х = 1 + 2;

11х = 11; : (11) х = 1.

Підставимо отримане значення рівняння 3х + у = 4.

3 · 1 + у = 4;

3 + у = 4; у = 4 - 3; у = 1.

Перевірка.

/ 3 · 1 + 1 = 4,

5 · 1 - 2 · 1 - 2 = 1;

Відповідь: х = 1; у = 1.

2) Спосіб складання.

Цей спосіб полягає в тому, що якщо дана системаскладається з рівнянь, які при почленном додаванні утворюють рівняння з одним невідомим, то вирішивши це рівняння, ми отримаємо значення одного з невідомих. Значення цього невідомого підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять значення другого невідомого.

Наприклад:

Розв'язати систему рівнянь.

/3у - 2х = 5,

5х - 3у = 4.

Вирішимо отримане рівняння.

3х = 9; : (3) х = 3.

Підставимо отримане значення рівняння 3у – 2х = 5.

3у - 2 · 3 = 5;

3у = 11; : (3) у = 11/3; у = 3 2/3.

Отже, х = 3; у = 3 2/3.

Перевірка.

/3 · 11/3 - 2 · 3 = 5,

5 · 3 - 3 · 11 / 3 = 4;

Відповідь. х = 3; у = 3 2/3

3) Графічний метод.

Цей спосіб ґрунтується на тому, що в одній системі координат будуються графіки рівнянь. Якщо графіки рівняння перетинаються, то координати точки перетину є рішенням системи. Якщо графіки рівняння є паралельними прямими, то система не має рішень. Якщо графіки рівнянь зіллються в одну пряму, то система має безліч рішень.

Наприклад.

Розв'язати систему рівнянь.

18х + 3у – 1 = 8.

2х - у = 5; 18х + 3y – 1 = 8;

У = 5 – 2х; 3у = 9 - 18х; : (3) у = 2х - 5. у = 3 - 6х.

Побудуємо графіки функцій у = 2х – 5 і у = 3 – 6х на одній системі координат.

Графіки функцій у = 2х - 5 і у = 3 - 6х перетинаються у точці А (1; -3).

Отже розв'язком цієї системи рівнянь буде х = 1 і у = -3.

Перевірка.

2 · 1 - (- 3) = 5,

18 · 1 + 3 · (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Відповідь. х = 1; у = -3.

Висновок

На підставі всього вище викладеного можна зробити висновок, що рівняння необхідні сучасному світіне тільки для вирішення практичних завдань, а й як науковий інструмент. Тому так багато вчених вивчали це питання та продовжують вивчати.

Рівняння, що є квадратний тричлен, Зазвичай називається квадратним рівнянням. З погляду алгебри воно описується формулою a * x ^ 2 + b * x + c = 0. У цій формулі х - це невідоме, яке потрібно знайти (його називають вільною змінною); a, b та c - числові коефіцієнти. Щодо компонентів зазначеної існує ряд обмежень: так, коефіцієнт а не повинен дорівнювати 0.

Рішення рівняння: поняття дискримінанта

Значення невідомого х, за якого квадратне рівнянняперетвориться на правильну рівність, називають коренем такого рівняння. Для того щоб вирішити квадратне рівняння, необхідно спочатку знайти значення спеціального коефіцієнта - дискримінанта, який покаже кількість коренів у рівності, що розглядається. Дискримінант обчислюється за такою формулою D=b^2-4ac. У цьому результат обчислення може бути позитивним, негативним чи рівним нулю.

У цьому слід пам'ятати, що поняття вимагає, щоб лише коефіцієнт а був суворо відмінним від 0. Отже, коефіцієнт b може дорівнювати 0, саме рівняння у разі вид a*x^2+c=0. У такій ситуації слід використовувати значення коефіцієнта, що дорівнює 0, та у формулах розрахунку дискримінанта та коренів. Так, дискримінант у разі буде розраховуватися як D=-4ac.

Рішення рівняння за позитивного дискримінанта

У випадку, якщо дискримінант квадратного рівняння виявився позитивним, з цього можна зробити висновок, що ця рівність має два корені. Зазначене коріння можна обчислити за такою формулою: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Таким чином, для розрахунку значення коренів квадратного рівняння при позитивне значеннядискримінанта використовуються відомі значеннякоефіцієнтів, наявних у . Завдяки використанню суми та різниці у формулі розрахунку коренів результатом обчислень будуть два значення, що обертають розглянуту рівність у вірну.

Рішення рівняння при нульовому та негативному дискримінанті

У випадку, якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнював 0, можна зробити висновок про те, що вказане рівняннямає один корінь. Строго кажучи, у цій ситуації коріння у рівняння, як і раніше, два, проте внаслідок нульового дискримінанта вони будуть рівні між собою. І тут x=-b/2a. Якщо ж у процесі обчислень значення дискримінанта виявляється негативним, слід дійти невтішного висновку у тому, що аналізоване квадратне рівняння немає коренів, тобто таких значень x, у яких воно звертається у правильне рівність.

І т.п., логічно познайомитися з рівняннями та іншими видами. Наступними по черзі йдуть лінійні рівняння, цілеспрямоване вивчення яких починається під час уроків алгебри у 7 класі.

Зрозуміло, спочатку треба пояснити, що таке лінійне рівняння, дати визначення лінійного рівняння, його коефіцієнтів, показати його загальний вигляд. Далі можна розбиратися, скільки розв'язків має лінійне рівняння в залежності від значень коефіцієнтів, і як знаходиться коріння. Це дозволить перейти до вирішення прикладів і тим самим закріпити вивчену теорію. У цій статті ми це зробимо: детально зупинимося на всіх теоретичних та практичних моментах, що стосуються лінійних рівнянь та їх вирішення.

Відразу скажемо, що тут ми розглядатимемо лише лінійні рівняння з однією змінною, а вже в окремій статті вивчатимемо принципи вирішення лінійних рівнянь із двома змінними.

Навігація на сторінці.

Що таке лінійне рівняння?

Визначення лінійного рівняння дається у вигляді його записи. Причому різних підручниках математики і алгебри формулювання визначень лінійних рівнянь мають деякі відмінності, які впливають суть питання.

Наприклад, у підручнику алгебри для 7 класу Ю. Н. Макарічева та ін. Лінійне рівняння визначається наступним чином:

Визначення.

Рівняння виду a x = bде x – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо приклади лінійних рівнянь, які відповідають озвученому визначенню. Наприклад, 5 x = 10 - це лінійне рівняння з однією змінною x тут коефіцієнт a дорівнює 5 а число b є 10 . Інший приклад: −2,3·y=0 – це також лінійне рівняння, але із змінною y , у якому a=−2,3 та b=0 . А в лінійних рівняннях x=−2 та −x=3,33 a не присутні у явному вигляді та дорівнюють 1 та −1 відповідно, при цьому у першому рівнянні b=−2 , а у другому - b=3,33 .

А роком раніше в підручнику математики Віленкіна Н. Я. лінійними рівняннями з одним невідомим крім рівнянь виду a x = b вважали і рівняння, які можна привести до такого виду за допомогою перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також за допомогою приведення подібних доданків. Відповідно до цього визначення, рівняння виду 5 x = 2 x 6 і т.п. також лінійні.

У свою чергу у підручнику алгебри для 7 класів А. Г. Мордковича дається таке визначення:

Визначення.

Лінійне рівняння з однією змінною x- Це рівняння виду a x + b = 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Наприклад, лінійними рівняннями такого виду є 2·x−12=0 , тут коефіцієнт a дорівнює 2 , а b – дорівнює −12 і 0,2·y+4,6=0 з коефіцієнтами a=0,2 і b =4,6. Але в той же час там наводяться приклади лінійних рівнянь, що мають вигляд не x + b = 0, а x = b, наприклад, 3 x = 12 .

Давайте, щоб у нас надалі не було різночитань, під лінійним рівняннями з однією змінною x і коефіцієнтами a і b розумітимемо рівняння виду a x + b = 0 . Такий вид лінійного рівняння є найбільш виправданим, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівняння першого ступеня. А всі інші вказані вище рівняння, а також рівняння, які за допомогою рівносильних перетвореньнаводяться до вигляду a x + b = 0, будемо називати рівняннями, що зводяться до лінійних рівнянь. При такому підході рівняння 2 · x + 6 = 0 - це лінійне рівняння, а 2 · x = -6 , 4 +25 · y = 6 + 24 · y, 4 · (x +5) = 12 і т.п. - Це рівняння, що зводяться до лінійних.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Тепер настав час розібратися, як вирішуються лінійні рівняння a x + b = 0 . Іншими словами, час дізнатися, чи має лінійне рівняння коріння, і якщо має, то скільки їх і як їх знайти.

Наявність коренів лінійного рівняння залежить від значень коефіцієнтів a і b. При цьому лінійне рівняння a x + b = 0 має

• єдиний корінь при a≠0 ,
• не має коріння при a=0 і b≠0 ,
• має нескінченно багато коренів при a = 0 і b = 0, у цьому випадку будь-яке число є коренем лінійного рівняння.

Пояснимо, як було отримано ці результати.

Ми знаємо, що для вирішення рівнянь можна переходити від вихідного рівняння до рівносильних рівнянь , тобто до рівнянь з тими ж коренями або також як і вихідне, що не має коріння. Для цього можна використовувати такі рівносильні перетворення:

• перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком,
• а також множення або розподіл обидві частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.

Отже, у лінійному рівнянні з однією змінної виду a·x+b=0 ми можемо перенести доданок b з лівої частини праву частинуіз протилежним знаком. При цьому рівняння набуде вигляду a x = − b .

А далі напрошується поділ обох частин рівняння на число a. Але є одне але: число a може дорівнювати нулю, в цьому випадку такий поділ неможливий. Щоб впоратися з цією проблемою, спочатку вважатимемо, що число a відмінне від нуля, а випадок рівного нулю a розглянемо окремо трохи пізніше.

Отже, коли a не дорівнює нулю, ми можемо обидві частини рівняння a·x=−b розділити на a , після цього воно перетворюється на вигляд x=(−b):a , цей результат можна записати з використанням дробової риси як .

Таким чином, при a≠0 лінійне рівняння a x + b = 0 рівносильне рівнянню , звідки видно його корінь .

Нескладно показати, що це коріння єдине, тобто, лінійне рівняння не має іншого коріння. Це дозволяє зробити метод протилежного.

Позначимо корінь як х 1 . Припустимо, існує ще один корінь лінійного рівняння, який позначимо x 2 , причому x 2 ≠x 1 , що в силу визначення рівних чиселчерез різницюеквівалентно умові x 1 −x 2 ≠0. Оскільки x 1 і x 2 коріння лінійного рівняння a x + b = 0, то мають місце числові рівності a x 1 + b = 0 і a x 2 + b = 0 . Ми можемо виконати віднімання відповідних частин цих рівностей, що нам дозволяють зробити властивості числових рівностей , маємо a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , звідки a x 1 x 2)+( b−b)=0 і далі a·(x 1 −x 2)=0 . А ця рівність неможлива, тому що і a≠0 і x 1 −x 2 ≠0 . Так ми дійшли суперечності, що доводить єдиність кореня лінійного рівняння a x + b = 0 при a≠0 .

Так ми вирішили лінійне рівняння a x + b = 0 при a≠0. Перший результат, наведений на початку цього пункту, є обґрунтованим. Залишилися ще два, які відповідають умові a = 0.

При a = 0 лінійне рівняння a x + b = 0 набуває вигляду 0 x + b = 0 . З цього рівняння і властивості множення чисел на нуль випливає, що яке б число ми не взяли як x, при його підстановці рівняння 0 x + b = 0 вийде числова рівність b = 0 . Це рівність правильне, коли b=0 , а інших випадках при b≠0 це рівність неправильне.

Отже, при a = 0 і b = 0 будь-яке число є коренем лінійного рівняння a x + b = 0 , так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа дає правильну числову рівність 0 = 0 . А при a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a x + b = 0 не має коренів, так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа призводить до невірної числової рівності b = 0 .

Наведені обґрунтування дозволяють сформувати послідовність дій, що дозволяє вирішити будь-яке лінійне рівняння. Отже, алгоритм вирішення лінійного рівняннятакий:

• Спочатку по запису лінійного рівняння знаходимо значення коефіцієнтів a і b.
• Якщо a=0 і b=0 , це рівняння має нескінченно багато коренів, саме, будь-яке число є коренем цього лінійного рівняння.
• Якщо ж відмінно від нуля, то
• коефіцієнт b переноситься в праву частину з протилежним знаком, при цьому лінійне рівняння перетворюється на вигляд a x = − b ,
• після чого обидві частини отриманого рівняння діляться на відмінне від нуля число a, що дає шуканий корінь вихідного лінійного рівняння.

Записаний алгоритм є вичерпною відповіддю питанням, як вирішувати лінійні рівняння.

На закінчення цього пункту варто сказати, що схожий алгоритм застосовується для вирішення рівнянь виду a x = b. Його відмінність у тому, що з a≠0 відразу виконується розподіл обох частин рівняння цього числа, тут b вже у потрібної частини рівняння і потрібно здійснювати його перенесення.

Для вирішення рівнянь виду a x = b застосовується такий алгоритм:

• Якщо a=0 і b=0 , то рівняння має безліч коренів, якими є будь-які числа.
• Якщо a=0 і b≠0 то вихідне рівняння не має коренів.
• Якщо ж a від нуля, то обидві частини рівняння діляться на відмінне від нуля число a , звідки перебуває єдиний корінь рівняння, рівний b/a .

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Переходимо до практики. Розберемо, як застосовується алгоритм розв'язання лінійних рівнянь. Наведемо рішення характерних прикладів, що відповідають різним значеннямкоефіцієнтів лінійних рівнянь

приклад.

Розв'яжіть лінійне рівняння 0·x−0=0 .

Рішення.

У цьому лінійному рівнянні a=0 і b=−0 , що саме, b=0 . Отже, це рівняння має безліч коренів, будь-яке число є коренем цього рівняння.

Відповідь:

x – будь-яке число.

приклад.

Чи має рішення лінійне рівняння 0 x + 2,7 = 0?

Рішення.

У даному випадкукоефіцієнт a дорівнює нулю, а коефіцієнт b цього лінійного рівняння дорівнює 2,7 тобто відмінний від нуля. Тому лінійне рівняння не має коріння.

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не сама складна тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись який зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає для повного щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками по довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. на спільний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетвореньдо отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі вирішення найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, вам трапилося вам елементарне рівняння, щось, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Нумо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А кажучи простою мовою, Неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного рішеннярівняння.)

Знову міркуємо, виходячи з загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Привести подібні доданкиліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тож пропускаємо даний етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: мова йделише про окремих доданків. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що розв'язання рівнянь — це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко та грамотно виконувати прості діїпризводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі хотів би нагадати учням, що таке алгебраїчна сума. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми отримали остаточне рішення, Переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!