Складні дроби. Дії з дробами

У даному розділірозглядаються дії з звичайними дробами. Якщо необхідно провести математичну операціюзі змішаними числами, достатньо перекласти змішаний дрібу особливу, провести необхідні операції і, у разі потреби, кінцевий результат знову подати у вигляді змішаного числа. Ця операція буде описана нижче.

Скорочення дробу

Математична операція. Скорочення дробу

Щоб скоротити дріб \frac(m)(n) потрібно знайти найбільший загальний дільник її чисельника та знаменника: НОД(m,n), після чого поділити чисельник і знаменник дробу на це число. Якщо НОД(m,n)=1, то дріб скоротити не можна. Приклад: frac(20)(80)=frac(20:20)(80:20)=frac(1)(4)

Зазвичай відразу знайти найбільший спільний дільник. складним завданнямі на практиці дріб скорочують у кілька етапів, покроково виділяючи у чисельника та знаменника очевидні загальні множники. frac(140)(315)=frac(28cdot5)(63cdot5)=frac(4cdot7cdot5)(9cdo7cdot5)=frac(4)(9)

Приведення дробів до спільному знаменнику

Математична операція. Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести два дроби \frac(a)(b) і \frac(c)(d) до спільного знаменника потрібно:

• визначити найменше загальне кратне знаменників: M = НОК (b, d);
• помножити чисельник і знаменник першого дробу на M/b (після чого знаменник дробу стає рівним числу M);
• помножити чисельник і знаменник другого дробу на M/d (після чого знаменник дробу стає рівним числу M).

Тим самим ми перетворимо вихідні дроби до дробів з однаковими знаменниками (які дорівнюватимуть числу M).

Наприклад, дроби \frac(5)(6) і \frac(4)(9) мають НОК(6,9) = 18. Тоді: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3)(6 \ cdot3) = frac (15) (18); quad frac (4) (9) = frac (4 cdot2) (9 cdot2) = frac (8) (18) . Тим самим отримані дроби мають спільний знаменник.

Насправді знаходження найменшого загального кратного (НОК) знаменників не завжди простим завданням. Тому як спільний знаменник вибирається число, рівне творузнаменників вихідних дробів. Наприклад, дроби \frac(5)(6) і \frac(4)(9) приводяться до спільного знаменника N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9cdot6)=frac(24)(54)

Порівняння дробів

Математична операція. Порівняння дробів

Для порівняння двох звичайних дробів необхідно:

• порівняти чисельники дробів, що вийшли; дріб із великим чисельником буде більшим.

Наприклад, \frac(9)(14)

При порівнянні дробів є кілька окремих випадків:

1. Із двох дробів з однаковими знаменникамибільший той дріб, чисельник якого більший. Наприклад, \frac(3)(15)
2. Із двох дробів з однаковими чисельникамибільший той дріб, знаменник якого менший. Наприклад, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Той дріб, у якого одночасно більший чисельник та менший знаменникбільше. Наприклад, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Увага!Правило 1 діє для будь-яких дробів, якщо їх спільний знаменник є позитивним числом. Правила 2 та 3 діють для позитивних дробів(у яких і чисельник і знаменник більший за нуль).

Додавання та віднімання дробів

Математична операція. Додавання та віднімання дробів

Щоб скласти два дроби, потрібно:

• привести їх до спільного знаменника;
• скласти їх чисельники, а знаменник залишити без змін.

Приклад: frac(7)(9)+frac(4)(7)=frac(7cdot7)(9cdot7)+frac(4cdot9)(7cdot9)=frac(49) )(63)+frac(36)(63)=frac(49+36)(63)=frac(85)(63)

Щоб від одного дробу відняти інший, потрібно:

• привести дроби до спільного знаменника;
• від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без змін.

Приклад: frac(4)(15)-frac(3)(5)=frac(4)(15)-frac(3cdot3)(5cdo3)=frac(4)(15) -frac(9)(15)=frac(4-9)(15)=frac(-5)(15)=-frac(5)(3cdot5)=-frac(1)( 3)

Якщо вихідні дроби спочатку мають спільний знаменник, то пункт 1 (приведення до спільного знаменника) пропускається.

Перетворення змішаного числа на не правильний дрібі назад

Математична операція. Перетворення змішаного числа на неправильний дріб і назад

Щоб перетворити змішаний дріб на неправильний, достатньо підсумувати цілу частину змішаного дробу з дробовою частиною. Результатом такої суми стане неправильний дріб, чисельник якого дорівнює сумітвори цілої частини на знаменник дробу з чисельником змішаного дробу, а знаменник залишиться тим самим. Наприклад, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Щоб перетворити неправильний дріб на змішане числонеобхідно:

• поділити чисельник дробу на його знаменник;
• залишок від поділу записати в чисельник, а знаменник залишити тим самим;
• результат від розподілу записати як цілу частину.

Наприклад, дріб \frac(23)(4) . При розподілі 23:4 = 5,75, тобто ціла частина 5, залишок від розподілу дорівнює 23-5 * 4 = 3. Тоді змішане число запишеться: 5 frac (3) (4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Перетворення десяткового дробу на звичайний

Математична операція. Перетворення десяткового дробу на звичайний

Для того, щоб звернути десятковий дріб у звичайний, треба:

1. як знаменник взяти n-ий ступінь десяти (тут n - кількість десяткових знаків);
2. як чисельник взяти число, що стоїть після десяткової точки (якщо ціла частина вихідного числа не дорівнює нулю, то брати в тому числі і всі нулі, що стоять попереду);
3. відмінна від нуля ціла частина записується в чисельнику на самому початку; нульова ціла частина опускається.

Приклад 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (десяткових знаків 4, тому в знаменнику 10 4 =10000, оскільки ціла частина дорівнює 0, то в чисельнику записано число після десяткової точки без початкових нулів)

Приклад 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (у чисельник записуємо число після десяткової точки з усіма нулями: "0109", а потім перед ним дописуємо цілу частину вихідного числа "31")

Якщо ціла частина десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна перевести в змішаний дріб. Для цього переводимо число у звичайний дріб як би ціла частина дорівнювала нулю (пункти 1 і 2), а цілу частину просто переписуємо перед дробом - це буде ціла частина змішаного числа. Приклад:

3.014=3\frac(14)(100)

Щоб перевести звичайний дріб у десятковий, досить просто зробити розподіл чисельника на знаменник. Іноді вийде нескінченна десятковий дріб. І тут необхідно зробити округлення до потрібного десяткового знака. Приклади:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Множення та поділ дробів

Математична операція. Множення та поділ дробів

Щоб перемножити два звичайні дроби, треба перемножити чисельники та знаменники дробів.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Щоб розділити один звичайний дріб на інший, треба помножити перший дріб на дріб, зворотний другий ( зворотний дріб- дріб, у якому поміняні місцями чисельник і знаменник).

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

У випадку, якщо один із дробів є натуральним числом, то вказані вище правила множення та поділу залишаються чинними. Просто потрібно враховувати, що ціле число це той самий дріб, знаменник якого дорівнює одиниці. Наприклад: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3)= \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Розширення дробу. Скорочення дробу. Порівняння дробів.
Приведення до спільного знаменника. Складання та віднімання дробів.
Розмноження дробів. Розподіл дробів.
Розширення дробу. Значення дробу не змінюється, якщо помножити його чисельник і знаменник на те саме число, відмінне від нуля. Це перетворення називається розширенням дробу. Наприклад,

Скорочення дробу. Значення дробу не змінюється, якщо розділити її чисельник і знаменник одне й те число, відмінне від нуля. Це перетворення називається скороченням дробу. Наприклад,

Порівняння дробів. З двох дробів з однаковими чисельниками та більша, знаменник якої менший:

З двох дробів з однаковими знаменниками той більший, чисельник якого більший:

Для порівняння дробів, у яких чисельники та знаменники різні, необхідно розширити їх, щоб привести до спільного знаменника.
П р і м е р. Порівняти два дроби:

Використане перетворення називається приведенням дробів до спільного знаменника.
Складання та віднімання дробів. Якщо знаменники дробів однакові, то для того, щоб скласти дроби, треба скласти їх чисельники, а для того, щоб відняти дроби, треба відняти їх чисельники (у тому порядку). Отримана сума чи різницю буде чисельником результату; знаменник залишиться тим самим. Якщо знаменники дробів різні, спочатку необхідно привести дроби до спільного знаменника. При додаванні змішаних чисел їх цілі та дробові частини складаються окремо. При відніманні змішаних чисел ми рекомендуємо спочатку перетворити їх до виду неправильних дробів, потім відняти з одного іншого, а після цього знову привести результат, якщо потрібно, до виду змішаного числа.
П р і м е р.

Розмноження дробів. Помножити кілька на дріб означає помножити його на чисельник і розділити твір на знаменник. Отже, ми маємо загальне правиломноження дробів: для перемноження дробів необхідно перемножити окремо їх чисельники та знаменники та розділити перший твір на другий.
П р і м е р.

Розподіл дробів. Щоб поділити деяке число на дріб, необхідно помножити це число на зворотний дріб. Це випливає з визначення поділу (див. розділ “Арифметичні операції”).
П р і м е р.

Великий російський критик В. Г. Бєлінський сказав, що завдання поезії полягає в тому, "щоб отримувати поезію життя З прози життя і вражати душі вірним зображенням життя". Саме таким письменником, письменником, що приголомшує душі зображенням часом найменших картин існування людини у світі, є Н. В, Гоголь. Найбільша заслуга Гоголя перед російським суспільством, як на мене.

Ця стаття – спроба зібрати воєдино різнорідну інформацію щодо найбільш поширеного серед любителів сонячних спостережень телескопа. Тією чи іншою мірою вона зібрана на російських та зарубіжних астрономічних інтернет-форумах, також в інтернеті зібрані всі фотографії, розміщені нижче. Технічні параметри, особливості конструкції, можливі.

Десяткова системаДесяткова система числення - позиційна система числення на підставі 10. Найбільш поширена система числення у світі. Для запису чисел найчастіше використовуються символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, які називаються арабськими цифрами. Передбачається, що основа 10 пов'язана з кількістю пальців рук людини. .

Математика. 1 - 4 клас У цьому розділі Ви познайомитеся з такими поняттями та термінами, як додавання, віднімання, множення та поділ. Так само ви познайомитеся з математичними діями та порядком їх виконання, математичними казками та багатьом іншим. .

for-schoolboy.ru

Додавання звичайних дробів виконується так:

а) якщо знаменники дробів однакові, то до чисельника першого дробу додають чисельник другого дробу і залишають той самий знаменник, тобто.

б) якщо знаменники дробів різні, то дроби спочатку призводять до спільного знаменника, краще до найменшого, а потім застосовують правило а).

Приклад 1. Скласти дроби та Рішення. Маємо:

Віднімання звичайних дробів виконують наступним чином:

а) якщо знаменники дробів однакові, то

б) якщо знаменники різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, а потім застосовують правило а).

Примноження звичайних дробів виконують таким чином:

т. е. перемножують окремо чисельники, окремо знаменники, перший твір роблять чисельником, другий - знаменником.

Наприклад,

Розподіл звичайних дробів виконують так:

тобто ділене множать на дріб, зворотний дільник

Наприклад, .

Приклад 2. Знайти значення числового виразу

Рішення. 1) Скоротивши чисельник і знаменник на 3 (це корисно зробити до виконання дій множення в чисельнику та знаменнику), отримаємо т. е. Отже

3) При знаходженні значення вираження дії додавання та віднімання можна виконувати одночасно. Найменшим загальним кратним чисел 15, 20, 30 є число 60. Наведемо всі три дроби до знаменника 60, використавши додаткові множники: для першого дробу 4, для другого - 3, для третього - 2. Отримаємо:

Приклад 3. Виконати дії: а)

Рішення, а) Перший метод. Звернімо кожне з цих змішаних чисел у неправильний дріб, а потім виконаємо додавання:

Обернемо тепер неправильний дріб у змішане число:

Другий спосіб. Маємо

б) У разі множення та поділу змішаних чисел завжди переходять до неправильних дробів:

Значить, о 7-й

Дії зі звичайними дробами

Розділи:Математика

1) контроль та систематизація знань учнів на тему;

2) розвивати обчислювальні навички, логіку, математичну пильність;

3) виховувати самостійність, інтерес до предмета, сумлінне ставлення до навчальної праці.

ОБЛАДНАННЯ:комп'ютерний клас, ПК-9 шт

1) особистісно-орієнтоване навчання;

2) рівнева диференціація;

3) ігрова технологія;

2. ПОСТАНОВКА ЦІЛІ УРОКУ.

Сьогодні напередодні контрольної роботиу нас буде можливість проаналізувати свою навчальну діяльністьта відпрацювати обчислювальні навички виконання всіх дій зі звичайними дробами на електронному тренажері.

Уч-ся записують на спеціально підготовлених аркушах число та найменування роботи.

3. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

Щоб отримати допуск до індивідуальної роботиви повинні усно відповісти на запитання (у кожного на столі дидактичний матеріалО.П Єршова, В.В.Голобородько « Усна математика»):

1. Сформулюйте основну властивість дробу.

2. Правило знаходження найменшого спільного знаменника двох дробів.

3. Виконайте додавання

4. Які числа називаються взаємно оберненими?

5. Як поділити дріб на дріб?

Учся фронтально повторюють правила виконання дій зі звичайними дробами і виконують завдання з коментуванням.

4. ІНСТРУКЦІЯ щодо виконання етапів уроку

Сьогодні у вас є можливість перевірити себе у 3-х номінаціях: інформатиків, математиків та аналітиків. Учні діляться на 3 групи, і отримують карти самоаналізу (Додаток 1), відповідно до яких проходять всі етапи. (Вчитель фіксує оцінки всіх трьох етапів та виставляє середньоарифметичне в картах команд Додаток 2)

На комп'ютері, на залікових аркушах, за корекційними картками чи творчими завданнями

5. 1 етапЕЛЕКТРОННИЙ ТРЕНАЖЕР (Додаток 3) - інформатики

Насамперед ваш успіх на цьому етапі залежить від того наскільки уважно ви виконуватимете правила гри «Біатлон»

Тренування складається з трьох етапів, що відрізняються один від одного складністю завдань. Кожен етап включає «лижну гонку» та «вогневий рубіж». У режимі «лижних перегонів» потрібно визначити вірним чи невірним є запропоноване твердження і клацнути мишею на відповідній кнопці на екрані.

У режимі «на вогневому рубежі» необхідно виконати чотири (1 етап) або три (2 та 3 етапи) завдання на обчислення суми, різниці, твору або приватного двох дробів. Ваша відповідь – це постріл по мішені. Ви потрапляєте в «яблучко», якщо Ваша відповідь — нескорочуваний дріб.

Вчитель фіксує оцінки, виставлені комп'ютером. У карті команди.

Усна самостійна роботауч-ся.

Уч-ся усно відповідають питання, виконують дії і записують результат на комп'ютері. А в карті самоаналізу фіксують свої помилки.

(кожен учень групи за комп'ютером)

Після закінчення гри комп'ютер оцінює учня.

6. 2 етапЗАЛІК ЗА ТЕОРІЇ ( А.П Єршова «Усна математика»):- Аналітики

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Прості дроби. Дії над звичайними дробами

Підписано до друку з готових діапозитивів 12.02.01. Формат: 84х108/32. Гарнітура. Папір тип. № 2. Друк офсетний. Ум. піч. л. 25,1. Тираж 5000 екз. Замовлення №106.

Податкова пільга - загальноросійський класифікатор продукції ОК-005-093, том 2; 953000 - книги, брошури.

Надруковано з готових діапозитивів на ДІВП «Уральський робітник», 620219, м. Єкатеринбург, вул. Тургенєва, 13.

Тема №1.

Арифметичні обчислення. Відсотки.

Прості дроби. Події над звичайними дробами.

1º. Натуральні числа- Це числа, що вживаються за рахунку. Багато всіх натуральних чисел позначають N, тобто. N = .

Дробиноюназивається число, що складається з кількох часток одиниці. Звичайним дробомназивається число виду , де натуральне число nпоказує, на скільки рівних частинрозділена одиниця, а натуральне число mпоказує скільки таких рівних частин взято. Числа mі nназивають відповідно чисельникомі знаменникомдроби.

Якщо чисельник менший за знаменник, то звичайний дріб називається правильною; якщо чисельник дорівнює знаменнику або більше за нього, то дріб називається неправильною. Число, що складається з цілої та дробової частин, називається змішаним числом.

Наприклад, правильні звичайні дроби, неправильні звичайні дроби, 1 змішане число.

2º. Під час виконання дій над звичайними дробами слід пам'ятати такі правила:

1) Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде дріб, рівний даній.

Наприклад, а) ; б).

Поділ чисельника та знаменника дробу на їхній спільний дільник, відмінний від одиниці, називається скороченням дробу.

2) Щоб змішане число подати у вигляді неправильного дробу, потрібно помножити його цілу частину на знаменник дробової частини та до отриманого твору додати чисельник дробової частини, записати отриману суму чисельником дробу, а знаменник залишити тим самим.

Аналогічно будь-яке натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу з будь-яким знаменником.

Наприклад, а) , оскільки ; б) і т.д.

3) Щоб неправильний дріб записати у вигляді змішаного числа (тобто з неправильного дробу виділити цілу частину), потрібно чисельник розділити на знаменник, приватне від розподілу взяти як цілу частину, залишок - як чисельник, знаменник залишити колишнім.

Наприклад, а) , оскільки 200: 7 = 28 (зуп. 4);
б), оскільки 20: 5 = 4 (зуп. 0).

4) Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба знайти найменше спільне кратне (НОК) знаменників цих дробів (воно і буде їх найменшим спільним знаменником), розділити найменший спільний знаменник на знаменники даних дробів (тобто знайти додаткові множники для дробів) , помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник

Наприклад, наведемо дроби до найменшого спільного знаменника:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Значить, ; ; .

5) Правила арифметичних дійнад звичайними дробами:

a) Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками виконується за правилом:

b) Додавання та віднімання дробів з різними знаменникамивиконується за правилом a), попередньо привівши дроби до найменшого спільного знаменника.

c) При складанні та відніманні змішаних чисел можна звернути їх у неправильні дроби, а потім виконати дії за правилами a) та b),

d) При множенні дробів користуються правилом:

e) Щоб розділити один дріб на інший, треба ділене помножити на число, протилежне дільнику:

f) При множенні та розподілі змішаних чисел їх попередньо переводять у неправильні дроби, а потім користуються правилами d) та e).

Презентація з предмету «Математика» на тему: «Презентація до уроку «Дії зі звичайними дробами» Виконала вчитель математики Колбіна Євгенія Вікторівна». Завантажити безкоштовно та без реєстрації. - Транскрипт:

1 Презентація до уроку «Дії зі звичайними дробами» Виконала вчитель математики Колбіна Євгенія Вікторівна

2 Цілі уроку. Навчальні: повторення правил порівняння, додавання, віднімання, множення та поділу звичайних дробів; узагальнення та систематизація знань про звичайні дроби, закріплення та вдосконалення навичок дій зі звичайними дробами; відпрацювання навичок усного рахунку та вміння застосовувати правила при вирішенні більш складних прикладів. Розвиваючі: розвиток умінь навчально-пізнавальної діяльності; розвиток культури усної та письмової мови; розвиток навичок самоконтролю та самооцінки досягнутих знань та умінь. Виховні: виховання уважності, активності, самостійності, відповідальності.

3 Без чого не можуть обійтися математики, барабанщики та навіть мисливці?

4 Який зараз місяць? Яка пора року? Чим вам подобається зима?

5 Сьогодні на уроці ми з вами ліпитимемо сніговика, тільки не зі снігу, а з наших знань

6 Оціночний лист(Ф.І. учня) « Кучугури» «1 кім» «2 кому» «3 кому» «Атрибути» Разом Оцінка

7 1. Щоб порівняти (скласти, відняти) дроби з різними, треба: 1) привести ці дроби до; 2) порівняти (скласти, відняти) отримані дроби. 2. Щоб скласти (відняти) змішані числа, треба: 1) привести дробові частини до; 2) окремо виконати додавання (віднімання) частин і дробових частин. 3. Щоб помножити дріб на натуральне число, треба його помножити на це число, а залишити без зміни. знаменниками НОЗ (найменшому загальному знаменнику) НОЗ цілих чисельник знаменник 4. Щоб помножити дріб на дріб, треба знайти твір та твір. 5. Для того, щоб виконати множення змішаних чисел, треба записати їх у вигляді дробів, а потім скористатися правилом дробів. 6. Щоб розділити один дріб на інший, потрібно помножити на число дільнику. чисельників знаменників неправильних множення ділене зворотне «ЗМІНИ» За кожне правильне правило – 1 бал

8 «1 ком» За кожну правильну відповідь – 1 бал

10 I Варіант 635(а) II Варіант 635(б) «2 кому» За кожну правильну дію – 1 бал

12 Трава маленька-маленька. Дерева високі-високі. Вітер дерева хитає-хитає. То праворуч, то ліворуч нахиляє. То вгору, то назад. То вниз згинає. Птахи летять-літають. Учні тихенько за парти сідають. Фізхвилинка

13 Завдання Туристи вирушили у похід. Першого дня вони пройшли км, що у км більше, ніж другого дня. А третій день вони пройшли вдвічі менше, ніж першого. Скільки кілометрів туристи пройшли за ці три дні? «3 кому»

14 1) знайдемо, скільки туристи пройшли у другий день, для цього з віднімемо 2) знайдемо, скільки туристи пройшли у третій день, для цього розділимо на 2 3) складемо, результат 1 дії та результат другої дії та знайдемо, скільки вони пройшли за ці три дні. Відповідь: План рішення За кожну правильну дію – 1 бал + 1 бал за правильну відповідь

16 Тест «Атрибути» За кожну правильну відповідь 1 бал

18 27-30 балів - "5" балів - "4" балів - "3" 0-14 балів - "2"

19 Домашнє завдання: 635 (г), 643 Приготувати доповідь на тему: походження звичайних дробів

20 Підсумок уроку Все сподобалося! Важко, але цікаво! Втомився!

21 Великий російський письменник Л.М. Толстой вважав, що людина нагадує дріб, знаменник якої — те, що він думає себе, а чисельник — те, що думають нього. Я бажаю вам, щоб чисельник у вашому житті був більшим за знаменник.

З дробами учні знайомляться ще у 5 класі. Раніше людей, що вміли робити дії з дробами, вважали дуже розумними. Першим дробом була 1/2, тобто половина, далі з'явилися 1/3 тощо. Кілька століть приклади вважалися надто складними. Зараз же розроблені докладні правила щодо перетворення дробів, додавання, множення та інших дій. Достатньо трохи розібратися в матеріалі, і рішення даватиметься легко.

Звичайний дріб, який називають простим дробом, записується як розподіл двох чисел: m і n.

M - це ділимо, тобто чисельник дробу, а дільник n називають знаменником.

Виділяють правильні дроби (m< n) а также неправильные (m >n).

Правильна дріб менше одиниці (наприклад 5/6 — це означає, що з одиниці взято 5 елементів; 2/8 — від одиниці взято 2 частини). Неправильний дріб дорівнює або більше 1 (8/7 - одиницею буде 7/7 і плюсом взято ще одну частину).

Так, одиниця, це коли чисельник та знаменник збіглися (3/3, 12/12, 100/100 та інші).

Дії зі звичайними дробами 6 клас

З простими дробами можна робити такі дії:

• Розширювати дріб. Якщо помножити верхню та нижню частинудроби на будь-яке однакове число(Тільки не на нуль), то значення дробу не зміниться (3/5 = 6/10 (просто помножили на 2).
• Скорочення дробів — схоже на розширення, але тут ділять на якесь число.
• Порівнювати. Якщо у двох дробів чисельники однаковими, то більшим виявиться дріб із меншим знаменником. Якщо однакові знаменники, то більше буде дріб із найбільшим чисельником.
• Виконувати додавання та віднімання. При однакових знаменникахце зробити просто (підсумовуємо верхні частини, а нижня не змінюється). При різних доведеться знайти спільний знаменник та додаткові множники.
• Помножити та розділити дроби.

Приклади дій із дробами розглянемо нижче.

Скорочені дроби 6 клас

Скоротити — означає поділити верхню і нижню частину дробу якесь однакове число.

На малюнку представлені найпростіші приклади скорочення. У першому варіанті можна відразу здогадатися, що чисельник та знаменник діляться на 2.

На замітку! Якщо число парне, воно по-любому ділиться на 2. Парні числа- Це 2, 4, 6 ... 32 8 (закінчується на парне) тощо.

У другий випадок при розподілі 6 на 18 відразу видно, що числа діляться на 2. Розділивши, отримуємо 3/9. Цей дріб ділиться ще на 3. Тоді у відповіді виходить 1/3. Якщо перемножити обидва дільники: 2 на 3, то вийде 6. Виходить, що дріб був поділений на шістку. Такий поступовий поділ називається послідовним скороченням дробу на спільні дільники.

Хтось одразу поділить на 6, комусь знадобиться поділ частинами. Головне, щоб наприкінці залишився дріб, який вже не скоротити.

Зазначимо, що якщо число складається з цифр, при додаванні яких вийде число, що ділиться на 3, то і первісне також можна скоротити на 3. Приклад: число 341. Складаємо цифри: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не ділиться, значить, число 341 не можна скоротити на 3 без залишку). Інший приклад: 264. Складаємо: 2+6+4=12 (ділиться на 3). Отримуємо: 264: 3 = 88. Це спростить скорочення великих чисел.

Крім методу послідовного скорочення дробу загальні дільники є й інші способи.

НОД - це найбільший дільник для числа. Знайшовши НОД для знаменника та чисельника, можна відразу скоротити дріб на потрібне число. Пошук здійснюється шляхом поступового розподілу кожного числа. Далі дивляться, які дільники збігаються, якщо їх кілька (як на зображенні нижче), то потрібно перемножити.

Змішані дроби 6 клас

Усі неправильні дроби можна перетворити на змішані, виділивши в них цілу частину. Ціла кількість пишеться зліва.

Часто доводиться із неправильного дробу робити змішане число. Процес перетворення з прикладу нижче: 22/4 = 22 ділимо на 4, отримуємо 5 цілих (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Отримуємо 5 цілих і 2/4 (знаменник не змінюється). Оскільки дріб можна скоротити, то ділимо верхню та нижню частину на 2.

Змішане число легко перетворити на неправильний дріб (це необхідно при розподілі та множенні дробів). Для цього: ціле число помножимо на нижню частину дробу та додамо до цього чисельник. Готово. Знаменник не змінюється.

Обчислення з дробами 6 клас

Змішані числа можна складати. Якщо знаменники однакові, зробити це просто: складаємо цілі частини і чисельники, знаменник залишається дома.

При додаванні чисел з різними знаменниками процес складніший. Спочатку наводимо числа до одного самого маленькому знаменнику(НОЗ).

У прикладі нижче для чисел 9 та 6 знаменником буде 18. Після цього потрібні додаткові множники. Щоб їх знайти, слід розділити 18 на 9, так знаходиться додаткове число — 2. Його множимо на чисельник 4 вийшов дріб 8/18). Те саме роблять і з другим дробом. Перетворені дроби вже складаємо (цілі числа та чисельники окремо, знаменник не змінюємо). У прикладі відповідь довелося перетворити на правильний дріб (спочатку чисельник виявився більшим за знаменник).

Зверніть увагу, що при різниці дробів алгоритм дій такий самий.

При множенні дробів важливо помістити обидві під одну межу. Якщо число змішане, то перетворюємо його на простий дріб. Далі множимо верхню та нижню частини та записуємо відповідь. Якщо видно, що дроби можна скоротити, скорочуємо відразу.

У цьому прикладі скорочувати нічого не довелося, просто записали відповідь і виділили цілу частину.

У цьому прикладі довелося скоротити числа під однією межею. Хоча скорочувати можна і готову відповідь.

При розподілі алгоритм майже такий самий. Спочатку перетворюємо змішаний дріб на неправильний, потім записуємо числа під однією рисою, замінивши поділ множенням. Не забуваємо верхню і нижню частину другого дробу поміняти місцями (це правило поділу дробів).

При необхідності скорочуємо числа (у прикладі нижче скоротили на п'ятірку та двійку). Неправильний дріб перетворимо, виділивши цілу частину.

Основні завдання на дроби 6 клас

На відео показано ще кілька завдань. Для наочності використані графічні зображеннярішень, які допоможуть наочно подати дроби.

Приклади множення дробу 6 клас із поясненнями

дроби, Що Перемножуються, записуються під однією лінією. Після цього їх скорочують шляхом розподілу на ті самі числа (наприклад, 15 в знаменнику і 5 в чисельнику можна розділити на п'ятірку).

Порівняння дробів 6 клас

Щоб порівняти дроби, потрібно запам'ятати два прості правила.

Правило 1. Якщо знаменники різні

Правило 2. Коли знаменники однакові

Наприклад, порівняємо дроби 7/12 та 2/3.

1. Дивимося на знаменники, вони не збігаються. Значить, потрібно знайти загальний.
2. Для дробів загальним знаменником буде 12.
3. Ділимо 12 спочатку на нижню частину першого дробу: 12: 12 = 1 (це дод. множник для 1-го дробу).
4. Тепер 12 ділимо на 3, отримуємо 4 - дод. множник 2-го дробу.
5. Помножуємо отримані цифри на чисельники, щоб перетворити дроби: 1 х 7 = 7 (перший дріб: 7/12); 4 х 2 = 8 (другий дріб: 8/12).
6. Тепер можемо порівнювати: 7/12 та 8/12. Вийшло: 7/12< 8/12.

Щоб репрезентувати дроби краще, можна для наочності використовувати малюнки, де предмет ділиться на частини (наприклад, торт). Якщо потрібно порівняти 4/7 і 2/3, то першому випадку торт ділять на 7 частин і вибирають 4 їх. У другому ділять на 3 частини і беруть 2. Неозброєним поглядом буде зрозуміло, що 2/3 буде більше 4/7.

Приклади з дробами 6 клас для тренування

Як тренування можна виконати такі завдання.

• Порівняти дроби

• виконати множення

Порада: якщо складно знайти найменший загальний знаменник у дробів (особливо якщо значення їх невеликі), то можна перемножити знаменник першого і другого дробу. Приклад: 2/8 та 5/9. Знайти їх знаменник просто: 8 множимо на 9, вийде 72.

Розв'язання рівнянь із дробами 6 клас

У вирішенні рівнянь потрібно згадати дії з дробами: множення, розподіл, віднімання та додавання. Якщо невідомий один із множників, то добуток (підсумок) ділиться на відомий множник, тобто дроби перемножуються (другий перевертається).

Якщо невідомо ділене, то знаменник множиться на дільник, а пошуку дільника потрібно ділене розділити на приватне.

Уявимо прості прикладирозв'язки рівнянь:

Тут потрібно лише зробити різницю дробів, не призводячи до спільного знаменника.

Розподіл на 1/2 замінили множенням на 2 (перевернули дріб).

Складаючи 1/2 та 3/4, прийшли до спільного знаменника 4. При цьому для першого дробу знадобився додатковий множник 2, з 1/2 вийшло 2/4.

Склали 2/4 та 3/4 - отримали 5/4.

Не забули про множення 5/4 на 2. Шляхом скорочення 2 та 4 отримали 5/2.

Відповідь вийшла у вигляді неправильного дробу. Її можна перетворити на 1 цілу і 3/5.

У другому способі чисельник та знаменник помножили на 4, щоб скоротити нижню частину, а не перевертати знаменник.

496. Знайти х, якщо:

497. 1) Якщо до 3/10 невідомого числа додати 10 1/2, то вийде 13 1/2. Знайти невідоме число.

2) Якщо від 7/10 невідомого числа відняти 10 1/2, то вийде 15 2/5. Знайти невідоме число.

498 *. Якщо з 3/4 невідомого числа відняти 10 та отриману різницю помножити на 5, то вийде 100. Знайти число.

499 *. Якщо невідоме число збільшити на 2/3 його, то вийде 60. Яке число?

500 *. Якщо до невідомої кількостідодати стільки ж, та ще 20 1/3, то вийде 105 2/5. Знайти невідоме число.

501. 1) Урожай картоплі при квадратно-гніздовій посадці складає в середньому 150 ц з 1 га, а при звичайній посадці 3/5 цієї кількості. На скільки більше можна зібрати картоплі з площі 15 га, якщо посадку картоплі робити квадратно-гніздовим способом?

2) Досвідчений робітник виготовив за 1 годину 18 деталей, а малодосвідчений 2/3 цієї кількості. На скільки більше деталей виготовить досвідчений робітник за 7-годинний робочий день?

502. 1) Піонери зібрали протягом трьох днів 56 кг різного насіння. У перший день було зібрано 3/14 усієї кількості, у другий - у півтора рази більше, а в третій день - інше зерно. Скільки кілограмів насіння зібрали піонери третього дня?

2) При розмелі пшениці вийшло: борошна 4/5 усієї кількості пшениці, манної крупи - в 40 разів менше, ніж борошна, а решта - висівки. Скільки борошна, манної крупи та висівок окремо вийшло за розмелювання 3 т пшениці?

503. 1) У трьох гаражах міститься 460 машин. Число машин, що поміщаються в першому гаражі, становить 3/4 числа машин, що поміщаються у другому, а в третьому гаражі в 1 1/2 рази більше машин, ніж у першому. Скільки машин міститься у кожному гаражі?

2) На заводі, що має три цехи, працює 6000 робітників. У другому цеху працює в 1 1/2 рази менше, ніж у першому, а число робітників третього цеху становить 5/6 числа робітників другого цеху. Скільки робітників у кожному цеху?

504. 1) З резервуару з гасом відлили спочатку 2/5, потім 1/3 всього гасу і після цього в резервуарі залишилося 8 т гасу. Скільки гасу було в резервуарі спочатку?

2) Велосипедисти вели перегони протягом трьох днів. Першого дня вони проїхали 4/15 всього шляху, другого — 2/5, а третій день залишилися 100 км. Який шлях проїхали велосипедисти за три дні?

505. 1) Криголам три дні пробивався через крижане поле. У перший день він пройшов 1/2 всього шляху, у другий день 3/5 шляху, що залишився, і в третій день решта 24 км. Знайти довжину шляху, пройденого криголамом за три дні.

2) Три загони школярів проводили посадку дерев із озеленення села. Перший загін посадив 7/20 всіх дерев, другий 5/8 дерев, що залишилися, а третій решту 195 дерев. Скільки дерев посадили три загони?

506. 1) Комбайнер забрав урожай пшениці з однієї ділянки за три дні. У перший день він прибрав урожай з 5/18 усієї площі ділянки, у другий день з 7/13 площі, що залишилася, і в третій день - з решти площі в 30 1/2 га. Загалом із кожного гектара зібрано 20 ц пшениці. Скільки пшениці було зібрано на всій ділянці?

2) Учасники автопробігу в перший день пройшли 3/11 всього шляху, у другий день 7/20 шляху, що залишився, в третій день 5/13 нового залишку, а в четвертий день-решта 320 км. Як великий шлях автопробігу?

507. 1) Автомобіль пройшов у перший день 3/8 всього шляху, у другий 15/17 того, що пройшов у перший, і в третій день решта 200 км. Скільки бензину було витрачено, якщо на 10 км шляху автомобіль витрачає 1 3/5 кг бензину?

2) Місто складається із чотирьох районів. І в першому районі живе 4/13 всіх жителів міста, у другому 5/6 числа жителів першого району, у третьому 4/11 числа жителів перших; двох районів разом узятих, а в четвертому районі мешкає 18 тисяч осіб. Скільки хліба потрібно всьому населенню міста на 3 дні, якщо в середньому одна людина споживає 500 г на день?

508. 1) Турист пройшов у перший день 10/31 всього шляху, у другий 9/10 того, що пройшов у перший день, а в третій решту шляху, причому у третій день він пройшов на 12 км більше, ніж у другий день. Скільки кілометрів пройшов турист за кожен із трьох днів?

2) Весь шлях від міста А до міста Б автомобіль пройшов три дні. У перший день автомобіль пройшов 7/20 всього шляху, у другий 8/13 дороги, що залишився, а в третій день автомобіль пройшов на 72 км менше, ніж у перший день. Яка відстань між містами А та Б?

509. 1) Виконком відвів землю робітникам трьохзаводів під садові ділянки. Першому заводу було відведено 9/25 усієї кількості ділянок, другому заводу 5/9 числа ділянок, відведених для першої, а третьому – інші ділянки. Скільки всього ділянок було відведено робітникам трьох заводів, якщо першому заводу було відведено на 50 ділянок менше, ніж третій?

2) Літак доставив зміну зимівників на полярну станціюіз Москви за три дні. У перший день він пролетів 2/5 всього шляху, у другий - 5/6 шляху, пройденого ним за перший день, а в третій день він пролетів на 500 км. менше, ніж у другий день. Яку відстань пролетів літак за три дні?

510. 1) Завод мав три цехи. Число робітників першого цеху становить 2/5 всіх робітників заводу; у другому цеху робітників у 1 1/2 рази менше, ніж у першому, а у третьому цеху на 100 робітників більше, ніж у другому. Скільки всього робітників на заводі?

2) До колгоспу входять мешканці трьох сусідніх сіл. Число сімей першого села складає 3/10 всіх сімей колгоспу; у другому селі число сімей у 1 1/2 рази більше, ніж у першому, а у третьому селі число сімей на 420 менше, ніж у другому. Скільки всього сімей у колгоспі?

511. 1) Артель витратила першого тижня 1 / 3 наявного в неї запасу сировини, тоді як у другу 1 / 3 залишку. Скільки сировини залишилося в артілі, якщо першого тижня витрата сировини була на 3/5 т більша, ніж другого тижня?

2) Із завезеного вугілля для опалення будинку у перший місяць було витрачено 1/6 його частину, а у другий місяць – 3/8 залишку. Скільки вугілля залишилося для опалення будинку, якщо другого місяця було витрачено на 1 3 / 4 більше, ніж першого місяця?

512. 3/5 всієї землі колгоспу відведено під посів зерна, 13/36 залишку зайнято городами та луком, решта землі – лісом, причому посівна площа колгоспу на 217 га більше площілісу, 1/3 землі, відведеної під посіви зерна, засіяна житом, а решта – пшеницею. Скільки гектарів землі засіяв колгосп пшеницею та скільки житом?

513. 1) Трамвайний маршрут має завдовжки 14 3 / 8 км. Протягом цього маршруту трамвай робить 18 зупинок, витрачаючи в середньому на кожну зупинку до 11/6 хв. Середня швидкість руху трамвая на всьому маршруті 12 1/2 км на годину. Скільки часу потрібно трамваю для одного рейсу?

2) Маршрут автобуса 16 км. Протягом цього маршруту автобус робить 36 зупинок по 3/4 хв. у середньому кожна. Середня швидкість автобуса 30 км на годину. Скільки часу потрібно автобусу на маршрут?

514*. 1) Зараз 6 год. вечора. Яку частину становить частина доби від минулої і яка частина доби залишилася?

2) Пароплав за течією проходить відстань між двома містами за 3 добу. і назад це відстань за 4 сут. Скільки діб плитимуть за течією плоти від одного міста до іншого?

515. 1) Скільки дощок піде на настилку підлоги в кімнаті, довжина якої 6 2/3 м, ширина 5 1/4 м, якщо довжина кожної дошки 6 2/3 м, а її ширина становить 3/80 довжини?

2) Майданчик прямокутної формимає довжину 45 1/2 м, а її ширина становить 5/13 довжини. Цей майданчик облямовує доріжка шириною 4/5 м. Знайти площу доріжки.

516. Знайти середнє арифметичне чисел:

517. 1) Середнє арифметичне двох чисел 6 1/6. Одне із чисел 3 3/4 . Знайти інше число.

2) Середнє арифметичне двох чисел 14 1/4. Одне з цих чисел 15 5/6. Знайти інше число.

518. 1) Товарний поїзд був у дорозі три години. За першу годину він пройшов 36 1/2 км, за другу 40 км і за третю 39 3/4 км. Знайти середню швидкість поїзда.

2) Автомобіль за перші дві години пройшов 81 1/2 км, а за наступні 2 1/2 години 95 км. Скільки кілометрів у середньому він проходив за годину?

519. 1) Тракторист виконав завдання з оранці землі за три дні. У перший день він зорав 12 1/2 га, другого дня 15 3/4 га і в третій день 14 1/2 га. Скільки загалом гектарів землі зорав тракторист за день?

2) Загін школярів, здійснюючи туристський триденний похід, знаходився в дорозі в перший день 6 1/3 години, в другій 7 год. і на третій день - 4 2/3 години. Скільки годин у середньому перебували щодня у дорозі школярі?

520. 1) У будинку мешкають три сім'ї. Перша сім'я для освітлення квартири має 3 електричні лампочки, друга 4 та третя 5 лампочок. Скільки має заплатити кожна сім'я за електроенергію, якщо всі лампи були однакові, а загальний рахунок (на весь будинок) оплати електроенергії був 7 1/5 руб.?

2) Полотер натирав підлоги у квартирі, де жили три сім'ї. Перша сім'я мала житлову площу в 36 1/2 кв. м, друга у 24 1/2 кв. м, а третя – у 43 кв. м. За всю роботу було сплачено 2 руб. 08 коп. Скільки заплатила кожна сім'я?

521. 1) На городній ділянці зібрано картоплі з 50 кущів по 1 1/10 кг з одного куща, з 70 кущів по 4/5 кг з одного куща, з 80 кущів по 9/10 кг з одного куща. Скільки кілограмів картоплі загалом зібрано з кожного куща?

2) Полівнича бригада на площі 300 га отримала врожай по 20 1/2 ц озимої пшениці з 1 га, з 80 га по 24 ц з 1 га та з 20 га - по 28 1/2 ц з 1 га. Чому дорівнює середній урожай у бригаді з 1 га?

522. 1) Сума двох чисел 7 1/2. Одне число більше за інше на 4 4 / 5 . Знайти ці цифри.

2) Якщо скласти числа, що виражають ширину Татарського та ширину Керченської протокиразом, то отримаємо 117/10 км. Татарська протока на 3 1/10 км ширша за Керченський. Яка ширина кожної протоки?

523. 1) Сума трьох чисел 35 2/3 . Перше число більше за друге на 5 1/3 і більше третього на 3 5/6. Знайти ці цифри.

2) Острови Нова Земля, Сахалін та Північна Земля разом займають площу 196 7/10 тис. кв. км. Площа Нової Землі на 44 1/10 тис. кв. км більше площі Північної Земліта на 5 1/5 тис. кв. км більше площі Сахаліну. Якою є площа кожного з перерахованих островів?

524. 1) Квартира складається із трьох кімнат. Площа першої кімнати 24 3/8 кв. м і становить 13/36 всієї площі квартири. Площа другої кімнати на 8 1/8 кв. м більше, ніж площа третьої. Яка площа другої кімнати?

2) Велосипедист під час триденних змагань у перший день був у дорозі 3 1/4 години, що становило 13/43 всього часу у дорозі. На другий день він їхав на 1 1/2 години більше, ніж у третій день. Скільки годин велосипедист був у дорозі другого дня змагань?

525. Три шматки заліза важать разом 17 1/4 кг. Якщо вага першого шматка зменшити на 1 1/2 кг, вага другого на 2 1/4 кг, то всі три шматки матимуть однакову вагу. Скільки важив кожен шматок заліза?

526. 1) Сума двох чисел 15 1/5. Якщо перше число зменшити на 3 1/10, а друге збільшити на 3 1/10, то ці числа дорівнюватимуть. Чому дорівнює кожне число?

2) У двох ящиках було 38 1/4 кг крупи. Якщо з одного ящика пересипати в інший 43/4 кг крупи, то в обох ящиках стане крупи порівну. Скільки крупи у кожному ящику?

527 . 1) Сума двох чисел дорівнює 17 17/30. Якщо від першого числа відняти 5 1 / 2 і додати до другого, то перше буде все-таки більше за друге на 2 17 / 30 . Знайти обидва числа.

2) У двох ящиках 24 1/4 кг яблук. Якщо з першої скриньки перекласти в другій 3 1/2 кг, то в першій таки буде яблук на 3/5 кг більше, ніж у другій. Скільки кілограмів яблук у кожному ящику?

528 *. 1) Сума двох чисел 8 11/14, а різниця їх 2 3/7. Знайти ці цифри.

2) Катер за течією річки йшов зі швидкістю 15 1/2 км на годину, а проти течії 8 1/4 км на годину. Яка швидкість течії річки?

529. 1) У двох гаражах 110 машин, причому в одному з них у 1 1/5 рази більше, ніж в іншому. Скільки машин у кожному гаражі?

2) Житлова площаквартири, що складається з двох кімнат, дорівнює 47 1/2 кв. м. Площа однієї кімнати становить 8/11 площі іншої. Знайти площу кожної кімнати.

530. 1) Сплав, що складається з міді та срібла, важить 330 г. Вага міді у цьому сплаві становить 5/28 ваги срібла. Скільки у сплаві срібла та скільки міді?

2) Сума двох чисел 6 3/4, а частка 3 1/2. Знайти ці цифри.

531. Сума трьох чисел 22 1/2. Друге число у 3 1/2 рази, а третє у 2 1/4 рази більше першого. Знайти ці цифри.

532. 1) Різниця двох чисел 7; приватна від поділу більшого числана менше 5 2/3 . Знайти ці цифри.

2) Різниця двох чисел 29 3/8, а кратне відношення їх дорівнює 8 5/6. Знайти ці цифри.

533. У класі число відсутніх учнів дорівнює 3/13 числа присутніх. Скільки учнів у класі за списком, якщо є на 20 осіб більше, ніж відсутнє?

534. 1) Різниця двох чисел 3 1/5. Одне число становить 5/7 іншого. Знайти ці цифри.

2) Батько старший за синана 24 роки. Число років сина дорівнює 5/13 числа років батька. Скільки років батькові та скільки синові?

535. Знаменник дробу на 11 одиниць більший за його чисельник. Чому дорівнює дріб, якщо її знаменник у 3 3 / 4 рази більший від чисельника?

№ 536 – 537 усно.

536. 1) Перше число становить 1/2 другого. У скільки разів друге число більше першого?

2) Перше число становить 3/2 другого. Яку частину першого числа становить друге число?

537. 1) 1/2 першого числа дорівнює 1/3 другого числа. Яку частину першого числа становить друге число?

2) 2/3 першого числа дорівнюють 3/4 другого числа. Яку частину першого числа становить друге число? Яку частину другого числа становить перша?

538. 1) Сума двох чисел дорівнює 16. Знайти ці числа, якщо 1/3 другого числа дорівнює 1/5 першого.

2) Сума двох чисел дорівнює 38. Знайти ці числа, якщо 2/3 першого числа дорівнюють 3/5 другого.

539 *. 1) Два хлопчики зібрали разом 100 грибів. 3/8 числа грибів, зібраних першимхлопчиком, чисельно рівні 1/4 числа грибів, зібраних другим хлопчиком. Скільки грибів зібрав кожен хлопчик?

2) У закладі працює 27 осіб. Скільки працює чоловіків і скільки жінок, якщо 2/5 числа всіх чоловіків дорівнюють 3/5 числа всіх жінок?

540 *. Три хлопчики купили волейбольний м'яч. Визначити внесок кожного хлопчика, знаючи, що 1/2 внеску першого хлопчика дорівнює 1/3 внеску другого, або 1/4 внеску третього, і що внесок третього хлопчика більший за внесок першого на 64 коп.

541 *. 1) Одне число більше за інше на 6. Знайти ці числа, якщо 2/5 одного числа дорівнюють 2/3 іншого.

2) Різниця двох чисел дорівнює 35. Знайти ці числа, якщо 1/3 першого числа дорівнює 3/4 другого числа.

542. 1) Перша бригада може виконати деяку роботу за 36 днів, а друга за 45 днів. За скільки днів обидві бригади, працюючи разом, виконають цю роботу?

2) Пасажирський поїзд проходить відстань між двома містами за 10 год, а товарний цей відстань проходить за 15 год. Обидва поїзди вийшли одночасно із цих міст назустріч один одному. За скільки годин вони зустрінуться?

543. 1) Швидкий поїзд проходить відстань між двома містами за 6 1/4 години, а пасажирський за 7 1/2 години. Через скільки годин зустрінуться ці поїзди, якщо вони вийдуть із обох міст одночасно назустріч один одному? (Відповідь округлити з точністю до 1 години.)

2) Два мотоциклісти виїхали одночасно з двох міст назустріч одне одному. Один мотоцикліст може проїхати всю відстань між цими містами за 6:00, а інший за 5:00. За скільки годин після виїзду зустрінуться мотоциклісти? (Відповідь округлити з точністю до 1 години.)

544. 1) Три автомобілі різної вантажопідйомності можуть перевезти деякий вантаж, працюючи окремо: перший за 10 год, другий за 12 год. і третя за 15 годин За скільки годин вони можуть перевезти той же вантаж, працюючи спільно?

2) З двох станцій виходять одночасно назустріч один одному два поїзди: перший поїзд проходить відстань між цими станціями за 12 1/2 години, а другий за 18 3/4 години. За скільки годин після виходу поїзди зустрінуться?

545. 1) До ванни підведено два крани. Через один із них ванна може наповнитися за 12 хв., через інший у 1 1/2 рази швидше. За скільки хвилин наповниться 5/6 всієї ванни, якщо відкрити відразу обидва крани?

2) Дві друкарки повинні передрукувати рукопис. Перша ашиністка може виконати цю роботу за 3 1/3 дні, а друга в 1 1/2 рази швидше. У скільки днів виконають роботу обидві друкарки, якщо вони працюватимуть одночасно?

546. 1) Басейн наповнюється першою трубою за 5 годин, а через другу трубу він може бути випорожнений за 6 годин Через скільки годин буде наповнений весь басейн, якщо одночасно відкрити обидві труби?

Вказівка. За годину басейн наповнюється на (1/5 – 1/6 своєї ємності.)

2) Два трактори зорали поле за 6 год. Перший трактор, працюючи один, міг би зорати це поле за 15 годин За скільки годин зорав би це поле другий трактор, працюючи один?

547 *. З двох станцій виходять одночасно назустріч один одному два потяги та зустрічаються через 18 год. після виходу. За скільки часу другий поїзд проходить відстань між станціями, якщо перший поїзд проходить цю відстань за 1 добу 21 год?

548 *. Басейн наповнюється двома трубами. Спочатку відкрили першу трубу, а потім через 33/4 години, коли наповнилася половина басейну, відкрили другу трубу. Через 2 1/2 години спільної роботи басейн наповнився. Визначити місткість басейну, якщо через другу трубу вливалося 200 ведер води за годину.

549. 1) З Ленінграда до Москви вийшов кур'єрський поїзд, який проходить 1 км за 3/4 хв. Через 1/2 години після виходу цього поїзда з Москви до Ленінграда вийшов швидкий поїзд, швидкість якого дорівнювала 3 / 4 швидкості кур'єрського. На якій відстані будуть поїзди один від одного через 2 1/2 години після виходу кур'єрського поїзда, якщо відстань між Москвою та Ленінградом 650 км?

2) Від колгоспу до міста 24 км. З колгоспу виїхала вантажна машина, яка проходить 1 км за 2 1/2 хв. Через 15 хвилин. після виїзду цієї машини з міста до колгоспу виїхав велосипедист, зі швидкістю вдвічі меншою, ніж швидкість вантажної машини. Через скільки часу після свого виїзду велосипедист зустрінеться із вантажною машиною?

550. 1) З одного селища вийшов пішохід. Через 4 1/2 години після виходу пішохода за тим самим напрямком виїхав велосипедист, швидкість якого у 2 1/2 рази більша за швидкість пішохода. Через скільки годин після виходу пішохода його наздожене велосипедист?

2) Швидкий поїзд проходить 187 1/2 км за 3 години, а товарний поїзд 288 км за 6 год. Через 7 1/4 години після виходу товарного поїзда в тому ж напрямку відправляється швидкий. Через скільки часу швидкий поїзд наздожене товарний?

551. 1) З двох колгоспів, через які проходить дорога до районного центру, виїхали одночасно до району на конях два колгоспники. Перший з них проїжджав за годину по 8 3/4 км, а другий в 1 1/7 разу більше за перший. Другий колгоспник наздогнав першого через 3 4/5 години. Визначити відстань між колгоспами.

2) Через 26 1/3 години після виходу поїзда Москва-Владивосток, середня швидкість якого 60 км на годину, вилетів за тим самим напрямком літак ТУ-104, зі швидкістю в 14 1/6 разу більшою за швидкість поїзда. Через скільки годин після свого вильоту літак наздожене поїзд?

552. 1) Відстань між містами річкою 264 км. Ця відстань пароплав пройшов за 18 год, витративши 1/12 цього часу на зупинки. Швидкість течії річки 1 1/2 км на годину. За скільки часу пройшов би пароплав без зупинок 87 км стоячій воді?

2) Моторний човенпройшла 207 км за течією річки за 13 1/2 години, витративши 1/9 цього часу на зупинки. Швидкість течії річки 1 3/4 км на годину. Скільки кілометрів може пройти цей човен у стоячій воді за 2 1/2 години?

553. Катер водосховище пройшов відстань в 52 км без зупинок за 3 години 15 хв. Далі, йдучи річкою проти течії, швидкість якого 1 3 / 4 км на годину, цей катер пройшов 28 1 / 2 км за 2 1 / 4 години, зробивши при цьому 3 рівні за часом зупинки. Скільки хвилин стояв катер на кожній зупинці?

554. З Ленінграда до Кронштадта о 12 год. дня вийшов пароплав і пройшов всю відстань між цими містами за 1 1/2 години. Дорогою він зустрів інший пароплав, що вийшов з Кронштадта до Ленінграда о 12 годині 18 хв. і що йшов зі швидкістю в 1 1/4 рази більшою, ніж перший. О котрій годині відбулася зустріч обох пароплавів?

555. Потяг мав пройти відстань 630 км за 14 год. Пройшовши 2/3 цієї відстані, його було затримано на 1 годину 10 хв. З якою швидкістю він має продовжувати шлях, щоб прийти до місця призначення без запізнення?

556. О 4 годині 20 хв. ранку з Києва до Одеси вийшов товарний поїзд з середньою швидкістю 31 1/5 км на годину. Через деякий час назустріч йому з Одеси вийшов поштовий потяг, швидкість якого в 1 17/39 раза більша за швидкість товарного, і зустрілася з товарним поїздом через 6 1/2 години після свого виходу. О котрій годині вийшов з Одеси поштовий потяг, якщо відстань між Києвом та Одесою 663 км?

557*. Годинник показує опівдні. Через скільки часу годинна та хвилинна стрілки збігатимуться?

558. 1) Завод має три цехи. Число, робітників першого цеху становить 9/20 всіх робітників заводу, у другому цеху робітників у 1 1/2 рази менше, ніж у першому, а в третьому цеху на 300 робітників менше, ніж у другому. Скільки всього робітників на заводі?

2) У місті три середні школи. Число учнів першої школи становить 3/10 усіх учнів цих трьох шкіл; у другій школі учнів у 1 1/2 разу більше, ніж у першій, а у третій школі на 420 учнів менше, ніж у другій. Скільки всього учнів у трьох школах?

559. 1) Два комбайнери працювали на одній ділянці. Після того як один комбайнер забрав 9/16 усієї ділянки, а другий 3/8 тієї ж ділянки, виявилося, що перший комбайнер забрав на 97 1/2 га більше, ніж другий. У середньому з кожного гектара намолочували по 32 1/2 ц зерна. Скільки центнерів зерна намолотив кожен комбайнер?

2) Два брати купили фотоапарат. У одного було 5/8, а у другого 4/7 вартості фотоапарата, причому у першого було на 2 руб. 25 коп. більше, ніж у другого. Кожен сплатив половину вартості апарату. Скільки грошей лишилось у кожного?

560. 1) З міста А до міста Б, відстань між якими 215 км, вийшов легковий автомобіль зі швидкістю 50 км на годину. Одночасно з ним із міста Б до міста А вийшов вантажний автомобіль. Скільки кілометрів пройшов легковий автомобіль до зустрічі з вантажним, якщо швидкість руху вантажного за годину становила 18/25 швидкості легкового автомобіля?

2) Між містами А та Б 210 км. З міста А до міста Б вийшла легкова машина. Одночасно з нею із міста Б до міста А вийшла вантажна машина. Скільки кілометрів пройшла вантажна машина до зустрічі з легковою, якщо легкова машина йшла зі швидкістю 48 км на годину, а швидкість вантажної машини за годину становила 3/4 від швидкості легкової машини?

561. Колгосп зібрав урожай пшениці та жита. Пшеницею було засіяно на 20 га більше, ніж житом. Загальний збіржита становив 5/6 всього збору пшениці при врожайності в 20 ц з 1 га як пшениці, так жита. 7/11 всього збору пшениці та жита колгосп продав державі, а решту хліба залишив для задоволення своїх потреб. Скільки потрібно було здійснити рейсів двотонним машинам для вивезення проданого державі хліба?

562. На хлібозавод привезли житнє та пшеничне борошно. Вага пшеничного борошна склала 3/5 ваги житнього борошна, причому житнього борошна було привезено на 4 т більше, ніж пшеничного. Скільки пшеничного та скільки житнього хліба буде випечено хлібозаводом із цього борошна, якщо припік становить 2/5 всього борошна?

563. Протягом трьох днів бригада робітників виконала 3/4 усієї роботи з ремонту шосе між двома колгоспами. У перший день було відремонтовано 2 2/5 км цього шосе, у другий день в 1 1/2 рази більше, ніж у перший, а в третій день 5/8 того, що було відремонтовано у перші два дні разом. Знайти довжину шосе між колгоспами.

564. Заповнити вільні місцяу таблиці, де S - площа прямокутника, а- основа прямокутника, a h-висота (ширина) прямокутника.

565. 1) Довжина прямокутної ділянки землі 120 м, а ширина ділянки – 2/5 її довжини. Знайти периметр та площу ділянки.

2) Ширина прямокутної ділянки 250 м, а довжина її в 1 1/2 рази більша за ширину. Знайти периметр та площу ділянки.

566. 1) Периметр прямокутника 6 1/2 дм, основа його на 1/4 дм більше висоти. Знайти площу цього прямокутника.

2) Периметр прямокутника 18 см, висота його на 2 1/2 см менша за основу. Знайти площу прямокутника.

567. Обчислити площі фігур, зображених малюнку 30, розбивши їх у прямокутники і знайшовши виміром розміри прямокутника.

568. 1) Скільки листів сухої штукатурки знадобиться для оббивки стелі кімнати, довжина якої 4 1/2 м, а ширина 4 м, якщо розміри аркуша штукатурки 2 м х l 1/2 м?

2) Скільки дощок довжиною 4 1/2 л і шириною 1/4 м потрібно для настилу підлоги, довжина якого 4 1/2 м, а ширина 3 1/2 м?

569. 1) Ділянку прямокутної форми довжиною 560 м, а шириною 3/4 його довжини, засіяли квасолею. Скільки насіння знадобилося для засіву ділянки, якщо на 1 га висівали 1 ц?

2) З поля прямокутної форми зібрали врожай пшениці по 25 ц із 1 га. Скільки було зібрано пшениці з усього поля, якщо довжина поля 800 м, а ширина дорівнює 3/8 його довжини?

570 . 1) Прямокутна ділянка землі, що має в довжину 78 3/4 м і завширшки 56 4/5 м, забудована так, що 4/5 її площі зайнято будовами. Визначити площу землі під будовами.

2) На прямокутній ділянці землі, довжина якої 9/20 км, а ширина становить 4/9 його довжини, колгосп передбачає розбити сад. Скільки дерев буде посаджено у цьому саду, якщо під кожне дерево в середньому потрібно відвести площу 36 кв.м?

571. 1) Для нормального освітлення денним світлом кімнати необхідно, щоб площа всіх вікон була не менше ніж 1/5 частини площі підлоги. Визначити, чи достатньо світла в кімнаті, довжина якої 5 1/2 м та ширина 4 м. Кімната має одне вікно розміром 1 1/2 м х 2м?

2) Використовуючи умову попередньої задачі, з'ясуйте, чи достатньо світла у вашому класі.

572. 1) Сарай має розміри 5 1/2 м х 4 1/2 м х 2 1/2 м. Скільки сіна (за вагою) поміститься в цьому сараї, якщо його наповнити на 3/4 його висоти і якщо 1 куб. м сіна важить 82 кг?

2) Полінка дров має форму прямокутного паралелепіпеда, розміри якого 2 1 / 2 м х 3 1 / 2 м х 1 1 / 2 м. Яка вага стіс, якщо 1 куб. м дров важить 600 кг?

573. 1) Акваріум прямокутної форми наповнений водою до 3/5 висоти. Довжина акваріума 1 1/2 м, ширина 4/5 м, висота 3/4 м. Скільки літрів води налито в акваріум?

2) Басейн, що має форму прямокутного паралелепіпеда, має довжину 6 1/2 м, ширину 4м та висоту 2 м. Басейн наповнений водою до 3/4 його висоти. Обчислити кількість води, налитої у басейн.

574. Навколо прямокутної ділянки землі, довжина якої 75 м і ширина 45 м, треба звести паркан. Скільки кубометрів дощок має піти на його пристрій, якщо товщина дошки 2 1/2 см, а висота паркану має бути 2 1/4 м?

575. 1) Який кут становить хвилинна та годинна стрілкао 13 год? о 15 год? о 17 год? о 21 годині? о 23 годині 30 хв.?

2) На скільки градусів повернеться годинникова стрілка за 2 години? 5:00? 8:00? 30 хв.?

3) Скільки градусів містить дуга, що дорівнює половині кола? 1/4 кола? 1/24 кола? 5/24 кола?

576. 1) Накресліть за допомогою транспортира: а) прямий кут; б) кут 30°; в) кут 60°; г) кут 150°; д) кут 55°.

2) Виміряйте за допомогою транспортира кути фігури та знайдіть суму всіх кутів кожної фігури (рис. 31).

577. Виконати дії:

578. 1) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна на 100° більше за іншу. Знайти величину кожної дуги.

2) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна на 15° менша за іншу. Знайти величину кожної дуги.

3) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна вдвічі більша за іншу. Знайти величину кожної дуги.

4) Півколо розділена на дві дуги, з яких одна в 5 разів менша за іншу. Знайти величину кожної дуги.

579. 1) На діаграмі «Грамотність населення СРСР» (рис. 32) зображено кількість грамотних, що припадають сто людей населення. За даними діаграми та її масштабу визначити кількість грамотних чоловіків та жінок для кожного із зазначених років.

Результати записати до таблиці:

2) Використовуючи дані діаграми «Радянські посланці в Космос» (рис. 33), скласти завдання.

580. 1) За даними секторної діаграми "Режим дня для учня V класу" (рис. 34) заповнити таблицю і відповісти на запитання: яка частина доби відводиться на сон? на домашні заняття? на заняття у школі?

2) Побудувати секторну діаграму про режим свого дня.