Поєднання. Методи вирішення комбінаторних завдань

При вирішенні багатьох практичних завдань доводиться використовувати комбінації елементів, вибирати з цієї сукупності ті, які мають певні властивості, та розміщувати їх у певному порядку. Такі завдання називаються комбінаторними. Розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів відповідно до цих умов, називається комбінаторикою. Термін «комбінаторика» походить від латинського слова "combina", що у перекладі російською мовою означає – «поєднувати», «з'єднувати».

Вибрані групи елементів називають з'єднаннями. Якщо всі елементи з'єднання різні, отримуємо з'єднання без повторень, які й розглянемо нижче.

Більшість комбінаторних завданьвирішується за допомогою двох основних правил – правила суми та правила твору.

Завдання 1.

У магазині «Все для чаю» є 6 різних чашок та 4 різних блюдця. Скільки варіантів чашки та блюдця можна купити?

Рішення.

Чашку ми можемо вибрати 6-ма способами, а блюдце 4-ма способами. Так як нам треба купити пару чашку та блюдце, то це можна зробити 6 · 4 = 24 способами (за правилом твору).

Відповідь: 24.

Для успішного вирішення комбінаторних завдань треба ще й правильно вибрати формулу, за якою шукати кількість потрібних з'єднань. У цьому вся допоможе наступна схема.

Розглянемо розв'язання кількох завдань на різні видиз'єднань без повторень.

Завдання 2.

Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна становити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри в числі повторюватися не можуть.

Рішення.

Для вибору формули з'ясовуємо, що з чисел, які ми складатимемо, порядок враховується і всі елементи одночасно вибираються. Отже, це з'єднання – розміщення з 7 елементів по 3. Скористаємося формулою для числа розміщень: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Відповідь: 210.

Завдання 3.

Скільки існує семизначних телефонних номерів, у яких усі цифри різні, а номер не може починатися з нуля?

Рішення.

На перший погляд це завдання таке саме, як і попереднє, але складність у тому, що треба не враховувати ті сполуки, які починаються з нуля. Значить необхідно з існуючих 10 цифр скласти всі семизначні номери телефонів, а потім від отриманого числа відібрати кількість номерів, що починаються з нуля. Формула матиме вигляд:

A 10 7 - A 9 6 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 - 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Відповідь: 544 320.

Завдання 4.

Скільки способами можна розставити на полиці 12 книг, з яких 5 книг – це збірки віршів, щоб збірки стояли поруч?

Рішення.

Спочатку приймемо 5 збірок умовно за одну книгу, бо вони мають стояти поряд. Так як у поєднанні суттєвим є порядок, і всі елементи використовуються, це перестановки з 8 елементів (7 книг + умовна 1 книга). Їхня кількість Р 8 . Далі переставлятимемо між собою лише збірки віршів. Це можна зробити Р5 способами. Оскільки нам потрібно розставити і збірки, та інші книги, то скористаємося правилом твору. Отже, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способів буде великим, тому відповідь можна залишити у вигляді добутку факторіалів.

Відповідь: 8! · 5!

Завдання 5.

У класі 16 хлопчиків та 12 дівчаток. Для прибирання території біля школи потрібно 4 хлопчики та 3 дівчинки. Скільки можна їх вибрати з усіх учнів класу?

Рішення.

Спочатку окремо виберемо 4 хлопчики з 16 та 3 дівчинки з 12. Оскільки порядок розміщення не враховується, то відповідні з'єднання – поєднання без повторень. Враховуючи необхідність одночасного вибору і хлопчиків і дівчаток, використовуємо правило твору. У результаті кількість способів обчислюватиметься таким чином:

З 16 4 · З 12 3 = (16! / (4! · 12!)) · (12! / (3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) · ((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Відповідь: 400 400.

Таким чином, успішне рішенняКомбінаторна задача залежить від правильного аналізу її умови, визначення типу сполук, які будуть складатися, та вибору відповідної формули для обчислення їх кількості.

Залишились питання? Чи не знаєте, як вирішувати комбінаторні завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Завдання 1.Вісім студентів обмінялися рукостисканнями. Скільки було рукостискань?

Рішення.У рукостисканні бере участь "підмножина", що складається з двох студентів (m = 2), тоді як все безліч студентів становить 8 осіб (n = 8). Так як у процесі рукостискання порядок не важливий, вибираємо формулу для числа поєднань:

Завдання.Скількими способами можна скласти триколірний смугастий прапор із п'яти різних за кольором відрізків матерії?

Рішення. Порядок важливий, оскільки перестановка матерії всередині триколірного флга позначає різні країни. Тому вибираємо формулу числа розміщень без повторень, де безліч відрізків матерії n = 5, а підмножина кольорів m=3:

Завдання 2.Скільки словників треба видати, щоб можна було виконувати переклади з кожної з шести мов будь-якою з них?

Рішення. Безліч включає 6 мов n=6. Оскільки переклад є відношення між двома мовами, то m=2, причому порядок важливий, тому що, наприклад, словники російсько-англійська та англо-російська мають різне застосування. Тому вибираємо розміщення без повторень:

Завдання 3.Скільки є варіантів складання розкладу на понеділок, якщо предметів у студентів 9, а понеділок 4 пари занять, і предмети не повторюються?

Рішення. а) Для студентів порядок не важливий, тому обираємо формулу числа поєднань:

б) Для викладачів порядок важливий, тому обираємо формулу розміщень без повторень:

Завдання 4.Скільки способами можна розставити на книжковій полиці дев'ять книг, серед яких є тритомник О.С. Пушкіна?

Рішення.

Так як три томи, що входять до тритомника, повинні стояти поруч, причому за зростанням номера славі праворуч, то розглядаємо їх як один елемент даної множини, В якому є ще 6 елементів. Тому вибираємо перестановки без повторень у множині, що містить сім елементів:

Р7 = 7! = 5040

Завдання 5.Скільки способами можна призначити в групі з 30 осіб трьох чергових?

Рішення.

а) Якщо їхня роль у процесі чергування однакова, то порядок не важливий, тому вибираємо поєднання без повторень:

З 330 = 30! / 3! 27! = 4060

б) Якщо порядок важливий, тобто. під час чергування їх функціональні обов'язкирізні, то за формулою розміщення без повторень маємо:

А 330 = 30! / 27! = 24360

Завдання 6.Скільки є шестизначних телефонних номерів, у яких: а) можливі будь-які цифри; б) усі цифри різні?

Рішення.

а) 1. Так як у шестизначному наборі телефонного номера можливі будь-які цифри, то на кожному з шести місць може зустрітися будь-яка з 10-ти цифр від 0 до 9. Необхідно з усіх можливих десяти цифр вибрати лише ті шість, які будуть використані для шестизначних телефонних номерів. Оскільки у записі телефонних номерів порядок розташування цифр важливий, за формулою розміщень із повтореннями маємо:

А 106 = 106 = 1000000

2. Як відомо, не буває шестизначних номерів, що починаються з нуля, тому треба підрахувати їх кількість та відняти його від загальної кількості комбінацій. Число номерів, перша цифра яких 0, знайдемо за формулою розміщень із повтореннями, «зафіксувавши» нуль тобто. на кожному з п'яти інших можливих місцьможе зустрітися будь-яка з десяти цифр від
0 до 9. Тоді кількість таких комбінацій:

А 105 = 105 = 100000

3. Загальна кількість шестизначних телефонних номерів, у яких можуть бути будь-які, у тому числі й повторювані, цифри, що дорівнює різниці:

А 10 6 - А 10 5 = 10 6 - 10 5 = 1000000 - 100000 = 900000

б) 1. Нехай тепер у шестизначному наборі всі цифри є різними. Необхідно з усіх можливих десяти цифр вибрати лише шість, які використовуються для шестизначних телефонних номерів, причому жодна цифра не повторюється. Тоді за формулою розміщень без повторень маємо:

А 106 = 10! / (10 - 6)! = 5х6х7х8х9х10 = 151200

2. Оскільки шестизначних номерів, що починаються з нуля, не буває, треба порахувати їх кількість та відняти його від загальної кількості комбінацій. Число номерів, перша цифра яких 0, знайдемо за формулою розміщень без повторень, «зафіксувавши нуль», тобто. на кожному з п'яти можливих місць, що залишилися, можуть зустрітися цифри від 0 до 9. Тоді число таких комбінацій знайдемо за формулою розміщень без повторень. Маємо:

А 105 = 10! /(10-5)! = 6х7х8х9х10 = 30240

3. Загальна кількість шестизначних телефонних номерів, у яких не може бути цифр, що повторюються, дорівнює різниці:

А 10 6 - А 10 5 = 10 6 - 10 5 = 151200 - 30240 = 120960

Завдання 7.Скільки способами можна виділити делегацію у складі трьох осіб, обираючи їх серед чотирьох подружніх пар, якщо:

а) до складу делегації входять будь-які троє з цих восьми осіб;

б) делегація повинна складатися з двох жінок та одного чоловіка;

до делегації не входять члени однієї сім'ї?

Рішення.

а) Порядок не важливий:

З 83 = 8! /3! 5! = 56

б) Виберемо двох жінок з наявних 4-х 4 2 способами і одного чоловіка з 4-х 4 1 способами. За правилом твору ( ічоловік, ідві жінки) маємо 4 2 х 4 1 = 24.

в) З чотирьох сімей вибираємо 3-х членів делегації чотирма способами (т.к. З 43 = 4! / 3!1! = 4). Але в кожній сім'ї є два способи вибору члена делегації. За правилом твору З 43 х2х2х2 = 4х8 = 32.

Завдання 8.У коледжі навчається 2000 студентів. Чи можна стверджувати, що хоча б двоє мають однакові ініціали і імені, і прізвища?

Рішення.

У російському алфавіті 33 літери, їх ъ, ь, ы, й можуть бути використані, тому n = 33-4 = 29. Кожна з 29 букв може бути ініціалом іімені, іпрізвища. За правилом твору 29х29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 різних варіантів, та серед 2000 студентів обов'язково будуть збіги.

Рішення: А(методів).

Завдання 6.

На сторінці альбому 6 вільних місцьдля фотографій.

Скільки способів можна вкласти у вільні місця

а) 4 фотографії;

б) 6 фотографій.

Рішення: а) А

Завдання 7.

Скільки трицифрових чисел (без повторення цифр у записі числа) можна скласти із цифр 0,1,2,3,4,5 та 6?

Пояснення: якщо серед семи цифр немає нуля, то число трицифрових чисел, які можна скласти з цих цифр, дорівнює числу розміщень з 7 елементів по 3 А. . Однак, серед цих семи чисел є цифра 0, з якої не може починатися тризначне число. Тому з розміщень з 7 елементів по 3 потрібно виключити ті, у яких першим елементом є цифра 0. Їх число дорівнює кількості розміщень з 6 елементів по 2.

Значить, число, що шукається, дорівнює: А
.

Рішення: А

Завдання 8.

З трицифрових чисел, записаних за допомогою цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторення цифр), скільки таких, у яких: а) не зустрічаються цифри 6 та 7;

б) цифра 8 є останньою?

Рішення: а) А

б) А

Завдання 9.

Скільки існує семизначних телефонних номерів, у яких всі цифри різні та перша цифра відмінна від 0?

Рішення: А

А тепер розглянемо такий сюжет:

Є 5 гвоздик різного кольору. Позначимо їх літерами a , b , c , d , e . Потрібно скласти букет із трьох гвоздик.

З'ясуємо, які букети можна скласти.

Якщо в букет входить гвоздика a, то можна скласти такі букети:

abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Якщо в букет не входить гвоздика a, а входить гвоздика b, то можна отримати такі букети:

BCD, BCE, BDC.

Зрештою, якщо в букет не входить ні гвоздика a,гвоздика b, то можна скласти букет

cde.

Ми показали всі можливі способи складання букетів, в яких по-різному поєднуються три гвоздики з п'яти даних.

Говорять, що складено всілякі поєднання з 5-ти елементів по 3.

Поєднанням з n елементів по k називається будь-яка множина, складена з k елементів, вибраних з даних n елементів і позначається з

на відміну від розміщень, у поєднаннях немає значення, у порядку зазначені елементи.

З

Тому приклад про гвоздики можна швидко вирішити так:

Рішення: С

Завдання 10.

Із 15 осіб туристичної групи треба обрати трьох чергових. Скільки способами це можна зробити?

Рішення: С

Завдання 11.

З вази з фруктами, де лежать 9 яблук та 6 груш, потрібно вибрати 3 яблука та 2 груші. Скільки можна це зробити?

Рішення: 3 яблука з 9 можна вибрати С методами. При кожному виборі яблук груші можна вибрати методами. Тому за правилом множення вибір фруктів можна зробити
методами.

Рішення: С
=

Завдання для закріплення.

Завдання I.

У класі 7 людей успішно займаються математикою.

Скільки можна вибрати з них двох для участі в математичній олімпіаді?

Рішення: С

Завдання ІІ.

У лабораторії, в якій працюють завідувач та 10 співробітників, треба відправити у відрядження 5 осіб.

Скільки способами це можна зробити, якщо:

а) завідувач лабораторії повинен їхати у відрядження;

б) завідувач має залишитися.

Рішення: а) С
б)

Завдання ІІІ.

У класі навчаються 16 хлопчиків та 12 дівчаток. Для прибирання території потрібно виділити 4 хлопчики та три дівчинки.

Скільки способами це можна зробити?

Рішення: С

Завдання IV.

У бібліотеці читачеві запропонували на вибір 10 книг та 4 журнали. Скільки способами він може вибрати з них 3 книги та 2 журнали?

Рішення: С
.

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів деякої множини відповідно до заданих правил. Комбінаторика вивчає комбінації та перестановки предметів, розташування елементів, що має задані властивості. Звичайне питанняу комбінаторних задачах: скільки способів….

До комбінаторних завдань належать також завдання побудови магічних квадратів, завдання розшифрування та кодування.

Народження комбінаторики як розділу математики пов'язане з працями великих французьких математиків 17 століття Блеза Паскаля (1623-1662) та П'єра Ферма (1601-1665) з теорії азартних ігор. Ці праці містили принципи визначення кількості комбінацій елементів кінцевої множини. З 50-х років 20 століття інтерес до комбінаторики відроджується у зв'язку з бурхливим розвитком кібернетики.

Основні правила комбінаторики – це правило сумиі правило твори.

• Правило суми

Якщо певний елемент А можна вибрати nспособами, а елемент можна вибрати mметодами, то вибір «або А, або В» можна зробити n+ mметодами.

Наприклад, Якщо на тарілці лежать 5 яблук та 6 груш, то один плід можна вибрати 5 + 6 = 11 способами.

• Правило твору

Якщо елемент А можна вибрати nспособами, а елемент можна вибрати mспособами, то пару А та В можна вибрати n mметодами.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти та 3 різні марки, то вибрати конверт і марку можна 6 способами (2 3 = 6).

Правило твору правильне й у тому випадку, коли розглядають елементи кількох множин.

Наприклад, якщо є 2 різних конверти, 3 різні марки та 4 різні листівки, то вибрати конверт, марку та листівку можна 24 способами (2 3 4 = 24).

Твір усіх натуральних чиселвід 1 до n включно називається n – факторіалом та позначається символом n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Наприклад, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Наприклад, якщо є 3 кульки – червона, синя та зелена, то викласти їх у ряд можна 6 способами (3 2 1 = 3! = 6).

Іноді комбінаторне завдання вирішується за допомогою побудови дерева можливих варіантів .

Наприклад, вирішимо попередню задачу про три кулі побудовою дерева.

Практикум з розв'язання задач з комбінаторики.

ЗАДАЧІ та рішення

1. У вазі 6 яблук, 5 груш та 4 сливи. Скільки варіантів вибору одного плоду?

Відповідь: 15 варіантів.

2. Скільки існує варіантів купівлі однієї троянди, якщо продають 3 червоні, 2 червоні та 4 жовті троянди?

Відповідь: 9 варіантів.

3. З міста А до міста В ведуть п'ять доріг, а з міста В до міста С ведуть три дороги. Скільки шляхів, що проходять В, ведуть з А в С?

Відповідь: 15 шляхів.

4. Скільки способами можна скласти пару з однієї голосної та однієї згодної букв слова «хустка»?

голосні: а, про - 2 шт.
приголосні: п, л, т, до - 4 шт.

Відповідь: 8 способами.

5. Скільки танцювальних пар можна становити з 8 юнаків та 6 дівчат?

Відповідь: 48 пар.

6. У їдальні є 4 перші страви та 7 других. Скільки різних варіантів обіду із двох страв можна замовити?

Відповідь: 28 варіантів.

7. Скільки різних двоцифрових чиселможна скласти, використовуючи цифри 1, 4 та 7, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 3 способи
3 цифра – 3 способи

Відповідь: 9 різних двоцифрових чисел.

8. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 3 і 5, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 2 способи
2 цифра – 2 способи
3 цифра – 2 способи

Відповідь: 8 різних чисел.

9. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 4 способи

Відповідь: 12 різних чисел.

10. Скільки існує трицифрових чисел, у яких усі цифри парні?

парні цифри – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способи
2 цифра – 5 способів
3 цифра – 5 способів

Відповідь: існує 100 чисел.

11. Скільки є парних трицифрових чисел?

1 цифра - 9 способів (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способів (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Відповідь: існує 450 чисел.

12. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з трьох різних цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способи
2 цифра – 2 способи
3 цифра – 1 спосіб

Відповідь: 6 різних чисел.

13. Скільки способів можна визначити вершини трикутника, використовуючи літери А, В, С, D?

1 вершина – 4 способи
2 вершина – 3 способи
3 вершина – 2 способи

Відповідь: 24 способи.

14. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, за умови, що жодна цифра не повторюється?

1 цифра – 5 способів
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи

Відповідь: 60 різних чисел.

15. Скільки різних трицифрових чисел, менших за 400, можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, 9, якщо будь-яка з цих цифр може бути використана лише один раз?

1 цифра – 2 способи
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи

Відповідь: 24 різних числа.

16. Скільки способів можна скласти прапор, що складається з трьох горизонтальних смуг різних кольорів, якщо є матеріал шести кольорів?

1 смуга - 6 способів
2 смуга - 5 способів
3 смуга - 4 способи

Відповідь: 120 способів.

17. З класу обирають 8 осіб, які мають найкращі результатиз бігу. Скількими способами можна скласти з них команду з трьох осібдля участі у естафеті?

1 людина – 8 способів
2 чоловік – 7 способів
3 чоловік – 6 способів

Відповідь: 336 способів.

18. У четвер у першому класі має бути чотири уроки: лист, читання, математика та фізкультура. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на цей день?

1 урок – 4 способи
2 урок – 3 способи
3 урок – 2 способи
4 урок – 1 спосіб

4 3 2 1 = 24

Відповідь: 24 варіанти.

19. У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків та всі уроки різні?

1 урок – 8 варіантів
2 урок – 7 варіантів
3 урок – 6 варіантів
4 урок – 5 варіантів
5 урок – 4 варіанти

8 7 6 5 4 = 6720

Відповідь: 6720 варіантів.

20. Шифр ​​для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?

1 цифра – 5 способів
2 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи
4 цифра – 2 способи
5 цифра – 1 спосіб

5 4 3 2 1 = 120

Відповідь: 120 варіантів.

21. Скільки способів можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?

6 5 4 3 2 1 = 720

Відповідь: 720 способів.

22. Скільки варіантів семизначних телефонних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з нуля та 9?

1 цифра – 8 способів
2 цифра – 10 способів
3 цифра – 10 способів
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 10 способів
6 цифра – 10 способів
7 цифра – 10 способів

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Відповідь: 8.000.000 варіантів.

23. Телефонна станція обслуговує абонентів, у яких номери телефонів складаються з 7 цифр та починаються з 394. На скільки абонентів розрахована ця станція?

№ телефону 394

10 10 10 10 = 10.000

Відповідь: 10000 абонентів.

24. Є 6 пар рукавичок різних розмірів. Скільки способами можна вибрати з них одну рукавичку на ліву рукуі одну рукавичку на праву рукутак, щоб ці рукавички були різних розмірів?

Ліві рукавички – 6 способів
Праві рукавички - 5 способів (6 рукавичка того ж розміру, що й ліва)

Відповідь: 30 способів.

25 . З цифр 1, 2, 3, 4, 5 становлять п'ятизначні числа, у яких всі цифри різні. Скільки таких парних чисел?

5 цифра – 2 способи (дві парні цифри)
4 цифра – 4 способи
3 цифра – 3 способи
2 цифра – 2 способи
1 цифра – 1 спосіб

2 4 3 2 1 = 48

Відповідь: 48 парних чисел.

26. Скільки існує чотиризначних чисел, що складаються з непарних цифр і поділяються на 5?

Непарні цифри – 1, 3, 5, 7, 9.
У тому числі діляться на 5 – 5.

4 цифра – 1 спосіб (цифра 5)
3 цифра – 4 способи
2 цифра – 3 способи
1 цифра – 2 способи

1 4 3 2 = 24

Відповідь: 24 числа.

27. Скільки існує п'ятизначних чисел, які мають третю цифру – 7, останню цифру – парну?

1 цифра – 9 способів (усі, крім 0)
2 цифра – 10 способів
3 цифра – 1 спосіб (цифра 7)
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Відповідь: 4500 чисел.

28. Скільки існує шестизначних чисел, у яких друга цифра – 2, четверта – 4, шоста – 6, а решта – непарні?

1 цифра – 5 варіантів (з 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифри – 1 варіант (цифра 2)
3 цифри – 5 варіантів
4 цифри – 1 варіант (цифра 4)
5 цифра – 5 варіантів
6 цифра – 1 варіант (цифра 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Відповідь: 125 чисел.

29. Скільки різних чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 8 і 9?

Однозначних – 2
Двозначні – 2 2 = 4
Тризначні – 2 2 2 = 8
Чотиризначні – 2 2 2 2 =16
П'ятизначних – 2 2 2 2 2 = 32
Шестизначних – 2 2 2 2 2 2 = 64

Усього: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Відповідь: 126 чисел.

30. У футбольній команді 11 осіб. Потрібно вибрати капітана та його заступника. Скільки способами це можна зробити?

Капітан – 11 способів
Заступник – 10 способів

Відповідь: 110 способів.

31. У класі навчаються 30 осіб. Скільки способами з них можна вибрати старосту та відповідального за проїзні квитки?

Староста – 30 способів
Відповідь. за квитки – 29 способів

Відповідь: 870 способів.

32. У поході беруть участь 12 хлопчиків, 10 дівчаток та 2 вчителі. Скільки варіантів груп чергових із трьох осіб (1 хлопчик, 1 дівчинка, 1 вчитель) можна скласти?

12 10 2 = 240

Відповідь: 240 способів.

33. Скільки комбінацій із чотирьох літер російського алфавіту (в алфавіті всього 33 літери) можна скласти за умови, що 2 сусідні літери будуть різними?

Методична розробка уроку з математики у 5 класі

Кожокар Ірина Євгенівна, вчитель математики.

ДБОУ ЗОШ № 354 м. Санкт-Петербурга

Тема урока: Знайомтеся, комбінаторика!

Мета уроку: сформулювати початкові навички комбінаторних завдань з допомогою перебору можливих варіантів.

Завдання уроку:

Освітні:

1. Розвиток уміння вирішувати комбінаторні завдання шляхом повного перебору варіантів;
2. Вироблення вміння застосовувати математичну теоріюу конкретних ситуаціях;
3. Знайомство учнів із елементами гуманітарного знання, що з математикою.

Розвиваючі:

1. Розвиток уміння самостійно обирати спосіб вирішення та вміння обґрунтувати вибір;
2. Розвиток уміння розв'язувати задачі шляхом лише логічних міркувань;
3. Розвиток уміння робити вибір оптимального методу кодування;
4. Розвиток комунікативних та творчих здібностейучнів.

Виховні:

1. Виховувати почуття відповідальності за якість та результат виконуваної роботи;
2. Щеплювати свідоме ставленнядо праці;

1. Формувати відповідальність за кінцевий результат.

Обладнання:

1. Інтерактивна дошка;
2. роздатковий матеріал (кольорові смужки: біла, синя, червона);
3. картки із завданнями.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.
2. Вивчення нового матеріалу.
3. Практична частина.
4. Рефлексія
5. Виставлення відміток
6. Завдання домашньої роботи

1. Організаційний момент.

Вчитель: Здрастуйте, хлопці!

Дуже часто у житті доводиться робити вибір, приймати рішення. Це зробити дуже важко, не тому, що вибору немає, а тому що доводиться вибирати з безлічі можливих варіантів, різних способів, комбінацій. І нам завжди хочеться, щоби цей вибір був оптимальний.

Завдання, які ми сьогодні вирішуватимемо допоможуть вам творити, думати незвичайно, оригінально, бачити те, повз чого ви часто проходили не помічаючи.

І ще сьогодні вкотре переконаємося, що наш світ повний математики і продовжимо дослідження щодо виявлення математики навколо нас.

1. Актуалізація теми та мотивація.

Давайте вирішимо задачу №1,

Завдання 1 . Біля каси кінотеатру стоять четверо хлопців. У двох із них сторублеві купюри, в інших двох – п'ятдесятирублеві.(Вчитель викликає 4 учнів до дошки та дає їм моделі купюр).Квиток у кіно коштує 50 рублів. На початку продажу каса порожня.(Вчитель викликає "касира" і дає йому "квитки"). Як мають розташуватися хлопці, щоб нікому не довелося чекати на здачу?

Розігруємо сценку, за допомогою якої можна знайти два можливі варіанти вирішення:

1. 50 рублів, 100 рублів, 50 рублів, 100 рублів;
2. 50 рублів, 50 рублів, 100 рублів, 100 рублів (слайд №2 та №3).

Завдання №2 . Кілька країн вирішили використати для свого державного прапорасимволіку у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини різних кольорів- Білого, синього, червоного. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?

(Учням лунають кольорові смужки (білий, синій, червоний) та пропонується скласти різні варіантипрапори? (Слайд №4)

1. Вивчення нового матеріалу.

Вчитель: При вирішенні цих завдань ми здійснили перебір усіх можливих варіантів,

або, як зазвичай кажуть у цих випадках, усіх можливих комбінацій. Тому такі завдання називають комбінаторними. Прораховувати можливі (або неможливі) варіанти у житті доводиться досить часто, тому корисно познайомитися з комбінаторними завданнями, а розділ математики, що займається вирішенням цих завдань, називається комбінаторикою. (Слайд №5)

Визначення учні записують у зошит:

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування заданих елементів за заданими правилами

Звичайне питання у комбінаторних завданнях – це «Скількими способами…?» або

« Скільки варіантів…?»

Вчитель : Давайте ще раз повернемося до завдання про прапори, вирішимо її використовуючи перебір можливих варіантів: (слайд №7)

КБС КСБ

БСК БКС

СБК СКБ

Відповідь: 6 варіантів.

Отже, під час вирішення цього завдання ми шукали спосіб перебору можливих варіантів. У

багатьох випадках виявляється корисним прийомпобудови картинки - схеми перебору варіантів. Це, по-перше, наочно, по-другедозволяє нам все врахувати, нічого не пропустити.

Рішення Прапор

Варіанти ББК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.

Відповідь: 6 варіантів.

Питання, відповідь який повинні знати все, який із представлених варіантів прапорів – державний прапор РФ.(Слайд№7)

Виявляється, не тільки прапор Росії має ці три кольори. Є держави, прапори яких мають такі ж кольори.

КБС - Люксембург,

Нідерланди.

Франція СКБ

Вчитель: Знайдемо правило вирішення таких завдань шляхом логічного міркування.

Розберемо з прикладу кольорових смужок. Візьмемо білу смужку – її можна переставити 3 рази, візьмемо синю смужку – її можна переставити лише двічі, т.к. одне з місць вже зайняте білою, візьмемо червону смужку – її можна покласти лише 1 раз.

РАЗОМ: 3 х 2 х 1=6

Основне правило твору:

Правило множення: якщо перший елемент комбінації можна вибрати а способами, після чого другий елемент – b способами, то загальне числокомбінацій дорівнюватиме а х b. (Слайд №8)

Фізкультхвилинка для очей. (Слайд №9)

Вправа "Фігури".

Намалювати очима квадрат, коло, трикутник, овал, ромб за годинниковою стрілкою, а потім проти.

1. Практична частина

Вчитель: А тепер перейдемо до математичним завданням. (роздаємо картки із завданнями)

1. В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти? (Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо «трійку», отже, за правилом множення отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма.)
2. У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити? (Усього 11 чоловік, отже, капітана можна вибрати 11 способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару капітана та його заступника можна вибрати 11 10 = 110 способами.)
3. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр? (Повинно вийти двозначне число – всього дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Значить, пару цифр ми складаємо 3 3 = 9 способами , Тобто вийде 9 чисел.
4. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється? ( Тризначне число: перша позиція – 5 варіантів цифр, друга позиція з урахуванням виключення повторів цифр – 4 варіанти, третя позиція – 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел.)
5. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися? (а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 з 4 цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 3 3 = 9 чисел.)
6. Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру? (5 4 3 2 1 = 120 варіантів.) Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів? (6 5 4 3 2 1 = 720 способів.)
7. 6 приладів? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способів.)
8. (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 варіантів.)
9. (Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, виключаючи за умовами 0 та 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номерів.)

1. Рефлексія

Вчитель: Хлопці ось і добігає кінця наш урок. Як ви вважаєте, ми сьогодні досягли нашої мети, чому? Що було важким на уроці, як з цим можна боротися? Подумайте і поставте собі за свою працю і роботу позначку, поставте самі, цю позначку ніхто з хлопців не побачить, спробуйте бути чесним із собою. Чи повністю ви брали участь у роботі на уроці? Що потрібно зробити, щоб результат був кращим?

Крім того, учням пропонується відповісти на 3 бліц - питання:

1. На сьогоднішньому уроці мені було … (легко, як правило, важко)
2. Новий матеріаля … (засвоїв і можу застосувати, засвоїв і важко застосувати, не засвоїв)
3. Моя самооцінка за урок.

Відповіді на наведені запитання можна підписувати, т.к. їхня основна функція допомогти вчителю проаналізувати урок та його результати

1. Підведення підсумків. Виставлення відміток

7. Завдання домашньої роботи:

1) Скласти завдання про свій клас

2) Декілька країн вирішили використати для свого державного прапора символіку у вигляді 3 горизонтальних смуг різної ширини, різних кольорів – білий, синій, червоний. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?

3) а) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9 за умови, що цифри не повинні повторюватися

Вчитель: Отже, я була рада зустрічі з вами, цікавтеся математикою, це, безсумнівно, позначиться на позитивний біку ваших роздумах та діях. До побачення

Література:

Є.А.Бунімович, В.А. Буличів. Імовірність та статистика в курсі математики загальноосвітньої школи: лекції 1-4, 5 - 8. - М.: Педагогічний університет"Перше вересня", 2006.

Віленкін Н.Я. Математика. 5 клас: підручник для загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін та ін - М.: Мнемозіна, 2009.

Смикалова Є.В. Додаткові розділи математики для учнів 5 класу. СПб: ЗМІ. Прес, 2006.

5 клас. "Математика-5", І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович, 2004 рік.

Завдання (картки)

1. В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти?
2. У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити?
3. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр
4. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється?
5. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися?
6. Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?
7. Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?
8. У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків і всі уроки різні?
9. Скільки варіантів семизначних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з 0 і 9?

Відповіді

1. Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо «трійку», отже, за правилом множення отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма.
2. Всього 11 осіб, отже, капітана можна вибрати 11 способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару, капітана та його заступника, можна вибрати 11 10 = 110 способами.
3. Повинне вийти двозначне число – лише дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Отже, кілька цифр ми становимо 3 3 = 9 методами, тобто. вийде 9 чисел.
4. Тризначне число: перша позиція - 5 варіантів цифр, друга позиція з урахуванням виключення повторів цифр - 4 варіанти, третя позиція - 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел.
5. (а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 з 4 цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 33 = 9 чисел.
6. 5 4 3 2 1 = 120 варіантів.
7. 6 5 4 3 2 1 = 720 способів
8. 8 7 6 5 4 = 6720 варіантів
9. Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, крім умов 0 і 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 10 10 10 10 10 10 = 8000000 номерів.

Попередній перегляд:

Завдання 2 Відповідь: Усього вийшло 6 можливих варіантів. Такий прапор можуть використати 6 країн. Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування заданих елементів за заданими правилами Звичайне питання у комбінаторних задачах – це « Скільки способами …? або « Скільки варіантів …?» Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Декілька країн вирішили використати для свого державного прапора символіку у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини різних кольорів – білого, синього, червоного. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор? Перебір можливих варіантів КБС КСБ БСК БКС СБК СКБ Відповідь: 6 варіантів. Схема перебору варіантів Прапор Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Прапор Нідерландів Прапор Люксембурга Прапор Франції Не тільки прапор Росії має ці три кольори. Є держави, прапори яких мають такі ж кольори Прапор Росії Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Правило твору (вибір кількох елементів) Кожокарь І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Фізкультхвилинка для очей Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Завдання 1) У одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти? 2) У футбольній команді 11 осіб. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити? 3) Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр 4) Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється? 5) Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися? 6) Шифр ​​для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру? 7) Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів? 8) У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків і всі уроки різні? 9) Скільки варіантів семизначних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з 0 і 9? Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

5) (а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 із наявних 4-х цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 33 = 9 чисел. 6) 5 4 3 2 1 = 120 варіантів. 7) 6 5 4 3 2 1 = 720 способів 8) 8 7 6 5 4 = 6720 варіантів 9) Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, виключаючи за умовою 0 і 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 номерів отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма. 2) Усього 11 осіб, отже, капітана можна вибрати 11-ма способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару, капітана та його заступника, можна вибрати 11 10 = 110 способами. 3) Повинне вийти двозначне число - лише дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Отже, кілька цифр ми становимо 3 3 = 9 методами, тобто. вийде 9 чисел. 4) Тризначне число: перша позиція – 5 варіантів цифр, друга позиція, з урахуванням виключення повторів цифр, - 4 варіанти, третя позиція – 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел. Відповіді Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Бліц-опитування На сьогоднішньому уроці мені було... (легко, зазвичай, важко) Новий матеріал я... (засвоїв і можу застосувати, засвоїв і важко застосувати, не засвоїв) Моя самооцінка за урок... Відповіді на наведені питання можна не підписувати Кожокар І.Є . ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Домашнє завдання скласти завдання про свій клас Кілька країн вирішили використовувати для свого державного прапора символіку у вигляді 3 горизонтальних смуг різної ширини, різних кольорів – білий, синій, червоний. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор? а) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9? б) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9 за умови, що цифри не повинні повторюватися Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Молодці! Дякую за урок Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург

Кожокар І.Є. ГБОУ ЗОШ №354 м.Санкт-Петербург