Бісектрисою трикутника називається відрізок, який ділить кут трикутника на два рівні кути. Наприклад, якщо кут трикутника 120 0 то провівши бісектрису, ми побудуємо два кути по 60 0 .

А оскільки в трикутнику є три кути, то можна провести три бісектриси. Усі вони мають одну точку запобіжного заходу. Ця точка є центром кола, вписаного в трикутник. Інакше цю точку перетинів називають інцентром трикутника.

При перетині двох бісектрис внутрішнього та зовнішнього кута, виходить кут 90 0 . Зовнішній кут у трикутнику кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника.

Рис. 1. Трикутник, в якому проведено 3 бісектриси

Бісектриса ділить протилежну сторону на два відрізки, які мають зв'язок зі сторонами:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Крапки бісектриси рівновіддалені від сторін кута, це означає, що вони знаходяться на однаковій відстані від сторін кута. Тобто, якщо з будь-якої точки бісектриси опустити перпендикуляри на кожну зі сторін кута трикутника, то ці перпендикуляри будуть рівними.

Якщо з однієї вершини провести медіану, бісектрису та висоту, то медіана буде найдовшим відрізком, а висота – найкоротшим.

Деякі властивості бісектриси

У певних видахтрикутників, бісектриса має особливі властивості. Насамперед це стосується рівнобедреного трикутника. Ця фігура має дві однакові бічні сторони, а третя називається основою.

Якщо з вершини кута рівнобедреного трикутникапровести бісектрису до основи, то вона матиме властивості одночасно і висоти та медіани. Відповідно, довжина бісектриси збігається з довжиною медіани та висоти.

Визначення:

• Висота– перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до протилежної сторони.
• Медіана– відрізок, який з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони.

Рис. 2. Бісектриса в рівнобедреному трикутнику

Це стосується і рівностороннього трикутника, тобто трикутника, у якому всі три сторони рівні.

Приклад завдання

У трикутнику ABC: BR бісектриса, причому AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Відняти довжину третьої сторони.

Рис. 3. Бісектриса в трикутнику

Рішення:

Бісектриса ділить сторону трикутника у певній пропорції. Скористаємося цією пропорцією та висловимо AR. Після цього знайдемо довжину третьої сторони як суму відрізків, на які цю сторону поділила бісектриса.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 см$

Тоді весь відрізок AC = RC + AR

AC = 3+2 = 5 див.

Усього отримано оцінок: 107.

Що таке бісектриса кута трикутника? На це питання у деяких людей з мови зривається відомий щур, що бігає по кутах і ділить кут навпіл". Якщо відповідь повинна бути "з гумором", то, можливо, вона правильна. наукової точкизору відповідь на це питання мала б звучати приблизно так: починається у вершині кута і ділить останній на дві рівні частини". У геометрії ця фігура також сприймається як відрізок бісектриси до її перетину з протилежною стороною трикутника. Це не є помилковою думкою. А що ще відомо про бісектрису кута, крім її визначення?

Як і в будь-якого геометричного місця точок, вона має свої ознаки. Перший - швидше, навіть ознака, а теорема, яку можна коротко висловити так: "Якщо бісектрисою розділити протилежну їй бік на дві частини, їх відношення буде відповідати відношенню сторін великого трикутника " .

Друга властивість, яку вона має: точка перетину бісектрис усіх кутів називається інцентром.

Третя ознака: бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в центрі однієї з трьох в неї вписаних кіл.

Четверта властивість бісектриси кута трикутника в тому, що якщо кожен із них дорівнює, то останній є рівнобедреним.

П'ята ознака теж стосується рівнобедреного трикутника і є головним орієнтиром щодо його розпізнавання на кресленні з бісектрис, а саме: в рівнобедреному трикутнику вона одночасно виконує роль медіани та висоти.

Бісектриса кута може бути побудована за допомогою циркуля та лінійки:

Шосте правило свідчить, що неможливо побудувати трикутник за допомогою останніх тільки за наявних бісектрис, як і неможливо побудувати таким способом подвоєння куба, квадратуру кола і трисекцію кута. Власне, це і є всі властивості бісектриси кута трикутника.

Якщо ви уважно читали попередній абзац, то, можливо, вас зацікавило одне словосполучення. "Що таке трисекція кута?" - Напевно запитаєте ви. Трисектриса трохи схожа з бісектрисою, але якщо накреслити останню, то кут поділиться на дві рівні частини, а при побудові трисекції - на три. Природно, що бісектриса кута запам'ятовується легше, адже трисекцію у школі не навчають. Але для повноти картини розповім і про неї.

Трисектрису, як я вже сказала, не можна побудувати тільки циркулем і лінійкою, але її можливо створити за допомогою правил Фудзити і деяких кривих: равлики Паскаля, квадратриси, конхоїди Нікомеда, конічних перерізів,

Завдання трисекції кута досить просто вирішуються за допомогою невсису.

У геометрії існує теорема про трисектриси кута. Називається вона теоремою Морлі (Морлея). Вона стверджує, що точки перетину трисектрис кожного кута, що знаходяться посередині, будуть вершинами.

Маленький чорний трикутник усередині великого завжди буде рівнобічним. Ця теорема була відкрита британським ученим Френком Морлі у 1904 році.

Ось скільки всього можна дізнатися про поділ кута: трисектриса та бісектриса кута завжди вимагають детальних пояснень. Адже тут було наведено безліч ще не розкритих мною визначень: равлик Паскаля, конхоїда Нікомеда тощо. Не вагайтеся, про них можна написати ще більше.

Середній рівень

Бісектриса трикутника. Детальна теоріяз прикладами (2019)

Бісектриса трикутника та її властивості

Чи знаєш ти, що таке середина відрізку? Звісно ж знаєш. А центр кола? Теж. А що таке середина кута? Ти можеш сказати, що такого немає. Але чому ж відрізок можна розділити навпіл, а кут не можна? Цілком можна - тільки не крапкою, а…. лінією.

Пам'ятаєш жарт: бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл. Так ось, справжнє визначення бісектриси дуже схоже на цей жарт:

Бісектриса трикутника- це відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину цього кута з точкою на протилежній стороні.

Колись стародавні астрономи та математики відкрили дуже багато цікавих властивостей бісектриси. Ці знання спростили життя людей. Стало легше будувати, рахувати відстані, навіть коригувати стрілянину з гармат… Нам же знання цих властивостей допоможе вирішити деякі завдання ГІА та ЄДІ!

Перше знання, яке допоможе у цьому - бісектриса рівнобедреного трикутника.

До речі, чи пам'ятаєш ти всі ці терміни? Пам'ятаєш, чим вони відрізняються один від одного? Ні? Не страшно. Зараз розберемося.

Отже, основа рівнобедреного трикутника- це той бік, який не дорівнює жодній іншій. Подивися на малюнок, як ти думаєш, яка це сторона? Правильно – це сторона.

Медіана - це лінія, проведена з вершини трикутника і ділить протилежну сторону (це знову) навпіл.

Зауваж, ми не говоримо: «Медіана рівнобедреного трикутника». А знаєш чому? Тому що медіана, проведена з вершини трикутника, ділить протилежну сторону навпіл у БУДЬ-ЯКОМУ трикутнику.

Ну, а висота – це лінія, проведена з вершини та перпендикулярна до основи. Ти помітив? Ми знову говоримо про будь-який трикутник, а не тільки про рівнобедрений. Висота в будь-якому трикутнику завжди перпендикулярна основи.

Отже, розібралися? Ну майже. Щоб ще краще зрозуміти і назавжди запам'ятати що таке бісектриса, медіана і висота, їх потрібно порівняти один з одним і зрозуміти, у чому вони схожі і чим вони відрізняються один від одного. При цьому, щоб краще запам'ятати, краще описати все. людською мовою». Потім ти легко оперуватимеш мовою математики, але спочатку ти цю мову не розумієш і тобі потрібно осмислити все своєю мовою.

Отже, у чому вони схожі? Бісектриса, медіана та висота - всі вони «виходять» з вершини трикутника і впираються в протилежний бік і «щось роблять» або з кутом з якого виходять, або з протилежною стороною. По-моєму просто, ні?

А чим вони відрізняються?

• Бісектриса ділить кут, з якого виходить, навпіл.
• Медіана ділить протилежний бік навпіл.
• Висота завжди перпендикулярна до протилежної сторони.

Тепер все. Зрозуміти – легко. А коли зрозумів, можеш запам'ятати.

Тепер наступне питання. Чому ж у випадку з рівнобедреним трикутником бісектриса виявляється одночасно і медіаною та висотою?

Можна просто подивитися на малюнок і переконатися, що медіана розбиває на два абсолютно рівних трикутника. От і все! Але математики не люблять вірити своїм очам. Їм треба все доводити. Страшне слово? Нічого подібного – все просто! Дивись: у і рівні сторони і сторона у них взагалі загальна і. (- бісектриса!) І ось, вийшло, що два трикутники мають по дві рівні сторонита кут між ними. Згадуємо першу ознаку рівності трикутників (не пам'ятаєш, зазирни в тему) і укладаємо, що, отже = і.

Це вже добре – отже, виявилася медіаною.

А що таке?

Подивимося на картинку - . А у нас вийшло, що. Значить, і теж! Зрештою, ура! в.

Чи здався тобі цей доказ важкуватим? Подивися на картинку - два однакові трикутники говорять самі за себе.

У будь-якому випадку твердо запам'ятай:

Тепер складніше: ми порахуємо кут між бісектрисами в будь-якому трикутнику!Не бійся, все не так хитро. Дивись на малюнок:

Давай його порахуємо. Ти пам'ятаєш, що сума кутів трикутника дорівнює?

Застосуємо цей приголомшливий факт.

З одного боку, з:

Тобто.

Тепер подивимося на:

Але бісектриси, бісектриси ж!

Згадаймо про:

Тепер через літери

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Чи не дивно? Вийшло, що кут між бісектрисами двох кутів залежить тільки від третього кута.!

Ну ось, дві бісектриси ми подивилися. А що, якщо їх три?!! Чи перетнуться вони всі в одній точці?

Чи буде так?

Як ти думаєш? Ось математики думали-думали та довели:

Щоправда, здорово?

Хочеш знати, чому так виходить?

Отже…два прямокутні трикутники: і. У них:

• Загальна гіпотенуза.
• (Бо - бісектриса!)

Значить, - по куту та гіпотенузі. Тому й відповідні катети у цих трикутників – рівні! Тобто.

Довели, що точка однаково (або одно) віддалена від сторін кута. З пунктом 1 розібралися. Тепер перейдемо до пункту 2.

Чому ж вірно 2?

І з'єднаємо точки в.

Значить, тобто лежить на бісектрисі!

От і все!

Як же все це застосувати під час вирішення завдань? Ось наприклад, у завданнях часто буває така фраза: «Кількість стосується сторін кута….». Ну і знайти треба щось.

То швидко розумієш, що

І можна скористатися рівністю.

3. Три бісектриси в трикутнику перетинаються в одній точці

З якості бісектриси бути геометричним місцемточок, рівновіддалених від сторін кута, випливає таке твердження:

Як саме витікає? А ось дивись: дві бісектриси точно перетнуться, правда?

А третя бісектриса могла б пройти так:

Але насправді все набагато краще!

Давай розглянемо точку перетину двох бісектрис. Назвемо її.

Що ми тут обидва рази застосовували? Так пункт 1, звичайно ж! Якщо точка лежить на бісектрисі, то вона однаково віддалена від сторін кута.

Ось і вийшло в.

Але глянь уважно на ці дві рівності! Адже їх слід, що й, отже, .

А ось тепер у справу піде пункт 2: якщо відстані до сторін кута рівні, то точка лежить на бісектрисі ... якого ж кута? Ще раз дивись на картинку:

і - відстані до сторін кута, і вони рівні, отже, точка лежить на бісектрисі кута. Третя бісектриса пройшла через ту саму точку! Всі три бісектриси перетнулися в одній точці! І, як додатковий подарунок

Радіуси вписаноюкола.

(Для вірності подивися ще тему).

Ну ось, тепер ти ніколи не забудеш:

Точка перетину бісектрис трикутника - центр вписаного в неї кола.

Переходимо до наступної властивості… Ух і багато властивостей у бісектриси, правда? І це чудово, тому що, чим більше властивостей, тим більше інструментів для вирішення задач про бісектрису.

4. Бісектриса та паралельність, бісектриси суміжних кутів

Той факт, що бісектриса ділить кут навпіл, у якихось випадках призводить до зовсім несподіваних результатів. Ось наприклад,

Випадок 1

Здорово, правда? Давай зрозуміємо чому так.

З одного боку, - ми ж проводимо бісектрису!

Але, з іншого боку, - як навхрест кути, що лежать (згадуємо тему).

І тепер виходить, що; викидаємо середину: ! - рівнобедрений!

Випадок 2

Уяви трикутник (або подивися на картинку)

Давай продовжимо бік за крапку. Тепер вийшло два кути:

• - внутрішній кут
• - Зовнішній кут - він же зовні, вірно?

Так от, а тепер комусь захотілося провести не одну, а одразу дві бісектриси: і для, і для. Що ж вийде?

А вийде прямокутний!

Дивно, але це так.

Розбираємось.

Як ти думаєш, чому дорівнює сума?

Звичайно ж, адже вони всі разом складають такий кут, що виходить пряма.

А тепер пригадаємо, що і -бісектриси і побачимо, що всередині кута знаходиться рівно половинавід суми всіх чотирьох кутів: і - тобто рівно. Можна написати і рівнянням:

Отже, неймовірно, але факт:

Кут між бісектрисами внутрішнього та зовнішнього кута трикутника дорівнює.

Випадок 3

Бачиш, що тут так само, як і для внутрішнього і зовнішнього кутів?

Або ще раз подумаємо, чому так виходить?

Знову, як і для суміжних кутів,

(як відповідні за паралельних підставах).

І знову, складають рівно половинувід суми

Висновок:Якщо в завданні зустрілися бісектриси суміжнихкутів або бісектриси відповіднихкутів паралелограма або трапеції, то в цьому завданні неодміннобере участь прямокутний трикутник, А може навіть цілий прямокутник.

5. Бісектриса та протилежна сторона

Виявляється, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону не якось, а спеціальним і дуже цікавим чином:

Тобто:

Дивний факт, чи не так?

Зараз ми цей факт доведемо, але приготуйся: буде трохи важче, ніж раніше.

Знову – вихід у «космос» – додаткова побудова!

Проведемо пряму.

Навіщо? Зараз побачимо.

Продовжимо бісектрису до перетину з прямою.

Знайоме зображення? Так-так-так, так само, як у пункті 4, випадок 1 - виходить, що (- бісектриса)

Як навхрест лежать

Значить, це теж.

А тепер подивимося на трикутники в.

Що про них можна сказати?

Вони... подібні. Так, у них і кути рівні як вертикальні. Значить, по двох кутках.

Наразі маємо право писати відносини відповідних сторін.

А тепер у коротких позначеннях:

Ой! Щось нагадує, правда? Чи не це ми хотіли довести? Так-так, саме це!

Бачиш, як чудово виявив себе «вихід у космос» - побудова додаткової прямої - без неї нічого б не вийшло! А так ми довели, що

Тепер можеш сміливо використати! Розберемо ще одну властивість бісектрис кутів трикутника – не лякайся, тепер найскладніше скінчилося – буде простіше.

Отримуємо, що

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Теорема. Бісектриса внутрішнього кутатрикутника ділить протилежну сторону частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC (рис. 259) та бісектрису його кута В. Проведемо через вершину С пряму СМ, паралельну бісектрисі ВК, до перетину в точці М із продовженням сторони АВ. Так як ВК - бісектриса кута ABC, то . Далі, як відповідні кути при паралельних прямих, і як навхрест кути, що лежать при паралельних прямих. Звідси і тому – рівнобедрений, звідки. По теоремі про паралельні прямі, що перетинають сторони кута, маємо на увазі отримаємо, що і потрібно довести.

Бісектриса зовнішнього кута В ​​трикутника ABC (рис. 260) має аналогічну властивість: відрізки AL і CL від вершин А і С до точки L перетину бісектриси з продовженням сторони АС пропорційні сторонам трикутника:

Ця властивість доводиться так само, як і попередня: на рис. 260 проведена допоміжна пряма СМ, ​​паралельна бісектрисі BL. Читач сам переконається у рівності кутів ВМС та ВСМ, а значить, і сторін ВМ та ВС трикутника ВМС, після чого потрібна пропорція вийде одразу.

Можна говорити, як і бісектриса зовнішнього кута ділить протилежну сторону частини, пропорційні прилеглим сторонам; Необхідно лише домовитися допускати «зовнішнє розподіл» відрізка.

Точка L, що лежить поза відрізком АС (на його продовженні), поділяє його зовнішнім чиномОтже якщо бісектриси кута трикутника (внутрішнього і зовнішнього) ділять протилежну сторону (внутрішнім і зовнішнім чином) на частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Задача 1. Бічні сторони трапеції дорівнюють 12 і 15, основи дорівнюють 24 і 16. Знайти сторони трикутника, утвореного великою основою трапеції та її продовженими бічними сторонами.

Рішення. У позначках рис. 261 маємо для відрізка службовця продовженням бокової сторони пропорцію, звідки легко знаходимо. Аналогічним способом визначаємо другу бічну сторону трикутника Третя сторона збігається з великою основою: .

Завдання 2. Підстави трапеції дорівнюють 6 і 15. Чому дорівнює довжина відрізка, паралельного основам і ділить бічні сторони щодо 1:2, рахуючи від вершин малої основи?

Рішення. Звернемося до рис. 262, що зображує трапецію. Через вершину З малої основи проведемо лінію, паралельну бічній стороні АВ, що відсікає від трапеції паралелограм. Так як, то звідси знаходимо. Тому весь невідомий відрізок KL дорівнює Зауважимо, що для вирішення цього завдання нам не потрібно знати сторони трапеції.

3адача 3. Бісектриса внутрішнього кута В ​​трикутника ABC розтинає сторону АС на відрізки на якій відстані від вершин А і С перетне продовження АС бісектриса зовнішнього кута В?

Рішення. Кожна з бісектрис кута В ​​ділить АС в тому самому відношенні, але одна внутрішнім, а інша зовнішнім чином. Позначимо через L точку перетину продовження АС та бісектриси зовнішнього кута В. Так як АК Позначимо невідому відстань AL через тоді і ми матимемо пропорцію Рішення якої і дає нам відстань, яку шукає

Малюнок виконайте самостійно.

Вправи

1. Трапеція з основами 8 і 18 розбита прямими, паралельними основам, на шість смуг рівної ширини. Знайти довжини відрізків прямих, що розбивають трапецію на смуги.

2. Периметр трикутника дорівнює 32. Бісектриса кута А ділить сторону ВС на частини, рівні 5 та 3. Знайти довжини сторін трикутника.

3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, бічна сторона b. Знайти довжину відрізка, що з'єднує точки перетину бісектрис кутів основи з бічними сторонами.

Інструкція

Якщо заданий трикутник рівнобедреним чи правильним, тобто у нього
дві чи три сторони, то його бісектриса, згідно з властивістю трикутника, буде також і медіаною. А отже, протилежна буде ділитися бісектрисою навпіл.

Виміряйте лінійкою протилежну строну трикутника, куди прагнутиме бісектриса. Поділіть цю строну навпіл і поставте в середині сторони крапку.

Проведіть пряму лінію, що проходить через побудовану точку та протилежну вершину. Це і буде бісектриса трикутника.

Джерела:

• Медіани, бісектриси та висоти трикутника

Ділити кут навпіл та обчислити довжину лінії, проведеної з його вершини до протилежної сторони, необхідно вміти розкрійникам, землемірам, монтажникам та людям деяких інших професій.

Вам знадобиться

• Інструменти Олівець Лінійка Транспортир Таблиці синусів та косинусів Математичні формулиі поняття: Визначення бісектриси Теореми синусів і косінусів Теорема про бісектрису

Інструкція

Побудуйте трикутник необхідної та величини, залежно від того, що вам дано? дфе сторони і кут між ними, три сторони або два кути і розташована між ними сторона.

Позначте вершини кутів і сторони традиційними латинськими А, В і С. Вершини кутів позначають протилежні сторони - малими. Позначте кути грецькими літерами? і?

За теорем синусів і косінусів обчисліть кутів і сторін трикутника.

Згадайте бісектриси. Бісектриса - , Що ділить кут навпіл. Бісектриса кута трикутникаділить протилежну на два відрізки, яких дорівнює відношенню двох прилеглих сторін трикутника.

Проведіть бісектриси кутів. Отримані відрізки позначте назвами кутів, написаними малими літерами, із нижнім індексом l. Сторона ділиться на відрізки a і b з індексами l.

Обчисліть довжини відрізків, що вийшли по теоремі синусів.

Відео на тему

Зверніть увагу

Довжина відрізка, яка одночасно є стороною трикутника, утвореного однією зі сторін вихідного трикутника, бісектрисою та власне відрізком, обчислюється за теоремою синусів. Для того, щоб обчислити довжину іншого відрізка цієї ж сторони, скористайтеся співвідношенням відрізків, що вийшли, і прилеглих сторін вихідного трикутника.

Корисна порада

Для того, щоб не заплутатися, проведіть бісектриси різних кутів. різним кольором.

Бісектрисою кутаназивають промінь, який починається у вершині кутаі поділяє його на дві рівні частини. Тобто. щоб провести бісектрисупотрібно знайти середину кута. Найбільш простий спосіб це зробити – за допомогою циркуля. У цьому випадку вам не потрібно проводити жодних обчислень, і результат не залежатиме від того, чи є величина кутацілим числом.

Вам знадобиться

• циркуль, олівець, лінійка.

Інструкція

Залишивши ширину розчину циркуля колишньої, встановіть голку в кінці відрізка на одній із сторін і накресліть частину кола так, щоб вона розташовувалась усередині кута. Те саме зробіть і з другого. У вас вийде дві частини кіл, які будуть перетинатися всередині кута- Приблизно посередині. Перетинатися частини кіл можуть в одній або двох точках.

Відео на тему

Корисна порада

Для побудови бісектриси кута можна використовувати транспортир, але цей спосіб потребує більшої точності. При цьому, якщо величина кута не буде цілим числом, ймовірність похибок у побудові бісектриси зростає.

При будівництві чи розробці домашніх дизайн-проектів часто потрібно побудувати кут, рівний вже існуючому. На допомогу приходять шаблони та шкільні знаннягеометрії.

Інструкція

Кут утворюють дві прямі, що виходять із однієї точки. Ця точка називатиметься вершиною кута, а лінії будуть сторонами кута.

Для позначення кутів використовуйте три: одна біля вершини, дві сторони. Називають кут, Починаючи з тієї літери, яка стоїть у однієї сторони, далі називають літеру, що стоїть біля вершини, а потім літеру в іншої сторони. Використовуйте інші для позначення кутів, якщо вам зручніше інакше. Іноді називають лише одну букву, що стоїть біля вершини. А можна позначати кути грецькими літерами, наприклад α, β, γ.

Трапляються ситуації, коли необхідно кутщоб він був вже даному кутку. Якщо при побудові використовувати транспортир немає можливості, можна обійтися тільки лінійкою і циркулем. Допустимо, на прямій, позначеній на літерами MN, потрібно побудувати куту точки К, так, щоб він був дорівнює кутуВ. Тобто з точки K необхідно провести пряму, з лінією MN кут, який дорівнюватиме куту Ст.

На початку позначте по точці на кожній стороні даного кута, наприклад точки А і С, далі з'єднайте точки С і А прямою лінією. Отримайте тре кутник АВС.

Зараз побудуйте на прямий MN такий самий тре кутьник, щоб його вершина В знаходилася на лінії в точці К. Використовуйте правило побудови тре кутника по трьом. Відкладіть від точки К відрізок KL. Він повинен дорівнювати відрізку ВС. Отримайте точку L.

З точки K викресліть коло радіусом рівним відрізку ВА. З L викресліть коло радіусом СА. Отриману точку (Р) перетину двох кіл з'єднайте з К. Отримайте тре кутьник КPL, який дорівнюватиме кутьнику ABC. Так ви отримаєте кутДо. Він і дорівнювати куту В. Щоб це зручніше і швидше, від вершини В відкладіть рівні відрізки, використовуючи один розчин циркуля, не зрушуючи ніжок, опишіть цим же радіусом з точки К коло.

Відео на тему

Порада 5: Як побудувати трикутник з обох боків та медіані

Трикутник – це найпростіша геометрична фігурамає три вершини, попарно з'єднані між собою відрізками, які утворюють сторони цього багатокутника. Відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони, називають медіаною. Знаючи довжини двох сторін і медіани, що з'єднуються в одній з вершин, можна побудувати трикутник, не маючи даних про довжину третьої сторони або величини кутів.

Інструкція

Проведіть з точки A відрізок, довжина якого є однією з відомих сторін трикутника (a). Точку закінчення цього відрізка позначте літерою B. Після цього одну зі сторін (AB) шуканого трикутника вже можна вважати побудованою.

Накресліть за допомогою циркуля коло з радіусом, що дорівнює подвоєній довжині медіани (2∗m), і з центром у точці A.

Накресліть за допомогою циркуля друге коло з радіусом, рівним довжині відомої сторони(b), і з центром у точці B. Відкладіть на час циркуль, але залиште на ньому відміряний - він вам знову знадобиться трохи пізніше.

Побудуйте відрізок, що з'єднує точку A з точкою перетину двох намальованих вами . Половина цього відрізка буде , який ви будуєте - відміряйте цю половину і поставте точку M. На даний момент у вас є одна сторона трикутника (AB) і його медіана (AM).

Накресліть за допомогою циркуля коло з радіусом, що дорівнює довжині другої відомої сторони (b), і з центром у точці A.

Проведіть відрізок, який повинен починатися в точці B, проходити через точку M і закінчуватися в точці перетину прямої з проведеним вами на попередньому кроці колом. Позначте точку перетину літерою C. Тепер у шуканому побудована і невідома за умовами завдання сторона BC.

Вміння розділити будь-який кут бісектрисою потрібно не тільки для того, щоб отримати «п'ятірку» з математики. Ці знання знадобляться будівельнику, дизайнеру, землеміру і кравчині. У житті багато треба вміти ділити навпіл.

Усі в школі вчили жартівливе про щура, який бігає по кутках і ділить кут навпіл. Звали цього спритного і розумного гризуна Бісектриса. Невідомо, яким чином щур ділив кут, а математиків у шкільному підручнику «Геометрія» можуть бути запропоновані наступні способи.

За допомогою транспортиру

Найпростіший спосіб проведення бісектриси - з використанням приладу для . Потрібно прикласти транспортир до однієї сторони кута, поєднавши точку відліку з його вістрям О. Потім виміряти величину кута в градусах або радіанах і розділити її на два. Відкласти за допомогою того ж транспортира отримані градуси від однієї зі сторін і провести пряму лінію, яка стане бісектрисою, до точки початку кута О.

За допомогою циркуля

Потрібно взяти циркуль та розвести його на будь-який довільний розмір (у межах креслення). Встановивши вістря в точці початку кута О, накреслити дугу, що перетинає промені, відзначивши на них дві точки. Позначають їх А1 та А2. Потім, встановлюючи циркуль по черзі у ці точки, слід провести два кола однакового довільного діаметра (у масштабі креслення). Точки їх перетину позначаються С і В. Далі необхідно провести пряму лінію через точки О, С і В, яка буде шуканою бісектрисою.

За допомогою лінійки

Для того щоб накреслити бісектрису кута за допомогою лінійки, потрібно відкласти від точки О на променях (сторонах) відрізки однакової довжиниі позначити їх точками А і В. Потім слід з'єднати їх прямою лінією і за допомогою лінійки розділити відрізок, що вийшов навпіл, позначивши точку С. Бісектриса вийде, якщо провести пряму через точки С і О.

Без інструментів

Якщо немає вимірювальних інструментів, можна скористатися кмітливістю. Досить просто накреслити кут на кальці або звичайному тонкому папері і акуратно скласти листок так, щоб промені кута поєдналися. Лінія згину на кресленні і буде шуканою бісектрисою.

Розгорнутий кут

Кут більше 180 градусів можна розділити бісектрисою такими самими способами. Тільки ділити треба буде не його, а той, хто до нього прилягає гострий кут, що залишився від кола. Продовження знайденої бісектриси і стане прямою, що ділить розгорнутий кут навпіл.

Кути в трикутнику

Слід пам'ятати, що в рівносторонньому трикутникубісектриса є також медіаною та висотою. Тому в ньому бісектрису можна знайти, просто опустивши перпендикуляр на протилежний від кута бік (висота) або розділивши цей бік навпіл і з'єднавши точку середини з протилежним кутом (медіана).

Відео на тему

Мнемонічне правило «бісектриса-це щур, який бігає по кутах і ділить їх навпіл» описує суть поняття, але не дає рекомендацій щодо побудови бісектриси. Щоб її накреслити, крім правила вам знадобиться циркуль та лінійка.

Інструкція

Допустимо, що вам потрібно побудувати бісектрисукута A. Візьміть циркуль, поставте його вістрям у точку A (кута) і накресліть коло будь-якого . Там, де вона перетне сторони кута, поставте точки B і C.

Заміряйте радіус першого кола. Накресліть ще одну, з таким самим радіусом, поставивши циркуль у точку B.

Проведіть наступне коло (за розміром, що дорівнює попереднім) з центром у точці C.

Всі три кола повинні перетнутися в одній точці - назвемо її F. За допомогою лінійки проведіть промінь, що проходить через точки A і F. Це і буде шукана бісектриса кута A.

Існує кілька правил, які допоможуть вам у знаходженні . Наприклад, вона протилежну в рівному відношенню двох прилеглих сторін. У рівнобедреному