Cái gì điểm chính công thức?

Công thức này cho phép bạn tìm bất kì THEO SỐ CỦA ANH " N" .

Tất nhiên, bạn cũng cần biết thuật ngữ đầu tiên một 1 và sự khác biệt về tiến triển d, à, nếu không có những tham số này thì bạn không thể viết ra một tiến trình cụ thể.

Ghi nhớ (hoặc ghi nhớ) công thức này là chưa đủ. Bạn cần hiểu bản chất của nó và áp dụng công thức vào các vấn đề khác nhau. Và đừng quên trong ngay bây giờ, nhưng bằng cách nào không quên- Tôi không biết. Và đây làm thế nào để nhớ Nếu cần tôi chắc chắn sẽ tư vấn cho bạn. Dành cho những người hoàn thành bài học đến cuối.)

Vì vậy, chúng ta hãy xem công thức tính số hạng thứ n của một cấp số cộng.

Công thức nói chung là gì? Nhân tiện, hãy xem nếu bạn chưa đọc nó. Mọi thứ đều đơn giản ở đó. Vẫn còn phải tìm ra nó là gì nhiệm kỳ thứ n.

Tiến trình nói chung có thể được viết dưới dạng một chuỗi số:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,....

một 1- biểu thị số hạng đầu tiên của cấp số cộng, số 3- thành viên thứ ba, số 4- thứ tư, v.v. Nếu chúng ta quan tâm đến số hạng thứ năm, giả sử chúng ta đang làm việc với số 5, nếu một trăm hai mươi - s một 120.

Làm thế nào chúng ta có thể định nghĩa nó một cách tổng quát? bất kì số hạng của một cấp số cộng, với bất kì con số? Rất đơn giản! Như thế này:

MỘT

Đó là những gì nó là số hạng thứ n của cấp số cộng. Chữ n ẩn tất cả các số thành viên cùng một lúc: 1, 2, 3, 4, v.v.

Và một kỷ lục như vậy mang lại cho chúng ta những gì? Hãy thử nghĩ xem, thay vì viết một con số, họ lại viết ra một lá thư...

Ký hiệu này cho chúng ta một công cụ mạnh mẽ để làm việc với cấp số cộng. Sử dụng ký hiệu MỘT, chúng ta có thể nhanh chóng tìm thấy bất kì thành viên bất kì cấp số cộng. Và giải quyết một loạt các vấn đề tiến triển khác. Bạn sẽ tự mình xem thêm.

Trong công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng:

một n = a 1 + (n-1)d

một 1- số hạng đầu tiên của cấp số cộng;

N- số thành viên.

Công thức kết nối các tham số chính của bất kỳ tiến trình nào: MỘT ; một 1; d Và N. Tất cả các vấn đề cấp tiến đều xoay quanh các tham số này.

Công thức số hạng thứ n cũng có thể được sử dụng để viết một cấp số cụ thể. Ví dụ: bài toán có thể nói rằng tiến trình được xác định bởi điều kiện:

một n = 5 + (n-1) 2.

Một bài toán như vậy có thể đi vào ngõ cụt... Không có chuỗi cũng không có sự khác biệt... Nhưng, so sánh điều kiện với công thức, dễ hiểu rằng trong tiến trình này a 1 =5, và d=2.

Và nó có thể còn tệ hơn!) Nếu chúng ta có cùng điều kiện: một n = 5 + (n-1) 2, Có, mở ngoặc và mang những cái tương tự? Chúng ta nhận được một công thức mới:

một n = 3 + 2n.

Cái này Không phải chung chung mà là một sự tiến triển cụ thể. Đây là nơi cạm bẫy ẩn nấp. Một số người nghĩ rằng số hạng đầu tiên là số ba. Mặc dù trên thực tế số hạng đầu tiên là năm... Thấp hơn một chút, chúng ta sẽ làm việc với một công thức sửa đổi như vậy.

Trong các vấn đề tiến triển có một ký hiệu khác - một n+1. Như bạn đoán, đây là số hạng “n cộng đầu tiên” của cấp số nhân. Ý nghĩa của nó rất đơn giản và vô hại.) Đây là một thành viên của cấp số có số lớn hơn số n một. Ví dụ, nếu trong một số vấn đề chúng ta lấy MỘT vậy thì học kỳ thứ năm một n+1 sẽ là thành viên thứ sáu Vân vân.

Thông thường nhất là việc chỉ định một n+1được tìm thấy trong các công thức truy hồi. Đừng sợ từ đáng sợ này!) Đây chỉ là một cách diễn đạt thành viên của một cấp số cộng qua cái trước. Giả sử chúng ta được cấp một cấp số cộng ở dạng này, sử dụng công thức hồi quy:

một n+1 = một n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Thứ tư - đến thứ ba, thứ năm - đến thứ tư, v.v. Làm thế nào chúng ta có thể đếm ngay số hạng thứ hai mươi chẳng hạn? 20? Nhưng không thể nào!) Cho đến khi tìm ra số hạng thứ 19, chúng ta không thể đếm được số hạng thứ 20. Đây là điểm khác biệt cơ bản giữa công thức truy hồi và công thức của số hạng thứ n. Định kỳ chỉ hoạt động thông qua trước số hạng và công thức của số hạng thứ n là thông qua Đầu tiên và cho phép đi thẳng tìm bất kỳ thành viên nào theo số của nó. Không tính toàn bộ dãy số theo thứ tự.

Trong tiến trình số học công thức truy hồi dễ dàng biến thành thường xuyên. Đếm các cặp số hạng liên tiếp, tính hiệu d, tìm, nếu cần, số hạng đầu tiên một 1, viết công thức ở dạng thông thường và làm việc với nó. Những nhiệm vụ như vậy thường gặp ở Viện Hàn lâm Khoa học Nhà nước.

Áp dụng công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem ứng dụng trực tiếp của công thức. Vào cuối bài học trước có một vấn đề:

Một cấp số cộng (an) được đưa ra. Tìm 121 nếu a 1 = 3 và d=1/6.

Vấn đề này có thể được giải mà không cần bất kỳ công thức nào, chỉ dựa trên ý nghĩa của cấp số cộng. Thêm và thêm... Một hoặc hai giờ.)

Và theo công thức, việc giải quyết sẽ mất chưa đầy một phút. Bạn có thể tính thời gian.) Hãy quyết định.

Các điều kiện cung cấp tất cả dữ liệu để sử dụng công thức: a 1 =3, d=1/6. Vẫn còn phải tìm ra cái gì bằng N. Không có gì! Chung ta cân tim một 121. Vì vậy chúng tôi viết:

Làm ơn chú ý! Thay vì một chỉ mục Nđã xuất hiện con số cụ thể: 121. Điều này khá logic.) Chúng ta quan tâm đến số hạng của cấp số cộng số một trăm hai mươi mốt.Đây sẽ là của chúng ta N.Đây là ý nghĩa N= 121 chúng ta sẽ thay thế thêm vào công thức trong ngoặc. Chúng tôi thay thế tất cả các số vào công thức và tính toán:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Đó là nó. Người ta có thể nhanh chóng tìm được số hạng thứ năm trăm mười, và số một nghìn lẻ thứ ba, bất kỳ số hạng nào. Thay vào đó chúng tôi đặt N số mong muốn trong chỉ mục của chữ cái " Một" và trong ngoặc, và chúng tôi đếm.

Hãy để tôi nhắc bạn một điểm: công thức này cho phép bạn tìm bất kì thuật ngữ cấp số cộng THEO SỐ CỦA ANH " N" .

Hãy giải quyết vấn đề một cách xảo quyệt hơn. Chúng ta hãy đi qua vấn đề sau:

Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng (a n), nếu a 17 =-2; d=-0,5.

Nếu bạn gặp khó khăn gì, tôi sẽ nói với bạn bước đầu tiên. Viết công thức số hạng thứ n của cấp số cộng! Vâng vâng. Viết bằng tay, ngay vào sổ tay của bạn:

một n = a 1 + (n-1)d

Và bây giờ, nhìn vào các chữ cái của công thức, chúng ta hiểu mình có dữ liệu gì và còn thiếu gì? Có sẵn d=-0,5, có thành viên thứ mười bảy... Phải vậy không? Nếu bạn nghĩ thế thì bạn sẽ không giải quyết được vấn đề, vâng...

Chúng tôi vẫn còn số N! Trong điều kiện một 17 =-2ẩn giấu hai tham số.Đây vừa là giá trị của số hạng thứ mười bảy (-2) vừa là số của nó (17). Những thứ kia. n=17.“Chuyện vặt” này thường xuyên lướt qua đầu, và nếu không có nó (không có “chuyện vặt”, không phải đầu!) thì vấn đề không thể giải quyết được. Mặc dù... và cũng không có đầu.)

Bây giờ chúng ta có thể thay thế dữ liệu của mình vào công thức một cách ngu ngốc:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ồ vâng, một 17 chúng tôi biết đó là -2. Được rồi, hãy thay thế:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Về cơ bản đó là tất cả. Vẫn còn phải biểu thị số hạng đầu tiên của cấp số cộng từ công thức và tính toán nó. Câu trả lời sẽ là: một 1 = 6.

Kỹ thuật này - viết ra một công thức và đơn giản thay thế dữ liệu đã biết - giúp ích rất nhiều trong việc nhiệm vụ đơn giản. Tất nhiên, bạn phải có khả năng biểu diễn một biến từ một công thức, nhưng phải làm gì!? Nếu không có kỹ năng này, toán học có thể không được nghiên cứu...

Một câu đố phổ biến khác:

Tìm hiệu của cấp số cộng (a n), nếu a 1 =2; 15 = 12.

Chúng ta đang làm gì vậy? Bạn sẽ ngạc nhiên, chúng tôi đang viết công thức!)

một n = a 1 + (n-1)d

Hãy xem xét những gì chúng ta biết: a 1 = 2; a 15 = 12; và (tôi sẽ đặc biệt nhấn mạnh!) n=15. Hãy thay thế điều này vào công thức:

12=2 + (15-1)d

Chúng tôi thực hiện phép tính.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Đây là câu trả lời chính xác.

Vì vậy, nhiệm vụ cho một n, một 1 Và d quyết định. Tất cả những gì còn lại là học cách tìm số:

Số 99 là thành viên của cấp số cộng (an), trong đó a 1 =12; d=3. Tìm số của thành viên này.

Chúng ta thay thế các đại lượng đã biết vào công thức của số hạng thứ n:

một n = 12 + (n-1) 3

Thoạt nhìn, có hai đại lượng chưa biết ở đây: một n và n. Nhưng MỘT- đây là một số thành viên của sự tiến bộ với một số N...Và chúng tôi biết thành viên này của sự tiến bộ! Đó là 99. Chúng tôi không biết số của nó. N, Vậy đây chính là số bạn cần tìm. Chúng ta thay số hạng của cấp số 99 vào công thức:

99 = 12 + (n-1) 3

Chúng tôi thể hiện từ công thức N, chúng tôi nghĩ. Chúng tôi nhận được câu trả lời: n=30.

Và bây giờ là một vấn đề về cùng một chủ đề, nhưng sáng tạo hơn):

Xác định xem số 117 có phải là thành viên của cấp số cộng (an n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Hãy viết lại công thức. Cái gì, không có thông số? Hm... Tại sao chúng ta lại được ban cho đôi mắt?) Chúng ta có nhìn thấy số hạng đầu tiên của quá trình tiến triển không? Chúng tôi thấy. Đây là -3,6. Bạn có thể viết một cách an toàn: a 1 = -3,6. Sự khác biệt d Bạn có thể kể từ bộ truyện này không? Thật dễ dàng nếu bạn biết sự khác biệt của cấp số cộng là gì:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Vì vậy, chúng tôi đã làm điều đơn giản nhất. Vẫn còn phải giải quyết số chưa biết N và con số khó hiểu 117. Trong bài toán trước, ít nhất người ta biết rằng đó là số hạng của cấp số đã cho. Nhưng ở đây chúng tôi thậm chí còn không biết... Phải làm gì đây!? Thôi, phải làm gì, phải làm gì... Bật lên Kỹ năng sáng tạo!)

Chúng tôi giả định suy cho cùng thì 117 đó là một thành viên trong tiến trình của chúng ta. Với một số chưa biết N. Và, giống như bài toán trước, chúng ta hãy thử tìm số này. Những thứ kia. chúng tôi viết công thức (vâng, vâng!)) và thay thế các số của chúng tôi:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Một lần nữa chúng tôi thể hiện từ công thứcN, ta đếm và nhận được:

Ối! Con số hóa ra phân số! Một trăm lẻ một rưỡi. Và các số phân số theo cấp số nhân không thể. Chúng ta có thể rút ra kết luận gì? Đúng! Số 117 không phải thành viên của sự tiến bộ của chúng tôi. Nó nằm ở đâu đó giữa số hạng một trăm lẻ một và một trăm lẻ hai. Nếu con số trở nên tự nhiên, tức là. là một số nguyên dương thì số đó sẽ là thành viên của cấp số với số được tìm thấy. Và trong trường hợp của chúng tôi, câu trả lời cho vấn đề sẽ là: KHÔNG.

Dựa trên nhiệm vụ quyền chọn thực GIA:

Cấp số cộng cho bởi điều kiện:

một n = -4 + 6,8n

Tìm số hạng thứ nhất và thứ mười của cấp số nhân.

Ở đây sự tiến triển được thiết lập một cách khác thường. Một loại công thức nào đó... Nó xảy ra.) Tuy nhiên, công thức này (như tôi đã viết ở trên) - cũng là công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng! Cô ấy cũng cho phép tìm bất kỳ thành viên nào của tiến trình theo số của nó.

Chúng tôi đang tìm kiếm thành viên đầu tiên. Người nghĩ. rằng số hạng đầu tiên là âm 4 là sai lầm nghiêm trọng!) Bởi vì công thức trong bài toán đã được sửa đổi. Số hạng đầu tiên của cấp số cộng trong đó ẩn giấu. Không sao đâu, chúng ta sẽ tìm thấy nó ngay bây giờ.)

Cũng giống như các bài toán trước, chúng ta thay thế n=1 V. công thức này:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Đây! Số hạng đầu tiên là 2,8 chứ không phải -4!

Chúng ta tìm số hạng thứ mười theo cách tương tự:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Đó là nó.

Và bây giờ, dành cho những ai đã đọc đến những dòng này, phần thưởng đã hứa.)

Giả sử trong tình huống chiến đấu khó khăn, Kỳ thi cấp Bang hoặc Kỳ thi Thống nhất, bạn quên công thức hữu ích số hạng thứ n của cấp số cộng. Tôi nhớ điều gì đó, nhưng không hiểu sao lại không chắc chắn... Hoặc Nở đó, hoặc n+1, hoặc n-1... Làm sao để!?

Điềm tĩnh! Công thức này dễ dàng suy ra. Không nghiêm ngặt lắm, nhưng để tự tin và quyết định đúng đắn chắc chắn là đủ!) Để đưa ra kết luận, chỉ cần nhớ ý nghĩa cơ bản của cấp số cộng và dành một vài phút là đủ. Bạn chỉ cần vẽ một bức tranh. Cho rõ ràng.

Vẽ một trục số và đánh dấu trục đầu tiên trên đó. thứ hai, thứ ba, v.v. các thành viên. Và chúng tôi lưu ý sự khác biệt d giữa các thành viên. Như thế này:

Chúng ta nhìn vào bức tranh và nghĩ: số hạng thứ hai bằng bao nhiêu? Thứ hai một d:

Một 2 =a 1 + 1 d

Thuật ngữ thứ ba là gì? Ngày thứ ba số hạng bằng số hạng thứ nhất cộng hai d.

Một 3 =a 1 + 2 d

Bạn hiểu không? Không phải vô cớ mà tôi nhấn mạnh một số từ in đậm. Được rồi, thêm một bước nữa).

Thuật ngữ thứ tư là gì? thứ tư số hạng bằng số hạng thứ nhất cộng ba d.

Một 4 =a 1 + 3 d

Đã đến lúc nhận ra rằng số lượng khoảng trống, tức là. d, Luôn luôn ít hơn một số thành viên bạn đang tìm kiếm N. Tức là theo số n, số khoảng trắng sẽ n-1. Do đó, công thức sẽ là (không có biến thể!):

một n = a 1 + (n-1)d

Nhìn chung, hình ảnh trực quan rất hữu ích trong việc giải quyết nhiều vấn đề trong toán học. Đừng bỏ bê những bức ảnh. Nhưng nếu khó vẽ một bức tranh thì... chỉ là một công thức!) Ngoài ra, công thức của số hạng thứ n cho phép bạn kết nối toàn bộ kho vũ khí toán học mạnh mẽ với lời giải - phương trình, bất đẳng thức, hệ thống, v.v. Bạn không thể chèn hình ảnh vào phương trình...

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập.

Để làm ấm:

1. Trong cấp số cộng (a n) a 2 = 3; một 5 = 5,1. Tìm số 3 .

Gợi ý: Theo hình ảnh, vấn đề có thể được giải quyết trong 20 giây... Theo công thức, nó trở nên khó khăn hơn. Nhưng để nắm vững công thức thì hữu ích hơn.) Trong Phần 555, vấn đề này được giải quyết bằng cả hình ảnh và công thức. Cảm nhận sự khác biệt!)

Và đây không còn là màn khởi động nữa.)

2. Trong cấp số cộng (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Tìm a 3 .

Cái gì, bạn không muốn vẽ tranh à?) Tất nhiên rồi! Tốt hơn theo công thức, vâng ...

3. Cấp số cộng được cho bởi điều kiện:a 1 = -5,5; một n+1 = một n +0,5. Tìm số hạng thứ 125 của cấp số này.

Trong nhiệm vụ này, tiến trình được chỉ định theo cách lặp lại. Nhưng tính đến số thứ một trăm hai mươi lăm... Không phải ai cũng có khả năng làm được kỳ tích như vậy.) Nhưng công thức của số hạng thứ n nằm trong khả năng của mọi người!

4. Cho một cấp số cộng (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tìm số hạng dương nhỏ nhất của cấp số nhân.

5. Theo điều kiện của bài 4, hãy tìm tổng số hạng dương nhỏ nhất và số hạng âm lớn nhất của cấp số nhân.

6. Tích của số hạng thứ năm và thứ mười hai của một cấp số cộng tăng dần bằng -2,5, tổng của số hạng thứ ba và thứ mười một bằng 0. Tìm số 14 .

Đây không phải là nhiệm vụ dễ dàng nhất…) Phương pháp “ngón tay” sẽ không hiệu quả ở đây. Bạn sẽ phải viết công thức và giải phương trình.

Câu trả lời (hỗn loạn):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Đã xảy ra? Nó đẹp!)

Không phải mọi thứ đều diễn ra? Xảy ra. Nhân tiện, có một điểm tinh tế trong nhiệm vụ cuối cùng. Cần phải cẩn thận khi đọc vấn đề. Và logic.

Giải pháp cho tất cả những vấn đề này được thảo luận chi tiết trong Phần 555. Và yếu tố giả tưởng cho phần thứ tư, và một khoảnh khắc tinh tế cho phần thứ sáu, và cách tiếp cận chungđể giải bất kỳ bài toán nào liên quan đến công thức của số hạng thứ n - mọi thứ đều được viết ra. Tôi khuyên bạn nên.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số trước đó một lượng bằng nhau.

Chủ đề này thường có vẻ phức tạp và khó hiểu. Chỉ số của các chữ cái, số hạng thứ n của cấp số cộng, sự khác biệt của cấp số - tất cả điều này phần nào gây nhầm lẫn, vâng... Hãy tìm hiểu ý nghĩa của cấp số cộng và mọi thứ sẽ trở nên tốt hơn ngay lập tức.)

Khái niệm cấp số cộng.

Cấp số cộng là một khái niệm rất đơn giản và rõ ràng. Bạn có nghi ngờ gì không? Vô ích.) Hãy tự mình xem.

Tôi sẽ viết một dãy số còn dang dở:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bạn có thể mở rộng loạt bài này? Những con số nào sẽ đến tiếp theo, sau số năm? Mọi người... à..., tóm lại là mọi người sẽ nhận ra rằng những con số 6, 7, 8, 9, v.v. sẽ đến tiếp theo.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ. Tôi đưa cho bạn một dãy số còn dang dở:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Bạn sẽ có thể nắm bắt được mẫu, mở rộng chuỗi và đặt tên thứ bảy số lượng hàng?

Nếu bạn nhận ra con số này là 20 thì xin chúc mừng! Bạn không chỉ cảm thấy những điểm chính của tiến trình số học, mà còn sử dụng thành công chúng trong kinh doanh! Nếu bạn chưa tìm ra, hãy đọc tiếp.

Bây giờ hãy dịch những điểm chính từ cảm giác sang toán học.)

Điểm mấu chốt đầu tiên.

Cấp số cộng liên quan đến dãy số.Điều này ban đầu gây nhầm lẫn. Chúng ta đã quen với việc giải phương trình, vẽ đồ thị và tất cả những thứ đó... Nhưng ở đây chúng ta mở rộng chuỗi, tìm số của chuỗi...

Được rồi. Chỉ là lũy tiến là sự làm quen đầu tiên với một nhánh mới của toán học. Phần này được gọi là "Chuỗi" và hoạt động cụ thể với chuỗi số và biểu thức. Hãy làm quen với nó.)

Điểm mấu chốt thứ hai.

Trong một cấp số cộng, số nào cũng khác số trước với số tiền như nhau.

Trong ví dụ đầu tiên, sự khác biệt này là một. Dù bạn lấy số nào thì nó cũng nhiều hơn số trước một đơn vị. Trong thứ hai - ba. Bất kỳ số nào nhiều hơn ba so với số trước đó. Thực ra, chính khoảnh khắc này đã cho chúng ta cơ hội nắm bắt được quy luật và tính toán những con số tiếp theo.

Điểm mấu chốt thứ ba.

Khoảnh khắc này không có gì nổi bật, vâng... Nhưng nó rất, rất quan trọng. Anh ta đây rồi: mỗi số tiến triểnđứng ở vị trí của nó. Có con số đầu tiên, có con số thứ bảy, có con số bốn mươi lăm, v.v. Nếu bạn trộn chúng một cách ngẫu nhiên, họa tiết sẽ biến mất. Cấp số cộng cũng sẽ biến mất. Những gì còn lại chỉ là một dãy số.

Đó là toàn bộ vấn đề.

Tất nhiên, trong chủ đề mới các thuật ngữ và chỉ định mới xuất hiện. Bạn cần phải biết họ. Nếu không bạn sẽ không hiểu nhiệm vụ. Ví dụ: bạn sẽ phải quyết định một số việc như:

Viết sáu số hạng đầu tiên của cấp số cộng (an), nếu a 2 = 5, d = -2,5.

Truyền cảm hứng?) Các chữ cái, một số chỉ mục... Và nhân tiện, nhiệm vụ này không thể đơn giản hơn. Bạn chỉ cần hiểu ý nghĩa của các thuật ngữ và chỉ định. Bây giờ chúng ta sẽ nắm vững vấn đề này và quay trở lại nhiệm vụ.

Điều khoản và chỉ định.

Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số khác với số trước với số tiền như nhau.

Đại lượng này được gọi là . Chúng ta hãy xem xét khái niệm này chi tiết hơn.

Sự khác biệt cấp tiến số học.

Sự khác biệt tiến triển số học là số tiền mà bất kỳ số lũy tiến nào hơn cái trước đó.

Một tâm điểm. Hãy chú ý đến lời nói "hơn". Về mặt toán học, điều này có nghĩa là mỗi số lũy tiến là bằng cách thêm sự khác biệt của cấp số cộng với số trước đó.

Để tính toán, hãy nói thứ hai số của chuỗi, bạn cần phải Đầu tiên con số thêm vào chính sự khác biệt này của một cấp số cộng. Để tính toán thứ năm- sự khác biệt là cần thiết thêm vàoĐẾN thứ tư, tốt, v.v.

Sự khác biệt tiến triển số học Có lẽ tích cực, thì mỗi số trong chuỗi sẽ trở thành số thực nhiều hơn cái trước. Sự tiến triển này được gọi là tăng dần. Ví dụ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ở đây mỗi số thu được bằng cách thêm số dương, +5 so với trước đó.

Sự khác biệt có thể là tiêu cực, thì mỗi số trong dãy sẽ là ít hơn lần trước. Sự tiến triển này được gọi là (bạn sẽ không tin đâu!) giảm dần.

Ví dụ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ở đây mỗi số cũng thu được bằng cách thêmđến cái trước, nhưng đã số âm, -5.

Nhân tiện, khi làm việc với cấp số nhân, sẽ rất hữu ích nếu xác định ngay bản chất của nó - liệu nó đang tăng hay giảm. Điều này giúp ích rất nhiều cho việc đưa ra quyết định, phát hiện sai sót của bạn và sửa chữa chúng trước khi quá muộn.

Sự khác biệt tiến triển số học thường được ký hiệu bằng chữ cái d.

Làm thế nào để tìm thấy d? Rất đơn giản. Cần phải trừ bất kỳ số nào trong chuỗi trước con số. Trừ. Nhân tiện, kết quả của phép trừ được gọi là "sự khác biệt".)

Chúng ta hãy định nghĩa, ví dụ, dđể tăng tiến trình số học:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Chúng tôi lấy bất kỳ số nào trong chuỗi mà chúng tôi muốn, ví dụ: 11. Chúng tôi trừ nó số trước những thứ kia. số 8:

Đây là câu trả lời chính xác. Đối với cấp số cộng này, sự khác biệt là ba.

Bạn có thể lấy nó bất kỳ số tiến triển nào, bởi vì cho một sự tiến triển cụ thể d-luôn luôn giống nhau.Ít nhất là ở đâu đó ở đầu hàng, ít nhất là ở giữa, ít nhất là ở bất kỳ đâu. Bạn không thể chỉ lấy số đầu tiên. Đơn giản vì ngay con số đầu tiên không có cái nào trước đó)

Nhân tiện, biết rằng d=3, việc tìm số thứ bảy của cấp số này rất đơn giản. Hãy cộng 3 vào số thứ năm - chúng ta có số thứ sáu, nó sẽ là 17. Hãy cộng ba vào số thứ sáu, chúng ta có số thứ bảy - hai mươi.

Hãy xác định d cho cấp số cộng giảm dần:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tôi nhắc bạn rằng, bất kể dấu hiệu nào, để xác định d cần từ bất kỳ số nào lấy đi cái trước đó. Chọn bất kỳ số lũy tiến nào, ví dụ -7. Con số trước đó của anh ấy là -2. Sau đó:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Hiệu của một cấp số cộng có thể là bất kỳ số nào: số nguyên, phân số, số vô tỷ, bất kỳ số nào.

Các thuật ngữ và chỉ định khác.

Mỗi số trong dãy được gọi là thành viên của một cấp số cộng.

Mỗi thành viên của sự tiến bộ có số riêng của nó. Các con số đều theo thứ tự chặt chẽ, không hề có thủ đoạn nào. Thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư, v.v. Ví dụ, trong lũy ​​tiến 2, 5, 8, 11, 14, ... hai là số hạng thứ nhất, năm là số hạng thứ hai, mười một là số hạng thứ tư, à, bạn hiểu rồi...) Xin hãy hiểu rõ - bản thân những con số có thể hoàn toàn là bất cứ thứ gì, toàn bộ, phân số, số âm, bất cứ thứ gì, nhưng đánh số các con số- theo đúng thứ tự!

Làm thế nào để viết một tiến trình ở dạng tổng quát? Không có gì! Mỗi số trong một dãy được viết dưới dạng một chữ cái. Để biểu thị một cấp số cộng, chữ cái thường được sử dụng Một. Số thành viên được biểu thị bằng chỉ số ở phía dưới bên phải. Chúng tôi viết các thuật ngữ được phân tách bằng dấu phẩy (hoặc dấu chấm phẩy), như thế này:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,....

một 1- đây là số đầu tiên, số 3- thứ ba, v.v. Không có gì lạ mắt. Loạt bài này có thể được viết ngắn gọn như thế này: (MỘT).

Diễn biến xảy ra hữu hạn và vô hạn.

Tối thượng sự tiến triển có số lượng thành viên hạn chế. Năm, ba mươi tám, sao cũng được. Nhưng đó là một con số hữu hạn.

vô hạn sự tiến triển - có số lượng thành viên vô hạn, như bạn có thể đoán.)

Viết ra tiến triển hữu hạn bạn có thể xem qua một loạt bài như thế này, tất cả các thuật ngữ và dấu chấm ở cuối:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Hoặc như thế này nếu có nhiều thành viên:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

TRONG ghi chú ngắn bạn sẽ phải cho biết thêm số lượng thành viên. Ví dụ (dành cho 20 thành viên), như thế này:

(một n), n = 20

Một cấp số vô hạn có thể được nhận biết bằng dấu chấm lửng ở cuối hàng, như trong các ví dụ trong bài học này.

Bây giờ bạn có thể giải quyết các nhiệm vụ. Các nhiệm vụ rất đơn giản, hoàn toàn là để hiểu ý nghĩa của cấp số cộng.

Ví dụ về các nhiệm vụ về cấp số cộng.

Chúng ta hãy xem xét nhiệm vụ được đưa ra ở trên một cách chi tiết:

1. Viết sáu số hạng đầu tiên của cấp số cộng (an), nếu a 2 = 5, d = -2,5.

Chúng tôi dịch nhiệm vụ sang ngôn ngữ dễ hiểu. Một cấp số cộng vô hạn được đưa ra. Số thứ hai của tiến trình này đã được biết: một 2 = 5. Sự khác biệt tiến triển được biết đến: d = -2,5. Chúng ta cần tìm số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ tư, thứ năm và thứ sáu của cấp số nhân này.

Để rõ ràng, tôi sẽ viết ra một chuỗi theo điều kiện của bài toán. Sáu số hạng đầu tiên, trong đó số hạng thứ hai là năm:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

số 3 = một 2 + d

Thay thế vào biểu thức một 2 = 5 Và d = -2,5. Đừng quên điểm trừ!

số 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Số hạng thứ ba hóa ra ít hơn số hạng thứ hai. Mọi thứ đều hợp lý. Nếu số này lớn hơn số trước tiêu cực giá trị, có nghĩa là số đó sẽ nhỏ hơn số trước đó. Sự tiến triển đang giảm dần. Được rồi, hãy tính đến nó.) Chúng tôi đếm số hạng thứ tư trong loạt bài của chúng tôi:

số 4 = số 3 + d

số 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

số 5 = số 4 + d

số 5=0+(-2,5)= - 2,5

số 6 = số 5 + d

số 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Vì vậy, các điều khoản từ thứ ba đến thứ sáu đã được tính toán. Kết quả là dãy sau:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Vẫn còn phải tìm số hạng đầu tiên một 1 theo thứ hai nổi tiếng. Đây là một bước theo hướng khác, về bên trái.) Vì vậy, sự khác biệt của cấp số cộng d không nên thêm vào một 2, MỘT mua mang về:

một 1 = một 2 - d

một 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Đó là nó. Đáp án bài tập:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Nhân tiện, tôi muốn lưu ý rằng chúng tôi đã giải quyết được nhiệm vụ này tái diễnđường. Từ khủng khiếp này chỉ có nghĩa là tìm kiếm một thành viên của sự tiến bộ theo số trước đó (liền kề). Chúng ta sẽ xem xét các cách khác để thực hiện tiến trình bên dưới.

Một kết luận quan trọng có thể được rút ra từ nhiệm vụ đơn giản này.

Nhớ:

Nếu chúng ta biết ít nhất một số hạng và sự khác biệt của một cấp số cộng, chúng ta có thể tìm thấy bất kỳ số hạng nào của cấp số này.

Bạn có nhớ? Kết luận đơn giản này cho phép bạn giải quyết hầu hết các vấn đề khóa học về chủ đề này Mọi công việc đều xoay quanh ba chính thông số: thành viên của một cấp số cộng, hiệu của một cấp số, số thành viên của cấp số cộng. Tất cả.

Tất nhiên, tất cả đại số trước đó không bị hủy bỏ.) Bất đẳng thức, phương trình và những thứ khác gắn liền với cấp số cộng. Nhưng theo sự tiến triển của chính nó- mọi thứ đều xoay quanh ba tham số.

Ví dụ: hãy xem xét một số nhiệm vụ phổ biến về chủ đề này.

2. Viết cấp số cộng hữu hạn dưới dạng một chuỗi nếu n=5, d = 0,4 và a 1 = 3,6.

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Mọi thứ đã được đưa ra rồi. Bạn cần nhớ cách đếm các phần tử của một cấp số cộng, đếm và viết chúng ra giấy. Không nên bỏ sót các từ trong điều kiện của nhiệm vụ: “cuối cùng” và “ n=5". Vì vậy, không tính cho đến khi bạn xanh mặt hoàn toàn.) Chỉ có 5 (năm) thành viên trong tiến trình này:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

số 4 = số 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

số 5 = số 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Nó vẫn còn để viết ra câu trả lời:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Một nhiệm vụ khác:

3. Xác định xem số 7 có phải là thành viên của cấp số cộng (an n) hay không, nếu a 1 = 4,1; d = 1,2.

Ừm... Ai biết được? Làm thế nào để xác định một cái gì đó?

Làm thế nào-làm thế nào... Viết ra tiến trình dưới dạng một chuỗi và xem liệu có số bảy ở đó hay không! Chúng tôi đếm:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

số 4 = số 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Bây giờ có thể thấy rõ rằng chúng ta chỉ mới bảy tuổi Trượt qua trong khoảng từ 6,5 đến 7,7! Số bảy không nằm trong dãy số của chúng tôi và do đó, số bảy sẽ không phải là thành viên sự tiến triển nhất định.

Trả lời: không.

Và đây là một vấn đề dựa trên phiên bản thực của GIA:

4. Viết ra một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng:

...; 15; X; 9; 6; ...

Đây là một bộ truyện được viết không có kết thúc và bắt đầu. Không có số thành viên, không có sự khác biệt d. Được rồi. Để giải bài toán, chỉ cần hiểu ý nghĩa của cấp số cộng là đủ. Hãy nhìn và xem những gì có thể để biết từ loạt bài này? Ba thông số chính là gì?

Số thành viên? Không có một con số nào ở đây.

Nhưng có ba con số và - chú ý! - từ "nhất quán" trong điều kiện. Điều này có nghĩa là các con số được sắp xếp theo đúng thứ tự, không có khoảng trống. Có hai người ở hàng này phải không? láng giềng số đã biết? Vâng tôi có! Đây là 9 và 6. Vì vậy, chúng ta có thể tính được sự khác biệt của cấp số cộng! Trừ từ sáu trước số, tức là chín:

Chỉ còn lại những chuyện vặt vãnh. Số nào sẽ là số trước đó của X? Mười lăm. Điều này có nghĩa là X có thể dễ dàng tìm thấy phép cộng đơn giản. Cộng hiệu của cấp số cộng với 15:

Đó là tất cả. Trả lời: x=12

Chúng tôi tự giải quyết các vấn đề sau. Lưu ý: những vấn đề này không dựa trên công thức. Hoàn toàn là để hiểu ý nghĩa của một cấp số cộng.) Chúng ta chỉ cần viết ra một dãy số và chữ cái, nhìn và tìm ra.

5. Tìm cái đầu tiên thuật ngữ tích cực cấp số cộng nếu a 5 = -3; d = 1,1.

6. Biết rằng số 5,5 là thành viên của cấp số cộng (an), trong đó a 1 = 1,6; d = 1,3. Xác định số n của thành viên này.

7. Biết rằng trong cấp số cộng a 2 = 4; 5 = 15,1. Tìm số 3 .

8. Viết ra một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Tìm số hạng của cấp số được biểu thị bằng chữ x.

9. Tàu bắt đầu di chuyển từ ga, tăng tốc đều 30 mét một phút. Tốc độ của tàu sẽ là bao nhiêu trong năm phút? Hãy đưa ra câu trả lời của bạn bằng km/giờ.

10. Biết rằng trong cấp số cộng a 2 = 5; 6 = -5. Tìm số 1.

Đáp án (lộn xộn): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Mọi thứ đã làm ra? Tuyệt vời! Bạn có thể nắm vững tiến trình số học để biết thêm cấp độ cao, ở các bài học sau.

Không phải mọi thứ đều ổn sao? Không có gì. Trong Mục Đặc biệt 555, tất cả những vấn đề này được chia nhỏ ra từng phần.) Và tất nhiên, một vấn đề đơn giản được mô tả kỹ thuật thực hành, ngay lập tức nêu bật giải pháp cho những nhiệm vụ đó một cách rõ ràng, rõ ràng, trong nháy mắt!

Nhân tiện, trong câu đố về con tàu có hai vấn đề mà mọi người thường vấp phải. Một là hoàn toàn về mặt tiến triển, và thứ hai là tổng quát cho bất kỳ vấn đề nào trong toán học và vật lý nữa. Đây là một bản dịch của các kích thước từ cái này sang cái khác. Nó cho thấy những vấn đề này nên được giải quyết như thế nào.

Trong bài học này, chúng ta đã xem xét ý nghĩa cơ bản của cấp số cộng và các tham số chính của nó. Điều này là đủ để giải quyết hầu hết các vấn đề về chủ đề này. Thêm vào d vào những con số, viết một chuỗi, mọi chuyện sẽ được giải quyết.

Giải pháp ngón tay hoạt động tốt đối với các đoạn hàng rất ngắn, như trong các ví dụ trong hướng dẫn này. Nếu chuỗi dài hơn thì việc tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn. Ví dụ: nếu ở vấn đề 9 trong câu hỏi, chúng ta thay thế "năm phút" TRÊN "ba mươi lăm phút" vấn đề sẽ trở nên tồi tệ hơn đáng kể.)

Và cũng có những nhiệm vụ về bản chất thì đơn giản nhưng lại vô lý về mặt tính toán, ví dụ:

Một cấp số cộng (an) được đưa ra. Tìm 121 nếu a 1 = 3 và d=1/6.

Vậy thì sao, chúng ta sẽ cộng 1/6 rất nhiều lần?! Bạn có thể tự sát!?

Bạn có thể.) Nếu bạn không biết công thức đơn giản, cho phép bạn giải quyết các nhiệm vụ đó trong một phút. Công thức này sẽ có ở bài học tiếp theo. Và vấn đề này được giải quyết ở đó. Trong một phút.)

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Cấp độ đầu tiên

Cấp số cộng. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)

Dãy số

Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là có số đó). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số hai, v.v. cho đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:

Dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Số được gán chỉ dành riêng cho một số trong dãy. Nói cách khác, không có số thứ ba trong dãy. Số thứ hai (như số thứ) luôn giống nhau.
Số kèm theo số gọi là số hạng thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Trong trường hợp của chúng ta:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Dãy số này được gọi là cấp số cộng.
Thuật ngữ "sự tiến bộ" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn. theo nghĩa rộng, giống như một dãy số vô hạn. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu.

Đây là một dãy số, mỗi phần tử của nó bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số. Con số này được gọi là hiệu của cấp số cộng và được chỉ định.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

Một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là cấp số cộng - b, c.
Không phải cấp số cộng - a, d.

Chúng ta hãy quay lại tiến trình đã cho () và cố gắng tìm giá trị của số hạng thứ của nó. tồn tại hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Chúng ta có thể cộng số cấp số vào giá trị trước đó cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp số nhân. Thật tốt khi chúng ta không có nhiều điều để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:

Vì vậy, số hạng thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Điều gì xảy ra nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số nhân? Việc tính tổng sẽ khiến chúng ta mất hơn một giờ và thực tế là chúng ta sẽ không mắc lỗi khi cộng các số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà không cần thiết phải cộng hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy nhìn kỹ hơn vào bức tranh được vẽ... Chắc chắn bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu nào đó, cụ thể là:

Ví dụ: hãy xem giá trị của số hạng thứ của cấp số cộng này bao gồm những gì:


Nói cách khác:

Hãy thử tự mình tìm giá trị của một phần tử của một cấp số cộng nhất định theo cách này.

Bạn đã tính toán chưa? So sánh ghi chú của bạn với câu trả lời:

Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác giống như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm tuần tự các số hạng của cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử “phi nhân cách hóa” công thức này - hãy đưa nó vào hình thức chung và chúng tôi nhận được:

Phương trình cấp tiến số học.

Cấp số cộng có thể tăng hoặc giảm.

Tăng dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của cấp số cộng.
Hãy kiểm tra điều này trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm những con số sau đây: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta sử dụng công thức để tính nó:

Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả cấp số cộng giảm và tăng.
Hãy cố gắng tự tìm số hạng thứ và thứ của cấp số cộng này.

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số cộng

Hãy phức tạp hóa vấn đề - chúng ta sẽ rút ra tính chất của cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- lũy tiến số học, tìm giá trị.
Dễ thôi, bạn nói và bắt đầu đếm theo công thức bạn đã biết:

À, vậy thì:

Hoàn toàn đúng. Hóa ra trước tiên chúng ta tìm, sau đó cộng nó vào số đầu tiên và có được thứ chúng ta đang tìm. Nếu cấp số được biểu thị bằng các giá trị nhỏ thì không có gì phức tạp, nhưng nếu chúng ta được cho các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng xảy ra sai sót trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem liệu có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên là có, và đó là những gì chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra ngay bây giờ.

Chúng ta hãy biểu thị số hạng cần thiết của cấp số cộng vì công thức tìm nó đã được chúng ta biết - đây chính là công thức mà chúng ta đã rút ra lúc đầu:
, Sau đó:

• số hạng trước đó của tiến trình là:
• Số hạng tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tổng hợp các điều khoản trước và sau của tiến trình:

Hóa ra tổng của các số hạng trước và sau của cấp số nhân là giá trị kép của số hạng cấp số nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của số hạng lũy ​​tiến dựa trên số hạng đã biết trước đó và giá trị liên tiếp, bạn cần cộng chúng lại và chia cho.

Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy bảo đảm vật liệu. Tự mình tính toán giá trị cho sự tiến triển, nó không khó chút nào.

Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến triển! Vẫn còn phải tìm ra một công thức mà theo truyền thuyết, đã dễ dàng được suy ra bởi một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, “vua của các nhà toán học” - Karl Gauss...

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác nên đã hỏi bài toán sau trong lớp: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác cho đến) bao gồm.” Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của giáo viên khi một phút sau một trong những học sinh của ông (đây là Karl Gauss) đã đưa ra câu trả lời đúng cho bài tập, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều mạng sau khi tính toán lâu dài đều nhận được kết quả sai...

Carl Gauss thời trẻ đã nhận thấy một khuôn mẫu nhất định mà bạn cũng có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các số hạng -th: Chúng ta cần tìm tổng các số hạng này của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng nếu nhiệm vụ yêu cầu tìm tổng các số hạng của nó, như Gauss đang tìm kiếm thì sao?

Hãy để chúng tôi mô tả sự tiến triển được đưa ra cho chúng tôi. Hãy xem xét kỹ hơn các con số được đánh dấu và thử thực hiện các phép toán khác nhau với chúng.


Bạn đã thử chưa? Bạn đã nhận thấy điều gì? Phải! Tổng của chúng bằng nhau

Bây giờ hãy cho tôi biết, có tổng cộng bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa số đó.
Dựa trên thực tế là tổng hai số hạng của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp số hạng giống nhau bằng nhau, ta thu được điều đó tổng cộng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Trong một số bài toán, chúng ta không biết số hạng thứ nhưng chúng ta biết sự khác biệt của cấp số nhân. Hãy thử thay công thức của số hạng thứ vào công thức tính tổng.
Bạn đã nhận được gì?

Làm tốt! Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán đã đặt ra cho Carl Gauss: hãy tự tính xem tổng các số bắt đầu từ số th bằng bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ số th bằng bao nhiêu.

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss nhận thấy rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng bằng nhau. Đó là điều bạn quyết định à?

Trên thực tế, công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng đã được chứng minh bởi nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus vào thế kỷ thứ 3 và trong suốt thời gian này. những người hóm hỉnhđã sử dụng đầy đủ các tính chất của cấp số cộng.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và dự án xây dựng lớn nhất thời bấy giờ - xây dựng kim tự tháp... Hình ảnh cho thấy một mặt của nó.

Bạn nói sự tiến triển ở đây là ở đâu? Hãy quan sát cẩn thận và tìm ra mẫu số lượng khối cát ở mỗi hàng của bức tường kim tự tháp.


Tại sao không phải là một cấp số cộng? Tính xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu gạch khối được đặt ở chân tường. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm khi di chuyển ngón tay trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và mọi điều chúng ta đã nói về cấp số cộng không?

TRONG trong trường hợp này Sự tiến triển trông như thế này: .
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Số số hạng của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (tính số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Và bây giờ bạn có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Hiểu rồi? Làm tốt lắm, bạn đã nắm vững tổng các số hạng thứ n của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây dựng một kim tự tháp từ các khối ở chân đế, nhưng từ? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý được chưa?
Câu trả lời đúng là khối:

Đào tạo

Nhiệm vụ:

1. Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần squat lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong một tuần nếu cô ấy tập squat trong buổi tập đầu tiên?
2. Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu?
3. Khi lưu trữ nhật ký, trình ghi nhật ký sẽ xếp chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít hơn một nhật ký so với lớp trước. Có bao nhiêu khúc gỗ trong một khối xây, nếu nền của khối xây là khúc gỗ?

Câu trả lời:

1. Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
   (tuần = ngày).

   Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên tập squat mỗi ngày một lần.

2. Đầu tiên số lẻ, số cuối cùng.
   Sự khác biệt cấp tiến số học.
   Tuy nhiên, số lượng số lẻ trong đó là một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm số hạng thứ của một cấp số cộng:

   Số có chứa số lẻ.
   Hãy thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:

   Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ chứa trong đó bằng nhau.

3. Chúng ta hãy nhớ lại vấn đề về kim tự tháp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên tổng cộng có một loạt các lớp.
   Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:

   Trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.

Hãy tóm tắt lại

1. - một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề bằng nhau và bằng nhau. Nó có thể tăng hoặc giảm.
2. Tìm công thức Số hạng thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
3. Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - số lượng các số đang tiến triển ở đâu.
4. Tổng các số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:
   
   , số lượng giá trị ở đâu.

CẤP SỐ CỘNG. MỨC TRUNG BÌNH

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích. Nhưng chúng ta luôn có thể nói cái nào là thứ nhất, cái nào là thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số.

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định và một số duy nhất. Và chúng ta sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác trong bộ này.

Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Sẽ rất thuận tiện nếu số hạng thứ của dãy có thể được xác định bằng một công thức nào đó. Ví dụ, công thức

đặt trình tự:

Và công thức là trình tự sau:

Ví dụ: một cấp số cộng là một dãy (số hạng đầu tiên ở đây bằng nhau và hiệu là). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi một công thức là hồi quy, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số cộng sử dụng công thức này, chúng ta sẽ phải tính số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để nó. Sau đó:

Chà, bây giờ bạn đã rõ công thức là gì chưa?

Trong mỗi dòng chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Cái nào? Rất đơn giản: đây là số lượng thành viên hiện tại trừ đi:

Bây giờ thuận tiện hơn nhiều phải không? Chung ta kiểm tra:

Quyết định cho chính mình:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.

Giải pháp:

Số hạng đầu tiên bằng nhau. Sự khác biệt là gì? Đây là những gì:

(Đây là lý do tại sao nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các số hạng liên tiếp của cấp số).

Vì vậy, công thức:

Khi đó số hạng thứ trăm bằng:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Karl Gauss, khi còn là một cậu bé 9 tuổi, đã tính được số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 tính từ cuối bằng nhau, v.v. Tổng cộng có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số lượng của tất cả các số. Vì thế,

Công thức chung tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả số có hai chữ số, bội số.

Giải pháp:

Con số đầu tiên như vậy là thế này. Mỗi cái tiếp theo có được bằng cách thêm vào ngày trước đó. Vì vậy, những con số chúng ta quan tâm tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này:

Có bao nhiêu số hạng trong dãy số nếu tất cả chúng đều phải có hai chữ số?

Rất dễ: .

Số hạng cuối cùng của quá trình tiến triển sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

1. Mỗi ngày vận động viên chạy được nhiều mét hơn ngày hôm trước. Hỏi anh ta sẽ chạy tổng cộng bao nhiêu km trong một tuần nếu anh ta chạy km m vào ngày đầu tiên?
2. Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều km hơn ngày hôm trước. Ngày đầu tiên anh ấy đi được km. Anh ta cần phải đi bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km trong ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
3. Giá tủ lạnh ở cửa hàng mỗi năm đều giảm một lượng như nhau. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

1. Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
   .
   Trả lời:
2. Ở đây nó được đưa ra: , phải được tìm thấy.
   Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng tương tự như trong bài toán trước:
   .
   Thay thế các giá trị:

   Root rõ ràng là không phù hợp nên câu trả lời là.
   Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày cuối cùng bằng công thức của số hạng thứ:
   (km).
   Trả lời:

3. Được cho: . Tìm thấy: .
   Nó không thể đơn giản hơn:
   (chà xát).
   Trả lời:

CẤP SỐ CỘNG. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng có thể tăng () và giảm ().

Ví dụ:

Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng

được viết theo công thức, ở đâu là số cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó cho phép bạn dễ dàng tìm thấy một số hạng của một cấp số nếu đã biết các số hạng lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số đó ở đâu.

Tổng các số hạng của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm số tiền:

Số lượng giá trị ở đâu.

Số lượng giá trị ở đâu.

Khi học đại số ở Trường cấp hai(lớp 9) một trong chủ đề quan trọng là nghiên cứu dãy số, bao gồm các cấp số - hình học và số học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một cấp số cộng và các ví dụ có nghiệm.

Một cấp số cộng là gì?

Để hiểu điều này, cần phải xác định tiến trình đang được đề cập, cũng như cung cấp các công thức cơ bản sẽ được sử dụng sau này để giải các bài toán.

Số học hoặc là một tập hợp các số hữu tỉ có thứ tự, mỗi số trong đó khác với số trước một một giá trị không đổi nào đó. Giá trị này được gọi là sự khác biệt. Nghĩa là, biết bất kỳ thành viên nào của dãy số có thứ tự và sự khác biệt, bạn có thể khôi phục toàn bộ cấp số cộng.

Hãy đưa ra một ví dụ. Dãy số sau đây sẽ là một cấp số cộng: 4, 8, 12, 16, ..., vì hiệu trong trường hợp này là 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Nhưng tập hợp các số 3, 5, 8, 12, 17 không còn có thể được quy cho loại cấp số đang xét vì sự khác biệt của nó không phải là giá trị hiện có (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Công thức quan trọng

Bây giờ chúng ta hãy trình bày các công thức cơ bản cần thiết để giải các bài toán sử dụng cấp số cộng. Chúng ta hãy biểu thị bằng ký hiệu a n thành viên thứ n của dãy, trong đó n là số nguyên. Chúng tôi biểu thị sự khác biệt chữ cái Latinh d. Thế thì công bằng các biểu thức sau:

1. Để xác định giá trị của số hạng thứ n, công thức sau đây phù hợp: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Để xác định tổng của n số hạng đầu tiên: S n = (a n +a 1)*n/2.

Để hiểu bất kỳ ví dụ nào về cấp số cộng có lời giải ở lớp 9, chỉ cần nhớ hai công thức này là đủ, vì bất kỳ bài toán nào thuộc loại đang xem xét đều dựa trên cách sử dụng chúng. Bạn cũng nên nhớ rằng chênh lệch lũy tiến được xác định theo công thức: d = a n - a n-1.

Ví dụ #1: tìm một thành viên chưa biết

Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản về cấp số cộng và các công thức cần sử dụng để giải nó.

Cho dãy 10, 8, 6, 4, ..., bạn cần tìm năm số hạng trong đó.

Từ điều kiện của bài toán, ta suy ra rằng 4 số hạng đầu tiên đã biết. Thứ năm có thể được định nghĩa theo hai cách:

1. Đầu tiên chúng ta hãy tính sự khác biệt. Ta có: d = 8 - 10 = -2. Tương tự, người ta có thể lấy bất kỳ hai số hạng nào khác, đứng gần đó cùng nhau. Ví dụ: d = 4 - 6 = -2. Vì đã biết d = a n - a n-1 nên d = a 5 - a 4, từ đó ta có: a 5 = a 4 + d. Hãy thay thế giá trị đã biết: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Phương pháp thứ hai cũng yêu cầu kiến ​​thức về sự khác biệt của cấp số đang được đề cập, vì vậy trước tiên bạn cần xác định nó như minh họa ở trên (d = -2). Biết rằng số hạng đầu tiên a 1 = 10, chúng ta sử dụng công thức tính số n của dãy. Chúng ta có: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Thay n = 5 vào biểu thức cuối cùng, chúng ta nhận được: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Như bạn có thể thấy, cả hai giải pháp đều dẫn đến cùng một kết quả. Lưu ý rằng trong ví dụ này, hiệu d của cấp số nhân là giá trị âm. Những chuỗi như vậy được gọi là giảm dần vì mỗi số hạng tiếp theo nhỏ hơn số hạng trước.

Ví dụ #2: sự khác biệt về tiến trình

Bây giờ chúng ta hãy phức tạp hóa vấn đề một chút, đưa ra một ví dụ về cách tìm sự khác biệt của cấp số cộng.

Được biết, trong một số cấp số đại số, số hạng thứ nhất bằng 6 và số hạng thứ 7 bằng 18. Cần phải tìm ra sự khác biệt và khôi phục dãy số này về số hạng thứ 7.

Hãy sử dụng công thức để xác định số hạng chưa biết: a n = (n - 1) * d + a 1 . Thay dữ liệu đã biết từ điều kiện vào đó, tức là các số a 1 và a 7, ta có: 18 = 6 + 6 * d. Từ biểu thức này, bạn có thể dễ dàng tính được hiệu: d = (18 - 6) /6 = 2. Như vậy, chúng ta đã trả lời được phần đầu của bài toán.

Để khôi phục dãy về số hạng thứ 7, bạn nên sử dụng định nghĩa cấp số đại số, nghĩa là a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, v.v. Kết quả là chúng ta khôi phục toàn bộ chuỗi: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Ví dụ số 3: vẽ tiến trình

Hãy phức tạp hóa nó hơn nữa tình trạng mạnh hơn nhiệm vụ. Bây giờ chúng ta cần trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm được một cấp số cộng. Có thể đưa ra ví dụ sau: cho hai số, ví dụ - 4 và 5. Cần tạo một cấp số đại số để đặt thêm ba số hạng giữa các số này.

Trước khi bắt đầu giải bài toán này, bạn cần hiểu vị trí của các số đã cho trong tiến trình tương lai. Vì sẽ có thêm ba số hạng nữa giữa chúng, nên 1 = -4 và 5 = 5. Sau khi thiết lập được điều này, chúng ta chuyển sang bài toán tương tự như bài toán trước. Một lần nữa, đối với số hạng thứ n, chúng ta sử dụng công thức, chúng ta nhận được: a 5 = a 1 + 4 * d. Từ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Những gì chúng ta nhận được ở đây không phải là giá trị nguyên của hiệu, mà là Số hữu tỉ, do đó các công thức cấp số đại số vẫn giữ nguyên.

Bây giờ, hãy thêm hiệu tìm được vào 1 và khôi phục các số hạng còn thiếu của cấp số nhân. Chúng ta nhận được: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, trùng khớp với điều kiện của bài toán.

Ví dụ số 4: số hạng lũy ​​tiến đầu tiên

Hãy tiếp tục đưa ra các ví dụ về cấp số cộng có nghiệm. Trong tất cả các bài toán trước, số đầu tiên của cấp số đại số đã được biết. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một bài toán thuộc một dạng khác: cho hai số, trong đó 15 = 50 và 43 = 37. Cần phải tìm xem chuỗi này bắt đầu bằng số nào.

Các công thức được sử dụng cho đến nay giả định kiến ​​thức về a 1 và d. Trong báo cáo vấn đề, không có gì được biết về những con số này. Tuy nhiên, chúng ta sẽ viết ra các biểu thức cho mỗi số hạng về những thông tin có sẵn: a 15 = a 1 + 14 * d và a 43 = a 1 + 42 * d. Ta nhận được hai phương trình trong đó có 2 đại lượng chưa biết (a 1 và d). Điều này có nghĩa là bài toán được rút gọn thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính.

Cách dễ nhất để giải hệ này là biểu thị số 1 trong mỗi phương trình và sau đó so sánh các biểu thức thu được. Phương trình thứ nhất: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; phương trình thứ hai: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Đánh đồng các biểu thức này, chúng ta nhận được: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, từ đó chênh lệch d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (chỉ cho 3 chữ số thập phân).

Biết d, bạn có thể sử dụng bất kỳ biểu thức nào trong 2 biểu thức trên cho số 1. Ví dụ: thứ nhất: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Nếu bạn nghi ngờ về kết quả thu được, bạn có thể kiểm tra nó, chẳng hạn như xác định số hạng thứ 43 của cấp số, được chỉ định trong điều kiện. Chúng ta nhận được: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Lỗi nhỏ là do việc làm tròn đến phần nghìn đã được sử dụng trong tính toán.

Ví dụ số 5: số tiền

Bây giờ chúng ta hãy xem một số ví dụ có nghiệm về tổng của một cấp số cộng.

Hãy để nó được trao cấp số nhân loại sau: 1, 2, 3, 4, ...,. Làm thế nào để tính tổng 100 của những số này?

Nhờ sự phát triển công nghệ máy tính bạn có thể giải quyết vấn đề này, nghĩa là cộng tất cả các số một cách tuần tự, Máy thanh toán sẽ thực hiện ngay khi người đó nhấn phím Enter. Tuy nhiên, vấn đề có thể được giải quyết về mặt tinh thần nếu bạn chú ý rằng chuỗi số được trình bày là một cấp số đại số và hiệu của nó bằng 1. Áp dụng công thức tính tổng, chúng ta nhận được: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Thật thú vị khi lưu ý rằng vấn đề này được gọi là "Gaussian" vì trong đầu XVIII Thế kỷ này, chàng trai nổi tiếng người Đức dù mới 10 tuổi đã có thể giải được câu đố trong đầu trong vài giây. Cậu bé không biết công thức tính tổng của một cấp số đại số, nhưng cậu nhận thấy rằng nếu cộng các số ở cuối dãy theo cặp, bạn luôn nhận được kết quả như nhau, đó là 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., và vì các tổng này sẽ chính xác là 50 (100/2), nên để có câu trả lời đúng, chỉ cần nhân 50 với 101 là đủ.

Ví dụ 6: tổng các số hạng từ n đến m

Một lần nữa ví dụ điển hình tổng của một cấp số cộng như sau: cho một dãy số: 3, 7, 11, 15, ..., bạn cần tìm tổng các số hạng của nó từ 8 đến 14 sẽ bằng bao nhiêu.

Vấn đề được giải quyết theo hai cách. Việc đầu tiên liên quan đến việc tìm các số hạng chưa biết từ 8 đến 14, sau đó tính tổng chúng một cách tuần tự. Vì có ít thuật ngữ nên phương pháp này không tốn nhiều công sức. Tuy nhiên, người ta đề xuất giải quyết vấn đề này bằng phương pháp thứ hai, phổ biến hơn.

Ý tưởng là thu được một công thức tính tổng cấp số đại số giữa các số hạng m và n, trong đó n > m là số nguyên. Đối với cả hai trường hợp, chúng ta viết hai biểu thức tính tổng:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (an + a 1) / 2.

Vì n > m nên hiển nhiên tổng thứ 2 bao gồm tổng thứ nhất. Kết luận cuối cùng có nghĩa là nếu chúng ta lấy hiệu giữa các tổng này và cộng số hạng a m vào nó (trong trường hợp lấy hiệu thì lấy tổng Sn trừ đi), chúng ta sẽ thu được đáp án cần thiết cho bài toán. Chúng ta có: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + an n * n/2 + a m * (1- m/2). Cần phải thay thế các công thức của n và a m vào biểu thức này. Khi đó ta được: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Công thức tính được có phần phức tạp, tuy nhiên tổng S mn chỉ phụ thuộc vào n, m, a 1 và d. Trong trường hợp của chúng ta, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Thay các số này vào, chúng ta được: S mn = 301.

Như có thể thấy từ các lời giải trên, tất cả các bài toán đều dựa trên kiến ​​thức về biểu thức của số hạng thứ n và công thức tính tổng của tập hợp số hạng thứ nhất. Trước khi bắt đầu giải quyết bất kỳ vấn đề nào trong số này, bạn nên đọc kỹ điều kiện, hiểu rõ ràng những gì bạn cần tìm và chỉ sau đó mới tiến hành giải pháp.

Một mẹo khác là cố gắng đạt được sự đơn giản, tức là nếu bạn có thể trả lời một câu hỏi mà không cần sử dụng các phép tính toán học phức tạp, thì bạn chỉ cần làm như vậy, vì trong trường hợp này khả năng mắc lỗi sẽ ít hơn. Ví dụ, trong ví dụ về cấp số cộng với nghiệm số 6, người ta có thể dừng lại ở công thức S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, và phá vỡ nhiệm vụ chung thành các nhiệm vụ con riêng biệt (trong trường hợp này, trước tiên hãy tìm các số hạng a n và a m).

Nếu bạn có nghi ngờ về kết quả thu được, bạn nên kiểm tra nó, như đã làm trong một số ví dụ đã cho. Chúng tôi đã tìm ra cách tìm một cấp số cộng. Nếu bạn tìm ra nó, nó không phải là khó khăn.