Như thế nào là phép trừ vectơ trong vật lý. Quy tắc thêm vectơ thẳng hàng

định nghĩa tiêu chuẩn: "Một vectơ là một đoạn thẳng có hướng." Đây thường là giới hạn kiến thức của một sinh viên mới tốt nghiệp về vectơ. Ai cần một số loại "phân đoạn được chỉ đạo"?

Nhưng trên thực tế, vectơ là gì và tại sao lại như vậy?
Dự báo thời tiết. "Gió tây bắc, tốc độ 18 mét trên giây." Đồng ý, cả hướng của gió (nơi nó thổi đến) và mô-đun (nghĩa là giá trị tuyệt đối) tốc độ của nó.

Các đại lượng không có hướng được gọi là đại lượng vô hướng. cân nặng, công việc, sạc điện không gửi đi đâu cả. Chúng chỉ có đặc điểm giá trị số- "bao nhiêu kg" hoặc "bao nhiêu jun".

Các đại lượng vật lý không chỉ có giá trị tuyệt đối, mà còn là hướng, được gọi là vectơ.

Tốc độ, lực, gia tốc - vectơ. Đối với họ, quan trọng là “bao nhiêu” và quan trọng là “ở đâu”. Ví dụ, tăng tốc rơi tự do hướng vào bề mặt Trái đất, và giá trị của nó là 9,8 m / s 2. động lượng, căng thẳng điện trường, hướng dẫn từ trường cũng là các đại lượng vectơ.

Bạn có nhớ điều đó không đại lượng vật lý ký hiệu bằng các chữ cái, tiếng Latinh hoặc tiếng Hy Lạp. Mũi tên phía trên chữ cái chỉ ra rằng đại lượng là một vectơ:

Đây là một ví dụ khác.
Ô tô đang chuyển động từ A đến B. Kết quả cuối cùng là chuyển động của nó từ điểm A đến điểm B, tức là chuyển động theo một vectơ.

Bây giờ thì đã rõ tại sao một vectơ là một đoạn có hướng. Hãy chú ý, phần cuối của vector là nơi có mũi tên. Chiều dài vectơđược gọi là độ dài của đoạn này. Được chỉ định: hoặc

Cho đến nay, chúng tôi đã làm việc với các đại lượng vô hướng, theo các quy tắc của số học và đại số sơ cấp. Vectơ là một khái niệm mới. Đây là một lớp khác các đối tượng toán học. Họ có quy tắc riêng của họ.

Ngày xưa, chúng ta thậm chí còn không biết về những con số. Sự quen biết với họ bắt đầu trong lớp dưới. Nó chỉ ra rằng các số có thể được so sánh với nhau, cộng, trừ, nhân và chia. Chúng tôi đã học được rằng có một số một và một số không.
Bây giờ chúng ta làm quen với vectơ.

Các khái niệm "lớn hơn" và "nhỏ hơn" không tồn tại đối với vectơ - xét cho cùng, hướng của chúng có thể khác nhau. Bạn chỉ có thể so sánh độ dài của các vectơ.

Nhưng khái niệm bình đẳng đối với vectơ là.
Bình đẳngđược gọi là vectơ có cùng độ dài và cùng chiều. Điều này có nghĩa là vectơ có thể được di chuyển song song với chính nó đến bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng.
Độc thânđược gọi là vectơ có độ dài bằng 1. Số không - một vectơ có độ dài bằng 0, nghĩa là điểm đầu của nó trùng với điểm cuối.

Nó là thuận tiện nhất để làm việc với các vectơ trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ - cùng một trong đó chúng ta vẽ đồ thị của hàm số. Mỗi điểm trong hệ tọa độ tương ứng với hai số - tọa độ x và y của nó, abscissa và tọa độ.
Vectơ cũng được cho bởi hai tọa độ:

Ở đây, tọa độ của vectơ được viết trong dấu ngoặc - theo x và y.
Chúng rất dễ tìm: tọa độ cuối của vectơ trừ tọa độ đầu của nó.

Nếu tọa độ vectơ được cho, độ dài của nó được tìm theo công thức

Thêm vectơ

Có hai cách để thêm vectơ.

một . quy tắc hình bình hành. Để thêm các vectơ và, chúng tôi đặt điểm gốc của cả hai tại cùng một điểm. Ta hoàn thành hình bình hành và vẽ đường chéo của hình bình hành từ cùng một điểm. Đây sẽ là tổng của các vectơ và.

Hãy nhớ câu chuyện ngụ ngôn về thiên nga, ung thư và pike? Họ đã rất cố gắng, nhưng họ không bao giờ di chuyển được xe. Rốt cuộc, tổng vectơ của các lực do chúng tác dụng lên xe đẩy bằng không.

2. Cách thứ hai để thêm vectơ là quy tắc tam giác. Hãy lấy các vectơ giống nhau và. Chúng tôi thêm đầu của thứ hai vào cuối của vectơ đầu tiên. Bây giờ chúng ta hãy kết nối phần đầu của phần đầu tiên và phần cuối của phần thứ hai. Đây là tổng của các vectơ và.

Theo quy tắc tương tự, bạn có thể thêm một số vectơ. Chúng tôi đính kèm từng cái một, và sau đó kết nối phần đầu của phần đầu tiên với phần cuối của phần cuối cùng.

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang đi từ điểm A đến điểm B, từ B đến C, từ C đến D, sau đó đến E và sau đó đến F. Kết quả cuối cùng của những hành động này là chuyển từ A sang F.

Khi thêm vectơ và chúng ta nhận được:

Phép trừ vectơ

Vectơ có hướng ngược lại với vectơ. Độ dài của các vectơ và bằng nhau.

Bây giờ rõ ràng là phép trừ vectơ là gì. Hiệu của các vectơ và là tổng của vectơ và vectơ.

Nhân một vectơ với một số

Nhân một vectơ với một số k thu được một vectơ có độ dài khác k lần với độ dài. Nó có hướng với vectơ nếu k Trên không, và có hướng ngược lại nếu k nhỏ hơn 0.

Tích chấm của vectơ

Các vectơ không chỉ có thể được nhân với các số mà còn với nhau.

Tích vô hướng của vectơ là tích của độ dài của vectơ và côsin của góc giữa chúng.

Hãy chú ý - chúng tôi nhân hai vectơ và chúng tôi nhận được một đại lượng vô hướng, tức là một số. Ví dụ, trong vật lý công việc cơ khí bằng tích vô hướng của hai vectơ - lực và độ dời:

Nếu các vectơ vuông góc, tích chấm của chúng bằng không.
Và đây là cách tích vô hướng được biểu diễn dưới dạng tọa độ của các vectơ và:

Từ công thức cho sản phẩm chấm bạn có thể tìm thấy góc giữa các vectơ:

Công thức này đặc biệt thuận tiện trong phép đo lập thể. Ví dụ, trong bài toán 14 kiểm tra hồ sơ trong toán học, bạn cần tìm góc giữa các đường thẳng cắt nhau hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán 14 thường được giải nhanh hơn nhiều lần bằng phương pháp vectơ so với bài toán cổ điển.

TẠI chương trình giáo dục trong toán học chỉ nghiên cứu tích vô hướng của vectơ.
Hóa ra, ngoài tính vô hướng, còn có tích vectơ, khi một vectơ thu được là kết quả của phép nhân hai vectơ. Ai thi đậu môn vật lý thì biết lực Lorentz và lực Ampère là gì. Các công thức để tìm các lực này bao gồm chính xác các tích vectơ.

Vectơ là một công cụ toán học rất hữu ích. Bạn sẽ bị thuyết phục về điều này trong khóa học đầu tiên.

Sự định nghĩa

Việc cộng các vectơ và được thực hiện theo quy tắc tam giác.

Tổng hai vectơ và một vectơ thứ ba như vậy được gọi là điểm đầu của nó trùng với điểm đầu và điểm cuối với điểm cuối, với điều kiện là điểm cuối của vectơ và điểm đầu của vectơ trùng nhau (Hình 1).

Để bổ sung vectơ Quy tắc hình bình hành cũng được áp dụng.

Sự định nghĩa

quy tắc hình bình hành- Nếu hai vectơ u không thẳng hàng dẫn về một gốc chung thì vectơ trùng với đường chéo của hình bình hành được xây dựng trên vectơ u (Hình 2). Hơn nữa, đầu của vectơ trùng với đầu của các vectơ đã cho.

Sự định nghĩa

Vectơ được gọi là vectơ đối diệnđối với vectơ nếu nó thẳng hàng vectơ, có độ dài bằng nó, nhưng hướng theo hướng ngược lại với vectơ.

Phép toán cộng vectơ có các thuộc tính sau:

Sự định nghĩa

Sự khác biệt vectơ và một vectơ được gọi là sao cho thỏa mãn điều kiện: (Hình 3).

Nhân một vectơ với một số

Sự định nghĩa

công việc vectơ mỗi sốđược gọi là vectơ thỏa mãn các điều kiện:

Các tính chất của phép nhân một vectơ với một số:

Ở đây u là các vectơ tùy ý, và là các số tùy ý.

Không gian Euclide(cũng Không gian Euclide) - theo nghĩa ban đầu, không gian có các thuộc tính được mô tả tiên đề Hình học Euclide. Trong trường hợp này, giả định rằng không gian có kích thước bằng 3.

Theo nghĩa hiện đại, theo nghĩa tổng quát hơn, nó có thể biểu thị một trong những đối tượng tương tự và có liên quan chặt chẽ: hữu hạn chiều có thật không gian vector với một xác định tích cực sản phẩm vô hướng, hoặc không gian số liệu tương ứng với một không gian vectơ như vậy. Trong bài viết này, định nghĩa đầu tiên sẽ được lấy làm định nghĩa ban đầu.

Không gian Euclide có chiều cũng thường được sử dụng (nếu nó rõ ràng từ bối cảnh rằng không gian có cấu trúc Euclid).

Để xác định không gian Euclide, dễ nhất là lấy khái niệm chính sản phẩm chấm. Không gian vectơ Ơclit được định nghĩa là hữu hạn chiều không gian vectorở trên đồng ruộng số thực, trên vectơ của ai hàm giá trị thực với ba thuộc tính sau:

không gian affine, tương ứng với một không gian vectơ như vậy, được gọi là không gian affine Euclide, hoặc đơn giản là không gian Euclid .

Ví dụ về không gian Euclide là một không gian tọa độ bao gồm tất cả các N tích vô hướng -ok số thực trong đó được xác định bởi công thức

Cơ sở và tọa độ vectơ

Nền tảng (tiếng Hy Lạp khácβασις, cơ sở) - tập hợp các vectơ Trong không gian vector rằng bất kỳ vectơ nào của không gian này có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng kết hợp tuyến tính vectơ từ tập hợp này - vectơ cơ sở.

Trong trường hợp cơ sở là vô hạn, khái niệm "tổ hợp tuyến tính" cần được làm rõ. Điều này dẫn đến hai loại định nghĩa chính:

Cơ sở Hamel, định nghĩa của nó chỉ xem xét các tổ hợp tuyến tính hữu hạn. Cơ sở Hamel được sử dụng chủ yếu trong đại số trừu tượng (đặc biệt, trong đại số tuyến tính).

Cơ sở Schauder, định nghĩa của nó cũng xem xét các kết hợp tuyến tính vô hạn, cụ thể là, mở rộng trong cấp bậc. Định nghĩa này được sử dụng chủ yếu trong phân tích chức năng, đặc biệt là Không gian Hilbert,

Trong không gian hữu hạn chiều, cả hai loại cơ sở đều trùng khớp với nhau.

Tọa độ vectơ là các hệ số duy nhất có thể kết hợp tuyến tính nền tảng vectơ trong sự lựa chọn hệ tọa độ bằng vectơ đã cho.

tọa độ của vectơ ở đâu.

Sản phẩm vô hướng.

hoạt động trên hai vectơ, kết quả của nó là con số[khi xem xét các vectơ, các số thường được gọi là vô hướng], không phụ thuộc vào hệ tọa độ và đặc trưng cho độ dài của các vectơ nhân tố và góc giữa họ. Phép toán này tương ứng với phép nhân chiều dài vectơ x trên hình chiếu vectơ y mỗi vectơ x. Hoạt động này thường được coi là giao hoán và tuyến tính cho mỗi yếu tố.

Sản phẩm vô hướng hai vectơ bằng tổng các tích của các tọa độ tương ứng của chúng:

sản phẩm vector

đây là người giả mạo, vuông góc mặt phẳng được xây dựng bởi hai yếu tố, đó là kết quả của hoạt động nhị phân"phép nhân vectơ" qua vectơ trong 3D không gian euclid. Sản phẩm vectơ không có thuộc tính tính giao hoán và sự kết hợp(Là chống đối) và, ngược lại với sản phẩm chấm của các vectơ, là một vectơ. Được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng kỹ thuật và vật lý. Ví dụ, động lượng góc và Lực Lorentzđược viết bằng toán học dưới dạng tích vectơ. Tích chéo hữu ích để "đo" tính vuông góc của vectơ - môđun của tích chéo của hai vectơ bằng tích của môđun của chúng nếu chúng vuông góc và giảm xuống 0 nếu các vectơ song song hoặc phản song song.

sản phẩm vector hai vectơ có thể được tính toán bằng cách sử dụng bản ngã ma trận

sản phẩm hỗn hợp

Sản phẩm hỗn hợp vectơ -sản phẩm vô hướng vectơ trên sản phẩm vector vectơ và:

Đôi khi nó được gọi là sản phẩm vô hướng ba vectơ, rõ ràng là do kết quả là vô hướng(chính xác hơn - pseudoscalar).

Cảm quan hình học: Môđun của sản phẩm hỗn hợp về mặt số học bằng thể tích song song có học thức vectơ .sản phẩm hỗn hợp ba vectơ có thể được tìm thấy thông qua định thức

Máy bay trong không gian

chiếc máy bay - bề mặt đại sốđơn hàng đầu tiên: trong Hệ tọa độ Descartes máy bay có thể được thiết lập phương trình mức độ đầu tiên.

Một số tính chất đặc trưng của mặt phẳng

Chiếc máy bay - mặt, chứa hoàn toàn mỗi thẳng thắn, kết nối bất kỳ điểm;

Hai mặt phẳng song song hoặc cắt nhau trên một đường thẳng.

Đường thẳng song song với mặt phẳng, hoặc cắt nó tại một điểm, hoặc nằm trên mặt phẳng.

Hai đường thẳng vuông góc với cùng một mặt phẳng thì song song với nhau.

Hai mặt phẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau.

Tương tự bộ phận và khoảng thời gian, một mặt phẳng không bao gồm các điểm cực trị có thể được gọi là mặt phẳng khoảng, hoặc mặt phẳng mở.

Phương trình tổng quát (đầy đủ) của mặt phẳng

ở đâu và là các hằng số, đồng thời chúng không bằng 0; Trong vectơ hình thức:

vectơ bán kính của điểm ở đâu, vectơ vuông góc với mặt phẳng (vectơ pháp tuyến). Hướng dẫncosines vectơ:

Vectơ \ (\ overrightarrow (AB) \) có thể được xem như việc di chuyển một điểm từ vị trí \ (A \) (bắt đầu chuyển động) đến vị trí \ (B \) (kết thúc chuyển động). Tức là quỹ đạo chuyển động trong trường hợp này không quan trọng, chỉ quan trọng điểm đầu và điểm cuối!

\ (\ blacktriangleright \) Hai vectơ thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Nếu không, các vectơ được gọi là không thẳng hàng.

\ (\ blacktriangleright \) Hai vectơ thẳng hàng được cho là có hướng nếu hướng của chúng giống nhau.
Nếu hướng của chúng ngược nhau, thì chúng được gọi là hướng ngược lại.

Quy tắc bổ sung vectơ thẳng hàng:

đồng hướng chấm dứtĐầu tiên. Khi đó tổng của chúng là một vectơ, đầu của nó trùng với đầu của vectơ thứ nhất và điểm cuối trùng với điểm cuối của vectơ thứ hai (Hình 1).

\ (\ blacktriangleright \) Để thêm hai hướng ngược nhau vectơ, bạn có thể hoãn vectơ thứ hai từ bắt đầuĐầu tiên. Khi đó tổng của chúng là một vectơ, đầu của nó trùng với đầu của cả hai vectơ, độ dài bằng hiệu độ dài của các vectơ, hướng trùng với hướng của vectơ dài hơn (Hình 2).

Quy tắc thêm vectơ không thẳng hàng \ (\ overrightarrow (a) \) và \ (\ overrightarrow (b) \):

\ (\ blacktriangleright \) Quy tắc tam giác (Hình 3).

Cần phải hoãn vectơ \ (\ overrightarrow (b) \) từ cuối vectơ \ (\ overrightarrow (a) \). Khi đó, tổng là một vectơ có phần đầu của nó trùng với phần đầu của vectơ \ (\ overrightarrow (a) \) và có phần cuối của nó trùng với phần cuối của vectơ \ (\ overrightarrow (b) \).

\ (\ blacktriangleright \) Quy tắc hình bình hành (Hình 4).

Cần phải hoãn vector \ (\ overrightarrow (b) \) từ đầu vector \ (\ overrightarrow (a) \). Sau đó, tổng \ (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \) là một vectơ trùng với đường chéo của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ \ (\ overrightarrow (a) \) và \ (\ overrightarrow (b) \) (đầu của nó trùng với đầu của cả hai vectơ).

\ (\ blacktriangleright \) Để tìm sự khác biệt của hai vectơ \ (\ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) \), bạn cần tìm tổng các vectơ \ (\ overrightarrow (a) \) và \ (- \ overrightarrow (b) \): \ (\ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (a) + (- \ overrightarrow (b)) \)(Hình 5).

Nhiệm vụ 1 # 2638

Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi

Cho tam giác vuông \ (ABC \) với một góc vuông \ (A \), điểm \ (O \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. Tọa độ vectơ \ (\ overrightarrow (AB) = \ (1; 1 \) \), \ (\ overrightarrow (AC) = \ (- 1; 1 \) \). Tìm tổng tọa độ của vectơ \ (\ overrightarrow (OC) \).

Tại vì tam giác \ (ABC \) là góc vuông, khi đó tâm của đường tròn ngoại tiếp nằm ở giữa cạnh huyền, tức là. \ (O \) là giữa của \ (BC \).

thông báo rằng \ (\ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) - \ overrightarrow (AB) \), Do đó, \ (\ overrightarrow (BC) = \ (- 1-1; 1-1 \) = \ (- 2; 0 \) \).

Tại vì \ (\ overrightarrow (OC) = \ dfrac12 \ overrightarrow (BC) \), sau đó \ (\ overrightarrow (OC) = \ (- 1; 0 \) \).

Do đó, tổng tọa độ của vectơ \ (\ overrightarrow (OC) \) bằng \ (- 1 + 0 = -1 \).

Trả lời 1

Nhiệm vụ 2 # 674

Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi

\ (ABCD \) là một tứ giác có các cạnh chứa các vectơ \ (\ overrightarrow (AB) \), \ (\ overrightarrow (BC) \), \ (\ overrightarrow (CD) \), \ (\ overrightarrow (DA) \). Tìm độ dài của vectơ \ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) \).

\ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) \), \ (\ overrightarrow (AC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AD) \), sau đó
\ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) = \ overrightarrow (AC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) = \ overrightarrow (AD) + \ overrightarrow (DA) = \ overrightarrow (AD) - \ overrightarrow (AD) = \ vec (0) \).
Vectơ null có độ dài bằng \ (0 \).

Một vectơ có thể được coi là một phép dời hình, khi đó \ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) \)- chuyển từ \ (A \) sang \ (B \), rồi từ \ (B \) sang \ (C \) - cuối cùng là chuyển từ \ (A \) sang \ (C \).

Với cách giải thích này, rõ ràng là \ (\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) + \ overrightarrow (DA) = \ vec (0) \), vì kết quả là ở đây chúng ta đã chuyển từ điểm \ (A \) đến điểm \ (A \), tức là độ dài của một chuyển động như vậy bằng \ (0 \), có nghĩa là vectơ của bản thân một chuyển động như vậy là \ (\ vec (0) \).

Trả lời: 0

Nhiệm vụ 3 # 1805

Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi

Cho hình bình hành \ (ABCD \). Các đường chéo \ (AC \) và \ (BD \) cắt nhau tại điểm \ (O \). Hãy để, sau đó \ (\ overrightarrow (OA) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \)

\ [\ overrightarrow (OA) = \ frac (1) (2) \ overrightarrow (CA) = \ frac (1) (2) (\ overrightarrow (CB) + \ overrightarrow (BA)) = \ frac (1) ( 2) (\ overrightarrow (DA) + \ overrightarrow (BA)) = \ frac (1) (2) (- \ vec (b) - \ vec (a)) = - \ frac (1) (2) \ vec (a) - \ frac (1) (2) \ vec (b) \]\ (\ Rightarrow \) \ (x = - \ frac (1) (2) \), \ (y = - \ frac (1) (2) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x + y = - một\) .

Trả lời 1

Nhiệm vụ 4 # 1806

Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi

Cho hình bình hành \ (ABCD \). Các điểm \ (K \) và \ (L \) lần lượt nằm trên các cạnh \ (BC \) và \ (CD \), \ (BK: KC = 3: 1 \) và \ (L \) là trung điểm \ (CD \). Để cho \ (\ overrightarrow (AB) = \ vec (a) \), \ (\ overrightarrow (AD) = \ vec (b) \), sau đó \ (\ overrightarrow (KL) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \), trong đó \ (x \) và \ (y \) là một số số. Tìm số bằng \ (x + y \).

\ [\ overrightarrow (KL) = \ overrightarrow (KC) + \ overrightarrow (CL) = \ frac (1) (4) \ overrightarrow (BC) + \ frac (1) (2) \ overrightarrow (CD) = \ frac (1) (4) \ overrightarrow (AD) + \ frac (1) (2) \ overrightarrow (BA) = \ frac (1) (4) \ vec (b) - \ frac (1) (2) \ vec (một)\]\ (\ Rightarrow \) \ (x = - \ frac (1) (2) \), \ (y = \ frac (1) (4) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x + y = -0 , 25 \).

Trả lời: -0,25

Nhiệm vụ 5 # 1807

Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi

Cho hình bình hành \ (ABCD \). Các điểm \ (M \) và \ (N \) lần lượt nằm trên các cạnh \ (AD \) và \ (BC \), trong đó \ (AM: MD = 2: 3 \) và \ (BN: NC = 3 ): một \). Để cho \ (\ overrightarrow (AB) = \ vec (a) \), \ (\ overrightarrow (AD) = \ vec (b) \), sau đó \ (\ overrightarrow (MN) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \)

\ [\ overrightarrow (MN) = \ overrightarrow (MA) + \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BN) = \ frac (2) (5) \ overrightarrow (DA) + \ overrightarrow (AB) + \ frac (3 ) (4) \ overrightarrow (BC) = - \ frac (2) (5) \ overrightarrow (AD) + \ overrightarrow (AB) + \ frac (3) (4) \ overrightarrow (BC) = - \ frac (2 ) (5) \ vec (b) + \ vec (a) + \ frac (3) (4) \ vec (b) = \ vec (a) + \ frac (7) (20) \ vec (b) \ ]\ (\ Rightarrow \) \ (x = 1 \), \ (y = \ frac (7) (20) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x \ cdot y = 0,35 \).

Trả lời: 0,35

Nhiệm vụ 6 # 1808

Mức độ nhiệm vụ: Khó hơn đề thi

Cho hình bình hành \ (ABCD \). Điểm \ (P \) nằm trên đường chéo \ (BD \), điểm \ (Q \) nằm ở bên \ (CD \), trong đó \ (BP: PD = 4: 1 \) và \ ( CQ: QD = 1: 9 \). Để cho \ (\ overrightarrow (AB) = \ vec (a) \), \ (\ overrightarrow (AD) = \ vec (b) \), sau đó \ (\ overrightarrow (PQ) = x \ cdot \ vec (a) + y \ cdot \ vec (b) \), trong đó \ (x \) và \ (y \) là một số số. Tìm số bằng \ (x \ cdot y \).

\ [\ begin (tập hợp) \ overrightarrow (PQ) = \ overrightarrow (PD) + \ overrightarrow (DQ) = \ frac (1) (5) \ overrightarrow (BD) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow ( DC) = \ frac (1) (5) (\ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD)) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow (AB) = \\ = \ frac (1) (5) (\ overrightarrow (AD) + \ overrightarrow (BA)) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow (AB) = \ frac (1) (5) (\ overrightarrow (AD) - \ overrightarrow (AB)) + \ frac (9) (10) \ overrightarrow (AB) = \ frac (1) (5) \ overrightarrow (AD) + \ frac (7) (10) \ overrightarrow (AB) = \ frac (1) (5) \ vec (b) + \ frac (7) (10) \ vec (a) \ end (đã tập hợp) \]

\ (\ Rightarrow \) \ (x = \ frac (7) (10) \), \ (y = \ frac (1) (5) \) \ (\ Rightarrow \) \ (x \ cdot y = 0, mười bốn\) . và \ (ABCO \) là một hình bình hành; \ (AF \ song song BE \) và \ (ABOF \) - hình bình hành \ (\ Mũi tên phải \) \ [\ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AO) = \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BO) = \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (AF) = \ vec (a) + \ vec (b) \ ]\ (\ Rightarrow \) \ (x = 1 \), \ (y = 1 \) \ (\ Rightarrow \) \ (x + y = 2 \).

Trả lời: 2

Học sinh trung học chuẩn bị cho vượt qua kỳ thi trong môn toán và đồng thời mong muốn được điểm khá, các em nhất định phải học lại chủ đề “Quy tắc cộng trừ một số vectơ”. Có thể thấy từ nhiều năm thực hành, các nhiệm vụ như vậy được đưa vào bài kiểm tra chứng nhận hàng năm. Ví dụ: nếu một sinh viên tốt nghiệp gặp khó khăn với các nhiệm vụ từ phần “Hình học trên mặt phẳng”, trong đó bắt buộc phải áp dụng các quy tắc cộng và trừ vectơ, anh ta chắc chắn nên học lại hoặc hiểu lại tài liệu để thành công vượt qua kỳ thi.

Dự án giáo dục "Shkolkovo" cung cấp cách tiếp cận mớiđể chuẩn bị cho bài kiểm tra chứng nhận. Nguồn tài liệu của chúng tôi được xây dựng theo cách mà học sinh có thể tự xác định những phần khó nhất và lấp đầy những khoảng trống kiến thức. Các chuyên gia của Shkolkovo đã chuẩn bị và hệ thống hóa tất cả các tài liệu cần thiết để chuẩn bị cho bài kiểm tra chứng nhận.

Đến SỬ DỤNG các tác vụ, trong đó cần áp dụng các quy tắc cộng và trừ hai vectơ, không gây khó khăn, chúng tôi khuyên bạn trước hết nên bồi dưỡng trí nhớ của mình các khái niệm cơ bản. Sinh viên có thể tìm tài liệu này trong phần "Tài liệu tham khảo lý thuyết".

Nếu bạn đã nhớ quy tắc trừ vectơ và các định nghĩa cơ bản về chủ đề này, chúng tôi khuyên bạn nên củng cố kiến thức của mình bằng cách hoàn thành các bài tập phù hợp đã được các chuyên gia tuyển chọn. cổng thông tin giáo dục"Shkolkovo". Đối với mỗi vấn đề, trang web đưa ra một thuật toán giải và đưa ra câu trả lời chính xác. Chuyên đề "Quy tắc cộng vectơ" trình bày các bài tập khác nhau; sau khi hoàn thành hai hoặc ba nhiệm vụ tương đối dễ, học sinh có thể liên tiếp chuyển sang những nhiệm vụ khó hơn.

Để trau dồi kỹ năng của bản thân trong những công việc như vậy, chẳng hạn như học sinh có cơ hội trực tuyến, ở Moscow hoặc bất kỳ thành phố nào khác ở Nga. Nếu cần, nhiệm vụ có thể được lưu trong phần "Yêu thích". Nhờ đó, bạn có thể nhanh chóng tìm thấy các ví dụ quan tâm và thảo luận các thuật toán để tìm ra câu trả lời chính xác với giáo viên.

Trong toán học và vật lý, học sinh và học sinh thường bắt gặp các nhiệm vụ đối với đại lượng vectơ và thực hiện các phép toán khác nhau trên chúng. Sự khác nhau giữa đại lượng vectơ và đại lượng vô hướng quen thuộc với chúng ta, đặc điểm duy nhất của nó là một giá trị số là gì? Bởi vì họ có định hướng.

Việc sử dụng các đại lượng vectơ được giải thích rõ ràng nhất trong vật lý. nhiều nhất ví dụ đơn giản là các lực (lực ma sát, lực đàn hồi, trọng lượng), vận tốc và gia tốc, vì ngoài các trị số chúng còn có hướng tác dụng. Để so sánh, chúng ta hãy thí dụ vô hướng : đây có thể là khoảng cách giữa hai điểm hoặc khối lượng của cơ thể. Tại sao cần phải thực hiện các phép toán về đại lượng vectơ như cộng hoặc trừ? Điều này là cần thiết để có thể xác định kết quả của hoạt động của một hệ vectơ bao gồm 2 hoặc nhiều phần tử.

Định nghĩa của toán học vectơ

Hãy để chúng tôi giới thiệu các định nghĩa chính được sử dụng trong việc triển khai hoạt động dòng.

Vectơ là một đoạn có hướng (có điểm đầu và điểm cuối).
Chiều dài (môđun) là chiều dài của đoạn được định hướng.
Vectơ thẳng hàng là hai vectơ cùng song song với cùng một đường thẳng hoặc nằm đồng thời trên nó.
Các vectơ có hướng đối lập được gọi là thẳng hàng và đồng thời hướng vào các mặt khác nhau. Nếu hướng của chúng trùng nhau thì chúng đồng hướng.
Các vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và có cùng giá trị tuyệt đối.
Tổng của hai vectơ một và b như vậy là một vectơ c, phần đầu trùng với phần đầu của phần đầu tiên và phần cuối - với phần cuối của phần thứ hai, với điều kiện là b bắt đầu tại cùng một điểm nó kết thúc một.
Sự khác biệt vectơ một và b gọi tổng một và ( - b ), ở đâu ( - b ) - ngược lại với vectơ b. Ngoài ra, định nghĩa về hiệu của hai vectơ có thể được đưa ra như sau: c vài vectơ một và b gọi cái này c, khi được thêm vào chuỗi con b hình thành một giảm một.

Phương pháp phân tích

Phương pháp phân tích liên quan đến việc lấy tọa độ của sự khác biệt theo công thức mà không cần xây dựng. Có thể tính toán cho phẳng (2D), khối lượng (3D) hoặc không gian n chiều.

Đối với không gian hai chiều và số lượng vector một {a₁;a₂) và b {b₁;b₂} tính toán sẽ được lần xem tiếp theo: c {c; c₂} = {a₁ - b₁; a₂ - b₂}.

Trong trường hợp thêm một tọa độ thứ ba, việc tính toán sẽ được thực hiện theo cách tương tự, và đối với một {a₁;a₂; a₃) và b {b₁;b₂; b₃) tọa độ của sự khác biệt cũng sẽ nhận được bằng phép trừ từng cặp: c {c; c; c₃} = {a₁ - b₁; a₂ - b₂; a₃ – b₃}.

Tính toán sự khác biệt bằng đồ thị

Để tạo ra sự khác biệt bằng đồ thị, sử dụng quy tắc tam giác. Để làm điều này, bạn phải thực hiện chuỗi hành động sau:

Qua tọa độ đã cho xây dựng các vectơ mà bạn cần để tìm sự khác biệt.
Kết hợp các đầu của chúng (tức là tạo hai đoạn có hướng bằng các đoạn đã cho, sẽ kết thúc tại cùng một điểm).
Kết nối các điểm bắt đầu của cả hai phân đoạn được định hướng và chỉ ra hướng; kết quả sẽ bắt đầu tại cùng một điểm mà véc tơ bị trừ bắt đầu và kết thúc tại điểm bắt đầu của véc tơ bị trừ.

Kết quả của phép tính trừ được thể hiện trong hình bên dưới..

Ngoài ra còn có một phương pháp xây dựng khác biệt, hơi khác so với phương pháp trước đó. Bản chất của nó nằm ở việc áp dụng định lý về hiệu của vectơ, được xây dựng như sau: để tìm hiệu của một cặp đoạn thẳng có hướng, chỉ cần tìm tổng của đoạn đầu tiên của chúng với đoạn đối diện là đủ. đến thứ hai. Thuật toán xây dựng sẽ giống như sau:

Xây dựng các phân đoạn được định hướng ban đầu.
Phân đoạn phụ phải được phản ánh, tức là, xây dựng một phân đoạn được định hướng đối lập và bình đẳng; sau đó kết hợp đầu của nó với một trong những giảm.
Xây dựng tổng: nối đầu đoạn thứ nhất với cuối đoạn thứ hai.

Kết quả của quyết định này được thể hiện trong hình:

Giải quyết vấn đề

Để củng cố kỹ năng, chúng tôi sẽ phân tích một số nhiệm vụ trong đó nó được yêu cầu để tính toán sự khác biệt bằng phân tích hoặc đồ thị.

Nhiệm vụ 1. Có 4 điểm trên mặt phẳng: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Xác định tọa độ của vectơ q = AB - CD, đồng thời tính độ dài của nó.

Dung dịch. Đầu tiên bạn cần tìm tọa độ AB và đĩa CD. Để thực hiện việc này, hãy trừ tọa độ của các điểm ban đầu từ tọa độ của các điểm cuối. Vì AB khởi đầu là Một(1; -3), và phần cuối - B(0; 4). Tính tọa độ của đoạn thẳng:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Một phép tính tương tự được thực hiện cho đĩa CD:

đĩa CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Bây giờ, khi biết tọa độ, bạn có thể tìm thấy sự khác biệt của các vectơ. Công thức cho dung dịch phân tích nhiệm vụ phẳngđã được thảo luận trước đây: c = một- b tọa độ trông giống như ( c; c₂} = {a₁ - b₁; a₂ - b₂). Đối với một trường hợp cụ thể, bạn có thể viết:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Để tìm chiều dài q, chúng tôi sử dụng công thức | q| = √(q₁² + q₂²) = √ ((- 9) ² + (- 1) ²) = √ (81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Nhiệm vụ 2. Hình bên cho thấy các vectơ m, n và p.

Cần phải xây dựng sự khác biệt cho chúng: p- N; m- N; m-N- P. Tìm xem cái nào có môđun nhỏ nhất.

Dung dịch. Nhiệm vụ yêu cầu ba cấu trúc. Hãy xem xét từng phần của nhiệm vụ chi tiết hơn.

Phần 1.Để miêu tả P-N, Hãy sử dụng quy tắc tam giác. Để làm điều này, sử dụng phép dịch song song, chúng tôi kết nối các đoạn sao cho điểm cuối của chúng trùng với nhau. Bây giờ chúng ta hãy kết nối các điểm bắt đầu và xác định hướng. Trong trường hợp của chúng ta, vectơ chênh lệch bắt đầu ở cùng một vị trí với vectơ bị trừ. N.

Phần 2. Hãy miêu tả m-n. Bây giờ đối với giải pháp, chúng tôi sử dụng định lý về sự khác biệt của các vectơ. Để làm điều này, hãy xây dựng một vectơ ngược lại N, và sau đó tìm tổng của nó với m. Kết quả sẽ như thế này:

Phần 3Để tìm ra sự khác biệt m-n-p, chia biểu thức thành hai bước. Bởi vì trong đại số vector có các luật tương tự như các luật số học, thì các tùy chọn sau đây có thể thực hiện được:

m- (n + p): trong trường hợp này, tổng được xây dựng đầu tiên n + p, sau đó được trừ đi m;
(m-n) -p: ở đây trước tiên bạn cần tìm m-n, và sau đó trừ đi sự khác biệt này P;
(m-p) -n: hành động đầu tiên được xác định m-p, sau đó từ kết quả bạn cần trừ N.

Vì trong phần trước của vấn đề, chúng ta đã tìm thấy sự khác biệt m-n, chúng tôi chỉ có thể trừ khỏi nó P. Chúng ta hãy xây dựng hiệu của hai vectơ đã cho bằng cách sử dụng định lý hiệu. Câu trả lời được hiển thị trong hình ảnh bên dưới (màu đỏ cho biết kết quả trung gian, và màu xanh lá cây - cuối cùng).

Việc xác định phân đoạn nào có mô đun nhỏ nhất vẫn là xác định. Nhớ lại rằng các khái niệm về độ dài và môđun trong toán học vectơ là giống hệt nhau. Ước tính trực quan độ dài P- n, m-N và m-N-P. Rõ ràng, câu trả lời trong phần cuối cùng của bài toán là ngắn nhất và có mô đun nhỏ nhất, cụ thể là m-N-P.

Tổng các vectơ. Độ dài của vectơ. bạn thân mến, có một nhóm nhiệm vụ với vectơ trong các loại bài kiểm tra phía sau. Khá nhiều nhiệm vụ (điều quan trọng cần biết cơ sở lý thuyết). Hầu hết được giải quyết bằng miệng. Các câu hỏi liên quan đến tìm độ dài của một vectơ, tổng (hiệu) của vectơ, tích vô hướng. Ngoài ra còn có nhiều nhiệm vụ, trong đó giải pháp là cần thiết để thực hiện các hành động với tọa độ của các vectơ.

Lý thuyết đằng sau vectơ rất đơn giản và cần được hiểu rõ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích các nhiệm vụ liên quan đến việc tìm độ dài của một vectơ, cũng như tổng (hiệu) của các vectơ. Một số điểm lý thuyết:

Khái niệm vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Tất cả các vectơ có cùng phương và có độ dài bằng nhau thì đều bằng nhau.

* Cả 4 vectơ trên đều bằng nhau!

Tức là, nếu chúng ta sử dụng phép tịnh tiến song song để di chuyển vectơ đã cho, chúng ta sẽ luôn nhận được một vectơ bằng vectơ ban đầu. Do đó, có thể có vô số vectơ bằng nhau.

Ký hiệu vectơ

Vectơ có thể được ký hiệu bằng chữ latin chữ in hoa, Ví dụ:

Với dạng ký hiệu này, chữ cái biểu thị phần đầu của vectơ được viết đầu tiên, sau đó là chữ cái biểu thị phần cuối của vectơ.

Một vectơ khác được biểu thị bằng một chữ cái Bảng chữ cái Latinh(chữ hoa):

Một chỉ định không có mũi tên cũng có thể:

Tổng của hai vectơ AB và BC sẽ là vectơ AC.
Nó được viết là AB + BC \ u003d AC.

Quy tắc này được gọi là - quy tắc tam giác.

Nghĩa là, nếu chúng ta có hai vectơ - hãy gọi chúng theo điều kiện là (1) và (2), và điểm cuối của vectơ (1) trùng với điểm đầu của vectơ (2), thì tổng của các vectơ này sẽ là a vectơ có điểm đầu trùng với điểm đầu của vectơ (1) và điểm cuối trùng với điểm cuối của vectơ (2).

Kết luận: nếu ta có hai vectơ trên mặt phẳng thì ta luôn tìm được tổng của chúng. Sử dụng phép dịch song song, bạn có thể di chuyển bất kỳ vectơ nào trong số các vectơ này và kết nối phần đầu của nó với phần cuối của một vectơ khác. Ví dụ:

Hãy di chuyển vector b hoặc theo cách khác - chúng tôi sẽ xây dựng bằng với nó:

Làm thế nào là tổng của một số vectơ được tìm thấy? Theo cùng một nguyên tắc:

* * *

quy tắc hình bình hành

Quy tắc này là hệ quả của những điều trên.

Đối với vectơ với khởi đầu chung tổng của chúng được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ này.

Hãy xây dựng một vector bằng vectơ b sao cho phần đầu của nó trùng với phần cuối của vectơ một và chúng ta có thể xây dựng một vectơ sẽ là tổng của chúng:

Một số nữa Thông tin quan trọng cần thiết để giải quyết vấn đề.

Một vectơ có độ dài bằng vectơ ban đầu, nhưng có hướng ngược lại, cũng được ký hiệu nhưng có dấu ngược lại:

Thông tin này cực kỳ hữu ích để giải các bài toán trong đó có câu hỏi tìm hiệu của vectơ. Như bạn có thể thấy, sự khác biệt của các vectơ là cùng một tổng trong một dạng đã sửa đổi.

Cho hai vectơ đã cho, tìm hiệu của chúng: