Một hình đa diện có các mặt là 4 hình tam giác. Khối đa diện đều: các yếu tố, tính đối xứng và diện tích

Khối đa diện không chỉ chiếm một vị trí nổi bật trong hình học, mà còn xuất hiện trong Cuộc sống hàng ngày từng người. Chưa kể đến các vật dụng gia đình được tạo nhân tạo dưới dạng nhiều hình đa giác khác nhau, bắt đầu bằng bao diêm và kết thúc với các yếu tố kiến ​​trúc, trong tự nhiên cũng có các tinh thể ở dạng khối lập phương (muối), lăng kính (pha lê), kim tự tháp (scheelite), bát diện (kim cương), v.v.

Khái niệm về khối đa diện, các loại khối đa diện trong hình học

Hình học như một môn khoa học bao gồm một phần của hình học lập thể nghiên cứu các đặc điểm và tính chất của các vật thể ba chiều, các mặt của chúng nằm trong không gian ba chiềuđược tạo thành bởi các mặt phẳng giới hạn (các mặt), được gọi là "khối đa diện". Các loại khối đa diện bao gồm hơn một chục đại diện, khác nhau về số lượng và hình dạng của các mặt.

Tuy nhiên, tất cả các khối đa diện đều có các tính chất chung:

1. Tất cả chúng đều có 3 thành phần tích phân: một mặt (bề mặt của một đa giác), một đỉnh (các góc tạo thành tại chỗ giao nhau của các mặt), một cạnh (cạnh của hình hoặc một đoạn được tạo thành tại chỗ giao nhau của hai mặt ).
2. Mỗi cạnh đa giác nối hai và chỉ hai mặt tiếp giáp với nhau.
3. Độ lồi có nghĩa là cơ thể chỉ nằm hoàn toàn về một phía của mặt phẳng mà một trong các mặt nằm trên đó. Quy tắc áp dụng cho tất cả các mặt của hình đa diện. Các hình hình học như vậy trong phép lập thể được gọi là khối đa diện lồi. Ngoại lệ là khối đa diện hình sao, là các dẫn xuất của khối đa diện đều. cơ thể hình học.

Khối đa diện có thể được chia thành:

1. Các loại khối đa diện lồi, bao gồm các lớp sau: thông thường hoặc cổ điển (lăng trụ, hình chóp, hình bình hành), thường (còn gọi là chất rắn Platon), bán đều (tên thứ hai - chất rắn Archimedean).
2. Khối đa diện không lồi (xếp đều).

Lăng kính và các thuộc tính của nó

Hình học lập thể là một nhánh của hình học nghiên cứu các tính chất của các hình ba chiều, các loại khối đa diện (lăng trụ là một trong số chúng). Hình lăng trụ là một vật thể hình học nhất thiết phải có hai mặt hoàn toàn giống nhau (chúng còn được gọi là mặt đáy) nằm trong mặt phẳng song song, và số thứ n của các mặt có dạng hình bình hành. Đổi lại, hình lăng trụ cũng có một số loại, bao gồm các loại hình đa diện như:

1. Hình bình hành được tạo thành nếu đáy là hình bình hành - đa giác có 2 cặp góc đối bằng nhau và 2 cặp cạnh đối đồng dạng.
2. Một hình lăng trụ thẳng có các cạnh vuông góc với mặt đáy.
3. được đặc trưng bởi sự hiện diện của các góc không vuông (khác 90) giữa các mặt và mặt đế.
4. Hình lăng trụ đều được đặc trưng bởi các đáy ở dạng có các mặt bên bằng nhau.

Các tính chất chính của lăng kính:

• Căn cứ đồng dư.
• Tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng nhau và song song với nhau.
• Tất cả các mặt bên có dạng là hình bình hành.

Kim tự tháp

Hình chóp là một khối hình học, bao gồm một đáy và số mặt tam giác thứ n, được nối tại một điểm - đỉnh. Cần lưu ý rằng nếu các mặt bên của kim tự tháp nhất thiết phải được biểu diễn bằng hình tam giác, thì ở đáy có thể có một đa giác tam giác, một tứ giác và một ngũ giác, v.v. Trong trường hợp này, tên của kim tự tháp sẽ tương ứng với đa giác ở đáy. Ví dụ, nếu có một tam giác ở đáy của hình chóp - đây là một tứ giác - tứ giác, v.v.

Hình chóp đều là khối đa diện đều có dạng hình nón. Các loại khối đa diện thuộc nhóm này, ngoài các loại đã liệt kê ở trên, còn có các đại diện sau:

1. Hình chóp đều có đáy là một đa giác đều và chiều cao của nó là tâm của một đường tròn nội tiếp đáy hoặc ngoại tiếp đường tròn đó.
2. Hình chóp là hình chữ nhật được tạo thành khi một trong các cạnh bên cắt với đáy một góc vuông. Trong trường hợp này, cũng công bằng khi gọi cạnh này là chiều cao của hình chóp.

Thuộc tính kim tự tháp:

• Nếu tất cả các cạnh bên của hình chóp đều đồng dư ( cùng chiều cao), sau đó tất cả chúng cắt với mặt đáy một góc và xung quanh mặt đáy bạn có thể vẽ một đường tròn có tâm trùng với hình chiếu của đỉnh của hình chóp.
• Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của hình chóp thì tất cả các cạnh bên đều đồng dư và các mặt là tam giác cân.

Khối đa diện đều: các loại và tính chất của khối đa diện

Trong phép đo lập thể nơi đặc biệt chiếm các thể hình học có các mặt hoàn toàn bằng nhau, tại các đỉnh có cùng số cạnh được nối với nhau. Những chất rắn này được gọi là chất rắn Platonic, hay khối đa diện đều. Các loại khối đa diện có tính chất như vậy chỉ có năm hình:

1. Khối tứ diện.
2. Hình lục diện.
3. Khối bát diện.
4. Khối tứ diện.
5. Khối Icosahedron.

Các khối đa diện đều mang tên nhà triết học Hy Lạp cổ đại Plato, người đã mô tả các khối hình học này trong các tác phẩm của mình và kết nối chúng với các yếu tố tự nhiên: đất, nước, lửa, không khí. Hình thứ năm được trao giải về sự tương đồng với cấu trúc của vũ trụ. Theo ý kiến ​​của ông, các nguyên tử của các nguyên tố tự nhiên có hình dạng giống với các loại khối đa diện đều. Do tính chất thú vị nhất của chúng - tính đối xứng, các khối hình học này đại diện cho quan tâm lớn không chỉ cho các nhà toán học và triết học cổ đại, mà còn cho các kiến ​​trúc sư, họa sĩ và nhà điêu khắc của mọi thời đại. Sự hiện diện của chỉ 5 loại khối đa diện có tính đối xứng tuyệt đối được coi là một khám phá cơ bản, chúng thậm chí còn được trao cho một mối liên hệ với nguyên lý thần thánh.

Hexahedron và các thuộc tính của nó

Dưới dạng một hình lục giác, những người kế tục Plato đã giả định một sự tương đồng với cấu trúc của các nguyên tử trên trái đất. Tất nhiên, hiện tại, giả thuyết này đã bị bác bỏ hoàn toàn, tuy nhiên, điều này không ngăn cản các nhân vật thu hút tâm trí trong thời hiện đại. nhân vật nổi tiếng với tính thẩm mỹ của nó.

Trong hình học, khối lục diện, còn được gọi là khối lập phương, được coi là một trường hợp đặc biệt của một hình bình hành, đến lượt nó, là một loại lăng trụ. Theo đó, các tính chất của hình lập phương liên quan đến sự khác biệt duy nhất là tất cả các mặt và các góc của hình lập phương đều bằng nhau. Các thuộc tính sau đây theo sau:

1. Tất cả các cạnh của hình lập phương đều đồng dư và nằm trong các mặt phẳng song song với nhau.
2. Tất cả các mặt đều là hình vuông đồng dư (có tổng cộng 6 mặt trong một hình lập phương), bất kỳ mặt nào trong số đó đều có thể được lấy làm cơ sở.
3. Tất cả các góc nội tiếp bằng 90.
4. Từ mỗi đỉnh có một số cạnh bằng nhau, cụ thể là 3.
5. Hình lập phương có 9 đều cắt nhau tại giao điểm của các đường chéo của hình lục diện, được gọi là tâm đối xứng.

Tứ diện

Tứ diện là tứ diện có các mặt bằng nhau ở dạng tam giác, mỗi đỉnh là điểm nối của ba mặt.

Tính chất của tứ diện đều:

1. Tất cả các mặt của một tứ diện - điều này dẫn đến việc tất cả các mặt của một tứ diện đều đồng dư.
2. Vì cơ sở được biểu diễn bằng một hình hình học thông thường, nghĩa là, nó có hai bên bằng nhau Khi đó các mặt của tứ diện đồng quy một góc, tức là các góc đều bằng nhau.
3. Tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh là 180, vì mọi góc đều bằng nhau nên mọi góc của tứ diện đều bằng 60.
4. Mỗi đỉnh được chiếu tới giao điểm của các chiều cao của mặt đối diện (trực tâm).

Khối bát diện và các thuộc tính của nó

Mô tả các dạng của khối đa diện đều, không thể không lưu ý đến một vật thể như một khối bát diện, có thể được biểu diễn một cách trực quan như hai hình chóp tứ giác đều được dán vào nhau ở các đáy.

Thuộc tính bát diện:

1. Chính cái tên của một vật thể hình học gợi ý số lượng các mặt của nó. Khối bát diện được tạo thành từ 8 đồng dư tam giác đều, tại mỗi đỉnh có một số mặt bằng nhau hội tụ, cụ thể là 4.
2. Vì tất cả các mặt của một hình bát diện đều bằng nhau nên các góc thiết diện của nó cũng vậy, mỗi mặt đều bằng 60 và do đó tổng các góc mặt phẳng của bất kỳ đỉnh nào trong số các đỉnh là 240.

Dodecahedron

Nếu chúng ta tưởng tượng rằng tất cả các mặt của một hình học là một ngũ giác đều, thì chúng ta sẽ có một khối đa diện - một hình gồm 12 đa giác.

Thuộc tính khối dodecahedron:

1. Ba mặt cắt nhau tại mỗi đỉnh.
2. Tất cả các cạnh đều bằng nhau và có cùng chiều dài các cạnh, cũng như diện tích bằng nhau.
3. Hình khối đa diện có 15 trục và mặt phẳng đối xứng, và bất kỳ mặt nào trong số chúng đều đi qua đỉnh của mặt và giữa của cạnh đối diện.

icosahedron

Không kém phần thú vị so với khối mười hai mặt, khối icosahedron là một khối hình học ba chiều với 20 mặt bằng nhau. Trong số các thuộc tính của một hai mươi hedron thông thường, có thể lưu ý những điều sau:

1. Tất cả các mặt của khối lập phương đều là tam giác cân.
2. Năm mặt hội tụ tại mỗi đỉnh của hình đa diện và tổng các góc liền kềđỉnh là 300.
3. Khối icosahedron, giống như khối đa diện, có 15 trục và mặt phẳng đối xứng đi qua các trung điểm của các mặt đối diện.

Đa giác bán nguyệt

Ngoài các chất rắn Platon, nhóm các khối đa diện lồi còn bao gồm các khối chất rắn Archimede, là các khối đa diện đều bị cắt ngắn. Các loại khối đa diện thuộc nhóm này có các tính chất sau:

1. Các vật thể hình học có các mặt bằng nhau theo từng cặp thuộc một số loại, ví dụ, một hình tứ diện cắt ngắn có 8 mặt, giống như một hình tứ diện thông thường, nhưng trong trường hợp của một vật rắn Archimede, 4 mặt sẽ là hình tam giác và 4 mặt sẽ là hình lục giác.
2. Tất cả các góc của một đỉnh là đồng dư.

Hình đa diện hình sao

Các đại diện của dạng hình học phi thể tích là các khối đa diện hình sao, các mặt của chúng giao nhau. Chúng có thể được hình thành bằng cách hợp nhất hai vật thể ba chiều thông thường hoặc bằng cách tiếp tục khuôn mặt của chúng.

Do đó, các khối đa diện được đánh dấu như vậy được gọi là: các dạng sao của khối bát diện, khối dodecahedron, khối icosahedron, khối lập phương, khối icosidodecahedron.

Bài 7 chủ đề: “Khối đa diện. Các đỉnh, các cạnh, các mặt của một hình đa diện "

Mục đích của bài học: giới thiệu cho học sinh một trong các dạng của khối đa diện - khối lập phương; bằng cách đo và quan sát, tìm càng nhiều tính chất của hình lập phương càng tốt.

Loại bài học: học tài liệu mới

Phương pháp:

Theo các nguồn tri thức: bằng lời nói, trực quan;

Theo mức độ tương tác giữa giáo viên và học sinh: trò chuyện heuristic;

Về nhiệm vụ giáo khoa: chuẩn bị cho nhận thức;

Về bản chất của hoạt động nhận thức:sinh sản, thăm dò một phần.

Thiết bị: Hướng dẫn:Toán học: Hình học trực quan. 5-6 lớp I.F. Sharygin, máy chiếu đa phương tiện, máy tính.

Kết quả học tập:

Riêng tư: khả năng nhận thức cảm xúc các đối tượng toán học khả năng diễn đạt ý tưởng rõ ràng và chính xác.

Metasubject: khả năng hiểu và sử dụng giáo cụ trực quan.

Môn học: học cách vẽ quét và tạo hình với sự giúp đỡ của họ.

Trang thiết bị: sách giáo khoa “Hình học trực quan. Lớp 5 - 6 "S. Sharygin, bảng tương tác, cây kéo.

UUD:

nhận thức: phân tích và phân loại đối tượng

quy định: thiết lập mục tiêu; xác định và hiểu những gì đã biết và những gì cần phải học

giao tiếp: hợp tác giáo dục với giáo viên và đồng nghiệp.

Trong các lớp học

Tổ chức thời gian.

Thực tế và cố định các kiến ​​thức cơ bản.

Trên bàn là các khối đa diện mà học sinh đã gặp trường tiểu học. Bạn có thể kể tên những số liệu nào? Những con số nào là nhiều nhất?

Rất khó để tìm một người không quen thuộc với khối lập phương. Xét cho cùng, hình khối là một trò chơi yêu thích của trẻ em. Có vẻ như chúng ta biết mọi thứ về khối lập phương. Nhưng nó là?

Hình lập phương là đại diện của một nhóm khối đa diện lớn. Một số bạn đã gặp - đây là một kim tự tháp, hình khối. Gặp gỡ những người khác đang chờ bạn ở phía trước.

Khối đa diện, mặc dù có sự khác biệt, nhưng có một số đặc tính chung.

Bề mặt của mỗi chúng bao gồm các đa giác phẳng, được gọi làmặt đa diện . Hai đa giác phẳng liền kề có một cạnh chung -cạnh đa diện . Các đầu của xương sườn làđỉnh cao hình đa diện.

Trong bài học trước, các bạn đã quan tâm đến các dạng của khối đa diện và đây là 5 đại diện của khối đa diện đều.

Tứ diện khối bát diện icosahedron khối sáu mặt khối tứ diện

Khái quát hóa và hệ thống hóa kiến ​​thức

Xét ảnh của hình lập phương, vẽ vào vở và kí tên các thành phần chính của hình lập phương. Hãy nhớ và sử dụng các điều khoản này trong tương lai.

Hình lập phương là một hình đa diện đều có các mặt là hình vuông và ở mỗi đỉnh có ba cạnh và ba mặt hội tụ. Nó có 6 mặt, 8 đỉnh và 12 cạnh.

Làm việc với các mô hình.

Làm việc với quét.

№ 2 (Toán học: Hình học trực quan. Lớp 5-6 I.F. Sharygin) Trên một mảnh giấy, vẽ một bản quét hình khối. Cắt nó ra và cuộn một khối lập phương ra khỏi nó, dán nó.

Hình cắt ra được gọi làquét hình khối . Hãy xem xét lý do tại sao nó được đặt tên như vậy.

№ 3 (Toán học: Hình học trực quan. Lớp 5-6 I.F. Sharygin) Cố gắng tập hợp một khối lập phương từ các lần quét được đề xuất và chuyển chúng vào sổ tay của bạn.

№ 5 (Toán học: Hình học trực quan. Lớp 5-6 I.F. Sharygin) Một khối lập phương được mở ra. Có thể dán được hình nào trong hình 30, a-c từ nó? Chọn một khối lập phương và biện minh cho sự lựa chọn của bạn.

№ 12 (Toán: Hình học trực quan. Lớp 5-6 I.F. Sharygin) Có một dải giấy có kích thước 1 * 7. Làm thế nào để gấp một khối lập phương từ nó?

№ 15 (Toán: Hình học trực quan. Lớp 5-6 I.F. Sharygin) Một con nhện và một con ruồi đang ngồi ở các đỉnh đối diện của khối lập phương. Con đường ngắn nhất để một con nhện tiếp cận một con ruồi là gì? Giải thích câu trả lời

Phản ánh của hoạt động giáo dục.

hôm nay tôi phát hiện ra ...

nó rất thú vị…

thật khó…

Tôi đã làm bài tập ...

Tôi đã tậu...

Tôi đã học…

Tôi quản lý …

Tôi đã có thể...

Tôi sẽ thử…

làm tôi ngạc nhiên...

đã cho tôi một bài học để đời ...

Bài tập về nhà. Làm một mô hình khối lập phương từ bìa cứng.

Môn học.“Khối đa diện. Các yếu tố của một khối đa diện là các mặt, các đỉnh, các cạnh.

Bàn thắng. Tạo điều kiện để mở rộng kiến thức lý thuyết về các hình không gian: giới thiệu các khái niệm "khối đa diện", "mặt", "đỉnh", "cạnh"; đảm bảo sự phát triển của học sinh khả năng làm nổi bật điều chính trong đối tượng nhận thức; thúc đẩy sự phát triển trí tưởng tượng không gian sinh viên.

Tài liệu giáo dục. Sách giáo khoa “Toán học. Lớp 4 ”(tác giả V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); máy vi tính; máy chiếu; trình bày "Polygons"; các biểu mẫu in "Góc tọa độ", "Đa giác", "Bài toán"; mô hình của khối đa diện, sự phát triển của khối đa diện; gương soi; cây kéo.

THỜI GIAN LỚP HỌC

Trước khi bắt đầu bài học, các em được chia thành ba nhóm theo mức độ kiến ​​thức - cao, trung bình, thấp.

I. Thời điểm tổ chức

Cô giáo. Fidgets thân yêu của tôi, một lần nữa tôi mời bạn thế giới hấp dẫn toán học. Và tôi chắc chắn rằng trong bài học này bạn sẽ học được những điều mới, củng cố lại những gì đã học và có thể vận dụng những kiến ​​thức đã học vào thực tế.

Hôm nay tôi xin bắt đầu bài học của chúng ta với câu nói của nhà triết học người Anh Roger Bacon về toán học: "Ai không biết toán học thì không thể nghiên cứu các khoa học khác và không thể biết thế giới." Tôi nghĩ rằng trong bài học chắc chắn chúng ta sẽ tìm thấy sự xác nhận cho những lời của triết gia này.

II. Sự lặp lại của vật liệu được bao phủ. Xây dựng đa giác theo tọa độ

U.Ở giờ học toán lớp 1, lớp 2, lớp 3, chúng ta đã nghiên cứu các hình hình học phẳng khác nhau, đồng thời học cách xây dựng chúng. Tôi đề nghị bạn xây dựng trong góc tọa độ số liệu phẳng theo các tọa độ đã cho.

Nhiệm vụ được thực hiện trên các biểu mẫu in sẵn.

Nhóm 1

Dựng hình nếu đã biết tọa độ NHƯNG (0; 2), TẠI (2; 5), Với(9; 2). Bạn đã nhận được con số nào?

Nhóm 2

Dựng hình chữ nhật nếu điểm NHƯNG(3; 2) và TẠI(6; 5) là các đỉnh đối diện của nó. Gọi tên tọa độ các đỉnh đối diện. Tên khác cho hình này là gì?

Nhóm 3

Dựng một hình nếu biết tọa độ các đỉnh của nó NHƯNG (2; 3), TẠI (2; 6), Với (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Bạn đã nhận được con số nào?

Bạn có thể đặt tên cho tất cả những số liệu này là gì?

Bọn trẻ.Đây là những đa giác.

slide 1

U. Chúng ta biết rằng tất cả các đa giác đều có đỉnh và cạnh. Đặt tên và hiển thị chúng.

Một người trong nhóm hoàn thành nhiệm vụ trên bảng đen.

III. Giới thiệu vật liệu mới

U. Hôm nay tôi sẽ giới thiệu với các bạn về đồ sộ hình dạng hình học, được gọi là đa giác. Mô hình của họ được trình bày trên bàn của bạn.

Học sinh kẻ trên bảng các hình thể tích: hình lập phương, hình bình hành, hình chóp, hình lăng trụ.

- Ngồi thoải mái, nhìn kỹ, nghe kỹ và ghi nhớ.

Làm quen với các khái niệm "đa diện", "mặt", "đỉnh", "cạnh"

- Nếu lấy 4 hình tam giác, bạn có thể tạo con số thể tích – kim tự tháp. Từ hình vuông, bạn có thể lấy một hình khác - hình lập phương, từ hình chữ nhật - hình bình hành. Bạn có một hình khác trên bàn - một hình lăng trụ, được tạo thành từ các hình chữ nhật và hình tam giác. Tất cả những số liệu này được gọi là khối đa diện .

Mỗi đa giác (trong trường hợp này hình tam giác) được gọi là cạnh hình đa diện. Các cạnh của đa giác được gọi là xương sườn hình đa diện. Và, tất nhiên, các đỉnh của đa giác sẽ là đỉnh cao hình đa diện. Đây là bản vẽ của một khối đa diện trông như thế nào trên một tờ giấy.

slide 2

Nó trông giống như hình được làm bằng thủy tinh. Bạn nghĩ điều gì được thể hiện bằng nét chấm trong hình vẽ?

D. Xương sườn vô hình.

Trẻ em làm việc trên bản vẽ ở bảng đen.

U. Vậy đo la cai gi?

D. Khối đa diện.

U. Gọi tên và chỉ ra các mặt của hình đa diện, các cạnh và đỉnh của nó.

Trẻ em chỉ bằng một con trỏ và danh sách.

- Nếu bạn cắt hình chóp từ trên xuống dưới dọc theo các cạnh, bạn sẽ có được một đường quét như vậy.
Và bây giờ, người thân yêu của tôi, hãy tìm một biểu mẫu có hình đa giác trên bàn, đọc kỹ hướng dẫn:

1. Xem xét cẩn thận bản vẽ của đa giác.
2. Tìm đa giác mong muốn mở ra (mô hình trên bảng).
3. Lắp ráp mô hình đa giác.
4. Xác định số đỉnh __, mặt __, cạnh __ của đa giác.
5. Đặt tên cho mỗi đỉnh __, cạnh __, mặt __ của đa giác.

Nhóm 1

Nhóm 2

Nhóm 3

- Trên bảng là các khai triển của các khối đa diện. Cố gắng tìm sự phát triển của hình của bạn từ bản vẽ và lắp ráp khối đa diện. Hãy làm việc cùng nhau và tôi nghĩ bạn sẽ thành công.

Kiểm tra việc hoàn thành nhiệm vụ (slide 3, 4, 5).

đỉnh cao – 8; xương sườn – 12; những khuôn mặt – 6; đỉnh - M, B, C, A, X, K, O, T; sườn - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; khuôn mặt - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

đỉnh cao – 8; xương sườn – 12; những khuôn mặt – 6; đỉnh - M, B, C, A, X, K, O, T; sườn - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; khuôn mặt - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

đỉnh cao – 12; xương sườn – 18; những khuôn mặt – 8; các đỉnh - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C; sườn - YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB; khuôn mặt - BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Khái quát hóa và hệ thống hóa kiến ​​thức

U. Hãy cho tôi biết, có những đồ vật nào trên thế giới xung quanh chúng ta có dạng là khối đa diện?

Phản hồi của trẻ em được lắng nghe. Có một cuộc “dạo chơi” đầy ngẫu hứng quanh sân trường. Trẻ em "xem xét" các mô hình của tòa nhà trường học, các phòng tiện ích, trông giống như các khối đa diện.

- Hoàn thành nhiệm vụ:

Con Sói và Con Hươu dán một ngôi nhà bằng giấy màu. Bạn cần bao nhiêu mặt của mỗi màu? Mỗi cạnh của mỗi màu có hình đa giác nào?

slide 6

V.Củng cố đã học trước

U. Các bạn, hãy tưởng tượng mình là kiến ​​trúc sư, nhà thiết kế hoặc nhà xây dựng và cố gắng giải quyết các vấn đề.

Nhiệm vụ cho nhóm 1

Tìm diện tích mà ngôi trường mới sẽ chiếm nếu chiều dài là 74 m và chiều rộng là 13 m. ( Trả lời: 962 sq. m.)

Nhiệm vụ cho nhóm 2

Diện tích của sân chơi trong sân trường của chúng tôi là 1080 mét vuông. m. Đây là 1320 mét vuông. m nhỏ hơn diện tích của sân khúc côn cầu. Tính diện tích của sân khúc côn cầu. ( Trả lời: 2400 sq. m)

Nhiệm vụ cho nhóm 3

Để xây dựng một tòa nhà mới cho trường học của chúng tôi, một khu đất có diện tích 2500 sq. m. Được biết tòa nhà sẽ rộng 13 m, dài 74 m, diện tích nào sẽ dành cho các bồn hoa và lối đi sau khi tòa nhà được xây dựng? ( Trả lời: 1) 962 sq. m; 2) 1538 sq. m)

Trẻ em kiểm tra các giải pháp cho các vấn đề, giải thích cách chúng đã giải quyết chúng.

VI. Tom tăt bai học

U. Hóa ra Roger Bacon đã đúng khi nói: "Ai không biết toán học thì không thể nghiên cứu các ngành khoa học khác và không thể biết thế giới."

Giáo viên đánh giá bài làm của các nhóm.

1. Trên hình 1, hãy cho biết khối đa diện lồi và không lồi.

Đáp số: Lồi - b), e); không lồi - a), c), d).

2. Cho một ví dụ về một hình đa diện không lồi tất cả các mặt của chúng là đa giác lồi.

Trả lời: Hình 1, a).

3. Có đúng là hợp của các khối đa diện lồi là đa diện lồi?

Trả lời: Không.

4. Số đỉnh của một hình đa diện có thể bằng số mặt của nó được không?

Trả lời: Có, một tứ diện.

5. Thiết lập mối quan hệ giữa số góc mặt phẳng P của hình đa diện và số cạnh P của nó.

Đáp số: P = 2R.

6. Các mặt của hình đa diện lồi chỉ là hình tam giác. Nó có bao nhiêu đỉnh B và mặt D nếu nó có: a) 12 cạnh; b) 15 xương sườn? Cho ví dụ về các khối đa diện như vậy.

7. Ba cạnh xuất hiện từ mỗi đỉnh của một hình đa diện lồi. Nó có bao nhiêu đỉnh B và mặt D nếu nó có: a) 12 cạnh; b) 15 xương sườn? Vẽ các khối đa diện này.

Đáp số: a) B \ u003d 8, D \ u003d 6, lập phương; b) H \ u003d 10, D \ u003d 7, lăng trụ ngũ giác.

8. Tại mỗi đỉnh của hình đa diện lồi có bốn cạnh đồng quy. Nó có bao nhiêu đỉnh B và bao nhiêu mặt D nếu số cạnh là 12? Vẽ các khối đa diện này.

9. Chứng minh rằng bất kỳ khối đa diện lồi nào đều có một mặt là tam giác hoặc ba cạnh gặp nhau tại một số đỉnh của nó.

10. Hãy nghĩ xem trong các đối số cho thấy tính hợp lệ của quan hệ Euler, độ lồi của khối đa diện đã được sử dụng ở đâu.

11. B - P + G là gì đối với hình đa diện trong hình 6?

Khối đa diện đều

Một hình đa diện lồi được gọi là hình đều nếu các mặt của nó bằng nhau đa giác đều, và tất cả các góc đa diện đều bằng nhau.

Chúng ta hãy xem xét các khối đa diện đều có thể có và trước hết là các khối có mặt là các tam giác đều. Hình đa diện đều như vậy đơn giản nhất là một hình chóp tam giác, các mặt của chúng là các hình tam giác đều (Hình 7). Ba mặt hội tụ tại mỗi đỉnh của nó. Chỉ với bốn mặt, khối đa diện này còn được gọi là khối tứ diện đều, hoặc đơn giản là khối tứ diện, được dịch từ người Hy Lạp nghĩa là hình tứ giác.

Hình đa diện có các mặt là tam giác đều và mỗi đỉnh có 4 mặt tụ lại, được thể hiện trong hình 8. Mặt của nó gồm 8 hình tam giác đều nên được gọi là hình bát diện.

Một hình đa diện, tại mỗi đỉnh có năm tam giác đều hội tụ, được thể hiện trong Hình 9. Bề mặt của nó bao gồm hai mươi hình tam giác đều, vì vậy nó được gọi là khối đa diện.

Lưu ý rằng vì không quá năm tam giác đều có thể gặp nhau tại các đỉnh của một hình đa diện lồi, nên không có hình đa diện đều nào khác có các mặt là tam giác đều.

Tương tự, vì chỉ có ba hình vuông có thể hội tụ tại các đỉnh của một hình đa diện lồi, nên ngoài hình lập phương (Hình 10), không có hình đa diện đều nào khác có các mặt là hình vuông. Hình lập phương có sáu cạnh và do đó còn được gọi là hình lục diện.

Một hình đa diện có các mặt là ngũ giác đều và ba mặt hội tụ tại mỗi đỉnh được thể hiện trong Hình 11. Bề mặt của nó bao gồm mười hai hình ngũ giác đều, đó là lý do tại sao nó được gọi là khối đa diện.

Hãy xem xét khái niệm về một khối đa diện đều theo quan điểm của khoa học tôpô, nghiên cứu các tính chất của các hình không phụ thuộc vào các biến dạng khác nhau mà không liên tục. Từ quan điểm này, ví dụ, tất cả các tam giác đều tương đương, vì một tam giác luôn có thể nhận được từ bất kỳ tam giác nào khác bằng sự co lại hoặc mở rộng tương ứng của các cạnh. Nói chung, tất cả các đa giác có cùng số cạnh là tương đương với cùng một lý do.

Làm thế nào chúng ta có thể xác định khái niệm về một khối đa diện đều về mặt cấu trúc liên kết trong một tình huống như vậy? Nói cách khác, những thuộc tính nào trong định nghĩa của một khối đa diện đều là ổn định về mặt cấu trúc liên kết và nên được để lại, và những thuộc tính nào không ổn định về mặt cấu trúc liên kết và nên bị loại bỏ.

Trong định nghĩa của một hình đa diện đều, số cạnh và số mặt là ổn định về mặt cấu trúc liên kết, tức là không thay đổi trong điều kiện biến dạng liên tục. Tính đều đặn của đa giác không phải là một đặc tính ổn định về mặt cấu trúc liên kết. Do đó, chúng ta đi đến định nghĩa sau đây.

Một hình đa diện lồi được gọi là hình đa diện đều nếu các mặt của nó là các đa giác có cùng số cạnh và hội tụ tại mỗi đỉnh Cùng một số những khuôn mặt.

Hai khối đa diện được cho là tương đương về mặt cấu trúc liên kết nếu một khối có thể nhận được từ khối kia bằng cách biến dạng liên tục.

Ví dụ, tất cả kim tự tháp tam giác là các khối đa diện đều về mặt topo, tương đương với nhau. Tất cả các khối song song cũng là các khối đa diện đều về mặt topo tương đương với nhau. Chúng không phải là hình đa diện đều về mặt cấu trúc liên kết, ví dụ, hình chóp tứ giác.

Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu câu hỏi có bao nhiêu khối đa diện đều và không tương đương với nhau.

Như chúng ta đã biết, có năm khối đa diện đều: khối tứ diện, khối lập phương, khối bát diện, khối icosahedron và khối đa diện. Có vẻ như sẽ có nhiều khối đa diện đều về mặt topo hơn. Tuy nhiên, hóa ra không có khối đa diện đều về mặt topo khác không tương đương với những khối thông thường đã biết.

Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng định lý Euler. Cho một hình đa diện đều về mặt tôpô có các mặt là n -gons và m cạnh hội tụ tại mỗi đỉnh. Rõ ràng là n và m lớn hơn hoặc bằng ba. Ký hiệu, như trước đây, B - số đỉnh, P - số cạnh và Г - số mặt của hình đa diện này. sau đó

nГ = 2P; G =; mB = 2P; B =.

Theo định lý Euler, B - P + G = 2 và do đó,

Trong đó R =.

Đặc biệt, từ đẳng thức thu được, theo đó bất đẳng thức 2n + 2m - nm> 0 phải có, tương đương với bất đẳng thức (n - 2) (m - 2)< 4.

Tìm tất cả các giá trị có thể có của n và m thỏa mãn bất đẳng thức vừa tìm được và điền vào bảng sau

	tứ diện	V = 6, R = 12, D = 8	V = 12, P = 30, D = 20 icosahedron
	V = 8, P = 12, D = 4	Không tồn tại	Không tồn tại
	V = 20, P = 30, D = 12 khối mười hai mặt	Không tồn tại	Không tồn tại

Ví dụ, các giá trị n = 3, m = 3 thỏa mãn bất đẳng thức (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Các giá trị n = 4, m = 4 không thỏa mãn bất đẳng thức (n - 2) (m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Kiểm tra các trường hợp khác cho mình.

Theo bảng này, khối đa diện đều về mặt tôpô duy nhất có thể có là khối đa diện đều được liệt kê ở trên và khối đa diện tương đương với chúng.

Sự định nghĩa. Một hình đa diện được gọi là hình đều nếu: 1) nó lồi; 2) tất cả các mặt của nó là đa giác đều bằng nhau; 3) cùng một số cạnh hội tụ tại mỗi đỉnh của nó; 4) tất cả các mặt của nó đều bằng nhau.

Ví dụ về một khối đa diện đều là một khối lập phương: nó là một khối đa diện lồi, tất cả các mặt của nó là các hình vuông bằng nhau, ba cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh và tất cả các góc của khối nhị diện đều là hình vuông. Một khối tứ diện đều cũng là một khối đa diện đều.

Câu hỏi đặt ra: có bao nhiêu nhiều loại khác nhau khối đa diện đều?

Năm loại khối đa diện đều:

Xét một hình đa diện đều M , có B đỉnh, P cạnh và G mặt. Theo định lý Euler, đối với khối đa diện này, đẳng thức sau đây là:

V - R + G \ u003d 2. (1)

Cho mỗi mặt của hình đa diện đã cho chứa m các cạnh (cạnh) và tại mỗi đỉnh hội tụ N xương sườn. Chắc chắn,

Vì hình đa diện B có các đỉnh và mỗi đỉnh có n cạnh nên ta nhận được n cạnh. Nhưng bất kỳ cạnh nào nối hai đỉnh của hình đa diện, vì vậy mỗi cạnh sẽ nhập tích n hai lần. Vậy khối đa diện có đa dạng xương sườn. sau đó

Từ (1), (3), (4) ta thu được - Р + = 2, khi đó

+ = + > . (5)

Do đó, chúng tôi có

Từ bất đẳng thức 3 và 3 suy ra rằng các mặt của một hình đa diện đều có thể là tam giác đều, tứ giác đều hoặc ngũ giác đều. Hơn nữa, trong các trường hợp m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 ta đi đến mâu thuẫn với điều kiện. Do đó, vẫn có thể xảy ra năm trường hợp: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Hãy xem xét từng trường hợp này bằng cách sử dụng các quan hệ (5), (4) và (3).

1) m = n = 3(Mỗi mặt của hình đa diện là một tam giác đều. Đây là mặt mà chúng ta đã biết tứ diện đều (« tứ diện"nghĩa là một tứ diện).

2) m = 4, n = 3(mỗi mặt là một hình vuông, và ba cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có

P = 12; B = 8; G = 6.

Chúng ta nhận được một hình lục giác đều, trong đó mỗi mặt là một hình vuông. Hình đa diện này được gọi là hình lục diện đều và là một khối lập phương (" hình lục diện "- hexahedron), bất kỳ hình bình hành nào cũng là một hình lục diện.

3) m = 3, n = 4(mỗi mặt là một tam giác đều, bốn cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có

P = 12; B = = 6; G \ u003d \ u003d 8.

Ta nhận được một hình bát diện đều, trong đó mỗi mặt là một tam giác đều. Hình đa diện này được gọi là bát diện đều ("bát diện" - bát diện).

4) m = 5, n = 3(mỗi mặt là một ngũ giác đều, ba cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có:

P = 30; B = = 20; G \ u003d \ u003d 12.

Chúng ta nhận được một khối mười diện đều, trong đó mỗi mặt là một ngũ giác đều. Hình đa diện này được gọi là khối mười hai mặt đều (« khối mười hai mặt"- khối mười hai mặt).

5) m = 3, n = 5(mỗi mặt là một tam giác đều, năm cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có

P = 30; B = = 12; G = = 20.

Chúng tôi nhận được đúng hai mươi mặt. Hình đa diện này được gọi là icosahedron thông thường (« icosahedron”- hai mươi mặt).

Như vậy, chúng ta đã thu được định lý sau.

Định lý. Có năm loại đa diện đều khác nhau (đến mức tương tự): tứ diện đều, lục diện đều (lập phương), bát diện đều, khối đa diện đều và khối icosahedron.

Kết luận này có thể được đưa ra theo một cách hơi khác.

Thật vậy, nếu mặt của một hình đa diện đều là một tam giác đều và hội tụ tại một đỉnh k xương sườn, tức là tất cả các góc lồi phẳng k- góc tứ diện bằng nhau thì. Vì thế, số tự nhiên k có thể nhận các giá trị: 3; 4; 5. trong khi Г =, Р =. Dựa vào định lý Euler, ta có:

B + - = 2 hoặc B (6 - k) = 12.

Sau đó tại k\ u003d 3 ta được: B \ u003d 4, G \ u003d 4, P \ u003d 6 (tứ diện đều);

tại k = 4 chúng ta nhận được: B \ u003d 6, G \ u003d 8, P \ u003d 12 (bát diện đều);

tại k = 5 chúng ta nhận được: B \ u003d 12, G \ u003d 20, P \ u003d 30 (icosahedron thông thường).

Nếu thiết diện của hình đa diện đều là tứ giác đều thì. Điều kiện này tương ứng với số tự nhiên duy nhất k= 3. Khi đó: Г =, Р =; B + - = 2 hoặc. Vì vậy, B \ u003d 8, G \ u003d 6, P \ u003d 12 - chúng ta nhận được một hình lập phương (hình lục giác đều).

Nếu thiết diện của một hình đa diện đều là một hình ngũ giác đều thì Điều kiện này cũng chỉ được đáp ứng k= 3 và Г =; R =. Tương tự tính toán trước đó chúng ta nhận được: và B \ u003d 20, G \ u003d 12, P \ u003d 30 (khối mười hai mặt đều).

Bắt đầu với các hình lục giác đều, có lẽ là các mặt của một hình đa diện đều, các góc của mặt phẳng không nhỏ hơn và hẹp hơn k= 3 tổng của chúng trở thành ít nhất, điều này là không thể. Do đó, chỉ có năm loại khối đa diện đều.

Các hình cho thấy bố cục của mỗi trong năm khối đa diện đều.

tứ diện đều

Bát diện đều

Lục diện đều

Icosahedron thông thường

Khối mười hai mặt thông thường

Một số tính chất của khối đa diện đều được cho trong bảng sau.

Loại khuôn mặt	góc phẳng ở trên cùng	Hình chiếu của góc đa diện ở đỉnh	Tổng các góc phẳng ở đỉnh				Tên của khối đa diện
Đúng Tam giác	3 mặt				tứ diện đều
Đúng Tam giác	4 mặt				Bát diện đều
Đúng Tam giác	5 mặt				Icosahedron thông thường
	3 mặt				Đúng hexahedron (khối lập phương)
Đúng Hình năm góc	3 mặt					Đúng khối mười hai mặt

Đối với mỗi khối đa diện đều, ngoài những khối đã được chỉ ra, chúng ta thường quan tâm đến:

• 1. Giá trị của nó Góc nghiêng tại xương sườn (với chiều dài của xương sườn một).
• 2. Vuông nó bề mặt đầy đủ(cho chiều dài xương sườn một).
• 3. Khối lượng của nó (với chiều dài của xương sườn một).
• 4. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp nó (bằng độ dài của cạnh một).
• 5. Bán kính mặt cầu nội tiếp (bằng độ dài cạnh một).
• 6. Bán kính của một hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của nó (với độ dài cạnh một).

Giải pháp đơn giản nhất là tính tổng diện tích bề mặt của một hình đa diện đều; nó bằng Г, trong đó Г là số mặt của một hình đa diện đều và là diện tích của một mặt.

Nhớ lại sin =, cho chúng ta cơ hội để viết thành các gốc: ctg =. Xem xét điều này, chúng tôi lập bảng:

a) cho diện tích của một mặt của một hình đa diện đều

b) cho tổng diện tích bề mặt của một hình đa diện đều

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang tính giá trị của góc nhị diện của một hình đa diện đều cạnh của nó. Đối với một tứ diện đều và một khối lập phương, bạn có thể dễ dàng tìm được giá trị của góc này.

Trong một khối tứ diện đều, tất cả các góc phẳng của các mặt của nó đều bằng nhau, do đó, áp dụng định lý côsin cho các góc tam diện cho bất kỳ góc tam diện nào của một khối đa diện đã cho tại đỉnh của nó, ta nhận được: cos, khi đó

Trên hình bát diện đều ABCDMF được mô tả, bạn có thể thấy rằng góc ở cạnh của hình bát diện đều là 2 cạnh.

Để tìm giá trị của góc nhị diện ở cạnh của một khối ngoại tiếp đều, ta có thể coi góc tứ diện ABCD ở đỉnh A: góc mặt phẳng BAC và CAD bằng nhau và góc mặt phẳng thứ ba BAD, góc mặt phẳng thứ ba B so với góc mặt phẳng đó. (AC) D = nằm, bằng (BCDMF - một ngũ giác đều). Theo định lý côsin cho góc tam diện ABCD ta có:. Cho rằng, chúng tôi nhận được ở đâu. Như vậy, góc nhị diện ở cạnh của khối icosahedron bằng nhau.

Vì vậy, ta nhận được bảng giá trị của các góc tứ diện ở các cạnh của khối đa diện đều sau đây.

Trước khi tìm thể tích của một hay một khối đa diện đều khác, trước hết chúng ta cùng bàn về cách tìm thể tích của khối đa diện đều ở dạng tổng quát.

Trước hết hãy thử chứng minh rằng nếu tâm của mọi mặt của bất kỳ hình đa diện đều là một đường thẳng, vuông góc với mặt phẳng mặt này, sau đó tất cả các đường được vẽ sẽ giao nhau tại một điểm nào đó O, cách xa tất cả các mặt của một hình đa diện đã cho bằng cùng một khoảng cách, chúng ta ký hiệu là r. Chấm O hóa ra là tâm của một hình cầu nội tiếp trong một hình đa diện đã cho, và r- bán kính của nó. Bằng cách kết nối điểm kết quả O Với tất cả các đỉnh của một hình đa diện đã cho, ta sẽ chia nó thành các hình chóp G bằng nhau (G là số mặt của một hình đa diện đều): các đáy của hình chóp đều được tạo thành là r. Khi đó thể tích của khối đa diện này bằng tổng thể tích của tất cả các kim tự tháp này. Vì khối đa diện đều nên thể tích của nó V có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Nó vẫn còn để tìm chiều dài của bán kính r.

Để làm điều này, bằng cách kết nối dấu chấm O với giữa Đến các cạnh của hình đa diện, cố gắng đảm bảo rằng phần nghiêng KOđối với một mặt của hình đa diện có chứa một cạnh thì tạo một góc với mặt phẳng của mặt này bằng một nửa giá trị của góc nhị diện tại cạnh của hình đa diện này; hình chiếu xiên KO lên mặt phẳng của mặt này thuộc một cạnh của nó và bằng bán kính của đường tròn nội tiếp trong nó. sau đó

trong đó p là bán kinh nghiệm của mặt đó. Sau đó, từ (1) và (2) chúng ta thu được công thức tính thể tích của chúng chung cho tất cả các khối đa diện đều:

Công thức này hoàn toàn không cần thiết để tìm thể tích của một khối lập phương, một khối tứ diện đều và một khối bát diện, nhưng nó làm cho việc tìm thể tích của một khối icosahedron và khối đa diện đều khá dễ dàng.