Tích phân đường cong của ứng dụng loại thứ nhất. Tính toán tích phân đường cong: Lý thuyết và ví dụ

Bài giảng 5 Tích phân cong loại 1 và loại 2, tính chất của chúng ..

Bài toán về khối lượng của đường cong. Tích phân đường cong của loại thứ nhất.

Bài toán về khối lượng của đường cong. Cho tại mỗi điểm của đường cong vật liệu mịn như mảnh L: (AB) cho trước mật độ của nó. Xác định khối lượng của đường cong.

Chúng ta tiến hành theo cách tương tự như khi xác định khối lượng của một vùng phẳng (tích phân kép) và vật thể không gian (tích phân ba).

1. Tổ chức sự phân chia vùng cung L thành các phần tử - các cung sơ cấp để các phần tử này không có các điểm bên trong chung và ( điều kiện A )

3. Hãy xây dựng tổng tích phân, trong đó độ dài của cung (thường là các ký hiệu giống nhau được giới thiệu cho cung và độ dài của nó). Đây là giá trị gần đúng cho khối lượng của đường cong. Đơn giản hóa là chúng tôi giả định mật độ cung không đổi trên mỗi phần tử và lấy một số phần tử hữu hạn.

Vượt qua giới hạn trong điều kiện (điều kiện B ), chúng ta thu được một tích phân đường cong của loại đầu tiên là giới hạn của các tổng tích phân:

Định lý tồn tại.

Cho hàm số liên tục trên một cung tròn nhẵn L. Khi đó, một tích phân đường cong của loại thứ nhất tồn tại dưới dạng giới hạn của các tổng tích phân.

Bình luận. Giới hạn này không phụ thuộc vào

Tính chất của tích phân đường cong loại thứ nhất.

1. Tuyến tính
a) thuộc tính chồng chất

b) tính chất đồng nhất .

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi viết ra các tổng tích phân cho các tích phân ở phía bên trái của các bằng nhau. Vì số lượng các số hạng trong tổng tích phân là hữu hạn, hãy chuyển sang tổng tích phân cho các vế phải của các bằng nhau. Sau đó, chúng tôi vượt qua giới hạn, theo định lý về đi đến giới hạn trong đẳng thức, chúng tôi thu được kết quả mong muốn.

2. Tính nhạy cảm.
Nếu một , sau đó = +

3. .Đây là độ dài của cung tròn.

4. Nếu bất đẳng thức được thỏa mãn trên cung thì

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi viết ra bất đẳng thức cho các tổng tích phân và chuyển đến giới hạn.

Lưu ý rằng, đặc biệt, có thể

5. Định lý ước lượng.

Nếu có các hằng số như vậy, thì

Bằng chứng. Tích hợp bất bình đẳng (thuộc tính 4), chúng tôi nhận được . Theo tính chất 1, các hằng số có thể được lấy ra từ dưới tích phân. Sử dụng thuộc tính 3, chúng tôi nhận được kết quả mong muốn.

6. Định lý trung bình(giá trị của tích phân).

Có một điểm , Gì

Bằng chứng. Vì hàm liên tục trên một tập có giới hạn đóng, nên infimum của nó tồn tại và cạnh trên . Sự bất bình đẳng được thực hiện. Chia cả hai bên cho L, chúng tôi nhận được . Nhưng số nằm giữa giới hạn dưới và giới hạn trên của hàm. Vì hàm là liên tục trên một tập có giới hạn đóng L nên tại một thời điểm nào đó hàm phải nhận giá trị này. Do đó, .

Tính tích phân đường cong loại thứ nhất.

Ta tham số hóa cung L: AB x = x (t), y = y (t), z = z (t). Gọi t 0 tương ứng với điểm A, và t 1 tương ứng với điểm B. Khi đó tích phân đường cong của loại đầu tiên giảm xuống một tích phân xác định ( - công thức đã biết từ học kỳ 1 để tính vi phân của độ dài cung):

Thí dụ. Tính khối lượng của một lượt xoắn đồng chất (khối lượng riêng bằng k):.

Tích phân đường cong loại 2.

Vấn đề về công của lực lượng.

Lực thực hiện bằng bao nhiêu?F(M) khi di chuyển điểmMtrong một vòng cungAB?

Nếu cung AB là một đoạn thẳng, và lực có độ lớn và hướng không đổi khi điểm M chuyển động dọc theo cung AB, thì công có thể được tính bằng công thức, trong đó là góc giữa các vectơ. Trong trường hợp tổng quát, công thức này có thể được sử dụng để xây dựng một tổng tích phân, giả sử rằng lực là không đổi trên một phần tử cung có độ dài đủ nhỏ. Thay vì độ dài của một phần tử nhỏ của cung, bạn có thể lấy độ dài của hợp âm để phụ nó, vì những đại lượng này là đại lượng thập phân tương đương với điều kiện (học kỳ đầu tiên).

1. Tổ chức phân vùng cung AB thành các phần tử - cung sơ cấp sao cho các phần tử này không có các điểm bên trong chung và ( điều kiện A )

2. Chúng tôi đánh dấu trên các phần tử của phân vùng "điểm được đánh dấu" M i và tính giá trị của hàm trong đó

3. Lập tổng tích phân , vectơ hướng dọc theo hợp âm phụ thuộc -arc ở đâu.

4. Vượt qua giới hạn trong điều kiện (điều kiện B ), chúng ta thu được tích phân đường cong của loại thứ hai là giới hạn của tổng tích phân (và công của lực):

. Thường được nhắc đến

Định lý tồn tại.

Cho hàm vectơ liên tục trên một cung tròn nhẵn L. Khi đó, một tích phân đường cong của loại thứ hai tồn tại dưới dạng giới hạn của các tổng tích phân.

Bình luận. Giới hạn này không phụ thuộc vào

Một phương pháp để chọn một phân vùng, miễn là điều kiện A được thỏa mãn

Chọn "điểm được đánh dấu" trên các phần tử phân vùng,

Một phương pháp để tinh chỉnh phân vùng, miễn là điều kiện B được thỏa mãn

Tính chất của tích phân đường cong loại 2.

1. Tuyến tính
a) thuộc tính chồng chất

b) tính chất đồng nhất .

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi viết ra các tổng tích phân cho các tích phân ở phía bên trái của các bằng nhau. Vì số hạng trong tổng tích phân là hữu hạn, sử dụng tính chất của tích vô hướng, chúng ta chuyển sang tổng tích phân cho vế phải của các lượng bằng nhau. Sau đó, chúng tôi vượt qua giới hạn, theo định lý về đi đến giới hạn trong đẳng thức, chúng tôi thu được kết quả mong muốn.

2. Tính nhạy cảm.
Nếu một , sau đó = + .

Bằng chứng. Chúng ta hãy chọn một phân vùng của miền L sao cho không có phần tử nào của phân vùng (lúc đầu và khi phân vùng được tinh chỉnh) chứa đồng thời cả phần tử L 1 và phần tử L 2. Điều này có thể được thực hiện bằng định lý tồn tại (nhận xét về định lý). Hơn nữa, việc chứng minh được thực hiện dưới dạng tổng tích phân, như trong Phần 1.

3. Tính định hướng.

= -

Bằng chứng. Tích phân cung –L, tức là theo chiều âm của việc bỏ qua cung, có một giới hạn của tổng tích phân, trong điều kiện của nó có () thay thế. Lấy "số trừ" từ tích vô hướng và từ tổng của một số hạng tử hữu hạn, chuyển đến giới hạn, chúng ta thu được kết quả cần thiết.

Bài toán về khối lượng của đường cong. Giả sử tại mỗi điểm của một đường cong vật liệu mịn như mảnh L: (AB) cho trước mật độ của nó. Xác định khối lượng của đường cong.

Chúng ta tiến hành theo cách tương tự như khi xác định khối lượng của một vùng phẳng (tích phân kép) và vật thể không gian (tích phân ba).

1. Tổ chức phân chia vùng-cung L thành các phần tử - cung sơ cấp để các yếu tố này không có các điểm nội thất chung và
(điều kiện A )

2. Chúng tôi đánh dấu trên các phần tử của phân vùng “các điểm được đánh dấu” M i và tính giá trị của hàm trong đó

3. Lập tổng tích phân
, ở đâu - chiều dài cung (thường là các ký hiệu giống nhau cho cung tròn và độ dài của nó được giới thiệu). Đây là giá trị gần đúng cho khối lượng của đường cong. Đơn giản hóa là chúng tôi giả định mật độ cung không đổi trên mỗi phần tử và lấy một số phần tử hữu hạn.

Vượt qua giới hạn trong điều kiện
(điều kiện B ), chúng ta thu được một tích phân đường cong của loại đầu tiên là giới hạn của các tổng tích phân:

Định lý tồn tại 10 .

Hãy để chức năng
liên tục trên một cung tròn nhẵn L 11. Khi đó, tích phân đường cong của loại thứ nhất tồn tại dưới dạng giới hạn của các tổng tích phân.

Bình luận. Giới hạn này không phụ thuộc vào

phương pháp chọn phân vùng, miễn là điều kiện A

lựa chọn "điểm được đánh dấu" trên các phần tử phân vùng,

phương pháp tinh chỉnh phân vùng, miễn là điều kiện B được thỏa mãn

Tính chất của tích phân đường cong loại thứ nhất.

1. Tuyến tính a) thuộc tính chồng chất

b) tính chất đồng nhất
.

2. Tính nhạy cảm. Nếu một
, sau đó
=
+

3.
.Nơi đây - chiều dài cung .

4. Nếu trên một cung sự bất bình đẳng được thỏa mãn, sau đó

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi viết ra bất đẳng thức cho các tổng tích phân và chuyển đến giới hạn.

Lưu ý rằng, đặc biệt, có thể

5. Định lý ước lượng.

Nếu có hằng số
, thứ gì đó

Bằng chứng. Tích hợp bất bình đẳng
(thuộc tính 4), chúng tôi nhận được
. Theo thuộc tính 1 hằng số
có thể được lấy ra từ dưới tích phân. Sử dụng thuộc tính 3, chúng tôi nhận được kết quả mong muốn.

6. Định lý trung bình(giá trị của tích phân).

Có một điểm
, Gì

Bằng chứng. Kể từ khi chức năng
liên tục trên một tập hợp có giới hạn đóng , thì infimum của nó tồn tại
và cạnh trên
. Sự bất bình đẳng được thực hiện. Chia cả hai phần cho L, ta được
. Nhưng số
nằm giữa giới hạn dưới và giới hạn trên của hàm. Kể từ khi chức năng
là liên tục trên một tập có giới hạn đóng L, sau đó tại một thời điểm nào đó
hàm phải nhận giá trị này. Do đó,
.

Đối với trường hợp diện tích tích phân là một đoạn của đường cong nào đó nằm trong một mặt phẳng. Kí hiệu tổng quát của tích phân đường cong như sau:

ở đâu f(x, y) là một hàm của hai biến, và L- đường cong, theo phân đoạn AB mà quá trình tích hợp diễn ra. Nếu tích phân bằng một thì tích phân cung tròn bằng độ dài cung AB. .

Như mọi khi trong phép tính tích phân, tích phân đường cong được hiểu là giới hạn của tổng tích phân của một số phần rất nhỏ của một cái gì đó rất lớn. Điều gì được tóm tắt trong trường hợp của tích phân đường cong?

Để có một đoạn trên mặt phẳng AB một số đường cong L và hàm của hai biến f(x, y) được xác định tại các điểm của đường cong L. Hãy để chúng tôi thực hiện thuật toán sau với đoạn đường cong này.

Đường cong tách AB trên phần có dấu chấm (hình bên dưới).
Trong mỗi phần, tự do chọn một điểm M.
Tìm giá trị của hàm tại các điểm đã chọn.
Nhân các giá trị hàm với
- chiều dài của các bộ phận trong trường hợp tích phân đường cong của loại đầu tiên ;
- hình chiếu của các bộ phận lên trục tọa độ trong trường hợp tích phân đường cong của loại thứ hai .
Tìm tổng của tất cả các sản phẩm.
Tìm giới hạn của tổng tích phân tìm được với điều kiện độ dài của phần dài nhất của đường cong có xu hướng bằng không.

Nếu giới hạn này tồn tại, thì điều này giới hạn của tổng tích phân và được gọi là tích phân đường cong của hàm f(x, y) dọc theo đường cong AB .

loại đầu tiên

Trường hợp tích phân đường cong
loại thứ hai

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau đây.

Mtôi ( ζ tôi ; η tôi)- một điểm có tọa độ được chọn trên mỗi phần.

ftôi ( ζ tôi ; η tôi)- giá trị hàm f(x, y) tại điểm đã chọn.

Δ Stôi- chiều dài của một phần của đoạn đường cong (trong trường hợp tích phân đường cong của loại thứ nhất).

Δ xtôi- hình chiếu của một phần của đoạn đường cong lên trục Con bò(trong trường hợp tích phân đường cong của loại thứ hai).

d= maxΔ S tôi là độ dài của phần dài nhất của đoạn đường cong.

Tích phân đường cong loại thứ nhất

Căn cứ vào phần trên về giới hạn của tổng tích phân, tích phân đường cong loại thứ nhất được viết như sau:

Tích phân đường cong của loại thứ nhất có tất cả các thuộc tính tích phân xác định. Tuy nhiên, có một điểm khác biệt quan trọng. Đối với một tích phân xác định, khi các giới hạn của tích phân được hoán đổi cho nhau, dấu thay đổi thành ngược lại:

Trong trường hợp tích phân đường cong của loại thứ nhất, không quan trọng điểm nào của đường cong AB (Một hoặc B) xem xét phần đầu của phân đoạn và phần kết thúc, đó là

Tích phân đường cong của loại thứ hai

Dựa trên những gì đã nói về giới hạn của tổng tích phân, tích phân đường cong của loại thứ hai được viết như sau:

Trong trường hợp tích phân đường cong của loại thứ hai, khi phần đầu và phần cuối của một đoạn đường cong được đảo ngược, dấu của tích phân thay đổi:

Khi biên dịch tổng tích phân của một tích phân đường cong của loại thứ hai, các giá trị của hàm ftôi ( ζ tôi ; η tôi) cũng có thể được nhân với hình chiếu của các phần của đoạn đường cong lên trục Oy. Sau đó, chúng tôi nhận được tích phân

Trong thực tế, sự kết hợp của tích phân đường cong của loại thứ hai thường được sử dụng, nghĩa là, hai hàm f = P(x, y) và f = Q(x, y) và tích phân

và tổng của các tích phân này

gọi là tích phân đường cong tổng quát của loại thứ hai .

Tính tích phân đường cong loại thứ nhất

Việc tính tích phân cong loại thứ nhất được rút gọn thành phép tính các tích phân xác định. Hãy xem xét hai trường hợp.

Cho một đường cong trên mặt phẳng y = y(x) và một đoạn đường cong AB tương ứng với việc thay đổi biến x từ một trước b. Sau đó, tại các điểm của đường cong, tích phân f(x, y) = f(x, y(x)) ("y" phải được biểu thị thông qua "x") và vi phân cung và tích phân đường cong có thể được tính bằng công thức

Nếu tích phân thì dễ tích phân hơn y, sau đó từ phương trình của đường cong cần biểu diễn x = x(y) ("x" đến "y"), trong đó và tích phân được tính bằng công thức

ví dụ 1

ở đâu AB- đoạn thẳng giữa các điểm Một(1; −1) và B(2; 1) .

Dung dịch. Lập phương trình của một đường thẳng AB, sử dụng công thức (phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Một(x1 ; y 1 ) và B(x2 ; y 2 ) ):

Từ phương trình của một đường thẳng, chúng ta biểu diễn y xuyên qua x :

Sau đó và bây giờ chúng ta có thể tính tích phân, vì chúng ta chỉ còn lại "x":

Cho một đường cong trong không gian

Sau đó, tại các điểm của đường cong, hàm phải được biểu diễn dưới dạng tham số t() và vi phân cung , vì vậy tích phân đường cong có thể được tính bằng công thức

Tương tự, nếu một đường cong được cho trên mặt phẳng

thì tích phân đường cong được tính bằng công thức

Ví dụ 2 Tính tích phân đường cong

ở đâu L- một phần của đường tròn

nằm ở octant đầu tiên.

Dung dịch. Đường cong này là một phần tư đường tròn, nằm trong mặt phẳng z= 3. Nó tương ứng với các giá trị tham số. Tại vì

sau đó vi sai cung

Hãy để chúng tôi thể hiện sự tích hợp về mặt tham số t :

Bây giờ chúng ta có mọi thứ được thể hiện thông qua một tham số t, chúng ta có thể giảm phép tính tích phân đường cong này thành một tích phân xác định:

Tính tích phân đường cong loại thứ hai

Cũng như trong trường hợp tích phân cong loại thứ nhất, phép tính tích phân loại thứ hai được rút gọn thành phép tính các tích phân xác định.

Đường cong được cho trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes

Cho một đường cong trên một mặt phẳng được cho bởi phương trình của hàm "y", biểu diễn qua "x": y = y(x) và cung của đường cong AB thay đổi tương ứng x từ một trước b. Sau đó, chúng tôi thay thế biểu thức "y" qua "x" vào tích phân và xác định vi phân của biểu thức "y" này đối với "x" :. Bây giờ, khi mọi thứ được biểu diễn thông qua "x", tích phân đường cong của loại thứ hai được tính như một tích phân xác định:

Tương tự, một tích phân đường cong của loại thứ hai được tính khi đường cong được cho bởi phương trình của hàm "x", được biểu thị qua "y": x = x(y) ,. Trong trường hợp này, công thức tính tích phân như sau:

Ví dụ 3 Tính tích phân đường cong

, nếu

một) L- đoạn thẳng OA, ở đâu O(0; 0) , Một(1; −1) ;

b) L- cung của một parabol y = x² từ O(0; 0) thành Một(1; −1) .

a) Tính tích phân đường cong trên một đoạn thẳng (màu xanh trong hình vẽ). Hãy viết phương trình của một đường thẳng và biểu diễn "Y" qua "X":

Chúng tôi nhận được dy = dx. Chúng tôi giải quyết tích phân đường cong này:

b) nếu L- cung của một parabol y = x², chúng tôi nhận được dy = 2xdx. Chúng tôi tính tích phân:

Trong ví dụ vừa giải quyết, chúng tôi nhận được cùng một kết quả trong hai trường hợp. Và đây không phải là một sự trùng hợp ngẫu nhiên, mà là kết quả của một mẫu, vì tích phân này thỏa mãn các điều kiện của định lý sau.

Định lý. Nếu chức năng P(x,y) , Q(x,y) và các đạo hàm riêng của chúng, - liên tục trong khu vực D hàm và tại các điểm thuộc vùng này, đạo hàm riêng bằng nhau thì tích phân đường cong không phụ thuộc vào đường tích phân dọc theo đường L nằm trong vùng D .

Đường cong được cho ở dạng tham số

Cho một đường cong trong không gian

và trong các tích hợp, chúng tôi thay thế

biểu thức của các hàm này thông qua một tham số t. Ta nhận được công thức tính tích phân đường cong:

Ví dụ 4 Tính tích phân đường cong

nếu L- một phần của hình elip

đáp ứng điều kiện y ≥ 0 .

Dung dịch. Đường cong này là một phần của hình elip nằm trong mặt phẳng z= 2. Nó tương ứng với giá trị của tham số.

chúng ta có thể biểu diễn tích phân đường cong như một tích phân xác định và tính nó:

Cho một tích phân đường cong và L- một đường đóng, thì một tích phân như vậy được gọi là một tích phân trên một đường bao kín và dễ dàng hơn để tính toán nó bằng cách sử dụng Công thức của Green .

Các ví dụ khác về tính tích phân đường cong

Ví dụ 5 Tính tích phân đường cong

ở đâu L- một đoạn thẳng giữa các giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Dung dịch. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ. Thay đường thẳng vào phương trình y= 0, chúng tôi nhận được,. Thay thế x= 0, chúng tôi nhận được,. Do đó, giao điểm với trục Con bò - Một(2; 0), với trục Oy - B(0; −3) .

Từ phương trình của một đường thẳng, chúng ta biểu diễn y :

, .

Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn tích phân đường cong như một tích phân xác định và bắt đầu tính toán nó:

Trong tích phân, chúng ta chọn thừa số, chúng ta lấy nó ra khỏi dấu tích phân. Trong tích hợp kết quả, chúng tôi áp dụng mang theo dấu hiệu của sự khác biệt và cuối cùng chúng tôi nhận được.

Lý thuyết tối thiểu
Tích phân đường cong và bề mặt thường xảy ra trong vật lý. Chúng có hai loại, loại đầu tiên được thảo luận ở đây. Đây
loại tích phân được xây dựng theo sơ đồ tổng quát, theo đó giới thiệu tích phân kép, tích phân ba xác định. Hãy để chúng tôi nhớ lại sơ đồ này một cách ngắn gọn.
Có một số đối tượng mà quá trình tích hợp được thực hiện (một chiều, hai chiều hoặc ba chiều). Đối tượng này được chia thành các phần nhỏ,
một điểm được chọn trong mỗi phần. Tại mỗi điểm này, giá trị của tích phân được tính và nhân với số đo của phần
điểm đã cho thuộc về (độ dài của đoạn thẳng, diện tích hoặc thể tích của một phần). Sau đó, tất cả các sản phẩm như vậy được tổng hợp, và giới hạn
chuyển sang phân vùng một đối tượng thành các phần nhỏ vô hạn. Giới hạn kết quả được gọi là tích phân.
1. Định nghĩa tích phân đường cong loại thứ nhất
Xem xét một hàm được xác định trên một đường cong. Đường cong được giả định là có thể chỉnh lại. Nhắc lại điều này có nghĩa là, nói một cách đại khái,
rằng một polyline với các liên kết nhỏ tùy ý có thể được nội tiếp trong một đường cong và trong giới hạn của một số lượng lớn liên kết vô hạn, độ dài của polyline phải duy trì
cuối cùng. Đường cong được chia thành các cung có độ dài từng phần và một điểm được chọn trên mỗi cung. Tác phẩm đang được biên soạn
tổng hợp trên tất cả các cung từng phần . Sau đó, việc đi đến giới hạn được thực hiện với xu hướng chiều dài lớn nhất
từ một phần cung đến không. Giới hạn là một tích phân của đường cong của loại đầu tiên
.
Một đặc điểm quan trọng của tích phân này, theo trực tiếp từ định nghĩa của nó, là tính độc lập với hướng tích phân, tức là
.
2. Định nghĩa tích phân bề mặt của loại thứ nhất
Hãy xem xét một chức năng được xác định trên một bề mặt nhẵn hoặc mịn theo từng mảnh. Bề mặt bị phá vỡ thành từng vùng
với các khu vực, một điểm được chọn trong mỗi khu vực như vậy. Một tác phẩm đang được biên dịch , tổng kết
trên tất cả các khu vực . Sau đó, việc đi qua giới hạn được thực hiện với xu hướng của đường kính lớn nhất trong tất cả các phần
vùng bằng không. Giới hạn là một phần tích phân bề mặt của loại đầu tiên
.
3. Tính tích phân đường cong của loại thứ nhất
Phương pháp tính tích phân đường cong của loại thứ nhất đã có thể được nhìn thấy từ ký hiệu chính thức của nó, nhưng trên thực tế, nó theo sau trực tiếp từ
định nghĩa. Tích phân được rút gọn thành một xác định, chỉ cần viết ra vi phân của cung của đường cong mà tích phân được thực hiện.
Hãy bắt đầu với một trường hợp tích phân đơn giản dọc theo một đường cong mặt phẳng được cho bởi một phương trình rõ ràng. Trong trường hợp này, vi sai cung
.
Sau đó, trong tích phân, biến được thay đổi và tích phân có dạng
,
trong đó phân đoạn tương ứng với sự thay đổi trong biến dọc theo phần đó của đường cong mà quá trình tích hợp được thực hiện.
Thông thường, đường cong được thiết lập theo tham số, tức là loại phương trình. Sau đó, vi sai cung
.
Công thức này rất dễ dàng để biện minh. Về cơ bản, đó là định lý Pitago. Vi phân cung thực sự là độ dài của một phần nhỏ của đường cong.
Nếu đường cong nhẵn, thì phần thập phân của nó có thể được coi là tuyến tính. Đối với một đường thẳng, quan hệ
.
Để nó được thực hiện đối với một cung nhỏ của đường cong, người ta nên chuyển từ số gia hữu hạn sang vi phân:
.
Nếu đường cong được cho theo tham số, thì các vi sai được tính toán một cách đơn giản:
vân vân.
Theo đó, sau khi thay đổi các biến trong tích phân, tích phân đường cong được tính như sau:
,
trong đó phần của đường cong mà quá trình tích hợp được thực hiện tương ứng với phân đoạn của sự thay đổi trong tham số.
Tình hình có phần phức tạp hơn khi đường cong được chỉ định trong tọa độ cong. Câu hỏi này thường được thảo luận trong khuôn khổ của sự khác biệt
hình học. Hãy đưa ra công thức tính tích phân dọc theo đường cong được cho trong tọa độ cực bằng phương trình:
.
Hãy để chúng tôi cũng đưa ra một biện minh cho vi phân cung trong các tọa độ cực. Thảo luận chi tiết về cách lập lưới hệ tọa độ cực
cm. Chúng ta hãy chọn một cung nhỏ của đường cong nằm trong mối quan hệ với các đường tọa độ như trong Hình. 1. Do sự nhỏ bé của tất cả
một lần nữa, bạn có thể áp dụng định lý Pitago và viết:
.
Từ đây theo biểu thức mong muốn cho vi phân của cung.
Từ một quan điểm lý thuyết thuần túy, khá dễ hiểu rằng tích phân đường cong của loại thứ nhất phải được rút gọn thành trường hợp đặc biệt của nó -
một tích phân nhất định. Thật vậy, thực hiện một sự thay đổi được quyết định bởi sự tham số hóa của đường cong mà theo đó tích phân được tính, chúng ta thiết lập
ánh xạ 1-1 giữa một phần của đường cong đã cho và một đoạn thay đổi tham số. Và đây là sự giảm xuống tích phân
dọc theo một đường thẳng trùng với trục tọa độ - một tích phân xác định.
4. Tính tích phân bề mặt của loại thứ nhất
Sau điểm trước, cần rõ ràng rằng một trong những phần chính của việc tính tích phân bề mặt của loại đầu tiên là viết phần tử bề mặt,
qua đó quá trình tích hợp được thực hiện. Một lần nữa, hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản của một bề mặt được cho bởi một phương trình tường minh. sau đó
.
Một thay đổi được thực hiện trong tích phân, và tích phân bề mặt được giảm thành tích phân kép:
,
đâu là vùng của mặt phẳng mà một phần của bề mặt được chiếu vào mà quá trình tích hợp được thực hiện.
Tuy nhiên, thường không thể xác định bề mặt bằng một phương trình rõ ràng, và sau đó nó được chỉ định theo tham số, tức là phương trình có dạng
.
Phần tử bề mặt trong trường hợp này được viết phức tạp hơn:
.
Tích phân bề mặt được viết theo cách tương ứng:
,
ở đâu là phạm vi tham số tương ứng với phần bề mặt mà quá trình tích hợp được thực hiện.
5. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường cong và bề mặt của loại thứ nhất
Các tích phân đang thảo luận có một ý nghĩa vật lý rất đơn giản và rõ ràng. Giả sử có một số đường cong có mật độ tuyến tính không
hằng số, và là một hàm của điểm . Hãy tìm khối lượng của đường cong này. Hãy chia đường cong thành nhiều phần tử nhỏ,
trong đó mật độ của nó có thể được coi là không đổi. Nếu chiều dài của một đoạn nhỏ của đường cong thì khối lượng của nó là
, đâu là điểm bất kỳ của đoạn đường cong đã chọn (bất kỳ, vì mật độ nằm trong
của phần này được giả định là xấp xỉ không đổi). Theo đó, khối lượng của toàn bộ đường cong thu được bằng cách cộng khối lượng của các phần riêng lẻ của nó:
.
Để sự bằng nhau trở nên chính xác, người ta nên vượt qua giới hạn chia đường cong thành những phần nhỏ vô hạn, nhưng đây là tích phân đường cong của loại thứ nhất.

Tương tự, câu hỏi về tổng điện tích của đường cong được giải quyết nếu biết mật độ điện tích tuyến tính .
Những cân nhắc này dễ dàng chuyển sang trường hợp bề mặt tích điện không đều với mật độ điện tích bề mặt . sau đó
điện tích bề mặt là một phần tích phân bề mặt của loại thứ nhất
.
Nhận xét . Một công thức rườm rà cho một phần tử bề mặt được cung cấp theo tham số sẽ không thuận tiện cho việc ghi nhớ. Một biểu thức khác thu được trong hình học vi phân,
nó sử dụng cái gọi là. dạng bậc hai đầu tiên của bề mặt.
Ví dụ về tính tích phân đường cong loại thứ nhất
ví dụ 1 Tích phân dọc theo một dòng.
Tính tích phân

dọc theo đoạn thẳng đi qua các điểm và.
Đầu tiên, chúng ta viết phương trình của đường thẳng mà tích phân được thực hiện: . Hãy tìm một biểu thức cho:
.
Chúng tôi tính tích phân:
Ví dụ 2 Tích phân dọc theo một đường cong trong mặt phẳng.
Tính tích phân

dọc theo cung của một parabol từ điểm này đến điểm khác.
Các điểm đã cho và cho phép chúng ta biểu diễn biến từ phương trình parabol:.

Chúng tôi tính tích phân:
.
Tuy nhiên, có thể thực hiện các phép tính theo một cách khác, sử dụng thực tế là đường cong được đưa ra bởi một phương trình được giải liên quan đến biến số.
Nếu chúng ta lấy một biến làm tham số, thì điều này sẽ dẫn đến một sự thay đổi nhỏ trong biểu thức của vi phân cung:
.
Theo đó, tích phân sẽ thay đổi phần nào:
.
Tích phân này có thể dễ dàng tính được bằng cách lấy biến dưới vi phân. Kết quả là tích phân giống như trong phương pháp tính toán đầu tiên.
Ví dụ 3 Tích phân dọc theo một đường cong trong mặt phẳng (sử dụng tham số hóa).
Tính tích phân

dọc theo nửa trên của chu vi .
Tất nhiên, bạn có thể biểu diễn một trong các biến từ phương trình đường tròn, rồi thực hiện phần còn lại của các phép tính theo cách chuẩn. Nhưng bạn cũng có thể sử dụng
định nghĩa đường cong tham số. Như bạn đã biết, một đường tròn có thể được xác định bằng các phương trình. Hình bán nguyệt trên
tương ứng với việc thay đổi tham số bên trong. Tính vi phân cung:
.
Bằng cách này,
Ví dụ 4 Tích phân dọc theo một đường cong trong một mặt phẳng được cho trong tọa độ cực.
Tính tích phân

dọc theo thùy bên phải của lemniscate .

Hình vẽ trên cho thấy một lemniscate. Tích hợp nên được thực hiện dọc theo thùy phải của nó. Hãy tìm vi phân cung cho đường cong :
.
Bước tiếp theo là xác định các giới hạn của tích phân qua góc cực. Rõ ràng là sự bất bình đẳng phải được duy trì, và do đó
.
Chúng tôi tính tích phân:
Ví dụ 5 Tích phân dọc theo một đường cong trong không gian.
Tính tích phân

dọc theo vòng xoắn tương ứng với các giới hạn của sự thay đổi tham số

Đường cong AB cho bởi phương trình tham số được gọi là trơn nếu các hàm và có đạo hàm liên tục trên đoạn và hơn nữa, nếu các đạo hàm này không tồn tại tại một số hữu hạn trên đoạn hoặc biến mất đồng thời, thì đường cong được gọi là trơn từng đoạn. . Cho AB là một đường cong phẳng, phẳng hoặc nhẵn từng đoạn. Gọi f (M) là một hàm xác định trên đường cong AB hoặc trong miền D nào đó có chứa đường cong này. Chúng ta hãy xem xét việc chia đường cong A B thành các phần theo điểm (Hình 1). Ta chọn một điểm Mk tùy ý trên mỗi cung A ^ At + i và tính tổng trong đó Alt là độ dài của cung và gọi nó là tổng tích phân của hàm f (M) trên độ dài của cung của đường cong . Gọi D / là độ dài lớn nhất của các cung một phần, tức là các tính chất của tích phân cong loại 1 cho đường cong không gian Tích phân cong loại 2 Tính tích phân cong Nếu vì, tổng tích phân (I) có giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào phương pháp phân chia đường cong AB thành các phần, hoặc vào sự lựa chọn các điểm trên mỗi cung của phân hoạch, thì giới hạn này được gọi là một tích phân đường cong của loại \-loại hàm f (M) dọc theo đường cong AB (tích phân theo độ dài của cung của đường cong) và được biểu thị bằng ký hiệu Trong trường hợp này, hàm / (M) được gọi là tích phân dọc theo đường cong ABU, đường cong AB được gọi là đường tích phân, A - điểm đầu, B - điểm cuối của tích phân. Như vậy, theo định nghĩa, Ví dụ 1. Cho một khối lượng có mật độ tuyến tính thay đổi J (M) được phân bố dọc theo một đường cong trơn L nào đó. Tìm khối lượng m của đường cong L. (2) Ta chia đường cong L thành n phần tùy ý) và tính gần đúng khối lượng của mỗi phần, giả sử rằng khối lượng riêng trên mỗi phần là không đổi và bằng khối lượng riêng tại một số trong số các điểm của nó, ví dụ, tại điểm cực bên trái / (Af *). Khi đó tổng ksho trong đó D / d là chiều dài của phần Dz-thứ, sẽ là giá trị gần đúng của khối lượng m. Rõ ràng là sai số sẽ càng nhỏ, độ phân chia của đường cong L. Trong giới hạn khi chúng ta có được giá trị chính xác của khối lượng của toàn bộ đường cong L, tức là Nhưng giới hạn ở bên phải là tích phân đường cong của loại đầu tiên. Do đó, 1.1. Sự tồn tại của Tích phân đường cong của loại thứ nhất Chúng ta hãy lấy độ dài cung I làm tham số trên đường cong AB, được tính từ điểm bắt đầu A (Hình 2). Khi đó đường cong AB có thể được mô tả bằng phương trình (3) với L là độ dài của đường cong AB. Phương trình (3) được gọi là phương trình tự nhiên của đường cong AB. Khi chuyển về phương trình tự nhiên, hàm số f (x) y) đã cho trên đường cong AB sẽ được rút gọn thành hàm đồng biến I: / (x (1)) y (1)). Ký hiệu bằng giá trị của tham số I, tương ứng với điểm Mku, ta viết lại tổng tích phân (I) dưới dạng Do đó, (5) Định lý 1. Nếu hàm / (M) liên tục dọc theo đường cong AB thì tồn tại một tích phân cong (vì trong các điều kiện này có một tích phân xác định ở bên phải trong đẳng thức (5)). 1.2. Các tính chất của tích phân đường cong của loại thứ nhất 1. Nó xuất phát từ dạng tổng tích phân (1), tức là giá trị của một tích phân đường cong của loại thứ nhất không phụ thuộc vào hướng của tích phân. 2. Độ tuyến tính. Nếu đối với mỗi hàm / () có một tích phân cong dọc theo đường cong ABt, thì đối với hàm a /, trong đó a và / 3 là bất kỳ hằng số nào, cũng tồn tại một tích phân cong dọc theo đường cong AB> và 3. Tính cộng . Nếu đường cong AB gồm hai đoạn và cho hàm số / (M) có tích phân đường cong trên ABU thì có tích phân và 4. Nếu 0 trên đường cong AB thì 5. Nếu hàm số tích phân trên đường cong AB , thì hàm || cũng có thể tích hợp trên A B, và hơn thế nữa b. Công thức giá trị trung bình. Nếu hàm / liên tục dọc theo đường cong AB thì trên đường cong này có một điểm Mc sao cho L là độ dài của đường cong AB. 1.3. Tính tích phân đường cong của loại thứ nhất Cho đường cong AB được cho bởi phương trình tham số, trong đó điểm A tương ứng với giá trị t = và điểm B tương ứng với giá trị đó. Chúng ta sẽ giả sử rằng các hàm) liên tục trên cùng với các đạo hàm của chúng và bất đẳng thức giữ nguyên Khi đó vi phân của cung của đường cong được tính theo công thức B - giá trị của x = 6, khi đó, lấy x làm tham số, chúng ta lấy 1,4. Tích phân đường cong của loại thứ nhất cho đường cong không gian Định nghĩa của tích phân đường cong của loại thứ nhất được công thức ở trên cho một đường cong phẳng có thể được chuyển theo nghĩa đen cho trường hợp khi hàm f (M) được cho dọc theo một số đường cong không gian AB. Cho đường cong AB được cho bởi phương trình tham số Tính chất của tích phân cong loại 1 đối với đường cong không gian Tích phân cong của tích phân loại 2 trong đó L là đường bao của tam giác có đỉnh tại một điểm * (Hình 3). Theo tính chất của phép cộng, chúng ta có Hãy để chúng ta tính từng tích phân một cách riêng biệt. Vì trên đoạn OA, chúng ta có :, Khi đó Trên đoạn AH chúng ta có, khi đó và sau đó Hình. Cuối cùng, Do đó, Nhận xét. Khi tính tích phân, chúng tôi sử dụng thuộc tính 1, theo đó. Tích phân đường cong của loại thứ hai Gọi AB là một đường cong định hướng phẳng hoặc trơn theo chiều dọc trên mặt phẳng xOy và giả sử là một hàm vectơ được xác định trong miền D nào đó chứa đường cong AB. Chúng tôi chia đường cong AB thành các phần bằng các điểm có tọa độ mà chúng tôi ký hiệu tương ứng là (Hình 4). Trên mỗi cung sơ cấp AkAk + \, chúng ta lấy một điểm tùy ý và lập thành tổng. Gọi D / là độ dài của cung lớn nhất. Định nghĩa. Nếu vì, tổng (1) có giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào phương pháp tách đường cong AB hoặc vào cách chọn điểm rjk) trên cung sơ cấp, thì giới hạn này được gọi là tích phân đường cong của 2 thành. của hàm vectơ dọc theo đường cong AB và được kí hiệu là Vậy theo định nghĩa Định lý 2. Nếu hàm số liên tục trong miền D nào đó chứa đường cong AB thì tồn tại tích phân đường cong của thành 2. Gọi là vectơ bán kính của điểm M (x, y). Khi đó tích phân trong công thức (2) cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích vô hướng của các vectơ F (M) và dr. Vậy tích phân bậc 2 của một hàm vectơ dọc theo đường cong AB có thể được viết ngắn gọn như sau: 2.1. Tính Tích phân đường cong của loại thứ 2 Cho đường cong AB được cho bởi phương trình tham số, trong đó các hàm liên tục cùng với các đạo hàm trên đoạn và sự thay đổi của tham số t từ t0 đến t tương ứng với chuyển động của a điểm dọc theo đường cong AB từ điểm A đến điểm B. Nếu trong vùng D nào đó chứa đường cong AB, các hàm liên tục thì tích phân đường cong loại 2 được rút gọn thành tích phân xác định sau: Như vậy, phép tính của tích phân cong của loại thứ 2 cũng có thể được rút gọn thành phép tính của một tích phân xác định. O) Ví dụ 1. Tính tích phân dọc theo một đoạn thẳng nối các điểm 2) dọc theo một parabol nối các đoạn thẳng giống nhau) Phương trình của tham số đoạn thẳng, từ đó Vậy 2) Phương trình của đoạn thẳng AB: Do đó, nói chung , phụ thuộc vào hình thức của đường dẫn tích hợp. 2.2. Các tính chất của Tích phân đường cong a của Loại thứ hai 1. Độ tuyến tính. Nếu có Các tính chất của tích phân cong loại 1 cho đường cong không gian Tích phân cong loại 2 Tính tích phân cong Các tính chất Mối quan hệ giữa thì với mọi thực a và / 5 có một tích phân trong đó 2. Additenost. Nếu đường cong AB được chia thành các phần AC và SB và tồn tại tích phân đường cong thì tích phân cũng tồn tại. 2.3. Kết nối giữa tích phân cong loại 1 và loại 2 Xét một tích phân cong loại 2 mà đường cong AB được định hướng) (Hình 6). Khi đó dr hoặc trong đó r = m (1) là vectơ đơn vị của tiếp tuyến với đường cong AB tại điểm M (1). Sau đó, Lưu ý rằng tích phân cuối cùng trong công thức này là tích phân đường cong của loại đầu tiên. Khi hướng của đường cong AB thay đổi, vectơ đơn vị của tiếp tuyến r được thay thế bằng vectơ đối diện (-r), kéo theo sự thay đổi dấu của tích phân của nó và do đó, dấu của chính tích phân.