Phương pháp tiếp tuyến. Giải pháp gần đúng của phương trình bằng các công cụ khác nhau

Kiểu bài: Học và củng cố kiến thức mới.

Loại bài: bài thực hành sử dụng máy tính.

Thời lượng bài học: hai tiết học.

Mục đích: Học cách giải phương trình với độ chính xác trên một khoảng cho trước.

phát triển hoạt động nghiên cứu, nhận thức của học sinh;
phát triển các kỹ năng sử dụng các công cụ phần mềm khác nhau để giải quyết một vấn đề;
sự phát triển kĩ năng giao tiếp sinh viên.

Phương pháp giảng dạy: trực quan, nghiên cứu, thực hành.

Thiết bị:

máy vi tính;
mạng cục bộ;
máy chiếu.

Phần mềm:

Hệ điều hành Windows;
Microsoft Excel từ gói Microsoft Office;
Microsoft Visual Basic 6.0.

Kế hoạch bài học:

Tổ chức thời gian.
Tạo ra một tình huống có vấn đề.
Cách sử dụng phương pháp đồ họa cho giải pháp gần đúng của phương trình trong bảng tính.
Phương pháp học tập phân nửa khi giải phương trình.
Mô phỏng một trang tính cho nghiệm gần đúng của một phương trình bằng phương pháp phân giác.
Mô hình hóa dự án “Nghiệm gần đúng của phương trình” bằng ngôn ngữ hướng đối tượng Visual Basic 6.0.
Thí nghiệm máy tính.
Phân tích các kết quả thu được.
Tổng kết bài học.

Trong các lớp học

1. Thời điểm tổ chức.

Lời chào của cô giáo.

2. Sáng tạo tình huống có vấn đề.

- Hôm nay chúng ta phải giải bài toán tìm nghiệm nguyên gần đúng của phương trình cos (x) = x sử dụng các công cụ phần mềm khác nhau. Ghi chủ đề của bài học: “Giải phương trình gần đúng bằng các dụng cụ khác nhau”.

- Mặc dù bạn không biết bất kỳ phương pháp toán học nào để giải phương trình này, nhưng bạn biết một chương trình mà bạn có thể giải gần đúng bằng đồ thị. Chương trình này là gì? (Microsoft Excel.)

3. Sử dụng phương pháp đồ thị để tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong bảng tính.

- Ý nghĩa của phương pháp là gì? (Chúng ta cần vẽ hàm y = cos (x) –x trên một đoạn nào đó, hoành độ của giao điểm của đồ thị với trục OX là gốc của phương trình cos (x) = x .)

- Để xây dựng biểu đồ cần xác định điều gì? (Đoạn có gốc.)

Làm điều đó về mặt toán học. (Tập hợp các giá trị của vế trái của phương trình, hàm y = cos (x) , là đoạn [-1; một]. Do đó, phương trình chỉ có thể có một nghiệm nguyên trên đoạn này.)

- Vì vậy, hãy tìm nghiệm nguyên gần đúng của phương trình cos (x) = x trên đoạn [-1; 1] theo gia số, ví dụ, 0,1 in Chương trình của Microsoft Excel.

Bức tranh 1

- Nghiệm gần đúng của phương trình x = 0,75. Tuy nhiên, sự gần đúng này không độ chính xác cao. Để tìm nghiệm nguyên gần đúng của phương trình với độ chính xác định trước, người ta sử dụng các phương pháp toán học, đặc biệt là phương pháp chia nửa.

4. Việc nghiên cứu phương pháp chia nửa trong giải phương trình.

Xem xét chức năng liên tục f (x), sao cho nghiệm nguyên của phương trình này là giao điểm của đồ thị của hàm số này với trục OX.

Ý tưởng của phương pháp phân giác là giảm đoạn ban đầu [a; b], trên đó có nghiệm nguyên của phương trình, đến một đoạn có độ chính xác h cho trước.

Quá trình này được rút gọn thành sự phân chia liên tiếp của đoạn thành một nửa cho điểm c \ u003d (a + b) / 2 và loại bỏ một nửa đoạn (hoặc) mà trên đó không có gốc. Phân đoạn được chọn, ở phần cuối của hàm nhận các giá trị của các dấu hiệu khác nhau, tức là tích của các giá trị này là âm. Hàm trên đoạn này giao với trục x. Các đầu của đoạn này lại được gán các ký hiệu a, b.

Sự phân chia này tiếp tục cho đến khi độ dài của đoạn trở nên nhỏ hơn độ chính xác gấp đôi, tức là cho đến khi bất đẳng thức (b-a) / 2

(Hiển thị hình ảnh kết quả của đồ thị qua máy chiếu trên màn hình, thảo luận xem nên chọn đoạn nào với độ chính xác 0,5 cho trước. Kết luận: Căn gần đúng của phương trình x = 0,75 được tìm thấy với độ chính xác 0,5.)

- Bây giờ chúng ta tìm nghiệm nguyên của phương trình cos (x) = x với độ chính xác 0,001. Hãy giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng Microsoft Excel.

5. Mô phỏng một trang tính cho nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp phân giác.

(Việc xây dựng bố cục trang tính được thực hiện chung với học sinh)

Chúng ta viết các giá trị ban đầu của ranh giới của đoạn a và b trong các ô A4 và B4, trong ô C4 chúng ta nhận được giữa của đoạn xác định, trong các ô D4 và E4 - các giá trị của hàm f (x ) ở cuối đoạn, trong ô F4, chúng ta sẽ xác định độ dài của đoạn [a; b], chúng tôi chỉ ra độ chính xác cần thiết trong ô H4. Trong ô G4, chúng ta viết công thức tìm nghiệm nguyên theo quy tắc: nếu độ dài của đoạn hiện tại tương ứng với độ chính xác cần thiết, thì chúng ta sẽ lấy giá trị của giữa đoạn này làm căn của phương trình. Chúng tôi đã biết rằng trong trường hợp của chúng tôi, không thể tìm thấy gốc trong một bước, vì vậy khi sao chép công thức từ ô G4, địa chỉ của ô H4 không thay đổi, chúng tôi sử dụng địa chỉ tuyệt đối.

Trong dòng thứ năm, chúng tôi viết các giá trị thu được sau bước đầu tiên chia đoạn đầu tiên làm đôi. Trong các ô A5 và B5, bạn cần nhập các công thức để xác định ranh giới của phân đoạn mới. Trong các ô C4, D4, E4, F4, G4, các công thức được sao chép lần lượt từ các ô C5, D5, E5, F5, G5.

Do đó, trong chế độ công thức, bảng tính sẽ trông như thế này:

6. Mô hình hóa dự án “Nghiệm gần đúng của phương trình” bằng ngôn ngữ hướng đối tượng Visual Basic 6.0.

(Việc xây dựng bố cục biểu mẫu và viết mã chương trình do học sinh tự thực hiện: cá nhân hoặc theo nhóm)

Hình 3

Mã chương trình cho nút Căn phương trình cos (x) = x:

Private Sub Command1_Click ()

Trong khi (b - a) / 2> = e

Nếu fa * fc< 0 Then b = c Else a = c

Text4 = (a + b) / 2

7. Thí nghiệm máy tính.

(Học sinh hoàn thành dự án trong bảng tính, ghi kết quả vào sổ tay. Sau đó, họ hoàn thành dự án trong Visual Basic, ghi kết quả vào sổ tay.)

Dự án trong bảng tính - Phụ lục 1.

8. Phân tích các kết quả thu được.

(Học sinh kết luận rằng kết quả giải phương trình cos (x) = x bằng các công cụ khác nhau là như nhau.)

9. Tổng kết bài học.

Trường trung học MBOU №6

Bài học tin học

Chủ đềvượt trội»

lớp: IX (giáo dục phổ thông)

giáo viên: E.N. Kulik

Chủ đề bài học: "Giải pháp gần đúng của phương trình bằng bộ xử lý bảng tínhvượt trội»

Loại bài học : bài học - củng cố những gì đã học

Loại bài học: bài học - luyện tập

Công nghệ : vấn đề - nghiên cứu

Thiết bị : lớp máy tính được trang bị công nghệ hiện đại và phần mềm

Mục tiêu bài học:

Hình thành các kỹ năng và khả năng, mặc trong điều kiện hiện đại tính cách khoa học chung và trí tuệ chung.

Sự phát triển của lý thuyết, suy nghĩ sáng tạo, cũng như hình thành tư duy hoạt động nhằm mục đích lựa chọn các giải pháp tốt nhất.

Dạy học sinh áp dụng hiện đại phần mềm trong việc giải quyết các vấn đề phi tiêu chuẩn.

Mục tiêu bài học:

Giáo dục - sự phát triển quan tâm nhận thức, giáo dục văn hóa thông tin.

Giáo dục - Học và củng cố các kỹ năng cơ bản về bảng tính.

Giáo dục - sự phát triển suy nghĩ logic, mở rộng tầm nhìn.

Kế hoạch bài học.

Khảo sát trực diện để kiểm tra mức độ chuẩn bị của học sinh đối với việc tiếp thu tài liệu mới.

Giải thích về vật liệu mới và làm việc độc lập học sinh trên máy tính.

Hoàn thành các nhiệm vụ cá nhân khác biệt (làm việc theo nhóm).

Bản in báo cáo hội thảo và chấm điểm.

Bài tập về nhà.

Sự phản xạ.

THỜI GIAN LỚP HỌC

Tôi. Sơ lược về an toàn trong lớp học máy tính.

Xin chào các bạn! Hôm nay chúng tôi đang tổ chức bài học thực tế trên bảng tính trong một lớp máy tính. Để đảm bảo vận hành an toàn, phải tuân thủ các quy tắc sau:

Bạn không thể độc lập, nếu không có sự cho phép của giáo viên, bật và tắt máy tính;

Không chạm vào mặt sau của máy tính và dây điện;

Không bấm các phím bằng bút mực hoặc bút chì;

Bạn không thể đi bộ xung quanh lớp, đứng dậy khỏi chỗ ngồi;

Trong trường hợp máy tính bị trục trặc hoặc phát hiện có mùi khét, hãy gọi cho giáo viên.

cuộc thăm dò trước.

Trong bài học lý thuyết trước, chúng ta đã nói về Tính năng bổ sung Các chương trình Excel.

Chúng ta hãy nhớ lại chương trình này để làm gì? ( Với thư viện biểu đồ phong phú, bạn có thể tạo biểu đồ và đồ thị các loại khác nhau: dạng hình tròn, biểu đồ thanh, đồ thị; bạn có thể cung cấp tiêu đề và giải thích, bạn có thể đặt màu và kiểu nở trong sơ đồ; in trên giấy, thay đổi kích thước và vị trí trên trang tính và chèn sơ đồ vào đúng vị trí trên trang tính)

Bạn hiểu như thế nào về thuật ngữ "đồ họa kinh doanh"? ( Thuật ngữ này thường được hiểu là các đồ thị và biểu đồ thể hiện trực quan động lực phát triển của một ngành sản xuất, ngành cụ thể và bất kỳ dữ liệu số nào khác)

Lệnh menu nào có thể được sử dụng để xây dựng biểu đồ và đồ thị trong Excel? (Sơ đồ và đồ thị có thể được tạo bằng cách sử dụng nút khởi chạy Trình hướng dẫn biểu đồ)

Cách đặt tính toán tự động trong bảng giá trị ô bằng công thức nhất định? (Để đặt tính toán tự động trong bảng giá trị theo một công thức nhất định, bạn phải nhập dấu “=”, sau đó kích hoạt ô mong muốn và nhập các dấu tương ứng của các phép tính số học)

Có thể kiểm soát đầu vào công thức không? (Bạn có thể kiểm soát đầu vào của công thức bằng cách sử dụng cửa sổ nhập công thức)

Làm cách nào để tôi có thể nhập công thức vào một số ô, tức là sao chép nó? (Để nhập công thức vào một số ô, bạn cần đặt con trỏ vào điểm đánh dấu ô phía dưới bên phải và kéo nó đến ô cuối cùng trong phạm vi mong muốn)

Có thể nói gì về loại con trỏ được đặt trên điểm đánh dấu ô phía dưới bên phải?

III. Trình bày tài liệu mới và công việc độc lập của học sinh trên máy tính.

Chủ đề bài học "Giải pháp gần đúng của phương trình bằng bộ xử lý bảng tínhvượt trội»

Từ khóa học toán học, chúng ta hãy nhớ ý nghĩa của việc giải một phương trình? ( Giải một phương trình có nghĩa là tìm nghiệm nguyên của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nguyên)

Bạn biết những phương pháp giải phương trình nào? ( Có hai cách để giải phương trình: phân tích và đồ thị)

Chúng ta hãy xem xét phương pháp đồ họa để tìm ra gốc rễ. Dựa vào phương pháp này, hãy cho biết nghiệm của phương trình là nghiệm gì? ( nghiệm của phương trình là giá trị của các giao điểm của đồ thị hàm số với trục x).

Nếu chúng ta giải một hệ phương trình, nghiệm của nó sẽ như thế nào? (Nghiệm của hệ phương trình sẽ là tọa độ các giao điểm của các đồ thị hàm số).

Trong bài học trước, chúng ta đã biết rằng với sự trợ giúp của Excel, bạn có thể xây dựng hầu hết mọi biểu đồ.

Hãy sử dụng kiến thức này để tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình bằng phương pháp đồ thị.

Để giải hệ phương trình này cần phải làm gì? ( Biến đổi hệ thống này vào cái đã cho)

Chúng tôi nhận được: x 2 \ u003d 2x + 9

Để đánh giá các giải pháp, chúng tôi sử dụng một sơ đồ mà chúng tôi hiển thị đồ thị của cả hai hàm trong cùng một hệ tọa độ.

Hãy tạo một bảng trước.

Dòng đầu tiên là dòng tiêu đề

Khi điền vào cột A: trong ô A2 được nhập giá trị ban đầuđối số x. Các bạn, gợi ý giá trị ban đầu của x (___).

Và tại sao chúng ta có thể lấy giá trị ban đầu bằng ____? ( Vì miền của cả hai hàm đều là số thực).

Để tự động điền toàn bộ cột, bạn cần nhập công thức vào ô A3:

A2 + 1, trong đó +1 là bước thay đổi đối số và sao chép nó vào ô A23.

Khi điền vào cột B, trong ô B2, chúng tôi nhập công thức A2 * A2, công thức này chúng tôi cũng sao chép vào ô B23.

Khi điền vào cột C trong ô C2, chúng ta nhập công thức 2 * A2 + 9 và cũng được sao chép sang C23.

Đánh dấu bảng kết quả.

Trên bảng tiêu chuẩn, nhấp vào nút "Trình hướng dẫn biểu đồ", cửa sổ "Trình hướng dẫn biểu đồ" sẽ mở ra, nhấp vào loại "Phân tán", sau đó chọn loại "Lô phân tán có giá trị được kết nối bởi đường trơn" và xây dựng một biểu đồ đánh giá quyết định.

Chúng ta thấy gì trong sơ đồ? ( Sơ đồ cho thấy rằng cả hai đồ thị đều có hai giao điểm)

Có thể nói gì về các giao điểm này? Tọa độ các giao điểm là nghiệm của hệ)

Theo biểu đồ, bạn có thể xác định gần đúng tọa độ

Chúng ta hãy nhớ lại một lần nữa cách vẽ đồ thị để tìm nghiệm của phương trình?

(Điều này có thể được thực hiện bằng cách vẽ hàmy= x^3-2 x^2+4 x-12 và xác định tọa độ x của các giao điểm với trục x.

Hoặc tưởng tượng phương trình đã cho nhưx^3=2 x^2-4 x+12 và vẽ hai đồ thịy= x^3 y=2 x^2-4 x+12 và xác định hoành độ của các giao điểm của đồ thị hàm số và giá trị của các hoành độ sẽ là nghiệm của phương trình)

Chúng ta đã xem xét việc xây dựng hai đồ thị. Hãy tìm lời giải cho phương trình này bằng cách xác định tọa độ x của các giao điểm của nó với trục x.

Chúng tôi bắt đầu bằng cách điền vào bảng.

Nhập văn bản sau vào thanh tiêu đề:

X y = x ^ 3-2x ^ 2 + 4x-12

Tôi đề xuất lấy giá trị ban đầu của đối số bằng 0, chúng ta nhập nó vào ô A2.

Trong ô A3, chúng tôi nhập công thức \ u003d A2 + 0,15 và sao chép vào ô A20.

Trong ô B2, chúng tôi nhập công thức = A2 ^ 3-2 * A2 ^ 2 + 4 * A2-12 và cũng sao chép vào B20.

Làm thế nào để chúng ta tìm thấy một nghiệm cho một phương trình? ( xác định tọa độ x của các giao điểm của đồ thị với trục OX)

Có bao nhiêu điểm như vậy? (một)

Abscissa của nó là gì (x = 2,4)

Thực hiện các nhiệm vụ cá nhân khác biệt (làm việc theo nhóm)

Do đó, chúng ta thấy rằng bằng cách sử dụng chương trình Excel, bạn có thể giải hầu hết các phương trình bằng đồ thị, điều mà chúng ta sẽ thực hiện ngay bây giờ.

Mỗi nhóm sẽ nhận được nhiệm vụ cá nhân. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, nhóm nên in ra các bảng và đồ thị của nhiệm vụ của mình.

Có các chuyên gia tư vấn trong mỗi nhóm, và tôi sẽ xem xét ý kiến của anh ấy khi chấm điểm. Bạn có 10 phút để làm việc.

2x + y = -3 2y = 34-x ^ 2 x ^ 2 + y ^ 2 = 25

2x ^ 2 = -22 + 5x + y y = x ^ 2 + 11 3y = 4x

không có nghiệm (-2; 15), (2; 15) (3; 4), (-3; -4)

(bài phát biểu của cố vấn)

V. Bài tập về nhà: Phân tích và kiểm tra bài tập, lập báo cáo vào sổ tay.

VI.Sự phản xạ.

Hôm nay trong lớp chúng ta đã xem ...

Sử dụng Excel, bạn có thể tạo ...

Trước hướng dẫn này, tôi không biết ...

Tôi đã nổi điên với chính mình trong lớp vì ...

Tôi có thể khen ngợi ngày hôm nay…. , để làm gì...

Hôm nay trên lớp tôi đã học ...

Trong suốt khóa học, tôi đã ...

Chủ đề : gần đúng giải pháp đồ họa các phương trình.

Mục đích: thúc đẩy phát triển kỹ năng giải phương trình bằng đồ thị bằng bảng tính.

Trong các lớp học:

Thời điểm tổ chức (2 phút)
Cập nhật kiến thức (8 phút)

2) Xác định bảng tính.

địa chỉ ô.
Nhập công thức
Các chức năng logic

Học tài liệu mới (10 phút)

Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình x 3 - sin x \ u003d 0 trong bảng tính bằng đồ thị. Chúng tôi giữ các giá trị của đối số - 1,4 đến 1,4 theo gia số 0, 2

Công việc thực tế Số 51 (20 phút)

2) Sử dụng bảng tính, giải phương trình sin (x) = 1 / x bằng đồ thị trên một đoạn với độ chính xác 0,1

Bài tập về nhà (2 phút)

Lập phương trình để giải bằng đồ thị

Tóm tắt bài học (3 phút)

Chủ đề:

Trang thiết bị: máy tính lớp, máy chiếu
Trong các lớp học:

1) Ứng dụng của bảng tính

địa chỉ ô.
Các kiểu dữ liệu cơ bản của bảng tính.
Văn bản trong bảng tính.
Nhập công thức
Tham chiếu tương đối, tuyệt đối và hỗn hợp.
Bạn biết những loại chức năng tích hợp nào?
Cho ví dụ về các hàm toán học.
Các chức năng logic

3. Học tài liệu mới (10 phút)

Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình x 3 - cos x \ u003d 0 trong bảng tính bằng phương pháp chọn tham số. Chúng tôi giữ các giá trị của đối số - 1,4 đến 1,4 theo gia số 0, 2
4. Công việc thực tế số 51 (20 phút)

2) Sử dụng bảng tính, giải phương trình cos (x) = 1 / (x + 1) trên đoạn thẳng với độ chính xác 1 bằng đồ thị và sử dụng phương pháp chọn tham số.
5. Bài tập về nhà (2 phút)

Lập phương trình để giải bằng đồ thị và bằng cách chọn một tham số.

Tóm tắt bài học (3 phút)

Chủ đề: Nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp chọn tham số.

Mục đích: thúc đẩy phát triển kỹ năng giải phương trình bằng phương pháp chọn tham số.

Trang thiết bị: máy tính lớp, máy chiếu
Trong các lớp học:

1. Thời điểm tổ chức (2 phút)

2. Thực tế hóa kiến thức (8 phút)

1) Ứng dụng của bảng tính

2) Xác định bảng tính.

địa chỉ ô.
Các kiểu dữ liệu cơ bản của bảng tính.
Văn bản trong bảng tính.
Nhập công thức
Tham chiếu tương đối, tuyệt đối và hỗn hợp.
Bạn biết những loại chức năng tích hợp nào?
Cho ví dụ về các hàm toán học.
Các chức năng logic

3. Công việc thực tế số 51 (30 phút)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 \ u003d cos x trong bảng tính bằng phương pháp chọn tham số. Chúng tôi giữ các giá trị của đối số - 3 đến 3 với gia số 0, 2

Giải phương trình sinx - 2x = 0 bằng phương pháp phù hợp. Giá trị đối số - -3 đến 3 trong các bước 0,5

3) Sử dụng bảng tính để giải phương trình sin (x) = 1 /

trên một phân đoạn với độ chính xác bằng 1 bằng đồ thị và sử dụng phương pháp chọn tham số.
5. Bài tập về nhà (2 phút)

Ví dụ:

Hãy đặt nhiệm vụ tìm có giá trị gốc của phương trình này.

Và chắc chắn là có! - từ các bài báo về đồ thị hàm số và phương trình toán học cao hơn bạn biết rất rõ lịch trình là gì hàm đa thức mức độ kỳ quặc cắt trục ít nhất một lần, vì vậy phương trình của chúng ta có ít nhất một gốc thực. Một. Hoặc hai. Hoặc ba.

Đầu tiên, nó yêu cầu kiểm tra xem hợp lý rễ. Dựa theo định lý tương ứng, chỉ các số 1, -1, 3, -3 mới có thể khẳng định “danh hiệu” này và bằng cách thay thế trực tiếp, thật dễ dàng để đảm bảo rằng không có số nào trong số đó “phù hợp”. Do đó, các giá trị không hợp lý vẫn còn. Gốc không hợp lý(gốc) của một đa thức bậc 3 có thể được tìm thấy một cách chính xác (thể hiện dưới dạng cấp tiến) thông qua cái gọi là Công thức của Cardano , nhưng phương pháp này khá rườm rà. Và đối với đa thức của bậc 5 và độ lớn hơn chung phương pháp phân tích hoàn toàn không tồn tại, và ngoài ra, trong thực tế, có nhiều phương trình khác trong đó giá trị chính xác không thể lấy được các gốc thực (mặc dù chúng tồn tại).

Tuy nhiên, trong ứng dụng (ví dụ: kỹ thuật) nhiệm vụ, việc sử dụng các giá trị được tính toán gần đúng sẽ được chấp nhận với một độ chính xác nhất định.

Hãy đặt độ chính xác cho ví dụ của chúng tôi. Nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm SUCH một giá trị gần đúng của gốc (rễ) trong đó chúng tôi đảm bảo sai, không quá 0,001 (một phần nghìn) .

Rõ ràng là giải pháp không thể được bắt đầu "một cách ngẫu nhiên" và do đó, ở bước đầu tiên, rễ tách rời. Để tách một gốc có nghĩa là tìm một đoạn đủ nhỏ (thường là đơn) mà gốc này thuộc về và không có rễ nào khác trên đó. Đơn giản và dễ tiếp cận nhất phương pháp tách gốc đồ họa. Nào cùng xây từng điểmđồ thị hàm số :

Theo hình vẽ, phương trình, rõ ràng, có một căn thực duy nhất, thuộc về phân đoạn. Vào cuối khoảng thời gian này, hàm nhận các giá trị của các dấu hiệu khác nhau: và từ thực tế tính liên tục của hàm trên khoảng một cách cơ bản để tinh chỉnh gốc có thể nhìn thấy ngay lập tức: chúng tôi chia khoảng thời gian làm đôi và chọn đoạn ở cuối mà hàm thực hiện các dấu hiệu khác nhau. TẠI trường hợp nàyđây rõ ràng là một phân khúc. Chúng tôi chia khoảng thời gian kết quả làm đôi và chọn lại phân đoạn "dấu hiệu khác". Và như thế. Các hành động tuần tự như vậy được gọi là sự lặp lại. Trong trường hợp này, chúng nên được thực hiện cho đến khi độ dài của đoạn trở nên nhỏ hơn hai lần độ chính xác của các phép tính và đối với giá trị gần đúng của căn, nên chọn phần giữa của đoạn cuối cùng “có dấu khác”.

Lược đồ được xem xét đã nhận được một tên tự nhiên - phương pháp phân chia một nửa. Và nhược điểm của phương pháp này là tốc độ. Chậm rãi. Quá chậm. Quá nhiều lần lặp lại sẽ phải được thực hiện trước khi chúng tôi đạt được độ chính xác cần thiết. Với sự phát triển của công nghệ máy tính, tất nhiên đây không phải là vấn đề, mà toán học là cái để làm, để tìm kiếm nhiều nhất những cách hợp lý các giải pháp.

Và một trong những những cách hiệu quả tìm một giá trị gần đúng của gốc là chính xác phương pháp tiếp tuyến. Ngắn gọn bản chất hình học như sau: đầu tiên, sử dụng một tiêu chí đặc biệt (thêm về điều đó sau) một trong các đầu của đoạn được chọn. Kết thúc này được gọi là sơ đẳng xấp xỉ của gốc, trong ví dụ của chúng tôi:. Bây giờ chúng ta vẽ một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm với abscissa (chấm xanh và ốp tím):

Tiếp tuyến này đã vượt qua trục x tại điểm màu vàng, và lưu ý rằng trong bước đầu tiên, chúng ta đã gần như “chạm tận gốc”! Điều này sẽ Đầu tiên xấp xỉ gốc. Tiếp theo, chúng tôi hạ thấp màu vàng vuông góc với đồ thị của hàm và "nhấn" vào chấm màu cam. Chúng ta lại vẽ một tiếp tuyến qua điểm màu cam, tiếp tuyến sẽ đi qua trục gần gốc hơn! Và như thế. Có thể hiểu đơn giản rằng, sử dụng phương pháp tiếp tuyến, chúng ta đang tiếp cận mục tiêu theo cách nhảy vọt, và sẽ chỉ mất một vài lần lặp để đạt được độ chính xác.

Vì tiếp tuyến được xác định theo nghĩa của đạo hàm hàm, thì bài học này đã kết thúc trong phần "Phái sinh" như một trong những ứng dụng của nó. Và không đi vào chi tiết chứng minh lý thuyết của phương pháp, Tôi sẽ xem xét khía cạnh kỹ thuật của vấn đề. Trong thực tế, vấn đề được mô tả ở trên xảy ra gần đúng trong công thức sau:

ví dụ 1

Sử dụng phương pháp đồ thị, hãy tìm khoảng thời gian mà nghiệm của phương trình nằm trên đó. Sử dụng phương pháp Newton, nhận giá trị gần đúng của căn với độ chính xác 0,001

Đây là "phiên bản tiết kiệm" của nhiệm vụ, trong đó sự hiện diện của một gốc thực duy nhất được nêu ngay lập tức.

Dung dịch: trên bước đầu tiên tách gốc bằng đồ thị. Điều này có thể được thực hiện bằng cách lập kế hoạch (xem hình minh họa bên trên), nhưng cách tiếp cận này có một số nhược điểm. Thứ nhất, thực tế không phải là lịch trình đơn giản (chúng tôi không biết trước) và phần mềm - còn lâu mới có. Và thứ hai (hệ quả từ ngày 1), với khả năng cao bạn sẽ nhận được thậm chí không phải là một bản vẽ giản đồ, mà là một bản vẽ thô, tất nhiên là không tốt.

Chà, tại sao chúng ta nên những khó khăn không cần thiết? Tưởng tượng phương trình trong biểu mẫu, CẨN THẬN xây dựng đồ thị và đánh dấu gốc trong bản vẽ (Tọa độ "x" của giao điểm của các đồ thị):

Lợi thế rõ ràng cách này là các đồ thị của các hàm này được xây dựng bằng tay chính xác hơn và nhanh hơn nhiều. Nhân tiện, lưu ý rằng dài vượt qua parabol khối tại một điểm duy nhất, có nghĩa là phương trình được đề xuất thực sự chỉ có một căn thực. Tin tưởng nhưng xác minh ;-)

Vì vậy, "khách hàng" của chúng tôi thuộc phân khúc và "bằng mắt thường" xấp xỉ bằng 0,65-0,7.

Ở bước thứ hai cần phải chọn ước tính ban đầu nguồn gốc. Thông thường đây là một trong những phần cuối của phân đoạn. Giá trị gần đúng ban đầu phải thỏa mãn điều kiện sau:

Hãy tìm Đầu tiên và thứ hai hàm dẫn xuất :

và kiểm tra phần cuối bên trái của phân đoạn:

Do đó, số không "không phù hợp."

Kiểm tra phần cuối bên phải của phân đoạn:

- mọi thứ đều ổn! Như một ước lượng ban đầu, chúng tôi chọn.

Ở bước thứ ba con đường tới gốc rễ đang chờ đợi chúng ta. Mỗi giá trị gần đúng tiếp theo của gốc được tính dựa trên dữ liệu trước đó bằng cách sử dụng lặp lại công thức:

Quá trình kết thúc khi điều kiện được đáp ứng, đó là độ chính xác được xác định trước của các phép tính. Kết quả là, giá trị gần đúng “thứ n” được coi là giá trị gần đúng của gốc:.

Các phép tính quy trình tiếp theo là:

(làm tròn thường được thực hiện đến 5-6 chữ số thập phân)

Vì giá trị thu được lớn hơn, nên chúng tôi tiến hành ước lượng gần đúng đầu tiên của căn:

Chúng tôi tính toán:

, vì vậy cần phải đi đến ước lượng gần đúng thứ 2:

Hãy chuyển sang vòng tiếp theo:

, do đó, các lần lặp đã kết thúc và giá trị gần đúng thứ 2 nên được coi là giá trị gần đúng của căn, theo độ chính xác đã cho, phải được làm tròn đến một phần nghìn:

Trong thực tế, việc nhập kết quả của các phép tính vào một bảng rất tiện lợi, đồng thời để rút ngắn phần nào việc ghi, phân số thường được ký hiệu là:

Bản thân các tính toán, nếu có thể, được thực hiện tốt nhất trong Excel - nó thuận tiện và nhanh hơn nhiều:

Câu trả lời: chính xác đến 0,001

Tôi xin nhắc bạn rằng cụm từ này ngụ ý thực tế là chúng tôi đã mắc sai lầm trong quá trình đánh giá giá trị đích thực gốc không quá 0,001. Những người nghi ngờ có thể chọn một máy tính vi mô và một lần nữa thay thế giá trị gần đúng của 0,674 vào bên trái của phương trình.

Và bây giờ chúng ta hãy "quét" cột bên phải của bảng từ trên xuống dưới và lưu ý rằng các giá trị đang giảm dần về giá trị tuyệt đối. Hiệu ứng này được gọi là sự hội tụ phương pháp cho phép chúng tôi tính toán gốc với độ chính xác cao tùy ý. Nhưng sự hội tụ không phải lúc nào cũng diễn ra - nó được cung cấp một số điều kiện mà tôi đã bỏ lỡ. Đặc biệt, phân đoạn mà gốc được cách ly phải được đủ nhỏ- nếu không các giá trị sẽ thay đổi ngẫu nhiên và chúng tôi sẽ không thể hoàn thành thuật toán.

Làm gì trong những trường hợp như vậy? Kiểm tra xem các điều kiện được chỉ định có được đáp ứng hay không (xem liên kết ở trên) và nếu cần, hãy giảm phân đoạn. Vì vậy, nói một cách tương đối, nếu trong ví dụ đã phân tích, khoảng thời gian không phù hợp với chúng ta, thì chúng ta nên xem xét, ví dụ, phân đoạn. Trong thực tế, tôi đã gặp những trường hợp như vậy và điều này thực sự hữu ích! Điều tương tự phải được thực hiện nếu cả hai đầu của đoạn "rộng" không thỏa mãn điều kiện (nghĩa là không ai trong số chúng phù hợp với vai trò của ước lượng ban đầu).

Nhưng thông thường mọi thứ hoạt động giống như kim đồng hồ, mặc dù không phải là không có cạm bẫy:

Ví dụ 2

Xác định bằng đồ thị số nghiệm thực của phương trình, tách các nghiệm nguyên này và sử dụng phương pháp Newton, tìm các giá trị gần đúng của các nghiệm nguyên với độ chính xác

Điều kiện của vấn đề trở nên khó khăn hơn đáng kể: thứ nhất, nó chứa một gợi ý dày đặc rằng phương trình có nhiều hơn một căn, thứ hai, yêu cầu về độ chính xác đã tăng lên, và thứ ba, với đồ thị của hàm khó đối phó hơn nhiều.

Và do đó dung dịch chúng tôi bắt đầu với một mẹo tiết kiệm: chúng tôi biểu diễn phương trình dưới dạng và vẽ đồ thị:

Từ hình vẽ, phương trình của chúng ta có hai nghiệm nguyên:

Như bạn hiểu, thuật toán cần được "quay" hai lần. Nhưng đây vẫn là trường hợp khó nhất, nó xảy ra là bạn phải điều tra 3-4 gốc.

1) Sử dụng tiêu chí tìm ra điểm cuối của đoạn để chọn làm giá trị gần đúng ban đầu của căn bậc nhất. Tìm các hàm đạo hàm :

Kiểm tra phần cuối bên trái của phân đoạn:

- đã đưa ra!

Như vậy, là gần đúng ban đầu.

Chúng tôi sẽ tinh chỉnh gốc theo phương pháp của Newton, sử dụng công thức lặp lại:
- cho đến phần modulo sẽ không trở nên nhỏ hơn độ chính xác cần thiết:

Và ở đây từ "mô-đun" có tầm quan trọng không ảo tưởng, vì các giá trị là âm:

Vì lý do tương tự, cần đặc biệt chú ý đến từng ước lượng tiếp theo:

Mặc dù yêu cầu khá cao về độ chính xác, quá trình lại kết thúc ở mức xấp xỉ thứ 2:, do đó:

Chính xác đến 0,0001

2) Tìm giá trị gần đúng của căn.

Chúng tôi kiểm tra "chí" ở cuối bên trái của phân đoạn:

, do đó, nó không phù hợp như một giá trị gần đúng ban đầu.