Hệ không thuần nhất theo phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý. ODE

Xem xét một tuyến tính không đồng nhất phương trình vi phân Với hệ số không đổiđơn hàng thứ n tùy ý:
(1) .
Phương pháp biến thiên không đổi, mà chúng ta đã xem xét cho phương trình bậc nhất, cũng có thể áp dụng cho các phương trình bậc cao.

Giải pháp được thực hiện trong hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu, chúng ta loại bỏ vế phải và giải phương trình thuần nhất. Kết quả là, chúng tôi nhận được một giải pháp chứa n hằng số tùy ý. Trong bước thứ hai, chúng tôi thay đổi các hằng số. Tức là ta coi các hằng số này là hàm của biến độc lập x và tìm dạng của các hàm này.

Mặc dù chúng tôi đang xem xét các phương trình với hệ số không đổi ở đây, nhưng phương pháp Lagrange cũng có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình không thuần nhất tuyến tính nào. Tuy nhiên, đối với điều này, hệ thống cơ bản của các giải pháp phải được biết phương trình thuần nhất.

Bước 1. Nghiệm của phương trình thuần nhất

Như trong trường hợp của phương trình bậc nhất, trước tiên chúng ta tìm quyết định chung phương trình thuần nhất, cân bằng phần không thuần nhất bên phải bằng 0:
(2) .
Nghiệm tổng quát của một phương trình có dạng:
(3) .
Đây là các hằng số tùy ý; - n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2), tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình này.

Bước 2. Biến thể của hằng số - Thay thế hằng số bằng hàm

Trong bước thứ hai, chúng ta sẽ xử lý sự biến đổi của các hằng số. Nói cách khác, chúng ta sẽ thay thế các hằng số bằng các hàm của biến độc lập x:
.
Tức là, chúng ta đang tìm một nghiệm cho phương trình ban đầu (1) ở dạng sau:
(4) .

Nếu chúng ta thay (4) vào (1), chúng ta nhận được một phương trình vi phân cho n hàm. Trong trường hợp này, chúng ta có thể kết nối các hàm này với các phương trình bổ sung. Sau đó, bạn nhận được n phương trình, từ đó bạn có thể xác định n hàm. Các phương trình bổ sung có thể được lập những cách khác. Nhưng chúng ta sẽ làm theo cách mà giải pháp có dạng đơn giản nhất. Để làm điều này, khi phân biệt, bạn cần phải bằng không các số hạng có chứa đạo hàm của các hàm. Hãy chứng minh điều này.

Để thay nghiệm được đề xuất (4) vào phương trình ban đầu (1), chúng ta cần tìm các đạo hàm của n bậc đầu tiên của hàm được viết dưới dạng (4). Phân biệt (4) bằng cách áp dụng quy tắc phân biệt tổng và hoạt động:
.
Hãy nhóm các thành viên lại. Đầu tiên, chúng tôi viết ra các thuật ngữ với phái sinh và sau đó là các thuật ngữ với phái sinh của:

.
Chúng tôi áp đặt điều kiện đầu tiên cho các chức năng:
(5.1) .
Khi đó, biểu thức cho đạo hàm bậc nhất đối với sẽ có dạng đơn giản hơn:
(6.1) .

Theo cách tương tự, chúng ta tìm đạo hàm cấp hai:

.
Chúng tôi áp đặt điều kiện thứ hai cho các hàm:
(5.2) .
sau đó
(6.2) .
Và như thế. Trong các điều kiện bổ sung, chúng ta cân bằng các số hạng chứa các đạo hàm của các hàm bằng không.

Do đó, nếu chúng ta chọn các phương trình bổ sung sau cho các hàm:
(5.k) ,
thì các dẫn xuất đầu tiên liên quan đến sẽ có dạng đơn giản nhất:
(6.k) .
Nơi đây .

Chúng tôi tìm đạo hàm thứ n:
(6.n)
.

Chúng tôi thay thế vào phương trình ban đầu (1):
(1) ;






.
Chúng tôi tính đến rằng tất cả các hàm thỏa mãn phương trình (2):
.
Khi đó tổng các số hạng có chứa bằng không. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
(7) .

Kết quả là, chúng tôi nhận được một hệ thống phương trình tuyến tính cho các đạo hàm:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ') .

Giải hệ này, ta tìm được biểu thức cho đạo hàm là hàm của x. Tích hợp, chúng tôi nhận được:
.
Đây là các hằng số không còn phụ thuộc vào x. Thay vào (4), ta được nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu.

Lưu ý rằng chúng ta chưa bao giờ sử dụng thực tế rằng các hệ số a i là hằng số để xác định giá trị của các đạo hàm. Đó là lý do tại sao phương pháp Lagrange có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình không thuần nhất tuyến tính nào, nếu hệ thống nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (2) đã biết.

Các ví dụ

Giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange).

Phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý được sử dụng để giải các phương trình vi phân không thuần nhất. Bài học nàyđược thiết kế cho những sinh viên đã ít nhiều đã thông thạo chủ đề này. Nếu bạn mới bắt đầu làm quen với điều khiển từ xa, tức là Nếu bạn là một ấm trà, tôi khuyên bạn nên bắt đầu với bài học đầu tiên: Phương trình vi phân bậc nhất. Ví dụ giải pháp. Và nếu bạn đã hoàn thành, vui lòng loại bỏ định kiến ​​có thể có rằng phương pháp này là khó. Vì anh ấy đơn giản.

Phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý được sử dụng trong những trường hợp nào?

1) Phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý có thể được sử dụng để giải DE không đồng nhất tuyến tính của bậc 1. Vì phương trình là bậc nhất nên hằng số (hằng số) cũng là một.

2) Phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý được sử dụng để giải một số phương trình không thuần nhất tuyến tính của bậc hai. Ở đây, hai hằng số (hằng số) khác nhau.

Thật hợp lý khi cho rằng bài học sẽ bao gồm hai đoạn văn ... Vì vậy, tôi đã viết đề xuất này và trong khoảng 10 phút, tôi đau đớn suy nghĩ về những thứ tào lao thông minh nào khác để thêm vào để chuyển đổi suôn sẻ sang ví dụ thực tế. Nhưng không hiểu sao sau những ngày nghỉ lại không có suy nghĩ gì nữa, mặc dù có vẻ như tôi đã không lạm dụng bất cứ thứ gì. Vì vậy, chúng ta hãy chuyển ngay sang đoạn đầu tiên.

Phương pháp biến đổi hằng số tùy ý
cho một phương trình bậc nhất không thuần nhất tuyến tính

Trước khi xem xét phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý, bạn nên làm quen với bài viết Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất. Trong bài học đó, chúng tôi đã thực hành cách đầu tiên để giải quyết DE không đồng nhất của bậc 1. Giải pháp đầu tiên này, tôi nhắc bạn, được gọi là phương pháp thay thế hoặc Phương pháp Bernoulli(không nên nhầm lẫn với Phương trình Bernoulli!!!)

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét cách thứ hai để giải quyết- phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý. Tôi sẽ chỉ đưa ra ba ví dụ, và tôi sẽ lấy chúng từ bài học trên. Tại sao quá ít? Vì trên thực tế lời giải ở cách thứ hai sẽ rất giống với lời giải ở cách thứ nhất. Ngoài ra, theo quan sát của tôi, phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý ít được sử dụng hơn phương pháp thay thế.

ví dụ 1

(Khác với ví dụ số 2 của bài học DE không đồng nhất tuyến tính của bậc 1)

Dung dịch: Phương trình này là không thuần nhất tuyến tính và có dạng quen thuộc:

Bước đầu tiên là giải một phương trình đơn giản hơn:
Đó là, chúng ta đặt lại phía bên phải một cách ngu ngốc - thay vào đó chúng ta viết số 0.
Phương trình tôi sẽ gọi phương trình phụ trợ.

TẠI ví dụ này giải phương trình phụ sau:

Trước chúng tôi phương trình phân tách, giải pháp mà (tôi hy vọng) không còn khó khăn đối với bạn:

Theo cách này:
là nghiệm tổng quát của phương trình phụ.

Ở bước thứ hai thay thế một hằng số của một số nhưng hàm không xác định phụ thuộc vào "x":

Do đó, tên của phương pháp - chúng tôi thay đổi hằng số. Ngoài ra, hằng số có thể là một số hàm mà chúng ta phải tìm bây giờ.

TẠI nguyên bản phương trình không thuần nhất Hãy thay thế:

Thay thế và vào phương trình :

thời điểm kiểm soát - hai điều khoản ở bên trái hủy bỏ. Nếu điều này không xảy ra, bạn nên tìm lỗi ở trên.

Kết quả của việc thay thế, một phương trình với các biến có thể phân tách được sẽ thu được. Tách các biến và tích hợp.

Thật là một điều may mắn, các số mũ cũng đang thu nhỏ lại:

Chúng tôi thêm một hằng số "bình thường" vào hàm tìm thấy:

Trên Giai đoạn cuối cùng hãy nhớ sự thay thế của chúng tôi:

Chức năng vừa được tìm thấy!

Vì vậy, giải pháp chung là:

Câu trả lời: quyết định chung:

Nếu bạn in ra hai nghiệm, bạn sẽ dễ dàng nhận thấy rằng trong cả hai trường hợp, chúng ta đều tìm thấy các tích phân giống nhau. Sự khác biệt duy nhất là trong thuật toán giải pháp.

Bây giờ một cái gì đó phức tạp hơn, tôi cũng sẽ bình luận về ví dụ thứ hai:

Ví dụ 2

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
(Khác với ví dụ số 8 của bài học DE không đồng nhất tuyến tính của bậc 1)

Dung dịch: Ta đưa phương trình về dạng :

Đặt vế phải bằng 0 và giải phương trình phụ:

Nghiệm tổng quát của phương trình phụ:

Trong phương trình không thuần nhất, chúng ta sẽ thực hiện thay thế:

Theo quy luật khác biệt hóa sản phẩm:

Thay thế và vào phương trình không thuần nhất ban đầu:

Hai điều khoản ở bên trái hủy bỏ, có nghĩa là chúng tôi đang đúng cách:

Chúng tôi tích hợp theo từng bộ phận. Một chữ cái hấp dẫn từ công thức tích hợp theo các phần đã tham gia vào giải pháp, vì vậy, chúng tôi sử dụng, ví dụ: các chữ cái "a" và "be":

Bây giờ chúng ta hãy xem xét sự thay thế:

Câu trả lời: quyết định chung:

Và một ví dụ cho giải pháp độc lập:

Ví dụ 3

Tìm một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân tương ứng với điều kiện ban đầu đã cho.

,
(Diffur từ Bài 4 Ví dụ DE không đồng nhất tuyến tính của bậc 1)
Dung dịch:
DE này là tuyến tính không đồng nhất. Chúng tôi sử dụng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý. Hãy giải phương trình phụ:

Chúng tôi tách các biến và tích hợp:

Quyết định chung:
Trong phương trình không thuần nhất, chúng ta sẽ thực hiện thay thế:

Hãy thực hiện thay thế:

Vì vậy, giải pháp chung là:

Tìm một giải pháp cụ thể tương ứng với điều kiện ban đầu đã cho:

Câu trả lời: giải pháp riêng:

Lời giải ở cuối bài học có thể dùng như một mô hình gần đúng để hoàn thành bài tập.

Phương pháp biến đổi các hằng số tùy ý
cho một phương trình bậc hai không thuần nhất tuyến tính
với hệ số không đổi

Người ta thường nghe ý kiến ​​rằng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý cho một phương trình bậc hai không phải là một điều dễ dàng. Nhưng tôi đoán như sau: rất có thể, phương pháp này có vẻ khó đối với nhiều người, vì nó không quá phổ biến. Nhưng trên thực tế, không có khó khăn cụ thể nào - quá trình quyết định là rõ ràng, minh bạch và dễ hiểu. Và xinh đẹp.

Để nắm vững phương pháp, điều mong muốn là có thể giải quyết được phương trình không đồng nhất phương pháp bậc hai để chọn một giải pháp cụ thể theo hình thức của vế phải. Phương pháp nàyđược thảo luận chi tiết trong bài báo. DE không đồng nhất của bậc 2. Chúng ta nhớ lại rằng một phương trình không thuần nhất tuyến tính bậc hai với các hệ số không đổi có dạng:

Phương pháp chọn, được xem xét trong bài học trên, chỉ hoạt động trong một số trường hợp hạn chế, khi đa thức, số mũ, sin, côsin nằm ở phía bên phải. Nhưng phải làm gì khi ở bên phải, ví dụ, một phân số, logarit, tiếp tuyến? Trong tình huống như vậy, phương pháp biến đổi của hằng số là giải pháp.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai

Dung dịch: Phía bên phải phương trình đã cho có một phân số, vì vậy chúng ta có thể nói ngay rằng phương pháp chọn một giải pháp cụ thể không hoạt động. Chúng tôi sử dụng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý.

Không có gì biểu hiện cho một cơn giông bão, sự khởi đầu của giải pháp là khá bình thường:

Hãy tìm quyết định chung liên quan, thích hợp đồng nhất phương trình:

Chúng tôi soạn và giải phương trình đặc trưng:


- thu được các gốc phức liên hợp nên giải pháp chung là:

Hãy chú ý đến bản ghi của giải pháp chung - nếu có dấu ngoặc thì hãy mở chúng ra.

Bây giờ chúng ta thực hiện gần như thủ thuật tương tự như đối với phương trình bậc nhất: chúng ta thay đổi các hằng số, thay thế chúng bằng các hàm chưa biết. Đó là, giải pháp chung của không đồng nhất Chúng ta sẽ tìm các phương trình ở dạng:

Ở đâu - nhưng các chức năng chưa biết.

Nó trông giống như một bãi rác, nhưng bây giờ chúng ta sẽ phân loại mọi thứ.

Đạo hàm của hàm đóng vai trò là ẩn số. Mục tiêu của chúng ta là tìm các đạo hàm, và các đạo hàm tìm được phải thỏa mãn cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống.

"Trò chơi" bắt nguồn từ đâu? Con cò mang chúng đến. Chúng tôi xem xét giải pháp chung đã thu được trước đó và viết:

Chúng ta hãy tìm các dẫn xuất:

Đối phó với mặt trái. Có gì ở bên phải?

- đây là phần bên phải phương trình ban đầu, trong trường hợp này:

Hệ số là hệ số ở đạo hàm thứ hai:

Trong thực tế, hầu như luôn luôn, và ví dụ của chúng tôi cũng không ngoại lệ.

Mọi thứ đã rõ ràng, bây giờ bạn có thể tạo một hệ thống:

Hệ thống thường được giải quyết theo công thức của Cramer sử dụng thuật toán tiêu chuẩn. Sự khác biệt duy nhất là thay vì các con số, chúng tôi có các hàm.

Tìm yếu tố quyết định chính của hệ thống:

Nếu bạn quên cách xác định "hai bằng hai" được tiết lộ, hãy tham khảo bài học Làm thế nào để tính toán định thức? Link dẫn đến hội đồng xấu hổ =)

Vì vậy:, vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất.

Chúng tôi tìm đạo hàm:

Nhưng đó không phải là tất cả, cho đến nay chúng ta mới chỉ tìm ra đạo hàm.
Bản thân chức năng được khôi phục bằng cách tích hợp:

Hãy xem xét chức năng thứ hai:

Ở đây chúng tôi thêm một hằng số "bình thường"

Ở giai đoạn cuối cùng của giải pháp, chúng tôi nhớ lại chúng tôi đã tìm kiếm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất ở dạng nào? Trong đó:

Các chức năng bắt buộc chỉ tìm thấy!

Nó vẫn còn để thực hiện thay thế và viết ra câu trả lời:

Câu trả lời: quyết định chung:

Về nguyên tắc, câu trả lời có thể mở ngoặc.

Việc kiểm tra toàn bộ câu trả lời được thực hiện theo sơ đồ chuẩn đã được xem xét trong bài học. DE không đồng nhất của bậc 2. Nhưng việc xác minh sẽ không dễ dàng, vì chúng ta phải tìm các dẫn xuất khá nặng và thực hiện thay thế rườm rà. Đây là một tính năng khó chịu khi bạn đang giải quyết các vấn đề khác như thế này.

Ví dụ 5

Giải phương trình vi phân bằng phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý

Đây là một ví dụ tự làm. Trong thực tế, phía bên phải cũng là một phần nhỏ. Chúng tôi nhớ công thức lượng giác, bằng cách này, nó sẽ cần phải được áp dụng trong quá trình giải pháp.

Phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý là nhiều nhất phương pháp chung. Họ có thể giải bất kỳ phương trình nào có thể giải được phương pháp chọn một giải pháp cụ thể theo hình thức bên phải. Câu hỏi đặt ra, tại sao không sử dụng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý ở đó? Câu trả lời là hiển nhiên: việc lựa chọn một giải pháp cụ thể, đã được xem xét trong bài học Phương trình không thuần nhất của bậc hai, tăng tốc độ giải một cách đáng kể và giảm bớt ký hiệu - không làm rối tung các định thức và tích phân.

Hãy xem xét hai ví dụ với Vấn đề Cauchy.

Ví dụ 6

Tìm một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân tương ứng với điều kiện ban đầu

,

Dung dịch: Một lần nữa một phân số và một số mũ trong nơi thú vị.
Chúng tôi sử dụng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý.

Hãy tìm quyết định chung liên quan, thích hợp đồng nhất phương trình:



- thu được các gốc thực khác nhau nên giải pháp chung là:

Giải pháp chung của sự không đồng nhất chúng tôi đang tìm kiếm các phương trình ở dạng:, trong đó - nhưng các chức năng chưa biết.

Hãy tạo một hệ thống:

Trong trường hợp này:
,
Tìm các dẫn xuất:
,

Theo cách này:

Chúng tôi giải quyết hệ thống bằng cách sử dụng các công thức của Cramer:
, vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất.

Chúng tôi khôi phục chức năng bằng cách tích hợp:

Được sử dụng ở đây phương pháp đưa một hàm dưới dấu vi phân.

Chúng tôi khôi phục chức năng thứ hai bằng cách tích hợp:

Như vậy một tích phân được giải quyết phương pháp thay thế biến:

Từ chính sự thay thế, chúng tôi thể hiện:

Theo cách này:

Tích phân này có thể được tìm thấy phương pháp chiết xuất hình vuông đầy đủ , nhưng trong các ví dụ với diffurs, tôi thích mở rộng phân số phương pháp hệ số bất định:

Cả hai hàm được tìm thấy:

Kết quả là, nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là:

Tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn các điều kiện ban đầu .

Về mặt kỹ thuật, việc tìm kiếm giải pháp được thực hiện theo một cách tiêu chuẩn, đã được thảo luận trong bài báo Phương trình vi phân bậc hai không đồng nhất.

Chờ đã, bây giờ chúng ta sẽ tìm đạo hàm của lời giải tổng quát đã tìm thấy:

Đây là một sự ô nhục. Không nhất thiết phải đơn giản hóa, việc lập ngay một hệ phương trình sẽ dễ dàng hơn. Theo điều kiện ban đầu :

Thay thế các giá trị tìm thấy của các hằng số thành một giải pháp chung:

Trong câu trả lời, logarit có thể được đóng gói một chút.

Câu trả lời: giải pháp riêng:

Như bạn thấy, khó khăn có thể nảy sinh trong tích phân và đạo hàm, nhưng không phải trong thuật toán của phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý. Không phải tôi đã uy hiếp bạn, tất cả đây là một bộ sưu tập của Kuznetsov!

Để thư giãn, một ví dụ cuối cùng, đơn giản hơn, tự giải quyết:

Ví dụ 7

Giải quyết vấn đề Cauchy

,

Ví dụ rất đơn giản, nhưng sáng tạo, khi bạn tạo một hệ thống, hãy xem xét nó cẩn thận trước khi quyết định ;-),




Kết quả là, giải pháp chung là:

Tìm một giải pháp cụ thể tương ứng với các điều kiện ban đầu .



Chúng tôi thay thế các giá trị tìm được của các hằng số vào giải pháp chung:

Câu trả lời: giải pháp riêng:

Bây giờ hãy xem xét phương trình không thuần nhất tuyến tính
. (2)
Gọi y 1, y 2, .., y n là hệ nghiệm cơ bản và là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng L (y) = 0. Tương tự với trường hợp của phương trình bậc nhất, chúng ta sẽ tìm một nghiệm cho phương trình (2) ở dạng
. (3)
Hãy để chúng tôi xác minh rằng một giải pháp trong biểu mẫu này tồn tại. Để làm điều này, chúng tôi thay thế hàm vào phương trình. Để thay thế hàm này vào phương trình, chúng ta tìm các đạo hàm của nó. Đạo hàm đầu tiên là
. (4)
Khi tính đạo hàm thứ hai, bốn số hạng xuất hiện ở phía bên phải của (4), khi tính đạo hàm thứ ba, tám số hạng xuất hiện, v.v. Do đó, để thuận tiện cho các tính toán tiếp theo, số hạng đầu tiên trong (4) được giả sử bằng không. Với điều này, đạo hàm cấp hai bằng
. (5)
Vì những lý do tương tự như trước, trong (5) chúng ta cũng đặt số hạng đầu tiên bằng không. Cuối cùng, dẫn xuất thứ n bằng
. (6)
Thay các giá trị thu được của các đạo hàm vào phương trình ban đầu, ta có
. (7)
Số hạng thứ hai trong (7) bằng 0 vì các hàm y j, j = 1,2, .., n là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng L (y) = 0. Kết hợp với phần trước, chúng tôi nhận được hệ thống phương trình đại sốđể tìm các hàm C "j (x)
(8)
Định thức của hệ này là định thức Wronsky của hệ cơ bản của các nghiệm y 1, y 2, .., y n của phương trình thuần nhất tương ứng L (y) = 0 và do đó không bằng không. Do đó, có một giải pháp duy nhất cho hệ thống (8). Sau khi tìm thấy nó, chúng ta nhận được các hàm C "j (x), j = 1,2,…, n, và do đó, C j (x), j = 1,2,…, n Thay các giá trị này thành (3), chúng ta thu được nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Phương pháp được mô tả được gọi là phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý hoặc phương pháp Lagrange.

Mức độ phái sinh tối đa 2 3 4 5 6

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y "" + 4y "+ 3y = 9e -3 x. Xét phương trình thuần nhất tương ứng y" "+ 4y" + 3y = 0. phương trình đặc trưng r 2 + 4r + 3 = 0 là -1 và -3. Do đó, hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất bao gồm các hàm y 1 = e - x và y 2 = e -3 x. Chúng tôi đang tìm lời giải cho một phương trình không thuần nhất ở dạng y \ u003d C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Để tìm đạo hàm C "1, C" 2 ta lập hệ phương trình (8)

giải quyết mà, chúng tôi tìm thấy, Tích hợp các chức năng thu được, chúng tôi có
Cuối cùng chúng tôi nhận được

Ví dụ # 2. Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 với hệ số không đổi bằng phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý:

y (0) = 1 + 3ln3
y '(0) = 10ln3

Dung dịch:
Phương trình vi phân này thuộc phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi.
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng y = e rx. Để làm điều này, chúng tôi soạn phương trình đặc trưng của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với các hệ số không đổi:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Rễ của phương trình đặc trưng: r 1 = 4, r 2 = 2
Do đó, hệ thống giải pháp cơ bản là các chức năng:
y 1 \ u003d e 4x, y 2 \ u003d e 2x
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

Tìm kiếm một giải pháp cụ thể bằng phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý.
Để tìm đạo hàm của C "i, ta lập hệ phương trình:

C "1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Biểu thị C "1 từ phương trình đầu tiên:
C "1 \ u003d -c 2 e -2x
và thay thế trong lần thứ hai. Kết quả là, chúng tôi nhận được:
C "1 \ u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 \ u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Chúng tôi tích hợp các chức năng thu được C "i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2

Vì , sau đó chúng tôi viết các biểu thức kết quả dưới dạng:
C 1 = (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
hoặc
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cụ thể với điều kiện:
y (0) = 1 + 3ln3
y '(0) = 10ln3

Thay x = 0 vào phương trình tìm được, ta được:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Ta tìm đạo hàm bậc nhất của nghiệm tổng quát thu được:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
Thay x = 0, ta được:
y '(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

Ta nhận được một hệ hai phương trình:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 + 10ln (3) -4 = 10ln3
hoặc
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
hoặc
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Ở đâu:
C1 = 0, C * 2 = 2
Một giải pháp cụ thể sẽ được viết là:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

Lý thuyết tối thiểu

Trong lý thuyết về phương trình vi phân, có một phương pháp được cho là có mức độ phổ quát đủ cao cho lý thuyết này.
Chúng ta đang nói về phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý, áp dụng cho nghiệm của các loại phương trình vi phân khác nhau và
các hệ thống. Đây chính xác là trường hợp khi lý thuyết - nếu bạn lấy bằng chứng của các tuyên bố ra khỏi ngoặc - là tối thiểu, nhưng cho phép bạn đạt được
kết quả đáng kể, vì vậy trọng tâm chính sẽ là các ví dụ.

Ý tưởng chung của phương pháp này khá đơn giản để xây dựng. Để cho phương trình đã cho(hệ phương trình) khó giải hoặc không rõ ràng chút nào,
làm thế nào để giải quyết nó. Tuy nhiên, có thể thấy rằng khi loại trừ một số số hạng khỏi phương trình thì nó đã được giải. Sau đó, họ giải quyết một cách đơn giản
phương trình (hệ thống), nhận được một nghiệm có chứa một số hằng số tùy ý - tùy thuộc vào bậc của phương trình (số
phương trình trong hệ). Sau đó, giả thiết rằng các hằng số trong nghiệm tìm được không thực sự là hằng số, giải pháp tìm được
được thay thế vào phương trình (hệ) ban đầu, một phương trình vi phân (hoặc hệ phương trình) thu được để xác định "hằng số".
Có một tính cụ thể nhất định trong việc áp dụng phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý cho nhiệm vụ khác nhau, nhưng đây đã là những chi tiết cụ thể sẽ
hiển thị với các ví dụ.

Chúng ta hãy xem xét riêng nghiệm của phương trình không thuần nhất tuyến tính của bậc cao hơn, tức là phương trình có dạng
.
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất tuyến tính là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng và nghiệm riêng
phương trình đã cho. Giả sử rằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất đã được tìm thấy, cụ thể là hệ nghiệm cơ bản (FSR) đã được xây dựng
. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là.
Nó là cần thiết để tìm bất kỳ nghiệm cụ thể của phương trình không thuần nhất. Đối với điều này, các hằng số được coi là phụ thuộc vào biến.
Tiếp theo, bạn cần giải hệ phương trình
.
Lý thuyết đảm bảo rằng hệ phương trình đại số liên quan đến đạo hàm của hàm số có một nghiệm duy nhất.
Khi tự tìm các hàm, các hằng số tích hợp không xuất hiện: sau cùng, bất kỳ một giải pháp nào cũng được tìm kiếm.

Trường hợp giải hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc nhất dạng

thuật toán hầu như không thay đổi. Trước tiên, bạn cần tìm FSR tương ứng hệ thống đồng nhất phương trình, soạn ma trận cơ bản
hệ thống, các cột trong số đó là các phần tử của FSR. Tiếp theo, phương trình
.
Giải quyết hệ thống, chúng tôi xác định các chức năng, do đó tìm ra một giải pháp cụ thể cho hệ thống ban đầu
(ma trận cơ bản được nhân với cột đặc trưng tìm được).
Chúng tôi thêm nó vào nghiệm tổng quát của hệ phương trình thuần nhất tương ứng, được xây dựng trên cơ sở FSR đã tìm được.
Giải pháp chung của hệ thống ban đầu thu được.

Các ví dụ.

ví dụ 1 Phương trình không thuần nhất tuyến tính của bậc một.

Chúng ta hãy xem xét phương trình thuần nhất tương ứng (chúng ta ký hiệu hàm yêu cầu bằng):
.
Phương trình này có thể dễ dàng giải được bằng cách tách các biến:

.
Bây giờ chúng ta biểu diễn nghiệm của phương trình ban đầu ở dạng , nơi chức năng vẫn chưa được tìm thấy.
Chúng tôi thay loại giải pháp này vào phương trình ban đầu:
.
Như bạn có thể thấy, điều khoản thứ hai và thứ ba ở bên trái loại bỏ lẫn nhau - đây là tính năng phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý.

Đây rồi - thực sự là một hằng số tùy ý. Bằng cách này,
.

Ví dụ 2 Phương trình Bernoulli.

Chúng tôi hành động tương tự như ví dụ đầu tiên - chúng tôi giải phương trình

phương pháp tách biến. Nó sẽ biến ra, vì vậy chúng tôi đang tìm kiếm nghiệm của phương trình ban đầu ở dạng
.
Thay thế hàm này vào phương trình ban đầu:
.
Và một lần nữa có những vết cắt:
.
Ở đây bạn cần nhớ để đảm bảo khi chia cho, dung dịch không bị mất đi. Và trường hợp tương ứng với giải pháp của bản gốc
các phương trình. Hãy nhớ về anh ấy. Vì thế,
.
Cùng viết nào .
Đây là giải pháp. Khi viết câu trả lời, bạn cũng nên chỉ ra giải pháp được tìm thấy trước đó, vì nó không tương ứng với bất kỳ giá trị cuối cùng nào
các hằng số.

Ví dụ 3 Phương trình tuyến tính không đồng nhất của bậc cao hơn.

Chúng tôi lưu ý ngay rằng phương trình này có thể được giải một cách đơn giản hơn, nhưng nó là thuận tiện để hiển thị phương pháp trên đó. Mặc dù một số lợi thế
phương pháp biến đổi của một hằng số tùy ý cũng có nó trong ví dụ này.
Vì vậy, bạn cần bắt đầu với FSR của phương trình thuần nhất tương ứng. Nhớ lại rằng để tìm FSR, đặc điểm
phương trình
.
Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
.
Các hằng số bao gồm ở đây phải được thay đổi. Biên dịch một hệ thống

Chúng ta hãy chuyển sang việc xem xét các phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng

ở đâu - hàm đối số mong muốn và các chức năng



được đưa ra và liên tục trong một khoảng thời gian nào đó
.

Chúng ta hãy xem xét một phương trình thuần nhất tuyến tính, vế trái của nó trùng với vế trái của phương trình không thuần nhất (2.31),

Một phương trình có dạng (2.32) được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình không thuần nhất (2.31).

Định lý sau đây về cấu trúc của nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (2.31) là đúng.

Định lý 2.6. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất tuyến tính (2.31) trong miền

là tổng của bất kỳ nghiệm cụ thể nào của nó và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2.32) trong miền (2.33), tức là

ở đâu - một nghiệm cụ thể của phương trình (2.31),
là hệ thống nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (2.32), và
là các hằng số tùy ý.

Chứng minh của định lý này có thể được tìm thấy trong.

Sử dụng ví dụ về phương trình vi phân cấp hai, chúng tôi trình bày một phương pháp mà người ta có thể tìm một nghiệm cụ thể của một phương trình không thuần nhất tuyến tính. Phương pháp này được gọi là Các biến thể của phương thức Lagrange của các hằng số tùy ý.

Vì vậy, hãy để có một phương trình tuyến tính không thuần nhất

(2.35)

hệ số ở đâu
và bên phải
liên tục trong một số khoảng thời gian
.

Biểu thị bởi
và
hệ thống nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất

(2.36)

Khi đó, giải pháp chung của nó có dạng

(2.37)

ở đâu và là các hằng số tùy ý.

Chúng ta sẽ tìm một nghiệm của phương trình (2.35) ở dạng tương tự , cũng như nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, thay các hằng số tùy ý bằng một số hàm phân biệt của (chúng tôi thay đổi các hằng số tùy ý), những thứ kia.

ở đâu
và
là một số chức năng khác biệt với , vẫn chưa được biết và chúng tôi sẽ cố gắng xác định để hàm (2.38) là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.35). Phân biệt cả hai vế của đẳng thức (2.38), chúng ta thu được

Vì vậy, khi tính toán không có dẫn xuất bậc hai của
và
, chúng tôi yêu cầu điều đó ở mọi nơi trong
điều kiện

Sau đó sẽ có

Tính đạo hàm cấp hai

Biểu thức thay thế cho ,,từ (2.38), (2.40), (2.41) vào phương trình (2.35), ta thu được

Biểu thức trong dấu ngoặc vuông, đều bằng 0 ở mọi nơi trong
, tại vì và - các nghiệm cụ thể của phương trình (2.36). Trong trường hợp này, (2.42) có dạng Kết hợp điều kiện này với điều kiện (2.39), ta thu được một hệ phương trình xác định
và

(2.43)

Hệ thống thứ hai là một hệ thống gồm hai phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất liên quan đến
và
. Yếu tố quyết định của hệ thống này là yếu tố quyết định Wronsky cho hệ thống giải pháp cơ bản ,và do đó khác 0 ở mọi nơi trong
. Điều này có nghĩa là hệ thống (2.43) có một giải pháp duy nhất. Đã giải quyết nó theo bất kỳ cách nào liên quan đến
,
tìm thấy

ở đâu
và
là những chức năng nổi tiếng.

Thực hiện tích hợp và tính đến điều đó như
,
người ta nên lấy bất kỳ một cặp hàm nào, chúng tôi đặt các hằng số tích phân bằng không. Lấy

Thay các biểu thức (2.44) vào quan hệ (2.38), chúng ta có thể viết nghiệm mong muốn của phương trình không thuần nhất (2.35) dưới dạng

Phương pháp này có thể được tổng quát hóa để tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình không thuần nhất tuyến tính -đặt hàng thứ.

Ví dụ 2.6. giải phương trình
tại
nếu chức năng

tạo thành một hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất tương ứng.

Hãy để chúng tôi tìm một nghiệm cụ thể của phương trình này. Để làm điều này, theo phương pháp Lagrange, trước tiên người ta phải giải hệ thống (2.43), trong trường hợp của chúng ta có dạng
Giảm cả hai vế của mỗi phương trình bằng chúng tôi nhận được

Lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng của phương trình thứ nhất, chúng ta thấy
và sau đó từ phương trình đầu tiên nó theo sau
Thực hiện tích hợp và đặt hằng số tích hợp bằng 0, chúng ta có

Một giải pháp cụ thể cho phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng

ở đâu và là các hằng số tùy ý.

Cuối cùng, chúng ta lưu ý một tính chất đáng chú ý, thường được gọi là nguyên tắc áp đặt các nghiệm và được mô tả bằng định lý sau.

Định lý 2.7. Nếu ở giữa
hàm số
- một nghiệm cụ thể của phương trình hàm
một nghiệm cụ thể của phương trình trên cùng một khoảng, hàm
là một giải pháp cụ thể cho phương trình