Diện tích mặt bên của khối cầu và khối nón. Diện tích mặt bên và toàn phần của hình nón

Diện tích bề mặt của một hình nón (hay đơn giản là bề mặt của một hình nón) bằng tổng diện tích của mặt đáy và mặt bên.

Diện tích mặt bên của hình nón được tính theo công thức: S = πR l, trong đó R là bán kính của đáy hình nón, và l- ma trận hình nón.

Vì diện tích của \ u200b \ u200b phần đáy của hình nón là πR 2 (như diện tích của \ u200b \ u200b phần hình tròn) nên diện tích của \ u200b \ u200b bề mặt toàn phần của hình nón sẽ bằng : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Có được công thức về diện tích mặt bên của hình nón có thể được giải thích bằng cách lập luận như vậy. Hãy cho hình vẽ cho thấy một sự phát triển của mặt bên của hình nón. Ta chia cung AB thành nhiều phần bằng nhau nhất có thể và nối tất cả các điểm phân chia với tâm của cung và các điểm lân cận với nhau bằng các hợp âm.

Chúng tôi nhận được một loạt các tam giác bằng nhau. Diện tích của mỗi tam giác là Ah / 2, ở đâu một- độ dài của đáy của tam giác, a h- cao của mình.

Tổng diện tích của tất cả các tam giác là: Ah / 2 N = anh / 2, ở đâu N là số hình tam giác.

Với một số lượng lớn các phép chia, tổng diện tích của các tam giác trở nên rất gần với diện tích của hình khai triển, tức là diện tích của mặt bên của hình nón. Tổng các cơ sở của tam giác, tức là một, trở nên rất gần với độ dài của cung AB, tức là, với chu vi của đáy hình nón. Chiều cao của mỗi tam giác trở nên rất gần với bán kính của cung tròn, tức là đường sinh của hình nón.

Bỏ qua sự khác biệt nhỏ về kích thước của các đại lượng này, chúng ta thu được công thức cho diện tích bề mặt bên của hình nón (S):

S = C l / 2, trong đó C là chu vi của đáy của hình nón, l- ma trận hình nón.

Biết rằng C \ u003d 2πR, với R là bán kính đường tròn đáy của hình nón, ta thu được: S \ u003d πR l.

Ghi chú. Trong công thức S = C l / 2, dấu của đẳng thức chính xác, và không gần đúng được đưa ra, mặc dù trên cơ sở lý luận ở trên, chúng ta có thể coi đẳng thức này là gần đúng. Nhưng ở trường trung học, người ta đã chứng minh rằng sự bình đẳng

S = C l / 2 là chính xác, không gần đúng.

Định lý. Mặt bên của hình nón bằng tích của chu vi đáy và nửa ma trận.

Chúng tôi ghi trong một hình nón (Hình.) Một số kim tự tháp thông thường và biểu thị bằng các chữ cái R và l các số biểu thị độ dài của chu vi của đáy và hình chóp của hình chóp này.

Sau đó, bề mặt bên của nó sẽ được thể hiện bằng sản phẩm 1/2 R l .

Bây giờ chúng ta giả sử rằng số cạnh của đa giác nội tiếp trong cơ sở tăng lên vô hạn. Sau đó, chu vi R sẽ có xu hướng đến giới hạn được coi là chiều dài C của chu vi của cơ sở và apothem l sẽ có một máy phát hình nón làm giới hạn của nó (vì ΔSAK ngụ ý rằng SA - SK
1 / 2 R l, sẽ có xu hướng đến giới hạn 1/2 C L. Giới hạn này được lấy là giá trị của mặt bên của hình nón. Ký hiệu mặt bên của hình nón bằng chữ S, chúng ta có thể viết:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Kết quả.
1) Vì C \ u003d 2 π R, khi đó mặt bên của hình nón được biểu thị bằng công thức:

S = 1/2 2π R L = π RL

2) Chúng ta nhận được toàn bộ bề mặt của hình nón nếu chúng ta thêm bề mặt bên vào diện tích cơ sở; do đó, biểu thị bề mặt hoàn chỉnh bằng T, chúng ta sẽ có:

T = π RL + π R2 = π R (L + R)

Định lý. Mặt bên của hình nón cụt bằng tích của một nửa tổng các chu vi của đáy và ma trận.

Chúng tôi ghi trong một hình nón cụt (Hình.) Một số kim tự tháp cắt cụt thông thường và biểu thị bằng các chữ cái r, r 1 và l các số biểu thị theo cùng một đơn vị tuyến tính độ dài của chu vi của đáy dưới và đáy trên và hình chóp của kim tự tháp này.

Khi đó mặt bên của hình chóp nội tiếp bằng 1/2 ( p + p 1) l

Với sự gia tăng không giới hạn số mặt bên của hình chóp nội tiếp, các chu vi R và R 1 có xu hướng đến các giới hạn được coi là độ dài C và C 1 của các đường tròn của cơ sở và apothem l có giới hạn là ma trận L của hình nón cụt. Do đó, giá trị của mặt bên của hình chóp nội tiếp có xu hướng giới hạn bằng (С + С 1) L. Giới hạn này được lấy làm giá trị của mặt bên của hình nón cụt. Ký hiệu bề mặt bên của hình nón cụt bằng chữ S, chúng ta sẽ có:

S \ u003d 1/2 (C + C 1) L

Kết quả.
1) Nếu R và R 1 có nghĩa là bán kính của các đường tròn đáy và đáy trên, thì mặt bên của hình nón cụt sẽ là:

S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R1) L.

2) Nếu trong hình thang OO 1 A 1 A (Hình), từ phép quay thu được một hình nón cụt ta vẽ đường trung trực BC thì ta được:

BC \ u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \ u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Vì thế,

S = 2 π BC L,

I E. bề mặt bên của hình nón cụt bằng tích của chu vi của phần trung bình và đường sinh.

3) Tổng bề mặt T của một hình nón cụt được biểu thị như sau:

T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Lùi về phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Loại bài học: bài học nghiên cứu tài liệu mới sử dụng các yếu tố của phương pháp dạy học phát triển vấn đề.

Mục tiêu bài học:

nhận thức:
- làm quen với một khái niệm toán học mới;
- hình thành ZUN mới;
- hình thành các kỹ năng thực hành để giải quyết vấn đề.
đang phát triển:
- phát triển tư duy độc lập của học sinh;
- phát triển kỹ năng nói đúng của học sinh.
giáo dục:
- phát triển kỹ năng làm việc nhóm.

Thiết bị bài học: bảng từ, máy vi tính, màn chiếu, máy chiếu đa phương tiện, mô hình hình nón, bài trình chiếu, tài liệu phát tay.

Mục tiêu bài học (dành cho học sinh):

làm quen với một khái niệm hình học mới - một hình nón;
suy ra công thức tính diện tích thiết diện của hình nón;
học để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Trong các lớp học

Tôi sân khấu. Tổ chức.

Nộp vở với bài tập kiểm tra ở nhà về chủ đề được bảo hiểm.

Mời các em cùng tìm hiểu chủ đề bài học sắp tới qua bài giải rebus (trang trình bày 1):

Bức tranh 1.

Thông báo cho học sinh chủ đề và mục tiêu của bài học (trang trình bày 2).

Giai đoạn II. Giải thích về vật liệu mới.

1) Bài giảng của giáo viên.

Trên bảng là một cái bàn có hình của một hình nón. Tài liệu mới được giải thích kèm theo tài liệu chương trình "Stereometry". Một hình ảnh ba chiều của một hình nón xuất hiện trên màn hình. Giáo viên đưa ra định nghĩa về hình nón, nói về các yếu tố của nó. (trang trình bày 3). Người ta nói rằng một hình nón là một cơ thể được tạo thành bởi sự quay của một tam giác vuông so với chân. (slide 4, 5). Một hình ảnh về sự phát triển của bề mặt bên của hình nón xuất hiện. (trang trình bày 6)

2) Công việc thực tế.

Ôn lại kiến thức cơ bản: nhắc lại các công thức tính diện tích hình tròn, diện tích cung, độ dài hình tròn, độ dài cung tròn. (trang trình bày 7-10)

Lớp học được chia thành nhiều nhóm. Mỗi nhóm nhận được một bản quét bề mặt bên của hình nón được cắt ra từ giấy (một khu vực hình tròn với một số được chỉ định). Học sinh thực hiện các phép đo cần thiết và tính diện tích của hình cung được kết quả. Hướng dẫn làm bài, câu hỏi - phát biểu vấn đề - xuất hiện trên màn hình (trang trình bày 11-14). Đại diện từng nhóm ghi kết quả các phép tính vào bảng đã chuẩn bị sẵn trên bảng. Những người tham gia của mỗi nhóm dán mô hình của hình nón từ sự phát triển mà họ có. (trang trình bày 15)

3) Phát biểu và giải pháp của vấn đề.

Làm thế nào để tính diện tích mặt bên của hình nón nếu chỉ biết bán kính của đáy và độ dài đường sinh của hình nón? (trang trình bày 16)

Mỗi nhóm thực hiện các phép đo cần thiết và cố gắng tìm ra công thức tính diện tích cần thiết bằng cách sử dụng dữ liệu có sẵn. Khi làm bài này, học sinh cần lưu ý rằng chu vi của đáy của hình nón bằng độ dài của dây cung - khai triển của mặt bên của hình nón này. (trang trình bày 17-21) Sử dụng các công thức cần thiết, công thức mong muốn được suy ra. Lý luận của học sinh nên giống như sau:

Bán kính của khu vực - quét bằng l, số đo độ của dây cung là φ. Diện tích của một hình nón được tính theo công thức: độ dài của cung giới hạn cung này bằng Bán kính của đáy của hình nón R. Độ dài của hình tròn nằm ở đáy của hình nón là C = 2πR . Lưu ý rằng Vì diện tích của mặt bên của hình nón bằng diện tích của phần phát triển của mặt bên của nó, nên

Vì vậy, diện tích mặt bên của hình nón được tính bằng công thức S BOD = πRl.

Sau khi tính diện tích mặt bên của mô hình hình nón theo công thức suy ra độc lập, đại diện mỗi nhóm ghi kết quả các phép tính vào bảng trên bảng phù hợp với số hiệu của mô hình. Kết quả tính toán ở mỗi hàng phải bằng nhau. Trên cơ sở này, giáo viên xác định tính đúng đắn của các kết luận của từng nhóm. Bảng kết quả sẽ như thế này:

mô hình không.	Tôi làm việc	Nhiệm vụ II

	(125/3) π ~ 41,67π

	(425/9) π ~ 47,22π
	(539/9) π ~ 59,89π

Thông số mô hình:

l = 12 cm, φ = 120°
l = 10 cm, φ = 150°
l = 15 cm, φ = 120°
l = 10 cm, φ = 170°
l = 14 cm, φ = 110°

Sự gần đúng của các phép tính có liên quan đến sai số đo lường.

Sau khi kiểm tra kết quả, đầu ra của công thức cho diện tích các mặt bên và toàn bộ của hình nón sẽ xuất hiện trên màn hình (trang trình bày 22-26) học sinh ghi chép vào vở.

Giai đoạn III. Củng cố các tài liệu đã học.

1) Sinh viên được cung cấp nhiệm vụ cho giải pháp miệng trên bản vẽ làm sẵn.

Tìm diện tích của tổng các bề mặt của các hình nón trong các hình (trang trình bày 27-32).

2) Câu hỏi: Diện tích các bề mặt của hình nón tạo bởi phép quay của một tam giác vuông về các chân khác nhau có bằng nhau không? Học sinh đưa ra giả thuyết và kiểm tra nó. Kiểm tra giả thuyết được thực hiện bằng cách giải quyết vấn đề và được học sinh viết trên bảng đen.

Được cho:Δ ABC, ∠C = 90 °, AB = c, AC = b, BC = a;

BAA ", ABV" - cơ quan của cuộc cách mạng.

Để tìm: S PPC 1, S PPC 2.

Hình 5 (trang trình bày 33)

Quyết định:

1) R = BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S chính 1 = π a c + π a 2 \ u003d π a (a + c).

2) R = AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S chính 2 = π b c + π b 2 \ u003d π b (b + c).

Nếu S PPC 1 = S PPC 2, thì a 2 + ac \ u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \ u003d 0, (a-b) (a + b + c) \ u003d 0. Tại vì a, b, c số dương (độ dài các cạnh của tam giác), đẳng thức xé chỉ đúng khi a =b.

Sự kết luận: Diện tích các bề mặt của hai hình nón chỉ bằng nhau nếu các chân của tam giác bằng nhau. (trang trình bày 34)

3) Lời giải của bài toán từ SGK: Số 565.

Giai đoạn IV. Tổng kết bài học.

Bài tập về nhà: tr.55, 56; Số 548, Số 561. (trang trình bày 35)

Công bố điểm.

Kết luận trong giờ học, nhắc lại thông tin chính nhận được trong bài.

Văn chương (trang trình bày 36)

Hình học lớp 10-11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev và cộng sự, M., Enlightenment, 2008.
“Câu đố toán học và trò đố chữ” - N.V. Udaltsov, thư viện "Đầu tháng 9", loạt bài "TOÁN HỌC", số 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Chúng ta biết hình nón là gì, hãy thử tìm diện tích bề mặt của nó. Tại sao cần phải giải quyết vấn đề như vậy? Ví dụ, bạn cần hiểu bao nhiêu bột sẽ đi để làm một hình nón bánh quế? Hay sẽ cần bao nhiêu viên gạch để lát mái gạch của một lâu đài?

Không dễ dàng để đo diện tích mặt bên của hình nón. Nhưng hãy tưởng tượng cùng một chiếc sừng được bọc trong vải. Để tìm diện tích của một mảnh vải, bạn cần cắt và trải nó trên bàn. Chúng ta có một hình phẳng, chúng ta có thể tìm thấy diện tích của nó.

Cơm. 1. Mặt cắt của hình nón dọc theo ma trận

Hãy làm tương tự với hình nón. Ví dụ, hãy "cắt" bề mặt bên của nó dọc theo bất kỳ ma trận gen nào (xem Hình 1).

Bây giờ chúng ta "thư giãn" bề mặt bên trên một mặt phẳng. Chúng tôi nhận được một khu vực. Tâm của khu vực này là đỉnh của hình nón, bán kính của khu vực này bằng đường sinh của hình nón và độ dài cung của nó trùng với chu vi của đáy hình nón. Một khu vực như vậy được gọi là sự phát triển của bề mặt bên của hình nón (xem Hình 2).

Cơm. 2. Sự phát triển của bề mặt bên

Cơm. 3. Đo góc tính bằng radian

Chúng ta hãy thử tìm diện tích của ngành theo dữ liệu có sẵn. Đầu tiên, hãy giới thiệu một ký hiệu: cho góc ở đỉnh của khu vực này tính bằng radian (xem Hình 3).

Chúng ta sẽ thường bắt gặp góc ở đầu quét trong các nhiệm vụ. Trong khi chờ đợi, chúng ta hãy thử trả lời câu hỏi: góc này có thể vượt quá 360 độ được không? Đó là, nó sẽ không hóa ra rằng quét sẽ chồng lên chính nó? Dĩ nhiên là không. Hãy chứng minh điều đó bằng toán học. Hãy để sự quét "chồng lên" chính nó. Điều này có nghĩa là chiều dài của cung quét lớn hơn chu vi của bán kính. Nhưng, như đã đề cập, chiều dài của cung quét là chu vi của bán kính. Và bán kính của đáy của hình nón, tất nhiên, nhỏ hơn ma trận, chẳng hạn, vì chân của tam giác vuông nhỏ hơn cạnh huyền

Sau đó, chúng ta hãy nhớ hai công thức từ khóa học planimetry: độ dài cung. Khu vực ngành:.

Trong trường hợp của chúng ta, vai trò được thực hiện bởi ma trận , và độ dài của cung tròn bằng chu vi của đáy của hình nón, nghĩa là. Chúng ta có:

Cuối cùng chúng tôi nhận được:

Cùng với diện tích bề mặt bên, tổng diện tích bề mặt cũng có thể được tìm thấy. Để làm điều này, hãy thêm khu vực cơ sở vào khu vực bề mặt bên. Nhưng cơ sở là một hình tròn bán kính, có diện tích, theo công thức, là.

Cuối cùng chúng tôi có: , đâu là bán kính của đáy của hình trụ, là ma trận.

Hãy giải quyết một số vấn đề trên các công thức đã cho.

Cơm. 4. Góc mong muốn

ví dụ 1. Khai triển của mặt bên của hình nón là một cung với một góc ở đỉnh. Tìm góc này nếu chiều cao của hình nón là 4 cm và bán kính của đáy là 3 cm (xem Hình 4).

Cơm. 5. Tam giác vuông tạo thành một hình nón

Bằng hành động đầu tiên, theo định lý Pitago, chúng ta tìm được ma trận: 5 cm (xem Hình 5). Hơn nữa, chúng tôi biết rằng .

Ví dụ 2. Diện tích thiết diện trục của hình nón là, chiều cao là. Tìm tổng diện tích bề mặt (xem Hình 6).